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C h a p t e r l

I n t r o d u c t i o n

1 . 1 B ackgroundR e s e r v o i r s i m u l a t io n i n t h e o i l i n d u s t ry h a s b e c o m e t h e s t a n d a r d f o r s o l v i n g r e s e r v o i re n g i n e e r i n g p r o b l e m s . S i m u l a t o r s f o r v a r i o u s r e c o v e r y p r o c e s s e s h a v e b e e n d e v e l o p e da n d c o n t i n u e t o b e d e v e l o p e d f o r n e w o i l r e c o v e r y p r o c e s s e s . Reservoir simulation i s thea r t o f c o m b i n i n g p h y s i c s , m a t h e m a t i c s , r e s e r v o i r e n g i n e e ri n g , a n d c o m p u t e r p r o g r a m m i n gt o d e v e l o p a t o ol f o r p r e d ic t in g h y d r o c a r b o n r e s e r v o i r p e r f o r m a n c e u n d e r v a r i o u s o p e r -a t in g s t r a te g i e s . F i g u r e 1 - 1 d e p i c t s t h e m a j o r s t e p s i n v o l v e d i n t h e d e v e l o p m e n t o f a r e se r -vo i r s imula to r : f o rmula t ion , d i sc re t i za t ion , we l l r ep resen ta t ion , l i nea r i za t ion , so lu t ion , andv a l i d a t i o n ( O d e h , 1 9 8 2 ). I n t h is f ig u r e , formulation o u t l i n e s t h e b a s i c a s s u m p t i o n si n h e r e n t to t h e s i m u l a t o r , s t a te s t h e se a s s u m p t i o n s i n p r e c i s e m a t h e m a t i c a l t e r m s , a n da p p l i e s t h e m t o a c o n t r o l v o l u m e i n t h e r e se r v o i r. T h e r e su l t o f t h is s t e p i s a s e t o f c o u p l e d ,n o n l i n e a r p a r t i a l d if f e re n t i a l e q u a t io n s ( P D E s ) t h a t d e s c r i b e s f l u i d fl o w t h r o u g h p o r o u sm e d i a .Th e P D Es d e r i v e d d u r i n g t h e f o r m u l a t i o n s te p , i f so l v e d a n a l y t ic a l l y , w o u l d g i v e r e se r v o i rp r e s su r e , f lu i d s a t u r a t io n s , a n d w e l l f lo w r a t e s a s c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o f sp a c e a n d t i m e .B e c a u se o f t h e h ig h l y n o n l i n e a r n a t u re o f t h e P D Es , h o w e v e r , a n a l y t i c a l t e c h n i q u e s c a n n o tb e u s e d a n d s o lu t io n s m u s t b e o b t a i n e d w i t h n u m e r i c a l m e t h o d s . I n c o n t r a st to a n a l y t ic a lso l u ti o n s , n u m e r i c a l so l u t i o n s g i v e t h e v a l u e s o f p r e s su r e a n d f l u i d s a t u r a ti o n s o n l y a t d is -c r e t e po in t s i n the r ese rvo i r and a t d i sc re t e t imes . Discretization i s t he p rocess o f conv er t ingP D E s i n t o a l g e b r a i c e q u a t i o n s . S e v e r a l n u m e r i c a l m e t h o d s c a n b e u s e d t o d i s c r e t i z e t h eP D E s ; h o w e v e r , t h e m o s t c o m m o n a p p r o a c h i n t h e o il in d u s t r y t o d a y i s t h e fi n it e d i ff e r e n c em e t h o d . T h e m o s t c o m m o n l y u s e d f in i te d i f fe r e n c e a p p r o a c h e s s e n t ia l ly b u i ld s o n T a y l o rse ri e s e x p a n s i o n a n d n e g l e c ts t e r m s t h a t a re c o n s i d e r e d t o b e sm a l l w h e n sm a l l d i ff e r e n c e insp a c e p a r a m e t e r s i s c o n s i d e r e d . T h i s e x p a n d e d f o r m i s a se t o f a l g e b r a i c e q u a ti o n s . F i n i t ee l e m e n t m e t h o d , o n t h e o t h e r h a n d u se s v a r i o u s f u n c t i o n s t o e x p r e s s v a r i a b l e s i n t h e g o v -e r n i n g e q u a t i o n . T h e s e f u n c t i o n s l e a d t o t h e d e v e l o p m e n t o f a n e r r o r f u n c t i o n t h a t i sm in im ized in o rder to genera t e so lu t ions to the gov ern ing equa t ion . T o ca r ry ou t d i sc re ti za -t io n , a P D E i s w r i t t e n f o r a g i v e n p o i n t i n sp a c e a t a g i v e n t i m e l e v e l . Th e c h o i c e o f t i m el e v e l ( o l d t i m e l e v e l , c u r r e n t t i m e l e v e l , o r i n t e r m e d i a t e t i m e l e v e l ) l e a d s t o t h e e x p l i c i t ,i m p l i c i t , o r C r a n k - N i c o l s o n f o r m u l a t i o n m e t h o d . T h e d i s c r e t i z a t i o n p r o c e s s r e s u l t s i n asy s t e m o f n o n l i n e a r a l g e b r a i c e q u a ti o n s . Th e se e q u a t i o n s g e n e r a l l y c a n n o t b e so l v e d w i t hl i n e a r e q u a t i o n so l v e r s , a n d t h e l i n c a r i z a t i o n o f su c h e q u a t i o n s b e c o m e s a n e c e s sa r y s t e pbefo re so lu t ions can be ob ta ined . Well representation i s u sed to incorpora t e f lu id p rodu c t ionand in j ec t ion in to the non l inea r a lgebra i c equa t ions . Linearization i n v o l v e s a p p r o x i m a t i n g

