-
11
Pedro BeiroInstituto Superior de Engenharia de Coimbra
Departamento de Engenharia MecnicaRua Pedro Nunes, 3030 - 199
Coimbra, Portugal
[email protected]
Instrumentao e ControloMdulo de Controlo de Sistemas
2
ndice
Introduo
Fundamentos matemticos
Diagramas de blocos
Modelao matemtica de sistemas fsicos
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Aces bsicas de controlo
Erro em estado estacionrio
Estabilidade de sistemas de controlo
Anlise de sistemas de controlo com MatLab/Simulink
Construo de sistemas de controlo com MatLab/Simulink
-
23
1769 Controlo da velocidade de uma mquina a vapor (J. Watt)
1922 Estabilidade de sistemas de controlo recorrendo a
equaesdiferenciais (Minorsky)
1932Estabilidade de sistemas de controlo em malha fechada
atravsda resposta de sistemas de controlo em malha aberta a sinais
deentrada sinusoidais (Nyquist)
1934 Sistemas de controlo de posio capazes de acompanhar umsinal
de entrada varivel no tempo (Hazen)
Anos 40 Sistemas de controlo em malha fechada com capacidade
desatisfazer requisitos de desempenho (Mtodo de resposta em
frequncia)
IncioAnos 50
Mtodo de resposta de frequnciaMtodo do lugar das razes
Teoria clssica de controloSistemas de controlo com uma entrada e
uma sada (SISO)
Histria
Introduo
4
FinalAnos 50
Maior complexidade dos sistemas de controloInsuficincia da
teoria de controlo clssica
IncioAnos 60
Anlise no domnio do tempo (PCs)Sistemas de controlo +
complexos
Teoria de controlo modernaSistemas de controlo com vrias
entradas e sadas (MIMO)
1960 - 80Controlo de sistemas determinsticos e estocsticos
Controlo adaptativoControlo com aprendizagem
1980 - ...
Controlo robustoControlo fuzzy
Teoria de controlo moderna aplicada a vrias cincias
(engenharias, biologia, economia,...)
Histria
Introduo
-
35
Definies
Varivel controlada
Grandeza medidaGrandeza de sada do sistema de controlo
Varivel manipulada
Grandeza variada pelo controladorAfecta o valor da varivel
controlada
ControlarMedir o valor da varivel controladaAplicar valor certo
da varivel manipulada a sistema de controloCorrigir/limitar erro
entre valor medido da varivel controlada evalor desejado
Sistema a controlar
Objecto fsico a controlar que desempenha funo/operao(ex.:
caldeira, reactor, navio, etc.)
Perturbao Sinal que afecta de forma adversa a varivel
controladaPerturbao
interna Perturbao gerada no interior do sistema de controlo
Perturbaoexterna
Perturbao gerada no exterior do sistema de controlo(pode
considerar-se como um sinal de entrada)
Introduo
6
Sistema de controlo em anel aberto
Varivel controlada no afecta aco de controloVarivel controlada
no medida nem comparada com sinal de entradaCada sinal de entrada
corresponde a uma operao pr-determinadaExactido do sistema de
controlo dependente da calibraoUsados quando no existam
perturbaesAces de controlo so funo do tempo
Entrada Controlador SadaProcesso
Mquina de lavar roupa
Entrada Sada
Diagrama de blocos ilustrativo de uma mquina de lavar roupa
Introduo
-
47
Sistema de controlo em anel fechado
Sistema de controlo com realimentao (retroaco)Reduz sinal de
erro do sistema de controloSistema de controlo inclui uma relao
pr-estabelecida entre sinais de
entrada e sada sob a forma de um sinal de erro enviado ao
controladorSinal de erro = sinal de entrada sinal de sada
(valor desejado) (varivel controlada)
Controlo de velocidade em automvel Ar condicionado
Introduo
Entrada Controlador SadaProcesso
Medio
+-
8
Controlo em anel aberto da temperatura de um compartimento
Controlo em anel fechado da temperatura de um compartimento
Sistema em anel aberto vs. sistema em anel fechado
Introduo
-
59
Construo simples Construo mais complexa(maior nmero de
componentes)
Fcil manuteno Estabilidade mais problemtica
Sensvel a perturbaes(calibrao frequente)
Insensvel a perturbaes(realimentao)
Vantajoso quando no vivel medir sinais de sada
Vantajoso caso existam perturbaesou variaes nos parmetros
Sistema em anel aberto vs. sistema em anel fechado
Introduo
10
Introduo
Temperatura medida por um termmetro analgicoConversor A/D
converte temperatura lida em sinal digitalSinal digital enviado ao
controlador atravs da interfaceSinal digital comparado com sinal de
entrada (temperatura desejada)Erro entre temperatura desejada e
lida sinal enviado ao aquecedorTemperatura lida aproximar-se- ou
igualar a temperatura desejada
Sistema de controlo de temperatura de forno eltrico
ConversorA/D Interface
Amplificador Interface
Controlador Temperatura desejada
termmetro analgico
aquecedor
Rel
-
611
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Permite transformar uma equao diferencial representativa de um
sistema de controlo numa equao algbrica da varivel complexa s
Sistema de controlo Pode representar-se por equaes
diferenciais
Transformada de Laplace
Permite obter uma soluo da equao diferencialresolvendo a equao
algbrica da varivel complexa s
Permite prever o desempenho de um sistema de controlo sem
resolver as equaes diferenciais que o representam
Transformada Inversa de Laplace
12
LLLL
L L L L -1
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
Transformada directa de Laplace
Sistema de controlo Pode representar-se por equaes
diferenciais
Transformar equao diferencial numa equao algbrica em s
Soluo da equao diferencial resolvendo a equao algbrica em s
-
713
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Varivel complexa Nmero complexo cujas partes Re e Im variams = +
j
Funo complexa Funo de s com parte real e parte imaginriaF (s) =
Fx + jFy com Fx e Fy
Condio de mdulo
Condio angular
x yF(s ) F F= +2 2
= + =
y
x
FF( j ) arctg
F
ngulo medido no sentido anti-horrioa partir do semi-eixo real
positivo
14
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Funo complexa analtica
Pontos ordinrios
Pontos singulares
Plos
Zeros
Funo e suas derivadas existemnuma regio do plano complexo s
Pontos do plano complexo s em que a funocomplexa analtica
Pontos do plano complexo s em que a funocomplexa no analtica
Pontos singulares onde a funo complexa ou as suasderivadas
Pontos (singulares, ordinrios) onde a funo complexase anula
-
815
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
f (t) funo da varivel t, tal que f (t) = 0, t < 0s = + j
varivel complexa
F (s) Transformada de Laplace
+ +
= = = st st[ f ( t )] F(s ) e dt [ f ( t )] f ( t ) e dt
0 0
LLLL
LLLL [A f (t)] = A LLLL [f (t)]
LLLL [f1 (t) + f2 (t)] = LLLL [f1 (t)] + LLLL [f2 (t)]
Propriedades bsicas da Transformada de Laplace
Definio de Transformada de Laplace
16
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
tes.t
tf ( t ) A, c
A e t
-
917
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Funo degrau
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
te.tf ( t ) A cA t
0 00
Vlida em todo o plano complexo s, excepto no plo s = 0
Caso especial da funo exponencial em que = 0No definida para t =
0
st st A[ A] A e dt A e dts
+ +
= = = 0 0
LLLL
f(t)A
0 t
18
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Funo degrau unitrio
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
t( t )t
0 01
1 0
Vlida em todo o plano complexo s, excepto no plo s = 0
Caso especial da funo exponencial em que = 0 e A = 1No definida
para t = 0
+ +
= = = st st[ ( t )] e dt e dt
s0 0
11 1 1LLLL
1(t)1
0 t
-
10
19
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Funo rampa
