7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
1/66
1
Kinematika krutog tijela
11. dio
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
2/66
2
Kod krutog tijela udaljenost
u bilo kojihdviju toaka tijela ostaje tijekom gibanjanepromijenjena.
Kinematika gibanja: a) krutog tapab) krute ploe
c) krutog tijela.
Razlikujemo: a) slobodno tijelob) neslobodno tijelo
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
3/66
3
Slobodno gibanje krutog tijela Prinudno gibanje krutog tijela mogunostgibanja ograniena je vanjskim vezama.
Gibanje mehanizama sustava sastavljenihod vie meusobno vezanih krutih tijela.
Ravninski mehanizmi kod kojih se svilanovi gibaju u ravninama paralelnim s
jednom nepominom, referentnom ravninom.
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
4/66
4
Kinematikakrutog tijela
1. Translacija 2. Rotacija
Krivocrtna Pravocrtna
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
5/66
5
1. Translacija krutog tijela
a) Krivocrtna b) Pravocrtna
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
6/66
6
2. Rotacija krutog tijela
a) oko nepomine osi
b) oko trenutne osi
c) oko nepomine toke O slobodne osi
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
7/66
7
2. Rotacija krutog tijela
a) oko nepomine osi
b) oko trenutne osi
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
8/66
8
c) Rotacija krutog tijela oko nepomine toke O
Gibanje zvrka - sferno gibanje
r i p imaju isti smjer rotacije
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
9/66
9
c) Rotacija krutog tijela oko nepomine toke O
Gibanje Zemlje oko Sunca retrogradna precesija
r i p imaju suprotan smjer rotacije
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
10/66
10
1. Translacijsko gibanje
=
=
=
+=
+=
AB
AB
AB
AB
AB
aa:slijedi
dt
)v(d
dt
)v(d
vv:slijedi
dt
)AB(d
dt
)r(d
dt
)r(d
ABrr
duina A1B1 = AB = konst.
0dt
)AB(d=
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
11/66
11
1. Translacijsko gibanje
==
==
aaa:brzanjeU
vvv:rzinaB
AB
AB
Sve toke krutog tijela pri translacijskom gibanjuopisuju kongruentne putanje i imaju u svakomtrenutku vremena jednake brzine i ubrzanja popravcu, smjeru i intenzitetu. Dovoljno je poznavatizakon gibanja samo jedne toke tijela.
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
12/66
12
Kruna translacija je poseban sluajkrivocrtne translacije
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
13/66
13
Duina BCizvodi
.gibanje
Duina ABizvodi
..gibanje
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
14/66
14
Primjer translacijskog gibanja:
Gibanje klipa ubenzinskom ilidizel-motoru
Gibanje vagonana ravnom dijelu
puta
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
15/66
15
2. Rotacijsko gibanje
a) oko nepomine osi
b) oko trenutne osi
a) Rotacijsko gibanje oko nepomine osi
gibanja zupanika, remenica, zamanjaka, krunih pila itd.
Zakon rotacijskog gibanja:
)t(=
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
16/66
16
Rotacija oko nepomine osiGibanje tijela pri
kojemu sve toke
tijela du osi rotacijeAB ostaju nepomine.
Sve ostale toke tijelaopisuju krunice okonepomine osi u
ravninama okomitimna os rotacije i sasreditem na toj osi.
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
17/66
17
dt
d
tlim)lim(
0t0t
sr=
==
=
s
1
tsr
Srednja kutna brzina:
Trenutna kutna brzina:
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
18/66
18
Kutna brzina Prema kutnoj brzini razlikujemo slijedeagibanja:Promjenljivo = f (t)Jednoliko = konst.
(Smjer: Pravilo desne ruke)
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
19/66
19
Kutno ubrzanje
Promjenljiva rotacija:
Srednje kutno ubrzanje:
Kutno ubrzanje:
=
==
20tsr
0t s
1
td
d
tlimlim
t
sr
=
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
20/66
20
Sluajevi rotacijskih gibanja:
1. >0 jednoliko ubrzano gibanje
(d = .dt >0)
2.
