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TTULTTULTTULTTULTTULO DE LO DE LO DE LO DE LO DE LA OBRA OBRA
OBRA OBRA OBRA:A:A:A:A:
Octava Edicin: 2 002
JORJORJORJORJORGE MENDOZA DUEASGE MENDOZA DUEASGE MENDOZA
DUEASGE MENDOZA DUEASGE MENDOZA DUEAS
Prohibida la reproduccin total o par-
cial de esta obra, por cualquier me-
dio, sin autorizacin expresa del autor.
FFFFFotototototooooogrgrgrgrgrafas:afas:afas:afas:afas:
Guillermo Pacheco Q.
DDDDDiagriagriagriagriagramacin y Camacin y Camacin y Camacin y
Camacin y Compompompompomposicin:osicin:osicin:osicin:osicin:Juan
Carlos Gonzales P.Fernando Gonzales P. 481-0554 / 382-3251
DISTRIBDISTRIBDISTRIBDISTRIBDISTRIBUCINUCINUCINUCINUCIN;;;;;
TTTTTelefax:elefax:elefax:elefax:elefax: 431-5031 / 522-3161
431-5031 / 522-3161 431-5031 / 522-3161 431-5031 / 522-3161
431-5031 / 522-3161E-mail: [email protected]
Impreso en Lima - Per, 2 002
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CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 1O 1O 1O 1O 1:::::
GGGGGenerenerenerenereneralidadesalidadesalidadesalidadesalidades
77777
Concepto de Fsica 7El mtodo cientfico 9
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 2:O 2:O 2:O 2:O 2:
MMMMMagnitudes Fsicagnitudes Fsicagnitudes Fsicagnitudes
Fsicagnitudes Fsicasasasasas 1111111111
Magnitud fsica 11Sistema de unidades - Notacin exponencial
13Anlisis dimensional 21Medicin - Teora de errores 31
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 3:O 3:O 3:O 3:O 3:
VVVVVececececectttttorororororeseseseses 4141414141
Vector 41Operaciones vectoriales 43
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 4:O 4:O 4:O 4:O 4:
EEEEEstticstticstticstticstticaaaaa 5757575757
Equilibrio 57Rozamiento 59Leyes de Newton - 1era condicin de
equilibrio 61Momento de una fuerza - 2da condicin de equilibrio
79Centro de gravedad 83
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 5:O 5:O 5:O 5:O 5:
CCCCCinemticinemticinemticinemticinemticaaaaa 9797979797
Movimiento 98Movimiento rectilneo uniforme 99Movimiento
rectilneo uniformemente variado 110Cada libre 118Grficos
relacionados al movimiento 127Movimiento compuesto 139Movimiento
circular 148
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 6:O 6:O 6:O 6:O 6:
DDDDDinmicinmicinmicinmicinmicaaaaa 159159159159159
2da ley de Newton 159Dinmica circular 174
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 7:O 7:O 7:O 7:O 7:
TTTTTrrrrrabajo - Pabajo - Pabajo - Pabajo - Pabajo -
Potototototencia - Enerencia - Enerencia - Enerencia - Enerencia -
Energagagagaga 187187187187187
Trabajo mecnico 187Potencia 188Energa mecnica 190
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 8:O 8:O 8:O 8:O 8:
MMMMMooooovimienvimienvimienvimienvimienttttto planetaro planetaro
planetaro planetaro planetario - Gio - Gio - Gio - Gio -
Grrrrraaaaavitacin univvitacin univvitacin univvitacin univvitacin
universalersalersalersalersal 201201201201201
Movimiento planetario 201Gravitacin universal 204
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 9:O 9:O 9:O 9:O 9: Oscilaciones
y Ondas mecnicOscilaciones y Ondas mecnicOscilaciones y Ondas
mecnicOscilaciones y Ondas mecnicOscilaciones y Ondas
mecnicasasasasas 213213213213213
Movimiento oscilatorio 213Movimiento armnico simple 213Pndulo
simple 215Movimiento ondulatorio 216
-
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 10:O 10:O 10:O 10:O 10:
EEEEEstticstticstticstticsttica de los fluidosa de los fluidosa de
los fluidosa de los fluidosa de los fluidos 229229229229229
Presin 229Principio de Pascal 230Presin hidrosttica 231Vasos
comunicantes 232Empuje 232
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 11:O 11:O 11:O 11:O 11:
CCCCCaloraloraloraloralor 243243243243243
Termometra 243Dilatacin 245Calorimetra 247
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 12:O 12:O 12:O 12:O 12:
GGGGGasesasesasesasesases 261261261261261
Comportamiento de los gases 261Termodinmica 263
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 13:O 13:O 13:O 13:O 13:
EEEEElecleclecleclectrtrtrtrtricidadicidadicidadicidadicidad
275275275275275
Teora electrnica 275Introduccin a la electrosttica 277Carga -
Campo elctrico 280Potencial elctrico 293Capacitancia
295Electrodinmica 307Corriente elctrica 307Circuitos elctricos
323
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 14:O 14:O 14:O 14:O 14:
MMMMMagnetismoagnetismoagnetismoagnetismoagnetismo
339339339339339
Imn 340Electromagnetismo 344
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 15:O 15:O 15:O 15:O 15:
pticpticpticpticpticaaaaa 363363363363363
Naturaleza de la luz 363Fotometra 365Reflexin de la luz
366Refraccin de la luz 381
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 16:O 16:O 16:O 16:O 16: Ondas
elecOndas elecOndas elecOndas elecOndas
electrtrtrtrtromagnticomagnticomagnticomagnticomagnticasasasasas
397397397397397
Espectro electromagntico 398Estudio experimental del espectro
visible 400
CAPTULCAPTULCAPTULCAPTULCAPTULO 17:O 17:O 17:O 17:O 17:
FsicFsicFsicFsicFsica moa moa moa moa moderderderderdernanananana
409409409409409
Teora cuntica 409Efecto fotoelctrico 409Modelo atmico 411El rayo
lser 412Teora de la relatividad 413
-
Captulo
Los fenmenos naturales son intrnsecos a la naturaleza, nacen
conella, es imposible que el hombre pueda regirlas o alterarlas,
como ejem-plos tenemos: la cada de los cuerpos, los fenmenos
pticos, la atrac-cin magntica, la transformacin de la energa, entre
otros; por otrolado es obvio afirmar que siempre existi una
interaccin mutua en-tre el hombre y la naturaleza.El ser humano
mediante su inteligencia trat de encontrar la solucinal porqu de
los fenmenos naturales, surgi entonces la ciencia queno es ms que
el conocimiento y estudio de las leyes de la naturaleza.Sera
absurdo dar una fecha al nacimiento de la ciencia, pues sta
apa-rece tras una evolucin contnua del hombre en el espacio y en
eltiempo. Entindase que la ciencia encierra un conocimiento
cualitati-vo y cuantitativo de las leyes naturales; pues si no se
puede medir yexpresar en nmeros las leyes de un fenmeno, por ms que
su expli-cacin cualitativa sea contundente, sta ser pobre e
insatisfactoria;de ah que las matemticas se convierten en una
herramienta impres-cindible en la formulacin de una Ley.
PPPPPararararara qu sira qu sira qu sira qu sira qu sirvvvvve la
ciencia?e la ciencia?e la ciencia?e la ciencia?e la
ciencia?Realmente esta pregunta es muy amplia, pero de manera
general sepuede afirmar que sirve para:
Prevenir el acontecimiento futuro de un fenmeno natural
(te-rremoto, lluvia, huracn, etc.)
Poder usarlas de acuerdo a nuestros intereses. Usamos el vien-to
para trasladarnos en avin; usamos la cada del agua paragenerar
energa elctrica; usamos los diferentes tipos de on-das para
comunicarnos.
Modernizarnos, pues la ciencia tiene su aplicacin directa,
porejemplo: La Ingeniera, La Medicina, La Astronoma, etc.
La manzana cae hacia la tierra, por la atraccingravitatoria.
EXPLICEXPLICEXPLICEXPLICEXPLICAAAAACIN CUCIN CUCIN CUCIN CUCIN
CUALITALITALITALITALITAAAAATIVTIVTIVTIVTIVAAAAA
Es posible calcular la fuerza gravitatoria.
EXPLICEXPLICEXPLICEXPLICEXPLICAAAAACIN CUCIN CUCIN CUCIN CUCIN
CUANTITANTITANTITANTITANTITAAAAATIVTIVTIVTIVTIVAAAAA
FGmM
H=
2F
-
El hombre, para facilitar el estudio de la ciencia hacredo
conveniente dividirlas en varias ramas, y estoes enteramente
convencional. La palabra Fsica pro-viene del trmino griego physis
que significa
NNNNNa-a-a-a-a-turturturturturalealealealealezazazazaza, por lo
tanto, la Fsica podra ser la cienciaque se dedica a estudiar los
fenmenos naturales;este fue el enfoque de la Fsica hasta principios
delsiglo XIX con el nombre de ese entonces FilosofaNatural. A
partir del siglo XIX se redujo al campode la Fsica, limitndola al
estudio de los llamadosFFFFFenmenos Fsicenmenos Fsicenmenos
Fsicenmenos Fsicenmenos Fsicososososos, los dems se separaron
deella y pasaron a formar parte de otras ciencias na-turales. Es
innegable que el estudio de la Fsicainvolucra la experimentacin del
fenmeno y lacuantificacin del mismo, por eso es importantecombinar
la teora, con ayuda de las clases dicta-das por los profesores o la
bibliografa de los diver-
sos libros del curso y la prctica o experimento delfenmeno en
estudio; pues as lo hicieron los gran-des cientficos como
Arqumides, Galileo, Newton,Einstein entre otros.
Es una rama de la ciencia de tipo experimental, queobserva,
estudia y gobierna mediante leyes los lla-mados fenmenos
fsicos.
Es el cambio o modificacin que sufren los cuerposde la
naturaleza, bajo la influencia de diversas formasde energa; existen
muchos fenmenos. En esta opor-tunidad nos ocuparemos solo de tres
fenmenos.
A)A)A)A)A) F F F F Fenmeno Fsicenmeno Fsicenmeno Fsicenmeno
Fsicenmeno FsicoooooEs el cambio que sufre la materia sin alterar
su estructura ntima. Se caracteriza por ser reversible
IIIII
lustrlustrlustrlustrlustracionesacionesacionesacionesaciones
B)B)B)B)B) FFFFFenmeno Qenmeno Qenmeno Qenmeno Qenmeno
QumicumicumicumicumicoooooEs el cambio que sufre la materia
experimentando una alteracin en su estructura qumica. Se
carac-teriza por ser irreversible, es decir el cuerpo no vuelve a
ser jams lo que inicialmente era.
IIIII
lustrlustrlustrlustrlustracionesacionesacionesacionesaciones
La piedra cambi de posicin , pero no cambi su estructura qumica.
Ini-cialmente era piedra,finalmente tambin lo es; por lo tanto se
produjo unfenmeno fsico.
La evaporacin del agua es un fenmeno fsico. Inicialmente era
agua, final-mente tambin es agua.
Si se quema una madera, ste cambia. El fenmeno es qumico;
inicialmenteel cuerpo era madera , finalmente no lo es.
Cuando se somete al azcar a la accin del calor, el azcar se
transforma en uncuerpo negro (carbn de azcar); ya no vuelve a ser
el azcar primitivo.
