-
123511
Szczególna Teoria Wzglȩdności3512
12.1 Stan fizyki przed 19053513
12.1.1 Szczególna zasada wzglȩdnosci3514
Pod koniec XIX w. panowało powszechne przekonanie, ze mechanika
jest teoria ostateczna i3515ze wszelkie zjawiska fizyczne moga byc
zredukowane do opisu w ramach mechaniki. Jednym3516z zadan jakiego
podjeli sie fizycy tamtego okresu bylo uzyskanie maksymalnie
ekonomicznego3517opisu zjawisk poprzez odwolanie sie do minimalnego
zbioru logicznie niezaleznych postulatow.3518
Powszechnie akceptowalnym postulatem, lezacym u podstaw
mechaniki, byla zasada wz-3519glednosci Galileusza. Stwierdza ona,
ze jezeli na cialo nie działaja inne ciala to porusza sie3520ono
ruchem jednostajnym prostoliniowym. To stwierdzenie nie moze byc
sluszne w dowolnym,3521poruszajacym sie ukladzie odniesienia (np
nie stosuje sie w ukladach wirujacych). Uklady, w3522ktorych jest
ono sluszne nazywamy inercjalnymi. Wszystkie uklady inercjalne
poruszja sie3523wzgledem siebie ruchem jednostajnym i
prostoliniowym. Zasada wzglednosci Galileusza moze3524byc
przeformulowana jako tzw. szczegolna zasada wzglednosci
stwierdzajaca, ze prawa fizyki3525klasycznej sa spelnione we
wszystkich ukladach inercjalnych.3526
Transformacja matematyczna miedzy wspolrzednymi w dwoch roznych
ukladach inercjal-3527nych nazywa sie transformacja klasyczna lub
transformacja Galileusza. Okresla ona pre-3528cyzyjnie zwiazki
miedzy polozeniami i predkosciami mierzonymi tych ukladach
inercjalnych.3529Oznaczamy przez t, x czas i i wspolrzedne punktu
materialnego w ukladzie inercialnym S oraz3530przez t0, x0 czas i
wspolrzedne tego punktu w ukladzie inercjalnym S0 poruszjacym sie z
pred-3531
267
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
koscia V wzgledem S. Transformacja klasyczna ma postac:3532
t0 = t (12.1.1)
x0 = x�Vt (12.1.2)
Pierwsze prawo transformacyjne (12.1.1) okresla postulat
dotyczacy rownoczesnosci lezacy u3533podstaw calej fizyki
newtonowskiej. Prawo (12.1.2) wynika z intuicyjnego pojecia
dodawania3534polozen. Konsekwencja transformacji klasycznej jest
prawo dodawania predkosci wiazace3535v0 ⌘ dx0dt0 i v ⌘
dxdt i V majace postac:3536
v0 = v �V. (12.1.3)
12.1.2 Elektromagnetyzm Maxwella3537
Figure 12.1: James Clerk Maxwell (1831-1879)
James Clerk Maxwell (1831-1879) rozpoczal prace nad stworzeniem
teorii zjawisk elektro-3538magnetycznych w 1854. W tym samym roku
napisal list do przyjaciela Williama Thomsona3539obwieszczajac ze
”zamierza zaatakowac elektromagnetyzm”. Pierwsza z prac O Faradaya
lini-3540ach sily (1855) byla nieudana i przedstatwiala jakosciowy
hydrodynamiczny obraz osrodka bez3541odwolywania sie do matematyki.
W roku 1861 opublikowal rozprawe O fizycznych liniach sily,3542w
ktorej podjal probe zbudowania mechanicznego modelu pola
elektromagnetycznego. Praca3543ta zawiera elementy teorii pola
elektromagnetycznego rozwiniete nastepnie w kolejnej
pracy3544Dynamiczna teoria pola (1864-1865). Maxwell wprowadzil
pojecie przesuniecia elektrycznego3545
268
-
12.1 Stan fizyki przed 1905
w miejsce uzywanego przez Faradaya pojecia polaryzacji osrodka.
Zmiane przesuniecia elek-3546trycznego nazwal pradem
przesuniecia.3547
(a) (b)
Figure 12.2: On physical lines of force.
Obie prace zawieraja niezwykle istotna informacje. Maxwell
zauwazyl mianowicie, ze3548pojawiajacy sie w rownaniach pola
stosunek jednostek elektrycznych do magnetycznych ma3549wymiar
predkosci i co wiecej wartosc tej predkosci jest bardzo bliska
znanej wowczas wartosci3550eksperymentalnej predkosci swiatla.
Zakladajac, ze w osrodku, w ktorym istnieje przesuniecie3551moga
sie rozchodzic periodyczne fale poprzeczne takiego przesuniecia
Maxwell obliczyl pred-3552kosc tych fal uzyskujac wynik zblizony do
wartosci predkosci swiatla. Rezultaty prac teorety-3553cznych nad
elektrycznoscia doprowadzily go do hipotezy, ze swiatlo jest fala
elektromagnety-3554czna.3555
Maxwell pracowal w dalszym ciagu nad udoskonalemiem swojej
teorii i w 1873 wydal3556obszerne dzielo Treatise on Electricity
and Magnetism, w ktorym mozna odnalezc ostateczna3557postac rownan
pola elektromagnetycznego. W odroznieniu od poprzednich prac w
traktacie3558nie budowal juz zadnych modeli pola
elektromagnetycznego. Swoje rownania pola otrzymal3559przyjmujac
hipoteze o pradzie przesuniecia oraz pojecie tzw stanu
elektronicznego. W stanie3560elektronicznym zmiana pola
magnetycznego wywoluje powstanie wirowego pola
elektrycznego.3561
Rownania Maxwella w postaci przedstawionej w traktacie nie maja
dokladnie formy powszech-3562nie dzis uzywanej. W szczegolnosci
Maxwell nie poslugiwal sie rachunkiem wektorowym a za-3563
269
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
(a) (b)
Figure 12.3: (a) Predkosc swiatla i stosunek jednostek
elektromagnetycznych. (b) Treatiseon Electricity and Magnetism
(a)
Figure 12.4: Rownania Maxwella.
miast tego niektore rownania sa zapisane z uzyciem notacji
kwaternionowej. Obecnie uzywana,3564wektorowa postac rownan
Maxwella zostala podana przez Olivera Heavisidea
(1850-1925),3565
270
-
12.1 Stan fizyki przed 1905
(a)
Figure 12.5: Rownania Maxwella.
(a)
Figure 12.6: Oliver Heaviside (1850-1925).
co w znacznej mierze przyczynilo sie do popularyzacji teorii
Maxwella. Nalezy podkreslic, ze3566Maxwell nie zdawal sobie sprawy
z fundamentalnoci teorii, ktora stworzyl. W szczegolnosci3567byl on
do konca przekonany, ze u podstaw elektromagnetyzmu lezy pojecie
osrodka materi-3568alnego odpowiedzialnego za przenoszenie fal
elektromagnetycznych. Taki osrodek nazwano3569eterem. Stalą o
wymiarze predkosci pojawiająca sie w równaniach Maxwella
zinterpretowano3570jako predkosc sygnalow elektromagnetycznych w
eterze.3571
271
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
12.1.3 Problemy z elektromagnetyzmem3572Szybko sie okazalo, ze
skadinad swietnie zgadzajaca sie z doswiadczeniami teoria zjawisk
elek-3573tomagnetycznych Maxwella prowadzi jednak do pewnych
fundamentalnych problemow po-3574jeciowych:3575
1. Problemu ze stworzeniem mechanicznego modelu eteru,3576
2. Problemu z brakiem kowariancji rownan Maxwella wzgledem
transformacji klasycznej.3577
12.1.3.1 Eter3578
Istnienie substancji przenoszacej drgania elektromagnetyczne
wydawalo sie w owych czasach3579czyms zupelnie naturalnym. Zjawiska
falowe takie jak rozchodzenie sie dzwieku stanowily pod-3580stawe
pod konstrukcje analogii mechanicznej dla fal elektromagnetycznych.
Wielu powaznych3581uczonych pisalo prace poswiecone stworzeniu
modelu eteru. Zaliczaja sie do nich miedzy in-3582nymi: Augustin
Cauchy, George FitzGerald, Goeorge Green, Oliver Heaviside, Herman
Helmholtz,3583Gustav Kirchhoff, Joseph Larmor, Hendrik Lorentz,
James Mac Cullagh, James Clerk Maxwell,3584Arnold Sommerfeld,
George Stokes, William Tomson (Kelvin). Jednym z pytan, na ktore
probowano3585odpowiedziec brzmialo: czy poruszjace sie obiekty
unosza ze soba eter?3586
• Zakladajc, ze eter jest unoszony mozemy wyobrazic sobie
laboratoruim S0 o przeźroczystych3587scianach, w ktorym znajduje
sie zrodlo swiatla. Jezeli takie laboratorium porusza
sie3588wzgledem zewnetrznego obserwatora S ze stala predkoscia V to
predkosc swiatla obser-3589wowana w S bedzie suma wektorowa
predkosci swiatla w eterze i predkosci laboratorium3590pod
warunkiem, ze obowiazuja prawa mechaniki klasycznej. Oznacza to, ze
pred-3591kosc obserwowalna swiatla powinna zalezec od ruchu zrodla.
Wniosek ten pozostaje3592w jawnej sprzecznosci z doswiadczeniem.
