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749748 Und. 12 – Cuerpos RedondosGeometría
Se dice que Galileo Galilei dejó caer dos bolasde cañón de
diferente masa desde lo alto de laTorre de Pisa para demostrar que
la velocidadde descenso era independiente de la masa. Lahistoria,
aunque descrita por un estudiante delpropio Galileo, se considera
un mito.
Pocos años después de finalizada la torre eldaño en su
estructura se hizo manifiesto y mu-chos de los elementos de piedra
originales rea-lizados en mármol de San Giuliano fueron
sus-tituidos, cambiándose por mármol blanco deCarrara pero sin
perder la forma de cilindro.
12.1.1. Superficie de Revolución
12.1.1A. DefiniciónSe llama superficie de revolución a aquella
superficie engen-drada por la rotación de alguna línea. La línea
que al girarengendra una superficie de revolución se llama
generatriz dedicha superficie. La recta respecto de la cual se
realiza el girose llama eje de rotación o eje de giro.Cada punto de
la generatriz describe una circunferencia si-tuada en un plano
perpendicular al eje de rotación. Estas cir-cunferencias se llaman
paralelos de la superficie y puedenconsiderarse como secciones
producidas en la superficie porplanos perpendiculares al eje de
giro. Los meridianos son to-das las secciones producidas por planos
que pasan por el eje.
12.1.1B. Superficie cilíndrica de revoluciónSe llama superficie
cilíndrica de revolución, a la superficie engendrada por la
rotación deuna recta paralela al eje.
En general, si una recta se traslada continuamente en forma
paralela a su posición inicial, alo largo de una curva plana, se
genera una superficie llamada superficie cilíndrica.
En la figura (b) a la recta se le denomina generatriz y a la
curva plana BDE se le llamadirectriz.
Si la directriz es una circunferencia la superficie engendrada
se llama superficie cilíndricacircular.
La superficie cilíndrica es, en rigor, ilimitada porque también
lo es la recta generatriz que logenera. Si queremos limitar con
ella un cuerpo, es preciso trazar otras superficies.
12.1.2. Cilindro Circular Recto
12.1.2A. CilindroEl cilindro es el cuerpo geométrico que se
determina al intersectar la superficie cilíndrica,con dos planos
paralelos entre sí.
Las secciones determinadas por los planos paralelosen la
superficie cilíndrica se llaman bases del cilin-dro y los segmentos
determinados, que son parte delas generatrices de la superficie
cilíndrica, son las ge-neratrices del cilindro.
Un cilindro se llama cilindro recto si sus generatrices son
perpendiculares a sus bases comose observa en la figura (a) y si
las generatrices son oblicuas con relación a las bases, elcilindro
se llama cilindro oblicuo, tal como la figura (b).
12.1.2B. DefiniciónSe llama Cilindro Circular Recto o Cilindro
de Revolución al cuerpo geométrico limitadopor una superficie de
revolución circular y dos planos perpendiculares a su eje.
En un cilindro circular recto las bases son círculos y las
generatrices son perpendiculares asus correspondientes bases. Fig.
(a)
En un cilindro circular recto la sección producida por un plano
secante y no paralelo a susbases se llama Elipse que en la figura
está representado por S. Fig. (b)
Un plano P es tangente al cilindro si éste contiene a la
generatriz . El eje del cilindrorecto u oblicuo es el segmento OO'
que une los centros de sus bases.
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751750 Und. 12 – Cuerpos RedondosGeometría
La sección axial del cilindro recto es el rectángulo ABCD y si
éste es un cuadrado entoncesel cilindro se llama equilátero.
12.1.3. Área y Volumen de un Cilindro Circular Recto
Conociendo la longitud «R» del radio básico y la longitud «g» de
la generatriz, o altura delcilindro recto, se verifican las
siguientes relaciones:
12.1.3A. Área lateral del cilindro recto (SL )Es igual al
perímetro de la base (2R) multiplicado por su generatriz (g).
SL 2Rg
12.1.3B. Área total del cilindro recto (ST )
Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las
áreas de las bases.
ST 2R(g R)
12.1.3C. Volumen del cilindro recto (V)Es igual al área de la
base multiplicada por la longitud de la generatriz:
V R2g
Ejemplo.- El volumen de un cilindro circular recto es
numéricamente igual al doble del árealateral. Si su altura mide 5,
calculemos el área total y su volumen.