Transformada de Laplace
st stst e A e[ A t ] A t e dt A t dt
s s
++ +
= = =
0 00
LLLL
-stA Ae dts s
+
= 20
te.tf ( t ) A cA t t
-
11
21
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Funo cosinuside
Transformada de Laplace
tes.tf ( t ) A, cA cos( t ) t
-
12
23
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
Funo impulso
Transformada de Laplace
<
tes.t t
Alim t ttg( t ) A,t ct ,t t
00
0 0
0
0
0 0
Caso especial da funo impulso rectangular
[ ] -stt t
A[ g(t )] lim [ f ( t )] lim ( )t s
e
= = =
0
0 00 0 0
1LLLL
stst
t t
d A ( e )dt A s e A slim lim Ad s s(t s )
dt
= = =
0
0
0 0
00 0
00
1
LLLL
(usando a funo impulso rectangular)
f(t)A/t0
0 tt0
24
Fundamentos matemticos
Transformada de Laplace
LLLLstt tf f e dt
+
=
0
(fazendo t1 = e s1 = s)
LLLLs t s ttf f ( t ) e d( t ) f ( t ) e dt F(s ) F(s )
+ +
= = = =
1 1 1
21 1 1 1 1
0 0
Mudana da escala de tempo
Na anlise de sistemas de controlo pode ser vantajoso mudar a
escala de tempo
O tempo normalizado aplica-se a sistemas de controlo descritos
por equaes semelhantes
Transformada de Laplace
t
t t
( = cte.) f (t) tf
-
13
25
Fundamentos matemticos
Teoremas da Transformada de Laplace
Teorema da diferenciao real
LLLLd f (t ) s F(s ) f ( )dt
=
0 f (0) = f (t) para t = 0
Generalizando
LLLLn ( n- )
n n- n-
n
d f (t ) s F(s ) s f ( ) s f ( ) ... f ( )dt
=
11 20 0 0
Transformada de Laplace da derivada de uma funo f(t)
f(0) = f(t) para t = 0LLLL
=
d f (t ) s F(s ) s f ( ) f ( )dt
22
2 0 0
26
Fundamentos matemticos
Teoremas da Transformada de Laplace
Teorema do valor final
t slim f (t ) lim[ s F(s )]+
= 0
Se f(t) e forem transformveis por LaplaceSe F(s) for a
Transformada de Laplace de f(t)
d f (t )dt
tlim f (t )+
Se existir
Teorema do valor inicial
sf ( ) lim [ s F(s )]
++ = 0
Se f(t) e forem transformveis por LaplaceSe F(s) for a
Transformada de Laplace de f(t)
d f (t )dt
slim s F(s )+
Se existir
Estes teoremas permitem prever o comportamento (no domnio do
tempo) de sistemas de controlo sem necessidade de transformar funes
de s em funes de t (atravs da Transformada Inversa de Laplace)
-
14
27
Fundamentos matemticos
Teoremas da Transformada de Laplace
Transformada de Laplace de LLLLt
f ( t ) dt F(s )s
=
0
1
t
f ( t )dt0
=
nn n
n
dt f ( t ) ( ) F(s )ds
1LLLL
Teorema da integrao real
Se f(t) for de ordem exponencial
Integrao no domnio do tempo Diviso no domnio de s
Teorema da diferenciao complexa
Se f(t) for transformvel por Laplace (excepto nos plos de
F(s))
28
Fundamentos matemticos
Propriedades da Transformada de Laplace
Teorema da diferenciao real
Teorema da diferenciao complexa
Teorema da integrao real
Propriedades bsicas da Transformada de Laplace
-
15
29
Fundamentos matemticos
Tabelas da Transformada de Laplace
30
Fundamentos matemticos
Transformada Inversa de Laplace
Transformadas Inversas de Laplace
Tabelas de Transformadas de Laplace
Aconselhvel
Integral de inverso
Complexo
Expandir F(s) em fraces parciais
Soluo
Funes simples de s
Tabelas de pares de transformadas
-
16
31
Fundamentos matemticos
Transformada Inversa de Laplace
Anlise de sistemas de controlo
Expanso em fraces parciais
B(s )F(s )A(s )=
Transformadas Inversas de Laplace
A(s) e B(s) so polinmios em sGrau de A(s) > grau de B(s)Grau
de A(s) < B(s) dividir B(s) por A(s)Factorizar polinmio A(s)
Se F(s) = F1(s) + F2(s) + ... + Fn(s)Se as Transformadas
Inversas de Laplace existirem
L L L L -1 [F(s)] = L L L L -1 [F1(s)] + L L L L -1 [F2(s)] +
... + LLLL -1 [Fn(s)]
f(t) Transformada Inversa de Laplace de F(s)
L L L L -1 [F(s)] = f1(t) + f2(t) + ... + fn(t)
32
Fundamentos matemticos
Transformada Inversa de Laplace
F(s) contm plos reais
m
n
B(s ) K (s z ) (s z ) ... (s z )F(s ) m nA(s ) (s p ) (s p ) ...
(s p )
+ + += = >
=
+
DG (s ) D(s ) G (s ) D(s ) D(s )C (s )
G (s ) G (s ) H(s ) G (s ) G (s ) H(s ) G (s ) H(s )
1 1 >>G (s ) H(s )
1 2 1 2
1 2 1 21
1=
=
+ RG (s ) G (s ) R(s ) G (s ) G (s ) R(s ) R(s )C (s ) R(s )
G (s ) G (s ) H(s ) G (s ) G (s ) H(s ) H(s )
Efeito do sinal de perturbao D(s) anuladoRealimentao unitria
H(s) = 1Comportamento de regulaoFuno de transferncia de malha fecha
no afectada
Sistema linear em anel fechado com perturbao
Diagramas de blocos
-
28
55
Escrever as equaes diferenciais lineares representativas da
dinmicade cada componenteAplicar a Transformada de Laplace e obter
as equaes algbricas em sa partir das equaes diferenciais lineares
(para condies iniciais nulas)Representar sob a forma de blocos as
equaes algbricas em sReunir todos os blocos individuais num
diagrama de blocos completoLigar em srie os vrios blocos se a sada
de um bloco for no afectada
pelo bloco seguinteCombinar efeitos de carregamento (caso
existam) entre componentes num
nico blocoSubstituir blocos em srie representativos de
componentes individuais
sem efeitos de carregamento (uns sobre os outros) por um s bloco
equivalente(funo de transferncia igual ao produto das funes de
transferncia individuais)
Construo de diagramas de blocos
Diagramas de blocos
56
Novas funes de transferncia mais complexas (novos plos e
zeros)
lgebra de blocos
Simplificar diagramas de blocos com vrios anis de
realimentao
Ramo directo Ao longo de um anel
Simplificao de diagramas de blocos
Diagramas de blocos
Produto das funes de transferncia Permanecer inalterado
-
29
57
lgebra de blocos
Diagramas de blocos
Caso 4
Caso 5
Caso 9
Caso 7
Caso 6
58
lgebra de blocos
Diagramas de blocos
-
30
59
Funo de transferncia do ramo directo
Funo de transferncia em anel aberto
R entrada (referncia)C sada (varivel controlada)B realimentaoE =
(R B) erro
Funo de transferncia em anel fechado
Funo de transferncia do erroCaso 13
Tabela da lgebra de blocos
Obter a funo de transferncia
Exerccio de lgebra de blocos
Diagramas de blocos
60
Funo de transferncia do ramo directo (D= 0)
Funo de transferncia em anel aberto (D = 0)
R entrada (referncia)C sada (varivel controlada)B realimentaoE =
(R B) erroD perturbaoM varivel manipuladaGc funo de transferncia do
controladorGp funo de transferncia do processo
Considerando a entrada nula, ou seja, R = 0
Caso 4
Caso 13
Obter a funo de transferncia
Exerccio de lgebra de blocos
Diagramas de blocos
-
31
61
Considerando a perturbao nula, ou seja, D = 0
O resultado final
Caso 13
Caso 4
Exerccio de lgebra de blocos
Diagramas de blocos
62
Caso 9
Caso 6
Caso 5
Caso 5
Caso 13
Obter a funo de transferncia
Exerccio de lgebra de blocos
Diagramas de blocos
Caso 1
-
32
63
Caso 13 Caso 4
Caso 13
Obter a funo de transferncia
Exerccio de lgebra de blocos
Diagramas de blocos
64
Modelao matemtica de sistemas fsicos
Dinmicas dos sistemas de controlo (mecnico, trmico,
elctrico)descritas por vrias equaes diferenciais baseadasnas leis
que regem esses sistemas (leis de Newton, Kirchhoff, etc.)
Conjunto de equaes representando sistemas fsicos com preciso
aceitvel
Sistemas de controlo
Representados por modelos matemticos
Construo de modelos capazes de reproduzir sistemas reais
Obteno de um modelo matemtico
Compromisso entre a simplicidade do modelo e preciso dos
resultados decorrentes da anlise
-
33
65
Sistema real vs. Modelo do sistema real
Modelao matemtica de sistemas fsicos
Sistema real
Conversor de energia das ondas
Modelo
Sistema massa-mola-amortecedor
2 lei de Newton
fip (t ) fep (t ) wf fn (t ) fv (t ) fm (t ) flg (t ) fwd (t ) =
(mwt + mf ) (t )
Mola
Amortecedor
Massa
..
