12.05.13 sem raio sem área

UAB – Universidade Aberta do BrasilUFF - Universidade Federal Fluminense (UFF)

NTEM - Especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática (2.012)Lante - Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino

Sem raio ... Sem área ...

Disciplina: Informática Educativa II Aluno: Luiz Francisco Batista SampaioTutora: Mary Jane Fernandes Sant Anna

Objetivos

Conhecer as diferentes figuras derivadas de um círculo: setor circular e segmento circular e o cálculo da área;

Conhecer a construção de uma cora circular e o cálculo de sua área;

Introdução

Quando construímos duas circunferências de raios diferentes e que compartilham o mesmo centro, a diferença entre as áreas denominou de coroa circular.

Para o cálculo da área de uma coroa circular de raio R e r onde R > r, utilizamos a seguinte relação:

Vemos que a diferença entre o quadrados dos raios influenciam na área da coroa circular.

Pesquise as fórmulas para o calculo da área do setor circular e do segmento circular e note a dependência do conhecimento do raio para o calculo da área.

Neste ponto temos algo para pensar: sempre que temos um problema envolvendo o calculo da área de um círculo, ou parte dele temos que, necessariamente, conhecer a o raio do círculo?

Vamos resolver um problema onde utilizaremos uma construção no software Régua e Compasso (R. e C.) para entender oque está ocorrendo.

Situação Problema

O João resolve fazer uma corrida para treinar o seu cão, numa pista circular de raio R. O cão está preso por uma guia AB que está sempre esticada.

(a) Que tipo de curva descreve o ponto médio M da guia?

(b) Qual a área da região de cor vermelha, representada na figura quando traçamos a curva descrita pelo ponto M?

Solução

(a) Que tipo de curva descreve o ponto médio M da guia?

Para auxiliar a visualização abra o software Regua e Compasso.

Construa um circunferência de raio qualquer. Denomine

o ponto do centro de O e o outro ponto de A. Edite esta circunferência de forma que ela tenha a cor vermelha e que seja preenchida.

Construa um circunferência de raio qualquer. Denomine o ponto do centro de O e o outro ponto de A. Edite esta circunferência de forma que ela tenha a cor vermelha e que seja preenchida;

Crie um ponto nesta circunferência e chame de B. Crie um segmento AB, movimente o ponto A ou o ponto B de forma que o segmento AB seja uma corda desta circunferência e diferente do diâmetro. Edite o segmento AB de forma que tenha uma espessura mais grossa e que seja na cor azul.

Encontre o ponto médio M do segmento AB. Crie dois segmentos OA, OM e OB, que é o raio R da pista, edite estes segmentos para uma linha pontilhada.

Note pelo desenho que conforme João no ponto A se movimenta o seu cão no ponto B se movimenta na mesma velocidade para manter a guia esticada conforme a condição do problema. Então a distância OM permanece a mesma, descrevendo portanto uma circunferência concêntrica a circunferência da pista.

(b) Qual a área da região de cor vermelha, representada na figura quando traçamos a curva descrita pelo ponto M?

Partindo da construção realizada no item (a)

Construa uma circunferência de centro em O e raio OM, edite esta circunferência para que tenha preenchimento. Observe que construímos uma coroa circular e temos que calcular a área.

Do que foi descrito acima temos então dois triângulos retângulos iguais, quando traçamos o segmento OM, o triângulo AMO e o triângulo BMO.

Determinando OM pelo Teorema de Pitágoras 

 Considerando a medida AB (comprimento da guia) temos AM mede AB/2 e sabemos que AO é o raio R da pista temos:

Para calcular a área de cor castanha temos que determinar a área desta coroa circular: 

 Observe que a área em vermelho não depende do raio R da pista, mas é depende do comprimento da guia AB.

Movimente o ponto A ou o ponto B na construção sobre a circunferência e note o que ocorre: quanto menor a guia, maior é a área em vermelho. Quanto maior a guia, menor é a área em vermelho desde que AB < R, se AB = R a área é nula. 

Portanto não importa se a medida da guia seja: 2m, 4m ou 1000m, segundo as condições do problema o cálculo é o mesmo.

Se a constelação de Órion treinar com a constelação de Cães de Caça numa pista circular cujo raio R seja a distância da Terra com o centro da galáxia seguindo as condições deste problema, ainda sim a área dependeria do comprimento da guia.

Referência

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar 9 – Geometria Plana. 7º ed. São Paulo: Editora Atual, 1.997.

PROJECTO POLYA. Probelma: Treinar o cão. Disponível em: < http://cmup.fc.up.pt/cmup/polya/Problema%20geometrico%201/index.html >. Acessado em: 09 de maio de 2.012.