Elaboramos un esquema en el cual indicamos el dato:
De la condición planteamos que: V = 2SL · R2 · 5 = 2 · 2 · R · 5
R = 4
Luego el área total (ST) estará dado por:
ST 2 · 4(5 4) ST 72
Finalmente el volumen (V) será: V · 42 · 5
V 80
12.1.4. Desarrollo del Cilindro Recto
El desarrollo del cilindro recto está compuesto de un rectángulo
y dos círculos.
La base de este rectángulo es la circunferencia de la base del
cilindro y su altura es igual a lageneratriz o altura del
cilindro.
12.1.5. Tronco de Cilindro Recto
Si conocemos el radio «R» de la base circular, la generatriz
media o longitud del eje «g», lageneratriz mayor g1 y la generatriz
menor g2 , como se muestra en la figura, se cumplirá que:
g = g g1 22
A1. Área Lateral (AL )
AL 2Rg
A2. Volumen (V)
V R2g
Ejemplo.- En un tronco de cilindro circular recto se cumple que
la generatriz mayor mide eltriple de la generatriz menor y el radio
de la base circular mide 4. Si el volumen mide 96,calculemos el
área lateral.
Sean «x» y «3x» las longitudes de la generatriz menor y la mayor
respectivamente.
De la condición tenemos que: V 96
2 34 962x x 2x 6 x 3
Luego el área lateral (AL) se rá: L 32 4 2x xAReemplazando: AL
8(6) AL 48
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752 Geometría 753Und. 12 – Cuerpos Redondos
01.- Completar las siguientes proposiciones:a. Un cilindro puede
ser .................. u ..................
b. Las bases de un cilindro circular recto
son......................................................................
c. Las generatrices de un cono circular recto
son......................................................................
d. La sección producida en una esfera, por unplano secante es un
....................................
02.- Para un cilindro circular recto, complete elsiguiente
cuadro:
03.- En el gráfico se muestra una esfera inscritaen un cilindro
circular.
Según esto, correlacione las columnas coheren-temente.
a. Volumen de la esfera . ( ) 2
b. Área de la superficie de la esfera. ( ) 43
c. Volumen del cilindro. ( ) 8
d. Área total del cilindro. ( ) 4
04.- El gráfico muestra un cilindro circular recto yel
desarrollo de su superficie lateral.
De acuerdo a esto, complete el siguente cuadro:
05.- Se sabe que dos cilindros de revolución sonsemejantes,
cuando sus radios y alturas están enla misma proporción.
En el gráfico se muestran dos cilindros semejantes:
Completar la siguiente tabla:
12.1.6. Cilindro Oblicuo
Se llama cilindro oblicuo a aquel cuyas bases son Elipsesy sus
generatrices no son perpendiculares a sus basescomo el mostrado en
la figura. En un cilindro oblicuoes fácil notar que la altura «h»
es menor que la gene-ratriz y que la sección axial es un
paralelogramo talcomo ABCD.
En el cilindro oblicuo la sección producida por unplano
perpendicular a sus generatrices es un círculollamado Sección
Recta.
Asimismo debemos notar que la inclinación del cilindro viene
dado por el ángulo queforman su generatriz CD con el plano de la
base.
Cumpliéndose que: h g sen
Además en una elipse como se muestra en la figura adjunta se
verifica que:a Longitud del semieje mayorb Longitud del semieje
menor
Área de la Región Elíptica ab
12.1.7. Área y Volumen de un Cilindro Oblicuo
Siendo «g» y «h» las longitudes de la generatriz y la altura del
cilindrooblicuo mostrado a continuación y «S» el área de su base
elíptica severifican las siguientes relaciones.
12.1.7A. Área de la Superficie Lateral (SL )Es igual al
perímetro de la sección recta multiplicado por la longitudde la
generatriz.
SL 2Rg
12.1.7B. Área de la Superficie Total (ST )Es igual al área de la
superficie lateral más la suma de las áreas de sus bases.
ST 2Rg 2S
12.1.7C. Volumen (V)Es igual al área «S» de la base multiplicada
por la longitud de su altura «h» o el área de lasección recta
multiplicada por la longitud de la generatriz.
V S · h R2g
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754 Geometría 755Und. 12 – Cuerpos Redondos
06.- En el gráfico se muestra un cilindro de revo-lución, en el
cual su base está contenido en elplano «P» y «C» pertenece al
plano.
«L» es una recta secante al cilindro en los puntosde «A» y
«B».