Modelo matemtico da dinmica do flutuador
ftot (t ) = m (t )..
66
Sistema real vs. Modelo do sistema real
Sistema real Modelo
Leis de
Kirchhoff
Circuito elctricoProcesso fsico-qumico
Equaes matemticas
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
34
67
Invariantes no tempo Variantes no tempo
Sistemas de controlo
LinearesNo lineares
Modelao matemtica de sistemas fsicos
68
Sistemas de controlo lineares invariantes no tempo (LIT)
Resposta total a diferentes sinais de entrada obtida pela adio
dos vriossinais de sada (respostas) resultantes de sinais de
entrada independentes
Obteno de solues complexas para equaes diferenciais lineares
apartir de equaes mais simples
Sistemas dinmicos constitudos por componentes lineares de
parmetrosconcentrados (modelo que recorre a equaes diferenciais
ordinrias) e invariantes no tempo
Descritos por equaes diferenciais lineares invariantes no tempo
(coeficientesconstantes)
Princpio da sobreposio Resposta obtida pela aplicao de sinaisde
entrada independentes igual somados sinais de sada (respostas)
individuais
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
35
69
Anlise Resposta no domnio do tempo
Sistemas de controlo LIT com uma entrada e uma sada (SISO)
Representao matemtica mais adequada
Funo de transferncia
Resposta em frequncia
Sistemas de controlo lineares invariantes no tempo (LIT)
Modelao matemtica de sistemas fsicos
70
Sistemas dinmicos modelados/representados por equaes
diferenciaiscom coeficientes funo da varivel independente (ex.:
tempo)
Considerados lineares numa gama estreita de operao
Sistema de controlo de uma nave espacial
Massa diminui devido ao consumo de combustvel
Sistema de controlo linear variante no tempo
Sistemas de controlo lineares variantes no tempo
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
36
71
No possvel aplicar o princpio da sobreposio
No possvel calcular a resposta total tratando os sinais de
entrada deforma independente e adicionando as respostas
parciais
Fora de amortecimento quadrado da velocidade
(no-lineraridade do tipo lei quadrtica)
Amortecedor linear a baixa velocidade e no linear a alta
velocidade
Amortecedor
b
=
lim
b
lim
dxb.v(t ) b. , v vdt
F (t )dxb.v(t ) b. , v vdt
22
Sistemas de controlo no lineares
Modelao matemtica de sistemas fsicos
72
Anlise de sistemas de controlo no lineares
Sinais pequena magnitude
Modelo matemtico linearizado invariante no tempo
Aproximar sistemas de controlo no lineares
Sistema de controlo no linearFunciona junto ao ponto de
equilbrio
Processo complexo
Sistemas lineares equivalentes (vlidos numa faixa estreita de
operao)
Linearizao de sistemas de controlo no lineares
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
37
73
Sistema de controlo mecnico
Considerar o seguinte sistema massa-mola-amortecedor colocado
sobreum carrinho com massa desprezvelObter a funo de transferncia
do sistema de controlo
Amortecedor permite um amortecimento (atrito viscoso), absorve
energia dissipada sob a forma de calor e no armazena energia
m
k
b
y(t)
u(t)
carrinhosem massa
Entrada do sistema Deslocamento do carrinho u(t)Sada do sistema
Deslocamento da massa m y(t)t < 0 Carrinho permanece parado u(t)
= 0t = 0 Carrinho com velocidade constante Fora da mola
proporcional a [y(t) - u(t)]Fora de atrito do amortecedor
proporcional a
m massa
b coeficiente linear de atrito viscosok constante da mola
te.u(t) = c u(t) = 0
[y(t) - u(t)]
Modelao matemtica de sistemas fsicos
74
Sistema de controlo mecnico
2 Lei de Newton F = m [y(t) u(t)]
=
+ + = +
m y(t) b [y(t) u(t)] k [y(t) u(t)]m y(t) b y(t) k y(t) b u(t) k
u(t)
Modelo matemtico do sistema massa-mola-amortecedor
Aplicar Transformadas de Laplace aos termos da equao diferencial
anterior
+ + = + [m y(t)] [b y(t)] [k y(t)] [b u(t)] [k u(t)]LLLL LLLL
LLLL LLLL LLLL
+ + = + m [y(t)] b [y(t)] k [y(t)] b [u(t)] k [u(t)]LLLL LLLL
LLLL LLLL LLLL
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
38
75
Sistema de controlo mecnico
Aplicar Teorema da diferenciao real
+ +
= +
2 m [s Y(s) s y(0) y(0)] b [s Y(s) y(0)] k Y(s)
b [s U(s) u(0)] k U(s)
Considerar condies iniciais nulas
+ + = + 2m s Y(s) b s Y(s) k Y(s) b s U(s) k U(s)
Funo de transferncia
+= =
+ +2Y(s) b s kG(s)U(s) m s b s k
Atravs da funo de transferncia possvel representar
matematicamente sistemas lineares e invariantes no tempo
U(s) + + +2
b s km s b s k
Y(s)
Diagrama de blocos
Modelao matemtica de sistemas fsicos
76
Sistema de controlo de nvel de lquido
Regime laminar equaes diferenciais linearesRegime turbulento
equaes diferenciais no lineares
Dinmica de sistemas de controlo de nvel de lquido
Resistncia escoamento
Capacitncia de um reservatrio
Resistncia
Capacitncia
32variaao no volume de lquido armazenado [m ] V
C = = [m ]variaao unitria de nvel de lquido [m] h
Variao na diferena de nvel de lquido responsvel pelavariao
unitria de caudal
Variao no volume de lquido armazenado responsvelpela variao
unitria de nvel de lquido
-23
variaao na diferena de nvel de lquido [m] h R = = [m s]
variaao unitria de caudal [m /s] q
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
39
77
Sistema de controlo de nvel de lquido
Considerar um sistema de nvel de lquidoRegime laminar devido
restrio imposta pela vlvula de carga
[ ]
3
3in
3out
Q m /s caudal em regime permanente (estacionrio)q m /s pequeno
desvio do caudal de entrada relativamente a Qq m /s pequeno desvio
do caudal de sada relativamente a QH m altura do nvel
[ ] de lquido em regime permanente
h m pequeno desvio na altura do nvel de lquido relativamente a
H
Modelao matemtica de sistemas fsicos
Resistncia R
Capacitncia C
Vlvula de carga
Vlvula de controlo
out Q + q
in Q + q
H + h
78
Sistema de controlo de nvel de lquido
Regime laminar
Diferena entre caudais de entrada qin e sada qout durante um
pequeno intervalo de tempo dt igual variao do volume armazenado no
tanque
Equao diferencial linear Sistema de controlo linear
= = = 3 23 3
in out in out in out[s] [s] [m][m ] [m ][m / s] [m / s]
dh(q q ) dt dV (q q ) dt C dh (q q ) Cdt
Obter relao entre h e qout pela definio de resistncia
= =
out3out
variaao na diferena de nvel de lquido [m] h 0 hR = R qvariaao
unitria no caudal [m /s] q R
= + = + = in in inh dh dh(q ) C R C h R q R C h(t) h(t) R q (t)R
dt dt
Substituir na equao diferencial linear anterior
RC [s] a constante de tempo do sistema (R = cte.)