C)C)C)C)C) FFFFFenmeno Fsicenmeno Fsicenmeno Fsicenmeno
Fsicenmeno Fsico-Qo-Qo-Qo-Qo-QumicumicumicumicumicoooooEste fenmeno
tiene algunas caractersticas del fenmeno fsico y otras del
qumico.
azcar
fuego
-
A)A)A)A)A) MMMMMecnicecnicecnicecnicecnica.-a.-a.-a.-a.- Estudia
los fenmenos relacio-nados con los movimientos de los cuerpos
ascomo las fuerzas que actan en ellos.Se divide en:
MMMMMecnicecnicecnicecnicecnica de los Slidos Rgidos:a de los
Slidos Rgidos:a de los Slidos Rgidos:a de los Slidos Rgidos:a de
los Slidos Rgidos:- Cinemtica- Esttica- Dinmica
MMMMMecnicecnicecnicecnicecnica de los Slidos Da de los Slidos
Da de los Slidos Da de los Slidos Da de los Slidos
Defefefefefororororormablesmablesmablesmablesmables
MMMMMecnicecnicecnicecnicecnica de los Fa de los Fa de los Fa de
los Fa de los Fludosludosludosludosludos
B)B)B)B)B) CCCCCaloraloraloraloralor.- .- .- .- .- Estudia las
interacciones en el inte-rior de la materia.
C)C)C)C)C) AAAAAcsticcsticcsticcsticcstica.- a.- a.- a.- a.-
Estudia los fenmenos referentesal sonido.
D)D)D)D)D)
EEEEElecleclecleclectrtrtrtrtricidadicidadicidadicidadicidad.- .-
.- .- .- Estudia los fenmenos rela-cionados con la carga
elctrica.
E)E)E)E)E) OpticOpticOpticOpticOptica.- a.- a.- a.- a.- Estudia
la interaccin de la luz conla materia.
F)F)F)F)F) MMMMMagnetismoagnetismoagnetismoagnetismoagnetismo.-
.- .- .- .- Estudia los fenmenos rela-cionados con los campos
magnticos.
G)G)G)G)G) FsicFsicFsicFsicFsica Ma Ma Ma Ma
Moooooderderderderderna.- na.- na.- na.- na.- Cubre los desarrollos
al-canzados en el siglo XX.
Es un mtodo de la Fsica, dirigido a las personas de ciencias y
contempla los pasos a seguir para formularuna ley fsica.En la
prctica nosotros podemos comprobar la veracidad de una ley
utilizando este mtodo.El mtodo cientfico es esencialmente un mtodo
experimental y tiene como gestor a Galileo Galilei.
A continuacin se dar a conocer cada uno de los pasos utilizando
como ejemplo ilustrativo, la ley de laGravitacin Universal,
formulada por Isaac Newton.
Cuenta la historia que Newton observ que la manzana caa hacia la
tierra . Tambin descubri que la luna cae eternamente hacia nuestro
planeta.
Consiste en realizar un examen visual-mental del fenmeno,
notando suestado actual y sus transformaciones as como los
diferentes factores que parecen influenciarlos.Muchas veces las
condiciones y circunstancias en que se realiza el fenmeno no es el
ptimo,motivo por el cual la observacin debe realizarse minuciosa y
reiteradamente.
Para describir un fenmeno fsico existen dos tipos: ladescripcin
cualitativa y cuantitativa.Se dice que una descripcin es
cualitativa, cuando se describe con palabras y no con nmeros,
porejemplo: el edificio es alto, la temperatura del horno es alta,
el caudal de las aguas del ro es grande.Obviamente que esta clase
de descripcin deja muchas preguntas sin respuesta, se necesitar
enton-ces de los nmeros y estos se basan en una medicin.
-
El mtodo cientfico exige comparacin y estas se efectan mejor en
forma cuantitativa, es decir, connmeros.Esto no significa que el
cientfico necesariamente tenga que partir de una medicin indita,
muchasveces l aprovecha las mediciones de sus colegas antecesores,
las cuales le sirven como base paradescribir cuantitativamente el
fenmeno en estudio.
A partir de hechos y leyes conocidas, un cientficopuede
descubrir nuevos conocimientos en una forma terica. Se entiende por
teora al hecho que elFsico proponga un modelo de la situacin fsica
que est estudiando, utilizando relaciones previa-mente,
establecidas; ordinariamente expresa su razonamiento mediante
tcnicas matemticas.
Newton aprovech los estu-dios realizados por los cient-ficos que
le antecedieroncomo los de NicolsCoprnico, Galileo quien in-vent el
telescopio, TychoBrahe que se ocup por 20aos de hacer mediciones
delos cuerpos celestes con ayu-da del telescopio, as como deJohanes
Kepler (amigo deGalileo) quien formulara susfamosas Leyes de
Kepler.
Con ayuda delas leyes deKepler, as comode su segundaLey, Newton
lle-v a cabo sumodelo mate-mtico hastallegar a una hi-ptesis.
Hiptesis:
Donde: G = cte. de gravitacin universal.
Henry Cavendishfue quien determi-n experimental-mente el valor
de laconstante G, 70aos despus de lamuerte de Newton; con lo cual
se com-prob la veracidadde la hiptesis deNewton(ley).
Consiste en la observacin del fenmeno bajo condiciones
preparadascon anterioridad y cuidadosamente controladas.De esta
manera el cientfico puede variar las condi-ciones a voluntad,
haciendo msfcil descubrir como ellas afectanel proceso.Si esta
ltima se llena satisfac-toriamente, la hiptesis pasa aser un hecho
comprobado ypuede ser una Ley de la Fsicaque se enuncia mediante
fr-mulas matemticas.
De todo lo expuesto es fcil deducir que todo cientfico tiene
como meta descubrir las leyes de lanaturaleza y ello empieza con la
curiosidad que es lo que lleva a la observacin del fenmeno(inicio
del mtodo cientfico).
T
r
T
rcte1
2
13
22
23= =
FmR
T=
4 2
2
T
RK cte
2
3= =
FGmM
R=
2
Ley de Newton:
Ley de Kepler:
-
MAGNITUDES FSICASMAGNITUDES FSICASMAGNITUDES FSICASMAGNITUDES
FSICASMAGNITUDES FSICAS
Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, dicho
en otraspalabras es susceptible a ser medido.
Para qu sirven las magnitudes fsicas? sirven para traducir en
nme-ros los resultados de las observaciones; as el lenguaje que se
utiliza enla Fsica ser claro, preciso y terminante.
CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICASCLASIFICACIN DE LAS
MAGNITUDES FSICASCLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICASCLASIFICACIN
DE LAS MAGNITUDES FSICASCLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICAS
1.- POR SU ORIGEN
A) Magnitudes FundamentalesSon aquellas que sirven de base para
escribir las dems magnitudes.En mecnica, tres magnitudes
fundamentales son suficientes: Lalongitud, la masa y el tiempo.Las
magnitudes fundamentales son:
B) Magnitudes DerivadasSon aquellas magnitudes que estn
expresadas en funcin de lasmagnitudes fundamentales; Ejemplos:
Longitud (L) , Intensidad de corriente elctrica (I)Masa (M) ,
Temperatura termodinmica ()Tiempo (T) , Intensidad luminosa (J)
Cantidad de sustancia ()
Velocidad , Trabajo , PresinAceleracin , Superficie (rea) ,
Potencia, etc.Fuerza , Densidad
MAGNITUDESFSICAS
Captulo 2
C) Magnitudes Suplementarias(Son dos), realmente no son
magnitudes fundamentales ni deriva-das; sin embargo se les
considera como magnitudes fundamentales:
ngulo plano () , ngulo slido ()
-
Jorge Mendoza Dueas12
2.- POR SU NATURALEZA
A) Magnitudes EscalaresSon aquellas magnitudes que estn
perfectamente determinadas con slo conocer su valor numri-co y su
respectiva unidad.
Ejemplos:
VOLUMEN TEMPERATURA TIEMPO
Como se ver en todos estos casos, slo se necesita el valor
numrico y su respectivaunidad para que la magnitud quede
perfectamente determinada.
El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orienta-cin
N 60 E (tiene direccin y sentido) con lo cual es fcil llegardel
punto o a la casa.
Sabemos que la fuerza que se est aplicando al bloque es de5
Newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica quela
fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendramos ideasi se
aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una
magnitudvectorial.
FUERZA DESPLAZAMIENTO
B) Magnitudes VectorialesSon aquellas magnitudes que adems de
conocer su valor numrico y unidad, se necesita la direcciny sentido
para que dicha magnitud quede perfectamente determinada.
Ejemplos:
Tengo fiebrede 40 C
Que fatal!
Son las12:15 P.M.
Ya es tarde!
F N= 5
Slo necesito100 mm3 y estarterminado
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Magnitudes Fsicas 13
SISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADESSISTEMA
DE UNIDADESSISTEMA DE UNIDADES
La necesidad de tener una unidad homognea paradeterminada
magnitud, obliga al hombre a definirunidades convencionales.
Origen del Sistema de Unidades:
SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES
SISTEMA DE UNIDADES SISTEMA DE UNIDADES - NOT NOT NOT NOT NOTACIN
EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN
EXPONENCIAL
Convencionalmente:
1 pulgada = 2,54 cm1 pie = 30,48 cm1 yarda = 91,14 cm
El 14 de octubre de 1 960, la Conferencia Generalde Pesas y
Medidas, estableci el Sistema Interna-cional de Unidades (S.I.),
que tiene vigencia en laactualidad y que en el Per se reglament
segn laley N 23560.
Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Interna-cional (S.I),
estas son:
1. UNIDADES DE BASESon las unidades respectivas de las
magnitudes fundamentales.
2. UNIDADES SUPLEMENTARIASSon las unidades correspondientes a
las mag-nitudes suplementarias, sin embargo se lesconsidera como
unidades de base.
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO PATRON PRIMARIO
Longitud metro m Basado en la longitud de onda de la luz emitida
por una lmpara decriptn especial.
Un cilindro de aleacin de platino que se conserva en el
laboratorioNacional de Patrones en Francia.
Basado en la frecuencia de la radiacin de un oscilador de
cesioespecial.
Con base en la de fuerza magntica entre dos alambres que
transpor-tan la misma corriente.
Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela
simul-tneamente si la presin es adecuada.Basado en la radiacin de
una muestra de platino fundido preparadaespecialmente.
Con base en las propiedades del carbono 12.
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Ampere AIntensidad de
Corriente Elctrica
Kelvin KTemperatura
Termodinmica
Candela cdIntensidadLuminosa
mol molCantidad
de Sustancia
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO
Angulo Plano radin rad
Angulo Slido estereorradin sr
1 pulgada 1 yarda
1 pie
-
Jorge Mendoza Dueas14
3. UNIDADES DERIVADASSon las unidades correspondientes a las
mag-nitudes derivadas. A continuacin slo se pre-sentarn algunas de
ellas.
NOTNOTNOTNOTNOTACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN
EXPONENCIALACIN EXPONENCIALACIN EXPONENCIAL
En la fsica, es muy frecuente usar nmeros muygrandes, pero
tambin nmeros muy pequeos;para su simplificacin se hace uso de los
mltiplosy submltiplos.
OBSERVACIONES
El smbolo de una unidad no admite puntoal final.
Cada unidad tiene nombre y smbolo; estosse escriben con letra
minscula, a no ser queprovenga del nombre de una persona, encuyo
caso se escribirn con letra mayscula.
1. MLTIPLOS
2. SUBMLTIPLOS
OBSERVACIONES
Los smbolos de los mltiplos o submltiplosse escriben en
singular.
Todos los nombres de los prefijos se escribi-rn en minscula.
Los smbolos de los prefijos para formar losmltiplos se escriben
en maysculas, excep-to el prefijo de kilo que por convencin sercon
la letra k minscula. En el caso de lossubmltiplos se escriben con
minsculas.
Al unir un mltiplo o submltiplo con unaunidad del S.I. se forma
otra nueva unidad.
Ejemplo:
La escritura, al unir mltiplo o submltiplocon una unidad del
S.I. es la siguiente:Primero: El nmero (valor de la
magnitud).Segundo: El mltiplo o submltiplo (dejan-do un
espacio)Tercero: La unidad del S.I. (sin dejar espacio).