Rozwoj teorii i kolejne wyniki doswiadczalne3593sprawily, ze uczeni
doszli do wniosku, iz swiatlo porusza sie w pustej przestrzeni z
ta3594sama predkoscia c niezaleznie od barwy swiatla i ruchu jego
zrodla („c-zasada”). Nad-3595mieńmy jeszcze, ze gdyby predkosc
swiatla zalezala od ruchu zrodla to obrazy ciasnych3596ukladow
podwojnych gwiazd powinny byc duzo bardziej zagmatwane niz sie w
rzeczy-3597wistosci obserwuje.3598
• Zalozeniem przeciwstawnym jest przyjecie, ze eter nie moze byc
unoszony. W takim3599przypadku jego uklad spoczynkowy jest
wyrozniony (co pozwala na wprowadzenie po-3600jecia ruchu w eterze)
i nie obowiazuje zasada Galileusza. Oznacza to, ze istnieje
ruch3601absolutny (a nie wzgledny) i ze istnieje uklad, w ktorym
prawa przyrody sa inne niz w po-3602zostalych. Kazdy obserwator
moze stwierdzic czy pozostaje on w ruchu czy w spoczynku3603
272
-
12.1 Stan fizyki przed 1905
wzgledem ukladu eteru. Predkosc swiatla powinna zatem zalezec od
ruchu obserwa-3604tora. Probem zmierzenia predkosci swiatla jako
funkcji predkosci obserwatora zostala3605podjeta w 1887 przez
Alberta Abrahama Michalesona i Edwarda Morleya. Wyniki3606tej pracy
zostaly zaprezentowane w artykule On relative motion of Earth and
relative lu-3607miniferus ether w czasopismie American Journal of
Science 34 , 333 (1887). Autorzy3608zmierzyli, ze predkosc swiatla
nie zalezy od ruchu obserwatora (w tym przypadku3609Ziemi).3610
• Oba skrajne zalozenia prowadza do niezgodnosci z danymi
eksperymentalnymi. Fizycy3611probowali uratowac teorie eteru
postulujac, ze eter jest unoszony tylko czesciowo. Mod-3612ele te
jednakze popadly rowniez w sprzecznosc z doswiadczeniem.3613
W tej sytuacji trzeba odrzucic pojecie eteru i rozpoczac
konstrukcje nowej teorii, ktora3614bylaby zgodna z nastepujacymi
faktami doswiadczalnymi:3615
1. Predkosc swiatla w prozni ma zawsze normalna wartosc, ktora
nie zlezy od ruchu zrodla3616ani odbiornika swiatla.3617
2. W dwoch ukladach inercjalnych wszystkie prawa przyrody sa
scisle takie same i nie ma3618sposobu wyroznienia bezwzglednego
ruchu jednostajnego.3619
12.1.3.2 Kowariancja rownan Maxwella3620
Zauwazmy, ze prawo dodawania predkosci wynikajace z
transformacji klasycznej, pozostaje w3621sprzecznosci z pierwszym
faktem dotyczacym stalosci predkosci swiatla. Nie byl to
jedyny3622problem dotyczacy transformacji klasycznej. Wszystkie
eksperymenty dotyczace elektromag-3623netyzmu potwierdzaja
slusznosc stwierdzenia, ze rownania Maxwella maja taka sama postac
w3624dwoch roznych ukladach inercjalnych. Innymi slowy w rownaniach
nie obserwuje sie nowych3625czlonow zaleznych od ruchu
laboratorium, w ktorym wykonywane sa eksperymenty
elektro-3626magnetyczne. Jest zatem czyms zupenie naturalnym
oczekiwac, ze zastosowanie transforma-3627cji wiazacej wspolrzedne
w dwoch roznych ukladach inercjalnych przeprowadzi uklad
rownan3628Maxwella w rownowazny mu uklad rownan majacy te sama
forme (wartosci pol i wspolrzed-3629nych moga sie oczywiscie
roznic). Okazalo sie jednak, ze tak nie jest! Transformacja
klasyczna3630nie przeprowadza rownan Maxwella w rownania Maxwella.
Wynika stad, ze transformacja3631klasyczna:3632
• pozostaje w sprzecznosci ze stalym charakterem predkosci
swiatla,3633
• nie pozwala na zachowanie kowariancji rownan Maxwella.3634
273
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
Jedynym wyjsciem w tej sytuacji jest odrzucenie formy
transformacji klasycznej i poszuki-3635wanie takiej transformacji,
ktora pozostanie w zgodzie z wymienionymi faktami.3636
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci3637Szczegolna teoria
wzglednosci zostala zaproponowana przez Einsteina jako proba
wyjscia z3638niezadowalajacej sytuacji, do ktorej doprowadzila
konfrontacja zjawisk elektromagnetycznych3639z mechanika klasyczna.
Praca Einstaeina z 30 czerwca 1905 opublikowana Annalem der
Physik3640stanowila przelom w pogladach na przestrzen i czas. Sama
praca ma gleboki zwiazek z elektro-3641dynamika o czym swiadczy jej
tytul O elektrodynamice cial w ruchu. W swojej pracy
Einstein3642przyjal dwa postulaty pozostajace w bezposrednim
zwiazku z faktami doswiadczalnymi:3643
1. Predkosc swiatla w prozni jest jednakowa we wszystkich u.w.
inercjalnych.3644
2. Wszystkie prawa przyrody sa jednakowe we wszystkich u.w.
inercjalnych.3645
Transformacja wiazaca wspolrzedne w dwoch roznych ukladach
inercjalnych nie jest trans-3646formacją klasyczną lecz inną
transformacją majacą postac gwarantujaca spelnienie
postulatu3647stalosci predkosci swiatla. Transformacja ta jest
znana jako transformacja Lorentza.3648
Figure 12.7: O elektrodynamice cial w ruchu.
274
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
12.2.1 Równoczesność3649Postulat o stalosci predkosci swiatla
stanowi rezyngacje z pojecia rownoczesnosci absolutnej3650(12.1.1)
gdyz zalozenia c0 = c i t0 = t prowadza do sprzecznosci logicznej.
Rezygnacja z3651absolutnego charakteru czasu sprawia, ze nalezy go
traktowac nie jako parametr zewnewtrzny3652lecz jako wspolrzedna,
ktora podlega transformacji w zaleznosci od ruchu obserwatora.
Po-3653jecie rownoczesnosci zalezy zatem od obserwatora. Kazdy z
obserwatorow definiuje swoj3654wlasny czas. Zbior zdarzen majacych
te sama wartosc wspolrzednej czasowej w danym uk-3655ladzie stanowi
powierzchnie rownoczesnosci. Efektami relatywistycznymi majacymi
swe zrodlo3656w nieistnieniu rownoczesnosci absolutnej sa:3657
• skrocenie Lorentza-FitzGeralda,3658
• dylatacja czasu.3659
12.2.2 Czasoprzestrzeń3660Jedną z niewatpliwych zalet
Szczególnej Teorii Wzglednosci jest mozliwosc jej
geometryza-3661cji co daje glebszy wglad w jej strukture i ulatwia
zrozumienie. Pojeciem pierwotnym beda-3662cym odpowiednikiem punktu
w geometrii Euklidesa jest pojecie zdarzenia.
Czasoprzestrzen3663jest zbiorem wszystkich zdarzen niosacych
informacje o tym „kiedy’ i „gdzie” niezaleznie od3664tego „co” sie
zdarzylo. Czasoprzestrzen jest zatem zbiorem etykiet. Jezeli taki
zbior zostanie3665wyposazony w strukture to wowczas bedziemy mogli
mowic o modelu matematycznym czaso-3666przestrzeni. Czasoprzestrzen
Szczegolnej Teorii Wzglednosci posiada strukture
czterowymi-3667arowej przestrzeni afinicznej czyli jednorodnej
przestrzeni, w ktorej zdefiniowana jest oper-3668acja translacji tj
„dodawania” wektorow i punktow.3669
12.2.2.1 Przestrzen afiniczna3670
Modelem czasoprzestrzeni Minkowskiego jest czterowymiarowa
przestrzen afiniczna (A,V)3671z iloczynem sklarnym g(. , .) gdzie A
oznacza zbior punktow oraz V jest czterowymiarowa3672rzeczywista
przestrzenia wektorowa. W przestrzeni afinicznej okreslone jest
odwzorowanie ”+”3673(translacja o wektor) przyporzadkowujace
punktom punkty3674
A⇥ V 3 (p,x) ! p+ x 2 A (12.2.4)
o wlasnosciach3675
1. dla kazdych dwoch punktow p, q 2 A istnieje dokladnie jeden
wektor x 2 V taki, ze3676p+ x = q,3677
275
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
2. p + (x + y) = (p + x) + y dla kazdego punktu p 2 A i kazdych
dwoch wektorow3678x,y 2 V.3679
Jesli wyroznimy pewien punkt p0
2 A i ustalimy baze e↵ w V, to kazdy punkt p 2 A moze3680byc
jednoznacznie przedstawiony jako translacja z p
0
o wektor x 2 V3681
p = p0
+ x = p0
+ x↵(p)e↵ (12.2.5)
gdzie wspolczyniki {x↵(p)}↵=0,1,2,3 sa wspolrzednymi
kartezjanskimi punktu p wzgledem bazy3682afinicznej (p
0
, e↵). Zadanie symetrycznej, nieosobliwej macierzy o
wyrazach3683
g↵� := g(e↵, e�) (12.2.6)
okresla iloczyn skalarny. Komplet liczb g↵� nosi nazwe
skladowych tensora metrycznego. Cza-3684soprzestrzen Szczegolnej
Teorii Wzglednosci jest to plaska czasoprzestrzen
Minkowskiego.3685Skadowe tensora metrycznago tej czasoprzestrzeni
we wspolrzednych kartezjanskich przyjmuja3686postac3687
g↵� ⌘ ⌘↵� =
0BBBB@1 0 0 0
0 �1 0 00 0 �1 00 0 0 �1
1CCCCA . (12.2.7)Nowe wspolrzedne (wspolrzedne krzywoliniowe)
mozna wprowadzic jako dyfeomorfizm3688
x̃↵ = x̃↵(x0, . . . , x3), ↵ = 0, . . . , 3 (12.2.8)
tj. odwzorowanie przynajmniej raz rozniczkowalne w sposob
ciagly, i majace odwzorowanie3689odwrotne takze przynajmniej raz
rozniczkowalne w sposob ciagly.3690
12.2.2.2 Przestrzen styczna3691
Niech x bedzie wektorem wodzacym punktu p. Wektor ten moze byc
przedstawiony jako3692funkcja wspolrzednych x̃↵ tj. x = x(x̃0, . .