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
40
79
Sistema de controlo de nvel de lquido
+ = in R C [h(t)] [h(t)] R [q (t)]LLLL LLLL LLLL
Aplicar Teorema da diferenciao real (admitir condies iniciais
nulas) + = + = in inR C [s H(s) h(0)] H(s) R Q (s) (1 R C s) H(s) R
Q (s)
Admitir qin como grandeza de entrada e h como grandeza de
sada
=
+ in
H(s) RQ (s) 1 R C s
Admitir qin como grandeza de entrada e qout como grandeza de
sada
=
+ out
in
Q (s) 1Q (s) 1 R C s
Aplicar Transformadas de Laplace equao diferencial anterior
Funo de transferncia
Funo de transferncia
Modelao matemtica de sistemas fsicos
=outH(s)Q (s)
R
80
Qin(s) +
Qout(s)
+
H(s)
1R C s R
Qin(s)
Diagramas de blocos
Modelao matemtica de sistemas fsicos
1R C s
Sistema de controlo de nvel de lquido
Admitir qin como grandeza de entrada e qout como grandeza de
sada
Admitir qin como grandeza de entrada e h como grandeza de
sada
H(s)
R1+R C s
Qin(s)
Qout(s)
11+R C s
Qin(s)
-
41
81
Sistema de controlo de nvel de lquido
Considerar um sistema de nvel de lquido com interaco entre 2
tanquesRegime laminar devido s restries impostas pelas vlvulas de
carga
[ ]
3
3in
32
1
Q m /s caudal em regime permanente (estacionrio)q m /s pequeno
desvio do caudal de entrada relativamente a Qq m /s pequeno desvio
do caudal de sada relativamente a QH m altura do nvel
[ ][ ][ ]
2
1 1
2
de lquido do tanque 1 em regime permanenteH m altura do nvel de
lquido do tanque 2 em regime permanenteh m pequeno desvio na altura
do nvel de lquido do tanque 1 relativamente a Hh m pequeno des
2vio na altura do nvel de lquido do tanque 2 relativamente a
H
Modelao matemtica de sistemas fsicos
Vlvula de carga 1
Vlvula de controlo
Vlvula de carga 2
Capacitncia C1 Capacitncia C2 Resistncia R2Resistncia R1
in Q + q
2 Q + q
1 Q + q
82
Sistema de controlo de nvel de lquido
Aplicar definio de resistncia = =1 2 1 21 11 1
h h h h R q
q R
Regime laminar
Diferena entre caudais de entrada qin e sada q1 durante um
pequenointervalo de tempo dt igual ao volume adicional armazenado
no tanque 1
Equao diferencial linear Sistema de controlo linear
= = 1in 1 1 1 in 1 1dh(q q ) dt C dh (q q ) Cdt
Aplicar definio de resistncia = =2 22 22 2
h 0 h R q
q R
Diferena entre caudais de entrada q1 e sada q2 durante um
pequenointervalo de tempo dt igual ao volume adicional armazenado
no tanque 2
= = 21 2 2 2 1 2 2dh(q q ) dt C dh (q q ) Cdt
Modelao matemtica de sistemas fsicos
Tanque
Tanque
-
42
83
Sistema de controlo de nvel de lquido
in 1in 1 1 1 1
1
1 21 1 1 1 2 2
1
1 21 2 2 2 2
2
22 2 2 2
2
Q (s) Q (s)Q (s) Q (s) C s H (s) H (s)C s
H (s) H (s)Q (s) H (s) Q (s) R Q (s) RR
Q (s) Q (s)Q (s) Q (s) C s H (s) H (s)C s
H (s)Q (s) H (s) Q (s) RR
= =
= = +
= =
= =
Aplicar Transformadas de Laplace s equaes diferenciais
anterioresAplicar Teorema da diferenciao real (admitir condies
iniciais nulas)
Modelao matemtica de sistemas fsicos
84
Sistema de controlo de nvel de lquido
[ ]
in 11 1 2 2
1
1 22 2 1 2 2 2
2
Q (s) Q (s)Q (s) R Q (s) RC s
Q (s) Q (s)Q (s) R Q (s) Q (s) R C s 1C s
+ =
= = +
=
+ + + + 2
2in 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1
Q (s) 1Q (s) 1 R R C C s [R C R C R C ] s
Admitir qin como grandeza de entrada e q2 como grandeza de
sada
R2C1 [s] corresponde interaco entre os dois reservatrios
Funo de transferncia
Modelao matemtica de sistemas fsicos
Substituir em e em
-
43
85
Sistema de controlo trmico
Transferncia de calor(radiao desprezvel)Conduo Conveco
q = K
Transferncia de calor por conduo ou conveco
q [kcal/s] potencia calorifica [C] diferena de temperatura
K = HA [kcal/sC] coeficiente para transferencia de calor por
convecaokA
K = [kcal/sC] coeficiente para transferencia de calor x
2
2
por conduao
H [kcal/m sC] coeficiente de convecaoA [m ] rea normal ao fluxo
de calork [kcal/msC] condutividade termicax [m] espessura do
condutor
Modelao matemtica de sistemas fsicos
86
Sistema de controlo trmico
variaao na diferena de temperatura [C]R = = [Cs/kcal]variaao
unitria da potencia calorifica [kcal/s] q
variaao no calor armazenado [kcal] UC = = [kcal/C]variaao
unitria da temperatura [C]
Resistncia trmica Capacitncia trmica
Resistncia trmica Variao na diferena de temperatura
responsvelpela variao unitria da potncia calorfica
Capacitncia trmica Variao no calor armazenado responsvel
pelavariao unitria da temperatura
Dinmica de sistemas de controlo trmico
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
44
87
Sistema de controlo trmico
Aquecedor
Lquido quente
Lquido frio
Misturador
Considerar um sistema trmico sem armazenar calor no isolamento
nemperdas de calor para o meio ambiente (reservatrio termicamente
isolado)Temperatura constante (do lquido que entra) e uniforme
(temperatura interior do lquido igual
temperatura do lquido que sai)
in
out
[C] temperatura em regime permanente do lquido que entra [C]
temperatura em regime permanente do lquido que sai
Q [kcal/s] potencia calorifica em regime permanente [C] pequeno
desvio na
in
out
temperatura do lquido que saiq [kcal/s] pequeno desvio na
potencia calorifica de entradaq [kcal/s] pequeno desvio na potencia
calorifica de sada
R [Cs/kcal] resistencia trmicaC [kcal/C] capa
citancia trmica
Modelao matemtica de sistemas fsicos
88
in in ind d(q ) C R C R q R C (t) (t) R q (t)
R dt dt
= + = + =
Sistema de controlo trmico
Potncia calorfica de entrada varia subitamente desde at +
qinPotncia calorfica de sada variar gradualmente desde at +
qoutTemperatura do lquido que sai variar desde at
Q
out +
QQ
out
Diferena entre potncias de entrada qin e sada qout durante um
pequeno intervalo de tempo dt igual variao do calor armazenado no
reservatrio
= = = in out in out in out
d(q q ) dt dU (q q ) dt C d (q q ) Cdt
Obter relao entre e qout pela definio de resistncia trmica
Substituir na equao diferencial linear anterior
RC [s] a constante de tempo do sistema (R = cte.)
= =
out
variaao na diferena de temperatura [C] 0R = R Rvariaao na
potencia calorifica [kcal/s] q q
Modelao matemtica de sistemas fsicos
Q
-
45
89
Sistema de controlo trmico
Aplicar Transformadas de Laplace equao diferencial anterior
in R C [ (t)] [ (t)] R [q (t)] + = LLLL LLLL LLLL
Aplicar Teorema da diferenciao real e admitir condies iniciais
nulas
in inR C [s (s) (0)] (s) R Q (s) (R C s 1) (s) R Q (s) + = +
=
Admitir qin como grandeza de entrada e como grandeza de sada
in
(s) RQ (s) R C s 1
=
+
Admitir qin como grandeza de entrada e qout como grandeza de
sada
=
+out
in
Q (s) 1Q (s) R C s 1
Funo de transferncia
Funo de transferncia
Modelao matemtica de sistemas fsicos
=out(s)Q (s)R
90
Qin(s) +
Qout(s)
+
(s)
1R C s R
Qin(s)
Diagramas de blocos
Modelao matemtica de sistemas fsicos
1R C s
Admitir qin como grandeza de entrada e qout como grandeza de
sada
Admitir qin como grandeza de entrada e como grandeza de sada
(s)
R1+R C s
Qin(s)
Qout(s)
11+R C s
Qin(s)
Sistema de controlo trmico
-
46
91
Temperatura do lquido que entra varia subitamente desde
atPotncia calorfica de entrada Q permanece constantePotncia
calorfica de sada variar gradualmente desde at + qoutTemperatura do
lquido que sai variar desde at
Sistema de controlo trmico
in in in +
QQout out +
in out in outd(q q ) dt C d (q q ) Cdt
= = Equao diferencial linear
Obter relao entre e qout pela definio de resistncia trmica
outout
R qq R
= =
Obter relao entre in e qin pela definio de resistncia trmica
in inin
in
R qq R
= =
Modelao matemtica de sistemas fsicos
92
Sistema de controlo trmico
No possvel apresentar esta imagem de momento.
