10E060

МОСКОВСКИЙАВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ(МАДИ)

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

О.А.ОГАНЕСОВ, В.А.КАЙЛЬ,И.М.РЯБИКОВА, Н.Н.КУЗЕНЕВА

КУРС ЛЕКЦИЙПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Часть 2

МОСКВА 2010

для студентов строительныхспециальностей

Утвержденов качестве учебного пособияредсоветом МАДИ

Учебное пособие

© МАДИ, 2010

доц . .. Е А Степура (МГСУ).Рецензенты: канд. техн. наук, проф. О.В. Георгиевский (МГСУ),

/ Оганесов и др.Курс лекций по начертательной геометрии: учебное пособие для

студентов строительных специальностей О.А.часть 2, 2-е изд., перераб. и доп. -М.:МАДИ, 2010. -99с.

[ ];

ББК 22.151.3К937

УДК 514.18

Вашему вниманию предлагается второе, переработанное идополненное издание учебного пособия, в котором представленкурс лекций по начертательной геометрии, полностью соответствую-щий министерской программе для студентов всех строительныхспециальностей Московского автомобильно-дорожного государст-венного технического университета.

Первая часть пособия посвящена разделу “Комплексныйчертеж в ортогональных проекциях”. Во второй части представленыдва специальных строительных раздела “Проекции с числовымиотметками” и “Перспективные проекции”. Лекционный курс изложенпредельно просто, в ясной и доступной форме и рассчитан настудентов, усвоивших курс математики, в первую очередь, элемен-тарной геометрии в объеме средней школы.

В пособие включено приложение, содержащее материалы,которые будут полезны студентам при выполнении расчетно-графической работы “Границы земляных работ”.

Под редакцией канд. техн. наук, доц. О.А.Оганесова

ББК 22.151.3УДК 514.18

Л Е К Ц И Я 11ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ.

ЗАДАНИЕ ТОЧЕК И ЛИНИЙ11.1. Метод проекций с числовыми отметками

3

Для изображения участков земной поверхности с инженер-ными сооружениями на них и других предметов, горизонтальныеразмеры (длина и ширина) которых существенно больше вертикаль-ных (высот), используют специальный метод изображения - методпроекций с числовыми отметками. Суть этого метода в том, чтогеометрический образ (ГО) ортогонально проецируют на однугоризонтальную плоскость проекций (ПП) - плоскость нулевогоуровня, а фронтальную ПП, определяющую высоты точек ГО,заменяют - числами, указывающимирасстояние, обычно в метрах, от этих точек до плоскости иделающими чертеж обратимым. Такие чертежи называют планами.

Чертежи в проекциях с числовыми отметками выполняют вмасштабе уменьшения и дополняют линейным масштабом сопределенной ценой одного деления, соответствующей 1 м илинескольким метрам.

числовыми отметками

Ï

Ï

На рис. 11.1 дано наглядное изображение точек , , и , накотором кроме самих точек показаны плоскость проекций с ортогональными проекциями указанных точек и расстояния от этихточек до ПП . Совместив плоскость с плоскостью чертежа ипоказав на нём линейный масштаб изображения, получают чертеж сч словыми отметками точек , , и (рис. 11.2). На этом чертежеоколо проекции точки пишут её буквенное обозначение со штрихом,а справа от него - числовую отметку точки в виде подстрочногоиндекса (точки , и ) или в круглых скобках (точка ).

A B C D

H

A B C D

A B C D

-

и

11.2. Задание точек в чертежах с числовыми отметками

Ï

Рис. 11.1

A

A

D

DC C

B

B0 1 2 3ì-1

Рис. 11.2

B-3,0

C0

4,5A

(2)D

Ï

Ï

Введем некоторые понятияопределения.

пря-мой - длина горизонтальной проекции отрезка в единицах масштаба. - разность числовых отметок концовотрезка. На рис. 11.4 заложение

, а превышение

иЗаложение отрезка

Превышение отрезка(с учетом

масштаба)

L-

L= A ,B = 5,4 ìì=3,6 .

- угол между прямой (отрезком) и её (его)проекцией на плоскость (рис. 11.3). - тангенс угла

Угол наклона прямой кплоскости проекций

Уклон прямойi

4

Считают, что точка, расположенная над плоскостью , имеетположительную числовую отметку, а под - отрицательную. Начертеже перед положительной отметкой знак “+”, как правило, неставят (точки и ), а перед отрицательной пишут знак “-” (точка ).Около проекции точки, лежащей в ПП и имеющей нулевуюотметку (точка ), пишут число (ноль).

A D B

C 0Если это не мешает чтению чертежа, то допускается около

проекции точки не писать её буквенное обозначение, сразу указываяотметку точки (точки на рис. 11.5 и на рис. 11.6).-7 5

ÏÏ

Ï

11.3. Задание прямой линииПрямая общего положения в общем случае задается проек-

циями двух точек с числовыми отметками. На рис. 11.3 показанонаглядное изображение прямой ( ), содержащее: плоскостьпроекций ; точки и с числовыми отметками и соот-ветственно, определяющие прямую ( ); ортогональные проекции

и точек и ; проекцию ( , ) прямой. На рис. 11.4приведен чертеж в проекциях с числовыми отметками -

A,BA B 2,8 ì 6,4 ì

A,BA B A B A B

A Bеё проекция ( , ) и линейный масштаб чертежа.прямой (A,B)

Ï

2,8 6,4 6,42,8

2,8 6,4

A

B

B6,42,8A

B6,42,8A

0 1 2 3ì-1

Рис. 11.3

Рис. .411

H

H2,8 6,4

Ï

Длина отрезка равнадлине гипотенузы прямоугольного треугольника, один катеткоторого - проекция отрезка

, а второй - превыше-ние

A,B

[A ,B ]

-

, откладываемоев единицах масштаба.

Заложение отрезкаопределяют по чертежу заме-

L [A,B]

спуска и либо углом на-клона прямой к плоскости(рис. 11.5), либо уклоном(рис. 11.6). Прямая в проек-циях с числовыми отметкамиможет обозначаться строч-ной буквой латинского алфа-вита со штрихом.

a

i

5

наклона прямой к плоскости . Уклон прямой равен отношениюпревышения отрезка прямой к его заложению : . Уклонпрямой ( ) на рис. 11.4 (уклон задают отношениемтипа ; десятичной дробью ; в градусах; процентах итысячных - промиллях). - заложение отрезка пря-мой, имеющего превышение, равное единице длины: . Поэто-му - уклон прямой обратно пропорционален её интервалу .

L i = /LA,B i=3,6/5,4=1:1,5

i=1:8 i=0,125

=i=1/l i l

Интервал прямойl

Направление уменьшения (убывания) отметок прямой называ-ют направлением её спуска или уклона. При необходимости егоуказывают стрелкой. Прямая ( ) на рис. 11.4 имеет уклон(нисходит) от точки к точке .

A,BB A

Прямая общего положения может быть задана своей проек-цией, проекцией одной из точек с числовой отметкой, направлением

ÏH H

H 1ì

Ï

0 1 2 3ì-1

Рис. 11.6Рис. 11.5

a

b

5

-7

На рис. 11.7 проекцией с точками и. Найти длину отрезка , его заложение, уклон и

интервал прямой.

ПРИМЕР 11.1. aa A,B

A B за-дана прямая

4,0 7,2

AB

4,0

7,2

0 1 2 3ì-1

HA,B

a

Рис. .711

H=3,2 ì4,0 7,2

ром длины его проекции с учетом масштаба: .Уклон

прямой равен : . Интервал.

L= A ,B =6,4Угол наклона прямой к плоскости - угол на рис. 11.7.a a i

tg i = /L = 3,2/6,4 = 1:2 l = 1/i ==1/(1:2) = 2

a

4,0 7,2 ì

Hì

0 1 2 3ì-1

Ï

6

Знание интервала позволяет

. Градуирование прямой основано на способепропорционального деления отрезков. Проградуируем несколькопрямых, заданных двумя точками (отрезком):

градуировать прямую - опреде-лять проекции её точек с отметками, выраженными целыми числами,отличающимися на 1 м

. Отметки обеих точек - дробные числа одного знакаГрадуирование

осуществляется в такой последовательности ( :прямой ( ), заданной проекцией ( ),

рис. 11.8)A,B A ,B

Заключаем прямую ( ) в вер-тикальную плоскость . Вращением вокруг проекции ( )

1. Строим профиль прямой. A,BA ,B

5,7

1,5совместим плоскость и пря-мую с ПП . Полученное наплоскости изображение ( )прямой ( ) вертикальнойплоскости называют

. Изображения точеквертикальной плоскости , сов-мещенные с плоскостью черте-жа, будем называть профильными проекциями точек.

Для получения профиля( ) проведем из проекцийи линии проекционной свя-зи, перпендикулярные к проек-ции прямой ( ), отложимна них от точек и вы-

A,BA,B

A,B AB

A ,BA B

профилемпрямой

Ï

-

ÏB

A5,7

1,5

0 1 2 3ì-1

2

2

3

3

4

4

5

5

A

B

A,B

5,7

5,7

Рис. .811

соты и с учетом линейного масштаба и найдем точки исоответственно, через которые проходит профиль ( ). Положительное направление отсчета высот может быть принято в любуюсторону от проекции прямой, противоположное ему будетотрицательным (рис. 11.11).

5,7 ì 1,5 ì A BA,B -

. С этой целью на линии связи ( ) от точкипоследовательно откладываем отрезки, равные , получая на ли-нии связи шкалу высот профиля с делениями, соответствующими ,

, , и . Через эти деления параллельно ( ) проводимпрямые, получая в точках пересечения их с профилем ( ) точки ,, и с высотами , , и .

2. На профиле прямой ищем точки с высотами, выраженнымицелыми числами A ,A A

12 3 4 5 A ,B

A,B 23 4 5 2 3 4 5

1 ì5,7 5,7

ìì ì ì ì 5,7 1,5

ì ì ì ì

Ï

1,5

ÏÏ

Ï

5,7 1,5

1,5

5,7 1,5

7

3. На горизонтальной проекции прямой строим проекции еёточек с числовыми отметками, являющимися целыми числами.

Из точек , , и проводим линии связи перпенди-кулярно к проекции ( ) и находим на ней проекции точек сотметками , , и соответственно. Градуирование завершено.

2 3 4 5A ,B

2 3 4 5

профиля

ìНа рис. 11.8 расстояния между найденными проекциями точек

равны интервалу прямой: , длина профиляотрезка совпадает с длиной самого отрезка , а уголравен углу наклона прямой ( ) к плоскости проекций .

2,3 = 3,4 = 4,5 = l A,BA,B [A,B]

A,Ba

1,55,7

ÏЧас то при пос троении

профиля прямой целесообразноотметку её проекции считать ненулевой, а равной какому-то

0 1 2 3 ì4

Рис. 11.9

значению. Пусть надо проградуировать прямую, заданную точками

с отметкой ( ) и сотметкой ( ) .

Примем отметку проекции( , ) прямой условно равной. Тогда для получения

достаточно на линиях связи,проведенных из точек и ,отложить от этих точек значения

и соответственно ипровести прямую через найден-

-

(рис. 11.9)

профиля( )

A 10,4 A B13,6 B

A B10

A BA,B

0,4 ì 3,6 ì

13,6

10,4

10,4 13,6A

A

B

B

11

1213

10,4

13,6

A,B

13,610,4

ные точки Дальнейший ход градуирования показанна рис. 11.9 стрелками (см. также рис. 11.8).

A Bи профиля.

Градуировать можно аналитически, рассчитывая величинуинтервала по формуле . Так, на рис. 11.9 заложение отрез-ка

l l=L/ HA,B 6,4

LA

[ ] L= [A ,B ]H=13,6-10,4=3,2 l=6,4/3,2=2

(определено замером длины проекции от-резка в плане с учетом масштаба), и

подсчитывают длину отрезка отточки до точки с отметкой : .Отложив от точки отрезок , находят точку с отметкой иосуществляют градуирование, последовательно откладывая от этойточки на прямой ( ) интервал .

.Перед началом градуирования

11 L = lx H = 2x(11-10,4) = 1,2A L 11

A ,B l=2

13,610,4ìì

ì

10,4 13,6

10,4

10,4

ì

ì

. Отметка одной точки - целое число, а второй - дробное тогоже знака

На рис 11.10 проградуирована прямая ), заданнаяпроекцией ), с использованием интервала прямой. Для егоопределения построен профиль прямой, на нем найденаточка с высотой , а затем на проекциипроекция точки с отметкой . Расстояние - интервал прямой,

((

(A,Bl

)

l= A ,3

A ,BA,B

3 3 (A ,B ) -3

профиля

B

A2

6,5

0 1 2 3ì-1

45

A

B

A,B

6

3

D?

Рис. 11.10

который последователь-но откладывался попроекции ( , ) отточки для полученияпроекций точек с отмет-ками , , и т. д.

При необходимос-ти отметка некой точ-ки прямой ( , ) можетбыт ь пр иближенн онайдена (рис. 11.10) нашкале высот профиляпо положению точкина профиле прямой:

, ), .

A B

D

3

4 5 6

HD A B

D

(A B H 4,3

D

3

6,52

ì 6,52

2

6,52

ì

D

ìD

8

. Отметки точек имеют противоположные знаки

Строим профиль ( ) пря-мой и находим проекциюточки с нулевой отметкой:( ) ( ) .Далее ищем проекцию точки сотметкой или , опреде-ляем интервал прямой ( ,или ) и откладываем егопо проекции ) от точки, выполняя градуирование.

A,B

0== A,B A ,B

1 -1l

l= 0 ,-1(A ,B

0

( )

(рис. 11.11)

A,B

l= 0 10 1 2 3ì-1

A

B

3,5

-2,6A

B1

1

Рис. 11.11

03,5 -2,6

3,5 -2,6

ìì

A,B

ì ì

9

. Отметки точек являются целыми числами

B

A1

60 1 2 3ì-1

Рис. 11.12

В этом случае градуированиепрямой сводится к делению проек-ции задающего её отрезка на рав-ные части, число которых равнопревышению этого отрезка.Чтобы найти проекции точек сотметками , , и метров,проекцию отрезка на

2 3 4 5[A ,B ] [A,B]

рис. 11.12 надо разделить на 5 равных частей ( ). Для этого източки проведем луч, на нем последовательно отложим 5 отрезководинаковой длины, концевую точку пятого отрезка соединим прямойс точкой . Прямые, проведенные параллельно этой прямой изконцов отложенных отрезков, делят согласно теореме Фалесапроекцию на равные части, градуируя её.

=5B

A

[A ,B ]

H

На пря-мая задана проекцией, проекцией принад

лежащей ей точки , укло-ном

. Для градуирова-ния прямой находят еёинтервал ипоследовательно отклады-вают его с учетом масшта-ба чертежа от точки попроекции прямой. Если

рис. 11.13,

-

и его направ-лением

аa

aA

i=1:1,5

l=1/i=1,5

A

A

ì

à) á)

0 1 2-1 ì

21A 0

a

0 1 2 3ì-1

11,4Aa

Рис. .1311 1

-1

23

45

H

1

6

ì

6

1

61

точка имеет дробную отметку, например (рис. 11.13, ), тосначала определяют расстояние от проекции до проекцииточки с отметкой : . После этогоградуирование выполняют от точки , как на рис. 11.13, .

A 1,4L A

1 L = H l=(1,4-1) l=0,4 1,5=0,61

б

аИз рассмотренных примеров видно, что градуирование

прямых в общем случае основано на пропорциональном деленииотрезков по теореме Фалеса. Если известны интервал прямой ипроекция её точки, отметка которой целое число, то градуированиесводится к откладыванию интервала по проекции прямой.

ì

1,4ì

1

10

Горизонтальная прямая (прямая уровня) параллельнаплоскости , и все её точки имеют одинаковые отметки (рис. 11.14).На чертежах в проекциях с числовыми отметками она задается сво-ей проекцией с числовой отметкой и обозначается буквой соштрихом и отметкой или только отметкой ( и на рис. 11.15).

h

hh 5

Ï

2

EH =H =HF hE

E2

F

F2

h

h2

a

a

5

h2

Ab B1 5

a

0 1 2 3ì-1

Рис. 11.14 Рис. 11.15Вертикальная прямая является проеци-

рующей относительно плоскости и проецируется на неё в точку ( ),называемую основной проекцией прямой. Для задания проецирую-щей прямой на чертеже достаточно задать её основную проекцию (и на рис. 11.15). Все точки проецирующей прямой проецируются наплоскость в её основную проекцию: . Проекции точеки задают отрезок .

(прямая на рис. 11.14)aa

bb A B A

B [A,B] b

a

11.4. Взаимное положение прямых

Две прямые могут пересекаться, скрещиваться и бытьпараллельными.

Если проекции прямых пересекаются или могут пересекаться,то прямые пересекаются или скрещиваются. Если две прямыепересекаются, то точка пересечения их проекций являетсяпроекцией одной точки - точки пересечения прямых. В точку жепересечения проекций скрещивающихся прямых проецируются двеих конкурирующие точки с разными отметками.

Установим взаимное положение прямых ( ) и ( ) на рис. 11.16.Предположим, что прямые скрещиваются и точка пересечения ихпроекций ( ) и ( ) - проекция двух конкурирующих точек

A,B D,E

A ,B D ,E MA,B N D,E H H M N

H =H M N=

( ) и ( ). Найдем отметки и точек и соответственно и сравним их. Если , то и прямые пересекаются,если

-

, то прямые скрещиваются. Для решения задачиH H

Ï

1 2 -2 4

N

M

M N

M

N

Ï

5

1 5 1

11

строят профили ( ) и ( ) заданных прямых, а на них - профиль-ные проекции и точек и :

A,B D,EM N M N

По проекциям иопределяют отметки точек

и .в соответ-

ствии с линейным масшта-бом. , поэтому пря-мые скрещиваются.

M N

M N H = M ,M 1,7 ;H = N ,N 3

H H=

ìM

M

N ì

N

Параллельные прямыеимеют параллельные проек-ции, одинаковое направле-ние уменьшения отметок иодин и тот же интервал(уклон).

На рис. 11.17 прямыеи параллельны (параллельны их проекции, направ-ления спуска совпадают и

, а прямая скре-щивается с ними ( ).

ad

l =l =3 ) bl =2

-

ììa

b

d6

d

b

a

0 1 4 ì2 3 5

78

910

17

Рис. 11.17

0 1 2 3ì-1

D

A

-2

1

E4

B2

BD

E

N

A

M

N M

HN

HM

Рис. 11.16

M (A,B) (M ,M) (A ,B ) M = (M ,M) (A,B);

N (D,E) (N ,N) (D ,E ) N = (N ,N) (D,E).-2 4

1 2

11.5. Задание кривых линий

В общем случае кривые в проекциях с числовыми отметкамиих проекциями, являющимися кривыми линиями, и

проекциями некоторого числа точек кривой с указанными числовымиотметками. Так, на рис. 11.18 своей проекцией и расположеннымина ней проекциями точек с отметками , , ,

. Эти точки градуируют , деля её на дуги

представляются

k1 2 3 2 2 3 4 5

k k, , , , пред-

ставлена кривая

12

с превышением к аждой ,равным 1 м. Интервалы кри-вой различны, различен иуклон кривой в разных еёточках.

Поясним, почему мы ут-верждаем, что кривая начертеже (рис. 11.18) представ-лена, а не задана. Для этого напроекции возьмём проекцию

k

k

0 1 2 4ì3

HM

A

B CD

EF

G

Q

1

2 3

4

k

CM

BM

2

23

5

Рис. 11.18

M

M k

H M

произвольной точки и попробуем определить её отметку:если это можно сделать однозначно, то кривая на чертеже задана.Однако оказывается, что по проекции точки нельзя точноуказать её отметку, а можно только констатировать, что наградуированной кривой отметка точки лежит в пределах от 2 мдо 3 м. Вывод: кривая на чертеже не задана, а лишь представленапроекцией и дискретным рядом градуирующих её точек.

M kk

Для приближенного определения числовой отметки точки Mиспользуем следующий способ. Дугу кривой с точкой , ограничен-Mную точками и , аппроксимируем отрезком прямой , считая,B C [B,C]что . Построив профиль и определивна нем положение точки , где ,найдем отметку точки .

M (M ) [B ,C ] [B,C]M = (M ,M) [B,C] (M ,M) [B ,C ]

M H 2,3

отрезка

:

M

ìM

32

В частном случае, когдаплоская кривая лежит в плоскости уровня, параллельной, она является горизонталью

и как горизонтальная прямаяв проекциях с число-

выми отметками своей проек-цией и числовой отметкой,соответствующей высотамвсех точек кривой (рис. 11.19).

-

задается0 1 2 4ì3

Рис. 11.19

3

4

32

Ï

(M )

точки на градуированной стороне с отметкой проводят проекциюгоризонтали плоскости. Проекции других её горизонталей про-

ходят параллельно через соответствующие проекции точекградуированной стороны ( , , , , ).

При градуировании отрезок делили на 5 равных частей( ) по способу, приведенному на рис. 11.11 (различие - на рис.12.1 показаны лишь две прямые, делящие на равные части).

4h

B 2 3 5 6 C 7[B ,C ]

H=5[B ,C ]

h

7

13

Л Е К Ц И Я 12

ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

12.1. Задание плоскости

Как и на комплексном чертеже плоскость общего положения впроекциях с числовыми отметками может быть задана тремяточками, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимисяпрямыми, прямой и точкой, любым плоским отсеком. Но прирешении позиционных и метрических задач возникает необходи-мость в градуировании плоскости и задании её масштабом уклонаили горизонталями.

