104216-Summay4[1]

- תקציר 104216 מד"ח

אינדקס:

ראשון מסדר : מד"ח1 פרק

הגדרות1.1

לינארית מד"ח1.2

ההצבה פתרון: שיטת דרך1.2.1

לינארית קוואזי מד"ח1.3

אופייניים קווים1.3.1

האופייניים הקווים פתרון: שיטת דרך1.3.2

הטרנסברסליות תנאי1.3.3

ויחידות קיום1.3.4

לגרנז' פתרון: שיטת דרך1.3.5

שני מסדר : מד"ח2 פרק

לינארית מד"ח 2.1

משוואת סוגי2.1.1

צירים מערכת סיבוב2.1.2

ליוביל שטורם : משוואת3 פרק

הגדרות3.1

ליוביל שטורם כמשוואת מד"ר הצגת3.2.1

לגרנז' זהות3.2.2

גרין נוסחת3.2.3

עצמיים ופולינומים עצמיים ערכים תכונות3.2.4

ליוביל שטורם בעיית של

הפולינומים במרחב לטור פיתוח3.2.5

שמידט הילברט האופייניים, משפט

פתרון דרך3.2.6

הגלים : משוואת4 פרק

אינסופי במיתר ההומוגנית הגלים משוואת 4.1

פתרונות סוגי 4.1.1

ויחידות קיום 4.1.2

דלמבר פתרון: פתרון דרך 4.1.3

במיתר הומוגנית הלא הגלים משוואת 4.2

אינסופי

ויחידות קיום 4.2.1

תכונות 4.2.2

אינסופי חצי במיתר גלים משוואת 4.3

זוגית / אי זוגית פתרון: הרחבה דרך4.3.1

הומוגני לא שפה פתרון: תנאי דרך4.3.2

סופי במיתר הומוגנית גלים משוואת 4.4

מחזורית פתרון: הרחבה דרך 4.4.1

פתרון: הצבה דרך4.4.2

סופי במיתר הומוגנית אי גלים משוואת 4.5

פתרון דרך 4.5.1

הומוגניים לא שפה תנאי 4.5.2

החום : משוואת5 פרק

הומוגנית חום משוואת5.1

פתרון דרך5.1.1

האנרגיה פתרון: שיטת יחידות הוכחת5.1.2

אמיתי פתרון5.1.3

הומוגנית חום במשוואת המקסימום עקרון5.1.4

הומוגניות חום במשוואות יציבות הוכחת5.1.5

לפלס : משוואת6 פרק

כללית לפלס משוואת6.1

פתרון דרך6.1.1

מלבן בקודקודי הומוגניים לא שפה ערכי איפוס6.1.2

בעיגול לפלס משוואת6.2

פתרון דרך6.2.1

פואסון נוסחת6.3.1

גרין זהות6.3.2

פתרון לקיום הכרחי תנאי6.3.3

הממוצע עקרון6.3.4

/ מינימום המקסימום עקרון6.3.5

- הוכחות נספח

27 מתוך 1 עמוד

, תרגישוdoc הקובץ את גם צירפתי טעויות, לכן בו שנפלו להיות ויכול מושלם אינו המחבר: הסיכום הערת

ידיעתי(. ללא )גם בהתאם הפתק את לשנות, לשכתב, להרחיב, ולעדכן חופשי

27 מתוך 2 עמוד

ראשון מסדר : מד"ח1 פרק

הגדרות1.1

המשוואה סדר

ביותר הגבוהה הנגזרת סדר

לינארית משוואה

ובנגזרותיה הנעלמת בפונקציה לינארית

לינארית קוואזי משוואה

ביותר הגבוהה מהסדר בנגזרות לינארית

לינארית סמי משוואה

נגזרותיה( בכל לינארית )אבל הנעלמת בפונקציה רק לינארית לא

דיפרנציאלי אופרטור

מקיימת פונקציה, כלומר על לינארית פעולה

, מתקייםדיפרנציאלי: לפלסיאן: לאופרטור דוגמה

התחלה תנאי

, לדוגמה: t = 0 בזמןx לכל שמתקיים הפתרון על אילוץ

שפה תנאי

( , לדוגמה: x = 0, L) השפה עלt לכל שמתקיים הפתרון על אילוץ

לינארית מד"ח1.2

צורה:

ההצבה פתרון: שיטת דרך1.2.1

: y ל כללי פתרון , ומקבליםבנוסחה: . מציבים1

(x, y לכלs = c , )מתקייםחדש: משתנה . מגדירים2

27 מתוך 3 עמוד

= t לבחור מספיק כלל )בדרךמאפס, שונה שהיעקביאן כךt נוסף משנתה . בוחרים3

x)