Ejemplo:
20103 m = 20 km (20 kilmetros)36,410-6 f = 36,4 f (36,4
microfaradios)
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO
Fuerza Newton N
Superficie (Area) metro cuadrado m2
Velocidad metro por segundo m/s
Volumen metro cbico m3
Trabajo Joule J
Presin Pascal Pa
Potencia Watt W
Frecuencia Hertz Hz
Capacidad Elctrica faradio f
Resistencia Elctrica Ohm
Deca D 101 = 10
Hecto H 102 = 100
Kilo k 103 = 1 000
Mega M 106 = 1 000 000
Giga G 109 = 1 000 000 000
Tera T 1012 = 1 000 000 000 000
Peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000
Exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000
PREFIJO SMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIN
deci d 10-1 = 0,1
centi c 10-2 = 0,01
mili m 10-3 = 0,001
micro 10-6 = 0,000 001nano n 10-9 = 0,000 000 001
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001
PREFIJO SMBOLO FACTOR DE MULTIPLICACIN
Unidad del S.I. m (metro)
Nuevas Unidades km (kilmetro)
cm (centmetro)
-
Magnitudes Fsicas 15
CIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICACIFRAS
SIGNIFICACIFRAS SIGNIFICATIVTIVTIVTIVTIVASASASASAS
Cuando un observador realiza una medicin, notasiempre que el
instrumento de medicin posee unagraduacin mnima:
Ilustracin
Se podr afirmar entonces que el largo del libromide 33
centmetros ms una fraccin estimada odeterminada al ojo, as por
ejemplo, nosotros po-demos estimar: L = 33,5 cm.
La regla graduada tiene como graduacin mnima el centmetro.
CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Las cifras significativas de un valor medido, estndeterminados
por todos los dgitos que puedenleerse directamente en la escala del
instrumentode medicin ms un dgito estimado.
l El dgito distinto de cero que se halle ms ala izquierda es el
ms significativo.
l El dgito que se halle ms a la derecha es elmenos
significativo, incluso si es cero.
l El cero que se coloca a la izquierda del puntode una fraccin
decimal no es significativo.20 ; tiene una cifra significativa.140
; tiene dos cifras significativas.140,0 ; tiene cuatro cifras
significativas.1 400 ; tiene dos cifras significativas.
l Todos los dgitos que se hallen entre losdgitos menos y ms
significativos son signi-ficativos.
Ejemplo; determinar el nmero de cifras significa-tivas:
4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas.0,23 m ; tiene dos
cifras significativas.0,032 m ; tiene dos cifras
significativas36,471 2 m; tiene seis cifras significativas6,70 m ;
tiene tres cifras significativas321,2 m ; tiene cuatro cifras
significativas2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas
En el ejemplo del libro, la longitud del mismo sepuede expresar
as:
33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m
Es notorio que el nmero de cifras significativas enel presente
ejemplo es tres.
El nmero de cifras significativas en un valor me-dido,
generalmente se determina como sigue:
Al medir el largo del libro se observa que su medida est entre
33 y 34 cm.
-
Jorge Mendoza Dueas16
1.- Entre las alternativas, una de las unidades no corres-ponde
a las magnitudes fundamentales del sistemainternacional:
a) metro (m)b) Pascal (Pa)c) Amperio (A)d) candela (cd)e)
segundo (s)
2.- Qu magnitud est mal asociada a su unidad baseen el S.I.?
a) Cantidad de sustancia - kilogramob) Tiempo - segundoc)
Intensidad de corriente - Amperiod) Masa - kilogramoe) Temperatura
termodinmica - kelvin
3.- Cul de las unidades no corresponde a una unidadfundamental
en el S.I.?
a) A Amperiob) mol - molc) C - Coulombd) kg - kilogramoe) m -
metro
4.- Entre las unidades mencionadas, seala la que perte-nece a
una unidad base en el S.I.
a) N Newtonb) Pa - Pascalc) C - Coulombd) A - Amperioe) g -
gramo
5.- Qu relacin no corresponde?
a) 1 GN = 109 Nb) 2 TJ = 21012 Jc) 1 nHz = 109 Hzd) 3 MC = 3109
Ce) 5 pA = 51012 A
6.- Al convertir una seal de camino al sistema mtrico, slose ha
cambiado parcialmente. Se indica que una po-blacin est a 60 km de
distancia, y la otra a 50 millas dedistancia (1 milla = 1,61 km).
Cul poblacin est msdistante y en cuntos kilmetros?
a) 50 millas y por 2,05 10 4 mb) 20 millas y por 2,1 104 mc) 30
millas y por 2,1 105 md) 40 millas y por 10 4 me) N.A.
7.- Un estudiante determinado meda 20 pulg de largocuando naci.
Ahora tiene 5 pies, 4 pulg y tiene 18 aosde edad. Cuntos centmetros
creci, en promedio,por ao?
a) 6,2 cmb) 5,3 cmc) 5,4 cmd) 6,7 cme) 4,3 cm
8.- Cul de las siguientes alternativas tiene mayor n-mero de
cifras significativas?
a) 0,254 cmb) 0,002 54 102 cmc) 254 103 cmd) 2,54 103 me) Todos
tienen el mismo nmero
9.- Determine el nmero de cifras significativas en las
si-guientes cantidades medidas:(a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722
kg, (d) 22 m
a b c d
a) 4 3 5 3b) 2 2 5 2c) 4 3 5 2d) 1 1 3 2e) 2 1 3 2
10.- Cul de las cantidades siguientes tiene tres cifras
sig-nificativas?
a) 305 cmb) 0,050 0 mmc) 1,000 81 kgd) 2 me) N.A.
TESTTESTTESTTESTTEST
-
Magnitudes Fsicas 17
6 780 6 7801
102m m
Hm
m=
1.- Efectuar: E = 5 000 00,01
Solucin:
E = 500
E = 5
400 320 m = 400,320 km
4.- Convertir:
Solucin:
E = 5 10 1 104 2e je jE = = 5 10 5 104 2 2
E = 0 005 10 30 000 0004,
E = 5 10 10 3 103 4 7e je je j
360km
ha
m
s
2 230 2 23 103 9m Gm= ,
2 230 2 23 10 6m Gm= ,
5.- Cuntos Gm tendrs en 2 230 m?
Solucin:
A problemas de aplicacin
1.- Dar la expresin reducida:
Solucin:
3.- Hallar la altura del nevado Huascarn en hectme-tros si
expresado en metros mide 6 780 m.
Solucin:
E =( ) ( , )
( , )
9 000 0 000 81
0 000 000 243
3 2
2
E =
=
( ) ( )
( )
( )
( )
3 10 81 10
243 10
3 10 3 10
3 10
2 3 3 5 2
9 2
6 9 4 5 2
5 9 2
E = 3 104 17
E = 81 1017
R =25 000 0 000 125
0 006 25 0 05
5 3
2 4
b g b gb g b g
,
, ,
R =25 000 0 000 125
0 006 25 0 05
5 3
2 4
b g b gb g b g
,
, ,
R =
25 10 125 10
625 10 5 10
3 5 6 3
5 2 2 4
e j e je j e j
2.- Dar el valor simplificado de:
Solucin:
R =
5 10 5 10
5 10 5 10
10 15 9 18
8 10 4 8
R = + + +5 1010 9 8 4 15 18 10 8b g b g
R = 5 107 15
2.- Efectuar:
Solucin:
3.- Convertir: 400 320 m a km
Solucin:
PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS
RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS
B problemas complementarios
E = = +5 10 5 103 4 7 0
400 320 400 3201
1 000m m
km
m=
360 3601 000
1
1
3 600
km
h
km
h
m
km
h
s=
360360 1 000
3 600
km
hm s=
( )( )/
36036 10
36 1010
4
24 2km
hm s=
=
/
360 100km
hm s= /
2 230 2 23 101
103
9m m
Gm
m= ,
E =
=
+ +3 10 3 10
3 103 10
6 9 8 10
10 186 8 10 9 10 18( ) ( )
R =
5 10 5 10
5 10 5 10
2 3 5 3 6 3
4 5 2 2 4
e j e je j e j
E = + +3 106 8 10 9 10 18( ) ( )
6 780 67 80m Hm= ,
-
Jorge Mendoza Dueas18
e mm= 26 2
1 946 080 10 8ao luz Em=
1 946 080 10 10 107 3 18ao luz Em=
1234
1234
1234
1234
1234
1234
1234
1234
12345
12345
12345
12345
12345
12345
12345
12345
1234
1234
1234
1234
1234
1234
1234
1234
123
123
123
123123
123
123
123
123
4.- Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cadauna de
ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar di-cho resultado en
nm.
Solucin:
6.- Expresar en potencias de 10.
Solucin:
7.- Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra auna
estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 aosluz. (1 ao luz =
distancia que recorre la luz en un aode 365 das). Considere que la
luz recorre 300 000 kmen 1 segundo.
Solucin:
8.- Convertir: 30 m/s a milla/h1 milla = 1 609, 347 m
Solucin:
5.- Un cabello humano crece a razn de 1,08 mm por da.Expresar
este clculo en Mm / s.
Solucin:
d = 2 ao luz
1 ao luz = 300 000 365km
s das
e m= 52 10 3
e nm= +52 10 103 9
e nm= 52 106
Vm
s=
108 10
24 10 36 10
2
3 2
Vm
s= 0 125 10 7,
Vm
s
Mm
sm
s
= 0 125 101
10
7
6,
VMm
s= 0 125 10 13,
Q =
625 10 64 10
5 10 16 10
6 1 2 6 1 3
2 2 3 4
e j e je j e j
/ /
Q =
5 10 2 10
5 10 2 10
4 6 1 2 6 6 1 3
2 4 4 3 4
e j e je je j
/ /
Q =
=
+ +5 10 2 10
5 10 2 102 10
2 3 2 2
2 4 16 1214 3 2 4 12b g
Q = 2 1014 11
1 300 000 365 24 3 600ao luz km=
1 3 10 365 24 36 105 2ao luz km=
Finalmente:
d Em= 2 946 080 10 8e j
d Em 19 10 3
e mmm
mm= 26 2
1
1 000
e mnm
m=
52 101
103
9
Vmm
da
mm
h= =
1 08
1
1 08
24
, ,
Q =0 000 625 0 000 064
0 05 0 016
3
2 4
, ,
, ,b g b g
1 300 000 36524
1
3 600
1ao luz
km
sia
h
dia
s
h= d
1 946 080 101 000
1
1
107
18ao luz km
m
km
Em
m=
30 303 600
1
1
1 609 347
m
s
m
s
s
h
milla
m=
,
d Em= 1 892160 10 8
Vmm
h
m
mm
h
s=
1 08
24
1
1 000
1
3 600
,
-
Magnitudes Fsicas 19
9.- Convertir: 1kw-h a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowatt
wattNewton
s=
Solucin:
10. Convertir:
1 litro = 1 3dm ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dm
30 67 108m
s
milla
h= ,
lb
pua
gramo
mililitro
g
mllg3FHG
IKJ
Solucin:
1.- Efectuar: E = 0,0022 000
Rpta. E = 4
2.- Efectuar: E = 2 2500,020,000 004106
Rpta. E = 180
3.- Efectuar:
Rpta. E = 30,000 03
4.- Cul es el resultado de efectuar:
Rpta. E = 26,35104
A problemas de aplicacin
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS
PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
E =
4 000 004 10 0 003
0 000 004 10
4
4
,
,
E =2 635 26 35
0 000 263 5
, ,
,
E =
0 003 49 000 0 9 0 081
8 100 270 0 72
, , ,
,b g
5.- Expresar el resultado en notacin cientfica.
Rpta. E = 103
6.- Dar el resultado de efectuar:
Rpta. E = 105
7.- Qu distancia en Mm recorri un mvil que marchaa 36 km/h en 2
Es?
Rpta. 21013
3030 3 600
1 609 347
m
s
milla
h=
,
kw h= 1 kw-h
36 105 w s= 1 kw-h
36 101
5 w s
Joule
sw
= 1 kw-h
36 105 Joule= 1 kw-h
1 kw-h = kw hw
kw
s
h
1 000
1
3 600
1
* ,1 2 2kg lb=
1 000 2 2g lb= ,
1 2 2 10 3g lb= ,
* 1 1 3litro dm=
1
1 000
1
1 0003litro dm=
1 10 3 3ml dm=
*lg lg ,
lg
,
1 1 1
2 2 10
1
0 2543 3 3
3
3
lb
pu
lb
pu
g
lb
pu
dm=
b g1 1
2 2 10 0 2543 3 3 3
lb
pu
g
dmlg , ,=
e jb g
127 738 1
3 3
lb
pu
g
dmlg,=
127 738 1
10
13 3
3 3lb
pu
g
dm
dm
mllg,=
127 738 1
3
lb
pu
g
mllg,=
E =27 000 000
0 008 1
3
4 ,
?