Треугольным отсеком задана плоскость(рис. 12.1). Проградуировать плоскость, построить масш-

таб уклона плоскости, найти угол наклона кплоскости проекций.

ПРИМЕР 12.1.(A,B,C,A)

её интервал, уклон и

0 2 4ì

6

5

4

3

2

7

A

2B

C7

n i

2

4

1.- построение её

горизонталей с отметками,выраженными целымичислами и отличающимисядруг от друга на единицудлины (1 м).

Для градуированияплоскости градуируют сто-рону треугольника, разностьотметок концов которойнаибольшая (сторона ).Затем через проекцию вер-шины треугольника, проти-воположной градуированнойстороне ( ), и проекцию

Градуированиеплоскости

BC

AРис. 12.14

2 7

2

2 7

ì

4

7

4

14

2. - градуированнаяпроекция линии ската плоскости, которую изображают двумя парал-лельными прямыми (тонкой и толстой) и обозначают , что означа-ет: линия ската плоскости определяет её уклон ( :

- прямая плоскости, перпендикулярная кгоризонтали плоскости; по теореме о проецировании прямого углапроекции линии ската и горизонталей плоскости взаимно перпенди-кулярны, так как горизонтали параллельны плоскости проекций ).Через точку на рис. 12.1 проведена проекция линии скатаплоскости . Её горизонтали градуируют проекцию линии ската, ко-торая поэтому является масштабом уклона плоскости ( ).

3. определяетсяуглом наклона к ней линии ската плоскости. Для нахождения угла

можно построить профиль какого-то отрезка линии ската (на рис.12.1 построен профиль отрезка линии ската плоскости ).

4. - расстояние между соседними проек-циями её горизонталей с отметками, отличающимися на единицудлины. Поэтому интервал наклона плоскости равен интервалу еёлинии ската. На рис. 12.1 обозначен интервал плоскости .

.Уклон можно подсчитать по одной из формул: или .

.

Масштаб уклона (падения) плоскости

напоминаниелиния ската плоскости

Угол наклона плоскости к плоскости проекций

Интервал плоскости

Уклон плоскости определяется уклоном её линии ската

Плоскость имеет спуск (уклон) в направлении линии скатаплоскости от горизонталей с большими отметками к горизонталям сменьшими отметками

nn

B

n n h

[2,7] [2,7]

l

i i=tg i=1/li

i 4

2

Ï

i

i

Масштаб уклона определяет положение плоскости в пространстве.Следовательно, плоскость на чертежеможет быть задана масштабом уклона(рис. 12.2). Такую плоскость обозначают

-

.(n )Поскольку направления уклона

(спуска) плоскости и линии ската совпадают, то

, обозна-чаемым штрихом ( ), указы-вающим спуск плоскости. На рис. 12.3проекцией горизонтали с отметкой, бергштрихом и уклоном

задана плоскость .

-

h12 i =1:2

(h, , i )

плоскость может быть заданаодной своей горизонталью, уклономплоскости и его направлением

бергштрихом

i0 2 4ì

Рис. 12.2

n i

h12

Áåðãøòðèõ

Рис. 12.3

0 2 4ì

910

1112

12

15

На рис. 12.4 плоскость задана горизонталью , уклоном5Ãи его направлением. Для градуи-рования плоскости перпендику-лярно проекции горизонталистроят проекцию линии ската,градуируют её с интервалом

, получая масштаб укло-на плоскости . Затем черезточки, полученные при градуиро-вании линии ската, параллельнопроекции горизонтали прово-дят проекции горизонталей , ,плоскости.

5

l ==1/i =3

n

56 4 3

Ã

ÃÃi

ì

0 2 4ì

3

4

5

6

Рис. 12.4

5 Ã

N

S

Íàïðàâëåíèåïðîñòèðàíèÿ

n iÃ

При решении ряда инженерных задач необходимо ориентиро-вать плоскость относительно меридиана Земли.

считают левое направление её горизон-талей при взгляде на плоскость вдоль линии ската в сторонуубывания её отметок (рис. 12.4). Угол между северной стороноймагнитной стрелки компаса и направлением простирания,измеренный против часовой стрелки, называется

. Угол простирания плоскости и её уклон определяютположение плоскости относительно сторон света.

Рассмотрим задачу на принадлежность точки плоскости.Плоскость задана масштабом уклона (рис.

12.5). Определить высоту точки и проверить, принадлежит литочка , заданная своей проекцией .

Направлениемпростирания плоскости

углом простиранияплоскости

ПРИМЕР 12.2. nA

D Dплоскости

ÃÃ

2,8

0 1 2 3ì

Рис. .512

n iÃ

A

B

D2,8

B

D

A

CC

П р о в е д е м п р о е к ц и игоризонталей плоскости черезточки деления масштаба уклона

перпендикулярно последнему.Точка принадлежит плоскости,если она принадлежит прямойэтой плоскости. Ч

проведем проекцию прямой( ) плоскости , пересекающуюпроекции её горизонталей сотметками и в точках исоответственно. Строим профильпрямой

n

B,C

B C

ерез точкии

( ) и профильную

DA

1 5

B,C

Ã

1

5

51

iÃ

iÃ

?

?

Ã

2,8

проекциюО определена .

, если у них одинаковые углы про-стирания и уклоны. Другой признак параллельности плоскостей: двеплоскости параллельны, если параллельны их горизонтали,одинаков уклон плоскостей и совпадает его направление.

D точки . Так как , то и .тметка по точке профиля ( )

D D (B,C) D B,C DA B,C

( )

Две плоскости параллельныAH

Ã

12.2. Задание конической поверхностиПри проектировании поверхностей искусственных земляных

сооружений часто используется коническая поверхность вращения свертикальной осью, называемая также прямой круговой коническойповерхностью, прямым круговым конусом или просто конусом враще-ния. Эта поверхность может быть образована вращением прямой(образующей) вокруг пересекающей её оси и описана формулой

tj

, где - буква, обозначающая поверхность.Точка пересечения образующей и оси конической поверхностиявляется её вершиной. Любое сечение этой поверхности плоскостью, перпендикулярной оси вращения, есть окружность.

{t(t,j;t j)(t =t j)}

-

Сечения поверхности горизонтальными плоскостями называют. Горизонталями конической поверхности

вращения при вертикальном положении её оси являются окружностис центрами на этой оси. На плоскость проекций они проецируются вконцентрические окружности, а ось вращения и вершинаповерхности - в одну точку, центр этих окружностей (рис. 12.6).

горизонталями поверхности

Построение горизонталей поверхности отметками, выражен-ными целыми числами, отличающимися на единицу длины, называет-ся . Радиусы проекций соседних

c

градуированием поверхности

Ô i Ô

горизонталей, градуирующих по-верхность конуса вращения,отличаются на величину интервала

поверхности, равного интервалуеё образующей. Горизонтали,

градуирующие поверхность, гра-дуируют и все её образующие.Градуированная проекция любойобразующей является

, а сама образующая -линией ската поверхности.

ll

tмасштабом

уклона n Ôi

Ô

Рис. 12.6

V3

h

n iÔ

0 2 4ìt

j

0

1h

h2

16

3,6 ì

A

B

D

Ô

a

h1

2

3

0h

h

h

17

На рис 12.6 показаны проекции вершины коническойповерхности вращения и градуирующих её горизонталей , , ,а также проградуированная проекция какой-то образующейповерхности, являющейся масштабом уклона поверхности.

Поверхность конуса вращения с вертикальной осью можетбыть задана проекцией её вершины с числовой отметкой имасштабом уклона (рис. 12.7, ), но чаще вместо масштаба уклона

V jh h h

tn

азадают уклон образующихповерхности и направле-ние их спуска (рис. 12.7, ). Вэтом случае для построениямасштаба уклона поверхнос-ти через проекцию вершиныпроводят проекцию любойобразующей и градуируют еёс интервалом, соответствую-щим заданному уклону.

iб

0 2 4ì 0 2 4ì

6

n iÔ

Và) á)

6V

12 0

3

iÔ

Рис. 12.7

Пусть по кривой перемещается вершина прямого круговогоконуса с вертикальной осью, последовательно занимая положения, , ,... (рис.12.8, ). Поверхности и , огибающие образующий

конус во всех его положениях, называются поверхностями равногоуклона. Линия ската каждой из этих поверхностей, проведеннаячерез любую точку направляющей , совпадает с той образующейконуса, по которой огибающая поверхность касается конической.

a

A B D

a

а

12.3. Поверхность равного уклона

Ô

Рис. 12.8

à) á)

Ô

18

Поэтому образующей поверхности равного уклона может бытьпрямая линия и поверхность отнесена к линейчатым.

- это линейчатая поверхность, образующая которой,перемещаясь по направляющей, имеет постоянный угол наклона кгоризонтальной плоскости и является линией ската поверхности.Такую форму имеют, например, поверхности откосов насыпей ивыемок на подъемах и спусках криволинейных участков дорог (рис.12.8, ). Каждая горизонталь поверхно ти равного уклона представ-ляет собой огибающую окружностей - горизонталей конусов,расположенных в одной горизонтальной плоскости.

На рис. 12.9 и 12.10 приведены чертежи поверхностей равногоуклона с различными направляющими , направ-лением в сторону от .

На рис. 12.9, направляющая поверхности равного уклона -пространственная кривая с точками , и на ней. Передградуированием поверхности в эти точки помещают вершинывспомогательных круговых конусов и сначала градуируютконические поверхности. Для этого строят проекции их горизонта-лей - окружности, проводимые из точек , и радиусами,кратными интервалу . Линии, огибающие проекции гори-зонталей конических поверхностей с одинаковыми отметками,являются проекциями горизонталей поверхности равного уклона.Также строят проекции горизонталей поверхности равного уклона вслучае, когда направляющая кривая расположена в вертикальнойплоскости.

Поверхностьравного уклона

б

а

с

уклоном и егоa

a A B C

A B Cl=1/i=2

i=1:2a

a

A

C

1

3

2

0

0 2 6 ì4

1 B2

21 0

0 84 ìa9

978

6

B

A

C

678

Рис. 12.9

à) á)

ì1 32

19

Если направляющая кривая лежит в горизонтальной плоскости,то она сама есть одна из горизонталей поверхности равного уклона.На рис.12.9, направляющей поверхности является горизонтальнаякривая с отметкой . Проекции горизонталей поверхности строи-лись как на рис. 12.9, , только точки , и , имеющие одинаковыеотметки, брались на произвольно.

б

аa 9

A B Ca

На рис. 12.9, и 12.9, заданы по две поверхности равногоуклона, расположенные с разных сторон от направляющей , покоторой они пересекаются. Проекции горизонталей в обоих случаяхпредставляют собой эквидистантные кривые: расстояния междупроекциями смежных горизонталей в направлении общей нормали кним всюду одинаковы.

а бa

Когда направляющая поверхности являетсявинтовой линией, поверхность равного уклона становится винтовой(см. раздел 12.4). Если направляющей поверхностей равного уклонаслужит прямая, то эти поверхности представляют собой две пересе-кающиеся по направляющей прямой наклонные плоскости и .Их задают проекциями горизонталей или масштабами уклона(рис. 12.10).

рис. 12.10, ( )- горизонтальная прямая,поэтому масштабы уклона плоскостей и перпендикулярны , апроекции их горизонталей параллельны и расположены друг отдруга на расстояниях, кратных интервалу плоскостей.

На направляющаяа a aa

aS Ã

Ã

Рис. 12.10

n i

7

6

5

4

Ã

n i

a

0 1 2 4ì30 2 4 ì6

n iÃ

a7

n i654 6 5 4

à) á)

На рис. 12.10, направляющая прямая , проекция которойпроградуирована, занимает общее положение. Для градуированияплоскости в точку прямой , например, с отметкой помещаливершину вспомогательного конуса и градуировали его поверхность,

б a a

a 7

7

7

7

20

проводя проекции горизонталей радиусами, кратными интервалуплоскости . Чтобы построить проекцию горизонтали плоскос-ти с отметкой , из проекции точки направляющей с отметкойпроводили касательную прямую к проекции горизонтали конуса стой же отметкой. Проекции других горизонталей плоскости строи-лись аналогично. Масштаб уклона плоскости перпендикулярен кпроекциям её горизонталей. Градуирование плоскости выполня-лось несколько иначе. Сначала были построены по одной проекциигоризонталей конической поверхности и плоскости , имеющиходинаковую отметку, например, . Затем перпендикулярно проекциигоризонтали плоскости строился её масштаб уклона , через точкиделения которого проводились проекции других горизонталейплоскости, параллельные между собой.

l=26 a 6

n

6n

ì

i

Ã

iÃ

12.4. Винтовые поверхностиНа рис. 12.11 дано наглядное изображение съезда с путе-

провода, являющегося элементом транспортной развязки напересечении двух автодорог, проложенных в разных уровнях. Приотсутствии поперечного уклона дорожного полотна съезд ограниченповерхностью прямого закрытого геликоида, а откосы насыпи -поверхностью косого открытого геликоида. Эти винтовыеповерхности наиболее часто используются при проектированииинженерных земляных сооружений.

Ô

Рис. 12.11

Ô

a Ýâîëüâåíòà

k

b

l

it

i

Ã

j

21

0 2 4ì

Рис. 12.12

jt

10

01

5

4

a

b 4

5

3

3

5

2

21

0

2

t

k

k j

t

и под прямым углом её ось .Поскольку ось у используемого вдорожном строительстве геликоидазанимает проецирующее положение,то его образующие являются горизон-талями. Три образующие геликоида ,одна их которых , изображены нарис. 12.11. Для лучшего пониманияобразования поверхности дорожногополотна на съезде на рис. 12.12 впроекциях с

j

числовыми отметками

Косой (наклонный) открытый геликоид на рис. 12.11 яв-ляется поверхностью равного уклона, направляющая которойпредставляет собой цилиндрическую винтовую линию свертикальной осью . Формула этого геликоида имеет вид:

kj

{l(k)(l k)} l. Согласно ей прямолинейная образующая при обра-i i

зовании поверхности движется, касаясь направляющей во всех еёточках (обкатывая её). На рис. 12.11 показаны три образующиекосого открытого геликоида, одна из которых обозначена . Иногдауказанный геликоид называют эвольвентным, так как онпересекается плоскостью, перпендикулярной оси винтовой линии,по эвольвенте. Проекции горизонталей эвольвентного геликоидастроят, как показано на рис. 12.9, .

k

l

j

а

i

Прямолинейные образующие прямого закрытого геликоидапересекают цилиндрическую винтовую линию{t(k,j)(t k; t j; t j)}Ô i i i

Ô

дан основной чертеж отсека геликоида, линиями обреза которогоявляются винтовые линии , и образующие , . Образующиегеликоида, имеющие высоту , , , , , , градуируют отсек егоповерхности и дуги винтовых линий и .

b a t t0 1 2 3 4 5

b aì

1 2

12.5. Топографическая поверхность

Топографическая поверхность является геометрическимобразом Земли и относится к незакономерным поверхностям, неимеющим геометрического закона образования. Поэтому топографическую поверхность (рельеф местности) представляютдискретным каркасом её горизонталей (планом местности).

-

i

22

Эти горизонтали являются результатом сечения поверхности землигоризонтальными плоскостями, взятыми по высоте через одинаковыерасстояния, называемые шагом сечения. зависит от мас-штаба чертежа и рельефа местности, в учебных работах он равен 1 м.

Шаг сечения

На рис 12.13 в проекциях с числовыми отметками показанотсек топографической поверхности. Анализ формы горизонталей и

0 20 40 ì60

124 6 7 85

11

12

1110

109

987

65

6,5

Áåðãøòðèõ8910

11,4

12,7

Рис. 12.13их числовых отметок показывает, что на чертеже изображена

(неровность земли, расположенная выше окружающейместности) с двумя , отметки которых равны и .Боковые поверхности возвышенности называют , авозвышенность между двумя вершинами - . Неровностьземли, расположенную ниже окружающей местности, называют

(впадиной), низшую часть котловины - , её боковыеповерхности - . Каждую пятую горизонталь рекомендуетсяобводить более толстой линией.

возвы-шенность

вершинамисклонами

седловиной

котловиной дномщеками

11,4 12,7ì ì

При необходимости на чертеже, расстояние между которыми по высоте

равно половине или четверти шага сечения. Такие горизонталиназывают соответственно (полугоризонталь сотметкой на рис. 12.13) или .

штриховой линией изображаютпромежуточные горизонтали

полугоризонталямичетвертными6,5

, указывающие направление ската поверхности,позволяют быстрее оценить форму рельефа местности по чертежу.

Бергштрихи

Любая линия на топографической поверхности градуируетсягоризонталями этой поверхности. На рис. 12.14 проекцию линииградуируют точки , и . Обычно дуга кривой линии топо-графической поверхности, соединяющая точки двух смежныхгоризонталей, аппроксимируется отрезком прямой. Так, проекцию

k kD E F

k

ì

16 15 14

23

дуги топографической поверхностиаппроксимируют отрезки и

. При этом считается, чтоуклон и интервал дуги кривой равенуклону и интервалу аппроксимирую-щего отрезка.

k[F ,E ]

[E ,D ]

14

15

16

A?

0 1 2ì

AB15

B

C14 C

k

D16

E

F

15

14Рис. 12.14

14 15

15 16

M

Отметку точки линии топографической поверхности, проек-ция которой расположена междупроекциями горизонталей, определя-

M k -

M

ют приближенно (см. определениеотметки точки на рис. 11.18).M

Пусть требуется найти отметку точки топографическойповерхности, проекция которой задана. Проведем через произ-вольный отрезок , концы и которого расположены напроекциях ближайших горизонталей. Из положения проекции точкии характера рельефа окружающей местности следует, что отметкаточки лежит в пределах ... . Построим профиль отрезкаи найдем на нем проекцию точки : . Чтобы определить, накакую величину отметка точки больше отметки точки , достаточно при построении профиля отложить от точки в направлении, перпендикулярном , превышение отрезка , равное . Измерив с учетом вертикального масштаба отрезок ,получаем, что его длина примерно соответствует и отметка точкиравна . На рис. 12.14 вертикальный масштаб равен линейному

(горизонтальному) масштабу плана.

AA

A

A 14 15 [B,C] [B,C]A A A [B,C]

A 14 C[B,C] B

[B ,C ] [B,C]1 [A ,A]

0,4A 14,4

A[B ,C ] B C

---

? ?

15 14 15 14

?

ì

ì

15

15 14ì ?

ìì

??

На рис. 12.14 показано также приближенное построениепроекций промежуточных горизонталей при относительно спокой-ном изменении рельефа. Для этого между проекциями горизон-талей с отметками и проведено несколько отрезков,разделенных на равные части (в нашем случае на 4). Соединяясоответствующие точки деления отрезков, получают проекциичетвертных горизонталей с отметками ; и .

Крутизна топографической поверхности в данной точке равнауглу наклона касательной к в этой точке. Соответствен-но уклон линии ската в данной точке поверхности определяет уклонповерхности в той же точке. Линия ската топографической поверх-ности перпендикулярна её горизонталям.

15 16

15,25 15,5 15,75

линии ската

ì

ì ì

24

называется такая линия на топогра-фической поверхности, интервал которой на всем её протяженииявляется постоянной величиной. Существует несколько способовприближенного построения линии ската и линии равного уклонатопографической поверхности , .

Линией равного уклона

[4] [6]

12.6. Градуирование (задание) поверхностей откосовземляного полотна автомобильной дороги

Откосы земляного полотна автомобильной дороги ограниченыповерхностями равного уклона. Их направляющей является бровказемляного полотна дороги. -линия пересечения земляного полотна с откосом насыпи, выемки (приотсутствии кювета) или кювета. Поверхности откосов задаются начертеже проекциями их горизонталей, отметки которых для насыпи внаправлении от бровки убывают, а для выемки возрастают. На рис.12.15 заданы поверхности откосов с уклоном ( ) для различ-ных участков дорог, проходящих в выемке без кюветов.

Бровка земляного полотна (дороги)

i=1:1 l=1

1. Прямолинейный участок, продольный уклон (рис. 12.15, )i=0 аВ этом случае бровка дороги - горизонтальная прямая, а

поверхность откосов - наклонная плоскость. Проекции её горизонта-лей параллельны проекции и расположены друг от друга на расстоянии, кратном интервалу плоскости.

a

a -5

ì

2. Прямолинейный участок, продольный уклон (рис. 12.15, )i=0 бЗдесь бровка - прямая общего положения, поверхность отко-

сов - наклонная плоскость, проекции горизонталей которой строятся спомощью вспомогательных конусов (рис. 12.10, и пояснения к нему).

a

б3. Криволинейный участок, продольный уклон i=0Если бровка - дуга окружности или близкой к ней по форме

кривой, то поверхность откоса - это поверхность прямого круговогоконуса. Проекции её горизонталей являются концентрическимиокружностями с центром в проекции вершины конуса (рис. 12.15, ).Для откосов насыпи вершина конуса направлена вверх, а дляоткосов выемки - вниз.