מחליפים כאשר המשוואה את . רושמים4

השרשרת כלל לפי הנגזרות את ומחליפים

בגלל כאלה פונקציות )קיימותs, t במקום את מציבים ובסוף אותה מד"ר, פותרים . מתקבלת5

מאפס( שונה שהיעקביאן

לינארית קוואזי מד"ח1.3

צורה:

(s חופשי פרמטר עם )עקוםההתחלה: תנאי צורת

אופייניים קווים1.3.1

בצורה המשוואה את נכתוב

ניצבים הווקטורים ששני לראות אפשר

: המשטח של הגרדיאנט הוא הראשון הווקטור

u למשטח משיק תמיד השני הווקטור ולכן

u של האופייניים לקווים המשיק הוא הווקטור

האופייניים הקווים פתרון: שיטת דרך1.3.2

המערכת: את . פותרים1

ההתחלה: תנאי עם

x, y בעזרתt, s את . מבטאים2

27 מתוך 4 עמוד

מאפס: שונה היעקביאן מתי זה, כלומר את לעשות אפשר מתי בודקים

מאפס( שונה שהיעקביאן שיבטיחוx, y על אילוצים להתקבל יכולים )מכאן

: u בפתרון את . מציבים3

27 מתוך 5 עמוד

הערות

.t בפרמטר אופייני קו מייצגת שנבחר, המערכת כלשהו קבועs = c שלכל לב . שים1

כלשהו. קבוע כאשר העקום הואx-y מישור על אופייני קו . היטל2

הטרנסברסליות: תנאי נקראת כאשר מאפס שונה יהיה שהיעקביאן . הדרישה3

הטרנסברסליות תנאי1.3.3

מקבלים: יהיו לא ההתחלה ולעקום האופייני לעקום המשיקים שלx-y מישור על שההיטלים דרישה

הוא: האופייני לעקום משיק

אחר( אופייני עקום מתקבלs כל )עבור

הוא: ההתחלה לעקום משיק

הוא: הטרנסברסליות תנאי לכן

תלויים( בלתי הווקטורים אם )מתקיים כלומר

מתקיים התנאיx, y לאיזה ולבדוק שלהם הביטויים את להציב צריךs, t את שכולל ביטוי מתקבל

למציאת דרכים שתי יש פתרונות, אז אינסוף יש ויחידות קיום מתקיים, ולפי אינו הטרנסברסליות תנאי אם

פתרונות:

הנעלמת. הפונקציה על אילוץ ומוצאים ההתחלה בתנאי אותו כללי, מציבים פתרון א. מוצאים

עקום את מקבלים מסוייםt האופייניים בקווים מציבים אם האופייניים, כלומר בקווים מוכל ההתחלה ב. עקום

ש: אחר עקום כל לבחור אפשר ההתחלה, לכן

(, מהצורה כלל )בדרךs = 0אחת, בנקודה הנתון ההתחלה עקום את . חותך1

נחתכים(. העקומים שני של )ההיטלים הטרנסברסליות תנאי את . מקיים2

הראשון. ההתחלה העקום את גם שיכיל מתאים פתרון יהיה שיתקבל והפתרון

27 מתוך 6 עמוד

ויחידות קיום1.3.4

דטרמיננטות: שתי ונגדירהאופייניים, ולקוויםההתחלה, לעקום המשיקים על נסתכל

:

יחיד פתרון יש אזמקבילים, לא המשיקים היטלי אם. 1

, אז:מקבילים, ההיטלים אם. 2

פתרונות אינסוף יש אזמקבילים, עצמם המשיקים אם

פתרונות אין אזמקבילים, לא עצמם המשיקים אם

ש: להיות יכול ולכן מתקיים אינו הטרנסברסליות תנאי בהם נקודות להיות . יכולות3

(C1) וגזיר קיים א. הפתרון

גזיר ולא קיים ב. הפתרון

קיים לא ג. הפתרון

מציבים כלומר בעזרת מבטאים הוקטור : אתהערה

לגרנז' פתרון: שיטת דרך1.3.5

התחלה תנאי ללא לינארית קוואזי למד"ח כללי פתרון למציאת שיטה

: ל מאונך שלהם שהגרדיאנט משמרים שדות שני . מנחשים1

שמקיימת פונקציה כל הוא . הפתרון2

את מוצאים ההתחלה תנאי . לפי3

27 מתוך 7 עמוד

שני מסדר : מד"ח2 פרק

לינארית מד"ח2.1

צורה:

משוואת סוגי2.1.1

אפשרויות:3 , וישהבאה: בצורה מוגדרת הדסקרימיננטה

קנונית היפרבולית, צורה היא , המשוואה. 1

קנונית פרבולית, צורה היא , המשוואה. 2

קנונית אליפטית, צורה היא , המשוואה. 3

בתחום תלוי להיות יכול המשוואה : סוגהערה

צירים מערכת סיבוב2.1.2

הבאה: המשתנים החלפת ידי על יתבצע מד"ח של צירים מערכת סיבוב

( לפיs "גזירה" של ידי על לקבל אפשרt ל הנוסחה שאת לב )שים

ל עוברת היא הנ"ל, כלומר המשתנים החלפת אחרי צורתה את משנה לא המד"ח

.

מהצורה מד"ח היא צורתה את משנה קבועים, שלא מקדמים עם שני מסדר הומוגנית לינארית מד"ח כל

הזאת.

27 מתוך 8 עמוד

ליוביל שטורם : בעיית3 פרק

הגדרות3.1

ליוביל שטורם אופרטור

הבאה: מהצורה אופרטור הוא ליוביל שטורם אופרטור

עצמית עצמי, פונקציה ערך

)הפעלת שמתקיים )סקלר( כך עצמי ערך קיים שעבורהv פונקציה היא עצמית פונקציה

בסקלר( להכפלה שקולה האופרטור

ליוביל שטורם משוואת

p, q עבור ליוביל שטורם אופרטור הואL ו עצמי ערך הוא כאשר כ להכתב שיכולה משוואה כל

ליוביל שטורם משוואת נקראת כלשהם

p = 1, q = 0 עבור ליוביל שטורם משוואת היא המשוואה לדוגמה

ליוביל שטורם בעיית

התחלה( תנאי )ללא שפה תנאי בצירוף ליוביל שטורם משוואת

משוואות( )שתיכללית: שפה תנאי צורת

עצמיים לערכים שמתאימותv עצמיות פונקציות מחפשים ליוביל שטורם בבעיית

תהיה: ליוביל שטורם משוואת של והצורה

יחיד באופןr(x) את קובעת המשוואה משקל, צורת פונקצית היאr(x) > 0 כאשר

פנימית העצמיות, מכפלה הפונקציות ידי על שנפרש במרחב הפנימית במכפלה מופיעה המשקל )פונקצית

(מהצורה: נראת

רגולרית ליוביל שטורם בעיית

(, מהצורה: b ו- a) הקצוות לשני נפרדים שפה תנאי בצירוף ליוביל שטורם משוואת

מהצורה תנאי עם למשל להיות יכולה רגולרית לא בעיה

מחזורית ליוביל שטורם בעיית

מהצורה: מחזוריים שפה תנאי בצירוף ליוביל שטורם משוואת

27 מתוך 9 עמוד

סינגולרית ליוביל שטורם בעיית

...

דריכלה התחלה תנאי

בקצוות, מהצורה הפונקציה ערכי על התחלה תנאי

נוימן התחלה תנאי

בקצוות, מהצורה הנגזרת על התחלה תנאי

ליוביל שטורם כמשוואת מד"ר הצגת3.2.1

ליוביל: שטורם כמשוואת להציג אפשר שני מסדר הומוגנית לינארית מד"ר כל

נגדיר

ונקבל: ב המשוואה את נכפול

לגרנז' זהות3.2.2

מפורש, באופן האופרטורים הצבת ידי לגרנז' על זהות את לקבל קל

שפה, מתקיים: תנאי אותם את מקיימותu, v )סימטריה( אם גרין נוסחת3.2.3

ליוביל שטורם בעיית של עצמיים ופולינומים עצמיים ערכים תכונות3.2.4

ממשיים הם העצמיים הערכים . כל1

(1 )מריבוי פשוטים הם העצמיים הערכים רגולרית: כל . בבעיה2

1 מריבוי בהכרח לא הם העצמיים מחזורית: הערכים בבעיה

לאינסוף ממש עולה מונוטונית סדרה מהווים והם עצמיים ערכים אינסוף רגולרית: יש . בבעיה3

ממש לא אבל עולה הסדרה ( ולכן2 )ריבוי כפולים עצמיים ערכים מחזורית: יש בבעיה 27 מתוך 10 עמוד