-
Jorge Mendoza Dueas20
B problemas complementarios
1.- Efectuar:
Rpta. E = 3,4410-4
2.- Efectuar:
Rpta. E = 0,001
3.- Efectuar:
Rpta. E = 5,223 x 108
4.- Halla la expresin reducida en (pN)
Rpta. 32 pN
E = 0 000 020 123
146 23425 105
,
E = 0 000 000 000 004
0 000 006
45 000 000
30 000
,
,
E= 0 000 000 004 002
45 000
10 22
0 006
3 19,
,
b g
MJ J
J NJ N
m
s= =
0 000 008 128 000
0 025 6 4001
2 3
4 2
,
,;
b g b gb g b g
8.- En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 go-tas, en 6 m3
Cuntas gotas tendremos?
Rpta. 18 106 gotas
9.- A cuntos kPa equivalen 25 GN distribuidos en5 Mm2? (Pa =
N/m2)
Rpta. 5 kPa
10.- Si 1J = Nm, expresar en pJ el producto de 6 GN por12
am.
Rpta. 72 x 103 pJ
5.- Halla la expresin reducida en:
Rpta. M = 2-71011 m/s2
6.- En un cultivo bacterial se observa que se reproducenen
progresin geomtrica cada hora, en razn de2 000 bacterias. Si
inicialmente se tuvo 8 bacterias.Cuntas habran en 3 horas? Expresar
este resulta-dos en Gbacterias?
Rpta. 64 Gbacterias
7.- Una pelota de 0,064 5 m de dimetro est sobre unbloque que
tiene 0,010 9 m de alto. A qu distanciaest la parte superior de la
pelota por sobre la basedel bloque? (Dar su respuesta en
metros)
Rpta. 7,54102 m
8.- Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene6,023 1023
granos de arena. Cuntos ng habren 18,069 1028 granos de arena?
Rpta. 31017 ng
9.- Una bomba atmica libera 40 GJ de energa. Cun-tas bombas se
destruyeron si se obtuvo 641036 J deenerga?
Rpta. 161026 bombas
10.- Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumende 4 500
km3. Hallar su densidad en g/m3.
Rpta.E
GN fN kN
TN N=
6 4 0 000 32 1600
12 8 8
, ,
,
b g b g b gb g b g
1
3103
3
gm
-
Magnitudes Fsicas 21
Estudia la forma como se relacionan las magni-tudes derivadas
con las fundamentales.
ANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONALANLISIS
DIMENSIONALANLISIS DIMENSIONAL
Toda unidad fsica, est asociada con una dimensinfsica.As, el
metro es una medida de la dimensinlongitud (L), el kilogramo lo es
de la masa (M),el segundo pertenece a la dimensin del tiem-po
(T).Sin embargo, existen otras unidades, como el m/sque es unidad
de la velocidad que puede expre-sarse como la combinacin de las
antes mencio-nadas.
Dimensin de velocidad =
As tambin, la aceleracin, la fuerza, la potencia,etc, pueden
expresarse en trminos de las dimen-siones (L), (M), y/o (T).El
anlisis de las Dimensiones en una ecuacin, mu-chas veces nos
muestra la veracidad o la falsedadde nuestro proceso de operacin;
esto es fcil dedemostrar ya que el signo = de una ecuacin in-dica
que los miembros que los separa deben detener las mismas
dimensiones.Mostraremos como ejemplo:
ABC = DEF
Es una ecuacin que puede provenir de un desa-rrollo extenso, una
forma de verificar si nuestro pro-ceso operativo es correcto, es
analizndolodimensionalmente, as:
(dimensin de longitud)2 = (dimensin de longitud)2
En el presente caso comprobamos que ambosmiembros poseen las
mismas dimensiones, luegola ecuacin es correcta.
En la aplicacin del Mtodo Cientfico, ya sea parala formulacin de
una hiptesis, o en la experimen-tacin tambin es recomendable usar
el AnlisisDimensional.
Dimensin de longitudDimensin del tiempo
Fines del anlisis dimensional
1.- El anlisis dimensional sirve para expresar lasmagnitudes
derivadas en trminos de las fun-damentales.
2.- Sirven para comprobar la veracidad de las fr-mulas fsicas,
haciendo uso del principio de ho-mogeneidad dimensional.
3.- Sirven para deducir las frmulas a partir de da-tos
experimentales.
ECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES
DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALESECUACIONES DIMENSIONALES
Son expresiones matemticas que colocan a lasmagnitudes derivadas
en funcin de las fundamen-tales; utilizando para ello las reglas
bsicas delalgebra, menos las de suma y resta.Estas ecuaciones se
diferencian de las algebraicasporque slo operan en las
magnitudes.
NOTACIN
A : Se lee letra A
[A] : Se lee ecuacin dimensional de A
Ejemplos: Hallar la Ecuacin Dimensional de:
Velocidad (v)
ve
tv
e
t
L
T= = =
v LT= 1
Aceleracin (a)
a a= = =v
t
v
t
LT
T
1
a = LT 2
-
Jorge Mendoza Dueas22
Fuerza (F)
Trabajo (W)
Potencia (P)
Area (A)
Volumen (V)
Presin (P)
Densidad (D)
F MLT= 2
W F d= .
W F d W F d MLT L= = = . 2
W ML T= 2 2
PW
tP
W
t
ML T
T= = =
2 2
P ML T= 2 3
= A L LA = (Longitud)(Longitud)
A L= 2
V = (Longitud)(Longitud)(Longitud)
V L= 3
PFuerza
AreaP
F
A
MLT
L= = =
2
2
P ML T= 1 2
DMasa
VolumenD
M
V
M
L= = = 3
D ML= 3
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE
HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADPRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
Si una expresin es correcta en una frmula, se debecumplir que
todos sus miembros deben serdimensionalmente homogneos. As:
E A B C D= = = =
E A + B + C = D
V = V = V = V = VPor lo tanto se tendr:
OBSERVACIN
Los nmeros, los ngulos, los logaritmos y lasfunciones
trigonomtricas, no tienen dimensio-nes, pero para los efectos del
clculo se asumeque es la unidad.
F m= .a
F m= . a
; siendo a = aceleracin
-
Magnitudes Fsicas 23
TESTTESTTESTTESTTEST
1.- Siendo a una magnitud fsica, que proposicin o
queproposiciones siempre se cumplen:
I. [a] + [a] + [a] = [a]II. [a] - [a] = [a]III. [a] - [a] =
0
a) I d) IIIb) II e) N.A.c) I y II
2.- Cul ser las dimensiones de Q kg m s= 3 2/ . ?
a) M L1 T1 d) M LT1
b) M L1 T2 e) M LTc) M L T2
3.- Qu relacin no es correcta dimensionalmente?
a) [fuerza] = M LT2 d) [trabajo] = M L2T2
b) [frecuencia] = T1 e) [carga elctrica] = I .Tc) [velocidad
angular] = T1
4.- Precisar verdadero o falso dimensionalmente:
I) L + L + L L = L ( )
II) En sec ( ) ( )P P+ =12 1
III) En ax
m
kg x ML
= 1 ( )
a) VVF d) FVVb) FFF e) FFVc) VVV
5.- Qu proposicin o proposiciones son falsas respec-to al
Anlisis Dimensional?
I.- Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos.II.- Se
emplea para verificar frmulas propuestas.III.- Se usa para deducir
frmulas.
a) I d) I y IIb) II e) III y IIc) III
6.- Respecto al anlisis dimensional sealar verdadero ofalso:
I.- Pueden existir dos magnitudes fsicas diferentescon igual
frmula dimensional.
II.- Los arcos en la circunferencia son adimensionales.III.-
Dimensionalmente todos los ngulos y funciones
trigonomtricas representan lo mismo.
a) VVV d) FFVb) VVF e) VFVc) FFF
7.- Respecto a una frmula o ecuacin dimensional, se-alar
verdadero o falso:
I.- Todos los trminos en el primer y segundo miem-bro tienen las
mismas dimensiones.
II.- Todos los nmeros y funciones trigonometricasque figuran
como coeficientes tienen las mismasdimensiones, e igual a 1.
III.- La ecuacin dimensional de los trminos del pri-mer miembro,
difieren de las dimensiones del se-gundo miembro.
a) VVF d) VFVb) VVV e) FVFc) FVV
8.- El S.I. considera ................ fundamentales y
........................con carcter geomtrico.
a) Tres magnitudes dos auxiliaresb) Siete magnitudes dos
auxiliaresc) Seis magnitudes una auxiliard) Tres magnitudes una
auxiliare) N.A.
9.- Qu magnitud no est asociada a sus correctas
di-mensiones?
a) Velocidad - LT1
b) Fuerza - ML T2
c) Volumen - L3
d) Densidad - ML3
e) Aceleracin - L T2
10.- Qu unidad va asociada incorrectamente a las dimen-siones
dadas?
a)kg s
m
b) kgm
s
2
c) Am
s
d) kg m
A s
2
2
e) kgm
s
3
4
MTL 1
ILT
ML T3 4
ML A T2 1 2
MLT 2
-
Jorge Mendoza Dueas24
A problemas de aplicacin
PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS
RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS
1.- Halle la dimensin de K en la siguiente frmula fsica:
Donde; m : masaF : fuerzav : velocidad
Solucin:
o Analizando cada elemento:
o Luego tendremos:
3.- Hallar la dimensin de y en la siguiente frmula:V = .A +
.D
Donde; V : volumenA : reaD : densidad
Solucin:
o Aplicando el principio de homogeneidad.
o Determinando:
o Determinando:
Km v
F=
2
2.- Halle la dimensin de S en la siguiente frmula fsica:
Donde; F : fuerzam : masad : distanciav : velocidad
Solucin:
o Analizando cada elemento:
o Luego tendremos:
Km v
F
M LT
MLT
ML T
MLT=
= =
2 12
2
2 2
2
b ge j
SF d
m c=
2
F MLT
d L
m M
c LT
=
=
=
=
2
1
S = 1
V A D= =
V A=
4.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homo-gnea,
determinar la ecuacin dimensional de x e y.
Siendo; A : fuerzaB : trabajoC : densidad
Ax + By = C
Solucin:
o Si la expresin es dimensionalmente homognea,entonces:
o Con lo cual se tiene:
V D=
L ML M L3 3 1 6= = +
L L L3 2= =
Ax By C+ =
A x B y C= =
m m A MLT=2
B ML T= 2 2
C ML= 3
MLT x ML =2 3
xML
MLTx L T= =
3
24 2
K L=
m M
v LT
F MLT
=
=
=
1
2
SF d
m c
MLT L
M LT
ML T
ML T= = =
2
2
1 2
2 2
2 2
e jb gb ge j A x C=
-
Magnitudes Fsicas 25
5.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea: P =
qz Ry sx
Donde; P : presin q : fuerzaR : volumen s : longitud
Hallar: x 3y
Solucin:
o Nos piden: x 3y
x 3y = 2
P ML T= 1 2
R L= 3
q MLT= 2o
o P q R sz y x=
P q R sz y x
=
M M zz1 1= =
L L z y xz y x += = +1 3 1 3
= +1 1 3y x
ML T M L T L Lz z z y x =1 2 2 3
ML T M L Tz z y x z + =1 2 3 2
NOTA
Las ecuaciones dimensionales slo afectan alas bases, ms no a los
exponentes, pues estossiempre son nmeros y por lo tanto estos
ex-ponentes se conservan siempre como tales(nmeros).De lo expuesto,
queda claro que la ecuacindimensional de todo exponente es la
unidad.