. , x̃3). W danym punkcie p mozna wprowadzic3693przestrzen styczna
T(p) zadajac, by kazdemu ustalonemu ukladowi wspolrzednych w O ⇢
A3694odpowiadala pewna baza {e↵(p)}↵=0,...,3 w taki sposob, ze
jezeli dwa uklady wspolrzednych3695zwiazane sa wzorami (12.2.8) to
pomiedzy odpowiadajacymi im bazami {˜e↵(p)}, {e�(p)} za-3696chodzi
zwiazek3697
˜e↵(p) =@x�
@x̃↵(p)e�(p). (12.2.9)
276
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
Wektory bazy krzywoliniowej {˜e↵(p)} w przestrzeni T(p) moga byc
otrzymane w wyniku3698rozniczkowania wektora wodzacego x3699
˜e↵(p) :=@ x
@x̃↵(p). (12.2.10)
Skoro wektor jest obiektem geometrycznym (niezaleznym od ukladu
wspolrzednych) to skad-3700owe wektora stycznego v = ṽ↵˜e↵ = v�e�
musza sie transformowac w nastepujacy sposob3701
ṽ↵ =@x̃↵
@x�(p)v� . (12.2.11)
Sprawdzmy3702
ṽ↵˜e↵ = v� @x̃
↵
@x�@x�
@x̃↵e� = v
����e� = v�e� .
12.2.3 Diagramy Minkowskiego3703Narzedziem niezwykle uzytecznym
sluzacym do badania STW sa tzw diagramy Minkowski-3704ego. Diagramy
te stanowia przekroje czasoprzestrzeni (mapy dwu- lub
trojwymiarowe). Kazdemu3705zdarzeniu w czasoprzestrzeni odpowiada
czworka wspolrzednych (x0, x1, x2, x3) gdzie x0 ⌘3706ct. Historie
ruchu obiektow w czsoprzestrzeni maja postac krzywych, wsteg lub
hiper-wsteg3707w zleznosci od wymiarowosci poruszajacego sie
obiektu. Sa to: linie swiata dla punktow,3708wstegi swiata dla
obiektow jednowymiarowych i objetosci swiata dla obiektow dwu i
tro-3709jwymiarowych. Standardowe diagramy Minkowskiego zawieraja
zazwyczaj line i wstegi swiata.3710Stalosc predkosci swiatla
oznacza, ze na dowolnym diagramie jego bieg jest
reprezentowany3711przez linie proste tworzace katy ⇡/4 z osiami
diagramu. Osie na diagramie dwuwymiarowym:3712
• x0 - jest to z definicji oś świata obserwatora
inercjalnego,3713
• x1 - linia zbior zdarzen rownoczesnych ze zdarzeniem (0,
0).3714
Rozwazmy dwoch roznych obserwatorow inercjalnych S i S0.
Istotnym zagadnieniem jestkonstrukcja osi obserwatora S0 na
diagramie S i vice versa. Rozwazmy pierwszy przypadekw ktorym S0
porusza sie wzdluz osi x1 z predkoscia V . Os x00 jest dana jako
linia swiataobserwatora S0 czyli jest to prosta o kacie nachylenia
� przy czym
tan� = � ⌘ Vc.
Celem wyznaczenia osi x01 trzeba zidentyfikowac przynajmniej
jedno zdarzenie rownoczesne3715z (x0, x1) = (0, 0) = (x00, x01),
gdzie druga rownosc jest zalozeniem nie prowadzacym do3716straty
ogolnosci. Takie zdarzenie moze byc wyznaczone przeprowadzajac
eksperyment mys-3717lowy. Niech w S0 na jego osi w odleglosci x01 =
a znajduje sie zwierciadlo. Stalosc predkosci3718
277
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
Figure 12.8: Linie swiata czastek.
swiatla prowadzi do wniosku, ze sygnal swietlny wyslany z (x00,
x01) = (�a, 0) w kierunku3719zwierciadla osiagnie je w (x00, x01) =
(0, a) i po odbiciu sie wroci do (x00, x01) = (a, 0).3720Zdarzenie
odbicia sie swiatla jest reprezentowane przez przeciecie sie
promieni swietlnych. Na3721diagramie S promienie swietlne tworza
katy ⇡/4 z osiami (x0, x1). Ich przeciecie sie wyz-3722nacza
zdarzenie odbicia rownoczesne z (0, 0). Wspolrzedne w S tego
zdarzenia sa takie ze3723x0 6= 0. Oznacza to, ze os x01 tworzy
pewien kat z osia x1. Osie te maja interpretacje
linii3724rownoczesnosci. Brak pokrycia osi obrazuje nieistnienie
pojecia absolutnej rownoczesnosci, u3725ktorego podstaw lezy
stalosc predkosci swiatla. Stosujac elementarna geometrie mozna
poka-3726zac, ze kat miedzy osiami x1 i x01 ma rowniez wartosc
�.
(a) (b)
Figure 12.9: Konstrukcja osi x01.
3727
278
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
12.2.4 Geometria czasoprzestrzeni3728
12.2.4.1 Interwal3729
Geometria czasoprzestrzeni nie jest geometria Euklidesa. U
podstaw geometrii Euklidesa3730lezy pojecie odleglosci miedzy
punktami. Jest to wielkosc zdefiniowana jako dlugosc
wektora3731laczcego dwa punkty. Oznaczajac taki wektor przez �r
otrzymujemy wyrazenie na kwadrat3732dlugosci3733
�l2 ⌘ �r ·�r = (�x1)2 + (�x2)2 + (�x3)2 (12.2.12)
Wielkosc ta nie zalezy od wyboru ukladu wspolrzednych tzn. jest
niezmiennikiem wzgledem3734obrotow, translacji i odbic.
Niezmienniczosc ta jest konsekwencja symetrii przestrzeni
Euk-3735lidesa.3736
W przypadku czasoprzestrzeni rowniez istnieje wyrazenie
niezmiennicze utworzone z roznic3737wspolrzednych dwoch zdarzen.
Wyrazenie takie ma postac3738
�s2 ⌘ (�x0)2 � (�x1)2 � (�x2)2 � (�x3)2 (12.2.13)
i jest nazywane interwalem czasoprzestrzennym. Niezmienniczosc
interwalu ma swoje zrodlo3739w stalosci predkosci swiatla. Mozna to
zrozumiec rozwazajac prosty eksperyment myslowy.
(a) (b)
Figure 12.10: Doswiadczenie.3740
Dwa rownolegle zwierciadla znajduja sie w odleglosci �x2 = L
wzgledem siebie w ukladzie S.3741Miedzy zwierciadlami odbija sie
sygnal swietlny poruszjac sie po prostaj rownoleglej do osi
x2.3742Taki sygnal porusza sie po lini lamanej w innym ukladzie
inercialnym S0 majacym predkosc �V3743wzgledem S w kierunku osi x1.
Niech zdarzenia A, B, C koresponduja z kolejnymi
odbiciami3744sygnalu. Roznice wspolrzednych zdarzen A i C maja
nastepujeca wartosci:3745
279
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
• S :
�x0 ⌘ c�t = 2L, �x1 = �x2 = �x3 = 0
• S0 :
�x00 ⌘ c�t0 = 2
sL2 +
✓�x01
2
◆2
, �x01 =V
c�x00, �x02 = �x03 = 0
gdzie 2rL2 +
⇣�x012
⌘2
jest droga przebyta przez promien swietlny w S0 zas �x01 jest
wz-glednym przemieszczeniem ukladow w czasie potrzebnym na powrot
promienia. Przyjeto tuzgodnie z pierwszym postulatem, ze predkosc
swiatla w S0 wynosi c. Z wzorow tych wynikabezposrednio, ze
�s2 = 4L2 = �s02.
Dla zdarzen pozostajacych nieskonczenie blisko siebie wyrazenie
okreslajace interwal przyj-3746muje postac infiniteztmalna3747
ds2 ⌘ (dx0)2 � (dx1)2 � (dx2)2 � (dx3)2 (12.2.14)
= (dx0)2 � dx · dx
nazywana elementem liniowym czasoprzestrzeni Minkowskiego.
Niezmienniczosc interwalu:3748
1. Uniwersalny charakter predkosci swiatla oznacza ze jesli w S
element liniowy ds2 = 03749to w S0 musi byc on rowny ds02 = 0
(rownanie czola fali sferycznej).3750
2. Dwa elementy nieskonczenie male musza byc wielkosciami tego
samego rzedu czyli3751powinny byc one proporcjonalne.3752
3. Wspolczynnik proporcjonalnosci powinien zalezec co najwyzej
od absolutnej wartosci3753predkosci wzglednej ukladow inercjalnych
S i S0 co pociaga zaleznosci3754
ds02 = a(|V|)ds2 ds2 = a(|�V|)ds02 (12.2.15)
4. Skoro | �V| = |V| to podstawiajac jeden wzor do drugiego
otrzymuje sie a(|V|)2 = 13755czyli wspolczynnik proporcjonalnosci
wynosi a = ±1 i w oczywisty sposob nie zalezy3756on od predkosci
wzglednej. Oba wyrazenia powinny byc tozsame w granicy V !
0,3757dlatego znak minus trzeba odrzucic.3758
280
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
12.2.4.2 Czterowektory, relacje miedzy zdarzeniami3759
Jezeli roznice wspolrzednych
�xµ ⌘ xµB � xµA µ = {0, 1, 2, 3}
dwoch zdarzen A i B utozsamic ze skladowymi pewnego
czterowektora �x = �xµeµ (przestrzen3760afiniczna) to interwal �s2
miedzy tymi zdarzeniami ma interpretacje kwadratu
relatywisty-3761cznego tego czterowektora.3762
g(�x,�x) = g(�xµeµ,�x⌫e⌫) = g(eµ, e⌫)�x
µ�x⌫ = ⌘µ⌫�x
µ�x⌫ = �s2.