Escribe vedadero (V) o falso (F) en las
siguientesproposiciones:
a.AB está incluido en el cilindro. .............. ( )
b. AB está incluido en el cilindro. ............. ( )
c. «A» pertenece a la superficie lateral del cilin-dro.
...................................................... ( )
d. AB está incluido en la superficie lateral delcilindro.
................................................ ( )
07.- En el gráfico, se muestra un cilindro de revo-lución y un
cono de revolución donde «d» es ladistancia del vértice del cono a
la base superiordel cilindro.
a. Si el volumen del cilindro equivale a 24 veces
el volumen del cono, ¿cuál es la relación Hd ?
......................................................................
b. Si: H = 3d y el volumen del cilindro es 72,¿cuál es el
volumen del cono?
......................................................................
c. Si: 2H = 3d y el volumen del cono es 4, ¿cuáles el volumen
del cilindro?
......................................................................
08.- El gráfico muestra un rectángulo de lados«a» y «b». Cuando
gira en torno a
L el volumen
generado es 300 y cuando gira en torno a L 1 el
volumen generado es 720.
a. ¿Cuánto mide «a» y «b»?
......................................................................
b. ¿Qué sólido se obtiene en cada caso?
......................................................................
c. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?
......................................................................
Prob. 01
Calcular el área de la superficie lateral de uncilindro recto si
el radio de su base mide 4 y sugeneratriz mide 8.
Graficando y considerando los datos delproblema:
Se sabe que el área de la superficie lateralSL es:
SL = 2Rg
donde: R = 4 y g = 8
Luego: SL = 2(4)(8)
SL = 64
Prob. 02
Calcular el volumen de un cilindro equiláterocuyo radio básico
es 2.
Esquematizando el problema construimoseste gráfico:
En el cilindro equilátero se cumple que:
g = 2R = 2(2) g = 4
Luego su volumen V = R2g será:
V = · 22· 4 V = 16
Prob. 03
Un cilindro de revolución está circunscrito auna esfera cuyo
radio mide «R». Calcular elvolumen del cilindro.
Al circunscribir el cilindro reconocemosque este es
equilátero.
Sea «V» el volumen del cilindro, luego:
V = R2g
Como: g = 2R V = 2R3
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757756 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos
Prob. 04
El desarrollo de la superficie lateral de un cilin-dro circular
recto es una región rectangular cu-yas dimensiones son 4 y 8.
Calcule el área dela superficie del cilindro.
Graficando y considerando datos:
Se sabe que el área de la superficie lateral(SL) del cilindro es
igual al área de la re-gión rectangular (S) es decir:
SL = S SL = 4· 8
SL = 32
Prob. 05
En un tronco de cilindro recto, sus generatricesmiden 10 y 6.
Calcular su volumen si sus ba-ses forman un diedro de 45º.
Elaboramos un gráfico adecuado en don-de trazamos DE AB .
Luego: BE = CD = 6 y ED = 2R
En el AED de 45º: 2R = 4 R = 2
Luego el volumen del tronco será:
2T 10 62V R VT = (2)
2· 8
VT = 32
Prob. 06
Calcular el área de la superficie lateral de uncilindro de
revolución, si el área de la regiónrectangular que lo genera es
20.
Graficando el cilindro y su rectángulo ge-nerador, tenemos:
Se sabe que: SL = 2Rg . . . (1)
Por dato: gR = 20 . . . (2)
Sustituyendo (2) en (1): SL = 2(20)
SL = 40
Prob. 07
El desarrollo de la superficie lateral de un cilin-dro circular
recto, es una región rectangularcuya diagonal mide 10. Si la altura
del cilindroes 6, calcular su volumen.
Elaborando el gráfico correspondiente a lascondiciones del
problema, tenemos:
Del ABC: 2R = 8 4R
Luego el volumen del cilindro será:
4 6V V 96= Prob. 08
Calcular el área de la superficie lateral del cilin-dro, si «O»
es centro y OB = 8.
En primer lugar, trazamos el radio OC(OC = R)
En el triángulo rectángulo OCB de 15º y75º la altura CH es la
cuarta parte de OBes decir:
OBCH 24
Además por relaciones métricas:
gR = (8)(2)
gR = 16
Nos piden: SL = 2Rg = 2(16)
SL = 32
Prob. 09
El área total de un cilindro recto es 60 y la sumade las
inversas del radio básico y de su gene-ratriz es 1/4. Calcular el
volumen del cilindro.
