11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

1/15

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

2/15

HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI

PERSAMAAN DIFERENSIALPertemuan 11

Matakuliah : METODE NUMERIK I

Tahun : 2008

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

3/15

Bina Nusantara

METODE PICARD

Perhatikan Persamaan differensial berikut:

)........(*),(),(

.....

),(

000

0

00

+==

==

=

x

x

x

x

y

y

dxyxfyydxyxfdy

xxuntukyy

yxfdx

dy

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

4/15

Bina Nusantara

Selesaikan persamaan (*) dengan substitusi y0diperoleh nilai pendekatan y berikutnya

1. Diberikan syarat awal y = y0

untuk x = x0

2. Hitung

3. Hitung

4. Hitung

+=x

x

dxyxfyy0

),( 001

+=x

x

dxyxfyy

0

),( 102

+=x

x

dxyxfyy

0

),( 203

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

5/15

Bina Nusantara

1)0(,20=== yydenganxy

dxdy

Contoh : Selesaikan Persamaan :

1. y(0) = 1

2.y1= 1 + =1+ = 1+ [x2+ x]

ox

= 1 + x + x2

3.y2

= 1 + ( 2x +y1)dx =1+ (2x +1 + x + x2)dx

= 1 + x + 3x2/2 + x3/3

x

0

( 2x +y1)dx

x

0

( 2x + 1 ) dxx

0

x

0

Bila diselesaikan secara analitik diperoleh

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

6/15

Bina Nusantara

Cont,

Dengan memasukkan syarat awal , y(0) = 1, didapat c = 3.

Sehingga

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

7/15

Bina Nusantara

METODE TAYLOR Pendekatan Deret Taylor sebagai penyelesaian

persamaan diferensial untuk X atau h tertentu adalahsebagai berikut:

....!2

)('')(')()()( 020001 +++== +

xyhxhyxyxyxy h

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

8/15

Bina Nusantara

Gunakan Deret Taylor order 2 untuk menyelesaikan

PDB berikut

1)0(..,..10....,;..1

:

=++= yuntukxpadaxydx

dy

Contoh

)(''!2

)(')()()( 0

2

0001 xyhxhyxyxyxy h ++== +

Deret Taylor order 2

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

9/15

Bina Nusantara

Hitung:

1. y(x0)=1

2. y(x0)=-y

0+x

0+1=-1+0+1=0

3. y(x0)=d

/dx(dy

/dx) = -y(x0)+1=-0+1 =1Selanjutnya substitusikan ke persamaan

deret Taylor order 2, andaikan h=0,1

0050,1)1(!2

1,0

)0(1,01)1,0(

2

=++=yUntuk X1 =0,1, maka

Dapat dilanjutkan untk nilai x berikutnya, hasilnya dapat dilihat pada

tabel berikut

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

10/15

Bina Nusantara

X

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

11/15

Bina Nusantara

Metode Euler

Perhatikan turunan pertama suatu fungsi

.

),(.

),(.,,,,,,....

)(....

)(),(.)()(

)()('.)()(

),('

1112

0001

0

2

2

2

dst

yxfhyy

yxfhyymakaxxuntuk

hOabaikan

hOyxfhxyhxy

atau

hOxyhxyhxy

yxfy

+=

+=

=

++=+

++=+

= Substitusikan ke persamaan berikut

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

12/15

Bina Nusantara

Metode Euler secara umum dapat dinyatakandengan

),(.1 kkxx yxfhyy +=+

kkk yhyy '.1 +=+

atau

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

13/15

Bina Nusantara

Selesaikan PDB berikut menggunakan metode Euler

1,0.. . ,,1)0(. . . ., . .10.. . . ,; . .1

:

==++= hd a nyu n t u k x p a d axyd x

d y

C o n t oh

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

14/15

Bina Nusantara

Hasilnya adalah sebagai berikut

8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial

15/15

Bina Nusantara

Soal Latihan

Gunakan Metode Deret Taylor order 2 dan Metode Euler

2. y=-y+x, pada 0x2, y(0)=1, h=0,5 dan h=0,2

25,0...;5,0...,,1)0(....

,20....,;...

.......1

2

===

=

hdanhdanyuntuk

xpadayxydx

dy

berikutPDBSelesaikan