PERSAMAAN GARIS LURUS di R2 dan R3
MAKALAH
Oleh1. Winda Riyanti (121810101007)2. Viqedina Rizky Noviyanti
(121810101008)3. Adita Cahya Islamiyah (121810101022)4. Zainul
Anwar (121810101025)5. Muhammad Basofi (121810101032)
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAMUNIVERSITAS JEMBER2014
3
PRAKATA
Puji syukur ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang
berjudul Persamaan Garis Lurus di R2 dan R3. Makalah ini disusun
untuk memenuhi salah satu syarat menyelesaikan tugas semester
pendek Geometri Analitik Grafik pada Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.Penulisan
makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena
itu, penulis menyampaikan terima kasih kepada dosen pengajar
Geometri Analitik Grafik yang telah membimbing selama semester
pendek.Penulis juga menerima segala kritik dan saran dari semua
pihak demi kesempurnaan makalah ini. Akhirnya penulis berharap,
semoga makalah ini dapat bermanfaat.
Jember, Juli 2014Penulis
ii
DAFTAR ISI
HalamanHALAMAN SAMPULiPRAKATAiiDAFTAR ISIiiiBAB 1.
PENDAHULUAN11.1 Latar Belakang11.2 Rumusan Masalah21.3 Tujuan31.4
Manfaat 3BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA42.1 Pengertian Produksi42.1.1
Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi Produksi42.1.2 Fungsi Produksi42.2
Logika Fuzzy52.2.1 Fungsi Keanggotaan52.2.2 Operator-Operator
Fuzzy72.3 Logika Fuzzy Sugeno82.3.1 Model Logika Fuzzy Sugeno82.3.2
Tahap-Tahap Penyelesaian Dalam Logika Fuzzy Sugeno82.3.3 Ilustrasi
Logika Fuzzy Sugeno92.3.4 Toolbox Matlab10BAB 3. HASIL DAN
PEMBAHASAN113.1 Hasil112 3 4 4.1 3.2 Pembahasan17BAB 4.
PENUTUP354.1 Kesimpulan20DAFTAR PUSTAKA21 iii
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Penyajian Garis dan Segmen Garis di Bidang R2
1.1.1 Persamaan Parametrik dan Persamaan Umum GarisDalam
geometri aksiomatik disebutkan bahwa melalui dua titik berbeda di
bidang, maka tepat satu garis yang memuat titik tersebut.
Selanjutnya, setiap garis memuat sedikitnya dua titik berbeda.
Melalui dua aksioma ini dibangun persamaan parametrik dan persamaan
umum garis berikut.
Misalkan garis g dan dua titik berbeda P(x1,y1) 2dan Q(x2,y2) di
g, maka sebarang titik R(x,y) sepanjang garis g dapat dinyatakan
dalam relasi Oleh sebab itu bentuk persamaan vector garis g adalahg
(1.1)atau = + tDengan tsuatu scalar real. Bentuk (1.1) ini
selanjutnya dapat disederhanakan menjadi (1.2)
Yang disebut sebagai bentuk persamaan parametric garis g. Oleh
karena persamaan parametric lengkap untuk garis g adalah (1.2)
Dengan - < t < + merupakan variable parameter dari x dan
y, yaitu fungsi-fungsi scalar untuk vector i dan j.Jika dalam
persamaan (1.2) harga t disubstitusikan dari satu kepada yang lain
didapatkan beberapa model persamaan garis berikut
atau
atau
Dengan m suatu gradien (kemiringan) garis g. Dari persamaan
(1.5) ini didapatkan persamaan umum garis g dalam bentuk umum garis
g dalam bentuk implisit
atau (1.6)Dengan koefisien real dan Dalam hal ini harga a dan b
tidak serentak nol. Dalam hal a = 0, didapat garis g sejajar sumbu
OX melalui titik (0,-c/b) dan jika b = 0, garis g sejajar sumbu OY
melalui titik (-c/a,0). Jika b tidak nol,maka dari (1.6) didapat
persamaan garis berikut (1.7)Dengan Bentuk persamaan (1.7) ini
merupakan persamaan garis bergradien (berkemiringan) m dan memotong
sumbu OY di titik (0,k) dengan k suatu bilangan real. Jika k =
0,maka g melalui titik awal O(0,0)Secara umum koefisien m pada
persamaan (1.7) adalah sama dengan nilai tangen dari sudut yang
dibentuk antara garis g dengan sumbu OX. Harga negative terjadi,
bila didapatkan seperti gambar 1.2bMisalkan g memotong sumbu sumbu
koordinat di titik A(a,0) dan titik B(0,b) dengan a,b0, maka garis
g dapat didefinisikan melalui titik A dan B dengan mensubstitusikan
koordinat kedua titik ini kedalam bentuk persamaan (1.3). Dengan
demikian didapat persamaan
Persamaan ini disebut persamaan garis pemotong sumbu-sumbu
koordinat.(Kusno,2010)
1.1.2 Normal Garis,Relasi Dua Garis, dan Berkas GarisMisalkan