Graficando y considerando los datos delproblema:
El área total (ST) está dado por:
ST = 60 = 2R(g + R) . . . (1)
Por condición del problema:
1 1 14R g
4Rgg R . . . (2)
-
759758 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos
Sustituyendo (2) en (1):
60 2 4RgR
R2g = 120
Como el volumen: V = R2g
V = 120
Prob. 10
Calcular el volumen de un cilindro circular rec-to, cuyo
desarrollo de su superficie lateral esun cuadrado de lado «a».
Graficando y considerando que: g = a y2R = a, se tiene:
De la igualdad: 2R = a
2aR
Como el volumen «V» del cilindro es:
V = R2g
Luego, reemplazando valores, tenemos:
22aV a Desarrollando:
2
24aV a
3
4aV
Prob. 11
Un recipiente cilíndrico de radio básico 2, seencuentra con
cierta cantidad de agua. Se in-troduce, en dicho recipiente, un
bloque de vo-lumen «Vx» y el nivel de agua se incrementa en2.
Calcular «Vx».
Graficando y considerando datos:
Ya que el bloque de volumen «Vx» despla-za agua hacia la parte
superior tomandoésta la forma de un cilindro de radio 2 ygeneratriz
2 se tiene:
Vx = (2)2· 2 Vx = 8
Prob. 12
Se tienen dos cilindros circulares rectos seme-jantes, los
cuales tienen por áreas totales 18 y 50 respectivamente.
a) Calcular la razón en que se encuentran susradios.
b) Calcular la razón en que se encuentran susvolúmenes.
Esquematizando las condiciones del pro-blema se tiene:
a) Como los cilindros son semejantes, en-tonces:
h rH R . . . (1)
Del dato: 2r(h + r) = 18 . . . (2)
También: 2R(H + R) = 50 . . . (3)
Dividimos (2) y (3):
( ) 925( )
r h rR H R . . . (*)
De (1) hacemos: h = rK H = RK
Luego reemplazamos en (*):
2
2(K 1) 9
25(K 1)rR
De donde: 35rR . . . (4)
b) Sean V1 y V2 los volúmenes de los cilin-dros, se tiene:
2 21 2V r h V R H
Dividimos: 212
V r hV R H
Reemplazamos (1) y (4) en esta última ex-presión:
312
35
VV
1
2
V 27=V 125
Prob. 13
En un cilindro circular recto, se cumple que elárea de la
sección axial es «K» veces el área dela base. Si el radio de la
base es «r».
a) Calcular la altura del cilindro en términos de«K» y «r».
b) Calcular el volumen del cilindro en términosde «K» y «r».
Graficando y ubicando los datos corres-pondientes, tenemos:
a) La sección axial de un cilindro se deter-mina al trazar un
plano perpendicular ala base y que contenga a uno de sus
diáme-tros: como ABCD.
Por dato: A(ABCD) = KA(Base)
H· (2r) = K· r2
K2
rH . . . (1)
b) El volumen del cilindro (V) está dadopor:
V = r2· g V = r2· H
Reemplazando (1): 2 · 2K rV r
2 3
2r KV
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761760 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos
Prob. 14
En un cilindro de revolución, la longitud de lageneratriz es el
triple de la longitud del radiode la base. En una de las bases se
traza la cuer-da AB de 2 3 cm de longitud y dista delcentro de
dicha base 3 cm.
a) Calcular el radio de la base del cilindro.
b) Calcular el área de la superficie total del ci-lindro.
c) Calcular el volumen del cilindro.
Construimos el gráfico y ubicamos los da-tos del problema:
a) En la base inferior trazamos la cuerda AB .
Por el dato: AB 2 3
También del dato: OM = 3Como «M» es punto medio, entonces:
AM MB 3
En el AMO: 22 2(AO) 3 3
AO 2 3
Es decir: 2 3R
b) Por otro lado por condición del proble-ma, tenemos:
AC = 3R AC 6 3
El área total (ST) está dado por:
ST = 2R(g + R)
T 2 (2 3)(8 3)S
ST = 96 cm2
c) El volumen (V) está dado por:
V = R2 · g 2(2 3) · 6 3V372 3 cmV
Prob. 15
Un cilindro recto se encuentra inscrito en unprisma recto de
base cuadrada, cuyas basesestán contenidas en las bases del prisma.
Si laaltura del prisma mide 10 y la diagonal de labase mide 12 2
.
a) Calcular el radio de la base del cilindro.
b) Calcular el volumen del cilindro.
