GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số 1 Chuyên Đề SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực . x D ∈ Các bước giải tổng quát: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X. ii) Bước 2: . min f(x) g(m) max f(x ≤ ≤ ) Chú ý: + Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem f(x) X D = (miền xác định của f(x)). + Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x). + Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT. + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t). II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 2 x 2x m 2x + − = − 1 (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 2 2 1 1 x x 2 2 x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1. ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ≥ ≥ ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + − = − =− + − ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 1 (1) Đặt , với 2 y 3x 6x =− + − 1 x 2 ≥ ta có: Bảng biến thiên x −∞ 1 2 1 +∞ y 2 5 4 −∞ Dựa vào bảng biến thiên, ta có: tanggiap.vn Cùng ôn thi đại học môn Tóan http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
GV. Nguyễn Vũ Minh Khảo Sát Hàm Số
1
Chuyên Đề SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực . x D∈Các bước giải tổng quát: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X. ii) Bước 2: . min f(x) g(m) max f(x≤ ≤ )Chú ý: + Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem f(x)X D=
(miền xác định của f(x)). + Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x). + Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trởlên thì ta phải dùng BBT. + Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t). II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 2x 2x m 2x+ − = − 1 (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
2 2 2
1 1x x
2 2x 2x m (2x 1) m 3x 6x 1.
⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪≥ ≥⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪+ − = − = − + −⎪ ⎪⎩ ⎩
1
(1)
Đặt , với 2y 3x 6x= − + −1
x2
≥ ta có:
Bảng biến thiên
x −∞ 12 1 +∞
y 2
54 −∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
tanggiap.vn
Cùng ôn thi đại học môn Tóan http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan
tanggiap.vn Khảo Sát Hàm Số
2
1) , 2) m ≤ 25
m < ∨ , 3) m 24
=5
m 24≤ < .
Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình 1 1
x x x2 4
+ + + + = m (2) có
nghiệm thực. +∞HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt 21 1t x 0 x t
4 4= + ≥ ⇔ = − , (2) trở thành:
2 2 21 1 1t t t m t t m
4 4 4− + + + = ⇔ + + = .
1y ' 2t 1 0 t2
= + = ⇔ = −
Bảng biến thiên :
+∞
Suy ra : 1
m4
≥
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 2
2
m16 x 4 0
16 x− − − =
−
(3) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢIĐặt 2t 16 x t (0; 4]= − ⇒ ∈ ,
(3) trở thành 2m
t 4 0 t 4tt
− − = ⇔ − = m
0
.
Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t , ta có . 4 m− ≤ ≤
Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 x 2
m 2x 2 x 1− +
− ++ −
0= (4)
có nghiệm thực.
x
y’ 0 − + +−∞ 1/ 2− 0 +∞
y14
Cùng ôn thi đại học môn Tóan http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan
tanggiap.vn Khảo Sát Hàm Số
3
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt x 1
t t (0; ) \ {1}x 2−
= ⇒ ∈ +∞+ ,
(4) trở thành 2m
t 2 0 t 2t mt
− + = ⇔ + =
3
.
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có . 0 m< ≠
Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình
4 2x 1 m x 1 2 x 1+ − − + − = 0 (5) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI
x 1Điều kiện: . ≥+ x = 1: (5) vô nghiệm.
+ x > 1: 4 4x 1 x 1
(5) m 2 0x 1 x 1+ −
⇔ − +− +
= .
Đặt 4 4x 1 2
t 1 tx 1 x 1+
= = + ⇒ ∈ +− −
(1; )∞ ,
(5) trở thành 2m
t 2 0 t 2tt
− + = ⇔ + = m .
Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t, ta có m > 3.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình 2x 2x 3 x− − = + m (6) 1) có nghiệm thực,
2) có 2 nghiệm phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI
2x 2x 3 x m.⇔ − − − = Ta có (6)
Đặt 2y x 2x 3= − − − x
3Với : x 1 x≤ − ∨ ≥
2
2
2
x 1y ' 1
x 2x 3x 1 x 2x 3
x 2x 3
−⇒ = −
− −− − − −
=− −
.