W przeciwienstwie do wektorow w przestrzeni Euklidesa wektory w
czasoprzestrzeni Minkowskiego3763sa trzech rodzajow:3764
• zerowe dla �s2 = 0,3765
• czasowe dla �s2 > 0,3766
• przestrzenne dla �s2 < 0.3767
Oznacza to, ze geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego jest
odmienna od geometrii Eukli-3768dasa. Dwa zdarzenia polaczone
wktorem zerowym sa rozdzielone swietlnie, polaczone wek-3769torem
czasowym sa rozdzielone czasowo polaczone wektorem przestrzennym sa
rozdzielone3770przestrzennie. Niezmienniczosc interwalu (wynikajaca
z uniwersalnego charakteru predkosci3771swiatla) implikuje, ze
relacja miedzy kazdymi dwoma zdarzeniami nie moze zalezec od
wyboru3772ukladu inercjalnego. W szczegolnosci dla dwoch zdarzen
rozdzielonych przestrzennie istnieje3773uklad inercjalny, w ktorym
sa one rownoczesne. Podobnie mozna znalezc taki uklad
inerc-3774jalny, w ktorym dwa zdarzenia rozdzielone czasowo maja te
sama wartosc wspolrzednych3775przestrzennych.3776
Relacje miedzy zdarzeniami mozna zilustrowac geometrycznie
wprowadzajac stozek swi-3777etlny. Przyjmujemy zdarzenie A jako
ustalone i utozsamiamy z nim wierzcholek stozka swi-3778etlnego.
Powierzchnia stozka jest utworzona przez wszystkie zdarzenia
rozdzielone swietlnie3779z A. Wnetrze stozka stanowi zbior zdarzen
rozdzielonuch czasowo z A, natomiast obszar na3780zewnatrz stozka
(„gdzie indziej”) to zbior zdarzen rozdzielonych przestrznnie z A.
Dodatkowo,3781dla �x0 > 0 mowimy o stozku przyszlosci i dla �x0
< 0 o stozku przeszlosci. Zdarzenia3782lezace w stozku
przyszlosci moga byc osiagniete z A po liniach swiata lub liniach
zerowych3783(obszr wplywu A) podczas gdy zdarzenia w stozku
przeszlosci moga wywrzec wplyw na A (ob-3784szar zaleznosci A).
Zdarzenia pozostajace na zewnatrz stozka ani nie sa osiagalne z A
ani nie3785moga wywrzec wplywu na A. Elementarna analiza geometrii
czasoprzestrzeni Minkowskiego3786prowadzi zatem do wniosku, ze
czasoprzestrzen ma strukture przyczynowa (kauzalna).3787
281
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
Figure 12.11: Stozek swietlny.
12.2.5 Skrocenie Lorentza-FitzGeralda3788
Skrocenie Lorentza-FitzGeralda jest efektem kinematycznym a nie
dynamicznym! Jest ono3789bezposrednia konsekwencja braku
absolutnego charakteru rownoczesnosci. Rozwazmy ekspery-3790ment
myslowy w (1+1) wymiarach.3791
Niech w ukladzie inercjalnym S spoczywa sztywny pret o dlugosci
L. Drugi uklad inerc-jalny S0 porusza sie w kierunku osi x1 z
predkoscia V . Historia preta w czasoprzestrzeni tworzyjego wstege
swiata. Obaj obserwatorzy inercjalni dokonuja przekroju wstegi
swiata preta przypomocy osi x1, (x01) bedacych liniami
rownoczesnosci w ich wlasnym ukladzie inercjalnym S,(S0) i
interpretuja roznice wspolrzednych odpowiadajacych skrajnym punktom
przekroju jakodlugosc preta L, (L0). Bez straty ogolnosci mozna
przyjac (x0, x1) = (0, 0) = (x00, x01). Osiex0 i x00 tworza kat �
na diagramie S i podobnie ten sam kat tworza osie x1 i x01.
Zachodziprzy tym tan� = �. Niech jeden z koncow preta ma
wspolrzedne w S: (x0, x1) = (0, 0)(zdarzenie A) zas drugi (x0, x1)
= (0, L) (zdarzenie C). W ukladzie S0 zdarzenie A ma (zzalozenia)
wspolrzedne (x00, x01) = (0, 0) natomiast rownoczesne z nim
zdarzenie B posiadawspolrzedne (x00, x01) = (0, L0) gdzie dlugosc
L0 moze byc wyznaczona z niezmienniczosciinterwalu �s2AB .
Wspolrzedne B w S mozna odczytac z geometrii diagramu (tangensa
katamiedzy osiami x1 i x01)
tan� = � =�L
L=
�x0AB�x1AB
=
x0Bx1B
282
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
Figure 12.12: Skrocenie Lorentza.
Z porownania interwalow otrzymuje sie3792
�s02AB = �s2
AB
0
2 � L02 = (�L2)� L2
skad otrzymuje sie
L0 =p
1� �2L ⌘ 1�L
gdzie 0 � < 1. Oznacza to, ze obserwator w S0 mierzy, iz
poruszajacy sie pret jest krotszy w3793stosunku do preta
spoczywajacego w S.3794
Warto zauwazyc, ze obserwator w S potrafi jakosciowo uzasadnic
rezultat otrzymany przez3795S0. Z jego punktu widzenia punkty
koncow preta zostaly zmierzine w roznych chwilach. Biorac3796pod
uwage, ze obserwator dokonujacy pomiaru porusza sie w S, obserwator
w S stowarzyszy3797te rozbieznosc z przemieszczeniem ukladu S0 w
trakcie dokonywania pomiaru (zanizeniem3798wartosci pomiarowej o
wartosc przemieszczenia ukladu pomiarowego). Z punktu widzenia
S3799przemieszczenie obserwatora S0 w trakcie pomiaru ma wartosc �L
= �2L, dlatego zanizona3800wartosc pomiarowa wynosi (1� �2)L co
ilosciowo jest niezgodne z wartoscia L0.3801
283
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
12.2.6 Dylatacja czasu3802Rozwazmy dwa uklady inercjalne majace
predkosc wzgledna V . Niech S0 porusza sie w dodat-3803nim kierunku
osi x1 w S.3804
Figure 12.13: Dylatacja czasu.
Bez straty ogolnosci mozna przyjac (x0, x1) = (0, 0) = (x00,
x01). Wartosc wspolrzednaj3805czasowej obserwatora w jego ukladzie
inercjalnym to czas pokazywany przez jego zegar. Na3806podstawie
przyjetego zalozenia zegary obu obserwatorow sa zsynchronizowane
(pokazuja ten3807sam czas w chwili spotkania w O - poczatku obu
ukladow).3808
Rozwazmy linie rownoczesnosci w S odpowiadajace wskazaniu zegara
x0 = a. Linia ta3809przecina linie swiata obserwatora w S0 w
momencie gdy wskazanie jego zegara ma wartosc3810x00 = a0
(zdarzenie A). Wspolrzedne zdarzenia A maja wartosc3811
• w S0: (x00A, x01A) = (a0, 0) - zdarzenie na osi x003812
• w S: (x0A, x1A) = (a,�a).3813
Wartosc x1A = �a wynika z relacji
tan� = � =�a
a=
x1Ax0A
gdzie � jest katem miedzy osiami x0 i x00. Niezmienniczosc
interwalu �s2OA prowadzi do3814rownania a02 � 02 = a2 � �2a2, skad
wynika zwiazek3815
a0 =p1� �2a. (12.2.16)
284
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
Figure 12.14: Dylatacja czasu.
Obserwator w S twierdzi, ze zegar w S0 sie spoznia.3816Rozwazmy
teraz linie rownoczesnosci w S0 zawierajaca zdarzenie A tj. zbior
wszystkich3817
tych zdzrzen, ktorym S0 przypisuje chwile x00 = a0. Linia ta
(rownolegla do x01) przecina linie3818swiata obserwatora w S tj. os
x0 w chwili x0 = b (zdarzenie B). Wspolrzedne zdarzenia B:3819
• w S: (x0B, x1B) = (b, 0) - zdarzenie na osi x03820
• w S: (x00B, x01B) = (a0,��a0)3821
Znak minus jest zwiazany z faktem,z se S porusza sie wzgledem S0
w kierunku ujemnym osix01 co daje x01B < 0
tan� = � = ���a0
a0= �x
01B
x00B.
Niezmienniczosc interwalu �s2OB prowadzi do rownania b2 � 02 =
a02 � (��a0)2 majacego3822
rozwiazanie3823
b =p1� �2a0. (12.2.17)
Obserwator w S0 twierdzi, ze zegar w S sie spóznia. Wynik ten
jest symetryczny z poprzed-nim w sensie
b
a0=
p1� �2 = a
0
a
i oznacza, ze zaden z obserwatorow inercjalnych nie jest
wyrozniony.3824Na koniec zauwazmy jeszcze, ze zbior zdarzen ktorych
wspolrzedna czasowa jest taka sama3825
w dowolnym ukladzie inercjalnym, ktorego zegar jest
zsynchronizowany z S0 tworzy hiperbole3826
285
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
Figure 12.15: Niezmiennicze hiperbole.
o rownaniu3827(x0)2 � (x1)2 = a2. (12.2.18)
Podobnie hiperbola3828(x0)2 � (x1)2 = �b2 (12.2.19)
reprezentuje zbior zdarzen, majacych te sama wartosc odleglosci
od poczatku ukladu w dowol-3829nym ukladzie inercjalnym. Lewe
strony rownan (12.2.18) i (12.2.19) sa interwalami
czaso-3830przestrzennymi obliczonymi miedzy zdarzeniem lezacym w
poczatku ukladu wspolrzednych3831(0, 0) i zdarzeniem o
wspolrzednych (x0, x1) w ukladzie inercjalnym S. W swietle
niezmien-3832niczosci interwalu ta sama kombinacja wspolrzednych
przyjmujaca te sama wartosc a2, (�b2)3833pojawi sie w ukladzie S0.