1.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmulafsica.
Donde; W: trabajov : volumenF : fuerza
Solucin:
o Aplicando el principio de homogeneidad:
o Determinando A
o Determinando B
B problemas complementarios
W
A
v
BF= +
W
A
v
BF
LNM
OQP =
LNM
OQP =
1 2/
W
AF=
ML T
AMLT A L
2 22
= =
2.- Halle la dimensin de A, B y C en la siguiente fr-mula
fsica.
E = A.F + B. v2 + Ca
Donde; E : trabajoF : fuerzav : velocidada : aceleracin
Solucin:
o Aplicando el principio de homogeneidad:
o Determinando A :
v
BF B
v
F
1 2
1 21 2
1 2/
//
/
= =
B M LT= 2 4
B y C=o
ML T y ML2 2 3 =
yML
ML Ty L T= =
3
2 25 2
s L=
Bv
F
L
MLT= =
2
3
2 2e j
E AF Bv C= = = 2 a
E A F=
ML T A MLT A L2 2 2 = =
ML T MLT L Lz y x
=1 2 2 3e j e j b g
-
Jorge Mendoza Dueas26
BW
tW B t = =
L L x xx2 3 1 3 2 5= = = b g
o Determinando B :
o Determinando C :
3.- Halle la dimensin de R en la siguiente frmula fsica:
R = (x + t)(x2 y)(y2 + z)
Donde ; t: tiempo
Solucin:
o Observamos por el principio de homogeneidad:
o Luego tendremos:
E B v=2
ML T B LT B M2 2 12
= =e j
ML T C LT C ML2 2 2 = =
x T
y x T
z y T T
=
= =
= = =
2 2
2 2 2 4e j
R x y z
R T T T
=
= 2 4
4.- La potencia que requiere la hlice de un helicpteroviene dada
por la siguiente frmula:
P = K. Rx. Wy. Dz
Donde; W : velocidad angular (en rad/s)R : radio de la hlice (en
m)D : densidad del aire (en kg/m3)K : nmero
Calcular x,y,z.
Solucin:
5.- Determinar las dimensiones que debe tener Q para quela
expresin W sea dimensionalmente homognea.
W = 0,5 mcx + Agh + BP
Siendo: Q A Bxx
= ;
Adems; W: trabajo h : alturam : masa P : potenciac :
velocidadA,B : constantes dimensionalesg : aceleracin
Solucin:
M M zz1 1= =
T T yy = =3 3
W m c A g h B Px
= = =
W A g h=
B P W=
W m cx
=
ML T A LT L2 2 2 = =
ML T M LTx2 2 1
= e jML T ML Tx x2 2 =
Q A Bx
=1 2/
Q M T= 2 1 2/
6.- Suponga que la velocidad de cierto mvil, que se des-plaza
con movimiento bidimensional, puede determi-narse con la frmula
emprica:
Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantesdimensionales.
Determine las dimensiones de a, b, y c,para que la frmula sea
homognea dimensio-nalmente.
Solucin:
Por el principio de homogeneidad:
V aTb
T c= +
32
o
o
o
x = 2
o Aplicando el principio de homogeneidad:
o Finalmente:
A M=
P K R W Dx y z
=
ML T L T MLx y z2 3 1 31 = b gb g e j e j
ML T L T M Lx y z z2 3 3 =
ML T M L Tz x z y2 3 3 =
=R T7 B T=
E C= a
-
Magnitudes Fsicas 27
MLT ML LT M M Mx y z
=2 3 1 1e j e j e j b gb gb gb g
x y= = 1 1
7.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente ho-mognea.
Hallar: x 2y
Siendo; a : aceleracinv : velocidadt : tiempo
Solucin:
Dimensionalmente se tiene:
o Luego tendremos:
o Dimensionalmente:
Con lo cual:
Nos piden: x 2y x 2y = 1 2(1)
x 2y = 1
V a T
LT a T
=
=
3
1 3
Vb
T
LTb
T
=
=
2
12
:de T c2 =c T2
= a LT 4
=b LT
a vt kx y x= + 1e j
1 =
ky x
1 0 = = =
k y x y xy x
a vt kx y y= + 1e ja vt kx= +1 0e ja vtx= +1 1b g
a v t
LT LT T
LT LT T
LT LT
T T x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
= =
2
1
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
b ge jb g
8.- En la expresin mostrada. Hallar z
Fx Dy vz = (n + tan ) m1 m
2 m
3
Donde; F : fuerzaD : densidadv : velocidadm1, m2,m3 : masas
Solucin:
Dimensionalmente; para que (n + tan ) sea homognea:
[n] = [tan ] = 1
Con lo cual: n + tan = nmero
[n + tan ] = 1
o Con todo el sistema:
Resolviendo: z = -9
tan = nmero
F D v n m m mx y z
= + tan 1 2 3
M L T M L L T Mx x x y y z z =2 3 3
M L T M L Tx y x y z x z+ + =3 2 3 0 0
M M x y
L L x y z
T T x z
x y
x y z
x z
+
+
= + =
= + =
= =
3
3 0
2 0
3
3 0
2 0
m
m
m
E Mvx Mvx Mvx= + + + . . . . . . . .
E Mvx Mvx Mvx= + + + . . . . . . . .
E1 24444 34444
E Mvx E E Mvx E= + = +2
E M v x E2
= =
E E E2
1= =
9.- En la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta.Determinar
la ecuacin dimensional de x.
Donde; M : masa ; v : velocidad
Solucin:
o Dimensionalmente:
Adems:
o
o
o
o
a vtx= 2
M v x E
M v x
M LT x
xMLT
x M L T
=
=
=
= =
1
1
1
1
11 1
b ge j
-
Jorge Mendoza Dueas28
10.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea.
Determinar la ecuacin dimensional de K
Solucin:
o Dimensionalmente:
De donde:
K GM L T M L Tx y z x y z x y z= ++ + + b g b g b g b g b g b g2
6 2 6 2 6 2
Tz6 2b g
x y z= = =3
2
1.- Halle la dimensin de H en la siguiente frmula fsica.
Donde; D : densidadA : aceleracinV : volumenF : fuerza
Rpta. [H] = 1
2.- La medida de cierta propiedad (t) en un lquido se de-termina
por la expresin:
Siendo: h medida en m; d, peso especfico. Cul ser laecuacin
dimensional de t para que r se mida en m?
Rpta.
3.- Halle la dimensin de y en la siguiente frmulafsica.
K M L T
K M L T
x y z=
=
FH
IK
FHG
IKJ
FH
IK
FHG
IKJ
FH
IK
FHG
IKJ
2
1
6 2 6 2 6 2
6 23
26 2
3
26 2
3
2
b g b g b g
b g
K M L T= 3 3 3
Resolviendo:
o Luego:
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS
PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
A problemas de aplicacin
Donde; E : trabajo ; v : velocidad ; F : fuerza.
Rpta.
4.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula:
Donde; v : velocidad ; t : tiempo ; x : distancia
Rpta.
5.- Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula:
Donde; v : velocidad ; x : distancia ; g : aceleracin
Rpta.
HD A V
F=
ht
rd=
2
Ev F
= +2
=
=
M
L
1
1
v A t B x= +
A LT
B T
=
=
2
1
Vx
A
g
B= +
2
A LT
B T
=
=1
t MT= 2
G M L T M Lx y z x y x x y+ + +
=b g b g b g b g b g2 6 2 6 2
G
M M x y x
L L z x y
T T y x z
x y x
z x y
y x z
=
= + =
= + =
= + =
+
+
+
2
6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
b g b g
b g b g
b g b g
-
Magnitudes Fsicas 29
GL L b
T a=
4 2 2
2
pi b gcos
6.- Halle la dimensin de A, B y C en la siguiente fr-mula
fsica:
Donde; e : distancia (m) ; t : tiempo (s)
Rpta.
7.- Halle la dimensin de G, H e I en la siguiente fr-mula
fsica:
F = Ga + Hv + I
Donde; F : fuerza ; a : aceleracin ; v : velocidad
Rpta.
8.- En la siguiente expresin, calcular x + y
K: constante numricaS : espacioa : aceleracint : tiempo
Rpta. 3
9.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente homo-gnea.
Determinar:
a : aceleracint : tiempo
Rpta. T2
10.- Si la siguiente expresin es dimensionalmente ho-mognea;
determinar la ecuacin dimensional de C.
R : longitudy : aceleracin
Rpta. L3T-4
A L
B LT
C LT
=
=
=
2
3
G M
H MT
I MLT
=
=
=
1
2
a
b
LNM
OQP = ?
CRy N
N
x
x=
3
2
2
2e j
B problemas complementarios
1.- Determinar la dimensin de x, si la ecuacin
esdimensionalmente correcta.
v : velocidad a : aceleracinM : masa W : trabajo
Rpta. M2LT-2
2.- Hallar la ecuacin dimensional de z, si la ecuacin mos-trada,
es dimensionalmente correcta:
w : peso ; g : aceleracin
Rpta. MLT-2
3.- Determinar las dimensiones de a, sabiendo que la si-guiente
ecuacin es dimensionalmente correcta:
donde; G : aceleracin de la gravedadT : tiempob y L :
longitud
Rpta. L2
4.- La fraccin mostrada es dimensionalmente correctay
homognea:
, determinar las dimensiones de x.
Rpta. L-14T28/3
5.- Si la siguiente ecuacin es dimensionalmente homo-gnea,
hallar las dimensiones de b.
W: trabajov : velocidadF : fuerza
Rpta. L1/2T-1/2
6.- En la ecuacin:
Hallar: (x.y.z)
xvWMa
senbt2 2
30=
+ ; donde:
pi tanlog
=
+ +
+
w w z
g gsen x
2 3b gb g
Ax Bx Cx D
A B C D
3 2
8 6 4
+ + +
+ + +
y A L T= 6 4
WF a
x
F C
b v=
+
5 8 2
2
log
P Kg d hy x z=
e A Bt Ct= + +2 3
S K tx y= a
20 + + =+
t ka p
b q
-
Jorge Mendoza Dueas30
donde; P: presing: aceleracin de la gravedadh: alturaK:
constante numricad: densidad
Rpta. 1
7.- En la expresin:
Hallar las dimensiones de A, B y C para que seadimensionalmente
homognea, donde:
: ngulo en radianesL : longitudF : fuerzae : base de los
logaritmos neperianosm y n : nmeros
Rpta. A = adimensionalB = L-1/2
C = M-3/2L-3/2T3
8.- Hallar las dimensiones de x e y, sabiendo que laigualdad
mostrada es dimensionalmente correcta.
tan( )tan cos
Ae C FmBL
sen
n+
FHG
IKJ =
pi
2 10
30 2 60 60
1
W
eba b c= + 2
x senvy
temB= + +pi b gd i2
9.- Determinar la dimensin de b para que la ecuacinsea
homognea.
Donde; W: trabajoe : espacioa : aceleracin
Rpta. M
10.- Hallar [x][y]:
Donde; v : velocidade : espaciom : masat : tiempoB : nmero
real
h : alturam: masaA
1, A
2 : areas
Rpta. x = Ly = M1
2
0 85
2
1 2
FHG
IKJ
=
x
h
m
xy
A A,
Rpta. M LT2 2
-
Magnitudes Fsicas 31
MEDICIN MEDICIN MEDICIN MEDICIN MEDICIN - TEORA DE ERRORES TEORA
DE ERRORES TEORA DE ERRORES TEORA DE ERRORES TEORA DE ERRORES
MEDICINMEDICINMEDICINMEDICINMEDICIN
Medicin, es el proceso por el cual se comparauna magnitud
determinada con la unidad patrncorrespondiente.
Todos los das una persona utiliza la actividad me-dicin; ya sea
en nuestras actividades personales,como estudiante o como
trabajador.Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al to-mar la
asistencia, estamos midiendo la cantidad dealumnos que llegaron a
clase; en este caso la uni-dad patrn ser un alumno.