Если бровка - некая горизонтальная кривая (рис. 12.15, ),то проекции горизонталей поверхности равного уклона представляют собой эквидистантные кривые, которые проводят касательно кпроекциям горизонталей вспомогательных конусов (рис. 12.9, ипояснения к нему). Также строят проекции горизонталей откосов вслучае, когда бровка дуга окружности, центр которой недоступен.

a

a-

a

в

г

б

-

25

0 2 4ì

Îñü äîðîãè

5a

6

87

Îñü äîðîãè

a6 875

+5,00

+5,00

6

87

5a

5aD

BA

C

8

à) á)

â)ã)

ä)

Рис. 12.15

Здесь бровка - пространственная кривая. Проекции горизонталей поверхности откосов также строят с использованием вспо-могательных конусов (рис.12.9, и пояснения к нему). Уже отмеча-лось, что если - цилиндрическая винтовая линия, то поверхностьюоткосов является косой (наклонный) открытый геликоид (рис. 12.11).

a

a

-

а

4. Криволинейный участок, продольный уклон (рис. 12.15, )i=0 д

+5,00

26


ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

13.1. Главные позиционные задачи

В первой части пособия на многокартинном комплексном чер-теже уже рассматривались главные позиционные задачи (ГПЗ):1ГПЗ - задача на пересечение линии и поверхности; 2ГПЗ - задачана пересечение поверхностей. Эти задачи решались согласно тремалгоритмам, каждый из которых соответствует одному из трехвозможных случаев расположения пересекающихся геометрическихобразов (ГО) относительно плоскости проекций: - обапересекающихся ГО проецирующие; - один пересекающийся ГО проецирующий, а второй нет; - оба пересекающихсяГО не являются проецирующими.

1 случай2 случай3 случай

-

Конструктивные особенности поверхностей искусственных со-оружений, изображаемых в проекциях с числовыми отметками, предо-пределяют в основном третий, а также второй случай расположенияпересекающихся ГО относительно горизонтальной плоскости .

13.1.1. Решение 2ГПЗ (2 случай). Профиль поверхности

Во 2-ом случае 2ГПЗ пересекаются две поверхности, одна изкоторых занимает проецирующее положение. Алгоритм решения:

1. Проекция линии пересечения на чертеже задана и её толькообозначают: она принадлежит основной проекции проецирующейповерхности в силу собирательного свойства этой проекции.

2. Из условия принадлежности линии пересечения непроеци-рующей поверхности на проекции этой линии находят и обозначаютпроекции точек с числовыми отметками, необходимые для заданияили представления линии пересечения на чертеже. Указанныепроекции точек - точки пересечения проекций горизонталейнепроецирующей поверхности с проекцией линии пересечения.

Согласно алгоритму при пересечении проецирующей инепроецирующей поверхностей последнюю удобно задавать(представлять) её горизонталями.

Построить линию пересечения плоскости общегоположения ( ) и проецирующей плоскости ( ) (рис. 13.1).

ПРИМЕР 13.1.ABD

Пусть плоскости пересекаются по прямой : . Проекцияуже известна: . Для задания прямой на её

a a=a a a a

ÃÃ

Ï

Ï

27

проекции находят проекцииточек , и их числовые от-метки: , ,где , - проекции горизон-талей плоскости . С градуи-рования стороны , ипостроения проекций ирекомендуется начать реше-ние примера.

aE FE =h a F =h a

h h

[A B]h h

0 2 4ì

4

6

5

3

A

D

B

h Ã

2

4

7

4

h Ã2

E

F

4

2

aÃ4 24 2

Ã

2ÃÃ

4Ã

Рис. 13.1проецирующей

(профильной) . Профиль уточняетформу участка поверхности, попавшего в секущую плоскость. Припостроении профиля поверхности поверхность удобно задаватьгоризонталями. Задача на пересечение проецирующей плоскости снепроецирующей поверхностью является составной частью задачина построение профиля этой поверхности.

Фигура сечения поверхности вертикальнойплоскостью называется профилем

Построить профиль топографической поверх-ности , соответствующий профильной плоскости (рис. 13.2).

ПРИМЕР 13.2. pÏ

Сначала строится линия пересечения . Проекция начертеже задана: . Одновременно , поэтомулинию пересекают горизонтали топографической поверхности,проекции которых градуируют проекцию . Таким образом, линияпредставлена на чертеже проекцией и градуирующими её

p= pp p p

pp pp

проекциями точек с отметками , , , , , , , и .18 19 20 21 22 22 21 20 19

Ï

Профиль топографической поверхности , соответствующийпрофильной плоскости , - это плоская фигура, ограниченная про-филем линии .p p=

Для определения координат точек профиля в плоскостиpвыбирается

. Числовая отметкабазовой горизонтали зависит от формы сечения, например,рельефа участка местности и инженерных сооружений на нем.

базовая горизонталь профиля, которую называют базойпрофиля и обозначают(основанием) b HbHb

Чтобы получить профиль , плоскость с линией совмеща-ют с плоскостью чертежа. При построении егооснование совмещают с основной проекцией плоскости : , апри выполнении основание располагаютпроизвольно на поле чертежа. В примере базовая горизон

p p

bb

-

S

S Sналоженного профиля

вынесенного профиляHb

Hb

2ÃÃ

4

28

Координата определяется берущимся с плана расстояниемот точки до некой начальной точки на или и соот-

ношением линейного масштаба плана и горизонтального масштабапрофиля. В примере , а указанные масштабы равны и .На базе выбирают начало отсчета точку и откладывают отнеё по координату , получая точку , задающую положение

профиля по его ширине (длине). На рис. 13.2 точки инаходятся в проекционной связи, и .

LL K N p

L =Lb N

b L KN

N L =L =0 N A

N A

K pточки

Координата - высота точки профиля и , где -числовая отметка точки . Отложив с учетом вертикального масшта-ба от точки в перпендикулярном к базе направлении,находят профиля. В примере , , .

H H =H -Hb HK

H K bH =20-18=2 H =0 A Aточку

K

KТакже строят профиля и проводят через них

плавную кривую - профиль линии .другие точки

p p=

Hb

18

A

K

K 20

K K

18 b

18

K

b A A b

K K

K

K ì

0 2 6ì4

b (b )

p

Ê

N Ab N A

p

18

18

Ê

Рис. 13.2

20Ê

A

таль имеет отметку ,основание профиля

18

b p

p

и профиль на-ходится в проекционнойсвязи с проекцией .

Параллельно базе(на рис. 13. 12 это

) проводят другиегоризонтали профиля.Расстояние между со-седними горизонталямиравно единице верти-кального масштаба,который в отдельныхслучаях может отли-чаться от горизонталь-ного.

bb

В общем случаепрофиль - кривая линия, аппроксимирующая

p -

точки профиля - профильные проекции градуирующих точек.pНайдем точку профиля с отметкой , которую строят по

горизонтальной координате и вертикальной координате .K p 20

L HKK

18

K K

18

18

Hb

На рис. 13.3 построена линия пересечения топографичес-k

29

кой поверхности с проеци-рующей цилиндрической поверхностью , заданной своейосновной проекцией . Линия

представлена на чертежепроекцией и проекциямиточек, в которых пересекает-ся с проекциями горизонталейтопографической поверхности.

-

kk

k

7

89

78

0 2 4ì

N A

ÊD

Ô k

C7

89

B8

7

ÔÔ

Ô

13.1.2. Решение 2ГПЗ (3-й случай)Решение 2ГПЗ в 3-м случае (пересекаются две непроецирую-

щие поверхности) основано на положении: линия пересечения двухповерхностей есть геометрическое место точек пересечения иходноименных горизонталей (горизонталей с одинаковыми отметка-ми). Алгоритм решения задачи следующий:

Рис. 13.3

1. Градуируют пересекающиеся поверхности, строя их горизонтали, если они не заданы.

2. Строят точки пересечения одноименных горизонталейповерхностей.

3. Через построенные точки проводят линию пересеченияповерхностей (её проекция градуируется проекциями точек

пересечения одноименных горизонталей ).При необходимости определяют видимость линии пересечения

и пересекающихся поверхностей относительно .

-

счисловыми отметками

ÏПостроить линию пересечения плоскостей ,

заданной , и , заданной масштабом уклона (рис. 13.4, ).ПРИМЕР 13.3.

ABD n аДве плоскости пересекаются по прямой линии, следовательно,

в примере достаточно построить две точки, принадлежащие этойпрямой.

После градуирования плоскости (процесс градуирования нарис. 13.4, не показан) проводят проекции и её горизонталейдо пересечения их с проекциями и горизонталей плоскости

а h hh h Ã

E =h h F =h h a E Fв точках и . Прямая , - проекциялинии пересечения плоскостей и .

iÃ

Ã

6 4Ã Ã

6 4

6Ã

66 4Ã

44 6 4

Ã

Для определения видимости возьмем проекции M N ==h h M N N

Ma

конкурирующих точек и . Точкаплоскости выше точки с отметкой плоскости . Поэтому частьтреугольника левее линии пересечения видна, а правее - не видна.

с отметкой 64

4 6

64Ã Ã

Ã

30

0 2 4ì

B

N M

FA

a

4

6

5

346

7

6

D

E6

4

n iÃ

N

M7

n iÃ

a

Рис. 13.4

à) á)

На рис. 13.4, построена линия пересечения плоскостей ,заданной масштабом уклона , и , заданной проекцией гори-зонтали, и его направлением. После построениямасштаба уклона плоскости ( , ) линию пересече-ния плоскостей проводят через точки и .

б an h

n n h l =2a M=h h N=h h

уклоном i =1:2

Плоскости с параллельными масштабами уклона пересекают-ся по горизонтали. Так, на рис. 13.5, плоскости и пересекают-ся по горизонтали с отметкой . Проекция горизонтали проходитчерез точку пересечения прямых линий, соединяющих две парыпроекций точек с одинаковыми отметками, но расположенных налиниях ската разных плоскостей. Отметка линии пересеченияопределена приближенно.

а6,2

6,2

Ã

Ã

iÃ

i

iÃ

107

Ã7

Ã7 Ã ìÃ

7Ã

10Ã

n iÃ n i5

6

5

67

8

7

h6,2

n i

4

6

7

8

9

5

A

B

C

D

E

F

5

6

7

8

9

4

à) á)

0 1 2 3ì

Рис. 13.5

p

0 1 2 3ì

Ã

На рис. 13.5, показано построение линии пересеченияплоскости , заданной масштабом уклона , с поверхностью ,представленной проекциями её горизонталей. Проекция прохо-дит через точки , , , ... пересечения проекций одноименныхгоризонталей плоскости и поверхности . Указанные проекцииточек с числовыми отметками градуируют проекцию линии .

Построение линий пересечения поверхностейоткосов.

На рис. 13.6 дана горизонтальная строительная площадка сотметкой и аппарель, выполненные в насыпи, так как они распо-ложены выше окружающей плоской горизонтальной местности,имеющей отметку .

- наклонный прямолинейный или криволинейныйвъезд или съезд .

её бровки. Уклон откосов насыпи на участке левееточки , на остальных участках сооружения уклон .

Поверхности откосов насыпи на участках между точками и ,и , и плоские, между точками и имеют коническую форму,

на аппарели - ограничены поверхностью равного уклона, направ-ляющей которой является бровка . Как уже отмечалось, линияпересечения

смежных откосов приступают

линии пересечения плоского откоса с поверхностью равногоуклона проводится через точки пересечения проекций соответствую-щих горизонталей этих поверхностей.

Плоскость, не проходящая через вершину конической поверх-ности, пересекает её по кривой второго порядка . Плос-

б pn

pA B C

p p

15

12

aB i=1:1,5 i=1:1

A BC D D E B C

a

kk

ПРИМЕР 13.4.

Аппарель

Горизонтальная площадка задана на чертеже проекцией еёконтурной линии (бровки), состоящей из половины дуги окружностии отрезков прямых линий, а аппарель - проградуированнойпроекцией

(участок дороги с продольным уклоном)

(рис. 13.7)кость и коническая поверхность пересекаются по эллипсу, если ук-лон плоскости меньше уклона конической поверхности ( ); попараболе, если уклон плоскости и конической поверхности одина-ковы ( ); по гиперболе, если уклон плоскости больше уклонаконической поверхности ( ). Соответственно плоский откос

поверхностей определяется точками пересечения иходноименных горизонталей. Поэтому к построению линий пересече-ния поверхностей осуществив их гра-дуирование (см. раздел 12.6). После этого, например, проекция

,

a b

a ba b

=

9 8 7

31

i

0 2 4ì

32

+15,00

+12,00

Ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿñìåæíûõ îòêîñîâ

Ýëëèïñ

Ïàðàáîëà

Êðèâàÿ ëèíèÿ

Ãðàíèöû çåìëÿíûõ ðàáîò(ïîäîøâû îòêîñîâ íàñûïè)

Рис. 13.6

Ïðÿìàÿ ëèíèÿ

+12,00

+15,00

in

n iÃ

in

ak

A

B

C

D

E

Ã

Рис. 13.7

Ô

( ) пересекает коническую поверх-ность по параболе, а плос

i=1:1кий откос

( ) - по эллипсу (рис. 13.6).Поскольку плоские откосы и

имеют одинаковый уклон, то прямая,проекция их линии пересечения,является биссектрисой угла междупроекциями горизонталей этих откосов.

Заметим, что совокупность проек-ций горизонталей поверхностей откосовс отметкой представляет собой проек-

i=1:1,5

12

Ã

Ã

Ïîâåðõíîñòü çåìëè ñ îòìåòêîé 12

33

цию линии пересечения откосов с горизонтальной (плоской)поверхностью окружающей местности, имеющей такую же отметку.Эта линия пересечения называется иявляется здесь .

подошвой откосов насыпиграницей земляных работ

Градуируем плоскость , строя проекцию горизонталиh ,

13.1.3. Решение 1ГПЗ (3-й случай)В 3-м случае 1ГПЗ пересекаются непроецирующие линия и по-

верхность. Общий алгоритм решения задачи:1. Линия заключается во вспомогательную поверхность: пря-

мая линия заключается во вспомогательную плоскость, криваялиния - во вспомогательную цилиндрическую поверхность.

2. Строится линия пересечения данной поверхности и вспомо-гательной.

3. Искомые точки - точки пересечения данной линии и построенной.

-

При решении 1ГПЗ-3 следует проградуировать поверхность(если она не проградуирована), а при необходимости и линию.

Построить точку пересечения прямой ( ) иплоскости ( ).

ПРИМЕР 13.5. K A,BCDE

1. Вариант решения на рис. 13.8.

а затем проекции горизонталей h C h h и h(процесс градуирования отрезка не показан).[ ]C,E

5 6 95 5

0 2 4ì

A

B

CD

E

5

6

7

8Ã

M

N

Ê

9 Q

6

5

9

9

5

h

h

9

Ã5

Рис. 13.8

Заключаем прямую ( ) в плос-кость общего положения , задаваяеё проекциями параллельных гори-зонталей и , направ-ление которых выбрано произвольно,но так, чтобы эти проекции пересекалипроекции и горизонталейплоскости в пределах чертежа.

Строим проекции точек;

A,B

h B h A

h h

M ==h h N =h h

M ,NM,N

и проводимчерез них проекцию прямой ( )- проекцию линии пересечения ( )плоскостей и .

Точка -проекция точки пересеченияпрямой ( ) и плоскости .

K =(M ,N ) (A ,B )K

A,B

6

Ã

Ã5 5 9

Ã9

5 9

9Ã9 9

Ã55 5

9 5

Ã

59 9 5

E h h9 9 6

D6

ние профиля . Профили и жены в проек-ционной связи с проекциями и .

b [A,B][A ,B ] [G ,T ]

Ã [G,T] располо

34

Для определения видимости прямой ( ) относительно плос-кости рассмотрим конкурирующие точки и ( ). Точка

прямой имеет отметку , а точка плоскости - отметку меньше

A,BA Q A Q

A 9 Q 5S 9Ï

(учитывая уклон плоскости ). Поэтому участок прямой рас-положен над плоскостью и виден относительно .

SS

(A,K]

2. Вариант решения на рис. 13.9.Заключим прямую

( ) в проецирующуюA,B

Ï

плоскость , пересекаю-щую плоскость попрямой ( ): ( );

и

ÃS

G,T A ,BG = h T = h(процесс градуированияплоскости на рис. 13.9не показан). Строим про-филь отрезка прямой( ) и профиль от-резка прямой ( ), распо-ложенных в профильнойплоскости . Её горизон-таль с отметкой вы-бираем базовой горизонталью и проводим основа

[A,B]A,B [G,T]

G,T

Hb=5Ã

--

ÃÃ 6

Ã 9

9 6

0 2 4ì

A

B

C

D

E

5

6

7

8

Ê

9 6

9

5

Рис. 13.9

G

T

Ê

A

B

T6

Ã

G9

5

Точка - точка пересечения ( ) и ( ).Проекция найдена на ( с помощью линии проекционнойсвязи ( ). и - проекции точки .

K=[A,B] [G,T] A,B G,TK A ,B

K,K K K K=(A,B)

профилей)

S

69

9 5

9 5

5

9

Чтобы построить точку пересечения прямой ( ), заданнойпроекцией с топографической поверхностью ,градуируем прямую (эти построения на рисунке не показаны) изаключаем её в плоскость общего положения . Для этого черезточки , , , , проводим проекции параллельных горизонталейв произвольном направлении, но таком, чтобы они пересекалипроекции горизонталей поверхности в пределах чертежа. Отме-тив точки пересечения проекций одноименных горизонталей

K A,B

A 3 4 5 B

( ), (рис. 13.10, )A ,B аW

W

плоскости и поверхности , соединим их плавной кривой ,Ã W k

Ã

2

62

6

35

0 1 2 3ì

à) á)A

B

C D2

62

3

4

6

5

k

Ê4

5

3

4

7

8

5

6

3

Ê

4

5

6

7

C D

k

p

Рис. 1 .103

Аналогично на рис. 13.10, построена точка пересечениякривой , представленной проекцией и проекциями градуирующихеё точек с отметками , , и , с топографической поверхнос-тью . Зададим цилиндрическую поверхность , направляющейкоторой является линия , а образующими - параллельныегоризонтали, проходящие через градуирующие её точки. Направле-ние горизонталей произвольное, но такое, чтобы проекции горизон-талей поверхностей и пересекались в пределах чертежа. Черезточки пересечения проекций одноименных горизонталей этихповерхностей проводим плавную линию - проекцию линиипересечения поверхностей и .

б Kp p

4 5 6 7

p

k k

W F

F W

F W K =k pp

- проекция точки пересе-чения кривой и поверхности .W

Видимость прямой ( на рис. 13.10, и кривой на рис.13.10, определялась с помощью конкурирующих точек и , изкоторых точка принадлежит соответственно прямой или кривой, аточка - поверхности . На обоих рисунках отметка точки линиименьше отметки точки , расположенной на горизонтали поверхнос-ти

. Поэто-му участки прямой ( ) и кривой , на которых бралась точка ,относительно не видны. Точка - граница видимости.

A,B pC D

CD C

D

A,B p CK

) аб

W

W (так, на рис. 13.10, отметка точки прямой ( ) лежит впределах ( ) , отметка же точки поверхности равна )

а C A,B2-3 D 6

ì

ì

Ï

являющейся проекцией линии их пересечения. -K =k (A ,B )проекция точки пересечения прямой ( ) и поверхности .A,B W

2 6

Прямая , перпендикулярная плоскости , перпендикулярна всем прямым этойплоскости, включая её линиюската (рис. 13.11). Тогда, еслилиния ската и, следовательно, плоскость наклонены кплоскости под углом , топерпендикуляр наклонен кпод углом ( ). В этом слу-чае уклон плоскости равен

, а уклон перпендикулярак ней равен .Таким образом, -

a

nn

a90 -

tga tg(90 - )=ctg

--

-

ii

i =1/i уклонплоскости и уклон перпенди-

36

13.2 Метрические задачиМетрические задачи подробно рассмотрены в первой части

пособия. Напомним, что к метрическим относятся задачи на определение расстояний, площадей, углов и т. д. Решение этих задачосновывается на решении двух задач, условно называемыхосновными метрическими задачами (ОМЗ).

-

13.2.1. Основные метрические задачи

1ОМЗ - задача на перпендикулярность прямой и плоскости,решаемая на чертеже с использованием признака перпендикуляр-ности прямой и плоскости, а также теоремы о проецированиипрямого угла. Согласно этой теореме

.

проекция перпендикуляра кплоскости перпендикулярна проекциям её горизонталей (параллельна масштабу уклона)

-

13

67

5

2

67

590 -

0

8a

n

in

Ê4

Рис. 13.11

ÏÏ

a

куляра к плоскости обратно пропорциональны, причем отметкиперпендикуляра убывают в направлении, обратном убываниюотметок плоскости (рис. 13.11). Естественно обратно пропорциональны и интервалы плоскости (интервал её линии ската) ( ) иперпендикуляра к ней ( ): .

Пусть требуется из точки ( ) плоскости , заданной масштабом уклона , провести к плоскости перпендикуляр (рис.13.12). Решение сводится к проведению проекции перпендикуляра, проходящей через проекцию точки параллельно

-

-

-

l ll l l =1/l

K Kn a

aK K

a

ïë

ïåð ïë ïåð

i

4

4

a

37

n l al

, определению интервала перпендикуляра и градуированию .Интервал можно подсчитать по формуле или найти графи-

чески следующим образом:

i a

a

0 1 2 3ì

la

90 -

l

Ê4

n i

a

A

DB

E

Рис. 13.12

1. Через произвольно взятуюна свободном поле чертежа точкупроводят отрезок , равныйединице длины согласно линейномумасштабу.

2. Через точку проводят отре-зок , длина которого равнаинтервалу плоскости , и соединяютотрезком прямой точки и .

3. Строят отрезок ,где .

4. Длина отрезка равнаинтервалу перпендикуляра .