Substituir na equao diferencial linear anterior
in R C [ (t)] [ (t)] [ (t)] + = LLLL LLLL LLLLAplicar
Transformadas de Laplace equao diferencial anterior
Aplicar Teorema da diferenciao real e supor condies iniciais
nulas
in inR C [s (s) (0)] (s) (s) (R C s 1) (s) (s) + = + =
Admitir in como grandeza de entrada e como grandeza de sada
in
(s) 1(s) R C s 1
=
+Funo de transferncia
Modelao matemtica de sistemas fsicos
-
47
93
Sistema de controlo trmico
in
(s) 2(s) R C s 1
=
+Funo de transferncia +
Modelao matemtica de sistemas fsicos
in
(s) RQ (s) R C s 1
=
+
in
(s) 1(s) R C s 1
=
+
in in in in(s) R Q (s) (s) (s)(s) (s)R C s 1 R C s 1 R C s 1 R C
s 1
= + = + + + + +
=
inin
(s)Q (s)R
+
=
Funo de transferncia Funo de transferncia
94
Sistema de controlo trmico
in(s) +
(s)
+
(s)
1R C s R
Qin(s)
+
(s)
1R C s R
Qin(s) +in(s)
O ltimo diagrama de blocos consiste na conjugao dos dois
anterioresFuno de transferncia do ltimo sistema (sujeito a uma
perturbao in) advm da soma das funes de transferncia dos
anteriores
Diagramas de blocos
in
(s) 1(s) R C s 1
=
+
=
+in
(s) RQ (s) R C s 1
in
(s) 2(s) R C s 1
=
+
+
=
+
= = in in in
in
(s)R R Q (s) (s)Q (s)
Modelao matemtica de sistemas fsicos
1R C s
-
48
95
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Comparar desempenhos de sistemas de controlo
Comparar respostas dos sistemas com sinais de entrada
Sinais de entrada
Sinais de teste
impulso(variao instantnea)
degrau(variao brusca) rampa
(variao gradual)
sinusideetc.exponencial
Sinais de teste
Sinais de entradaSistema de controlo
Sinais de sada
Valores instantneos (no podem expressar-se analiticamente)
Aleatrios
96
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Relao entre resposta a sinal de entrada de teste e capacidade de
resposta a sinais de entrada reais
Sinais de teste
Escolha dos sinais de entrada de teste mais adequados depende de
solicitaes a que os sistemas so submetidos
Analisar caractersticas de sistemas de controlo
Sistemas submetidos a sinais de entrada que variamgradualmente
com o tempo
Funo impulso
Funo degrau
Funo rampa
Sistemas submetidos a sinais de entrada instantneos
Sistemas submetidos a sinais de entrada que variamsubitamente
com o tempo
-
49
97
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Resposta transitria: resposta temporal de sistemas submetidos a
sinaisde entrada (desde o estado inicial t = 0 at ao estado final t
= tfinal)
Resposta estacionria: resposta temporal de sistemas quando t
Estabilidade absoluta: caracterstica relativa ao comportamento
dinmicode sistemas de controlo LIT (sistema estvel / instvel)
Sistema em equilbrio: sistema permanece no mesmo estado na
ausnciade sinais de entrada ou perturbaes
Sistema estvel: sistema submetido a condies iniciais sinal de
sadaretorna ao equilbrio
Sistema criticamente estvel: sistema submetido a condies
iniciais sinal de sada com oscilaes infinitas
Sistema instvel: sistema submetido a condies iniciais sinal de
sadadiverge relativamente ao equilbrio
Erro em estado estacionrio: resposta de um sistema em
estadoestacionrio no coincide com sinal de entrada (avalia
inexactido do sistema)
98
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema estvel
Sistema criticamente estvel
Sistema instvel
-
50
99
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 1 Ordem
Resposta a sinal de entrada em impulso unitrio
Transformada de Laplace do impulso unitrio R(s) = 1
Substituir na funo de transferncia
Transformada Inversa de Laplace = tT1c(t) e , t 0
T
= = = + + +
C(s) 1 1 1 1C(s) 1 C(s) 1R(s) T s 1 T s 1 T sT
R(s)+
C(s)
1 T s
R(s) C(s)
1
T s + 1
r(t) = (t) (t)
0 t
1
condies iniciais nulas
100
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
=1t 0 c(t)T
Sinal de errotT1e(t) r(t) c(t) (t) e , t 0
T
= =
t = + c(t) = 0
= tT1c(t) e , t 0
T
c(t)r(t)
tT
tT1c(t) e
T
=
r(t) = (t)
2T 3T 4T0
1
T
Sistema de 1 Ordem
tTQuando t e 0 e( ) (t)
-
51
101
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 1 Ordem
=
1R(s)s
Expandir em fraces parciais
= = = + + +
1 T 1 1 T 1 1C(s) 1 1s T s 1 s T ss sT T
= = + +
C(s) 1 1 1C(s)R(s) T s 1 T s 1 s
Resposta a sinal de entrada em degrau unitrio
Transformada de Laplace do degrau unitrio
r(t) = 1(t) r(t)
0 t
1
Substituir na funo de transferncia
Transformada Inversa de Laplace = tTc(t) 1 e , t 0
102
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 1 Ordem
t = 0 c(t) = 0t = T c(t) = 0,632t = 2T c(t) = 0,865t = 3T c(t) =
0,95t = 4T c(t) = 0,982t = + c(t) = 1
= tTc(t) 1 e , t 0
Estimativa razovel para tempo de resposta tempo que a curva de
resposta demora a atingir 2% do valor final (matematicamente
oestado estacionrio atinge-se para t = )Constante de tempo T do
sistema 0 resposta mais rpida do sistema
Sinal de errot tT Te(t) r(t) c(t) 1 (1 e ) e , t 0 = = =
tTQuando t e 0 e( ) 0
0,950
c(t)r(t)
t
0,632
T
=
tTc(t) 1 e
r(t) = 1
2T 3T0
0,865
4T
0,982
63,2% 8
6,5% 9
5,0%
98,2%
-
52
103
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 1 Ordem
2
1R(s)s
=
Expandir em fraces parciais
= + = + = + + + +
2
2 2 21 T T 1 T T T 1 T TC(s) 1 1s s T s 1 s s T s ss s
T T
2
C(s) 1 1 1C(s)R(s) T s 1 T s 1 s= = + +
Resposta a sinal de entrada em rampa unitria
Transformada de Laplace da rampa unitria
r(t) = t r(t)
0 t
Substituir na funo de transferncia
Transformada Inversa de LaplacetTc(t) t T T e , t 0= +
1
1
104
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 1 Ordem
t = 0 c(t) = 0
t = + c(t) = +
c(t)r(t)
t
3T
2T
T
tTc(t) t T T e= +
r(t) = t
2T 3T0
tTc(t) t T T e , t 0= +
Sinal de errot tT Te(t) r(t) c(t) t t T T e T (1 e ) , t 0 = = +
=
tTQuando t e 0 e( ) T
constante de tempo T do sistema erro em estado estacionrio
T( )e
-
53
105
+ 2K
J s B s R(s)
+
C(s) R(s) C(s) + +2
KJ s B s K
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
2
C(s) KR(s) J s B s K= + +
2 2
KC(s) JR(s) B B K B B K
s s2 J 2 J J 2 J 2 J J
=
+ + +
2
2
B - 4 K J 0 Plos complexosB - 4 K J 0 Plos reais
<
Funo de transferncia
106
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
2n
KJ
= nB
2 J =
Anlise da resposta transitria
Frequncia natural no amortecida
Sistema massa-mola
Frequncia de vibrao livre
n
km
=
Resulta de foras inerciais (massa)e elsticas (mola) de um
sistema
= =
amortercimento real BCoeficiente de amortecimentoamortecimento
crtico 2 J K
-
54
107
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Representar sistemas de 2 ordem por diagramas de blocos
R(s) C(s)2n2 2
n ns + 2 s +
R(s)
+
C(s)2n
2ns + 2 s
Parmetros n e
Dinmica de sistemas de controlo de 2 ordem
Frequncia natural no-amortecida n
Coeficiente de amortecimento
108
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Sistema no amortecido = 0
Funo de transferncia
= = = =
+ + + + 2 2 20n n n
2 2 2 2n n n n n
C(s)R(s) s 2 s s (s j )(s j )
Plos plos imaginrios puros conjugados p1,p2 = jnPlos situados
sobre o eixo imagirio do plano complexo sSistema oscila
infinitamente em torno da posio de equilbrio
-
55
109
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
= 0 resposta no-amortecida oscilaes infinitas = 0 n = d
nc(t) 1 cos( t)=