Hiperbole sa krzywymi niezmienniczymi przy zmianie ukladu
inerc-3834jalnego. Moga byc one wykorzystane do kalibracji osi
ukladu S0 narysowanego na diagramie S.3835Hiperbola (12.2.18) jest
zbiorem zdarzen o tej wlasnosci, ze zegary obserwatorow
inercjalnych,3836ktorych poczatki ukladow wspolrzednych sie
pokrywaja, maja te same wskazania.3837
W czasoprzestrzeni (2+1) wymiarowej hiperbole te nalezy zastapic
hiperboloidami. Hiper-3838boloidy w czasoprzestrzeni sa
odpowiednikami sfer w przestrzeni Euklidesa.3839
12.2.7 Transformacja Lorentza3840
12.2.7.1 Warunek ogolny3841
Poszukiwana transformacja miedzy dwoma ukladami inercjalnymi x0µ
= x0µ(x0, x1, x2, x3)3842powinna byc takim przeksztalceniem
wspolrzednych, ktore zachowuje interwal miedzy dwoma3843
286
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
Figure 12.16: Hiperboloity.
zdarzeniami. W niniejszym tekscie ograniczamy sie do takich
wlasnie przeksztalcen tj. trans-3844formacji uladu zwanych
transformacjami biernymi. W niektorych zagadnieniach fizyki
np.3845w literaturze poswieconej fizyce czastek elementarnych
rozwaza sie transformace czynne czyli3846takie, ktore w sposob
aktywny dzialaja na czterowerory przyporzadkowujac im inne
czterowek-3847tory.3848
Transformacją trywialną zachowującą element liniowy jest
translacja tj.3849
x0µ = xµ + aµ (12.2.20)
gdzie aµ jest stalym czterowektoerem. Inne transformacje o tej
wlasnosci nie bedace translac-3850jami nazywamy transformacjami
Lorentza. Ogolna transformacja Lorentza moze byc wprowad-3851zona
jako przeksztalcenie wspolrzednych3852
dx0µ = Lµ⌫dx⌫
gdzie Lµ⌫ ⌘@x0µ
@x⌫. (12.2.21)
Transformacja ta powinna zawierac jedynie stale parametry, gdyz
jest to transformacja miedzy3853ukladami inercjalnymi. W
szczegolnosci, w przypadku transformacji majacej zastapic
transfr-3854macje klasyczna oczekujemy zaleznosci od predkosci
wzglednej ukladow inercjalnych. Element3855liniowy przyjmuje
postac3856
ds2 = g(dx, dx) = gµ⌫dxµdx⌫ (12.2.22)
gdzie gµ⌫ sa skladowymi tensora metrycznego czasoprzestrzeni
Minkowskiego. Tensor me-3857tryczny odwrotny spelnia gµ↵g↵⌫ = �µ⌫ i
jest tozsamy z gµ⌫ ⌘ ⌘µ⌫ we wspolrzednych kartez-3858janskich.
Warunek niezmienniczosci elementu liniowego ds02 = ds2 moze byc
zapisany w3859
287
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
postaci3860
⌘µ⌫Lµ↵L
⌫�dx
↵dx� = ⌘↵�dx↵dx�
Warunek ten powinien byc spelniony dla dowolnych dx↵. Jest to
mozliwe o ile zachodzi3861
Lµ↵L⌫�⌘µ⌫ = ⌘↵� . (12.2.23)
Oznacza to, ze uniwersalny charakter wartosci predkosci swiatla
w prozni, reprezentowanygeometrycznie przez warunek
niezmienniczosci interwalu, przyjmuje obecnie forme
warunkualgebraicznego (12.2.23). Dopuszczalne transformacje miedzy
ukladami inercjalnymi za-chowuja skladowe tensora metrycznego.
Podsumowujac:
c0 = c| {z }postulat
, ds02 = ds2| {z }war. geometryczny
, Lµ↵L⌫�⌘µ⌫ = ⌘↵�| {z }war. algebraiczny
.
12.2.7.2 Boosty3862
Boost (ang.) oznacz pchniecie. Nazwa tej transformmacji lepiej
odzwierciedla jej istote w3863przypadku transformacji czynnych. W
niniejszym tekscie bedziemy jednakze sie nia poslugiwac3864w
kontekscie transformacji biernych, w ktorych bierze udzial
wspolrzedna czasowa.3865
Rozwazmy obecnie sytuacje uproszczona. Uklad S0 porusza sie w
kierunku dodatnim osi3866x1 ukladu S. Transformacji podlagaja zatem
wspolrzedne z µ = 0 i µ = 1 dlatego oczekujemy,3867ze transformacja
ma postac3868
Lµ⌫ =
0BBBB@L0
0
L01
0 0
L10
L11
0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCCCA (12.2.24)Niezmienniczosc tensora Minkowskiego prowadzi do
trzech warunkow3869
(L00
)
2 � (L10
)
2
= 1, (12.2.25)
(L11
)
2 � (L01
)
2
= 1, (12.2.26)
L00
L01
� L10
L11
= 0. (12.2.27)
Dwa pierwsze warunki mozna rozwiazac bezposrednio przyjmujac
parametryzacje:3870
L00
= cosh L10
= � sinh
L11
= cosh 0 L01
= � sinh 0
288
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
Trzeci warunek prowadzi do relacji tanh 0 = tanh , skad
wnioskujemy, ze 0 = . Interpre-tacje parametru znajdujemy z
odwolania sie do rownania linii swiata obserwatora S0. W
jegoukladzie ma ono postac dx01 = 0. Otrzymujemy stad
L10
dx0 + L11
dx1 = 0.
Linia swiata obserwatora S0 w ukladzie S jest dana rownaniem dx1
= �dx0 skad po wstawieniudo powyzszego rownania otrzymujemy
L10
L11
+ � = 0 ) tanh = �
Parametr jest nazywany rapidity. Zauwazmy, ze
L00
= L11
=
cosh pcosh
2 � sinh2 =
1p1� tanh2
=
1p1� �2
⌘ �
Pozostale parametry otrzymujemy jako
L10
= L01
= � sinh = � cosh tanh = ���.
Szczegolna transformacja Lorentza ma zatem postac:3871
Lµ⌫ =
0BBBB@� ��� 0 0
��� � 0 00 0 1 0
0 0 0 1
1CCCCA (12.2.28)Ogolna transformacja typu boost, zalezna od
wszystkich skladowych predkosci � = �iei, gdzie3872i = {1, 2, 3},
moze byc uzyskana w oparciu o transformacje szczegolna. Po
pierwsze, za-3873uwazmy, ze z postaci transformacji szczegolnej
wynika, ze skladowa przestrzenna czterowektora3874prostopadla do
wektora predkosci nie ulega transformacji tj.3875
dx00 = �(dx0 � �dxk) (12.2.29)
dx0k = �(dxk � �dx0
) (12.2.30)
dx0? = dx? (12.2.31)
gdzie � ⌘ |�|. Dowolny wektor dx mozna rozlozyc na czesc
rownolegla i prostopadla do3876wektora �:3877
dx =�(dx · �)
�2| {z }dxk
+
� ⇥ (dx⇥ �)�2| {z }dx?
. (12.2.32)
289
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
Skoro �dxk = � · dx to3878
dx00 = �(dx0 � � · dx). (12.2.33)
Czesc przestrzenna wektora dx0 ma postac3879
dx0 = dx0k + dx0? = dx
0k + dx? = �(dxk � �dx
0
) + dx?
= �(dxk � �dx0) + dx� dxk
= dx� ��dx0 + � � 1�2
(� · dx)� (12.2.34)
Z postaci transformacji dx0µ = Lµ⌫dx⌫ wynika, ze3880
dx00 = L00
dx0 + L0jdxj
dx0i = Li0
dx0 + Li jdxj .
Rozpisujac (12.2.33) i (12.2.34) otrzymujemy3881
dx00 = �dx0 � ��jdxj
dx0i = ���idx0 +�ij +
� � 1�2
�i�j�dxj .
Z porownania odczytujemy skladowe ogolnego boostu3882
L00
= � L0i = Li0
= ���i Li j = �ij +� � 1�2
�i�j (12.2.35)
3883
Lµ⌫ =
"L0
0
L0jLi
0
Li j
#.
Transformacje typu boost sa poszukiwanymi przeksztalceniami
bedacymi odpowiednikami trans-3884formacji klasycznej.3885
12.2.7.3 Obroty3886
Boosty nie sa jedynymi transformacjami, ktore zachowuja postac
tensora metrycznego. Istnieje3887inna podgrupa ciagla transformacji
dzialajaca jedynie na czesc przestrzena czterowektorow. Te3888grupe
transformacji nazywamy obrotami. Dla przykladu transformacja
opisujaca obrot ukladu3889wspolrzednych (transformacj bierna) w
plaszczyznie x2x3 ma postac:3890
Lµ⌫ =
0BBBB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos� sin�
0 0 � sin� cos�
1CCCCA (12.2.36)
290
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
Analizujac postac macierzy obrotu stwierdzamy, ze obroty w
plaszczyznie x2x3 tworza jedno-3891parametrowa grupe. Mnozac dwie
macierze odpowiadajace obrotom o kat �
1
i �2
otrzymujemy3892macierz opisujaca obrot o kat �
3
= �1
+ �2
3893
L(�2
)L(�1
) = L(�1
+ �2
) (12.2.37)
gdzie korzystamy z wzorow3894
cos(�1
+ �2
) = cos�1
cos�2
� sin�1
sin�2
sin(�1
+ �2
) = sin�1
cos�2
+ cos�1
sin�2
.
12.2.7.4 Odbicia3895
Odbicia sa dyskretnymi transformacjami zachowujacymi postac
tensora metrycznego. Rozroz-3896niamy odbicia czasowe T : (dx0, dx)
! (�dx0, dx), odbicia przestrzenne P : (dx0, dx) !3897(dx0,�dx) i
odbicia calkowite TP : (dx0, dx) ! (�dx0,�dx). Macierze tych
transformacji3898maja postac3899
LT =
"�1 00 I
#, LP =
"1 0
0 �I
#, LTP =
"�1 00 �I
#.
