12. ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ. Diskretni razpredelenia.pdf0! 3 ( 2) 3 1 3 0 d 0 1 P [p p e e г) 1 0,8 0,2 0! 3 ( 1) 1 ( 0) 1 3 0 P [ ! P [ e Задача

Приложна математика пролетен триместър 2011/2012 уч.год.

гл.ас. Хр. Кулина, катедра "Приложна математика и моделиране" – [email protected]

12. ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Една дискретна случайна величина е напълно определена, ако е известен

нейният закон за разпределение или функцията на разпределение на случайната

величина.

закон за разпределение

kppppk

21

21

,

i - възможни стойности на сл.в.,

)(i

Pi

p , 1 ip .

функция на разпределение

)()( xPxF

, ),( x .

Свойства:

1) 1)(0 xF

за всяко х;

2) )()()( aFbFbaP

.

гл.ас. Хр. Кулина – [email protected]

Задача 1. Дискретната сл.в. е зададена със закона на разпределение:

i 2 4 5 6

ip 0,1 0,3 0,2 0,4

а) Намерете функцията на разпределение на сл.в.

6при 1,

65при 0,6,

54при 0,4,

42при 0,1,

2при 0,

)(

x

x

x

x

x

xF

б) Намерете ).2(),52( PP


12.1. Биномно разпределена дискретна случайна величина

Случайната величина има биномно разпределение с параметри n и р

( ),( pnB ), ако възможните й стойности са nk ,,1,0 и knkk

nnqpCkPkP )()( , където )1( pq .

npE , npqD .

= {брой на “успехите” – сбъдванията, на дадено събитие A в n независими опита

на Бернули, като във всеки опит вероятността занаспътване на A е pAP )( и

остава неизменна}.

Задача 2. По канал се предава петбитово съобщение. Вероятността за грешка за

всеки бит е една и съща и е равна на 1/3.

a) Намерете вероятността за това първия и третия бит в съобщението да е грешен, а останалите битове – не;


.3

2

3

1

3

2.

3

2.

3

1.

3

2.

3

1)(

32

AP

б) Намерете вероятността за това втория и четвъртия бит в съобщението да е

грешен, а останалите битове – не.

.3

2

3

1

3

2.

3

1.

3

2.

3

1.

3

2)(

32

BP

в) Намерете вероятността за това два бита в соъбщението да са грешни.

.3

2

3

1.10

3

2

3

1)2(

3232

2

55

CP

г) Намерете з.р. на сл.в. = {брой сгрешени битове в съобщението}.

i 0 1 2 3 4 5

ip

243

32

243

80

243

80

243

40

243

10

243

1


Задача 3. Зар се хвърля 10 пъти.

a) Напишете з.р. на сл. в. = {брой паднали се шестици};

n = 10, p = 1/6, )6/1,10(B

kk

k

nCkPkP

10

106

5

6

1)()( , k = 0, 1, …, 10.

б) Намерете вероятността за това поне веднъж да се е паднала шестица;

.838,0162,016

5

6

11)0(1)1(

100

0

1010

CPP

в) Намерете вероятността за това броя на шестиците да е не по-малко от 2 и не

повече от 5.

5

210

)()52(k

kPP 0,513.


Задача 4. Отбор по футбол печели с вероятност 3/5 която и да е играна среща. Ако

отборът трябва да изиграе 6 срещи, да се състави законът за разпрезделение на

величината “брой на спечелените срещи”. Каква е вероятността:

а) да спечели повече от половината срещи;

б) да загуби всички срещи;

в) да спечели поне една.

С Mathematica PDF[BinomialDistribution[n,p],k]

Animate[ListPlot[Table[{𝑘,PDF[BinomialDistribution[𝑛,0.3],𝑘]},{𝑘,0,𝑛}],Filling−>Axis

],{𝑛,1,50,1}]


12.2. Поасоново разпределена дискретна случайна величина

Казваме, че дискретната случайна величина е разпределена по закона на Поасон с

параметър 0 ( )( Po ), когато приема изброимо много стойности ,,,2,1,0 n

и

ek

pkPk

k!

)( , ,,,1,0 nk

Математическото очакване и дисперсията на величина )( Po са:

DE , .

Случаи на разпределение на Поасон:

1) ),(~ pnB като параметърът е n много голям, а параметърът р – много малък

(редки явления), тогава )( Po като np .


2) - брой на настъпващите за даден интервал от време елементарни събития при

прост поток от събития интензивност .

Задача 5. Магазин получава 1000 бутилки минерална вода. Вероятността по пътя

една бутилка да се повреди е 0,003. Да се намери вероятността по време на

транспортирането да се повредят:

а) две бутилки;

б) по-малко от две бутилки;

в) повече от две бутилки;

г) поне от една бутилка;

n = 1 000, p = 0,003, .3 np

)3(Po

а) 224,0!2

3)2( 3

2

2 epP


б) 199,0!1

3

!0

3)2( 3

1

3

0

10 eeppP

г) 9502,00498,01!0

31)0(1)1( 3

0

ePP

Задача 6. Средния брой повиквания в диспечерски пункт на такси за една минута е

равно на 4. Намерете разпределението на сл.в. = {брой повиквания за една

минута}. Да се намери вероятността:

а) за една минута да няма повикване;

б) за една минута да има поне едно повикване;

в) за две минути да има 4 повиквания;

г) за две минути да има по-малко от 4 повиквания;

д) за две минути да има повече от 4 повиквания;

)4(Po


а) 4

4

0

0

1

!0

4)0(

eepP

б) 4

4 111)0(1)1(e

ePP

в) 0573,0!4

8)4( 8

4

eP

г)

9004,0)4()3()2()1()0((1)4(1)4( PPPPPPP .

С Mathematica PDF[PoissonDistribution[],k]


12.3. Числови характеристики на дискретни случайни

величини

Математическо очакване:

2211pp

ip

iE

CECECEC )(;

Дисперсия:

2)(22)( ip

ix

ip

iipE

iD

0DC


Задача 7. Намерете E , D и на случайната величина от Задача 1.

8,44,0.62,0.53,0.41,0.2 E .

56,1121

8328,44,0.62,0.53,0.41,0.2)(

2222222 EED .

249,1

D .

Математическо очакване и дисперсия на биномно

разпределена случайна величина

.,,:),( npqnpqDnpEpnB

Математическо очакване и дисперсия на поасоново

разпределена случайна величина

.:)( DEPo


Задача 8. Намерете E , D и на случайните величини на задачи 2. – 6.

Допълнителни задачи:

Зад.1. На всеки 6 изстрела един стрелец улучва целта средно 5 пъти. Да се намери вероятността

при осем изстрела той да улучи целта:

a) точно три пъти; b) между 4 и 6 пъти; c) повече от 6 пъти;

d) напишете закона за разпределение на сл. в. = „брой улучвания при осем опита“ и намерете E , D и .

Зад.2. В магазин за мъжки обувки вероятността за това клиент да търси номер 42 е една и съща

и е равна на 0,25. Намерете вероятността от 10 клиенти в магазина:

a) точно двама да търсят 42 номер; b) петима да търсят 42 номер; c) нито един да не търси 42 номер; d) поне един да търси 42 номер;

e) напишете закона за разпределение на сл. в. = „брой клиенти, носещи номер 42“ и намерете E , D и .

12. ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ. Diskretni razpredelenia.pdf0! 3 ( 2) 3 1 3 0 d 0 1 P [p p e e г) 1 0,8 0,2 0! 3 ( 1) 1 ( 0) 1 3 0 P [ ! P [ e Задача

Documents