При градуировании интервалоткладывают по проекции от точки

с учетом направления убывания

A[A,E]

E[E,B] [A,E]

lA B[A,D] [A,B]

D=(A,D) (E,B)[D,E]l

la

K

a

отметок перпендикуляра. Заметим, что в точке меняетсявидимость перпендикуляра относительно .

2ОМЗ - задача на определение длины отрезка (расстояниямежду двумя точками). Решение 2ОМЗ уже было рассмотрено.Длину отрезка ищут по правилу прямоугольного треугольника(пример 11.1) или при построении профиля отрезка (рис. 11.8 -11.11), по существу на реализации этого правила.

K

основанном

Ï

a

13.2.2. Определение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной отрез-ка перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость. Эторасстояние ищется согласно такому алгоритму:

1. Через точку проводят перпендикуляр к плоскости (1ОМЗ).2. Ищут точку пересечения перпендикуляра и плоскости (1ГПЗ).3. Определяют длину отрезка перпендикуляра (2ОМЗ).

Найти расстояние от точки ( ) до плоскос-ти , заданной масштабом уклона (рис. 13.13).

ПРИМЕР 13.6. M Mn i

8

4

M KH=H -H

M K ,K aK

M, = M,

, а точка профиля расположена на линии связи ( ) иудалена от точки на расстояние . Искомое расстоя-ние .S K

На рис. 13.14 найдено расстояние от точки ( ) до плоскос-ти , заданной точками , и . Сначала была проградуированаплоскость . Для этого соединили точки и , проградуировалиотрезок , разделив его на 3 части, через точку и проекциюточки отрезка с отметкой провели проекцию горизонталиплоскости, после чего параллельно построили проекции другихеё горизонталей. Затем перпендикулярно проекциям горизонталейпровели масштаб уклона плоскости и нашли её интервал .Далее повторяется ход решения примера 13.6.

M MA B D

B D[B ,D ] A

[B,D] 7 hh

n l

38

Последовательность выполнения примера:1. Строится прямая :

- проводят проекцию , ;- с помощью , построенного по интервалу плоскости иотрезку длиной , находят интервал перпендикуляра ;- используя и точку , градуируют проекцию прямой .

a M aa M a n

BCD l[C,N] 1 l a

l M a aì

8 i

a

a 8

2. Строится точка :K=a- прямую заключают во вспомо-гательную плоскость , задаваяеё на чертеже проекциями горизонталей , пересекающимив пределах чертежа предварительно проведенные проекции

a

h h

h

-

-

и горизонталей плоскости ;h- ищут прямую , проекцияb= bкоторой проходит через точки

и ;E =

=h h F =h h- находят проекцию точкии её отметку .

K =b aK H 6,7

3. Определяют длину M,Kотрезка , равную длине[M,K] M,Kего профиля . Точка профиля[M,K]

la l

DB

N

M 8

6,7Ê

hin

5

6

C

M

F

E

Ã

h Ã

0 1 2ì

a 5

6

M,K

Рис. 13.13

5Ã Ã

6

Ã

5

6Ã

5

5Ã

5Ã6 66

Ê

Ê ì

M

8 6,7

6,7

6 9

76 9

7

7

Ê

b

10

i

D

B

M 10

b

h

7

M

8,8Ê

E

Ã

h Ã

a 7

8

M,K

Рис. 13.14

39

0 1 2ìA

la l

N

C

GQ

6

98F

7

13.2.3. Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезкаперпендикуляра, проведенного из точки на прямую. Алгоритм реше-ния этой задачи:

1. Через точку перпендикулярно прямой проводят плоскость(1ОМЗ).

2. Ищут точку пересечения прямой и плоскости (1ГПЗ).3. Определяют длину отрезка между данной точкой и по

енной точкой пересечения (2ОМЗ).Найти расстояние от точки до прямой

, проходящей через точки и рис. 13.15).

-стро

(ПРИМЕР 13.7. M(M )

a(a ) A(A ) B(B )

0 1 2 3ì

N

C

GQ

A

B

h

6

5

7

4a

4

79M

M,KE

F

4

67

8

5

7

bÃ4

h Ã

h4

7h

M

Рис. 13.15

Ê

78

9

4 7

Ê5,4 Ê

la l

Последовательность выполнения примера:1. Задают плоскость , :M a

- градуируют проекцию прямой и определяют её интервал ,a a lесли не градуирована и интервал не задан (процесс градуи-рования на рис. 13.15 не показан);

a l

- построив прямоугольный по интервалу прямой и отрезкудлиной , определяют интервал плоскости;

QCG l[C,N] 1 l- строят масштаб уклона - градуированную проекцию линии скатаплоскости , проходящую через точку параллельно проекции .

nM a

2. Ищут точку :K=a- проекциями и параллельных горизонталей задают вспомо-гательную плоскость , проходящую через прямую ;

h ha

- строят прямую , проекция которой проходит через точкии ( и - построенные перпендикулярно

проекции горизонталей плоскости );

b= bE =h h F =h h h hn- находят проекцию точки и её отметку .K =b a K=a H 5,4

3. Определяют длину отрезка , равную длине егоM,K [M,K] M,Kпрофиля , который строится по правилу прямоугольноготреугольника как в примере 13.6.

[M,K]

40

a

a

aì

i

4 7ÃÃ

ÃÃ

4 7ÃÃ

4 74 7 4 7

iìÊ

13.2.4. Определение натурального вида плоской фигуры

В проекциях с числовыми отметками эта задача обычно реша-ется способом вращения плоскости фигуры вокруг её горизон-тали до положения уровня , когда фигуры плоскостипроецируются на в натуральную величину. Все точки повернутойплоскости имеют отметку горизонтали, являющейся осьювращения. При вращении фигуры вокруг горизонтали её точкиперемещаются по окружностям, плоскости которых перпенди-кулярны горизонтали, а центры находятся на ней. Поэтому натраектории точек вращаемой фигуры проецируются в отрезки,перпендикулярные проекции горизонтали плоскости . Исключение- точки оси вращения, остающиеся неподвижными. Под обозна-чением повернутого ГО и его проекции наносят черту.

Найти натуральный вид ( )ПРИМЕР 13.8. ABD A B D(рис.13.16).

Чтобы определить натуральный вид , его поворачиваютABDвокруг горизонтали плоскости треугольника с отметкой ( ) доh9

ÏÏ

Ï

9

9

9 96

41

99 9 9

0 1 2ì

A9 9

h9 9

D9 9

B

BR

B

6B

D

A

C9 9C

h

B

Рис. 13.16

Поворот точки начинают с про-ведения -проекции , в которойпри вращении вокруг

прямойплоскости

переме-щается точка . Точка -центр вращения точки ;

, где .

B h

[B ,C ]

hB C= h

B (C = hC h C C [B,C]

[B ,B] B ,B =H -H =3

), а - радиус еёвращения. Его величина

, определяется из прямо-угольного треугольника ,построенного по катетам и

R == B,C

BB C

ì

9

B B

B

9

B 9

9

9

9B

9 9 9

B

6

9

6 BC6

Когда займет горизонтальное положение, радиусбудет проецироваться на в натуральную величину. Поэтомупроекция

ABD [B,C]

B повернутой точки находится на и удалена отпроекции горизонтали на расстояние .

Bh B ,C = R

Величина равна натуральной величине .A B D ABD

Найти натуральный вид ( ),расположенного в плоскости общего положения (рис. 13.17).

ПРИМЕР 13.9. ABD A B D

В примере плоскость вращали вокруг её горизонтали ,проходящей через точку . Последовательность решения:

hD

1. Градуируют сторону и строят проекции горизонталейплоскости и .

[A,D]h B ,5 h D h h:

3. Задают плоскости и , в которых переме-щаются точки и : и .

h hA B A h B h

2. - обозначают проекции неподвижной точки .D D D

4. - находят центр вращения точки ; .C = h A C C5. Находят величину радиуса вращения точки .R A6. Строят проекцию повернутой точки : , .A A A ,C = R7. Определяют проекции точки .E E E=(A,B) h

9 B

9 B9 9

9 9 9

3

5 5 3 3 3 5

BA 3 3

A 7 A 3 B 5 B 3

3 3

3 A 3

A

A3 3 3 A

3 3 3

6

Ï

3 3

9

занятия плоскостью горизонтального положения . Посколькугоризонтали , то при вращении

они будут неподвижны: , и для поворота треугольника достаточно повернуть только вершину .

вершины и расположены на-

A D hA A D D

B

Ï

9

7 5 3

96

На рис. 13.18 определяется натуральный вид , лежащего в плоскости , причем отметкивершин неизвес ны. Последовательность построений:

ABD

ABD

-заданной масштабом уклона

тn

n i

42

8. Проводят проекцию ( ) прямой ( ) в повернутомположении.

9. Определяют проекцию точки в повернутом положении:.

E ,A E,A

BB = (E ,A )

3 3

B 3 33

0 2 4ì

B

A C

4

65

3

R

A

BE

A

D3 D3

7

3

3

3 E3

B5

A

A

Рис. 13.17

0 1 2 3 ì4

Рис. 13.18

F

6

7

8

9

5

9 F9

D

B

Ê

A

E E9 9

9

9

9

9

ABD

K

C9

D

BÊ6

RK

Ê h6

h9

1. Проводят горизонтали плоскости и горизонталь вы-бирают в качестве оси вращения.

h

2. Находят точек иE=(A,B) h F=(B,D)проекции неподвижных :hE E =(A ,B ) h F F =(B ,D ) hи .

3. На прямой ( , ) берут точку с целой отметкой, например,отметкой : и строят её проекцию в повернутомположении: ; ;

A B K6 K =(A ,B ) h K

K h C = h K C ,K = R(радиус найден из прямоугольного треугольника ).R C K K

4. На прямой ( ) с помощью проекций и плоскостей,в которых перемещаются точки и , находят их проекции и .Аналогично на ( ) определяют проекцию вершины .

Величина равна величине .

E ,KA B A B

B ,F D DA B D ABD

Натуральный вид треугольника можно найти, определив дли-ны трех его сторон по правилу прямоугольного треугольника.

i

9

9

6

A B

9

9

9

CA

B

D

99 9 9 99

K 6 K 9 9 K 9 9 K 9 9 K

K 9 6

9

9

9 9 9

3

6

A

9

9 9 9

43


ПЕРСПЕКТИВА14.1. пределенияОсновные понятия и о

Перспектива (от латинского - видеть насквозь) -один из методов построения наглядных изображений пространст-венных предметов. Этим изображениям присущ ряд особенностей:объекты, находящиеся ближе к наблюдателю, в перспективе имеютбольшие размеры, чем такие же, но дальше удаленные объекты;параллельные прямые в перспективе могут пересекаться и т. д.

perspicere

В начертательной геометрии.

Перспектива бывает (строится на плоскости),(строится на цилиндрической или конической поверхностях) и

(строится на сфере, эллипсоиде и т. д.). В курсе рассмат-ривается только линейная перспектива на вертикальную плоскость.

перспектива - изображение пред-метов на поверхность по правилам центрального проецирования

линейной панорамной

купольной

Элементы перспективного аппарата показаны на рис. 14.1 и 14 2.

: вертикальная ПП ( ),на которую осуществляется центральное проецирование.

- картинная плоскость (картина)

S - .центр проецирования (точка зрения)

: горизонтальная плоскость проек-ций (ПП), на которой расположены изображаемые предметы или ихортогональные проекции.

- предметная плоскость

: линия пересечениякартинной и предметной плоскостей.

k - основание картины (ось картины)

оризонтальная плоскость, проходящаячерез точку (рис. 14.2).

Плоскость горизонта - гS

Предельная (нейтральная) плоскость - плоскость, проходящаячерез точку зрения параллельно картинной плоскости (рис. 14.2).S

горизонтальнаяпроекция точки зрения .

S - основание точки зрения (точка стояния):S

Ï

Ï1

1

h - горизонт или линия горизонта: линия пересеченияплоскости горизонта и .картинной плоскости

Ï Ï1

Ï

Ï

S(S,P) - главная проецирующая прямая (главный луч): прохо-

дящий через точку зрения перпендикуляр к плоскости .Ï: точка пересечения главного луча с

картинной плоскостьюP - главная точка картины

.Ï

44

Рис. 14.1

Картинная и предельная плоскости делят пространство на мнимую части. В мнимой частии предельной плоскости объект проецирования не располагают.

На рис. 14.1 :.

(рис. 14.2) -предметную, промежуточную и

объект проецирования - точка- прямая, центрально проецирующая точку

A(S,A) A

Ïðåäìåòíîåïðîñòðàíñòâîïðîñòðàíñòâî

Ìíèìîå

Ïðîìåæóòî÷íîå

ïðîñòðàíñòâî

S

1S Ïëîñêîñòü

Ïðåäåëüíàÿïëîñêîñòü

ãîðèçîíòà

S,P - .главное расстояниеS ,P - .горизонтальная проекция главного расстоянияS,S - ), .высота горизонта (точки зрения S,S = P,P

AS,A

A =(S,A) A- перспектива (первичная проекция) точки : цент-ральная проекция точки на картинную плоскость , получаемаяпри пересечении проецирующей прямой ( ) с этой плоскостью.

Ak

A A- основание точки : ортогональная проекция перспективына основание картины .

A A.- горизонтальная ортогональная проекция точки

AA = S,A A( ) - вторичная проекция точки : перспектива

горизонтальной проекции точки .A( ) ( )

.

Перспективная и вторичная проекции точки располо-жены в проекционной связи, которую устанавливает вертикальная

A A

A ,Aлиния связи перпендикулярная к оси( ), kПерспектива и вторичная проекция точки однозначно

задают положение точки в пространстве, делая чертеж обратимым.A A A

A

1

11

PP k- ортогональная проекция главной

точки на основание картины .основание главной точки:

1

Ï1

1

Ï

1

1

1

P

A

P

S

1S

1 A1

AA

A

Рис. 14.2

Ï

1

45

Мысленно уберите точку на рис. 14.1 и подумайте, как попроекциям и можно установить положение точки .

AA A A

Обычно изображения, построенные в плоскостях и (рис.14. 1), задают раздельно (рис. 14.3). На - виде сверху на пред-метную плоскость (рис. 14.3, ) показаны ось , точки , , ,В - виде спереди на картину видны прямые , иточки , , , , . Общими элементами плана и перспективыявляются основание картины с точками и на нем.

плане

перспективеа k S P A A.

k hP P A A A

k P A

Ï1

1

Ï1

Ï1

Ï1

Ï

1

Ï

à) á)

A1A

A

P

P kAP k

1A

S1

ÏÏ1

Рис. 14.3

По плану (рис. 14.3, ) и перспективе (рис. 14.3, ) можно опре-делить положение точки зрения относительно картинной ипредметной плоскостей:

а бS

Sот точка удалена на расстояниеS ,P P,P, а от - на высоту горизонта .1

ÏÏ1

h

14.2. Построение прямых линий в перспективе

На рис. 14.4 изображены прямые общего и частного положений.Прямыми общего положения в перспективе считаются прямые,

не параллельные и не перпендикулярные плоскостям и ; пря-мые, не принадлежащие и ; прямые, не проходящие черезточку зрения и точку стояния . На рис. 14.4 прямые общегоположения - это прямые и .

S Sa b

: , , , - ,параллельные , из которых прямые и перпендикулярны к плос-кости и называются ; - ( );, - , параллельные плоскости ; , -

, проходящие через центр проецирования .

Прямые частного положения горизонтальные прямые

главными вертикальная прямаяфронтальные прямые прое

цирующие прямые

g t l cl t

q qc e s p

S-

1

Прямо у г ол ь н и к и ,ограничивающие план иперспективу на рис. 14.3,устанавливают связь этихизображений с изображе-ниями отсеков плоскостей и на рис. 14.1 и неявляются обязательными.

-

ÏÏ1

ÏÏ1

1

ÏÏ1

Ï1Ï Ï1

Ï

46

К горизонтальным относят также.

В общем случае прямая при центральном проецированиипроецируется в прямую. Проецирующие прямые проецируются накартину в точки (на рис. 14.4 точки и - проекции прямых и ).

прямые, расположенные в пред-метной плоскости

s p s p

S

1S

s

tl

g a

bc

e

q

p

a1

b1e1 c1

s1

s p

p1

Рис. 14.4

14.2.1. Перспективы прямых общего положения и горизонтальныхпрямых произвольного относительно картины направленияВведем ряд понятий и определений.

- плоскость, проходящая через точку зрения .- точка пересечения прямой с картиной.

- линия пересечения плоскости скартиной. Примем, что каждая прямая имеет

- точку, в которой прямая пересекается спараллельными ей прямыми. Совокупность несобственных точекпрямых плоскости составляет плоскости. Поэтой прямой плоскость пересекается с параллельными ейплоскостями.

Центральная проекция прямой есть линия пересечения картин-ной плоскости , проецирующей прямую, - плос-костью, заданной точкой зрения и проецирующей прямой. Такоезадание проецирующей плоскости не удобно для построенияперспективы прямой.

На рис. 14.5 плоскость , проецирующая прямую , задана пря-мыми и , где - : , .В этом случае перспективу определяют две точки:

- картинный след прямой, совпадающий с его перспективой, и- перспектива .

Проецирующая плоскостьКартинный след

прямой или начало прямойКартинный след плоскости

бесконечно удаленную(несобственную) точку

несобственную прямую

вспомогательная проецирующая прямая

несобственной точки прямой

S

S

aa f f f S f a

a = A A ==aF =f

с плоскостью

S

S

F=a f

q1

Ï1

Ï

ÏÏ

Ï

47

a

F

S

PÏ

1

2

k

f

x 21

1

A

A

A1

P

1

F1

1

a2

1

S2

F2

P 1 A

A

F1

Fk

h

Рис. 14.6

1. Через центр проведем вспомогательную прямую :S f aи .f S f a f S f a

2. Найдем ортогональные проекции , картинного следаA Aпрямой и , перспективы несобственной точки :A =a F F F =fA =a k , и , .A a F =f k F f

1 2

12

1 1 1 2 2 2

12

Ï

1 1 1

à) á)

a

a1

ствует отрезку . Но обычно плоскости и не параллель-ны и перспектива строится на специальном поле перспективы.Сформируем это поле, задав его исходные элементы (рис. 14.6, ):

[A ,F ]

б

Ï

2

2Ï

2

2ÏÏ 2Ï

k

S

1S

a

a1

A1

a

a1

F

F1

h

Рис. 14.5A

F

ff

1

Когда , центральная проекцияотрезка прямой проецируется

на в натуральную величину и соответ-[A ,F ] [A,F] a

Рассмотрим построение центральной проекции прямойпо её комплексному чертежу (рис. 14.6, ), на котором зада-

ны прямая ( ), центр ( ), картинная плоскость ( ) игоризонтальная проекция основания картины . В примере

a

a a ,a S S ,Sk k

(рис.14.6, )б а

и . Выполним на рис. 14.6, следующие построения:а

11 22 Ï Ï 1Ï11

Ï 2Ï x 21Ï1

1 2 Ï1 2

2 2

AA

1

f2

48

- зададим главную точку картины и её основание точкуP hP k так, чтобы точка была примерно в центре изображения.PПеренесем в это поле точки и с комплексного чертежа:A F1. На основании картины отложим от точки отрезки иk P [P,A]

: и .[P,F] P,A = P ,A P,F = P ,F2. Из точек и проведем перпендикуляры к основанию .A F k3. По комплексному чертежу найдем высоты точек и соот-A Fветственно и .A , F ,

4. Отложим эти высоты на перпендикулярах от точек и иA Fнайдем точки и : и .A F A,A = A , F,F = F ,

111 1

2 x 21 2 x 21

5. Проведем прямую , : - перспектива прямой .a A F a aДля задания прямой необходимо её перспективу допол-

нить вторичной проекцией - перспективой проекции . Проекцияподобно перспективе проходит через точки и ,

где - проецирующая прямая: (рис. 14.5). Поскольку, то, во-первых, точка и , а, во-вторых, прямая

и точка : (рис. 14.5 и 14.6, ). Таким образом,

.

a aa a

a a A =a F =ff f S f a

a A k A Af F h F =(F,F ) h бодна характерная точка вторичной проекции прямой всегдапринадлежит оси , а вторая - горизонтуk h

Так как через точку можно провести одну прямую, параллель-ную данной, то каждая прямая имеет только одну несобственную точ-ку. Поэтому все прямые, параллельные между собой, пересекаются водной несобственной точке . Их перспективы строятся с помощьюодной параллельной им проецирующей прямой и проходятчерез точку - перспективу точки . Вывод:

. У каждого направленияпараллельных прямых своя точка схода.

Ff S

F =f F перспективыпараллельных прямых пересекаются в точке , называемойточкой схода перспектив параллельных прямых данного направленияили точкой схода прямых (прямой)

F =f

1 1

1 1 1 Ï 1 Ï

1Ï11 1 1

Ï1 1 1

Ï

2 x 21 2 x 21

- проведем горизонт , расстояние между и равно высотеh k h kгоризонта - на комплексном чертеже это , ;S,S S2 x 211

- на отведенном месте чертежа проведем основание картины ;k

При построении перспективы горизонтальных прямых проходя-щая через вспомогательная прямая . Поэтому

. Следовательно,S f точки схода

горизонтальных прямых принадлежат горизонтуперспектива

hи вторичная проекция горизонтальной прямой пересе-

каются в общей точке схода на горизонте h.

Ï1

Ï

49

1. Находим проекцию несобственной точки прямыхи (прямая и ), проводя (рис. 14.7, а

F =f F ab f S f a b f S f a b ).

