1 1.1 Conjuntos y subconjuntos. Nomenclatura y notación. Operaciones con conjuntos. 1.- Si 6 , 5 , 3 , 1 A y 5 , 4 , 3 B a) Encuentre B A b) Encuentre B A c) ¿Es B A ? d) ¿Es A A ? e) ¿Es B B A ? 2.- Si A es el conjunto de todos los números pares positivos y B es el conjunto de todos los números pares a)Escriba a A y a B usando notación de conjuntos. b)Encuentre B A c)Encuentre B A d)¿Es A un subconjunto de B? 3.- Si c b a A , , , f e d c b B , , , , y g f e C , , , encuentre: a) B A b) C A c) C B A d) C B A e) C B A f) C B A g) C A B h) A A B 4.- Sean A el conjunto de personas que pueden hacer el problema 2 B el conjunto de personas que pueden leer en inglés C el conjunto de estudiantes del ITAM D el conjunto de todas las personas Describa los conjuntos a) C A b) B C c) C B A d) C B A En los siguientes incisos escriba usando conjuntos los siguientes enunciados e) Cualquiera que puede hacer el problema 2, puede leer en inglés. f) Todos los estudiantes del ITAM pueden leer en inglés.
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1.1 Conjuntos y subconjuntos. Nomenclatura y notación.
Operaciones con conjuntos.
1.- Si 6,5,3,1A y 5,4,3B
a) Encuentre BA b) Encuentre BA
c) ¿Es BA ? d) ¿Es AA ? e) ¿Es BBA ?
2.- Si A es el conjunto de todos los números pares positivos y B es el conjunto de todos los
números pares
a)Escriba a A y a B usando notación de conjuntos.
b)Encuentre BA
c)Encuentre BA
d)¿Es A un subconjunto de B?
3.- Si cbaA ,, , fedcbB ,,,, y gfeC ,, , encuentre:
a) BA b) CA
c) CBA d) CBA
e) CBA f) CBA
g) CAB h) AAB
4.- Sean A el conjunto de personas que pueden hacer el problema 2
B el conjunto de personas que pueden leer en inglés
C el conjunto de estudiantes del ITAM
D el conjunto de todas las personas
Describa los conjuntos
a) CA b) BC c) CBA d) CBA
En los siguientes incisos escriba usando conjuntos los siguientes enunciados
e) Cualquiera que puede hacer el problema 2, puede leer en inglés.
f) Todos los estudiantes del ITAM pueden leer en inglés.
2
g) Todos los estudiantes del ITAM pueden hacer el problema 2
h) Todas las personas que pueden hacer el problema 2 son estudiantes del ITAM.
5.- Haga una lista de los elementos de los conjuntos siguientes
a) A = {x | x es un número par}.
b) B = {x | x es un entero entre 2 y 7}
c) 354 xRxC
d) 0822 xxRxD
e)
4
1
4
3xZxE
6.- Escriba todos los subconjuntos de 4,0,3A .
7.- Si 5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5 A
a) ¿Cuáles son los elementos del conjunto 2 xAxB ?
b)¿Cuáles son los elementos del conjunto 04 xAxC ?
8.- Si 72 xRxA y 101 xZxB
a) Encuentre BA b) Encuentre BA
c) ¿Es ABA ? d) ¿Es BBA ?
9.- Use Diagramas de Venn para verificar si se cumplen las siguientes propiedades para
cualesquiera A, B y C
a) AA b) A
c) ABBA d) CABACBA .
10.-Defina 2 conjuntos cualesquiera A y B de tal manera que BA .
11.-Defina conjuntos tales que RBA .
3
1.2 Propiedades algebraicas de los números reales.
1.- Responda las siguientes preguntas justificando su respuesta.
a) ¿Es la suma de dos irracionales siempre un irracional?
b) ¿Es la suma de dos números racionales siempre un racional?
c) ¿Es el producto de dos números irracionales siempre un irracional?
d) ¿Es el producto de dos números racionales siempre un racional?
2.- En la siguiente demostración justifique los pasos usando las propiedades de los números
reales.
Teorema: Para toda Ra , aaa 00
Demostración
a) 000 aa
b) ))((0 aaa
c) )()0( aaa
d) )()10( aaa
e) )()10( aa
f) )(1 aa
g) )( aa
h) 0 .
Por lo tanto para toda Ra , aaa 00
3.- Utilizando las propiedades de los números reales demuestre que
a) cbacba )()( .
b) Si 0ab entonces 0a o bien 0b .
4
4.- En la siguiente demostración justifique los pasos usando las propiedades de los números
reales.
Teorema: Si Rdcba ,,, , 0b y 0c entonces bd
bcad
d
c
b
a
Demostración
a) 11 cdabd
c
b
a
b) 1111 bbcdddab
c) 1111 bcbddadb
d) 11)( bdcbad
e) 1)(
dbcbad
f) bd
cbad
Por lo tanto si Rdcba ,,, , 0b y 0c entonces bd
bcad
d
c
b
a .
5.- Demuestre utilizando propiedades de los enteros que
Si a y b son enteros y 22 2ba , entonces a y b son pares.