Cuando jugamos ftbol, el resultado final lo definela diferencia
de goles a favor; la unidad patrn serun gol. En ocasiones cuando
nos tomamos la tem-peratura, nos referimos siempre respecto a
unaunidad patrn 1C.
Esto significa que toda medicin quedar perfec-tamente definida
cuando la magnitud al que nosreferimos termine por ser cuantificada
respecto ala unidad patrn correspondiente. Ahora para rea-lizar la
medicin, generalmente se hace uso de he-rramientas y/o equipos
especiales as como tambinen algunos casos de los clculos
matemticos.
El resultado de la medicin nos mostrar cuantitati-vamente el
valor de la magnitud; y con ello podemossaber o predecir las
consecuencias que conllevan di-cho resultado. As; si medimos la
velocidad de un atle-ta y obtenemos como resultado 1 m/s;
sabremosentonces que ste nunca ser campen en una com-petencia de
100 metros planos; esto significa que gra-cias a la medicin
(actividad cuantitativa) podremossaber o predecir los resultados
cualitativos.
Ejemplo ilustrativo
CLASES DE MEDICIN
A) Medicin directaEs aquella en la cual se obtiene la
medidaexacta mediante un proceso visual, a partirde una simple
comparacin con la unidadpatrn.
B) Medicin IndirectaEs aquella medida que se obtiene
medianteciertos aparatos o clculos matemticos, yaque se hace
imposible medirla mediante unproceso visual simple.
Ilustracin
Ejemplo Ilustrativo:
Magnitud: Longitud
Unidad patrn: 1 metro
En la figura, es fcil entender que la longitud AB mide 3 veces 1
metro: 3 metros(medicin directa).
9 veces uncuadrito,dicho deotra forma:9 cuadritos
1 metro
Area = largo ancho A = (3 m)(2 m)
A = 6 m2 Se recurri al uso de una frmula matemtica
Frmula:
Se quieremedir el readel rectngulo
Unidad Patrn (un cuadrito)
-
Jorge Mendoza Dueas32
ERRORES EN LA MEDICINERRORES EN LA MEDICINERRORES EN LA
MEDICINERRORES EN LA MEDICINERRORES EN LA MEDICIN
La medicin es una actividad que lo ejecuta el hom-bre provisto o
no de un instrumento especializadopara dicho efecto.En toda medicin
hay que admitir, que por mscalibrado que se encuentre el
instrumento a usar,siempre el resultado obtenido estar afectado
decierto error; ahora, en el supuesto de que existien-do un aparato
perfecto cuyos resultados cifradoscoincidieran matemticamente con
la realidad f-sica, nunca llegaramos a dicho valor, debido a
laimposibilidad humana de apuntar al punto preci-so o de leer
exactamente una escala.
A) ExactitudEs el grado de aproximacin a la verdad ogrado de
perfeccin a la que hay que procu-rar llegar.
B) PrecisinEs el grado de perfeccin de los instrumen-tos y/o
procedimientos aplicados.
C) ErrorPodra afirmarse que es la cuantificacin de
laincertidumbre de una medicin experimentalrespecto al resultado
ideal.
CAUSAS DE ERRORES
A) NaturalesSon aquellos errores ocasionados por las
va-riaciones meteorolgicas (lluvia, viento, tem-peratura, humedad,
etc).
B) InstrumentalesSon aquellos que se presentan debido a la
im-perfeccin de los instrumentos de medicin.
C) PersonalesSon aquellos, ocasionados debido a las
limi-taciones de los sentidos humanos en las ob-servaciones (vista,
tacto, etc.)
Al medir la longitud entre dos puntos, en das calurosos, la
cinta mtrica se di-lata debido a la fuerte temperatura, luego se
cometer un error de medicin.
La vista de una personapuede no permitir obser-var correctamente
lasagujas de un reloj, se co-meter entonces un errorpersonal en la
medidadel tiempo.
CLASES DE ERRORES
A) PropiosSon aquellos que provienen del descuido,torpeza o
distraccin del observador, estas noentran en el anlisis de la teora
de errores.
Es posible que el operadorlea en la cinta mtrica15,40 m y al
anotar, escribapor descuido L = 154 m; stees un error propio, tan
gra-ve que no se debe conside-rar en los clculos de Teorade
Errores.
15 16
Las agujas de un cron-metros son susceptiblesal retraso o
adelantodebido al mecanismodel mismo instrumento,luego se cometer
unerror de medicin.
L = 15
4
-
Magnitudes Fsicas 33
B) SistemticosSon aquellos que aparecen debido a una
im-perfeccin de los aparatos utilizados, ascomo tambin a la
influencia de agentes ex-ternos como: viento, calor, humedad, etc.
Es-tos errores obedecen siempre a una Ley Ma-temtica o Fsica, por
lo cual es posible sucorreccin.
C) Accidentales o FortuitosSon aquellos que se presentan debido
a cau-sas ajenas a la pericia del observador, y al queno puede
aplicarse correccin alguna, sin em-bargo estos errores suelen
obedecer a las Le-yes de las Probabilidades.Por tal motivo se
recomienda tomar varias lec-turas de una misma medicin, pues
general-mente estas suelen ser diferentes.
NOTA
Esta clase de error no se tomar en cuenta eneste libro.
TEORA DE ERRORESTEORA DE ERRORESTEORA DE ERRORESTEORA DE
ERRORESTEORA DE ERRORES
Es imposible encontrar el verdadero valor del erroraccidental;
si as fuese, podramos entonces calcu-lar el valor exacto de la
magnitud en medicin su-mando algebraicamente el valor observado.No
obstante es posible definir ciertos lmites deerror, impuestos por
la finalidad u objetivo de lamedicin.
As pues, queda claro que los errores accidentalestienen un rango
establecido, cuyo clculo irn deacuerdo con los principios y mtodos
de la teoramatemtica de errores con aplicacin del clculode
probabilidades.
Estableceremos convencionalmente dos casos:
I.- CUANDO SE REALIZA UNA SOLAMEDICIN
Hay casos en las que se toma una sola medicin uobservacin
respecto a un patrn establecido, aspor ejemplo:
Cuando medimos el lar-go de un libro, cada vezque se mida, la
lecturaser diferente.
Es importante establecer entonces bajo que errorse est
trabajando.
A) Valor verdadero (A)Es el valor exacto o patrn que se
estableceen una medicin, en realidad, tal valor exacto
PATRON VALOR APROXIMADO
pi = 3,141 592 654 3,141 6
g = 9,8 m/s2 10 m/s2
tan 37 = 0,753 554 05 0,75
L = 0,305 m
L = 0,306 m
L= 0,304 m
L
L
Supongamos que se quiere medir la longitud AB, pero al usar la
cinta mtrica,sta se pandea como muestra la figura, la lectura que
se toma en estas condi-ciones no ser la verdadera, habr que
corregir.
L = L correccin
La correccin se determina mediante la siguiente frmula:
Donde: W, L y F son parmetros conocidos.
correccin =W L
F
2
24
AB
-
Jorge Mendoza Dueas34
no existe, pero se suele establecer de acuer-do al tipo de
trabajo a realizar; as por ejem-plo, el valor verdadero de la
constante (pi) sepuede considerar como 3,141 6.
B) Error Absoluto(EA)Es la diferencia entre el valor verdadero y
elaproximado.
Donde; EA : error absolutoA : valor verdaderoA : valor
aproximado
C) Error Relativo (ER)Llamado tambin error porcentual y nos
de-termina segn parmetros establecidos si laequivocacin puede ser
aceptable o no.
Donde; ER : error relativo
EA
: error absoluto
A : valor verdadero
2.- CUANDO SE REALIZA DOS O M`SMEDICIONES
Generalmente cuando se lleva a cabo una medi-cin, no se conoce
el valor verdadero; es por estoque se recomienda tomar varias
mediciones, noobstante, jams se podr conocer el valor exacto.
A) Media ( X )Es el valor que tiende a situarse en el centrodel
conjunto de datos ordenados segn sumagnitud. Es la media aritmtica
de un con-junto de datos.
EE
ARA
= 100%
E A AA =
X =+ + + +x x x x
nn1 2 3 ...
Ejemplo: 10,20 ; 10,22; 10,18
X =+ +10 20 10 22 10 18
3
, , ,
X = 10 20,
B) Desviacin (V)Se le llama tambin error aparente de una
me-dicin. Es la diferencia entre la media y el va-lor
correspondiente a una medicin.
Ejemplo:
10,20 V = 10,20 10,20 = 010,22 V = 10,20 10,22 = -0,0210,18 V =
10,20 10,18 = +0,02
C) Desviacin tpica stndar ()Viene a ser el promedio de todas las
desvia-ciones de las mediciones realizadas.
Donde;
: desviacin tpica o stndarV : desviacin de cada medicinn : nmero
de mediciones
Para la explicacin de la presente expresin, parti-remos diciendo
que el nmero mnimo de medi-ciones tendr que ser dos, de lo
contrario no ten-dra sentido hablar de promedio y por ende
dedesviacin. Por otro lado no es difcil deducir queel promedio de
todas las desviaciones sera:
Sin embargo, en la prctica, el resultado de di-cha expresin
siempre ser cero; es por ello quese utiliza la suma de los
cuadrados, la cual nuncase anular.
D) Error probable de una observacin (E0 )Es aquel intervalo [-E0
, + E0], dentro de cuyoslmites puede caer o no el verdadero error
acci-dental con una probabilidad del 50%.
Donde;
E0 : error probable de una observacin : desviacin tpica o
stndar.
=
V
n 12 n 30
2
Vn
E0 0 674 5= ,
-
Magnitudes Fsicas 35
E) Error relativo (ER)
Es la relacin entre E0 y la media X ; y viene aser el parmetro
que califica la calidad deltrabajo.
Donde;
ER : error relativo
X : mediaE0 : error probable de una observacin
Ejemplo:
Supongamos que se desea realizar un traba-jo de laboratorio,
donde es requisito para ob-tener las metas deseadas un error
relativo
menor que 1
3 000 ; si el trabajo de laborato-
rio arroj un ER = 1
4 000
Tendremos:
De donde se deduce que el trabajo realizado es acep-table; de lo
contrario habr que volver a empezar.
EE
XR = 0
EX
E
R = FHG
IKJ
1
0
1
4 000
1
3 000 v1 > voMovimiento acelerado
v2 > v1 > voMovimiento acelerado
v3 < v2 < v1 : Movimiento retardadov5 > v4 > v3 :
Movimiento acelerado
El tiempo de subida es igual al tiempo de bajadapara un mismo
nivel.
El mdulo de la velocidad de subida es igual al m-dulo de la
velocidad de bajada para un mismo nivel.
-
Jorge Mendoza Dueas120
TESTTESTTESTTESTTEST
1.- Los cuerpos al caer lo hacen:
a) Con aceleracin constante.b) En una recta vertical.c) De
diferentes maneras.d) Sin friccin del aire.e) Con velocidad
uniforme.
2.- Si desde un avin que vuela horizontalmente con ve-locidad v
se deja caer un proyectil, ste tendr, des-pus de un tiempo t, una
velocidad:
1.- Horizontal igual a v.2.- Total en cualquier punto igual a
gt.3.- Vertical igual a gt.4.- Horizontal distinta de v.5.-
Vertical igual 1/2 gt2.
Son ciertas:
a) 1 y 2 d) 3 y 4b) 1 y 3 e) 2 y 5c) 2 y 3
3.- Un ascensor sube con aceleracin a. El pasajero quese
encuentra en el ascensor deja caer un libro. Cules la aceleracin
del cuerpo respecto al pasajero?
a) g + ab) g ac) gd) ae) cero
4.- Marcar la proposicin correcta.
a) En las noches la aceleracin de la gravedad esmayor que en el
da.
b) La aceleracin de la gravedad es el mismo en to-dos los
planetas.
c) Los cuerpos no necesariamente caen hacia el cen-tro de la
tierra.
d) Cuando un cuerpo sube, la aceleracin de la gra-vedad est
dirigida hacia arriba.
e) La aceleracin de la gravedad siempre es verticaly apuntando
hacia el centro de la Tierra.