Cùng ôn thi đại học môn Tóan http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan
tanggiap.vn Khảo Sát Hàm Số
4
Bảng biến thiên
x −∞ –1 3 +∞ y’ – + y +∞ 1− 1 –3 Dựa vào bảng biến thiên: 1) 3 m 1 m , 2) không có m. − ≤ < − ∨ ≥ 1Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
x 1 1 x m+ + − = (7). HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét hàm số
/
2
1 x 1 xf(x) 1 x 1 x, x [ 1; 1] f (x)
2 1 x
− − += + + − ∈ − ⇒ =
− .
Bảng biến thiên
f’(x) + 0 –
2− 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: + m 2 m< ∨ > 2 : (7) vô nghiệm. + m = 2 : (7) có 1 nghiệm. + 2 m≤ < 2 : (7) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình 2x 9 x x 9x+ − = − + + m (8) có nghiệm thực.
+ Với : x 3> (14) (x 3)(x 1) 4 (x 3)(x 1) m m 0⇔ − + + − + = ⇒ ≥ . Vậy . Chú ý : bài này sẽ có 2 bảng biến thiên. m ≥ −4Bài 15 (ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
( )2 2 4 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − 2 (15) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI2 2t 1 x 1 x , 1 x 1= + − − − ≤ ≤ Đặt
Cùng ôn thi đại học môn Tóan http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan
2 1− 2 1 m 1.⇔ − ≤ ≤ Dựa vào bảng biến thiên, (15) có nghiệm thực
Bài 16. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm 2m x 2 x m+ = + (16).
HƯỚNG DẪN GIẢI
( ) ( )2 2
2
xm x 2 1 x m do x 2 1 0, x
x 2 1⇔ + − = ⇔ = + − > ∀ ∈
+ −. (16)
Xét hàm số 2
xy =
x 2+ − 1
( )
22
2
22
xx 2 1
x 2y 'x 2 1
+ − −+⇒ =
+ −
( )2
22 2
2 x 20 x
x 2 x 2 1
− += =
+ + −2⇔ = ±
.
Giới hạn x x x
2
xlim y lim lim y 1.
2 1x 1
xx
→∞ →∞ →±∞= ⇒
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎟⎜⎝ ⎠
= ±
Bảng biến thiên Cùng ôn thi đại học môn Tóan
http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan
tanggiap.vn Khảo Sát Hàm Số
8
x −∞ 2− 2 +∞ y’ – 0 + 0 – y –1 2
2− 1
Dựa vào bảng biến thiên, ta có m 2 m< − ∨ > 2 : (16) vô nghiệm.
BÀI TẬP :
Bài 1 (ĐH Khối B – 2006) : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt 2x mx 2 2x+ + = +1 2. (Đáp Số : ) m 9 /≥Bài 2 (ĐH Khối D – 2004) : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
x y 1
x x y y 1 3m
⎧ + =⎪⎨
+ = −⎪⎩. (Đáp Số : ) 0 m 1 /≤ ≤ 4
Bài 3 (ĐH Khối A – 2002) : Tìm m để hệ phương trình sau có í nhất một nghiệm
thuộc đoạn 3⎡1; 3 ⎤⎣ ⎦ : 2 2
3 3log x log x 1 2m 1 0+ + − − = 0 m 2≤ ≤. (Đáp Số : ) Bài 4 (CĐ KTĐN – 2007) : tìm m để phương trình sau có nghiệm 2x 2x 3 m− + − = 0 . (Đáp Số : m 2≥
(
) Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm
)x xm.4 m 1 .2 m 1 0− + + + = 3
3 2x 2x 4x 3m 2 0− − + − = 1
−
. (Đáp Số : ) m 1 /< Bài 6 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x < 0 . (Đáp Số : ) m 14 / 8≥Bài 7 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm . (Đáp Số : 2 2cos x 6sinx 4m 2+ = 2 m 2≤− ≤ ) Bài 8 : Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm
( )( ) 2x 3 x 1 4x x 2m 1 0− − + − − + = . (Đáp Số : 1 ) m 17 / 8≤ ≤
Bài 9 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
( ) ( )x xx5 1 m 5 1 2+ + − = . (Đáp Số : 1m m
4= 0∨ ≤ )
Bài 10 (ĐH Khối B – 2007) : CMR phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt khi m dương : ( ) 2m x 2 x 2x 8− = + − Bài 11 (CĐ Tài Chính Hải Quan – 2007) : tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 x 1 m x 0+ − − = . (Đáp Số : ) m 2≤
Cùng ôn thi đại học môn Tóan http://www.facebook.com/CungOnThiDaiHocMonToan