2. Ищем проекции картинных следов и прямых и :; ; ; (рис. 14.7, ).

A B a bA =a B =b A a B b а

3. Строим проекцию главной точки картины: ( ) .P P S ,P k

Ï1 1

1 1 1 1 1

Ï1Ï11 1

1 1 1

1 1

1

2 2 2 2

4. Формируем поле перспективы (рис. 14.7, ), проводя и(расстояние между и равно - высоте горизонта) изадавая главную точку .

б k h kk h S ,

P hx 212

Рассмотрим построение перспектив параллельных горизон-тальных прямых и произвольного относительно картиныположения, из которых . На комплексном чертеже (рис. 14.7, )были заданы прямые ( ), ( ), точка зрения ( ),картинная плоскость ( ) и проекция основания картины .Последовательность построения перспектив:

a bba a ,a b b ,b S S ,S

k

аÏ

1 2

Ï1

1 2 1 2

1 Ï 1Ï Ï 1

A

F

Pk

2

x 21

S

a2

b2

A2

B 2

S1

F

P

A1

h

a

b1

1

A1

B1

F1

P1

k

Рис. 14.7

7. Строим вторичные проекции прямых: , и .8. Проводим перпендикуляр к основанию из точки и

откладываем на нем высоту прямой , получая точку (). Высота прямой равна и .

9. Проводим перспективу прямой : . Так как, то .

a A F b B ,Fk A A

a A A ,A == A , b B B

a a a A ,Fb b b

0

BBB 1

1 Ï1

à)á)

f1

a

b

a1

b1

1 11 1

1

2 x 21 1

Ï1 1

5. Переносим в поле перспективы (рис. 14.7, ) точку сходана горизонт ( ), а точки , и - на ось в видеточек , и ( ; и ).

б Fh P,F = P ,F P A B k

P A B [P,P] k P,A = P ,A P,B = P ,B6. Отмечаем вторичные проекции точек и : и

( , поскольку точки и лежат в плоскости ).A B A A B B

A k B k A B

11 1 1

1 1 1 1

Ï11

A

1 1

1

50

В заключении можно сделать следующие выводы:

1. Перспектива и вторичная проекция точки находятся наодной линии связи, перпендикулярной основанию картины .

2. Перспективы параллельных между собой прямыхпересекаются, т. е. имеют общую точку схода.

3. Точки схода вторичных проекций прямых всегда принадле-жат горизонту .

4. Точки схода параллельных горизонтальных прямых, включаяпрямые предметной плоскости, расположены на горизонте .Поэтому перспектива и вторичная проекция горизонтальной прямойимеют общую точку схода на горизонте .

k

h

h

h5. Прямые предметной плоскости пересекаются с картин-

ной плоскостью в точках, расположенных на оси картины .kÏ1

6. Вторичная проекция прямых предметной плоскости и ихперспектива совпадают.

Ï

О расположении прямой в пространстве можно судить поположению её точки схода на картине. Если выше горизонта ,то (прямые и на рис. 14.5) - её точки приудалении от наблюдателя поднимаются. Если точки ниже , то

. Если точка , то(прямая на рис. 14.7, ). Если прямая не имеет точки схода, тоона параллельна картине (проецирующая прямая ).

Примем

F F ha f

F hF h

af S f

прямая восходящая

прямая нисходящая прямая горизонтальнаяб

, что в обозначении точки схода верхний индекс “ “может не даваться, а при нескольких точках схода в качествеверхнего индекса будут указываться штрихи: , , ... .

F

F F

Ï Ï

14.2.2. Перспективы прямых предметной плоскости

Предварительно договоримся о следующих условностях:1. Д обозначении образов на плане, кроме обозна-

чения точки стояния подстрочный индекс “ ”, аоснование главной точки на плане обозначать .

опускается в, не указыватьS 1

P2. Совпадающие первичную и вторичную проекции образов

допускается обозначать только как перспективу.3. Точки пересечения прямой и её перспективы с осью допус-

кается обозначать арабскими цифрами без индексов.k

1

51

2.(рис. 14.10 и 14.11):

плоскости, проецирующие эти прямые, пересекают картину попрямым, параллельным основанию (см. пример 15.1).

Перспективы и вторичные проекции прямых, параллельныхоснованию картины , также ему параллельныk

k

В разделе нет подробного описания построения перспективпрямых. Это связано с тем, что ход их построения аналогичен ходуполучения перспективы прямой предметной плоскости на рис.14.7 и вытекает из наглядного изображения, приводимого длякаждого конкретного случая расположения прямых.

b

1.(рис. 14.8 и 14.9): осью

пучка плоскостей, проецирующих эти прямые, является проецирую-щая прямая . Она совпадает с главным лучом ( ) ипересекает картину в точке - точке схода перспектив и .

Перспективы прямых, перпендикулярных картине , сходятся (пересекаются) в её главной точке

-P

f S f S,PP a b

P

S

1S

Рис. 14.8

ba

P

a

b

12

P k

1S

h

k

ab

P

P

a

à) á)

Рис. 14.9

b2 1 2 1

k

Ï1 Ï

f

Ï

Ï

P k

P

S

1S

h

k

1S

a

b

P

P

ab

à) á)

Рис. 14.10 Рис. 14.11

P

a

b

a

b

Ï

Ï

Ï1

f

На примере прямых предметной плоскости ознакомимся срядом свойств перспектив горизонтальных прямых.

a b

52

3.

Этообъясняется тем, что указанные проецирующие плоскости пересе-кают картину по вертикальным прямым.

Перспективы прямых, лежащих в проецирующих плоскос-тях, проходящих через центр и перпендикулярных , в том числепрямых предметной плоскости, проходящих через точку стояния(рис. 14.12 и 14.13), перпендикулярны основанию картины .

SS

k1

Ï1

P

S

1S

Рис. 14.12

baP

ab

12

P k

h

k

a

b

P

P

a

à) á)

Рис. 14.13

bh

k2 1

Ï

Ï1

1S

2 1

1

4.

(рис. 14.15): прямаяи наклонена к под углом

45 , поэтому и. Перспективы этих

прямых строят с использованием их картинных следов (точ-ки и ) и точки дальности .

Перспективы горизон-тальных прямых, пересекающихкартину под углом 45 , сходятсяв точке, расположенной на гори-зонте и называемой точкойдальности

О

О

hD

fD h D,P = D,P =

= S ,P = S,P

1 2 D

-1

Ï1 ÏP k

1S

h

k

ab

P

P

a

à) á)

Рис. 14.15

b

2 1 2 1

Ï1 ÏS,P

45

D

D

f


ПЕРСПЕКТИВА (продолжение)

1 .1. Перспектива точки5

Обычно перспектива точки определяется как точка пересеченияперспектив двух прямых, как правило, прямых частного положения.

Ï

53

A

P

PkP k

A

S1 Рис. 15.1

h

1 12 2

dbdb

1На рис. 15.1 перспектива

точки предметной плос-кости ) строится с по-мощью прямых частного поло-жения (перс-пектива ) и(перспектива ): .

A AA A

b A b Sb k d A d k

d P A =b d

( 1

1

Построим перспективу точки , расположеннойна высоте над предметной плоскостью, по заранее построеннойвторичной проекции (получена как перспектива на рис. 15.1).

A AH

A A

(рис. 15.2)

Проведем через точку перспективу прямойпредметной плоскости, пересекающую горизонт

A gg h

произвольнойв точке схода ,

а основание картины - в точке . Из точки отложим вертикальныйF

k 1 1

1

1

отрезок высотой . Отрезокпринадлежит картине и проеци-руется на неё в натуральнуювеличину. Через точки и проходитперспектива прямой , параллель-ной , лежащей с в плоскости,перпендикулярной плоскости , иудаленной от на высоту (см.построения на рис. 14.7).

Отрезки и

[1,2] H [1,2]

2 Fa a

g g

H

[1,2] [A ,A ]

Перс-пективу точки находим на перс-пективе с помощью линии связи( ) .

A A

ka

A ,A

1

k1

2A

h

A

Рис. 15.2

F

g a 1

a

B

вертикальны,имеют одинаковые высоты .

Рис. 15.2 может дать другую интерпретацию: по перспективеточки предметной плоскости построена перспектива вер-тикального отрезка высотой .

.

..

заключены между горизонтальными прямыми и внатуре

a gH

B[A ,B ]

[A,B] HB

Перспективой вертикальнойпрямой является прямая, перпендикулярная основанию картиныТак как вертикальные отрезки параллельны картинной плоскости, тоих перспективы не имеют точки схода и картинного следа Вторич-ной проекцией вертикальной прямой является точка

k

1

Ï1

1

Ï

Ï1

54

Построить перспективы прямых и предмет-ной плоскости, параллельных основанию картины (рис. 15.3).

Перспектива прямой строится по перспективекакой-то точки прямой и условию .

ПРИМЕР 15.1. a bk

a a a ka a k

1

k1

2

A

S Рис. 15.3

B

1

A

34

e

d

a

b

P

lq 2 34

B

P

P

ab

qd elk

hà) á)

Ï1

- перспектива точки , прямая - перспективапрямой . Аналогично с помощью точки и прямых , полученаперспектива прямой .

Найдем перспективу некой точки , используя вспомога-тельные прямые и : ( ) и (см. план на рис.15.3, ). Прямые и на рис. 15.3, - перспектива прямых и :

и ( и - картинные следы прямых и ),

A A ad q d A d k d q A,Sd q d q

d 1,P q 2 q k 1 2 d q=

а бA =

d q A a A a ka B b e l

b b

1Ï

15.2. Деление отрезков прямой в заданном отношении

Деление отрезков основано наи

уже рассматривалось в других разделах.

, и зависит от положения отрезкаотносительно картины. Начнем с деления отрезков, параллельныхкартине, построив предварительно перспективу прямой ( ) .

Проведем (рис. 15.4, ) вспомогательные прямые ,и ( ). Точки , и -

картинные следы этих прямых. Перенесем точки , , на ось вполе перспективы в виде точек , , (рис. 15.4, ) и получимвторичные проекции прямых , , : ; ; ,причем . Определим вторичные проекции точки , прямой ( )и точки : ; ( ) и .

теореме Фалеса: параллель-ные прямые делят стороны угла на пропорциональные отрезки

Процесс деления отрезка вперспективе заключается в построении перспектив точек, делящихотрезок в заданном отношении

A,Ba A a

b B b g S ,B g 1=a 2=b 3=g1 2 3 k

1 2 3a b g a P,1 b P,2 g 3 g k

g g B A,BA B =b g A ,B B k A =a (A ,B )

а

б

( )A ,B

ÏÏ

Ï 1 1 Ï1 Ï Ï Ï

1 1 1

1 1 1

1 1 11 1 1 1

1

1 1 1 1 1 11 1 1 11

55

Тогда и - перспективы прямых и ;a 1 ,P b 2 ,P a b A =(A ,A ) a(линия связи ( ) ) и - перспективы точек и ;( ) - перспектива прямой ( ).

A ,A k B =(3 ,B ) b A BA ,B A,B

Обращаем внимание, что. Проходящая через такую пря-

мую и центр проецирования проецирующая плоскость пересекаеткартину по прямой, параллельной данной. Поэтому

.

прямая, параллельная картине, неимеет картинного следа и точки схода

у прямой, парал-лельной картине, перспектива параллельна самой прямой, вторич-ная проекция параллельна оси картины , а точка отрезка этойпрямой делит его в отношении, в каком перспектива точки делитперспективу отрезка

S

k

Строим перспективы точек и ,лежащих в плоскости . Для этого източек , перпендикулярно к осипроводим линии связи и откладываем на них от точек и высотыточек и , взятые с рис. 15.4, :

1 2

1 2 k-

1 21 2 а

и .1 ,1 = 1 , 2 ,2 = 2 ,1 12 x 21 2 x 21

1

1

1

Чтобы найти перспективы отрезокна три равные части (рис. 15.5), достаточно разделить на три

равные части его перспективу . Проведем, например, черезточку произвольный луч и отложим по нему от точки три равныхотрезка произвольной длины, получив точки , , . Соединим прямойточки и , а через точки и проведем прямые, параллельные пря-мой ( , ) и пересекающие отрезок в искомых точках и .

C D C D

[A ,B ]B

, точек , , делящих[A,B] k

l B1 2 3

A 3 1 2A 3 [A ,B ] C D

1 1

Ï

1 1

A1

A

S

1

g g1

11 2131P

PB

B1

2

k

h

a

b

1

P2131

11

A1

B1

32

a2

h

x 21

b2B2 22

12

A2

g2

g1

a1

b1 Рис. 1 .45

à) á)

a1

b1

56

, выполняют с помощьюгоризонтальной прямой. Разделим в перспективе не парал-

лельный картине отрезок на три равные части (рис. 15.6).

Деление перспективы горизонтального , не параллельного картинной плоскости

отрезка -параллель-

ной[A,B]

Проведем через один из концов отрезка (точку ) пря-мую ( ), отложим на ней от точки три равных отрезкапроизвольной длины и получим на точки , , . Так как ,

и , то отрезок и прямая лежат в одной горизонталь-ной плоскости.

[A ,B ] Bl h k B

l 1 2 3 [A,B]l B l [A,B] l

Поэтому параллельные прямые, проходящие через

Ï

Ï1Ï1

h

A

B

Рис. 15.6123

точки прямой и делящие отрезок, в пространстве горизонтальны и

имеют точку схода на горизонте :. Соединив с точками и ,

получим перспективы параллельныхделительных прямых, проходящих че-рез точки и . Точки и

l[A,B]

F hF=(3,A) h F 1 2

1 2 C =( ,F) [A ,B ]2D =(1,F) [A ,B ] CD[A,B]

- перспективы точек исоответственно, делящих отрезокна три равные части.

F

CD

l

Точка на рис. 15.5делит перспективувертикального отрезка

в соотношении. Для этого перспектива

азделена по теореме Фалеса на пятьравных частей.

K[M ,N ]

[M,N]

[M ,N ]2:3

р -

Ï1

h

k

A B

Рис. 15.5

1

23

12

34

5

CM

N

Ê

D

l

t

ÏÏ1

Построить перспективу плоской прямоугольнойвертикальной сетки (рис. 15.7) по перспективам , , (рис. 15.8)её узловых точек , , .

ПРИМЕР 15.3.A B E

A B EA B

E C1 2 3 4 5

G

Ê

Сетка состоит из прямоугольногоконтура , вертикальных отрезков,пересекающих сторону в точках , ,, , , и горизонтальных отрезков , ,пересекающих сторону в точках и(рис. 15.7).

ABCE[E,C] 1 2

3 4 5[B,C] G

KРис. 15.7

57

Рис. 15.9

F

B

E

1 2 3 4 5

A

CE

hF

B

Для этого определим точку схода горизон-тальных параллельных прямых, проходящихчерез отрезки , , и : .Перспектива

F

C =(F,E ) (B ,C ) (B ,C )h

[B,C] [B ,C ] h(k)

[E,C] [A,B] F=(A ,B ) h

B

, где -перпендикуляр к горизонту , проведенныйиз точки ( ).

--

Отрезок и перспективы точек и делят перспективу в том же отношении, вкаком точки и делят отрезок

. Поэтому точки и най-дем по правилу деления верти-

[B,C]G K

[B ,C ]G K

[B,C] G K

кальных отрезков: из точки Cпроведем луч, отложим на нем отвзятые с рис. 15.7 отрезки ,, , где

C [C ,G][G,K] [K,B] = , сое-C ,G C,Gдиним точки иB B и т. д. (см. рис. 15.5 и пояснения к нему). Перс-пективы отрезков и расположены на прямых ( ) и ( )соответственно.

F,G F,K

Для построения перспектив вертикальных отрезков выполнимперспективное деление точками , , , , горизонтального отрезка

, не параллельного картине (см. рис. 15.6). Проведем из луч, отложим на нем отрезок , равный отрезку с рис. 15.7, и

перенесем с него на отрезок точки , , , , . Затем найдемточку схода перспектив ( ), ( ), ( ), ( ), ( )параллельных прямых, делящих перспективу отрезка внужном отношении. Через полученные точки деления перпендикуляр-но к горизонту проходят перспективы вертикальных отрезков сетки.

1 2 3 4 5[E,C] Cl h [E,C ] [E,C]

[E,C ] 1 2 3 4 5F =(E,E ) h F ,5 F ,4 F ,3 F ,2 F ,1

[E ,C ] [E,C]

h

B

E

A

Рис. 15.8

h

G

Ê

G

Ê

l

Ï1

Сначала построим перспективу узловой точки и получимперспективу внешнего контура сетки (рис. 15.9).

C C[A ,B ,C ,E ,A ]

Ï1

58

15.3. Перспектива кривой линииПри построении перспективы кривой линии (фигуры) нужно

взять на ней определенное количество точек и построить ихперспективы. Соединив перспективы точек в той же последователь-ности, в какой точки выбраны на заданной линии (фигуре), получимперспективу кривой (фигуры).

Договоримся, что в дальнейшем

, например, , и - перспективы точек , и , - вторичная проекция точки , и -перспективы прямых и .

в обозначениях перспективточек и других образов, а также в обозначениях их вторичныхпроекций индекс “ “ может отсутствовать A 1

A A A aa

-1

Построим перспективу кривой, принадлежащей предметнойплоскости, применяя способ перспективной сетки (рис. 15.10 и 15.11).

1

23

4 6

7

5

10

DP

5

На плане (рис. 15.10) были за-даны кривая , основание картины ,проекция точки зрения , а в полеперспективы (рис. 15.11) - горизонт, главная точка и основание .

g kS

h P k

g

h

1

S,P

Da b d fc e8

9 1112

S

P

1a b d fc e9 1112

P

12

3

4 6

7

8

10

Рис. 15.10 Рис. 15.11

gk

k

t

l

tl

Нанесем на кривую в плане сетку квадратов, которые образуютпрямые, перпендикулярные ( ) и параллельные ( , , , ...)основанию картины . Размер квадрата сетки зависит от величины иформы кривой .

a b ck

g

, , , ...

Построим сетку квадратов в перспективе, состоящую изперспектив прямых , , , ... и , , , ... . Примем, что точкиa b c

1

59

15.4. Перспективы окружностейПерспективой окружности является одна из кривых конических

сечений. Проецирующие прямые, проходящие через все точки окруж-ности, образуют коническую поверхность. Перспектива окружностиесть сечение этой поверхности картинной плоскостью . Обычноплоскость рассекает все образующие прямые конической поверх-ности, и перспективой окружности является эллипс. Когда окружностькасается предельной плоскости, её перспективой будет парабола.Если окружность пересекает предельную плоскость в двух точках, топерспектива окружности - гипербола.

Построим перспективу(рис. 15.12 и 15.13), используя способ сетки.

окружности, принадлежащей предмет-ной плоскости

Опишем на плане (рис. 15.12) вокруг окружности квадрат соABCEсторонами, параллельными и перпендикулярными основанию , и от-kметим точки и . Перенесем эти точки на ось в перс-1=(A,B) k 2=(C,E) k kпективе (рис. 15.13). Так как ( ) и ( ) , то ( ) - перспективаA,B k C,E k 1,Pпрямой ( ), ( ) - перспектива прямой ( ). На плане проведем диа-A,B 2,P C,Eгональ квадрата ( ), наклоненную к под углом 45 , и найдем точку( ) . Перспектива прямой ( ) на рис. 15.13 - прямая ( ),

B,E k3= B,E k B,E 3,D

О

пересечения основания с прямымиk a b c, , , ... условно имеют такиеже обозначения , , , ... .

, , , ... . Перспективы прямых, параллельных ,сами параллельны и проходят через соответствующие точкипересечения перспектив прямых , , , ... с перспективой диаго-нали - прямой, наклоненной к под углом 45 (рис. 15.10). Перспек-тиву определяют точка на основании и точка дальности (рис.15.11). Диагональ нужна для построения перспектив прямых и .

a b ck P k

a b c kk

a b c ll kl a k D

t

Перспективы прямых, перпендикулярных, проходят через главную точку и перенесенные с плана на ось вперспективе точки

О

Обычно перспектива заданной кривой на глаз вписывается вперспективную сетку (так получены перспективы точек , , , ).Для более точного построения перспектив точек кривой используютвспомогательные прямые. Так, перспектива точки есть точкапересечения перспектив прямой и вспомогательной прямой ( ),наклоненной к под углом 45 ; перспектива точки - точкапересечения перспектив прямой и прямой ( ) ; перспективаточки - точка пересечения прямых ( ) и ( ). Так как кривая

, то её перспектива и вторичная проекция совпадают.

g4 3 1 5

2b 9,2

k 78,7 k

10 11,10 12,10g g g

О

Ï1 1

ÏÏ

60

C=t ABCEABCE

4 6 5 7

10 11 12 3

8 9

Трапеция - перспективаквадрата . Точка пересечения диагоналей трапеции - перс-пектива точки пересечения диагоналей квадрата. Прямая ( ) вперспективе в точках и разделит стороны и пополам. Всвою очередь, прямая, проходящая через точку параллельнооснованию , разделит в перспективе пополам стороны

Через точки , , и проходит эллипс - перспективаокружности. В этих точках стороны трапеции касаются эллипса.

Дополнительные точки , , и построены при помощидиагоналей и вспомогательных прямых, перпендикулярных к основанию картины и проходящих через точки и (рис. 15.12 и 15.13).

Построим п.

.( ) - перспектива точки

и вточках и .

-

На комплексном чертеже (рис. 15.14) в ортогональных проек-циях заданы окружность , лежащая в плоскости ,точка зрения , картинная плоскость ( ) и положение осикартины ( ) с основанием главной точки ( ).