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2 Chapter 1 Introduction

C . . . . . . . . . . ) C . . . . . . . . . . . . . ) C . . . . . . . . . . . . ) ( . . . . . . . C 3N O N L IN E /k R P D E 'S N O N L IN E A R A L G E B R A I C L I N E A R A L G E B R A I C S A T U R AT IO N

EQUATIONS EQUATIONS DISTRIBUTIONS& WELL RATES

C - . . . . . . . . . . . . . . . 3F i g u re 1 - 1 M a j o r s t ep s u sed t o d eve l o p reservo i r s i m u l a t o rs .R e d ra w n f r o m O d e h ( 19 8 2 ) ,

n o n l i n e a r t e rm s ( t ra n sm i s s i b il it ie s , p ro d u c t i o n a n d i n je c t io n , a n d c o e f f i c i e n t s o f u n k n o w n si n th e a c c u m u l a t i o n t e rm s ) i n b o t h sp a c e a n d t i m e . L i n e a r i z a t i o n r e su l t s i n a s e t o f li n e a ra l g e b ra ic e q u a ti o n s. A n y o n e o f s e v e ra l li n e a r e q u a ti o n so l v e r s c a n t h e n b e u se d t o o b t a in t h eso l u t io n , w h i c h c o m p r i s e s p r e s su re a n d f l u id s a t u r a t i o n d i s tr i b u t i o n s i n t h e r e se rv o i r a n dwe l l f l ow ra t es. Validation of a re se rv o i r s imula to r i s the l a s t st ep in deve lop ing a s im ula to r ,"af te r w h ich the s im ula to r can be used fo r p rac t i ca l f i e ld app l i ca t ions . T he va l ida t ion s t ep i sn e c e s sa ry t o m a k e su re th a t n o e r ro r s w e re i n t ro d u c e d i n t h e v a r i o u s s t e ps o f d e v e l o p m e n t o ri n c o m p u t e r p ro g ra m m i n g . Th i s v a l i d a ti o n i s d is ti n c t f ro m t h e c o n c e p t o f c o n d u c ti n g e x p e r i -m e n t s i n s u p p o r t o f a m a t h e m a t i c a l m o d e l . V a l i d a t io n o f a r e s e r v o i r s i m u l a t o r m e r e l yinvo lve s te s t ing the num er ica l code .T h e r e a r e t h r e e m e t h o d s a v a i l a b l e f o r th e d i s c r e ti z a ti o n o f a n y P D E : t h e T a y l o r s e r ie sm e t h o d , t h e i n t e g ra l m e t h o d , a n d t h e v a r i a ti o n a l m e t h o d (A z i z a n d S e t ta r i, 1 9 7 9) . Th e f i r s tt w o m e t h o d s r e su l t i n t h e f i n i t e -d i f f e r e n c e m e t h o d , w h e re a s t h e t h i rd r e su l t s i n t h e v a r i a -t io n a l m e t h o d . T h e " m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h " r e f e r s to th e m e t h o d s t h a t o b t a in t h e n o n -l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s t h r o u g h d e r i v i n g a n d d i s c r e t i z i n g t h e P D E s . D e v e l o p e r s o fs i m u l a t o r s re l i e d h e a v i l y o n t he m a t h e m a t i c s in t h e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h t o o b ta i n t h en o n l in e a r a l g e b r a i c e q u a ti o n s o r t h e f in i t e -d i f f e re n c e e q u a ti o ns . H o w e v e r , A b o u - K a s s e m ,F a ro u q A l i , I s l a m , a n d O sm a n (2 0 0 6 ) p r e se n t e d a n e w a p p ro a c h t h a t d e r i v e s t h e f i n i t e -d i f -f e r e n c e e q u a t i o n s w i t h o u t g o i n g t h r o u g h t he r ig o r o f P D E s a n d d i s c r e ti z a t i o n . T h i sa p p r o a c h a l s o u s e s f i c t i t i o u s w e l l s t o r e p r e s e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h i s n e w t a c t i c i st e r m e d t h e " e n g i n e e r i n g a p p r o a c h " b e c a u s e i t i s c l o s e r to th e e n g i n e e r ' s t h i n k i n g a n d t ot h e p h y s i c a l m e a n i n g o f th e t e r m s i n th e f l o w e q u a t io n s . T h e e n g i n e e r i n g a p p r o a c h i ss i m p l e a n d y e t g e n e r a l a n d r i g o r o u s , a n d b o t h t he e n g i n e e r i n g a n d m a t h e m a t i c a la p p r o a c h e s t re a t b o u n d a r y c o n d i t i o n s w i th t he s a m e a c c u r a c y i f t he m a t h e m a t i c a la p p r o a c h u s e s s e c o n d - o r d e r a p p r o x i m a t i o n s . I n a d d it io n , t he e n g i n e e r i n g a p p r o a c h r e s u l tsi n th e s a m e f i n it e - d if f e r e n c e e q u a ti o n s f o r a n y h y d r o c a r b o n r e c o v e r y p r o c e s s . B e c a u s e t h ee n g i n e e r i n g a p p r o a c h i s i n d e p e n d e n t o f th e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h , it r e c o n f i r m s t h e u s eo f c e n t r a l d i f f e r e n c i n g i n sp a c e d i s c r e t i z a ti o n a n d h i g h l i g h t s t h e a s su m p t i o n s i n v o l v e d i nc h o o s i n g a t i m e l e v e l i n th e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h .1.2 M i lesto ne s or the Engineering ApproachT h e f o u n d a t i o n s f o r th e e n g i n e e r i n g a p p r o a c h h a v e b e e n o v e r l o o k e d a ll t h e se y e a r s . T r a d i -t io n a l ly , r e s e r v o i r s i m u l a to r s w e r e d e v e l o p e d b y f ir s t u s i n g a c o n t ro l v o l u m e ( o r e l e m e n -t a r y v o l u m e ) , s u c h a s th a t s h o w n i n F i g u r e 1 - 2 f o r 1 D f l o w o r in F i g u r e 1 - 3 f o r 3 D f l o w ,t h a t w a s v i su a l i z e d b y m a t h e m a t i c i a n s t o d e v e l o p f l u i d f l o w e q u a t io n s . N o t e t h a t p o i n t x i n1 D a n d p o i n t ( x, y , z ) i n 3 D f a l l o n t h e e d g e o f c o n tro l v o l u m e s . T h e r e su l t i n g f l o w e q u a -

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1.2 Milestones for the Engineering Approach 3

I i i i i ! l I w o u 'l o w i n ) x, I A x I ,x x + A x

Fi gure 1 - 2 C ont ro l vo l ume used by mat hem at ic ians f or 1D f low .( x , y , z+Az ) ~ ( , y+Ay ,z + A z )

( x + A x , y , z + A z .z j Tx

( x + A x , y + A y , z )F ig u r e 1 - 3 C o n t r o lvo l ume used by m at hemat ic ians for 3D f low .Redrawn from Bear (1988) .