garis g dalam bentuk persamaan umum dan sebarang vector n = . Jika
dua titik berbeda P() dan Q() terletak pada g, maka berlaku
Jadi didapat
Padahal vektor yang segaris dengan g,berbentuk Oleh sebab itu
persamaan adalah bentuk perkalian scalar dari
Jadi setiap vektor n yang berbentuk n= selalu tegak lurus
terhadap garis g dari bentuk umumVektor normal n ini selanjutnya
disebut normal garis g dan dinotasikan dengan
Gambar 1.2Pandanglah dua garis dalam bentuk umum
Maka normal garisdan masing-masing adalah : dan Jadi diantara
dua garis dan dapat disimpulkan relasi dua garis berikut.a) Garis
sejajar jika kedua normalnya berkelipatan dari yang satu terhadap
yang lain, tetapi kedua persamaan bukan merupakan kelipatan antar
keduanya, yaitu
b) Dengan masing-masing gradient garisdan Garis berimpit jika
kedua normalnya berkelipatan dari yang satu terhadap yang lain,
tetapi kedua persamaan bukan merupakan kelipatan antar keduanya,
yaitu
c) dan saling berpotongan jika kedua normalnya bukan kelipatan
dari satu terhadap yang lain, yaitu
Dalam hal ini koordinat titik potong antara dan dapat ditentukan
melalui bentuk dan Dengan 0d) Garis dan saling tegak lurus jika
perkalian scalar kedua normalnya adalah nol, yaitu Tulislah dua
garis dan berbentuk umum
Kedalam bentuk persamaan
Dengan dan konstanta real. Bentuk persamaan (1.15) adalah
linier, jadi merupaka persamaan garis (berupa garis) dan disebut
sebagai persamaan berkas garis atau kipas garis. Karena pasangan
dan dalam - +menghasilkan garis, maka garisnya disebut anggota
berkas. Adapun untuk garis-garis dan selanjutnya disebut basis atau
anggota dasar berkas.(Kusno,2010)
1.2.3 Persamaan Normal Garis (Persamaan Hess)Misalkan n =
merupakan vector normal garis, yaitu , sehingga . Sedangkan adalah
jarak dari O terhadap garis g dengan dan vector normal satuan dari
garis adalahnu= n/|n| = ng/|n| = nu= (1.16)Jika M(x,y) sebarang
titik sepanjang garis g maka, persamaan normal garis dapat
didefinisikan melalui perkalian skalar terhadap nu menurut salah
satu kondisi berikut.a) Harga nu
Jadi b) Harga nu Jadi Sehingga persamaan normal garis
adalah(1.17)atau
Gambar 1.4 Persamaan normal garisDari garis g yang dinyatakan
dalam bentuk umum dan bentuk normal
Maka dapat disimpulkan secara umum beberapa hal berikut.a)
Berdasarkan persamaan (1.17), maka nilai perbandingan dari
koefisien koefisien kedua persamaan garis adalah
b) Dari (a), jarak dari O terhadap garis g adalah :
c) Dari (a),kosinus arah normal garis dinyatakan oleh
(Kusno,2010)
1.1.4
2.1 Persamaan Garis di R32.1.1 Persamaan Garis LurusPada gambar
dibawah ini l adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dan
sejajar dengan vektor . Untuk menentukan persamaan garis l, diambil
sebarang titik P(x, y, z) pada garis l, maka PoP // v dan PoP tv
dengan tbilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P
terhadap O adalah dan maka dan karena , maka
Gambar 2.1Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada
garis l dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada
garis l akan memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain,
persamaan garis l yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar vektor v
= adalah Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan vektor garis
l. 2.1.2 Persamaan Parametrik
Gambar 2.2
Garis ditentukan oleh suatu titik tetap dan suatu vector . Garis
adalah himpunan semua titik sedemikian sehingga adalah sejajar
terhadap , ; dan Bila dan . Merupakan persamaan parameter dari
garis melalui dan sejajar bilangan-bilangan arah.Proposisi 1.1
Persamaan Parametrik Vektor Persamaan parametrik vektor untuk garis
yang melalui titik P0(b1, b2, b3), dimana vektor posisi dan paralel
vektor a = a1i + a2j + a3j adalah :
, sehingga apabila maka persamaan parametriknya adalah
Gambar 2.3Bentuk simetrisnya adalah
2.1.3 Letak Garis Lurus Terhadap Bidang DatarAda tiga
kemungkinan yang terjadi, letak suatu garis terhadap suatu bidang