2,P CO

O P,O6 4 [B,C] [A,E]

Ok [A,B] [E,C]

5 7

1

m(m m )S(S ,S )

k k P P (S ,P) k

ерспективу окружности, лежащей в вертикальнойплоскости

,

1

412 13

2 3 1 2 3

4

5 7

89 89

S

Pkk

P

1213

O

EAA E

1

Рис. 15.12

Рис. 15.13

6

75

10 11

6

hPD

10 11O

CB

B C

где - точка дальности: . Точка- перспектива точки , точка

D h D,P = S ,P B==(1,P) (3,D) B E=(2,P)

- перспектива точки . Тогда на рис. 15.13прямая ( , ) - перспектива прямой( ); прямая ( , ) - перспектива прямой( ); точка - перспектива точки ; точка

(3,D) Et t B t k

B,C l l E l kA,E A= 1,P Al ( )

2Ï

1 2

21

Ï1Ï Ï

1 1 1

l

t

1

1

61

Опишем вокруг окружности квадрат , также лежащий вплоскости . Диагонали квадрата проходят через центр окруж-ности . Отметим восемь точек окружности ( , , , ...),которые минимально необходимы для построения её перспективы.

ABCE

O(O ,O )

Плоскость окружности и картинная плоскость

пересекаются по верти-кальной прямой ( ), где

;(точка принадлежитпредметной плоскости );( ) ; точка удалена от на расстояние

, равное высоте верх-ней точки окружности(рис. 15.14).

-

-

В плоскости про-ведем проекции проеци-рующих прямых , ,

и ( . Отметимточки , , и пересе-чения этих прямых с осно-ванием картины ( ).

Через точку стоянияпроведем прямую

и найдем точку(рис. 15.14) - основание

4,C4 C = 4

4

4 ,C C

4 ,C

( )) , )

S A(S ,O S E

1 2 3

k k

S fF=f k

S

Ï1

1 2

Ï

x 211 1 2

2 x 21

2 2

CE

S

O

2

2

2

F

A

B C C

E2

2 22

2E2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

11

21

P3

4

4

11

m2

m1

A B11

O1 11

S1

O2

x 21

Рис. 15.14

1

Ï1

Ï1

1 1

1 1 1 1

1 1 1

точки схода ( ), ( , ),..., ( ).

F A,EB,C

параллельных горизонтальных прямых

Перенесем на основание картины в перспективе (рис. 15.15)точки , , , в виде точек , , , , используя расстояния отоснования главной точки : и т. д. Из точки в перспективе

k1 2 3 4 1 2 3 4

P P,1 = P,1 4

1

C1

1

1 1

11f1

Ï1

1 1 1 1

1

1

проведем перпендикулярно отрезок длиной . Нанесемна этот отрезок точки , , , , соответствующие высотам точек и, и , , и . Соединив точку схода ( ) с точками , , , ,, получим перспективы параллельных горизонтальных прямых ( ),

( , ), ..., ( ). Прямые на рис. 15.15, проходящие через точки , ,

k [4,C ] 4 ,CE O A

E O F F,P=F,P E OC A,E

B,C 1 2 3

2 2

62

перпендикулярно оси , - перспективы вертикальных прямых ( ),( ), ( ) с рис. 15.14. Точки пересечения этих перспектив с прямы-ми ( ), ( ), ( ) - перспективы точек , , ; , , ; , ,соответственно. Перспективы точек , , , получены как точкипересечения перспектив диагоналей ( ), ( ) с прямыми ( ), ( ).Эллипс на рис. 15.15, проходящий через точки , , ..., , -перспектива заданной окружности.

k A,B, C,E

F,E F,O F,C A B O E C

A,C B,E F, F,m

Вторичной проекцией окружности и вспомогательного квадра-та является перспектива отрезка предметной плоскости (рис.15.14). Поскольку точка , то вторичная перспектива окружности- отрезок на рис. 15.15, лежащий на прямой ( ) между точками

и .

mm

4m F,4

A =(F,4) (1,B) E =(F,4) (3,C)

A

B

1

k1 2 3

F

C

E

O

4P

P

m1

m C

E

O

O1 C EA B11

h

1

Рис. 15.15

1

Ï1Ï1

1

1

1


ПЕРСПЕКТИВА (продолжение)16.1. Перспектива плоского многоугольника

Если фигура образована преимущественно группамипараллельных прямых, направления которых доминируют, то еёперспективу обычно строят , основанном наиспользовании точек схода перспектив этих групп параллельныхпрямых. Так как создание перспективы предмета рекомендуетсяначинать с его вторичной проекции, то с сущностью способа архитек-торов познакомимся на примере построения перспективы много-угольника ,

способом архитекторов

a[A,N,B,C,E,G,K,A] лежащего в предметной плоскости.

группу составляют прямые ( ) ( ) ), вторую - прямые( ) ( ).

A,B C,E G,K,C E,G

(( )A,K B

63

В планемногоугольник ,

положение картинной плоскости , точка стояния ,основание главной точки( ). В полеперспективы

(рис. 16.1, )были заданы

-

(рис. 16.1, )были заданы основаниекартины , горизонт , главнаяточка и её основание

( ).

а

б

a

(k) SP

P k (S ,P) k

k hP h

P k [P,P] k

Многоугольник может рассматриваться как план некоторогоздания. Соединим отрезком вершины и и

Первую

aA B построим сначала

перспективу многоугольника . Его контур в плане огра-ничен двумя группами (пучками) параллельных прямых.

[A,B,C,E,G,K,A]

A

B C

EG

K

S1

Рис. 16.1

à)

á)

1

2

3

4

6

7

5

P

F

F

8

P1 27 4 38 5 6

k

h F F

A G

ECB

d

b

b

d

N

P

K

N

1

f

f

a

1

a

1 1

Определим точки и (рис. 16.1, ) - основанияточек схода и перспектив групп параллельных прямых, где

.Найдем далее в плане картинные следы прямых , , ,

, , - точки .Перенесем эти точки на основание в перспективе, откладывая всоответствующие стороны от точки на рис. 16.1, расстояния

F =f k F =f kF F

(A,K) (B,C) (E,G)(A,B) (C,E) ( , )

kP

а

б

и- проходящие через вспомогательные прямые ,

, , , , , их пересечения с основанием

ff S f (A,B) f (A,K)

K G 1 2 3 4 5 6 k

1

, и т. д., взятые в плане. На горизонте отметим точкисхода и перспектив прямых, откладывая в разные стороны отглавной точки отрезки и .

1,P 2,P hF F

P P,F = P,F P,F = P,F

64

Прямая ( ) - перспектива прямой ( ); прямая ( ) - прямой( ); прямая ( ) - прямой ( ); прямая ( ) - прямой ( ); пря-мая ( ) - прямой ( ); прямая ( ) - прямой ( ). Перспективывершин многоугольника есть точки пересечения перспектив прямых,проходящих через эти вершины: ;

F ,1 A,K F ,2,C F ,3 E,G F ,4 A,B

F ,5 C,E F ,6 G,K

A =(F ,4) (F ,1) B =(F ,4)

B

(F ,2) и т. д.[A ,B ,C ,E ,G ,K ,A ] - перспектива многоугольника .[A,B,C,E,G,K,A]

Через вершину не проходят прямые доминирующих направ-лений. Её перспектива может быть найдена с помощью перспек-тив и проходящих через прямых предметной плоскости и

, пересекающих основание в точках и соответственно(рис. 16.1, ). На перспектива , а перспектива

(см. свойства перспектив прямых предметной плоскости).Перспектива . - искомая перспектива

заданного многоугольника , которая строится как совокупностьперспектив его сторон и вершин.

NN

d b N d kb S k 7 8

d P,7 bk 8

N =d b

а рис. 16.1,бb

[A ,N ,B ,C ,E ,G ,K ,A ]a a

1

16.2. Выбор положения точки зрения и картины

Основная задача перспективы - показать, как будет выглядетьпроецируемое сооружение после его возведения. Перспективуобъекта обычно строят по ортогональным чертежам его плана ифасадов. Наглядность и информативность перспективногоизображения определяются рациональным

, хотяформулы, гарантирующей их оптимальный выбор, нет.

должно быть реальным исоответствовать существующей или запроектированной планировке.Оно

: получить изображение, наиболее полно и выразительноотражающее внешний облик и объёмно-пространственную структурусооружения; оценить композиционную связь объекта с окружающейзастройкой, ландшафтом местности, подъездными путями; показатьобъект таким, каким его будут видеть зрители из мест наиболеевероятного их появления; получить изображение интересующейчасти объекта и т. д.

Выбрав соответствующее цели перспективы направлениевзгляда, приступают к определению положения точки зрения.

В зависимости от высоты точки зрения различают перспективы

выбором параметровперспективы - положения наблюдателя и картинной плоскости

Положение наблюдателя (направление взгляда, положениеточки зрения по высоте и в плане)

зависит от изображаемого объекта и целевого назначения перс-пективы

с высоким, низким и нормальным горизонтом. Перспективы с высо-

65

ким горизонтом

ь

(все или большинство точек объекта расположены

- дистанционные расстояния . Сболее близких точек зрения ( 53 ) рассматривать объект трудно,на перспективных изображениях возникают чрезмерные искажения.При значительном удалении точки зрения ( 18 ) усложняетсяпостроение перспективы.

Для перспектив с высоким горизонтом и перспектив высотныхобъектов (их высота больше длины и ширины) с нормальным горизонтом угол зрения уменьшают по сравнению с углом зрения дляперспектив с нормальным горизонтом обычных объектов. Это дос-тигается удалением центра перспективы на большее расстояние

.

ниже горизонта) применяют для изображения значительныхпространств - плана местности, поселков, городских кварталов,транспортных развязок, мостовых переходов и т. д. Если при этомвысота горизонта превышает 100 м, то перспективу называют

. (всеили большинство точек объекта расположены выше горизонта) ис-пользуют для изображения сооружений, расположенных навозвышенности, берегу реки и т. д., при взгляде на них снизу. Наибо-лее распространены ,расположенном на высоте роста человека 1,5...2,0 м. При построенииперспективы автомобильной дороги высоту горизонта выбирают науровне глаз сидящего водителя.

Чтобы получить достоверный по форме и пропорциям образобъекта, надо правильно выбрать расстояние от него донаблюдателя (дистанционное расстояние), позволяющее охватитьобъект одним взглядом. Это расстояние зависит от строения глазачеловека и восприятия им окружающего мира. Исследованиямифизиологов и психологов установлено, что четкая видимость объек-та возможна при расположении его внутри конуса зрения с углом28 37 при вершине, а умеренная видимость - с углом 18 53 .Вершина конуса зрения находится в оптическом центре хрусталикаглаза, ось вращения конуса совпадает с главной проецирующейпрямой ( ), а угол при его вершине называется углом зрения.

Для перспектив с нормальным горизонтом обычных объектовположение точки зрения в плане устанавливают по горизонтальномууглу зрения между проекциями крайних лучей зрения (рис. 16.2).

соответствуют дистанционные расстоя-ния ( - наибольший габаритный размер объекта),

“перс-пективой с птич его полета” Перспективы с низким горизонтом

перспективы с нормальным горизонтом

Допустимым угламрекомен-

дуемым углом

... ..О О

О

S,P

3L...L L2L...1,5L

>

a

a

a=18...53

a=28...37О

О

Оa<

-

[4],[7], [8], [9], [10], [11]

66

ÏËАÍ

ÔАСАД

h

P

S

3 2 1

b

1

x 21

Рис. 16.2

- картина параллельнаодному из фасадов объекта и рассматриваемую здесь, более рас-пространенную - картина не параллельнаосновным плоскостям фасадов, а соответствующим образом накло-нена к ним.

Картинную плоскость на комплексном чертеже задают гори-зонтальным следом (основной проекцией) так, чтобы след былперпендикулярен проекции главного луча в плане и составлял с одной из сторон плана, чаще всего с главным фасадом, угол ...

Различают перспективу фронтальную

перспективу угловую

-=20 35b O

Ï1

Ï

Ï

ÏÏ1

(предельное значение 45 ).При этом проекция главноголуча должна находиться(рис. 16.2) в средней третиширины перспективногоизображения или угла вплане и может совпадать сбиссектрисой этого угла. Рядспециалистов считает, чтопоследнее условие способ-ствует получению болеедостоверного по пропорциямобраза объекта.

Картину можно провес-ти через какие-то элементыобъекта, например, ближнеевертикальное ребро, чтобыэти элементы проецирова-лись в истинную величину вмасштабе ортогональныхпроекций или в масштабеперспективы.

О

Ba

Большое значение для восприятия объекта имеет масштабирование его перспективного изображения. Напомним, что припараллельном проецировании масштабом чертежа называют отно-шение длины проекции отрезка, параллельного плоскости проекций,к длине отрезка в натуре. Это определение не относится к централь-ному проецированию. Масштаб перспективы зависит от положенияобъекта относительно картинной плоскости и положения точкизрения относительно картинной и предметной плоскостей.

-

67

Ï

Если перспектива объекта строится по его ортогональнымпроекциям и все измерения фигур картинной плоскости выполняют-ся с учетом масштаба этих проекций, то считается, что масштабомперспективы является масштаб ортогональных проекций.

Требуемую величину перспективного изображения можно по-лучить параллельным перемещением картины вдоль главного луча.Такое перемещение влияет только на размеры изображения - онитем больше, чем больше расстояние от точки до картины .Част главное расстояние выбирают в зависимости от необ-ходимой ширины перспективного изображения. Изображениеобъекта нужного размера можно получить без перемещениякартины, увеличивая (уменьшая) в соответствующее число развысоту горизонта и величины всех отрезков, переносимых с плана ифасадов на картину.

Рассмотрим один из вариантов выбора положения точкизрения в плане на ортогональном чертеже схематизированногоздания (рис. 16.3) при нормальном горизонте и условии, что вперспективе должны быть видны главный и правый боковой фасадыздания. Пусть угол зрения в плане , а картинная плоскостьпроходит через правое, ближнее к наблюдателю ребро здания, чтоне является обязательным, и образует с главным фасадом угол

.

SS,P

B

h

=30

=40

о

a

b

О

О

Через главную точку плана здания проведём след картиннойплоскости под выбранным углом к проекции главногофасада.

k b

Из крайних точек плана здания и построим перпендикуля-ры к основанию картины , пересекающие его в точках и . Отре-зок разделим на три равные части и в средней части выберемоснование - проекцию главной точки картины. Перпендикуляр коснованию , проходящий через точку , - проекция главного луча,на которой расположена точка стояния .

A Bk 1 2

[1,2]P Pk P

SСчитая проекцию главного луча биссектрисой угла зрения в

плане, из точек и плана здания под углом к построенным пер-пендикулярам проводим прямые. Эти прямые образуют с проекциейглавного луча углы и пересекают её в точках и . Серединуотрезка примем за точку стояния - проекцию точки зрения .

aA B 15

15

О

О 3 4[3,4] S S

Ï 1 1

1

1

1

68

Проекция главного луча ( ) не совпадает с биссектрисойдействительного угла зрения в плане между прямыми ( и ( ),величина действительного угла - с величиной заданного угла .Однако эти несовпадения настолько не существенны, что практи-чески не сказываются на перспективном изображении (рис. 16.4, ).

Если полученное положение точки стояния не отвечает тре-бованиям, предъявляемым к перспективному изображению, товыбирается другое её положение. При фиксированных углах иэто достигается изменением положения основания главной точкив пределах средней трети отрезка . Так, на рис. 16.4, пред-

ставлено перспективное изображение того же здания для другогоположения основания , расположенного правее. В этом случаеперспективное изображение воспроизводит более достоверный попропорциям образ объекта. Перспективные изображения на рис.16.4 построены в масштабе 2:1 относительно масштабаортогональных проекций.

S ,PS ,A S ,B

30

S

PP [1,2]

P

)О

а

б

a b

S1

h

Ïëàí

Ôàñàä

P

1

43

2

30=

Рис. 16.3

x 21

A

B

b=40O

a

1

1 1

1

69

Рис. 16.4

P

P

P

P

à)

á)

h

k

h

k

16.5. Построение перспективы объекта способом архитекторов

При построении перспективных изображенийсооружений, которые плане два до-

минирующих направления прямых линий (см. раздел 16.1), обычноиспользуют способ архитекторов, обеспечивающий большуюграфическую точность и простоту построения перспективы.

зданий, мостов,путепроводов и других имеют в

Построить в масштабе 2:1 перспективу схема-тизированного здания

ПРИМЕР 16.1., если заданы в ортогональных проекциях (рис.

16.5) его план и фасад, горизонт , точка зрения , след картиннойплоскости , а в поле перспективы (рис. 16.6) - основание карти-ны , горизонт , главная точка картины и её основание .При этом высота горизонта на рис. 16.6 в два раза больше высотыгоризонта на рис 16.5.

h Sk

k h P h P kÏ 11

70

Построим вторичную проекцию здания - перспективу много-угольника предметной плоскости, являющегося осно-ванием (планом) здания. Перспектива подобного многоугольникапостроена на рис. 16.1, поэтому, не повторяя объяснений, относящих-ся к построению вторичной проекции, ограничимся рядом замечаний.

aa[A,B,C,E,G,K,A]

Перспектива на рис. 16.6 получена с использованием точексхода и перспектив параллельных прямых и перспектив , , ,

, картинных следов этих прямых. На комплексном чертеже(рис. 16.5) показаны проекции указанных точек с индексом “ ”.

aF F 1 2 3

4 E 51

Поскольку перспектива здания строилась в масштабе в двараза большем масштаба ортогональных проекций, то при переносеточек , , , , с плана (рис. 16.5) на ось в перспективев виде точек , , , , (рис. 16.6) расстояния от точек дооснования увеличивались в два раза, например, . Вер-шина , из-за чего её перспектива также лежит на оси . Врезультате ширина перспективного изображения была увеличена вдва раза по сравнению с планом.

1 2 3 4 E 5 k1 2 3 4 E 5

P P,1 =2 P,1E k E k

Чтобы получить перспективу здания, имея его вторичную проек-цию , остается построить перспективы его ребер - вертикальныхотрезков. Напомним, что перспективы вертикальных отрезков верти-кальны. Для построения перспективы отрезка из точки картин-ной плоскости ( - перспектива картинного следа прямой ( ))отложим вертикальный отрезок , равный двойной высоте здания

a

[A,T]1 k 1 A,B

[1,T ](отрезок в действительности расположен в картинной

плоскости ). Перспектива точки есть точка пересечения прямойA ,T [1,T ]

T

1 1 1 1 11

x 1

2 2Ï

( ) и вертикальной прямой, проведенной из точки (см. рис.15.2 и пояснения к нему). - перспектива отрезка . Осталь-ные точки, находящиеся на той же высоте, строим с использовани-ем точек схода , и соответствующих вертикальных прямых, про-веденных из вершин , , вторичной проекции (точка накомплексном чертеже не показана). Перспективы другой группы

отличных по высоте от отрезка , строятсяаналогично: определяется перспектива одного из них подобноперспективе отрезка , а затем используются точки схода

и . Заметим, что отрезок расположен в картинной плоскос-ти и его перспектива получается сразу как вертикальный отрезок

, имеющий длину .

T ,F A[A ,T ] [A,T]

F FB Q K a Q

[A,T]

[A ,T ] [A,T]F F [E,N]

[E ,N ] 2 E ,N

вер-тикальных отрезков,

x 2 2

71

2H

H

72

ПРИЛОЖЕНИЕ К РАЗДЕЛУ“ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ”

Данное приложение рекомендуется использовать привыполнении расчетно-графической работы (РГР) “Границыземляных работ”.

Задание на РГР: построить границы земляных работ длязаданного участка автомобильной дороги на местности ипоперечные профили дороги на участках насыпи и выемки.Исходными данными на эту работу являются:

- план топографической поверхности, представленной гори-зонталями;

- план расположенного на топографической поверхностиучастка автомобильной дороги, состоящего из горизонталь-ной площадки с прямолинейным и криволинейным въездами(съездами), один из которых горизонтальный, другой -наклонный;

- данные для построения линейного масштаба и графикамасштаба уклонов наклонного въезда или съезда (аппа-

выемок.рели), откосов насыпей иВарианты заданий на РГР, последовательность и пример её

выполнения приведены в методическом пособии по начертательнойгеометрии (рабочей тетради).

:Приложение содержит

- определения и разъяснения основных терминов и понятий;- учебную геометрическую модель земляного полотна дороги, ис-пользуемую при построениях;

- общие рекомендации по построению границ земляных работ ипримеры определения границ земляных работ для различныхучастков автомобильной дороги;

- разбор способов нахождения точек нулевых работ и примеры ихпостроения;

- подробные пояснения по построению поперечного и продольного профилей автомобильной дороги с соответствующими примерами.

--

73

1. У ебная геометрическая модель земляного полотна дорогич

На рис. 1, показан механизм получения учебной геометри-ческой модели земляного полотна, на рис. 1, , выполненном вболее крупном масштабе изображена сама учебная модель.

аб

,

Íàñûïíîé ñëîéãðóíòà

Èñõîäíûé ïîâåðõíîñòíûéñëîé çåìëè

t= - ëèíèÿíóëåâûõ ðàáîò

Ïîâåðõíîñòüçåìëè

Сðåçàåìûéñëîé

Ôà)

á)

Ô

Áðîâêà îòêîñàâûåìêè

Áðîâêà êþâåòà

Áðîâêè ïîëîòíà äîðîãè

t Îñü äîðîãèÏîäîøâà îòêîñà

íàñûïè

Ãðàíèöû çåìëÿíûõ ðàáîò

Рис. 1: участки дорог с поперечным уклоном проезжей

части в пособии не рассматриваются и.