t io n s a r e in th e f o r m o f P D E s . O n c e t h e P D E s a r e d e r i v e d , e a r l y p i o n e e r s o f s i m u l a t i o nl o o k e d t o m a t h e m a t i c i a n s t o p ro v i d e s o l ut io n m e t h o d s . T h e s e m e t h o d s s ta r te d w i t h t hed e s c r i p t i o n o f th e r e s e r v o i r a s a c o l l e c t i o n o f g r i d b l o c k s , r e p r e s e n t e d b y p o i n t s t h a t fa l lw i t h i n t h e m ( o r g r i d p o i n t s r e p r e s e n t i n g b l o c k s t h a t s u r r o u n d t h e m ) , f o l l o w e d b y t h er e p l a c e m e n t o f t h e P D E s a n d b o u n d a r y c o n d i t io n s b y a l g e b r a i c e q u at io n s , a n d f i n a ll y th es o l u ti o n o f th e r e s u l ti n g a l g e b r a i c e q u a t io n s . D e v e l o p e r s o f s i m u l a t o r s w e r e a l l t h e t i m eo c c u p i e d b y f i n d in g t h e s o l u t io n a n d , p e r h a p s , f o r g o t t h a t t h e y w e r e s o l v i n g a n e n g i -n e e r in g p r o b l e m . T h e e n g i n e e r in g a p p r o a c h c a n b e r e a l i z ed s h o u l d o n e t r y t o r e la t e t het e r m s i n t h e d i s c r e t iz e d f l o w e q u a t i o n s f o r a n y b l o c k t o t h e b l o c k i t s e l f a n d t o a l l i ts n e i g h -b o r i n g b l o c k s . A c l o s e i n s p e c t i o n o f t h e fl o w t e r m s i n a d i s c r e t i z e d f l o w e q u a t i o n o f ag i v e n f l u i d ( o il , w a t e r , o r g a s ) in a b l a c k - o i l m o d e l f o r a g i v e n b l o c k r e v e a l s t h a t t h e s et e r m s a r e n o t h i n g b u t D a r c y ' s L a w d e s c r i b in g v o l u m e t r i c f l o w r a t e s o f th e f l u i d a t s ta n -d a r d c o n d i t i o n s b e t w e e n t h e b l o c k a n d i t s n e i g h b o r i n g b l o c k s . T h e a c c u m u l a t i o n t e r m i st h e c h a n g e i n t h e v o l u m e a t s ta n d a r d c o n d i t io n s o f th e f l u i d c o n t a i n e d i n t h e b l o c k i t s e l f a tt w o d i f f e r e n t t i m e s .M o r e t h a n 3 0 y e a r s a g o , F a r o u q A l i w a s t h e f i r s t t o o b s e r v e t h a t f l o w t e r m s i n t h e d i s -c r e ti z e d f o r m o f g o v e r n i n g e q u a t io n s a r e n o t h in g b u t D a r c y ' s L a w d e s c r ib i n g v o l u m e t r icf l o w r a te b e t w e e n a n y t w o n e i g h b o r in g b l o c k s . M a k i n g u s e o f th is o b s e r v a t i o n c o u p l e dw i t h a n a s s u m p t i o n r el a t e d to t h e t i m e l e v e l a t w h i c h f l o w t e r m s a r e e v a lu a t e d , h e d e v e l -o p e d t h e f o r w a r d - c e n t r a l -d i f f e r e n c e e q u a t i o n a n d t h e b a c k w a r d - c e n t r a l - d i f fe r e n c e e q u a t i o n

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4 Chapter I Introduction

w i th o u t g o in g th ro u g h th e r ig o r o f th e m a th ema t i ca l ap p ro ach in t e ach in g r e se rv o i r s imu la -t ion to undergradua te s tuden ts (Farou q Al i , 1986) . Er tek in , Ab ou-K assem , and King (2001)w ere th e f i r s t t o u se a co n t ro l v o lu m e r ep re sen ted b y a p o in t a t it s c en te r in t h e m a th ema t -i c a l ap p ro ach a s sh o w n in F ig u re 1 -4 fo r 1 D f lo w an d F ig u re 1 -5 fo r 3 D f lo w . T h i s co n t ro lv o lu m e is c lo se r t o an en g in ee r ' s t h in k in g o f r ep re sen tin g b lo ck s in r e se rv o i r s . T h e o b se r -v a t io n b y F a ro u q A l i in t h e ea r ly s ev en t i e s an d th e in t ro d u c t io n o f th e n ew co n t ro l v o lu m eb y E r t ek in e t a l. h av e b een th e tw o m i l e s to n es th a t co n t r ib u ted s ig n i f i c an tly to th e r ecen td ev e lo p m en t o f th e en g in ee r in g ap p ro ach .O v e r l o o k i n g t h e e n g i n e e r i n g a p p r o a c h h a s k e p t r e s e r w ) i r si m u l a t i o n c l o s e l y t ie d w i t hP D E s . F r o m t h e m a t h e m a t i c i a n ' s p o i n t o f v ie w , t h is i s a b l e s s in g b e c a u s e r e s e a r c h e r s inr e s e r v o i r s i m u l a t io n h a v e d e v i s e d a d v a n c e d m e t h o d s f o r s o l v i n g h ig h l y n o n l i n e a r P D E s ,an d th i s en r i ch ed th e l i t e r a tu re in m a th em a t i c s i n th i s imp o r t an t a r ea . C o n t r ib u t io n s o f r e s -e rv o i r s imu la t io n to so lv in g P D E s in c lu d e th e fo llo w in g : T rea t in g n o n l in ea r t e rms in sp ace an d t ime (S e t ta r i an d A z iz 1 9 7 5; C o a t s , R am esh ,