Sinal de erro e(t) = r(t) c(t)
Sistema no amortecido = 0
Substituir na funo de transferncia
Transformada de Laplace do degrau unitrio 1R(s)s
=
ne(t) cos( t)=
2n
2 2n
1C(s) s s
=
+
Transformada Inversa de Laplace
2
d n1 = Frequncia natural amortecida
110
Plos complexos conjugados p1,p2 = n j dPlos distintos situados
no semi-plano esquerdo do plano complexo sSistema oscila em torno
da posio de equilbrio (amplitude decrescente)
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Sistema subamortecido 0 < < 1
Funo de transferncia
2 2n n
2 2n n n d n d
C(s)R(s) s 2 s (s j )(s j )
= =
+ + + + +
-
56
111
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
2 2n n
2 2 2 2 2 2 2n n d n d
1 1C(s) s 2 s j s (s ) s
= =
+ + + +
Substituir na funo de transferncia
Expandir em fraces parciais
n n n2 2 2 2 2 2
n d n d n d
s 2 s1 1C(s)s (s ) s (s ) (s )
+ + = = +
+ + + + + +
Transformada Inversa de Laplace n nt t
d d 2c(t) 1 e cos( t) e sin( t)
1
= +
Transformada de Laplace do degrau unitrio 1R(s)s
=
Sistema subamortecido 0 < < 1
112
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
n td d 2
e(t) e cos( t) sin( t)1
= +
Estado estacionrio (t = +) e(t) = 0
Sinal de erro e(t) = r(t) c(t)
Sinal de erro Funo sinusoidal amortecida
Sinal de erro
Sistema subamortecido 0 < < 1
-
57
113
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Sistema criticamente amortecido =1
Funo de transferncia
2n
2 2n n
C(s)R(s) s 2 s
=
+ +
Plos reais p1,p2 = nPlos iguais situados no semi-plano esquerdo
do plano complexo sSistema tende rapidamente para a posio de
equilbrio
114
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
2 2n n
2 2 2n n n
1 1C(s) s 2 s s (s ) s
= =
+ + +
Substituir na funo de transferncia
Expandir em fraces parciais
n2
n n
1 1C(s)s (s ) s
=
+ +
Transformada Inversa de Laplace
n tnc(t) 1 e (1 t) = +
Transformada de Laplace do degrau unitrio 1R(s)s
=
Sistema criticamente amortecido =1
-
58
115
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
n tne(t) e ( t 1) = +
Sinal de erro e(t) = r(t) c(t)
Sistema criticamente amortecido =1
116
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Sistema sobreamortecido > 1
Funo de transferncia
2 2n n
2 2 2 2n n n n n n
C(s)R(s) s 2 s (s 1)(s 1)
= =
+ + + + +
Plos reais negativos p1,p2 =Plos distintos situados no
semi-plano esquerdo do plano complexo sSistema tende
assimptoticamente para a posio de equilbrio
2n( 1)
-
59
117
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Sistema sobreamortecido > 1
2n
2 2n n n n
1C(s) s(s 1)(s 1)
=
+ + +
Substituir na funo de transferncia
Transformada Inversa de Laplace 1 2s t s t
n
21 2
2 21 1 n 2 2 n
e ec(t) 1
s s2 1
s p ( 1) s p ( 1)
= +
= = + = =
Transformada de Laplace do degrau unitrio 1R(s)s
=
2 termos de exponencial decrescente
118
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Sinal de erro e(t) = r(t) c(t)
Sistema sobreamortecido > 1
1 2s t s tn
21 2
2 21 1 n 2 2 n
e ee(t)
s s2 1
s p ( 1) s p ( 1)
=
= = + = =
-
60
119
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Exponencial contendo p1 (cte. de tempo > 1Sistema
sobreamortecido >>1
Efeito de p1 em c(t) >1
-
61
121
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Sinal de erro e(t) = r(t) c(t)
2n2 ( 1) ts te(t) e e = =
Sistema sobreamortecido >>1
122
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Curvas tpicas de resposta ao degrau unitrio (n = 1) de acordo
com , e
Subamortecido
Subamortecido
Amortecimento crtico
Sobreamortecido
= =1R(s) r(t) 1s
=
+ + 2n
2 2n n
C(s)R(s) s 2 s
Sistemas subamortecidos (0 < < 1) tm respostas mais rpidas
relativamentea sistemas com amortecimento crtico ( = 1) ou
sobreamortecidos ( > 1)Sistemas com amortecimento crtico ( = 1)
tm respostas mais rpidas
relativamente a sistemas que respondam sem oscilaes
(sobreamortecidos)Sistemas sobreamortecidos ( > 1) tm respostas
mais lentas a quaisquer
sinais de entrada
-
62
123
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Caractersticas da resposta transitria
Desempenho de sistemas de controlo caracterizam-se geralmente
pelaresposta transitria a um sinal de entrada de teste em degrau
unitrio (sinalgerado facilmente; corresponde a uma solicitao
suficientemente severa)
Resposta transitria de sistemas de controlo a um sinal de
entrada emdegrau unitrio depende de condies iniciais (condies
iniciais nulas sistema em repouso)
Conhecendo a resposta de sistemas de controlo a um sinal de
entradaem degrau unitrio matematicamente possvel obter a resposta
paraqualquer outro tipo de sinal
Resposta transitria de sistemas de controlo apresenta
frequentementeoscilaes amortecidas antes de alcanar o estado
estacionrio
124
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
c(t)
t0
1
Caractersticas da resposta transitria de sistemas de controlo ao
sinal de entrada em degrau unitrio
Tempo de atraso td curva de resposta atinge pela 1 vez 50% do
valor final
0,5
td
-
63
125
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
curva de resposta passa de 0% para 100% (subamortecidos)ou de
10% para 90% (sobreamortecidos) do valor final
Caractersticas da resposta transitria de sistemas de controlo ao
sinal de entrada em degrau unitrio
c(t)
ttr0
1
Tempo de subida tr
126
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Caractersticas da resposta transitria de sistemas de controlo ao
sinal de entrada em degrau unitrio
Tempo de acomodao ts curva de resposta atinge e permanece
numafaixa de vizinhana (2% a 5%) do valor final
c(t)
t0
1
ts
tolernciaaceitvel
2% 5%
-
64
127
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
curva de resposta ultrapassa o 1 pico de
ultrapassagem(overshoot)
Caractersticas da resposta transitria de sistemas de controlo ao
sinal de entrada em degrau unitrio
Instante de pico tp
c(t)
t0
1
tp
128
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
Caractersticas da resposta transitria de sistemas de controlo ao
sinal de entrada em degrau unitrio
Valor mximo de ultrapassagem Mp pico da curva de resposta medido
apartir da unidade (indica estabilidade relativa do sistema)
c(t)
t0
1
pc(t ) c( )
100%c( )
+=
+Mp
-
65
129
Anlise de sistemas de controlo no domnio do tempo
Sistema de 2 Ordem
c(t)
t
0,5
td tr tp0
1
ts
tolernciaaceitvel
Mp
2% 5%
Caractersticas da resposta transitria de sistemas de controlo ao
sinal de entrada em degrau unitrio
130
Aces bsicas de controlo
Forma pela qual um controlador produz o sinal de controlo
Aco de controlo
Controlador
Compara os valores de sinais de sada e entrada
Produz sinal de controloCalcula o erro existente
Controlador ON-OFFControlador Proporcional (P)Controlador
Integral (I)Controlador Proporcional Integral (PI)Controlador
Proporcional Derivativo (PD)Controlador Proporcional Integral
Derivativo (PID)
Classificao dos controladores de acordo com a aco de
controlo
processo a
controlar;preciso;fiabilidade;operao;segurana;economia;peso;dimenso
-
66
131
Aces bsicas de controlo
e(t) > 0 u(t) = U1 (valor mximo)e(t) < 0 u(t) = U2 (valor
mnimo)(U1 e U2 so constantes, U2 normalmente 0 ou U1)
Controlo ON-OFF