Construimos el gráfico según condicionesdel problema:
a) Como la base del prisma recto es un cua-drado y su diagonal
mide 12 2 , entoncesdeducimos que: L = 12.Sea «R» el radio de la
base del cilindro,entonces:
2LR 12 62R
b) Como sabemos que el volumen del cilin-dro (V) está dado
por:
2V R g 2(6) 10V
= 360V
Prob. 16
Un cilindro de 30 cm de radio y 50 cm de alturaestá
completamente lleno de agua si dentro deél se introduce un trozo de
madera labrado enforma de prisma de base cuadrada de 10 cm delado y
cuya altura es de 20 cm, el agua se de-rrama. Calcular la cantidad
de agua que se que-da en el recipiente.
Sea: 2H O
V el volumen de agua, luego:
2H O CILINDRO PRISMAV V V
2
2 2 3H O (30) 50 10 20 139,372 cmV
1 Lt = 1000 cm3
2H O
139,372V L
Prob. 17
Se tiene un tronco de cilindro de revolucióncuyas generatrices
mínima y máxima miden 2 y8, que está circunscrita a una esfera.
a) Calcular el radio de la base del tronco.
b) Calcular el volumen del cilindro.
Graficamos el tronco del cilindro e inscri-bimos en él la
esfera:
a) Sea «R» el radio de la base del tronco decilindro.
En el ABCD, por el teorema de Pitot:
AB + CD = BC + AD
2 + 8 = BC + 2R BC = 10 – 2R
Trazamos BE CD BE = 2R y CE = 6
En el BCE: (10 – 2R)2 = (2R)2 + 62
Efectuando: 85R
b) El volumen del tronco (VT) está dado por:
TV R2 AB CD2 TV28 2 8·5 2
T645V
Prob. 18
En la figura mostrada se tiene un prisma rectoABC-A’B’C’ cuyas
bases son triángulos rec-tángulos rectos en B y B’. El semicilindro
estáinscrito en el prisma, siendo O y O’ los centrosde las bases.
Si: AB = 3, BG = 4 y OO’= 7.
a) Calcular el radio de la base del semicilindro.
b) Calcular el volumen del semicilindro.
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763762 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos
Consideremos que sea «O» el centro de labase semicircular:
a) En la base superior ABC trazamos:
ON BC y OM AB
Como: BC = 4 y AB = 3 (Dato)
mCAB = 53º
Sea: ON = OM = R, entonces: AM = 3 – R
En el AMO: 4 123 3 7R RR
b) Sea «V» el volumen del semicilindro, en-tonces:
21 (AA')2
V R
21 12· · 72 7V
727V
Prob. 19
La curva de longitud mínima trazada entre «A»y «B» (sobre una
misma generatriz) que da unavuelta completa en torno a un cilindro
recto deradio 1 y de altura 2, tiene por medida «L».Calcular su
longitud.
Graficamos el cilindro recto y su desarro-llo lateral:
Al desarrollar la superficie lateral del ci-lindro se obtiene el
rectángulo ADBC, don-de la diagonal AB = L, es la mínima longi-tud
de la curva AB.
En el ACB: L = 24 4
22 1L
Prob. 20
Se tiene un cilindro de resolución cuyo radiode la base mide 40
cm y la altura es de 30 cm. Setraza un plano paralelo al eje y que
pasa a24 cm del eje.a) ¿Qué figura es la sección obtenida por
di-
cho plano?b) Calcular el área de la sección obtenida.
Elaboremos el gráfico que represente lascondiciones del
problema:
a) La sección determina la cuerda AD enel círculo de la base y
como es perpendicu-lar a dicha base, entonces:
CD AD
Análogamente AB AD , y como AB = CD,entonces la figura ABCD será
un rectángulo.
b) Por dato OM = 24 (Distancia del eje a lasección).
En el AMO: (AM)2 + 242 = 402
AM = 32
Pero sabemos que: AM = MD
AD = 64
Finalmente: ( ABCD) 64 30A2
( ABCD) 1920 cmA
Prob. 21
Una población tiene 5000 habitantes que con-sumen en promedio
por persona 12 litros deH2O diariamente, determinar el radio de la
basede un pozo cilíndrico que abastezca a la pobla-ción y que tenga
además capacidad para unareserva de 25% del consumo diario y tal
que laaltura sea 4 veces el diámetro.