6.- [B,14,44] Sean m y n números reales con m mayor que n. Entonces existe un número
real positivo p tal que .pnm Encuentre el error. en el argumento siguiente:
nm
pnmnpnmm
npnmnmpmnm
npnmpmnmnm
pnnmmnm
pnm
22
22
5
1.3 Orden. Intervalos y valor absoluto.
1.- Determine si la proposición que aparece en cada inciso es falsa o verdadera.
a) 213 b)
2.- En cada inciso escriba la desigualdad correspondiente y grafique sobre la recta numérica
real.
a) ]7,8[ b) 8,4 c) 6,6
d) 3,3 e) ,6 f) 7,
3.- Escriba en notación de intervalos y grafique sobre la recta numérica real los conjuntos
descritos en cada inciso.
a) 62 x b) 55 x c) 87 x
d) 54 x e) 2x f) 3x
4.- Escriba en notación de intervalo y desigualdad.
a)
b)
c)
d)
6
5.- En cada inciso grafique el conjunto, escríbalo como un solo intervalo cuando esto sea
posible.
a) 7,45,5 b) 6,24,1 c) ,21,
d) 7,31, e) 5,13,2 f) 6,14,
6.- ¿Qué se puede comentar respecto de los signos de los números a y b en cada caso?
a) 0ab b) 0ab c) 0b
a d) 0
b
a
7.- ¿Qué se puede comentar acerca de los signos de los números a, b y c en cada caso?
a) 0abc b) 0c
ab c) 0
bc
a d) 0
2
bc
a
8.- [B,35,67] Reemplace en cada pregunta el signo de interrogación con < o >, de la
manera apropiada:
a) Si 1ba , entonces ba? . b) Si 2 vu , entonces vu? .
9.- ¿Para qué valores de a y b es verdadera la desigualdad ?abba
10.- Si a y b son números negativos y ba , entonces ¿ ba / es mayor o menor que 1?
11.- Si tanto a como b son números negativos y b/a es mayor que 1, entonces ¿ ba es
positivo o negativo?
12.- Si a y b son números positivos y b/a es mayor que 1, entonces ¿ ba es positivo o
negativo?
13.- Indique (V) si es verdadero o (F) si es falso:
a) Si ,0 myqp entonces mqmp .
b) Si ,0 myqp entonces mqmp .
c) Si ,0 0 qyp entonces qqp .
7
14.-[B,35,72] Suponga que 0 nm ; entonces
n
mnm
mnmnmnm
mnmmn
nmn
0
222
2
Pero si se supuso que 0n . Encuentre el error.
15.- Haga una demostración para cada propiedad de desigualdad mencionada en los incisos
que aparecen a continuación. Considere que a, b y c son números reales arbitrarios.
a) Si ba , entonces cbca .
b) Si ba , entonces cbca .
c) Si cba y es positivo, entonces cbca .
d) Si cba y es negativo, entonces cbca .
e) Si cba y es positivo, entonces c
b
c
a .
f) Si cba y es negativo, entonces c
b
c
a .
16.- En cada inciso simplifique y escriba sin los signos de valor absoluto. No reemplace a
los radicales con aproximaciones decimales.
a) 5 b) 26 c) 55 d) 55
17.- En cada inciso encuentre la distancia entre los puntos A y B con coordenadas a y b
respectivamente, como se dan.
a) 7a ; 5b b) 3a , 12b
c) 5a , 7b d) 9a , 17b
8
18.- Si las coordenadas de A y B en una recta numérica real son –8 y –2, respectivamente,
encuentre
a) d (A, B) b) d (B, A)
19.- Use la recta numérica de abajo para encontrar las distancias indicadas:
a) d (B,O) b) d (A, B) c) d (O,B)
d) d (B, A ) e) d (B,C) f) d (D, C)
20.- Escriba cada uno de los enunciados que aparecen a continuación como una ecuación de
valor absoluto o una desigualdad.
a) x está a 4 unidades de 3.
b) m está a 5 unidades de 2 .
c) x está a menos de 5 unidades de 3.
21.- En cada inciso resuelva, interprete geométricamente y grafique. Cuando sea aplicable,
escriba las respuestas usando notación de desigualdad y notación de intervalos.
a) 35 y b) 38 u c) 7x
d) 35 y e) 35 y f) 7x
g) 38 u h) 38 u
22.- Resuelva y grafique las desigualdades que aparecen a continuación. Escriba cada
solución usando notación de intervalos.
a) 1.030 x b) 01.050 x c) dcx 0
d) dx 40 e) dx 60
23.- ¿Cuáles son los valores posibles de x
x?
9
24.- ¿Cuáles son los valores posibles de 1
1
x
x?
25.- [B,71,78] Encuentre el error en la siguiente “prueba” de que dos números arbitrarios
son iguales entre sí: Suponga que a y b son números arbitrarios tales que ba .
Entonces
ba
ba
abba
abba
aabbbababa
22
22
22
22222
26.- [B,46,91] Estadística. En estadística aparecen frecuentemente desigualdades de la
forma ns
mx
. Si 4.45m , 2.3s y 1n encuentre x .
27.- [B,47,93] Negocios. La producción diaria P en una planta ensambladora de
automóviles está entre 20 unidades y 500 unidades. Exprese la producción diaria
como una desigualdad de valores absolutos.
28.- [B,47,97] Dígitos significativos. Si 37.2N representa una medida que se puede
suponer con una precisión de 005.037.2 . Exprese la precisión deseada usando