an d W in es to c k 1 9 7 7 ; S aad 1 9 8 9 ; G u p ta 1 9 9 0) . D ev i s in g m e th o d s o f so lv in g sy s t ems o f n o n l in ea r P D E s , su ch a s t h e IM P E S

(B re i t en b ach , T h u rn au , an d v a n P o o l l en 1 9 6 9 ), S E Q (S p i ll e tt e , H i l l e s tad , an d S to n e ,1 9 7 3; C o a t s 1 9 7 8 ), F u l ly Imp l i c i t S S (S h e f f i e ld 1 9 6 9 ), an d A d ap t iv e Imp l i c i t( T h o m a s a n d T h u r n a u 1 9 83 ) m e t h o d s .

D ev i s in g ad v an ced i t e ra t iv e m e th o d s fo r so lv in g sy s t ems o f l i n ea r a lg eb ra iceq u a t io n s , su ch a s t h e B lo ck I t e r a t iv e (B eh ie an d V in so m e 1 9 8 2 ), N es t edF ac to r i z a t io n (A p p ley a rd an d C h esh i r e 1 9 8 3 ) , an d O r th o m in (V in so me 1 9 7 6 )m e t h o d s .

W e l l

I ~ , " J . . . . . ~ " I

IJs F l o w i ns

I) ' x - A x / 2 X x + A x / 2

I. . j p m m m m m m iF l o w o u t

F i g u re 1 - 4 C o n t ro l v o lu m e f o r 1 D f l o w .1.3 Im portance of the Engineer ing and M athematical Ap proachesT h e i m p o r t a n c e o f th e e n g i n e e r i n g a p p r o a c h l ie s in b e in g c l o s e to t he e n g i n e e r ' sm i n d s e t a n d i n i ts c a p a c i t y t o d e r i v e th e a l g e b r a i c f l o w e q u a t i o n s e a s i l y a n d w i t h o u tg o i n g t h r o u g h t h e r i g o r o f P D E s a n d d i s c r e t i z a t io n . I n re a l i t y , t h e d e v e l o p m e n t o f a r e s -e r v o i r s i m u l a t o r c an d o a w a y w i th t h e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h b e c a u s e t h e o b j e c t i v e o ft h is a p p r o a c h i s t o o b t a in t h e a l g e b r a i c f l o w e q u a t i o n s f o r th e p r o c e s s b e i n g s i m u l a te d .I n a d d i ti o n , t h e e n g i n e e r i n g a p p r o a c h r e c o n f i r m s th e u s e o f c e n t r a l - d i f f e r e n c e a p p r o x i -

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1.4 Summary 5

( x - ~ d 2 , y - A y / 2 , z + A z / 2 ) ( x - , ~ x / 2 y + A y / 2 , z + , ~ . /2 )/ , dx + ~ d 2 , y - A y / 2 , z + ~ . / 2 ) ( x + , S x / 2 , y + , ~ y / 2 ,J ' z ~ z ] ( x - A ~ 2 , y - 'A y / 2 , z - A z . / 2 ) | . ~ l ( x -A x / 2 ,y + A y / 2 , z - A z / 2 )

x .- / 1 / t - I . , , ' u( x + ,~ x / 2 y - A y / 2 , z - ~ - / 2 ) ( x + A x / 2 , y + , ~ y / 2 , z -~ - / 2 )