Si una persona consume 12 litros diarios,entonces 5000 personas
consumirán:
5000· 12 = 60000 litros
El 25% de 60000 es: 25 60 000 15000100L
Luego el pozo deberá tener un volumen de:
V = 60000 + 15000
Donde: V = 75000 L
Como: V = R2 . 8R = 8R3
8R3 = 75000 L = 75 m3
31 75 m2R
Nota.- 1000 L = 1 m3
Prob. 22
En un cilindro de revolución se encuentra ins-crito un hexaedro
regular, calcular el volumendel cilindro; si la distancia del punto
medio deuna de la generatrices que pertenece al hexae-dro hacia la
diagonal de dicho hexaedro queno se intersecta con dicha generatriz
es 2.
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765764 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos
Sean R y h; el radio de la base y la alturadel cilindro, veamos
en el gráfico:
Entonces el volumen del cilindro:
VC = R2h . . . (1)
Del gráfico se observa que:
MN = AO = R
Por dato: MN = 2
R = 2
En el cuadrado ABCD: AD = R 2
Es decir: AD = 2
Además: h = AD = 2
Reemplazando en (1): VC = ( 2 )2· 2
VC = 4
Prob. 23
Un octaedro regular está inscrito en un cilindrode revolución;
de tal manera que dos de suscaras opuestas están inscritas en las
circunfe-rencias que limitan las bases del cilindro, calcu-lar la
razón de volumen de ambos sólidos.
Sea «a» la arista del octaedro y «R» el ra-dio de la base del
cilindro.
Sabemos que: OB = 36a = PQ
También: AQ = 33a
AP = AQ – PQ
De donde: AP = 36a
En el APB:
22
2 2 3AB AP 32 6a ah
63
ah
Luego el volumen del octaedro es:3
o2 3
aV
Y el volumen del cilindro es:2 32
c3 6 6
3 3 9a a aV R H
= oc
3
VV
Prob. 24
En un octaedro circular recto regular E-ABCD-F;se inscribe un
cilindro circular recto de modoque sus bases estén contenidas en
dos carasopuestas del octaedro. Si la arista del octaedroes «L»,
calcular el volumen del tronco de cilin-dro que determina el plano
BED.
La arista del octaedro es «L», entonces por
propiedad; OQ = 63L , ya que «O» y «Q»
son centros de dos caras opuestas.
Luego por la simetría de la figura a partirdel plano diagonal
BEDF, deducimos que:
OP = PQ = 66L
Ahora en el ABF equilátero:
AF = 2R 3
L = 2R 3
R = 2 3L
Luego el volumen del tronco de cilindro:
VTC = R2· OP
Reemplazando: 3
TC 12 6LV
Prob. 25
En un vaso que tiene la forma de un cilindrorecto de revolución,
la altura es el doble deldiámetro de la base; si el vaso contiene
unlíquido que ocupa las 3/4 partes de su capaci-dad. Determinar el
ángulo que debe inclinarsedesde su posición normal hasta el
instante enque el líquido esté por derramarse.
Asumiendo que el diámetro es 2R, enton-ces la altura será:
4R.
La parte no ocupada por H2O es: V/4
Y al ser inclinado el cilindro «» la parteno ocupada por H2O
toma la forma de untronco de cilindro recto.
Luego: 24 2V aR
Pero: V =R2· 4R = 4R3
Luego: 34
4R =
2
2R a
Simplificando: a = 2R
Finalmente en el ABC, como:
AB = BC
= 45º
-
767766 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos
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768 Geometría 769Und. 12 – Cuerpos Redondos
01.- Calcular el área de la superficie lateral deun cilindro
recto cuyo radio básico mide 4 y sualtura 6.
A) 48 B) 84 C) 72 D) 81 E) 100
02.- Calcular el área total y volumen de un cilin-dro recto de
15 de radio y 45 de altura.
A) 900; 10125 B) 1800; 9125
C) 1800; 10125 D) 900; 528
E) 1800; 8125
03.- De la figura: AB es diámetro de la base delcilindro de
revolución que mide 10 y su gene-ratriz mide 8. Calcular el área
lateral del cilindro.
A) 40
B) 160
C) 20
D) 80
E) 100
04.- Calcular el volumen de un cilindro recto, sisu generatriz
es el doble del radio de la basesiendo éste de longitud 3.
A) 52 B) 54 C) 60 D) 64 E) 72
05.- El radio de la base de un cilindro circularrecto mide 2 y
es la tercera parte de la medidade su altura. Calcular el volumen
del cilindro.
A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36
06.- Calcular el volumen del cilindro mostrado,si: AB 2 2 .