5.- Para la aceleracin deuna partcula en unplano inclinado
sinfriccin, podemosafirmar que es:
a) 0 d) gtan b) gsen e) gc) gcos
6.- En un lanzamiento hacia arriba en el vaco Qu alter-nativa no
se cumple cuando la velocidad de lanza-miento es vo?
a)
b)
c) La velocidad en subida es igual a la velocidad enbajada.
d) En el punto de altura mxima, la gravedad se hacecero al igual
que la velocidad.
e) Tiempo en subida es igual al tiempo en bajada.
7.- Galileo realiz experiencias con planos inclinados parallegar
a demostrar las leyes de los cuerpos en cada. Siconsideramos que se
tienen planos inclinados de di-ferente inclinacin y cuerpos sobre
ellos que se suel-tan de la misma altura sin friccin Qu alternativa
nose cumple?
a) Todos los cuerpos llegan con la misma velocidadal mismo
nivel.
b) Para todos los casos la aceleracin sobre ellos esfuncin del
seno del ngulo de inclinacin.
c) A mayor ngulo de inclinacin menor ser el tiem-po de
recorrido.
d) La velocidad de llegada al mismo nivel dependedel ngulo de
inclinacin.
e) N.A.
8.- Respecto a la cada de los cuerpos en el vaco marcarverdadero
(V) o falso (F):
Todos los cuerpos soltados desde un mismo ni-vel pesados y
livianos llegan al mismo tiempo.
Dos cuerpos soltados uno sobre el otro provocanuna reaccin nula
entre ellos.
El camino recorrido es proporcional al cuadradodel tiempo.
La velocidad es proporcional al cuadrado de la dis-tancia.
a) VVVF d) FFVFb) VVFF e) FVVVc) FVVF
9.- Si la gravedad en un planeta fuera el doble de la te-rrestre
y se lanzara hacia arriba un cuerpo con la mis-ma velocidad, con la
que se lanz en la tierra, no secumplira, cul de las
alternativas?
Tv
gvueloo
=
2
Hv
gmximao
=
2
2
-
Cinemtica 121
h m= 5
Tiempo total t tsubida bajada= +
PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS
RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS
A problemas de aplicacin
a) La altura alcanzada en dicho planeta sera la mi-tad de la
alcanzada en la Tierra.
b) El tiempo de vuelo sera la mitad del empleadoen la
Tierra.
c) La altura alcanzada en dicho planeta sera el do-ble del
alcanzado en la Tierra.
d) La velocidad de retorno sera igual a la de lanza-miento que
tuvo en la Tierra.
e) En este caso en el punto de altura mxima la gra-vedad tampoco
desaparece.
10.- Si soltamos una piedra en el vaco, marcar verdaderoo falso
para las siguientes proposiciones.
En cada segundo recorrera 10 m en caso la gra-vedad sea 10
m/s2.
En cada segundo su velocidad aumentara en10 m/s en caso la
gravedad sea 10 m/s2.
Para grandes alturas de cada en el vaco la pie-dra ira
aumentando su peso.
a) FVF d) VFVb) FVV e) FFVc) FFF
1.- Se dispara un cuerpo verticalmente haca arriba convelocidad
de 80 m/s. Calcular el tiempo que demoraen alcanzar su mxima altura
(g = 10 m/s2).
Solucin:
2.- Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba conuna
velocidad de 10 m/s. Se pide:
a) Calcular la altura que subir.b) El tiempo que demora en
subir.c) El tiempo que demora en bajar.d) El tiempo que demora en
regresar al lugar de
partida.e) La velocidad de llegada.
(Considerar g = 10 m/s2).
Solucin:
o Entre A y B
El cuerpo sube:
v m so = 80 /
vF = 0
g m s=10 2/
t tAB = = ?
v v gtF o=
v v gtF o=
0 80 10 8= =t t s
a) Entre A y B
0 10 2 1022
= b g b gh20 100h=
b) Entre A y B
(Mov. retardado)
(Mov. retardado)
v v gtF o=
0 10 10= t
c) Entre B y C
h v t gto= +1
22
(Mov. acelerado)
5 01
210 2= +b g b gt t
Ntese que el tiempo de subida es igual al tiempo debajada.
d)
e) Entre B y C
Ntese que la velocidad de subida es igual a la velocidadde
llegada al mismo nivel.
v v m sc c= + =0 10 1 10b g /(Mov. acelerado)v v gtF o= +
v v ghF o2 2 2=
t s= 1
t s= 1
t stotal = 2
ttotal = +1 1
-
Jorge Mendoza Dueas122
H H m = =25 20 45
v v m sF F= + =0 10 5 50b g /
v m sF = 147 /
vo = ?
t s= 10
g m s= 9 8 2, /
h m= 980
g m s= 10 2/
v m sF = 10 /
v m so = 50 /
3.- Se dispara un proyectil verticalmente haca arriba conuna
velocidad de 50 m/s. Al cabo de que tiempo lavelocidad es de 10 m/s
por primera vez y a que alturase encuentra (g = 10 m/s2).
Solucin:
4.- Qu velocidad inicial debe drsele a un cuerpo paraque caiga
980 m en 10 s; y cual ser su velocidad alcabo de 10 s.
Solucin:
o Entre A y B
t = ?
v v gtF o= (sube)
10 50 10= t
t s= 4
o Calculando la altura entre A y B
hv v
tF o=+F
HGIKJ2
h=+F
HGIKJ
10 50
24
5.- Una bola se deja caer desde lo alto de un edificio de125 m
de altura. Calcular cunto tardar en caer y conque velocidad llegar
al suelo (g = 10 m/s2).
o Entre A y B
o Calculando la velocidad final
h v t gto= +1
22
(baja)
v v gtF o= +
vF = +49 9 8 10, b g(baja)
Solucin:
1.- Un cuerpo es dejado caer en el vaco sin velocidad ini-cial.
Si en el ltimo segundo recorre 25 m; calcular laaltura desde el
cual fue abandonado.
Solucin:
o Entre A y B
h v t gto= +1
22
125 01
210 2= + b gt
t2 25=
t s= 5
o Calculando la velocidad final
v v gtF o= +
B problemas complementarios
2.- Un cuerpo cae libremente desde el reposo. La mitadde su cada
se realiza en el ltimo segundo, calcular eltiempo total en segundos
(g = 10 m/s2).
Solucin:
o Entre B y C
h v t gto= +1
22
25 11
210 1
2= +vBb g b gb g
25 5= +vB
v m sB = 20 /
o Entre A y B
20 20 252b g b g= H
o Entre A y B
h v t g to= + 11
21
2b g b g
h g t= + 01
21
2b g
h g t= 1
21
2b g
h m=120
............ (1)
v v ghF o2 2 2= +
v HB2 0 2 10 25= + b gb g
980 101
29 8 10
2= +vob g b gb g,
v m so = 49 /
-
Cinemtica 123
v m sc = 5 /
Ttotal = + +0 5 0 5 8, ,
T t t ttotal AB BC CD= + +
3.- Un globo se eleva desde la superficie terrestre a
unavelocidad constante de 5 m/s; cuando se encuentra auna altura de
360 m, se deja una piedra, calcular eltiempo que tarda la piedra en
llegar a la superficieterrestre (g = 10 m/s2).
Solucin:
o Entre A y C
21
22h gt= ............ (2)
o Reemplazando (1) en (2)
2 12 2t t =b g
t s= +2 2d i
4.- Un cuerpo se lanza verticalmente haca arriba desdeuna
ventana y luego de 4 segundos triplica su veloci-dad. Hallar la
mxima altura alcanzada por el cuerporespecto al lugar de
lanzamiento (g = 10 m/s2).
o Entre A y B
o Entre B y C
(sube)
0 5 10= t
v v gtF o=
t s= 0 5,
t s= 0 5,
(Ya que el tiempode subida es igual al tiempo de bajada)
(A y C tiene el mismo nivel).
o Entre C y D
h v t gto= +1
22
(baja)
360 51
210 2= +t tb g
360 5 5 2= +t t
t t t t2 72 0 9 8 0+ = + =b gb gt s= 8
o Finalmente:
Solucin:
5.- Una esfera se deja caer desde 80 m de altura y al rebo-tar
en el piso se eleva siempre la cuarta parte de laaltura anterior.
Qu tiempo ha transcurrido hasta quese produce el tercer impacto? (g
= 10 m/s2).
Solucin:
o Dato:
o Entre A y B
o Entre C y D
o (2) y (3) en (1)
o Nuevamente entre A y B
2 41 2t t s+ = ....... (1)
v v gtF o=
0 10 1= v t
tv
1 10= ................ (2)
(sube)
v v gtF o= +
3 10 2v v t= +
tv
2 5= ................ (3)
210 5
4v vF
HGIKJ + =
2
54 10
vv m s= = /
hv v
tF o=+F
HGIKJ2 1
h=+F
HGIKJFHG
IKJ
0 10
2
10
10
T t t tAB BC DE= + +2 2b g b g ................ (1)
o Entre A y B
80 5 42= =t t sAB AB
h gtAB=1
22
21
21
1
2
2 2 =g t gtb g
(baja)
T stotal = 9
h m= 5
-
Jorge Mendoza Dueas124
v pies sB = 64 /
5 340 5112
1t t= b g
5 34012
2t t=
6.- En la boca de un pozo se deja caer un cuerpo y unapersona
ubicada en el borde de sta escucha el soni-do del impacto luego de
51 segundos. Cul es la pro-fundidad del pozo? (vsonido = 340 m/s ;
g = 10 m/s
2).
Solucin:
o Entre C y D
o Entre E y F
o En (1):
T = + + =4 2 2 2 1 10b g b gT s=10
7.- Un ingeniero situado a 105 pies de altura, en la venta-na
del dcimo octavo piso ve pasar un objeto rarohacia arriba y 4 s
despus lo ve de regreso, hallar conqu velocidad fue lanzado el
objeto desde el piso.(g = 32 pies/s2).
Solucin:
o Con el cuerpo:
h gt t= =1
2
1
2101
212b g
h t= 5 12 ............... (1)
o Con el sonido:
h vt t= =2 2340
h t= 340 2 ............ (2)
o Dato:
t t1 2 51+ =
t t2 151= ............ (3)
o (1) = (2)
......... (4)
o (3) en (4):
t s1 34=
Luego: t s2 17=
o En (2):
8.- Se suelta una piedra de un edificio llegando al piso en2
segundos. Con qu velocidad mnima se debe arro-jar la piedra hacia
arriba para alcanzar la altura deledificio? (g = 10 m/s2).
o Datos:
o Entre B y C
o Entre A y B
0 32 2= vB b g
v v ghF o2 2 2=
v v gB A2 2 2 105= b g
64 2 32 1052 2b g b gb g= vA
h h m= =340 17 5 780b gb g
Solucin:
1er Caso:
Reemplazando:
H v t gto= +1
22
t s= 2
H t= + 01
210 2
2b gH m= 20
h v t gto CD CD= +1
22
20 01
210 2= +t tCD CDb g b g
t s t sCD BC= =2 2
h v t gto EF EF= +1
22
5 01
210 2= +t tEF EFb g b g
t s t sEF DE= =1 1
t t sBC CD+ = 4
t t sBC CD= = 2
v v gtF o BC=
v pies sA = 104 /
-
Cinemtica 125
0 22= v ha
9.- Un trozo de madera se suelta a un metro de distanciade la
superficie libre de un estanque lleno de agua, siel agua produce
una desaceleracin de 4 m/s2 sobrela madera. Qu profundidad mxima
alcanza la ma-dera en el estanque? (g = 10 m/s2).
Solucin:
2do Caso:
La velocidad de partida ser mnima siempre y cuan-do la piedra
llegue a la cima del edificio con velocidadcero.
v v gHF o2 2 2=
0 2 10 202= vmin
v m smin /= 20
10.- Desde el borde de la azotea de un edificio se sueltauna
esferita y en ese mismo instante un muchacho de1,70 m de estatura,
parado a 10 m del punto de im-pacto de la esferita, parte acelerado
con 1,25 m/s2. Sial llegar a dicho punto, la esferita da en la
cabeza delmuchacho. Qu altura tiene el edificio? (g = 10 m/s2).