Её образующая представляет собой горизонтальную прямую,которая пересекает ось дороги и в каждой точке оси являетсянормалью к ней. Поверхность участка земляного полотна дороги

Допущениеповерхность дороги (земля-

ного или дорожного полотна) является линейчатой поверхностьюF

çåìëè

может быть ограничена отсеком плоскости (ось дороги - прямаялиния, либо горизонтальная кривая) или коноида (ось дороги -кривая с продольным уклоном

Как уже отмечалось (раздел 12.6), откосы земляного полотнаограничивают поверхности равного уклона, которыми могут бытьплоскость (ось дороги - прямая линия), коническая поверхность (осьдороги - дуга окружности), наклонный открытый геликоид (осьдороги - винтовая линия).

. Она являетсяграницей между выемкой и насыпью: часть земляного полотналевее линии на рис. 1 расположена ниже поверхности земли , ввыемке, а правее линии - выше поверхности земли , в насыпи.При прокладывании дороги в выемке часть исходного поверх-ностного слоя земли срезается (удаляется), а при возведениидороги в насыпи наоборот на исходную поверхность землинасыпают нужный слой грунта.

Учебная геометрическая модель земляного полотна на рис. 1,получается следующим образом: исходный поверхностный слойземли (на рис. 1, показан основной линией) минус срезаемый слойземли плюс насыпной слой грунта.

При проектировании и строительстве участков дорог, проходя-щих в выемке, для избежания затопления проезжей части талыми идождевыми водами предусматривается сооружение кюветов.- боковая сточная канава определенной формы для отводаповерхностных вод с полотна и откосов выемки дороги.

: 1.шириной и глубиной 1 м. 2.

. 3., являющейся линией пересе-

чения стенки кювета с поверхностью дороги. 4.- линия пересечения его второй стенки с

откосами выемки, представляющая собой линию, эквидистантнуюбровке дороги и удаленную от неё на ширину кювета. 5.

. : 1.достаточно перенести проекцию бровки земляного полотна

- ширину кювета. 2. При наличии кювета.

), в частности, прямого закрытогогеликоида (ось дороги - винтовая линия).

на 1 м

Линия пересечения поверхности дороги с поверхностьюземли называется линией нулевых работ (рис. 1)

Кювет

Допущения Кювет имеет квадратное поперечное сечениеПродольный уклон дна кювета равен

уклону оси дороги Кювет начинается непосредственно от бровкиземляного полотна (бровки дороги)

Внешняя бровкакювета (бровка кювета)

Отметкиточек бровки кювета равны отметкам соответствующих точек бровкидороги Следствия допущений Для изображения бровки кюветав плане

горизонтали откосовв выемке строят от бровки кювета

t FW

tt

WW

б

а

74

75

В дорожном проектировании важной является задача по опре-делению - линий пересечения откосовнасыпей и выемок с топографической поверхностью на рассматри-ваемом участке дороги. Граница земляных работ устанавливаетсяпо плану дороги. Для насыпи ищут границу подошвы откоса, длявыемки - бровку откоса выемки. Границы земляных работ - линии,ограничивающие области подсыпки или срезания грунта и позволяющие установить объемы земляных работ.

границ земляных работ

-

2. Определение границ земляных работдля различных участков автомобильной дороги

Проекции границ земляных работ получают, соединяя плавнойлинией точки пересечения проекций одноименных горизонталейоткосов земляного полотна и топографической поверхности. Приопределении границ земляных работ проводят анализ рельефазаданного участка местности, в результате чего выявляютположения выемок и насыпей, определяя линии и точки нулевыхработ. На участке чертежа, где дорога проходит в выемке,показывают кюветы. На основании анализа рельефа устанавливают,какие поверхности ограничивают откосы выемок и насыпей, иградуируют эти поверхности, строя проекции их горизонталей сиспользованием заданных уклонов откосов насыпи и выемки .

Построение проекций горизонталей откосов для различныхучастков дороги рассмотрено в разделе 12.6. Напомним, чтоотметки горизонталей откосов для насыпей убывают при удалениигоризонтали от бровки дороги, а для выемки возрастают.

i ií â

2.1. Ось земляного полотна горизонтальна ( )i=0

На участке дороги без продольного уклона линия нулевыхработ (при её наличии) совпадает с горизонталью окружающейместности, отметка которой равна отметке участка. На рис. 2 этогоризонталь с отметкой . Линия нулевых работ - место переходавыемки в насыпь, поэтому севернее горизонтали с отметкой

5050

ì

дорога проходит в выемке, а южнее - в насыпи.

(точки и на рис. 2).

Точки пересечениябровок дороги с топографической поверхностью называютсяточками нулевых работ E D

В учебных целях примем, что кювет в выемке выполнен тольковдоль бровки дороги . Для построения проекции бровки кюветаa aÊпроекция бровки дороги была перенесена на 1м в единицахa

76

линейного масштаба (см. раздел 1 приложения). Бровка начи-aнается от точки - точки нулевых работ на внешней бровке кювета.F

47

49

50

51

52

53

48

+50,00

0 2 4ìN

S

i = 1 :1,5

â

í

i = 1 : 1

a d

A

B

C

EF

aÊ

D

Рис. 2

Уже отмечалось,что откосы ограничены отсеками поверхностей равногоуклона, которые нап р я м ол и н е й н о мучастке дороги (емус о о т в е т с т в у е тотрезок оси)являются отсекамиплоскостей.

--

[A,B]

и

Для градуированияоткосов на прямолиней-ном участке дороги отпроекций её бровок иперпендикулярно к нимпроводят масштабыуклонов плоскостей отко-сов насыпи и выемки,нанося на них интервалыв соответствии с задан-ными уклонами

. В выемке с кюветоммасштаб уклона строят отпроекции бровки кювета.На рис. 2 два масштабауклонов проходят черезточки нулевых работ, что

i =1:1,5i =1:1â

í

Ê

часто является удобным, но не обязательным. На масштабе уклона,исходящем из точки , с одной стороны нанесены интервалыоткосов насыпи, а с другой - откосов выемки. После построениямасштабов уклонов через точки их деления параллельно проекцииоси дороги проводят проекции горизонталей поверхностей откосовна рассматриваемом участке дороги.

D

77

На криволинейном участке дороги (ему соответствует дугаоси) проекции горизонталей откосов выемки являются

огибающими проекций горизонталей вспомогательных конусов (рис.12,9, ; 12,15, и пояснения к ним). Их вершины, направленныевниз, задавались в произвольных точках бровок и .

[B,C]

a dб г

В заключении ищут точки пересечения проекций горизонталейповерхностей откосов и топографической поверхности содинаковыми отметками и проводят через них плавные кривые. Этикривые являются проекциями линий пересечения указанныхповерхностей - проекциями границ земляных работ.

Обратим внимание на то, что

.

горизонтали топографическойповерхности вычерчивают сплошными тонкими линиями (каждуюпятую - более толстой), а в пределах искусственного инженерногосооружения - штриховыми. Горизонтали откосов изображают начертеже тонкими линиями

Для более наглядного выражения направления ската упроекций верхних бровок (кромок) откосов перпендикулярнопроекциям их горизонталей наносят штриховку, состоящую изчередующихся длинных и коротких штрихов. Расстояние междуштрихами 1,5...2 мм. Штрихи проводят тонкими линиями одинаковойтолщины по всей верхней кромке откоса или только в свободных отизображений и обозначений местах чертежа. Короткие штрихидолжны быть наполовину короче длинных.

Ê

2.2. Ось земляного полотна прямолинейна и имеетпродольный уклон ( ). Способы построения точек

нулевых работi=0

На рис. 3 были заданы топографическая поверхность, пред-ставленная проекциями её горизонталей; проекция оси дороги спроекцией точки , имеющей отметку ; уклон поверхности дороги

и его направление; уклоны откосов насыпи ивыемки ; ширина дороги, равная ; линейный масштабчертежа.

Сначала на расстоянии друг от друга (с учетом масштаба)проводят проекции и бровок земляного полотна - прямые,параллельные проекции оси дороги и равноудаленные от неё.

Обычно для определения интервалов дороги , откосов насы-пей и выемок по их заданным уклонам вычерчивают

. Его горизонтальная ось - линейный масштаб

C 15i = 1:4 i = 1:2

i =1:2 4,5

4,5a d

ll l график

масштаба уклонов

ía

â

ì

â

a

í

ì

78

9

11

12

13

14

15

10

1 2 3 4 50 ì

l

â

a

íl = l

Ëèíåéíûé ìàñøòàáè ãðàôèê ìàñøòàáà

óêëîíîâ

123

Дàíî: øèðèíàäîðîãè 4,5 ì

C15

10

11

12

13

i =1:2i =1:2i =1:4âa

í

11 11

10 10

9 9

N

S

Ca d

S13V1313

12

11

N M12

15

12

E D

R12 12

EDÊÊ

TÊ11

11

A B11 11

FQ

1010

10

Рис. 3

1 2 3 4 50 ì

a dÊ Ê

P

79

Градуирование поверхности дороги начинают с градуированияпроекции её оси последовательным откладыванием интервала l =4от точки в направлении спуска (уклона) дороги. Через получен-ные на проекции оси точки проводят проекции горизонталей дороги- прямые, перпендикулярные к проекции её оси.

C

Сравнение числовых отметок точек на бровках дороги иконкурирующих с ними точек на топографической поверхностипоказывает, что на участке земляного полотна между егогоризонталями с отметками и пройдет линия нулевых ра-бот, по которой пересекутся поверхности дороги и окружающейместности. Севернее этой линии дорога проходит в насыпи, южнее -переходит в выемку. Поэтому в нижней части чертежа, не доводя допроекции горизонтали дороги с отметкой , тонкой линией проводятпредварительно проекции бровок кювета и , параллельныебровкам и дороги и удаленные от них на . Затем напроекциях и наносят точки с отметками , и .

Для построения точек нулевых работ на рис. 3 были определе-ны линии пересечения поверхностей откосов насыпи и выемки споверхностью земли.

11 12

12a d

a d 1a d 9 10 11

15

ì ì

K

ì

K ì

KK

a ì

чертежа. Для каждого данного уклона строят соответствующую емупрямую линию, проходящую через начало координат и точку,абсциссой которой является величина интервала или заложения

, а ординатой -величина высоты, откладываемые в единицах линейного масштаба.Так, уклону соответствует прямая, проходящая через точку,абсцисса которой равна четырем единицам (знаменателю отноше-ния, задающего уклон), ордината - одной единице (числителюуказанного отношения).

(интервал - заложение отрезка с превышением 1 м)

i =1:4a

Горизонтали плоскостей откосов построены с помощью вспомо-гательных круговых конусов (рис. 12.10, ; 12.15, и пояснения к ним).Для насыпи вершины конусов, направленные вверх, располагались вточках бровок и с отметками , а для выемки вершины конусов,направленные вниз, - в точках бровок кюветов и с отметками .Из проекций вершин конусов проводились окружности - проекции ихгоризонталей, радиусы которых равны интервалам откосов насыпиили выемки. Для насыпи строились проекции горизонталей сотметкой , для выемки - с отметкой .

б б

a d 13a d 9

12 10

K K

80

Прямые, проходящие через проекции точек бровок и сотметкой на насыпи и касательные к окружностям с той жеотметкой, являются проекциями горизонталей откоса насыпи сотметкой . Соответственно касательные прямые, проведенные изпроекций точек бровок кюветов и с отметкой в выемке кокружностям с отметкой , представляют собой проекции горизон-талей откосов выемки с отметкой . Масштабы уклонов поверхнос-тей откосов, проходящие через проекции вершин конусов,перпендикулярны построенным проекциям горизонталей. На масш-табах уклонов откосов откладывают интервалы для насыпи и

для выемки. После этого проводят проекции горизонталейоткосов насыпи с отметками , и выемки с отметками , , .

a d12

12a d 10

1010

l =2l =2

11 13 9 11 12В заключении определяют границы земляных работ. Проекции

линий пересечения поверхностей откосов насыпи и земли проводятчерез точки , , и , , пересечения проекций одно-именных горизонталей указанных поверхностей. Проекции линийпересечения поверхностей откосов выемки и окружающей местностиопределяются точками , , и , , пересеченияпроекций горизонталей этих поверхностей с одинаковыми отметками.

V R A S P B

F K N Q T M

, а точки нулевых работ и на бровкахкювета и есть точки пересечения бровок кювета с границамиземляных работ в выемке. Ещё раз обратим внимание на то, что

.

Точки нулевых работ и на бровках дороги и найдены какточки пересечения этих бровок с линией пересечения поверхностейоткосов насыпи и земли

вточке нулевых работ пересекаются бровка дороги (кювета) и границаземляных работ

E D a d

E Da d

Кроме,

существуют другие способы их нахождения. В их основе - метод

способа определения точек нулевых работ как точекпересечения границ земляных работ с бровками дороги и кюветов

K K

â

í ìì

111213

10 1112

13 12 11

1011 12

K K

K K

определения точки (точек) пересечения линии и поверхности.(рис. 4) точки пересечения бровок и с

топографической поверхностью -

(рис. 13.10 и пояснения к нему). Заключим бровку вовспомогательную цилиндрическую поверхность, направляющейкоторой является бровка , а образующими - параллельныегоризонтали с отметками и , проходящие через точки бровки с

Найдем дорогиточки нулевых работ способом

использования вспомогательных непроецирующих поверхностей

a d

a

a20 21

W

81

Ïðîåêöèÿ íàïðàâëÿþùåéöèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè

Ïðîåêöèè îáðàçóþùèõöèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè

Рис. 4

указанными отметками. На-правление этих горизонталейтаково, чтобы их проекции пере-секали проекции горизонталейокружающей местности с такимиже отметками в точках ( и ),находящихся в пределах чертежа.Линия ( , ) - линия пересечениявспомогательной цилиндрическойповерхности с поверхностьюземли. Точка - точканулевых работ. Аналогично опре-деляется точка нулевых работна бровке .

C F

C F

E=(C,F) a

Dd

цей, что - пря-мая линия и заключалась онаво вспомогательную плос-кость общего положения. Этаплоскость задавалась двумяпарал ел ными горизонта-лями, проходящими черезточки бровки с отметками, и пересекающими гори-

зонтали топографическойповерхности с отметками ,

в точках и . .

На рис. 5 таким жеспособом найдена точканулевых работ на бровкес той разни

л ь

E aa

a11 12

1112 C F E=(C,F) aРис. 5

2120

A

Ê

B

Q C

RFM

D

S

bd Ã

10

11

12

Ka

E

E D

M

R

S

N

12

11

12 12

1212

K

1111

11

10 N10

a

12

11

21

2019a

d

C

A

D

B

F

20

E21

21

20

Аналогично получена точка нулевых работ на бровке кювета : из проекций и её точек проводились проекциигоризонталей вспомогательной плоскости, в которую заключаласьбровка . ( , ) - линия пересечения этой плоскости стопографической поверхностью . .

E -a A B

a Q KE =(Q,K) aW

11 12

K

K

KK

на бровке дороги (рис. 5)Определим точку нулевых работспособом использования вспомогательной проецирующей поверх-

D d

82

ности (рис. 13.9). Для нахождения точки заключим бровку ввертикальную плоскость ( ), пересекающую поверхностьземли по линии ( , ), и построим профили линии ( , ) и бровки

, расположенных в плоскости . Примем, что горизон-таль плоскости с отметкой - базовая горизонталь профилей иеё проекция (основание профилей) , отчего . Верти-кальный масштаб при построении профилей ( , ) и ( , ) взят боль-ше горизонтального. Точка - точка пересечения профилей и

, а точка . Этим способом можно найти точку нуле-

D=d dd

R S R S d

10b d N N

R MD

(M,N) D =(D,D ) d

WG

WÏ Ã

ÃÃ

- линии ( , )M N

S N(R,S)

вых работ и на бровке кювета (кювет со стороны бровки не показан).d

. Для этого проекции горизон-талей этих поверхностей должны пересекаться в пределах чертежа.

Точки нулевых работ можно найти как точки пересечения бро-вок дороги (кювета) с линией нулевых работ - линией пересеченияповерхностей земли и участка дороги

Построим линию пересечения отсека поверхности дороги,ограниченного горизонталями с отметками и , с топографи-ческой поверхностью (рис. 6). Для этого найдем точки и

20 21A B

10

Рис. 6

a E

A20 2119

20

d

BD21

20

2120пересечения проекций горизонталейэтих поверхностей с указанными от-метками. Прямую ( , ) будем считатьискомой линией пересечения - линиейнулевых работ (на самом деле поверх-ности пересекаются по кривой линии).Точки и - точкинулевых работ.

A B

E=(A,B) a D=(A,B) d

10

1

На рис. 7 аналогичнонайдены точки нулевых работ и

на бровках прямолинейногоучастка дороги с уклоном, атакже точки нулевых работ и

на бровках придорожныхкюветов (( , ) - линия пересе-чения поверхностей дороги иземли).

ED

ED

A B

Ê

Ê

A10E

E

ÊaÊ

d dÊD

D

ÊB9

a

89

10

11

Рис. 7

83

2.3. Ось земляного полотна криволинейна и имеетпродольный уклон ( )i=0

На заданы: участок автомобильной дороги наместности, представленной горизонталями; точка с отметкой( ) на оси дороги; продольный уклон поверхности дороги и его

; уклоны откосов насыпи и выемки ; линейныймасштаб чертежа. Требуется построить границы земляных работ. Нарис. 8, заданный участок дороги изображен в масштабе,увеличенном в 4 раза по сравнению с рис. 8, .

рис. 8,

направление

аA 49

A ii i

ба

Поверхность земляного полотна дороги в примере составная:южнее точки ось дороги прямолинейна и поверхность дорогиограничена плоскостью; севернее точки ось дороги - винтоваялиния и поверхность дороги образует отсек прямого закрытогогеликоида.

AA

Рекомендуемая последовательность построений:1.для определения интервалов поверхности дороги ,

откосов насыпи и выемки .

Вычерчивают линейный масштаб и график масштаба укло-нов l =5

l =2 l =1,52. . Для этого градуируют про-

екцию её оси, откладывая последовательно от точки интервал. Через полученные точки на проекции оси проводят проекции

горизонталей земляного полотна - нормали к проекции оси. Горизон-тали земляного полотна, в свою очередь, градуируют его бровки.

Градуируют поверхность дорогиA

l

3. .Определяют точки нулевых работДля предварительного нахождения места выемок и насыпей

49

â

a

í

49

49

a

í â

ììì

49

a

сопоставляют числовые отметки конкурирующих точек бровок доро-ги и топографической поверхности. Там, где отметки точек дорогибольше отметок местности, дорога проходит в насыпи, где меньше -в выемке. Сравнительный анализ отметок точек бровок дороги иточек местности показывает, что между горизонталями земляногополотна с отметками и будет располагаться линия нулевыхработ - линия пересечения поверхности дороги и топографическойповерхности и дорога в насыпи (севернее линии нулевых работ)перейдет в выемку.

49 50

На участке дороги, проходящем в выемке, строят проекции ибровок кюветов, перенося проекции и бровок дороги на 1 м

- принятую ширину кюветов.

ad a d

Проекции и проведены в южнойa dÊ

Ê

Ê Ê

84

1 2 3 4 50 ì

l

â

a

íll

Ëèíåéíûé ìàñøòàá èãðàôèê ìàñøòàáà óêëîíîâ

123

6

i = 1 : 1,5â

i = 1 : 5a

i = 1 : 2í

0 2 4ì

à)

á)

A

49

50

49

50

51

49

N

S

A49

M

R

B

ED

N

50

51

Ê

4949

49 Ê

M

N

Ê

F50

T50

50

C49

a

ddÊ

aÊ

Рис. 8

85

части участка дороги с некоторым запасом - до пересеченияс проекцией горизонтали дороги с отметкой и на них отмеченыточки с отметками

a d

49 50 a D T

и

и (на это точки и ).50

Точки нулевых работ определялись способом использованиявспомогательной непроецирующей поверхности (см. рис. 4 ипояснения к нему). Так, для нахождения точки нулевых работ набровке задавали вспомогательную цилиндрическуюповерхность, направляющей которой являлась бровка , а образующими - параллельные горизонтальные прямые, проведенные черезточки бровки и . Эти прямые пересекают горизонтали топографической поверхности с отметками и в точках и соот-ветственно. Линия ( , ) - линия пересечения вспомогательной ци-линдрической и топографической поверхностей. Точка .Аналогично для нахождения точки нулевых работ на бровке

Ma

a

B R49 50 C K

C KM=(C ,K ) a

M a

(рис. 8, )-

-

б

кювета бровка заключалась во вспомогательную цилиндрическуюповерхность. Параллельные горизонтальные образующие прямыеэтой поверхности проводились через точки и бровки допересечения их в точках и с горизонталями топографическойповерхности с отметками и . Точка . Подоб-ным образом построены точки нулевых работ и .

a

D T aE F49 50 M =(E ,F ) a

N d N d

49 50 Ê

49

49 50

49 50

49 50

Ê

Ê

Ê

49 50

Ê49 50Ê

Ê Ê

Ê 49 50

50

4., которые являются поверхностями равного уклона -

плоскостями на прямолинейном участке дороги и открытымнаклонным геликоидом на её криволинейном участке. Эти и после-дующие построения показаны на рис. 9, отличающимся от рис. 8,отсутствием обозначений точек, используемых при построенииточек нулевых работ, и графика масштаба уклонов. Проекциигоризонталей поверхностей откосов строят с использованием

Строят проекции горизонталей поверхностей откосов насы-пи и выемки

б

окружностей - проекций горизонталей вспомогательных коническихповерхностей, как на рис. 12.15, для прямолинейного участка икак на рис. 12.15, для криволинейного.