12.2.7.5 Klasyfikacja transformacji Lorentza3900
Wszystkie transformacje Lorentza mozna sklasyfikowac w
zaleznosci od znaku skladowej L00
i3901wartosci wyznacznika macierzy Lorentza detL.3902
Przyjmujemy konwencje, ze pierwszy indeks w wyrazeniach Lµ⌫ ,
⌘µ⌫ reprazentuje nu-mer linii macierzy stowarzyszonej zas drugi
indeks odpowiada numerowi kolumny. Warunekniezmienniczosci tensora
metrycznego wzgledem transformacji Lorentza przyjmuje postac
LT ⌘L = ⌘.
Obliczajac wyznacznik obu stron otrzymuje sie (detL)2 = 1. Stad
detL = ±1. Warunek(12.2.23) dla ↵ = 0 i � = 0 przechodzi w
(L00
)
2
= 1 +
3Xi=1
(Li0
)
2
skad L00
� 1 lub L00
�1. Transformacje z L00
� 1 nazywamy ortochronicznymi L"3903(zachowujacymi kierunek
czasu) natomiast L0
0
�1 nazywamy antyortochronicznymi L#.3904Transformacje własciwe
L
+
sa dane przez detL = 1 a niewłasciwe L� przez detL =
�1.3905Klasyfikacja transformacji Lorentaza:3906
291
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
• detL = +1 & sign L00
= +1: boosty i obroty3907
• detL = �1 & sign L00
= +1: odbicia przetrzenne P3908
• detL = +1 & sign L00
= �1: odbicia TP3909
• detL = �1 & sign L00
= �1: odbicia czasowe T3910
Jedynie transformacje ortochroniczne wlasciwe L"+
tworza podgrupe gdyz zawieraja elementjednostkowy. Element
odwrotny (L�1)µ⌫ mozna otrzymac mnozac warunek LT ⌘L = ⌘ zlewej
strony przez ⌘�1 i z prawej przez L�1, co prowadzi do wyrazenia
L�1 = ⌘�1LT ⌘.
W postaci ze wskaznikami
(L�1)µ⌫ = ⌘µ↵
(LT ) �↵ ⌘�⌫ = ⌘µ↵L�↵⌘�⌫ ⌘ L µ⌫ .
12.2.8 Dodawanie predkosci3911Rozwazamy tu jedynie przypadek
jednowymiarowy ograniczajac sie do podprzestrzeni (x0, x1).Uklad
inercjalny S0 porusza sie w dodatnim kierunku osi x1 z predkoscia V
. Niech pewnaczastka posiada predkosc v ⌘ dx1dt wzgledem S i v
0 ⌘ dx01dt0 wzgledem S0. Transformacja
odwrotna dana macierza (L�1)µ⌫ ma postac
dx0 = �dx00 + ��dx01 dx1 = ��dx00 + �dx01,
skad znajdujemy3912
dx0 = �
✓1 + �
dx01
dx00
◆dx00 = �
✓1 +
V v0
c2
◆dx00
dx1 = �
✓� +
dx01
dx00
◆dx00 =
�
c
�V + v0
�dx00
Predkosc czastki w S wynosi3913
v = cdx1
dx0=
V + v0
1 +
V v0
c2. (12.2.38)
Jest to szczegolny przypadek wzoru na dodawanie predkosci.
Zauwazmy, ze jesli czaską tą jestfoton to v0 = c i wowczas
otrzymuje sie, ze jego predkosc w ukladzie S wynosi
v =V + c
1 +
Vc
= c
292
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
jest to odzwierciedleniem faktu, ze transformacja Lorentza
zachowuje uniwersalny charakter3914predkosci swiatla.3915
Z formalnego punktu widzenia prawo dodawania predkosci w
ustalonym kierunku moze3916byc otrzymane na podstawie mnozenia
macierzy Lorentza odpowiadajacych boostom w tym3917kierunku.
Wlasciwym parametrem jest tu nie predkosc lecz rapidity. Jako
przyklad rozwazymy3918zlozenie boostow w kierunku osi x1.3919
Lµ⌫( ) =
0BBBB@cosh � sinh 0 0� sinh cosh 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCCCA (12.2.39)Zlozenie boostow sprowadza sie do mnozenia
macierzy Lorentza, gdyz3920
dx00µ = Lµ↵( 2)dx0↵
= Lµ↵( 2)L↵⌫( 1)dx
⌫= Lµ⌫( 3)dx
⌫ . (12.2.40)
Mnozac dwie macierze odpowiadajace boostom danym przez 1
i 2
otrzymujemy macierz3921opisujaca boost opisany przez
3
= 1
+ 2
3922
L( 2
)L( 1
) = L( 1
+ 2
), (12.2.41)
gdzie korzystamy z wzorow3923
cosh( 1
+ 2
) = cosh 1
cosh 2
+ sinh 1
sinh 2
sinh( 1
+ 2
) = sinh 1
cosh 2
+ cosh 1
sinh 2
.
Stad otrzymujemy3924
�3
= tanh 3
=
sinh 1
cosh 2
+ cosh 1
sinh 2
cosh 1
cosh 2
+ sinh 1
sinh 2
=
tanh 1
+ tanh 2
1 + tanh 1
tanh 2
=
�1
+ �2
1 + �1
�2
(12.2.42)
gdzie �3
=
vc , �1 =
Vc i �2 =
v0
c .3925
12.2.9 Generatory grupy Lorentza3926Wlasciwe ortochroniczne
transformacje Lorentza tworza grupe. Mozna sie o tym
przekonac3927sprawdzajac kolejno warunki okreslajace grupe.
Macierze przeksztalcen Lorentza spelniaja3928nastepujece
warunki3929
1. L2
L1
2 L"+
, dla L1
, L2
2 L"+
,3930
293
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
2. L3
(L2
L1
) = (L3
L2
)L1
,3931
3. Istnieje element jednostkowy e = I,3932
4. Dla kazdego elementu L istnieje dokladnie jeden element L�1,
taki ze L�1L = LL�1 =3933I.3934
Grupa przeksztalcen Lorentza jest specjalna grupa ortogonalna i
jest oznaczana symbolem SO(1, 3).3935Kazdy element tej grupy mozna
przedstawic w formie3936
L = exp(±⌦) ⌘1Xn=0
1
n!(±⌦)n. (12.2.43)
Znak ± ma znaczenie przy rozroznieniu miedzy transformacjami
czynna i bierna. W zgodzie3937z dotychczasowymi rozwazaniami
skupimy sie tu na transformacjach biernych, dlatego w3938dalszym
ciagu bedziemy uzywac L = exp(�⌦). Transformacja odwrotna jest
zatem postaci3939L�1 = exp(⌦). Z warunku niezmienniczosci tensora
metrycznego ⌘µ⌫ wzgledem transformacji3940Lorentza tj LT ⌘L = ⌘
otrzymujemy rownanie LT ⌘ = ⌘L�1 gdzie LT = exp(�⌦T ).
Wstawia-3941jac transformacje w formie szeregu otrzymujemy3942
I� ⌦T + 12
(⌦
T)
2
+ . . .
�⌘ = ⌘
I+ ⌦+ 1
2
⌦
2
+ . . .
�. (12.2.44)
Wyrazenie to narzuca warunek na ⌦ (pierwszy rzad
rozwiniecia)3943
⌦
T ⌘ = �⌘⌦ ) (⌘⌦)T = �⌘⌦ (12.2.45)
gdyz ⌘T = ⌘. Definiujemy macierz antysymetryczna !T = �!3944
! := ⌘⌦ , !µ⌫ = ⌘µ↵⌦↵⌫ . (12.2.46)
Macierz ta posiada szesc niezaleznych elementow, ktore moga byc
wybrane w nastepujacy3945sposob3946
! =
2666640
1
2
3
� 1
0 �3
��2
� 2
��3
0 �1
� 3
�2
��1
0
377775 , ⌦ = ⌘�1! =266664
0 1
2
3
1
0 ��3
�2
2
�3
0 ��1
3
��2
�1
0
377775Wprowadzamy generatory boostow Kk i obrotow Jk3947
⌦ = �i3X
k=1
Kk k � i3X
k=1
Jk�k (12.2.47)
294
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
gdzie antyhermitowskie K† = �K generatory boostow maja
postac3948
K1
:=
2666640 i 0 0
i 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
377775 K2 :=266664
0 0 i 0
0 0 0 0
i 0 0 0
0 0 0 0
377775 K3 :=266664
0 0 0 i
0 0 0 0
0 0 0 0
i 0 0 0
377775i hermitowskie J† = J generatory obrotow sa dane
macierzami3949
J1
:=
2666640 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 �i0 0 i 0
377775 J2 :=266664
0 0 0 0
0 0 0 i
0 0 0 0
0 �i 0 0
377775 J3 :=266664
0 0 0 0
0 0 �i 00 i 0 0
0 0 0 0
377775 .Generatory Jk i Kk spelniaja algebre Liego grupy SO(1,
3)3950
[Ji, Jj ] = i✏ijkJk, (12.2.48)
[Ji,Kj ] = i✏ijkKk, (12.2.49)
[Ki,Kj ] = �i✏ijkJk. (12.2.50)
Element algebry Liego grupy Lorentza ⌦ mozna przedstawic w
postaci zwezenia macierzy3951parametrow !µ⌫ o skladowych3952
!0i = i oraz !ij = ✏ijk�k. (12.2.51)
z antysymetrycznym wyrazeniem Mµ⌫ = �M⌫µ o skladowych bedacych
generatorami grupy3953Lorentza3954
M0i := Ki Mij:= ✏ijkJk. (12.2.52)
Zwezenie z parametrami transformacji !µ⌫ daje3955
1
2
!µ⌫Mµ⌫
=
1
2
(!0iM
0i+ !i0M
i0) +
1
2
!ijMij
= iKi +1
2
✏ijk✏ijl| {z }2�
kl
�kJl = iKi + �kJk
= i⌦. (12.2.53)
Otrzymujemy stad nastepujaca postac transformacji biernej L =
e�⌦3956
L = exp
✓i
2
!µ⌫Mµ⌫
◆. (12.2.54)
295
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
Generatory Mµ⌫ spelniaja nastepujace relacje komutacji
(cwiczenie)3957
[Mµ⌫ ,M⇢�] = i (⌘⌫⇢Mµ� � ⌘µ⇢M⌫� + ⌘µ�M⌫⇢ � ⌘⌫�Mµ⇢) .