datar, yaitu garis memotong bidang, garis sejajar bidang dan garis
terletak pada bidang. Perhatikan sebuah garis sebuah bidang
Misalkan garis dan bidang ini berpotongan, maka koordinat titik
potongnya dicari dengan menyelesaikan x, y dan z dari tiga
persamaan itu. Salah satu menyelesaikannya dengan memisalkan
bahwa
disubtituskan pada persamaan bidang, maka diperoleh
Apabila , maka harus diperoleh nilai t, sehingga koordinat titik
potong garis dan bidang diperoleh dengan mensubtitusikan nilai t ke
dalam persamaan garis yang memuat t. Jika dan maka garis dan bidang
sejajar. Jika dan maka garis dan bidang sejajar. Jika dan maka
garis terletak pada bidang. Garis tegak lurus bidang apabila vektor
arah sejajar dengan vektor normal bidang Vektor arah garis adalah m
= dan vektor normal bidang adalah n = . tegak lurus bidang apabila
m = kn dengan k suatu bilangan real.Letak dua garis lurus dalam
ruang dimensi tiga. Dua buah garis lurus dalam ruang kemungkinan
akan berpotongan, sejajar, berimpit atau bersilangan. Misalka
diketahui dua garis berikut ini
Dan
Sudut antara dua garis ini sama dengan sudut yang dibentuk oleh
vektor-vektor arahnya, yaitu dan Jika adalah sudut yang dibentuk
oleh dua garis tersebut, maka
Dua garis akan sejajar apabila vektor-vektor arahnya sejajar,
yaitu m1=tm2 dengan t suatu bilangan real atau
Dua garis tegak lurus apabila vektor-vektor arahnya tegak lurus,
yaitu
Dua garis akan berpotongan apabila ada penyelesaian untuk x, y,
dan z dari empat persamaan bidang yang menyatakan dua persamaan
garis itu.
2.1.4 Jarak Dua Garis yang BersilanganMisalkan diketahui dua
garis g1 dan g2, jarak garis g1 dan g2 ditentukan dengan cara
sebagai berikut. Dibuat bidang melalui garis g2 dan sejajar g1.
Pilih suatu titik P pada garis g1. Maka jarak garis g1 dan g2 sama
dengan jarak titik P ke bidang .
2
BAB 4. PENUTUP
4.1 KesimpulanBerdasarkan jumlah permintaan untuk bulan Oktober
sebanyak 484 ton ikan kaleng, jumlah persediaan sebanyak 125 ton
dan biaya yang disediakan sebesar Rp 106.500.000, dapat disimpulkan
bahwa penggunaan metode Sugeno menghasilkan jumlah ikan kaleng
sebesar 444 ton yang harus diproduksi pada bulan Oktober 2013 oleh
PT Blambangan Foodpackers Indonesia. Dengan jumlah sisa produksi
sebanyak 85 ton menjadi persediaan untuk bulan November..
DAFTAR PUSTAKA
Abdurrahman, G.2011. Penerapan Metode Tsukamoto (LOGIKA FUZZY)
Dalam Sistem Pendukung Keputusan Untuk Menentukan Jumlah Produksi
Barang Berdasarkan Data Persediaan Dan Jumlah Permintaan. Makalah
Universitas Negeri Yogyakarta.
Ahyari, Agus. 1985. Management Produksi: Perencanaan Sistem
Produksi.Yogyakarta. UGM
Susilo, Frans SJ. 2003. Himpunan dan Logika Kabur Serta
Aplikasinya.. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Hariyadi, P.2008. Penguatan Sistem Pangan Lokal. Bogor. IPB.
Kusumadewi, S. 2002. Analisis & Desain Sistem Fuzzy
Menggunakan Toolbox Matlab. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Kusumadewi, S., dan Hartati, S. 2006. Neuro Fuzzy-Integrasi
Sistem Fuzzy dan Jaringan Syaraf. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Kusumadewi, S., Hartati, S., Harjoko, A., dan Wardoyo, R. 2006.
Fuzzy Multi-Attribute Decision Making (FUZZY MADM). Yogyakarta:
Graha Ilmu.Marie, I. A., Eriyatno, Arkeman, Y., Daihani, D.U. Tanpa
tahun. Penentuan Jumlah Produksi Menggunakan Model Fuzzy Multi
Objective Linear Programming Pada Industri Pangan (Studi Kasus Pada
Industri Roti PT NIC). Bogor: IPB
Nasution, A. H. 2008. Perencanaan & Pengendalian Produksi.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
Negnevitsky, M. 2005. Artificial Intelligence A Guide to
Intelligent Systems. British: Biddles Ltd.
Pontas, M. P. 2004. Manajemen Operasi dan Produksi. Yogyakarta:
Andi.
Rosida, W., Zainal, A., Ainul, Y.2010. Aplikasi Fuzzy Inference
System (FIS) Metode Sugeno Dalam Menentukan Kebutuhan Energi Dan
Protein Pada Balita. Malang: UIN Malik Ibrahim
Setiadji. 2009. Himpunan & Logika Samar serta Aplikasinya.
Yogyakarta: Graha Ilmu.