бд

Ê Ê

5. Их проекциипроходят через проекции точек нулевых работ и проекции точекпересечения горизонталей поверхностей откосов и топографическойповерхности с одинаковыми отметками:

.

Определяют границы земляных работ.

M P G N W SM J N Y

, , ; , , ;, ; ,

51

49 49K

50

K

50 51

86

49

N

S

A49

M

N

5051

Ê

M

N

Ê

Рис. 9

Y

W

S

P

J

G

51

50

50

51

49

49

6. Для более наглядного выражения направления скатаоткосов от проекций их верхних бровок перпендикулярно проек-циям горизонталей откосов наносят длинные и короткие штрихи.

87

2.4. Определение границ откосов насыпи и выемкипри возведении горизонтальной площадки

На рис. 10, построены границы земляных работ при возведе-нии на топографической поверхности, представленной горизонталя-ми, горизонтальной площадки с отметкой . Контуры площадкипроецируются на в прямоугольник . Уклоны откосов:насыпи , выемки . Рекомендуемый ход построений:

а

501-2-3-4

i =1:1 i =1:1,51. Вычерчивают линейный масштаб и график масштаба

уклонов (рис. 10, ) и находят величины интервалов откосов насыпии выемки .

бl l

2. Определяют линию нулевых работ - горизонталь с отметкойтопографической поверхности, по которой пересекаются поверх-

ности окружающей местности и площадки. Левее этой горизонталибудет насыпь, правее - выемка. Точки и , заданные на рис. 10,проекциями и соответственно, - точки нулевых работ.

50

A BA B

а

3. В выемке, правее проекции горизонтали с отметкой , на рас-стоянии от проекций бровок площадки в линейном масштабе планапроводят проекции бровок кюветов, также имеющих отметку .

501

504. Перпендикулярно проекциям бровок площадки и кюветов

строят масштабы уклонов плоских откосов насыпи и выемки. Дляудобства построения один масштаб уклона откоса насыпи проведенне от проекции , а чуть левее от её продолжения. На масштабахуклонов откосов насыпи от проекций , и бровок площад-ки отложены величины интервала , на масштабах уклонов откосоввыемки от проекций бровок кюветов - величины интервала .

3-41-2 3-4 1-4

ll

Ï

í â

ì

ì

ì

â

í

í â

50 50

Через точку проходит масштаб уклона, в левой части которогонанесены величины интервала , а в правой - .

Al l

5. Через соответствующие отметки высот масштабов уклоновоткосов параллельно проекциям бровок вычерчивают проекциигоризонталей откосов насыпи и выемки.

6. Соединяя точки пересечения проекций одноименных гори-зонталей топографической поверхности и поверхностей откосов,получают проекции границ земляных работ - линий пересечения

50

âí

указанных поверхностей: , , , , и .(C ,D ) (D ,A ) (E ,F ) (F ,K ) (K ,G ) (B ,C )7. Соединяя точки пересечения проекций горизонталей

соседних откосов с одинаковыми отметками, строят проекции линийпересечения соседних откосов Проекции: , , и .(4,C ) (1,D ) (5,F ) (6,K )

88

10Рис.

+50,00

46

47

48

49

51

50 51

52

49484746

52

51

50

49

48

1 1

48

49

50

51

52

53

1:1

+50,00

à)

â)

Nb b

1 2

34

p

q

D

N

C

G

B50

A50

6

5E

Ê

F

50

50

1 2 3 40 ì

â

íl

l

Ëèíåéíûé ìàñøòàáè ãðàôèê ìàñøòàáà

óêëîíîâ

1

2

3

i =1:1,5i =1:1

â

í

á)

53

53

линий пересечения плоских откосов с одинаковым уклоном естьбиссектрисы прямых углов, под которыми пересекаются пары проек-ций одноименных горизонталей откосов.

Особое внимание следует уделить выявлению угловых точекC D F K, , и , в каждой из которых сходятся три линии: линии пересе-чения топографической поверхности со смежными откосами (грани-цы смежных откосов) и линия пересечения этих откосов. Обычноугловые точки ищут как точки пересечения каких-то двух этих

89

ì

â

í

a

ì

Проекции линий пересечения смежных плоских откосов , ,r tn c j d e, , , а также смежных плоских и конических откосов , прово-дят через точки пересечения проекций горизонталей смежныхоткосов с одинаковыми отметками.

Проекции границ земляных работ , , , , , , , , , ,- линий пересечения топографической поверхности и поверхностей

откосов - проходят через точки пересечения проекций одноименныхгоризонталей местности и откосов (см. рис. 13.6 и рис. 2, 3, 10приложения).

a b f k g q p s u vw

90

0 2 4 ì

27 28 29 30 31 32 33

34

+31,00

1 23 4 50

ì

Ëèíåéíûé ìàñøòàá è ãðàôèêìàñøòàáà óêëîíîâ

123

6 7 8

l

â

a

íll

Рис. 11

34

3433

31 32

3029

28

a

b

d

e

g

r

c

v

w

s

f

n p

k

u

t

B

A

C

E F

j

G

M

Êq

D

S

R

P

T

27

Положение угловых точек , , , , , , определяют как нарис. 10. Так, точка , где - проекция линии пересеченияплоских откосов (биссектриса прямого угла между проекциями горизонталей откосов с одинаковыми отметками); - проекция границыодного из откосов. Для уточнения проекции используют точкипересечения горизонталей этого откоса с отметками , и спроекциями соответствующих горизонталей земной поверхности.Другой пример: чтобы найти проекцию , достраивают частипроекций линии пересечения окружающей местности с плоскимоткосом и линии пересечения плоского и конического откосов.

C D E F K M GC =r a r

aa

29 30 31

E =f dfd

-

91

Для получения проекции дополнительно используют точки пересе-чения проекций горизонталей плоского откоса и топографическойповерхности с отметками ( ), ( ) и ( ). Проекция построена по точкам пересечения проекций горизонталей плоского иконического откосов с отметками , , (на рис. 11 эта точка невыделена, так как очень близка к точке ) и (несуществующаяуточняющая точка ).

f

27 P 30 R 31 S d

31 30 9

-

2E 28

T

3. Построение профилей (сечений) автомобильной дороги

Профилем поверхности называют фигуру её сечения вертикальной проецирующей поверхностью (раздел 13.1.1).

Продольный и необходимое число поперечных профилей даютпредставление о характере земляных работ при строительстведороги. Продольный профиль характеризует уклон и кривизнуотдельных участков местности и дороги вдоль её оси, позволяетустановить, где расположены участки насыпей и выемок, какова ихвысота или глубина и т. д. Поперечные профили несут информациюо форме, размерах и конструкции земляного полотна соткосами на различных участках и позволяют определить объёмземляных работ при возведении дороги.

Поперечные профили обычно строят в более крупныхмасштабах, чем продольные, и в одинаковых масштабах длявертикальных и горизонтальных расстояний. Так как в среднейполосе разности высот точек земной поверхности малы посравнению с горизонтальными расстояниями между ними, топродольные профили вычерчивают в разных вертикальных игоризонтальных масштабах.

-

дороги

27

3.1. Поперечный профиль автомобильной дороги

- это профиль поверхности земляного полотна с откосами и профиль топографической поверхности, получаемые при пересечении этих поверхностей вертикальнойпроецирующей плоскостью (2ГПЗ-2), основная проекция которой вплане направлена по нормали к проекции оси дороги.

На рис. 12 приведены план и поперечный профиль участкадороги в насыпи, соответствующий плоскости , положение кото-рой показано на плане разомкнутой линий (ГОСТ 2.305-68*). Секу-щую плоскость можно обозначать арабскими цифрами , , ... .

Поперечный профиль дороги --

A-A

1-1 2-2Назовем секущую плоскость . Основная проекция изображе-

на на плане тонкой линией, проходящей через разомкнутую линию.Ã Ã

92

Пусть пересекает топографическую поверхность по линии , аземляное полотно - по линии . Линия на плане представленапроекцией ( ) и градуирующими проекциями ,, , пересечения горизонталей земной поверхности плос-

костью . Линия на рис. 12 представлена проекцией (

Ã

Ã Ã Ã Ï

pq p

p p KC D E

q qточек

) и градуирующими её проекциями

и

и

точек пересечения сгоризонталями откосов. Проекции указанных точек в плане выделеныкружочками, но обозначены из них только проекции , , , ,

(точки и - точки на бровках дороги). Профили и опреде-ляются с использованием точек, градуирующих линии .

Ã

T B F GQ F G p q

p qНа втором этапе определяют масштабы построения профиля.

Примем, что горизонтальный и вертикальный масштабы профиляодинаковы и равны линейному масштабу плана (рис. 12).

На следующем шаге выбирают отметку основания профиля -горизонталь с отметкой , и на свободном поле чертежа

проводят основание профиля и параллельно ему - другиегоризонтали профиля с отметками , , , , и (расстояниемежду соседними горизонталями - 1 м с учётом масштаба).

15b

16 17 18 19 20 21

горизон-тально

Ã pÏ ÃÃ

2018 19

q Ã

19 20 20

ì15

Далее на базу наносят точки , , , , ..., соответствующие проекциям точек, градуирующих и . Для этого

задают начальную точку (см. план), а на базе профиля -начало отсчета точку . Чтобы получить, например, точку ,отображающую проекцию , на плане замеряют расстояние отточки до точки и откладывают расстояние (масштабыпрофиля и плана одинаковы) от точки по базе . Т

b C F B Kp q

N bN K b

K LN K L =L

N b

-на оси доро-

ги

очку профилянаходят, откладывая от точки перпендикулярно базе вер-

тикальную координату .

Ã

K K bH =H -Hb=19-15=4

15

b 15

17

17

Аналогично строят другие выделенные кружочками точкипрофиля. Соединив плавными линиями соответствующие точкипрофилей, получают профили земной поверхности и земляногополотна. Профиль уточняет точка топографической поверхности,у которой . Её отметка (приближенное определениеотметки точки см. рис. 11.18, 12.14 и пояснения к ним). Точки ипринадлежат границам земляных работ. Им соответствуют точки про-филя и , которые определяют по точкам и с плана

p qp M

M N H 18,6R S

R=p q S=p q R G

=

чертежа, отмеряя расстояние от оси дороги.

K

17 K K

b 15

ìK K

15

M

16

18

15

93

Аналогично строят поперечный профиль не только длягоризонтального участка дороги, но и для участка дороги с продоль-ным уклоном, в том числе криволинейного. На рис. 10, показан по-строенный изложенным способом профиль горизонтальной площад-ки, часть которой расположена в выемке и снабжена кюветом. Этотпрофиль представляет собой профили и линий ипересечения поверхностей окружающей местности и площадки (соткосами) соответственно вертикальной плоскостью . При этомпрофиль горизонтальной площадки включает в себя профилькювета. Базовой горизонталью профиля выбрана горизонталь с от-меткой . На основной проекции секущей плоскости (изображенатонкой линией, проходящей через разомкнутую линию и случайносовпадающей с горизонтально расположенными масштабами укло-на) указана начальная точка . Поскольку база параллельнаосновной проекции плоскости и начало отсчета точка на-ходится в проекционной связи с точкой , то профили и , в своюочередь, находятся в проекционной связи с проекциями и . Не-

в

p q p q

1-1q

48

N b1-1 N b

N p qp q

существующая часть профиля топографической поверхности, со-ответствующая срезанному участку земной поверхности в выемке,изображается штриховой линией.

В табл. 1 приведены условные графические обозначениянекоторых материалов в сечениях.

p

ì

48

48b

Поперечный профиль земляного полотна при спокойномрельефе можно строить, проводя из точек профиля и на бровкахдороги прямые, соответствующие уклону откосов (на рис. 12 ).

qF G

i =1:1í

Грунт насыпной

Смесь песчано-гравийная

Общее графическое обозначение материаловв сечениях независимо от вида материала

Обозначение естественного грунта земли

Таблица 1

Материал Обозначение

0 1 2 3 ì4

17 1918

+20,00

Ïëàí

A A

LK

DSR

K

BC

F M

G19

20

18

17

20 19

NT

qpÃ

16

20

E20

Q

21

94

A-A

19

20

21

18

17

16

b 15

B

G

D

C

F S

KR

N

T

p

M

M

+20,00q

F CBKRT b G DS

Рис. 12

EQ

Q

95

3.2. Продольный профиль автомобильной дороги

представляет собой профилидвух поверхностей - земляного полотна и топографической, получае-мые при пересечении этих поверхностей с проецирующей секущейповерхностью, проходящей через ось дороги. Проецирующая (про-фильная) поверхность может быть отсеком плоскости (ось дорогипрямолинейна), цилиндрической поверхности (ось дороги криво-линейна) или состоять из отсеков перечисленных поверхностей (осьдороги включает в себя отрезки прямых и дуги кривых линий).

Если ось дороги прямая линия, то продольный профильдороги строят, как её поперечный профиль в разделе 3.1 прило-жения. Поэтому на рис. 14 построен продольный профиль

соответствующий проецирующейцилиндрической поверхности .

Продольный профиль дороги

участкадороги с криволинейной осью,

Ось дороги является направляю-щей поверхности , образующие которой перпендикулярны ипроецируются на плане (рис. 13) в проекцию оси дороги - основнуюпроекцию поверхности .

FF

F F

Ï

Профилем поверхности при пересечении её проецирующейцилиндрической поверхностью называют развертку линии пересе-чения этих поверхностей. Поэтому продольный профиль дороги нарис. 14 представляет собой развертки линий и , по которымцилиндрическая поверхность пересекает соответственно поверх-ности земляного полотна и местности.

g kF

Последовательность построения профилей и :g k1. Линия g g

B C D E -k

k F G KM T -

представлена на рис. 13 проекцией и градуи-рующими её проекциями , , и точек пересечения горизонталей земляного полотна с проецирующей поверхностью, а линия -проекцией и градуирующими её проекциями , , ,

и точек пересечения горизонталей топографической поверхности с поверхностью .

Ô

19 20 21 22

19 20 21

22 23

Ô

Ô2. Кривую между точками и аппроксимируют отрез-

ками , и (на рис.13 показан толькопоследний из них). Длина каждого отрезка - интервал поверхностидороги. Кривую между точками и также заменяют лома-ной, вершинами которой являются проекции градуирующих точек(на рис. 13 показаны только отрезки и ).

g B E[B ,C ] [C ,D ] [D ,E ]

lk F T

k[F ,G ] [G ,K ]19 20 20 21

19 23

19 22

19 20 20 21 21 22

a

3. горизонтальных расстояний на планеДля определения

96

0 62 ì4 8

0 1 2 3 ì4

1920

21

22

BN C G DF Ê M T E

g

23

B N19

F19

C20 G20

Ê21 D21

M22T23

E22

Ô k gРис. 13

0 62 ì4 8

Рис. 14

Ãîðèçîíòàëüíûéìàñøòàá

Âåðòèêàëüíûéìàñøòàá

20

21

22

23

19

L F G ÊL L lab

b18

A

F

C

G

Ê

D

M

T

E

k

(рис. 13) выбирают начальную точку , а для опреде-ления высот точек профиля - базовую горизонталь профильнойповерхности с отметкой .

N N B

Hb=184. Задают вертикальный и горизонтальный масштабы

профиля, которые, как уже отмечалось, для продольных профилейразличны. На практике горизонтальный масштаб принимают 1:5000(в 1 см - 50 м), а вертикальный - 1:500 (в 1 см - 5 м), т. е. отношениемасштабов составляет 1:10. В нашем учебном примере на рис. 14вертикальный масштаб в два раза больше горизонтального, равноголинейному масштабу плана на рис. 13.

ì

Ô 19

Ô

97

9. Проводят продольный профиль земной поверхности - кри-вую , аппроксимирующую точки профиля , , , , . Иногда про-филь земли изображают ломаной линией. Продольный профильземляного полотна проходит через точки , , и и является отрез-ком прямой, поскольку уклон полотна дороги и направление еёспуска на рассматриваемом участке неизменны.

k F G K M Tk g

B C D E

На рис. 14 точка соответствует точке нуле-вых работ, находящейся на границе земляных работ. Левее точкидорога расположена в насыпи, правее - в выемке.

A=k g AA

профиля

5. Проводят основание (базу) профиля - развернутую в пря-мую проекцию базовой горизонтали, совпадающую с проекцией осидороги и являющуюся горизонталью профиля с отметкой .

b

18

18

6. Параллельно базе профиля наносят горизонтали профи-b18

7. На базе отмечают точку , от которой откла-дывают горизонтальные расстояния при построении профилей.

b N(рис. 14)

8. Строят профилей, используя точки, градуирующиелинии и . Для построения точки профиля на плане берутрасстояние между точками и ( ), пересчитывают его приразных масштабах плана и профиля (горизонтального) и отклады-вают пересчитанное расстояние от точки по основанию ,получая точку . В данном случае и

точки

эти масштабы одинаковы

g k FL N F N,F

L N bF L =

=L H =H -Hb=19-18=1H F

b19 F

. Далее находят высоту профиляот точки в на-

правлении, перпендикулярном базе , на горизонтали сотметкой точку .

и с учетомвертикального масштаба откладывают высоту

получая

18

ì

F

F

F

F F

F

18

F 19 19

b

18 b

ля с отметками , , , , и . Расстояние между сосед-19 20 21 22 23 24ними горизонталями равно единице вертикального масштаба.

ì

Также строят другие точки : чтобы найти точку GL = F ,G L =L

F b G

наплане берут расстояние и откладывают отрезокот точки по базе , получая на ней точку и т. д.

профилей

Отрезок на базе соответствует развернутой в отре-зок прямой проекции , а отрезок - проекции . Длинаотрезка равна длине ломаной , заме-няющей , длина отрезка - длине ломаной ,заменяющей и равной .

[F ,T ] bk [B ,F ] g

[F ,T ] [F ,G ,K ,M ,T ]k [B , E ] [B ,C ,D ,E ]

g l3

19 20G G G

18

18

19 20 21 22 23

19 20 21 22

a

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курслекций по начертательной геометрии: Учебное

строительных асть . - 2-е изд., перераб. и доп.9. -98с

пособие для студен-тов специальностей: Ч 1/МАДИ(ГТУ). -М., 200 .2. Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М. Курс лекций по начерта-тельной геометрии: Учебное пособие для студентов строительныхспециальностей /МАДИ(ГТУ). Часть2. -М., 2002. -65с.3. Оганесов О.А., Кузенева Н.Н. Инженерная графика. Справочныематериалы: Учебное пособие /МАДИ(ГТУ). Часть 1. -М., 2006. -94с.4. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов. - 2-еизд., перерабидоп. -М.: Высш.шк., 1981. -262с.5. Брилинг Н.С. и др. Справочник по строительному черчению: Учеб.пособие пособие для техникумов /Н.С. Брилинг, С.Н. Балягин, С.И.Симонин. -М.: Стройиздат, 1987. -448с.6. ЛуговойМ.А.Проекции с числовыми отметками: Учебное пособие/МАДИ. -М., 1993. -56с.7. Луговой М.А. Перспективные проекции: Учебное пособие/ МАДИ.-М., 1995. -44с.8. Начертательная геометрия: Учебник для строит. спец. вузов/Крылов Н.Н., Иконникова Г.С., Николаев В.Л. и др.; Под ред. Н.Н. Кры-лова. -5-е изд. перераб. и доп. -М.: Высш.шк., 1984. -224 с.9. Короев Ю.И. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов. -М.:Стройиздат, 1987. -319с.10. Симонин С.И. Инженерно-топографическое черчение и нагляд-ные изображения: Учебное пособие для вузов. 2-е изд., перераб и доп.-М.: Недра, 1979. -192с.11. СимонинС.И., ЛуговойМ.А. Границы земляных работ: Методичес-кие указания /МАДИ. -М., 1986. -39с.12. Вожик Л.А. Перспектива павильона: Методические разработки поначертательной геометриии черчению/МАДИ.-М., 1987. -55с.

98

ОГЛАВЛЕНИЕ

Олег Авакович ОГАНЕСОВ, Виктор Александрович КАЙЛЬ,Ирина Михайловна РЯБИКОВА, Наталья Николаевна КУЗЕНЕВА

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИУчебное пособие для студентов строительных специальностей

Часть 2

Редактор Ю.К.Фетисова

Тем. план 2010г., п. 19Подписано в печать 7.04.2010 г. Формат 60х84/16Печать офсетная. Усл.печ.л. 6,1 Уч.-изд.л. 5,0Тираж 600 экз. Заказ Цена 60 р.Ротапринт МАДИ. 125319, Москва, Ленинградский проспект, 64

Лекция 11. Проекции с числовыми отметками. Задание точек илиний ................................................................................

Лекция 12. Задание поверхностей ...................................................Лекция 13. Главные позиционные и метрические задачи ..............Лекция 14. Перспектива ....................................................................Лекция 15. Перспектива (продолжение) ..........................................Лекция 16. Перспектива (продолжение) ..........................................Приложение к разделу “Проекции с числовыми отметками” .........Список рекомендуемой литературы .................................................

3

2613

526272

43

99

98

10E060

Documents

c9

ni 7

abd

a1

abce

p1

bhb

c3