u(t) sinal de sada do controlador ON-OFFe(t) sinal de erro
actuante
t correspondente variao de e(t) antes de U1 U2u(t) mantm o seu
valor at e(t) variar para alm de 0
RC
inq
h
24V h(t)
t0
Intervalo diferencial
Intervalo diferencial
outq
+
U(s)U1U2
E(s)
intervalo diferencial
132
Aces bsicas de controlo
Controlo Proporcional (P)
u(t) sinal de sada do controlador proporcionale(t) sinal de erro
actuante
u(t) varia proporcionalmente a e(t) pu(t) K e(t)=
Aplicar Transformadas de Laplace
+
U(s)Kp
E(s)
Ganho proporcional do controlador Kp (cte. ajustvel)Controlador
proporcional amplificador (ganho ajustvel)
pU(s) KE(s) =
e(t)
t
1
0
degrau unitrio
u(t)
t0
Kp Pe(t) = 1
-
67
133
Aces bsicas de controlo
Controlo Integral (I)
u(t) sinal de sada do controlador integrale(t) sinal de erro
actuante
[ ] it
i0
du(t) K e(t)
dt
u(t) K e(t)dt
=
=
Aplicar Transformadas de Laplace
Ganho integral do controlador Ki (cte. ajustvel)Duplicar e(t)
u(t) variar 2 mais rpidoe(t) = 0 u(t) permanece estacionrio
iKU(s)E(s) s=
U(s)+
E(s)iK
s
taxa de variao de u(t) proporcional a e(t)
Teorema da integrao real LLLL =
1
0
tf ( t ) dt F(s )
s
134
u(t) varia proporcionalmente a e(t)taxa de variao de u(t)
proporcional a e(t)
Aces bsicas de controlo
Controlo Proporcional Integral (PI)
u(t) sinal de sada do controlador integrale(t) sinal de erro
actuante
Aplicar Transformadas de Laplace
Tempo integral do controlador Ti (cte. ajustvel)Ganho
proporcional do controlador Kp (cte. ajustvel)
pip p
i
KKU(s) K KE(s) s T s= + = +
t
p i0
tp
p0i
u(t) K e(t) K e(t)dt
Ku(t) K e(t) e(t)dt
T
= +
= +
+
U(s)E(s) ip
KKs
+U(s)E(s)
+
ppi
KK
T s+
-
68
135( )i
t te( t ) 1p p
p p0 0i i
t 0pp p0
i
t Tp pi p p i p0
i i
K Ku(t) K e(t) e(t)dt K 1 1dt
T TK
u(0) K 1 t KT
K Ku(T ) K t K T 0 2 K
T T
=
=
=
= + = +
= + =
= + = + =
Aces bsicas de controlo
e(t)
t
1
0
degrau unitrio
u(t)
t
2Kp
0
Kp
Ti
PI
P
Controlo Proporcional Integral (PI)
e(t) = 1
Tempo integral Ti corresponde ao perodo de tempo necessrio para
quea contribuio da aco integral iguale a da acoproporcional
136
Aces bsicas de controlo
Controlo Proporcional Derivativo (PD)
u(t) sinal de sada do controlador integrale(t) sinal de erro
actuante
Aplicar Transformadas de Laplace
Tempo derivativo do controlador Td (cte. ajustvel)Ganho
proporcional do controlador Kp (cte. ajustvel)
p d p p dU(s) K K s K K T sE(s) = + = +
u(t) varia proporcionalmente a e(t)u(t) proporcional taxa de
variao de e(t) [ ]
[ ]p d
p p d
du(t) K e(t) K e(t)
dtd
u(t) K e(t) K T e(t)dt
= +
= +
+
U(s)E(s)p dK K s+
U(s)E(s)+
p p dK K T s+
Controlador D no usado sozinho pois s eficaz em regimes
transitrios
-
69
137
u(t)
t0
Td
PDP
Tempo derivativo Td
Aces bsicas de controlo
e(t)
t0
rampaunitria
e(t) = t
Controlo Proporcional Derivativo (PD)
[ ] e(t) tp p d p p dp p d p d
d p d p d p d
du(t) K e(t) K T e(t) K t K T 1
dtu(0) K 0 K T K Tu(T ) K T K T 2 K T
=
= + = +
= + =
= + =
corresponde ao perodo de tempo antecipado pelaaco derivativa
relativamente aco proporcional
Kp Td
Td
2 Kp Td
138
u(t) varia proporcionalmente a e(t)taxa de variao de u(t)
proporcional a e(t)u(t) proporcional taxa de variao de e(t)
Aces bsicas de controlo
u(t) sinal de sada do controlador integrale(t) sinal de erro
actuante
Ganho proporcional do controlador Kp (cte. ajustvel)Tempo
integral do controlador Ti (cte. ajustvel)Tempo derivativo do
controlador Td (cte. ajustvel)
Controlo Proporcional Integral Derivativo (PID)
[ ]
[ ]
t
p i d0
tp
p p d0i
du(t) K e(t) K e(t)dt K e(t)
dtK d
u(t) K e(t) e(t)dt K T e(t)T dt
= + +
= + +
-
70
139
Aces bsicas de controlo
Controlo Proporcional Integral Derivativo (PID)
ip d
pp p d
i
KU(s) K K sE(s) s
KU(s) K K T sE(s) T s
= + +
= + +
Aplicar Transformadas de Laplace
E(s)
U(s)+
E(s)i
p dKK K ss
+ + U(s)
+
pp p d
i
KK K T s
T s+ +
u(t)
t0
PDP
PIDe(t)
t0
rampaunitria
e(t) = t Kp Td
Td
Td
140
Aces bsicas de controlo
Controlo Proporcional Integral Derivativo (PID)
Diagrama de blocos de um controlador PID
-
71
141
Erro em estado estacionrio
Erro em estado estacionrio
Resposta em estado estacionrio difere do sinal de entrada
Desempenho de um sistema de controlo estvel
Sistemas de controlo apresentam erro em estado estacionrio na
respostaa determinados tipos de sinais de entrada
Erro em estado estacionrio depende da estrutura das funes
detransferncia em anel aberto
Sistemas de controlo podem apresentar um erro em estado
estacionrionulo quando submetidos a sinais de entrada em degrau
Sistemas de controlo podem apresentar um erro em estado
estacionriono nulo quando submetidos a sinais de entrada em
rampa
Eliminar erros em estado estacionrio alterar os sistemas de
controlo
142
Erro em estado estacionrio
= = = +
E(s) R(s) C(s) E(s) G(s)E(s) R(s) C(s) 1 1R(s) R(s) R(s) R(s) 1
G(s)
=
+
C(s) G(s)R(s) 1 G(s)
G(s)R(s) E(s)+
C(s)Sistema de controlo em anel fechado
Funo de transferncia
Sinal de erro E(s) = diferena entre os sinais de entrada R(s) e
sada C(s)
Teorema do valor final
= = = =
+ss t s 0 s 0
1e e( ) lim e(t) lims E(s) lims R(s)
1 G(s)
Calcular o erro em estado estacionrio
= = + +
E(s) 1 1E(s) R(s)R(s) 1 G(s) 1 G(s)
-
72
143
Erro em estado estacionrio
Ganho Kp do controlador calibrado para =p1KK
Comparao entre erros em estado estacionrio
Sistema de controlo em anel aberto
= = = =
+ + +p
c
K KC(s) 1 K 1G (s)R(s) T s 1 K T s 1 T s 1Funo de
transferncia
[ ]= = = c cE(s)E(s) R(s) C(s) 1 G (s) E(s) 1 G (s) R(s)R(s)
Sinal de erro E(s)
[ ]
= = = = = = +ss ct s 0 s 0
1 1e e( ) lime(t) lims E(s) lims 1 G (s) 1 0
s T 0 1
Erro em estado estacionrio para entrada em degrau unitrio
C(s)R(s)Kp
+
KT s 1
E(s)
144
Erro em estado estacionrio
Variao na funo de transferncia do processo a controlar (ex:
evoluo temporal, desgaste de componentes)
[ ]( ) ( )
= = =
+ + = = = =
+ +
ss c cs 0 s 0
ss p
1e lims E(s) lims 1 G (s) 1 G (0)
s
K K K K1 K Ke 1 K 1 1 0.1
T 0 1 K T 0 1 K K
Erro em estado estacionrio para sinal de entrada em degrau
unitrio
Comparao entre erros em estado estacionrio
Erro em estado estacionrio inicial ess = 0Com o evoluir do tempo
o ganho Gc(0) aumenta ess 0Proceder a recalibrao do sistema de
controlo ess = 0
= = = =p
K 1K 10; K 1; 0.1; KK K
F.T. inicial var iaao F.T.
K KT s 1 T s 1
+
+ +
-
73
145
Erro em estado estacionrio
Sistema de controlo em anel fechado
Comparao entre erros em estado estacionrio
R(s) C(s)E(s)+
Kp +
KT s 1
Ganho Kp do controlador calibrado para >>p1KK
= =
+ + p
c
p
K KC(s)G (s)R(s) T s 1 K KFuno de transferncia
[ ]= = = c cE(s)E(s) R(s) C(s) 1 1 G (s) E(s) 1 G (s)
R(s)R(s)
Sinal de erro E(s)
[ ]
= = = =
+ + + p
ss cs 0 s 0p p
K K1 1e lims E(s) lim s 1 G (s) 1
s T 0 1 K K 1 K K
Erro em estado estacionrio para entrada em degrau unitrio
146
Erro em estado estacionrio
Comparao entre erros em estado estacionrio
[ ] ( )( )( )
( )
+ = = = =
+ + +
+ + = = = =
+ + + +
pss c cs 0 s 0
p
ss
K K K1e lims E(s) lims 1 G (s) 1 G (0) 1
s T 0 1 K K K100 K K 100 100 0.1 110Ke 1 1 1 0.009100 1 100 100
0.1 1111 K K
K
Variao na funo de transferncia do processo a controlar (ex:
evoluo temporal, desgaste de componentes)
F.T. inicial var iaao F.T.