A)
B) 2/
C) 2
D) 2/3
E) 3
07.- De la figura, calcular el volumen del cilin-dro de
revolución, si: 1OO 10 3 , AB esdiámetro de la base.
A) 150
B) 1000 3
C) 400
D) 250 3
E) 200 3
08.- Calcular el volumen de un cilindro equilá-tero de altura
«a».
A) 3
2a B)
3
3a C)
3
4a D)
3
5a E)
3
6a
09.- De la figura, calcular el volumen del cilin-dro de
revolución, si AB y CD son diámetrosde las bases del cilindro, OC 5
2 .
A) 125
B) 250
C) 100
D) 100 2
E) 50 2
-
771770 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos
23.- Un vaso cilíndrico de diámetro «d» y altu-ra «h» está lleno
de agua. Si se vierte esta aguaen otro vaso de diámetro «2d»,
¿hasta qué al-tura «H» subirá el agua?
A) 2h B) 6
h C) 4h D) 12
h E) 16h
24.- Calcule el área de la superficie lateral delcilindro
mostrado.
A) a2 B) 2
2a C)
2
3a D)
2
4a E)
2
16a
25.- Calcular (en u3) el volumen de un cilindrorecto de
revolución de 64 u2 de área total si:1 1 1
4r h , siendo r: radio de la base y h: altura
A) 100 B) 112 C) 128 D) 136 E) 140
26.- En la figura se muestra un cilindro dondeAB es su
generatriz. «O» es el centro de la base.AC = 17 y AO 241 . Calcular
el área totaldel cilindro.
A) 148
B) 144
C) 146
D) 150
E) 152
27.- Se tienen dos cilindros circulares rectossemejantes, los
cuales tienen por volúmenes:54 y 128. Calcular la relación en que
se en-cuentran sus áreas laterales.
A) 94 B) 34 C)
916 D)
97 E)
316
28.- En el cilindro de revolución mostrado1BO 101 cm, 2O M 26
cm, PM = MQ.
Calcular el volumen del cilindro.
A) 4cm3
B) 10cm3
C) 6cm3
D) 18cm3
E) 20cm3
29.- En un cilindro de revolución las genera-trices AB y CD son
diametralmente opues-tas (B y C en una misma base), en el arco BC
seubica el punto «P». Si: 2(AB)2 + (BC)2 = 20,calcule: (AP)2 +
(PD)2
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
30.- En el gráfico se muestra un cilindro de re-volución. Si se
cumple: AH = 2(HB) = 6u, ade-más. EB = BC, calcular el volumen del
cilindro.
A) 381 3 u
B) 360 3 u
C) 350 3 u
D) 330 3 u
E) 320 3 u
31.- En un cilindro de revolución se inscribe unprisma
cuadrangular regular. Calcular la razónde volúmenes de dichos
sólidos.
A) 2 B) 3 C)
4 D)
5 E)
7
32.- Un cilindro circular recto está inscrito enun prisma
triangular regular. ¿Qué relación exis-te entre las áreas de las
superficies laterales dedichos sólidos?
A) 9 3 B) 2 2
C) 3 3 D) 6 3 E)
3 32
10.- El desarrollo de la superficie lateral de uncilindro
circular recto es un rectángulo de di-mensiones 4 y 6. Calcular el
área lateral delcilindro.
A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
11.- El desarrollo de la superficie lateral de uncilindro recto
es un cuadrado de diagonal 4 2.Calcular el área lateral del
cilindro
A) 8 B) 16 C) 32 D) 24 E) 64
12.- Calcular el área lateral de un cilindro recto,si el área de
su rectángulo generador es «A».
A) 2A B) A C) 12A D) 3A E) 13 A
13.- Calcular el volumen de un cilindro circularrecto; de altura
«h» y la longitud de la circunfe-rencia de la base «L».
A) 2
L h B)
2
2L h C)
2
3L h D)
2
4L h E)
2
5L h
14.- Calcular el volumen de un cilindro recto enel cual la
longitud de su circunferencia es «L»y el área del rectángulo
generador es «S».
A) S · L B) 3S L C)
2S L D)
4S L E)
5S L
15.- De la figura, evaluar el área de la superficielateral del
cilindro de revolución, si su gene-ratriz mide 8 y AC = 3. ( AB es
diámetro de subase).
A) 8 3
B) 16 3
C) 24 3
D) 32 3
E) 12 3
16.- Calcular el área total del cilindro de revolu-ción, si: AC
= 4, OO1 = 6 («O» y «O1» soncentros de su base).