(12.2.55)
Przyklad 1. Niech jedynym niezerowym parametrem transformacji
bedzie 1
⌘ . Wowczas3958transformacja boostu generowna przez K
1
i ma on postac rozwiniecia3959
L = exp(i K1
) = I+1Xn=1
(� )n
n!
2666640 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
377775n
= I+
2666641 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3777751Xk=1
2k
(2k)!| {z }cosh( )�1
+
2666640 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3777751Xk=1
(� )2k�1
(2k � 1)!| {z }� sinh( )
Wyrazenie to jest rowne macierzy transformacji boostu w kierunku
x13960
L =
266664cosh � sinh 0 0� sinh cosh 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
377775 (12.2.56)Przyklad 2. Rozwazmy obrot generowany przez
J
1
. Oznaczajac �1
⌘ � otrzymujemy3961
L = exp(i�J1
) = I+1Xn=1
(��)n
n!
2666640 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 �10 0 1 0
377775n
.
(12.2.57)
Zauwazmy, ze macierz3962
A :=
0 �11 0
!(12.2.58)
ma wlasnosci A2k = (�1)k I oraz A2k�1 = (�1)k�1A, stad
otrzymujemy3963
L = I+
2666640 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3777751Xk=1
(�1)k 2k
(2k)!| {z }cos(�)�1
+
2666640 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 �10 0 1 0
377775P1
l=0(�1)l(��)2l+1(2l+1)!z }| {
1Xk=1
(�1)k�1 (��)2k�1
(2k � 1)!| {z }� sin(�)
296
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
Ostatecznie otrzymujemy obrot o kat � w plaszczyznie
x2x33964
L =
2666641 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos� sin�
0 0 � sin� cos�
377775 . (12.2.59)
12.2.10 Grupa Poincare3965Grupa Lorentza jest szescioparametrowa
grupa. Nie zawiera ona jednak translacji. Rozszerzenie3966grupy
Lorentza o translacje nosi nazwe grupy Pioncare. Przeksztalcenie
wspolrzednych dane3967transformacja Poincare ma postac3968
x0µ = Lµ↵x↵+ aµ. (12.2.60)
Uwaga: jesli przyjac interpretacje transformacji Poincare jako
przeksztalcenia wspolrzednych3969(transformacji biernej), to
wowczas wyraz +aµ we wzorze (12.2.60) zadaje translacje o
wektor3970�aµ a nie o wektor aµ. Dowolny element grupy Poincare P 2
P bedziemy przedstawiac w3971postaci pary3972
P := (L, a) (12.2.61)
gdzie L 2 L"+
jest macierza ortochronichnej wlasciwej gru Lorentza i a 2
T4
jest stalym3973czterowektorem (elementem grupy translacji).
Prawo skladania transformacji Poincare wynika3974z dzialania na
czterowektoey x00 = P
2
x0 = P2
(P1
x) = (P2
P1
)x co w notacji wskaznikowej3975mozna przedstawic
nastepujaco3976
x00µ = (L2
)
µ↵x
0↵+ aµ
2
= (L2
)
µ↵[(L1)
↵⌫x
⌫+ a↵
1
] + aµ2
= (L2
L1
)
µ⌫x
⌫+ (L
2
)
µ↵a
↵1
+ aµ2
(12.2.62)
stad3977
(L2
, a2
)(L1
, a1
) = (L2
L1
, L2
a1
+ a2
). (12.2.63)
Wykazemy, ze jest to grupa. Pierwszy za aksjomatow jest
spelniony na podstawie prawa sklada-3978nia transformacji
Poncarego. Dla dowolnych dwoch elementow P
1
, P2
2 P ich zlozenie jest3979elementem grupy Poincare P
2
P1
2 P. Wykazemy lacznosc P3
(P2
P1
) = (P3
P2
)P1
:3980
P3
(P2
P1
) = (L3
, a3
)(L2
L1
, L2
a1
+ a2
)
= (L3
L2
L1
, L3
L2
a1
+ L3
a2
+ a3
) (12.2.64)
297
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
3981
(P3
P2
)P1
= (L3
L2
, L3
a2
+ a3
)(L1
, a1
)
= (L3
L2
L1
, L3
L2
a1
+ L3
a2
+ a3
). (12.2.65)
Element jednostkowy ma postac3982
e := (I, 0) (12.2.66)
i spelnia3983
eP = (I, 0)(L, a) = (IL, a+ 0) = P
Pe = (L, a)(I, 0) = (L I, L 0 + a) = P.
Element odwrotny ma postac3984
P�1 := (L�1,� L�1a) (12.2.67)
Zachodzi3985
P�1P = (L�1,�L�1a)(L, a) = (L�1L,L�1a� L�1a) = (I, 0) = e
PP�1 = (L, a)(L�1,�L�1a) = (LL�1,�LL�1a+ a) = (I, 0) = e.
Kazdy element grupy Poincare moze byc jednoznacznie rozlozony na
iloczyn elementow naleza-3986cych do grupy translacji T
4
i wlasciwej ortochronicznej grupy Lorentza L"+
3987
(L, a) = (I, a)(L, 0). (12.2.68)
Zauwazmy, ze zlozenie w odwrotnej kolejnosci (ˆL, 0)(I, a) =
(L,La) 6= (L, a). Rozklad3988(12.2.68) oznacza, ze grupa Poincare
jest iloczynem polprostym grup T
4
i L"+
. W przypadku3989iloczynu prostego grup oczekiwalibysmy3990
(L2
, a2
)(L1
, a1
) = (L2
L1
, a1
+ a2
) (12.2.69)
co pozostaje w sprzecznosci z prawem mnozenia (12.2.63).3991
Grupa Poincare stanowi niezwykle wazna koncepcje, gdyz jest
grupa symetrii kazdej re-3992latywistycznej teorii pola.3993
298
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
12.2.11 Czterowektory i tensory3994
12.2.11.1 Prawa transformacyjne czterowektorow3995
Skladowe wielkosci Aµ, transformujace sie przy zmianie ukladu
inercjalnego tak jak rozniczki3996dxµ tj.3997
A0µ = Lµ⌫A⌫ (12.2.70)
bedziemy utozsamiac ze skladowymi czterowektora. Skladowe
czterowektora transformujace3998sie wedlug wzoru (12.2.70) nazywamy
kontrawariantnymi. Jesli transformacja realizowana3999jest
odwrotnym przeksztalceniem Lorentza to wowczas mowimy o
transformacji skladowych4000kowariantnych czterowektora. Skladowe
takie transformuja sie tak jak pochodne @µ tj.4001
A0µ = (L�1
)
⌫µA⌫ = L
⌫µ A⌫ (12.2.71)
Zauwazmy, ze wyrazenie A0µB0µ = Lµ↵(L�1)
�µA↵B� = A↵B↵ jest niezmiennikiem (skalarem)
ze wzgledu na transformacje Lorentza. Rozwazmy skalar utworzony
z tensora metrycznego iskladowych kontrawariantnych dwoch
czterowektorow
⌘µ⌫A0µB0⌫ = ⌘µ⌫L
µ↵L
⌫�A
↵B� = ⌘↵�A↵B�
Zastepujac A↵ = (L�1)↵µA0µ po prawej stronie ostatniego rownania
otrzymujemy
A0µ(⌘µ⌫B0⌫) = A0µ(L�1)↵µ(⌘↵�B
�),
skad widac, ze wyrazenie g↵�B� transformuje sie jak skladowe
kowariantne czterowektora.Tensor metryczny odwzorowuje skladowe
kontrawariantne czterowektora w skladowe kowari-antne i vice
versa
Bµ = ⌘µ⌫B⌫ , Bµ = ⌘µ⌫B⌫ ,
gdzie druga z rownosci wynika z ⌘µ↵⌘↵⌫ = �⌫µ. Stad
otrzymujemy4002
B0
= ⌘00
B0 + ⌘0jB
j= B0,
Bi = ⌘i0B0
+ ⌘ijBj= ��ijBj = �Bi,
co mozna podsumowac w formie Bµ ! (B0,�Bi). W szczegolnosci
mamy4003
dxµ ! (dx0, dxi) dxµ ! (dx0,�dxi) (12.2.72)
@µ ! (@0, @i) @µ ! (@0,�@i). (12.2.73)
Na ogol czterowektory sa funkcjami wektora wodzacego o
skladowych xµ (pola wektorowe).4004Wowczas prawo transformacyjne
nalezy uzupenic o transformacje argumentow pol wektorowych4005
A0µ(x0) = Lµ⌫A⌫(x), gdzie x0µ = Lµ⌫x
⌫ . (12.2.74)
299
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
12.2.11.2 Prawo transformacyjne tensorow4006
W sposob analogiczny do wektorowej przestrzeni stycznej mozemy
wprowadzic tensorowa4007przestrzen styczna. Obiekt eµ ⌦ e⌫ jest
bazowym tensorem drugiego rzedu transformujacym4008sie w
nastepujacy sposob4009
e0µ ⌦ e0⌫ =@x↵
@x0µ@x�
@x0⌫e↵ ⌦ e� . (12.2.75)
Tensor drugiego rzedu o walencji�2
0
�moze byc przedstawiaony w bazie (12.2.75) jako kombi-4010
nacja liniowa o wspolczynnikach Tµ⌫4011
T = Tµ⌫eµ ⌦ e⌫ . (12.2.76)
W przypadku gdy wspolczynniki kombinacji sa zmiennymi
dynamicznymi zaleznymi w ogolnosci4012od wspolrzednych mowimy, ze T
jest polem tensorowym. Tensor, podobnie jak wektor,
jest4013obiektem geometrycznym niezaleznym od wyboru ukladu
wspolrzednych. Oznacza to, ze wspol-4014czynniki pola tersorowego
transformuja sie wedlug przepisu4015
T 0µ⌫(x0) =@x0µ
@x↵@x0⌫
@x�T↵�(x). (12.2.77)
Definiujemy wektory przestrzeni kosycznej jako obiekty
posiadajace prawo transformacyjne4016
e0µ =@x0µ
@x↵e↵. (12.2.78)
Tensory bazowe drugiego rzedu moga byc utworzone jako produkty
tensorowe eµ ⌦ e⌫ orazeµ ⌦ e⌫ . Rozwazmy ogolna baze tensorowa
zawierajazca produkty n wektorow bazowych eµ im wektorow e⌫ . Baza
ta posiada nastepujace prawo transformacyjne
e0µ1 ⌦ . . .⌦ e0µn
⌦ e0⌫1 ⌦ . . .⌦ e0⌫n = (12.2.79)
=
@x↵1
@x0µ1. . .