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
21/66
21
1. Jednoliko ubrzano rotacijsko gibanje
200
0
t2
1t
:gibanjaZakon
t
:brzinaKutna
.konst0;:ubrzanjeKutno
++=
+=
=>
Vektori i istog su smjera
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
22/66
22
2. Jednoliko usporeno rotacijsko gibanje
200
0
t2
1t
:gibanjaZakon
t
:brzinaKutna
.konst0;:ubrzanjeKutno
+=
=
=
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
23/66
23
3. Jednoliko rotacijsko gibanje
t:gibanjaZakon
.konst:brzinaKutna0:ubrzanjeKutno
0 +=
==
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
24/66
24
Broj okreta u minuti n
Veza izmeu kutne brzine (1/s ili rad/s) i brojaokreta tijela n (okr./min):
60n2 =
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
25/66
25
Brzina v toaka tijela pri rotaciji
=
===
=
rv
rdtdr
dtdsv
drds
Obodne brzine toakatijela v proporcionalne sunjihovim udaljenostima od
osi rotacije.
Obodna brzina v
= rv
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
26/66
26
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
27/66
27
Ubrzanje a toaka tijela pri rotaciji
2n
t
ra
rdt
dv
a
=
==
422
n
2
t
raaa +=+=
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
2n
t
a
atg
==
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
28/66
28
Odredite karakter rotacijskog gibanjakrutog tijela oko nepomine osi:
a) = 5 rad/s2
b) = 0
c) = 150 (rad/s)
d) = 20 . t (rad/s)
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
29/66
29
Primjer 1: Vratilo elektromotora okree se konstantnim brojem okretajan = 1400 okr./min. Ako promjer vratila iznosi 100 mm odredite:
a) kutnu brzinu vratila (=?)b) obodnu brzinu toke na obodu vratila (v=?)c) ubrzanje toke na obodu vratila (a=?).
Zadano: n = 1400 okr./min.d = 100 mm; r = d/2=50 mm=0,050 m
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
30/66
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
31/66
31
Ravninsko ili planarno gibanjekrutog tijela
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
32/66
32
Svaka toka tijela Mi giba se u ravnini paralelnoj s
nekom nepominom (referentnom) ravninom 0.
aaa
vvv
21
21
==
==
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
33/66
33
Sve to
ke na okomici opisuju identi
nemeusobno paralelne putanje i usvakom trenutku imaju jednake vektore
brzina i ubrzanja
Ravninsko gibanje krutog tijela moemosvesti na prouavanje gibanja krutefigure t.j. presjeka S u ravnini.
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
34/66
34
Poloaj presjeka S u ravnini Oxy moese odrediti ako je poznat poloaj neketoke A presjeka S i kut
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
35/66
35
Poloaj presjeka S u ravnini Oxy moese odrediti ako je poznat poloaj neketoke A presjeka S i kut
Gibanje ravne krute figure S u ravniniodreeno je jednadbama:
)t(
)t(yy
)t(xx
A
A
=
=
=
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
36/66
36
.konstAB =
To su ujedno kinematske jednadbe ravninskog gibanja
krutog tijela:
)t(
)t(yy
)t(xx
A
A
=
=
=
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
37/66
37
Svako gibanje presjeka S moe se razloiti na:a) translacijsko gibanje ib) rotacijsko gibanje oko toke A
proizvoljno odabranog pola
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
38/66
38
(ili oko toke B)
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
39/66
39
Odreivanje putanja toaka tijela
Toka A (xA; yA )
)sin(dyy
)cos(dxx
A
A
++=
++=
+= jyixr AAA
Jednadbe gibanja toke M:
Toka M (x; y )
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
40/66
40
Odre
ivanje brzina to
aka tijela
+= AMA rrr
dt
rd
dt
rd
dt
rdv AMAM
+==
+= jyixr AAA
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
41/66
41
Odreivanje brzina toaka tijela
= AA vdtrd
= MAAM vdtrd
+= MAAM vvv
dt
rd
dt
rd
dt
rdv AMA
M
+==
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
42/66
42
MAvMA
AMvMA =
+= MAAM vvv
AMvv AM +=
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
43/66
43
Brzina toke M krutog tijela vM kod ravninskog
gibanja jednaka je vektorskom zbroju brzinetoke A vA i brzine toke M pri rotaciji tijelaoko toke - pola A vMA.
AMvv AM +=
+= MAAM vvv
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
44/66
44
Teorem o projekcijama brzina
Ortogonalne projekcije vektora brzina naspojnicu toaka A i B meusobno su jednake.
PNv
.konst'v'vv
N
BAN
=
===
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
45/66
45
NBB
NAA
vPNcosPBcosv'vvPNcosPAcosv'v
========
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
46/66
46
Kotrljanje
vrv
vr2
22rv
45cosvv
AOCspojnicunaojekcijePr
2rPCv
2rPAv
rPOvv:Brzine
C'
A'
AA'
C
A
O
==
===
=
==
==
===
+= OPPO vvv
Toka P trenutni pol brzina vP= 0
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
47/66
47
Trenutni pol brzina P Trenutni pol brzina je toka P u presjeku S
krutog tijela ija je brzina u odreenomtrenutku jednaka nuli.