Solucin:
o En el aire:(mov. acelerado)
v2 0 2 10 1= + b gv2 20=
o En el agua:(mov. retardado)
o Con el muchacho (M.R.U.V.)
e v t to= +1
22a
o Con la esferita
x v t gto= +1
22
o Finalmente: H x= +170,
H= +80 170,
H m= 81 70,0 20 2 4 2 5= =h h m,
10 01
21 25 42= + =t t t s,b g
x x m= + =0 41
210 4 80
2b g
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS
PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
A problemas de aplicacin
1.- Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con
unavelocidad de 20 m/s. Luego de que tiempo su veloci-dad ser de 80
m/s (g = 10 m/s2).
Rpta. 6 s
2.- Se deja caer un objeto desde una altura de 45 m, calcularcon
que velocidad impactar en el piso (g = 10 m/s2).
Rpta. 30 m/s
3.- Se lanz un cuerpo verticalmente hacia abajo com-probndose
que desciende 120 m en 4 s. Cul fue lavelocidad inicial del
lanzamiento?
Rpta. 10 m/s
4.- Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en elaire 10 s.
Hallar su altura mxima (g = 10 m/s2).
Rpta. 125 m
v v gHF o2 2 2= +
v v hF o2 2 2= a
-
Jorge Mendoza Dueas126
5.- Se suelta un cuerpo desde 125 m de altura. Hallar eltiempo
que tarda en llegar al piso (g = 10 m/s2).
Rpta. 5 s
6.- Hallar la velocidad adquirida y la altura recorrida porun
mvil que tarda 10 s en caer libremente.
Rpta. v = 100 m/sh = 500 m
7.- Una piedra es abandonada y cae libremente Qu dis-tancia
logra descender en el 5 segundo de su movi-miento? (g = 10
m/s2).
Rpta. 45 m
8.- Dos esferitas macizas se lanzan ver-ticalmente y
simultneamente des-de A y B tal como se muestra. Qudistancia las
separa 2 s antes de cru-zarse, si inicialmente estaban sepa-radas
160 m? (g = 10 m/s2).
Rpta. 80 m
9.- Un globo aerosttico asciende verticalmente con unavelocidad
cte. de 10 m/s. Una persona situada en elglobo suelta una pelotita
justo cuando el globo seencuentra a 120 m de altura respecto al
suelo. Luegode qu tiempo la pelotita impacta en el suelo?(g = 10
m/s2).
Rpta. 6 s
10.- Se tiene un pozo vaco cuya profundidad es de 170 m.Una
persona en la parte superior lanza una piedraverticalmente hacia
abajo con una velocidad de(125/3) m/s. Luego de que tiempo escucha
el eco?(vsonido = 340 m/s ; g = 10 m/s
2).
Rpta. 3,5 s
3.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba y vuel-ve a
tierra al cabo de 5 s. Qu altura habr recorrido enel ltimo segundo
de su movimiento? (g = 10 m/s2).
Rpta. 20 m
4.- Un arbitro de ftbol lanza una moneda haca arribacon
velocidad v la cual toca el csped con velocidad2v, considerando que
la mano del rbitro suelta lamoneda a 1,2 m sobre le csped halle v
en m/s(g = 10 m/s2).
Rpta.
5.- Un globo aerosttico sube verticalmente con una ve-locidad de
30 m/s. El piloto del globo al encontrarse auna altura 240 m con
respecto al suelo, lanza vertical-mente hacia abajo un tomate, con
una velocidad res-pecto a su mano de 20 m/s. Al cabo de que tiempo
eltomate tocar el suelo? (g = 10 m/s2).
Rpta. 8 s
6.- Un objeto se lanza verticalmente desde la azotea deun
edificio. Despus de 4 s otro objeto se deja caerlibremente y 4 s
despus choca con el primero. Conqu velocidad se lanz el primero? (g
= 10 m/s2).
Rpta. 30 m/s
7.- Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba conuna
velocidad de 20 m/s. A qu distancia del puntode lanzamiento dicho
cuerpo tendr una velocidad de30 m/s? (g = 10 m/s2).
Rpta. 25 m
8.- Una plataforma se desplaza en lnea recta y mante-niendo una
velocidad de 7 m/s. Si de sta se tira unapiedra verticalmente hacia
arriba y retorna luego dehaber recorrido 70 m la plataforma. Con qu
veloci-dad se lanz la piedra? (g = 10 m/s2).
Rpta. 50 m/s
9.- Una alumna desea comprobar las leyes de cada libre,para lo
cual se deja caer desde la parte superior de unedificio de 256 pies
de altura. Un segundo ms tardeaparece superman para lanzarse
inmediatamente ysalvar a la alumna justo cuando est por chocar al
sue-lo. Hallar la velocidad con que se lanza superman encada libre
(g = 32 pies /s2).
Rpta. 37,3 pies/s
10.- Un ascensor presenta una v = cte de 10 m/s, en cier-to
instante del techo del mismo se desprende un per-no; e impacta en
el piso luego de (4/7) s. Qu alturatiene la cabina del ascensor?
(considere g = 9,8 m/s2).
Rpta. 1,6 m
B problemas complementarios
2 2 m s/
1.- Halle la velocidad con que fue lanzado un proyectilhacia
arriba si sta se reduce a la tercera parte cuandoa subido 40 m (g =
10 m/s2).
Rpta. 30 m/s
2.- Desde lo alto de un edificio se lanza un cuerpo
vertical-mente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s llegan-do
al piso luego de 8 s. Hallar la altura del edificio(g = 10
m/s2).
Rpta. 80 m
-
Cinemtica 127
GRFICOS RELACIONADOS AL MOVIMIENTOGRFICOS RELACIONADOS AL
MOVIMIENTOGRFICOS RELACIONADOS AL MOVIMIENTOGRFICOS RELACIONADOS AL
MOVIMIENTOGRFICOS RELACIONADOS AL MOVIMIENTO
Todos conocemosel sistema de coor-denadas rectan-gulares en
dosdimensiones, enbase a esto vamosa representar lascaractersticas
delcuerpo en relacin con el tiempo. Con ello pode-mos afirmar como
fue el movimiento de un cuer-po y ms an, como ser.
GRFICOS DEL MOVIMIENTO RECTI-GRFICOS DEL MOVIMIENTO
RECTI-GRFICOS DEL MOVIMIENTO RECTI-GRFICOS DEL MOVIMIENTO
RECTI-GRFICOS DEL MOVIMIENTO RECTI-LNEO UNIFORME (M.R.U.)LNEO
UNIFORME (M.R.U.)LNEO UNIFORME (M.R.U.)LNEO UNIFORME (M.R.U.)LNEO
UNIFORME (M.R.U.)
1.- VELOCIDAD VS TIEMPO
NOTA
Para representar el movimiento de un cuerpo,generalmente se
reemplaza al eje de las abcisaspor el tiempo (t) y a las ordenadas
por la posi-cin (x), velocidad (v) aceleracin (a).
Caractersticas:
A) La grfica v vs t es siempre un lnea recta, pa-ralela al eje
del tiempo.
B) El rea bajo la grfica equivale al desplaza-miento, qu ser
positivo cuando el mvil sealeja del punto de partida, y negativo,
si seacerca al punto de partida.
C) El valor absoluto del rea es numricamenteigual al espacio
recorrido por el mvil.d = desplazamiento.
e A=
2.- POSICIN VS TIEMPO (x vs t)
Caractersticas:
A) La grfica x vs t essiempre una lnearecta que no esparalela a
ningu-no de los ejes.
B) El valor de la velo-cidad es numri-camente igual a
lapendiente de larecta.
v = tan
El mvil se aleja del punto de partida. El mvil se acerca al
punto de partida.
e A A= =+d A= d A=
e A A= = +
-
Jorge Mendoza Dueas128
GRFICOS DEL MOVIMIENTO RECTI-GRFICOS DEL MOVIMIENTO
RECTI-GRFICOS DEL MOVIMIENTO RECTI-GRFICOS DEL MOVIMIENTO
RECTI-GRFICOS DEL MOVIMIENTO RECTI-LNEO UNIFORMEMENTE VLNEO
UNIFORMEMENTE VLNEO UNIFORMEMENTE VLNEO UNIFORMEMENTE VLNEO
UNIFORMEMENTE
VARIADOARIADOARIADOARIADOARIADO(M.R.U.V(M.R.U.V(M.R.U.V(M.R.U.V(M.R.U.V.).).).).)
1.- VELOCIDAD VS TIEMPO (v vs t)
Caractersticas:
A) El grfico velocidad vs tiempo es una lnearecta que no es
paralela a ninguno de los ejes.
B) La pendiente de la recta nos d el valor de laaceleracin.
C) El rea bajo el grfico es numricamente igualal espacio
recorrido por el mvil.
a = tan
Si A A A: = +1 2
e A=
CASO PARTICULAR: Si: vo = 0
e A=
NOTA 1
Cuando el cuer-po en su movi-miento no cam-bia de sentido:
elgrfico v vs t estan slo en el pri-mer cuadrante.
a1 = tan positivoa2 = tan negativo
2.- ACELERACIN VS TIEMPO (a vs t)
NOTA 2
Cuando el cuerpo en su movimiento cambia desentido: el grfico v
vs t se ubicar en el primery/o cuarto cuadrante.
El grfico a vs t es unalnea recta paralelaal eje del tiempo,
yaque el valor de a esconstante.
3.- POSICIN VS TIEMPO (x vs t)
Caractersticas:
A) El grafico x vs t es una parbola.
B) Dicha parbola siempre pasa por el origen.
C) Si la parbola es cncava hacia arriba el mo-vimiento es
acelerado, pero si es cncava ha-cia abajo el movimiento es
retardado.
OBSERVACIONES
Para hacer un grfico se recomienda tomarescala, que no
necesariamente sern las mis-mas para los dos ejes.
En cualquier movimiento se cumple que elrea bajo la curva v vs t
es numricamenteigual al espacio recorrido por el mvil.
Cncava hacia arriba( mov. acelerado)
Cncava hacia abajo( mov. retardado)
-
Cinemtica 129
TESTTESTTESTTESTTEST
1.- Las velocidades v de tres partculas: 1, 2 y 3 en fun-cin del
tiempo t, son mostradas en la figura. La ra-zn entre las
aceleraciones mayor y menor es:
a) 8b) 1 / 2c) 10d) 1e) 3
2.- De las grficas:
Las que corresponden al movimiento uniformemen-te variado
son:
a) A, B y C d) A, D y Eb) C, D y E e) Ningunac) A, C y D
3.- Cul de los siguientes diagramas v t correspondecon el
diagrama a t mostrado, si el mvil parte delreposo?
4.- El grfico corresponde con uno de los siguientes
mo-vimientos.
a) El de una piedra lanzada verticalmente haciaarriba.
b) El de una pelota que se lanza verticalmente con-tra el
piso.
c) El de una pelota que se suelta desde cierta altura.d) El de
un objeto que es lanzado desde cierta altu-
ra sobre el mar.e) El de una persona que baja y luego sube una
es-
calera.
5.- Segn el grfico, cul (es) de las siguientes afirmacio-nes es
(son) necesariamente cierta (s).
A B
C D
E
a) d)
b) e) N.A.
c)
-
Jorge Mendoza Dueas130
I.- Es un M.R.U.II.- Es un M.R.U.V.III.- El movimiento es
ascendente
a) II y III d) Solo IIIb) Solo I e) I y IIIc) Solo II
6.- Cul de los siguientes grficos indica un mayor reco-rrido en
los 10 primeros segundos, si siempre se partedel reposo?
a) c)
b) d)
e) N.A.
7.- Cul de las siguientes grficas v t concuerda con lagrfica e t
mostrada?
a) d)
b) e) N.A.
c)
8.- Cul d