K KT s 1 T s 1
+
+ +
Erro em estado estacionrio para sinal de entrada em degrau
unitrio
Erro em estado estacionrio inicial ess 0Com o evoluir do tempo
ess 0
= = = =p
K 100K 10; K 1; 0.1; KK K
-
74
147
Estabilidade de sistemas de controlo
Localizao dos plos em malha fechada no plano complexo s
Estabilidade de sistemas de controlo lineares
Sistema de controlo estvel
Plos no semi-plano esquerdo do plano s
Resposta transitria oscila com amplitude decrescente
Sistema atinge o equilbrio
Sistema de controlo instvel
Plos no semi-plano direito do plano s
Resposta transitria oscila com amplitude crescente
Sistema afasta-se do equilbrio
148
Estabilidade de sistemas de controlo
Resposta de sistema de controlo no pode aumentar
indefinidamente
Semi-plano direito do plano complexo s
Localizao de plos em malha fechada
Inaceitvel
Localizao de plos complexos conjugados dominantes em malha
fechada
Perto do eixo imaginrio do plano complexo s
Resposta transitria pode no apresentar caractersticas
satisfatrias (oscilaes e/ou lentido excessivas)
-
75
149
Estabilidade de sistemas de controlo
Localizao de todos os plos em malha fechada
Semi-plano esquerdo do plano complexo s
Garantir caractersticas satisfatrias da resposta
transitria(rapidez de resposta e bom amortecimento)
Condio necessria mas no suficiente
Localizao de todos os plos em malha fechada
Regies particulares do plano complexo s
150
Estabilidade de sistemas de controlo
Verificar a existncia de razes instveis na equao polinomial sem
resolver a equao
Critrio de estabilidade de Routh
Verificar a existncia de plos em malha fechada no semi-plano
direito do plano s
Funes de transferncia em malha fechada de sistemas de
controlo
+ + + += =
+ + + +
m m-10 1 m-1 m
n n-10 1 n-1 n
b s b s ... b s bC(s) B(s)R(s) a s a s ... a s a A(s)
ai e bi so constantes e m n
A(s) = 0
Polinmio caracterstico
-
76
151
Estabilidade de sistemas de controlo
1. Escrever o polinmio caractersticoA(s) na forma
+ + + + i nn n 1 (a R e a 0)0 1 n 1 na s a s ... a s a
2. Todos os coeficientes ai > 0(se todos os ai <
0,multiplicam-se ambos os membros da equao polinomial A(s) = 0 por
1 tornando-os positivos)
Critrio de estabilidade de Routh
Condio necessria mas no suficiente para estabilidade do
sistema
Todos os coeficientes da equao polinomial A(s) = 0 existem e so
> 0(ou todos negativos)
Se qualquer um dos coeficientes 0 e pelo menos um coeficiente ai
> 0
Sistema no estvel
Existem razes imaginrias (perto do eixo Im) ou com partes reais
> 0
Verificar estabilidade absoluta no preciso prosseguir
152
Estabilidade de sistemas de controlo
3. Coeficientes ai > 0 (ou negativos) distribuem-se em linhas
e colunas
Multiplicao / diviso de uma linha inteira por um n positivo
(simplificar clculos de linhas seguintes) no altera a estabilidade
/ instabilidade do sistema
= = =
= = =
= = =
1 2 0 3 1 4 0 5 1 6 0 71 2 3
1 1 1
1 3 1 2 1 5 1 3 1 7 1 41 2 3
1 1 1
1 3 1 31 2 1 2 1 4 1 41 2 3
1 1 1
a a a a a a a a a a a ab ;b ;ba a a
b a a b b a a b b a a bc ;c ;c
b b bc b b cc b b c c b b cd ;d ;d
c c c
.....
N de mudanas de sinal de coeficientes da 1coluna = n de razes
com partes reais positivas
n0 2 4 6
n-11 3 5 7
n-21 2 3 4
n-31 2 3 4
n-41 2 3 4
2
s a a a a ....
s a a a a ....
s b b b b ....s c c c c ....
s d d d d ..... . .
. . .
. . .
s ... 1
0
...
s ... ...
s ... ...
Clculo dos coeficientes bi, ci e di
Critrio de estabilidade de Routh
-
77
153
Estabilidade de sistemas de controlo
Estabilidade de um sistema de controlo linearrazes da equao
polinomial no semi-plano esquerdo do plano s
Condio necessria e suficiente
Todos os coeficientes aiexistam e sejam positivos
Todos os coeficientes da 1 coluna sejam positivos
Critrio de estabilidade de Routh
154
Estabilidade de sistemas de controlo
Critrio de estabilidade de Routh
Casos especiais
Razes complexas conjugadas
+
+
+
3
2
1
0
s 1 1s 2 2s
s
0 2
Sinal do coeficiente acima (linha s2)do coeficiente nulo (linha
s1)
Sinal do coeficiente abaixo (linha s0)do coeficiente nulo (linha
s1)Igual
Coeficiente da 1 coluna nulo e restantes no nulos ou
inexistentes
Substituir coeficiente nulo por nmero positivo muito pequeno
()
coeficiente nulo
+ + + =3 2s 2 s s 2 0
-
78
155
Estabilidade de sistemas de controlo
Critrio de estabilidade de Routh
Casos especiais
Razes com partes reais positivas(n mudanas de sinal = n razes c/
partes reais positivas)
+
+
3
2
1
0
s 1 -1s -2 2s
s
0 2
Sinal do coeficiente acima (linha s2)do coeficiente nulo (linha
s1)
Sinal do coeficiente abaixo (linha s0)do coeficiente nulo (linha
s1)Oposto
mudana de sinal
Coeficiente da 1 coluna nulo e restantes no nulos ou
inexistentes
Substituir coeficiente nulo por nmero positivo muito pequeno
()
coeficiente nulo
+ =3 2s 2 s s 2 0
156
Estabilidade de sistemas de controlo
Critrio de estabilidade de Routh
Casos especiais
Coeficientes de uma linha
Nulos
Razes reais (mdulo igual e sinal oposto)
Razes complexas conjugadas
5
4
3
s 1 24 - 25s 2 48 - 50s 0 0coeficientes nulos
5 4 3 2s 2 s 24 s 48 s 25 s 50 0+ + + =
Coeficientes da linha s3 nulosPolinmio auxiliar P(s) formado com
coeficientes da linha anterior
-
79
157
Estabilidade de sistemas de controlo
Polinmio auxiliar P(s) formado com coeficientes da linha s4
4 2P(s) 2 s 48 s 50= +
Derivada do polinmio auxiliar P(s) 3d[P(s)] 8 s 96 sds
= +
Critrio de estabilidade de Routh
Casos especiais
5
4
3
s 1 24 -25s 2 48 -50s 0 0
polinmio auxiliar P(s)
Coeficientes da derivada de P(s) substituem linha de
coeficientes nulos
coeficientes nulos
Razes com parte real positiva e/ou complexas conjugadas
158
5
4
3
2
1
0
s 1 24 -25s 2 48 -50s 8 96s 24 -50s 112,7 0s -50
+
+
+
+
Estabilidade de sistemas de controlo
Critrio de estabilidade de Routh
Casos especiais
coeficientes de d[P(s)]dsmudana de sinal
4 2P(s) 0 2 s 48 s 50 0= + =s = 1 s = 5 j
Raiz com parte real positiva
-
80
159
Estabilidade de sistemas de controlo
Raiz com parte real positiva (s = 1)
Critrio de estabilidade de Routh
Casos especiais
Mudana de sinal num coeficiente da 1 coluna
Coeficientes da linha s3 nulos
Duas razes reais de mdulo igual e sinal oposto (s = 1)
Duas razes complexas conjugadas (s = 5 j)
160
Pedro BeiroInstituto Superior de Engenharia de Coimbra
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Coimbra, Portugal
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Instrumentao e ControloMdulo de Controlo de Sistemas