Za odreivanje trenutnog pola brzina Ppotrebno je poznavati pravce i smjerove
brzina bilo kojih dviju toaka krutog tijela kojese nalaze na presjeku S na pr. vA i vB
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
48/66
48
PAvA
poznato-viv BA
PBvB
Trenutni pol P nalazi se u sjecitu okomica povuenih na
brzine vA i vB (sjecitu pravaca a i b)
0vP =
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
49/66
49
Brzina bilo koje toke
krutog tijela koja lei upresjeku S jednaka jenjenoj obodnoj brzini pri
rotaciji oko trenutnog polabrzina P.
Brzine pojedinih toaka
tijela proporcionalne sunjihovim udaljenostima odtrenutnog pola brzina.
PBv
PAv
B
A
=
=
PBv
PAv BA ==
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
50/66
50
=
+=
=
+=
BPB
BPPB
APA
APPA
vv
vvv
vv
vvv
0vP =
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
51/66
51
Odreivanje brzina toaka tijela pomou
trenutnog pola P
Za odreivanje brzine bilo koje toke krutogtijela na presjeku S potrebno je poznavatiintenzitet i pravac brzine jedne toke vA i
pravac brzine druge toke tijela vB.
Zadano: Intenzitet i pravac brzine vA i samo pravac vB
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
52/66
52
intenzitetseTrai
PA
vPAv
PBv?v
AA
BB
==
==
Zadano: Intenzitet i pravac brzine vA i samo pravac vB
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
53/66
53
PAv
rvrv
PCv
?v
A
A
AAA
C
C
===
==
Sluajevi odreivanja trenutnog pola brzina
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
54/66
54
Sluajevi odreivanja trenutnog pola brzina
0vP =
Trenutnatranslacija: Trenutni pol:
P
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
55/66
55
Primjer ravninskog gibanja
krutog tijela:Kotrljanje bez klizanjavaljkastog tijela po povrini
drugog tijela
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
56/66
56
Translacija + Rotacija = Kotrljanje
Kotrljanje rotacija oko trenutne osi
- trenutni pol
Ubrzanje a toaka tijela
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
57/66
57
Ubrzanje a toaka tijela
2
AM2
2
A2
M
2
2
M
AMA
dt
rd
dt
rd
a
dtrda
rrr
+=
=
+=
= A2A
2
adt
rdMA2
AM2
a
dt
rd
=
+= MAAM aaa
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
58/66
58
+= MAAM aaa
Podsjetnik: Ubrzanje a toaka kod krunog gibanja
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
59/66
59
j j g g j
2
dt
dv
=
==
ra
ra
n
t
422n
2t raaa +=+=
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
2n
t
a
a
tg
==
Ubrzanje aMA toke M pri rotaciji tijela oko pola A:
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
60/66
60
=
AMa tMA
2
n
MA AMa =
Tangencijalna komponenta ubrzanja: ( r = AM )
Normalna komponenta ubrzanja:
n
MA
t
MAMA aaa
+
=
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
61/66
61
( ) ( ) 422nMA2tMAMA AMaaa +=+=
2tg =
+= MAAM aaa
Ubrzana rotacija
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
62/66
62
Usporena rotacijaUbrzana rotacija
Primjer 1: tap AB duine 2 m izvodi planarno gibanje.
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
63/66
63
U jednom trenutku brzina toke A zatvara s ositapa kut od 30 i iznosi 5 m/s. U istom trenutkubrzina toke B zatvara s osi tapa kut od 60.Odredite:
a) iznos brzine toke B (grafiki i analitiki)b) poloaj trenutnog pola P (grafiki)
c) kutnu brzinu .
a) vB=? - grafiki (vBAje okomito na spojnicu AB)
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
64/66
64
b) Trenutni pol P
a) vB=? Teorem o jednakosti projekcija brzina
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
65/66
65
) B j p j j
)s/m(66,8
2
12
3
5
60cos
30cosvv
60cosv30cosv
AB
BA
===
=
c) = ?
7/23/2019 11 R Kinematika Krutog Tijela RAVNINSKO
66/66
66
)
(1/s)51
5
AP
vAPv
(m)15,0230sinABAP
AA ====
===
Domaa zadaa:
Odredite brzinu sredita tapa toke C (grafiki i analitiki).