F ig u r e 1 - 5 C o n t ro lvolum e for 3D f low.m a t i o n o f th e s e c o n d - o r d e r s p a c e d e r i v a t i v e a n d p r o v i d e s i n t e r p r e t a t i o n o f t h e a p p r o x i -m a t i o n s i n v o l v e d in t h e f o r w a r d - , b a c k w a r d - , a n d c e n t r a l - d i f f e r e n c e o f t h e f i r st - o r d e rt i m e d e r i v a t i v e t h a t a r e u s e d i n t h e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h .T h e m a j o r i t y , i f n o t a l l, o f th e a v a i la b l e c o m m e r c i a l r e s e r v o i r s im u l a t o rs w e r e d e v e l o p e dw i th o u t e v e n lo o k in g a t a n a n a ly s is o f t r u n c a t io n e r ro r s , c o n s i s t e n c y , c o n v e rg e n c e , o r s ta -b i l it y . T h e imp o r t a n c e o f t h e ma th e m a t i c a l a p p ro a c h , h o w e v e r , l i es w i th in i ts c a p a c i ty t op ro v id e a n a ly s i s o f su c h i te ms . O n ly i n th i s c a s e d o t h e two a p p ro a c h e s c o m p le m e n t e a c ho t h e r a n d b o t h b e c o m e e q u a l l y i m p o r t a n t i n r e s e r v o i r s im u l a ti o n.1.4 SummaryT h e t r a d it i o n a l s te p s i n v o lv e d in t h e d e v e lo p m e n t o f a r e s e rv o i r s imu la to r i n c lu d e fo rmu -l a t i o n , d i s c r e t i z a t i o n , w e l l r e p r e s e n t a t i o n , l i n e a r i z a t i o n , s o l u t i o n , a n d v a l i d a t i o n . T h em a th e ma t i c a l a p p ro a c h in v o lv e s fo rmu la t i o n t o o b t a in a d i f fe r e n t i a l e q u a t io n , f o l l o we d b yre s e rv o i r d i s c r e t i z a t i o n t o d e s c r ib e t h e r e s e rv o i r , a n d f i n a l l y t h e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e d i f -f e r e n t i a l e q u a t i o n t o o b t a i n t h e f l o w e q u a t i o n i n a l g e b r a i c f o r m . I n c o n t r a s t , t h e e n g i -n e e r i n g a p p r o a c h i n v o l v e s r e s e r v o i r d i s c re t i z a ti o n t o d e s c r i b e t h e r e s e r v o i r , f o l l o w e d b yfo rm u la t i o n to o b t a in t h e f l o w e q u a t io n i n i n te g ra l f o rm , wh ic h , w h e n a p p ro x im a te d , p ro -d u c e s t h e fl o w e q u a t i o n in a l g e b r a i c fo r m . T h e m a t h e m a t i c a l a p p r o a c h a n d e n g i n e e r i n ga p p ro a c h p ro d u c e t h e s a me f lo w e q u a t io n i n a lg e b ra ic fo rm b u t u s e two u n re l a t e d ro u t e s.T h e s e e d s f o r t h e e n g i n e e r i n g a p p r o a c h e x i s t e d a l o n g t i m e a g o b u t w e r e o v e r l o o k e d b yp i o n e e rs i n r e s e r v o i r s i m u l a t io n b e c a u s e m o d e l i n g p e t r o l e u m r e s e r v o i rs h a s b e e n c o n s i d-e r e d a m a t h e m a t i c a l p r o b l e m r a t h e r t h a n a n e n g i n e e r i n g p r o b l e m . T h e e n g i n e e r i n ga p p ro a c h i s b o th e a s y a n d ro b u s t . [ t d o e s n o t i n v o lv e d i f f e r e n t i a l e q u a t io n s , d i s c r e t iz a t i o no f d i f f e r e n t i a l e q u a t io n s , o r d i s c r e t i z a t io n o f b o u n d a ry c o n d i t i o n s .1 .51-11-2

E x e r c i s e sN a m e t h e m a j o r s te p s u s e d i n t h e d e v e l o p m e n t o f a r e s e r v o i r s i m u l a to r u s in gth e m a th e ma t i c a l a p p ro a c h .In d i c a te t h e i n p u t a n d th e e x p e c t e d o u tp u t f o r e a c h ma jo r s t e p i n E x e rc i s e 1 -1 .

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6 Chapter l Introduction

1-31-41-51-61-7

How does the engineering approach differ from the mathematical approachin developing a reservoir simulator?Name the major steps used in the development of a reservoir simulator usingthe engineering approach.Indicate the input and the expected output for each major step in Exercise 1-4.Draw a sketch, similar to Figure l - l , for the development of a reservoirsimulator using the engineering approach.Using your own words, state the importance of the engineering approach inreservoir simulation.