A) 8( 3 2)
B) 8( 2 3)
C) 8(2 3 3)
D) 8(3 2 2)
E) 8( 5 1)
17.- ¿Qué volumen de tierra tendrá que extraersepara hacer un
túnel de 100 m de largo, siendo susección recta un semicírculo de
diámetro 10 m?
A) 1250m3 B) 250m3 C) 2500m3
D) 5000m3 E) 500m3
18.- Calcular el volumen de un cilindro de revolu-ción si su
altura mide 20 y el desarrollo de la su-perficie lateral del
cilindro tiene un área de 200.
A) 250 B) 450 C) 500 D) 550 E) 600
19.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos ca-tetos miden 7 y
24. La circunferencia inscrita esla base de un cilindro de altura
igual a la hipote-nusa del triángulo rectángulo. Calcular el
volu-men del cilindro.
A) 215 B) 225 C) 220 D) 230 E) 600
20.- Un vaso cilíndrico cuyo diámetro mide 20y su altura 40,
está lleno de agua. Si se vierteesta agua en otro vaso, cuyo
diámetro mide 40,¿a qué altura llegará el agua?
A) 5 B) 8 C) 10 D) 20 E) 40
21.- En un recipiente cilíndrico se introduce uncuerpo y el
nivel de agua que contiene se elevaen 4. Si el radio de la base del
recipiente es 2,calcular el volumen del cuerpo.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16
22.- Se tiene un recipiente cilíndrico, cuya basetiene un radio
igual a 4 u. El recipiente tiene unacierta cantidad de agua. Al
introducir un blo-que metálico se observa que el nivel del aguasube
2 u. Calcular el volumen del bloque.
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
-
772 Geometría
01A
09A
17A
25C
33B
02C
10E
18C
26E
34D
03D
11B
19B
27C
35E
04B
12A
20C
28B
36D
05C
13D
21E
29D
37A
06C
14C
22E
30A
38C
07B
15B
23C
31A
08C
16D
24B
32E
CLAVES
39D
40C
33.- Calcular la relación entre los volúmenes deun cilindro de
revolución y un prisma triangu-lar regular, si los desarrollos de
sus superficieslaterales son congruentes.
A) 3 2 B) 3 3 C) 3 3
D) 3 E) 2 3
34.- Una población tiene 5000 habitantes queconsumen en promedio
por persona 12 litrosde agua diariamente. Determinar el radio de
labase de un pozo cilíndrico que abastezca a lapoblación y que
tenga capacidad para una re-serva de 25% del consumo diario y tal
que laaltura del pozo sea cuatro veces el diámetro dela base.
A) 3 25
B) 3 755
C) 3 75
D) 31 752 E) 31 25
2
35.- Un tanque cilíndrico cuyo diámetro mide4 3 y su altura 12,
tiene sus cinco sextas par-tes con vino. Desde su posición inicial
se incli-na el tanque hasta que el vino esté a punto decaer por el
borde. Calcular la medida del ángulode inclinación.
A) 30º B) 45º C) 53º D) 37º E) 60º
36.- Calcular el volumen de un cilindro circularrecto
circunscrito a un octoedro regular cuyaarista mide 2 . Además dos
vértices opues-tos de dicho octoedro están ubicados en loscentros
de las bases del cilindro.
A) B) 2 C) 3
D) 2 E) 2
37.- Un cilindro recto de radio «R» y altura «H»que contiene un
líquido, se pone en posiciónhorizontal sobre el suelo. Si el
líquido alcanzauna altura «h» (desde el suelo), determinar elárea
de la capa superior del líquido.
A) 22 2H Rh h B) 22 2h RH h
C) 22 2h RH H D) 22 2R Hh h
E) 22 2R hH H
38.- Calcular el área de la sección recta de uncilindro oblicuo,
si el área de la base es 100 y lageneratriz forma con la base un
ángulo de 60º.
A) 100 B) 50 C) 50 3
D) 50 2 E) 60
39.- Un tronco de cilindro circular recto está cir-cunscrito a
una esfera; si las generatrices máxi-ma y mínima miden 6 y 3
respectivamente, calcu-lar el área de la superficie lateral del
tronco.
A) 24 B) 26 C) 27
D) 18 E) 36
40.- Calcular el volumen de un cilindro oblicuocuya generatriz
forma un ángulo que mide 60ºcon la base y la altura mide el doble
de lo quemide el radio de la sección recta, siendo esteigual a 4 3
.
A) 383 B) 400 C) 768
D) 540 E) 349