@x↵n
@x0µn@x0⌫1
@x�1. . .
@x0⌫m
@x�me↵1 ⌦ . . .⌦ e↵n ⌦ e�1 ⌦ . . .⌦ e�m .
Pole tensorowe o walencji�nm
�jest dane jako kombinacja liniowa4017
T = T↵1...↵n�1...�m(x)e↵1 ⌦ . . .⌦ e↵n ⌦ e�1 ⌦ . . .⌦ e�m .
(12.2.80)
Jesli zmiana ukladu wspolrzednych jest dana transformacja
Lorentza Lµ⌫ = @x0µ
@x⌫ to skladowe4018tensora T przeksztalcaja sie w nastepujacy
sposob4019
T 0µ1...µn⌫1...⌫m(x0) = Lµ1↵1 . . . L
µn
↵n
L �1⌫1 . . . L�m
⌫m
T↵1...↵n�1...�m(x). (12.2.81)
300
-
12.2 Szczegolna Teoria Wzglednosci
12.2.11.3 Czas wlasny4020
Linia swiata obserwatora inercjalnego jest linia prostą na
diagramie Minkowskiego. Dlugoscdowolnego odcinka tej prostej
podzielona przez predkosc swiatla ma interpretacje przedzialuczasu
miedzy dwoma chwilami mierzonego w ukladzie tego obserwatora. W
granicy gdy przedzialten jest nieskonczenie maly to mozemy go
przedstawiac za pomoca elementu liniowego dt0 =1
c
pds2 gdyz z definicji dx0i ⌘ 0. Jezeli obserwator porusza sie
ruchem niejednostajnym to
w kazdej chwili jego uklad pokrywa sie z jednym z nieskonczenie
wielu ukladow inercjalnych.Uklad taki bedziemy nazywac ukladem
chwilowo wspolporuszjacym sie CW. Czas w ukladzieCW definujemy
nastepujaco
d⌧ :=1
c
pds2.
Infinitezymalna dlugosc lini swiata takiego obserwatora wynosi c
d⌧ . Dla lini swiata zadanejrownaniami xi = xi(t) w pewnym ukladzie
inercjalnum otrzymujemy
ds2 = (dx0)2 � (dx)2 = (1� 1c2V 2)(dx0)2
a stad d⌧ =q
1� �(t)2dt. Parametr ⌧ moze byc wprowadzony jako calka4021
⌧(t) =
Z t0
dt0q1� �(t0)2 + const. (12.2.82)
Odwracajac te funkcje otrzymujemy t(⌧). Na ogol bedziemy
zakladac, ze linia swiata jest danafunkcja ⌧ to znaczy jest dana
rownaniami xµ = xµ(⌧). Dla dowolnej lini swiata przechodzacejprzez
zdarzenia A i B otrzymujemy
⌧B � ⌧A =Z t
B
tA
dtq1� �(t)2 tB � tA.
Wynik ten oznacza, ze czas w ukladzie CW biegnie wolniej niz w
jakimkolwiek innym ukladzie4022inercjalnym. Jezli dwaj obserwatorzy
inercjalny i nieinercjalny znajduja sie w A i ich zegary
sa4023zsynchronizowane to w momencie spotkania w B okaze sie, ze
zegar obserwatora nieinercjal-4024nego bedzie mial spoznienie. Fakt
ten jest nazywany w literaturze paradoksem blizniat.4025
Czas wlasny moze byc wprowadzony jedynie dla linii swiata nie
bedacych liniami zerowymi4026gdyz dla takich linii mamy ds2 = 0.
Linie swiata fotonow nie moga byc sparametryzowane4027czasem
wlasnym. W takim przypadku wprowadza sie tak zwany parametr
afiniczny.4028
12.2.11.4 Czteropredkosc, czteroped4029
Czteropredkosc definiujemy jako pochodna wzgledem czasu
wlasnego
uµ =dxµ
d⌧
301
-
12. SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLȨDNOŚCI
czyli jest to wektor styczny do lini swiata. Skladowe
czteropredkosci wynosza
u0 = cdt
d⌧= c�(t) ui =
dxi
dt
dt
d⌧= �(t)vi(t)
a stad uµ ! (�c, �vi). W ukladze CW obserwatora nieinercjalnego
u0µ ! (c, 0). Kawadratrelatywistyczny czteropredkosci jest
niezmiennikiem Lorentza i wynosi
uµuµ = c2.
Czteroped z definicji jest nastepujacym wyrazeniem
pµ = muµ ! (�mc, �mvi).
skad pµpµ = m2c2. Skladowe przestrzenne czteropedu sa
uogolnieniem pedu nierelatywisty-cznego. Interpretacja skladowej
zerowej p0 moze byc przeprowadzona poprzez analize przy-padku
granicznego. Rozwiniecie w szereg Taylora prowadzi do wyrazenia
p0 = mc
1 +
1
2
v2
c2+ . . .
�=
1
c
mc2 +
1
2
mv2 + . . .
�⌘ E
c
gdzie pojawiajacy sie czlon kinetyczny sugeruje, ze wyrazenie to
nalezy traktowac jako energiepodzielona przez predkosc swiatla.
Czlon mc2 ma interpretacje energii spoczynkowej czastki.Jest on
nieobecny w mechanice klasycznej gdyz Lagrangian ukladu
mechanicznego jest okres-lony z dokladnoscia do stalej. Kwadrat
relatywistyczny czteropedu prowadzi do wyrazenia
E2 = m2c4 + c2p2,
ktore wiaze kwadrat energii z kwadratem pedu. Teorie kwantowe
relatywistyczne opisujace4030czastki elementarne powinny zawierac
ten zwiazek.4031
12.2.11.5 Czteroprzyspieszenie4032
Czteroprzyspieszenie jest wektorem o skladowych4033
aµ :=d2xµ
d⌧2=
duµ
d⌧. (12.2.83)
gdzie uµ ! (�c, �v).4034
duµ
d⌧!✓cd�
d⌧,d�
d⌧v + �
dv
d⌧
◆(12.2.84)
302
-
12.3 Znaczenie Szczegolnej Teorii Wzglednosci
Obliczajac pochodne4035
dv
d⌧=
dt
d⌧
dv
dt= �v̇
d�
d⌧=
dt
d⌧
d�
dt= �
"�12
�2� · d�dt(
p1� �2)3
#=
1
c�4� · d�
dt⌘ 1
c�4� · v̇
otrzymujemy ostatecznie4036
aµ !��4(� · v̇), �2v̇ + �4(� · v̇)�
�(12.2.85)
=
��4(� · v̇), �4(1� �2)v̇ + �4(� · v̇)�
�= �4 (� · v̇, v̇ � � ⇥ (v̇ ⇥ �)) (12.2.86)
W ukladzie CW obserwatora przyspieszanego z definicji � = 0 (� =
1) chociaz przyspieszenie4037v̇ nie jest zerem, co prowadzi do
wyrazenia4038
a0µ ! (0, v̇). (12.2.87)
Stad znajdujemy postac niezmiennika lorentzowskiego (kwadratu
czterowektora przyspiesze-4039nia)4040
a0µa0µ = aµaµ = �v̇2 < 0 (12.2.88)
prowadzacego do wniosku, ze czteroprzestrzenie jest wektorem
przestrzennym.4041
12.3 Znaczenie Szczegolnej Teorii Wzglednosci4042Szczegolna
Teoria Wzglednosci stanowi niezwykle istotne dokonanie w ramach
fizyki teore-4043tycznej. Po pierwsze, teoria ta zreformowala
poglady na czas i przestrzen. Czas przestal byc4044parametrem a
zmiast tego zostal utozsamiony z jedna ze wspolrzednych. W tym
sensie nie posi-4045ada on charakteru absolutnego. W konsekwencji
pojecie rownoczesnosci stalo sie zalezne od4046obserwatora. Po
drugie, teoria wzglednosci zunifikowala zasady zachowania energii i
pedu w4047jedno prawo - zasade zachowania czteropedu. Po trzecie,
formalizm Szczegolnej Teorii Wz-4048glednosci pozwolil na pelna
unifikacje elektrycznosci z magnetyzmem. Zjawiaska elektryczne4049i
magnetyczne staly sie czescia jednej struktury - pola
elektromagnetycznego. Wreszcie po4050czwarte teoria ta pozwolila
zrozumiec jaka role w rownaniach fizyki odgrywa predkosc
swiatla.4051Nie jest ona jedynie parametrem, ktory moze sie
zmieniac w zaleznosci od sytuacji fizycznej4052lecz wprost
przeciwnie - jest ona uniwersalna stala przyrody.4053
303