מסויים למרחב יאורתוגונל בסיס מהווים והם עצמיים פולינומים אינסוף . יש4

, כלומר:תאורתוגונליו המתאימות העצמיות הפונקציות אז שונים העצמיים הערכים אם

גרין( נוסחת ידי על )הוכחה

27 מתוך 11 עמוד

שמידט הילברט האופייניים, משפט הפולינומים במרחב לטור פיתוח3.2.5

העצמיים הפולינומים הן השפה, והפונקציות תנאי את למקוטעין, מקיימת רציפה, גזירהf אם

הבאה: בצורה כטורf את לכתוב ניתן אורתונורמלי, אז בסיס מהוות הן המנורמלים, כלומר

ידי: על נקבעיםcn המקדמים כאשר

הערות

.f ל שווה במידה מתכנס . הטור1

פורייה. טור בעצם מחזורי, והוא הטור מחזורית בעיה של עצמיות . בפונקציות2

ומשמאל. מימין לממוצע מתכנס הטור אז קפיצה רציפות אי ישf ל . אם3

פתרון דרך3.2.6

בעיית מקבלים החום במשוואות או סופי במיתר הגלים במשוואות משתנים בהפרדת פתרון מציבים כאשר

בנפרד מהמשתנים אחד כל על ליוביל שטורם

מהצורה: ליוביל שטורם בעיית מקבלים כללי באופן

הם והשורשים הוא שלה האופייני קבועים, הפולינום משתנים עם מד"ר זאת

פתרון: אפשרויות3 ל מחלקים

נוחה יותר בצורה או הוא הפתרון

הוא הפתרון ולכן הם השורשים

הוא הפתרון ולכן היא המשוואה

הקבועים את נוימן( ומוצאים או )דריכלה השפה בתנאי מהאפשרויות אחת כל מציבים

:הערה

פונקציות שנותן היחיד הוא התנאי דריכלה, ואז שפה תנאי נתון כלל בדרך סופי במיתר גלים במשוואות

האפשרויות. כל את לבדוק מעורבים, צריך או נוימן שפה תנאי של במקרה מאפס. אבל שונות עצמיות

27 מתוך 12 עמוד

הגלים : משוואת4 פרקסוגים: לשלושה מתחלקות הגלים משוואות

דלמבר נוסחת בעזרת אינסופי, פתרון במיתר . משוואות1

דלמבר נוסחת בעזרת אינסופי, ופתרון למיתר זוגית אי או זוגית אינסופי, הרחבה חצי במיתר . משוואות2

משתנים בהפרדת סופי, פתרון במיתר . משוואות3

אינסופי במיתר ההומוגנית הגלים משוואת4.1

צורה:

התחלה: תנאי צורת

הפתרון: צורת

פתרונות סוגי4.1.1

/ מוכלל אמיתי פתרון

מוכלל הפתרון אחרת אמיתי הוא הפתרון אז אם

להתקיים צריך אז פעמיים גזירים יהיוF, G ש כדיf, g על בעצם הוא התנאי

יציב פתרון

ב ההתחלה תנאי את משנים כאשר המתקבלu2 לפתרון שקרובu1 פתרון

מ קטן הפונקציות בין ההפרש ב ההתחלה תנאי את משנים שאם כך קיים לכל כלומר

לכל

ויחידות קיום4.1.2

לבעיה: אז וגם אם

לכל יחיד פתרון קיים

לכל ויציב

27 מתוך 13 עמוד

דלמבר פתרון: פתרון דרך4.1.3

מקבלים: ההתחלה בתנאי הכללי הפתרון הצבת ידי על

המקורית: המשוואה של הפתרון לכן

יציב( )הפתרון

נסוג וגל מתקדם לגל הפרדה

שמאלני?( נסוג. )גל גל הוא השמאלי והחלק מתקדם גל הוא הימני החלק

הגלים: שני את לפתרון, מציירים הגרפית בשיטה

הגרפים. שתי את ומחבריםct ב שמאלהG ואת ימינהF את מזיזיםct בזמן הפתרון את לקבל וכדי

אינסופי במיתר הומוגנית הלא הגלים משוואת4.2

צורה:

התחלה: תנאי צורת

הפתרון: צורת

שני שלx ציר עם החיתוך ונקודות הפונקציה מחושבת בה מהנקודה שמתקבל המשולש הוא כאשר

ממנה שיוצאים אופייניים קווים

הנקודות בין כלומר

בצורה: רושמים המשולש על האינטגרל את

27 מתוך 14 עמוד

( מציבים האינטגרל )בתוך

הםs של הגבולות המשולש, כאשר שבבסיס לב שמים אם הגבולות את לזכור אפשר

x לנקודה מצטמצמים הגבולות כאשר המשולש ובקודקוד

ויחידות קיום4.2.1

ויציב קיים, יחיד הפתרון כאשר

תכונות4.2.2

f, g, F הפונקציות / מחזוריות זוגיות / אי זוגיות לפי נקבעתu הפתרון תכונת

זוגית. / אי זוגיתu זוגיות, אז / אי זוגיות הפונקציות כל אם

מחזורות.u מחזוריות, אז הפונקציות כל אם

אינסופי חצי במיתר גלים משוואת4.3

צורה:

/ שפה: התחלה תנאי צורת

( להתקיים חייב )כאשר

לא הן בהם בתחומיםf, g, F הפונקציות על אינטגרציה לבצע צריך דלמבר שבפתרון מזה נובעת הבעיה

הישר: כל על אותן להגדיר צריך מוגדות, לכן

זוגית / אי זוגית פתרון: הרחבה דרך4.3.1

הישר כל על , שמוגדרת דומה בעיה השיקוף, נגדיר בשיטת נפתור

יהיו: החדשים ההתחלה , תנאיאי-זוגית הרחבה נבצע אז שפה תנאי נתון . אם1

. בראשית, ויקיים יתאפס זוגי אי יהיה החדשה הבעיה של והפתרון

יהיו: החדשים ההתחלה , תנאיזוגית הרחבה נבצע ( אז )במקום שפה תנאי נתון . אם2

27 מתוך 15 עמוד

. ויקיים זוגי יהיה החדשה הבעיה של והפתרון

המקורית. למשוואה הפתרון , וזה מתקיים בוx > 0 בתחום רק הפתרון על נסתכל בסוף

הומוגני לא שפה פתרון: תנאי דרך4.3.2

חדשה: פונקציה נגדיר במקום בה . בבעיה1

הומוגני: יהיה החדשה הפונקציה של השפה שתנאי כך

ישתנו: ההתחלה ותנאי המשוואה

המקורית: לפונקציה נחזור ובסוף אי-זוגית הרחבה ידי עלv את נמצא

חדשה: פונקציה נגדיר במקום בה . בבעיה2

הומוגני: יהיה החדשה הפונקציה של השפה שתנאי כך

ישתנו: ההתחלה ותנאי המשוואה

המקורית: לפונקציה נחזור ובסוף זוגית הרחבה ידי עלv את נמצא

סופי במיתר הומוגנית גלים משוואת4.4

צורה:

דריכלה( מסוג שפה )תנאישפה: תנאי צורת

התחלה: תנאי צורת

27 מתוך 16 עמוד

מחזורית פתרון: הרחבה דרך4.4.1

הישר, כל על מחזורית , והמשכה בקטע זוגית אי הרחבה , נבצע בקטע מוגדרותf , g הפונקציות

2L ומחזוריות זוגיות אי נקבל

האינסופי: המיתר של הפתרון הוא הסופי המיתר לבעיית היחיד הפתרון

.u בפונקציה הקטע על רק מסתכלים כאשר

פתרון: הצבה דרך4.4.2

ההתחלה ובתנאי ההומוגנית במשוואה , מציבים מהצורה הוא שהפתרון . מניחים1

T ועבורX עבור ליוביל שטורם בעיית ומקבלים

מהצורה: פתרון, והוא קיים ל , רקX עבור ליוביל שטורם בעיית את . פותרים2

העצמיים: והערכים העצמיות הפוקציות את השפה, מוצאים תנאי בשני הפתרון את . מציבים3

הן העצמיים לערכים שמתאימות העצמיות הפונקציות

את מנרמלים אורתונורמלי למרחב אותו להפוך אורתוגונלי, כדי הוא הפונקציות ידי על הנפרש . המרחב4

.1 היא שלהן הנורמה בהן פנימית מכפלה מגדירים הפונקציות, או

נרמול:

פנימית: מכפלה הגדרת

בצורה: נכתובXn עצמית פונקציה האורתונורמלי, כל המרחב את שפורשות הפונקציות הן

( אז בה פנימית מכפלה הגדרנו )אם

היא: הפתרון פתרון, צורת קיים ל רק , שובT עבור ליוביל שטורם בעיית את . פותרים5

27 מתוך 17 עמוד

הם: החלקים שני . פתרונות6

:un של לינארי צירוף הוא הכללי , הפתרון המקורית למשוואה פתרון קייםn כל עבור

ונקבל: למקדמים את נצרף

ההתחלה בתנאי . ונציב7

סינוסים: לטורf, g את נפתח

הפתרון. של המקדמים את נמצא עם מקדמים השוואת ידי ועל

) מעורבים שפה תנאי ( או) נוימן מסוג שפה תנאי עם בעיות פתרון דרךהערה:

דומה. ( מאוד

אחת לכל שונים עצמיים ערכים להתקבל יכולים כלומר של אפשרות כל לבדוק צריך

T ל וגםX ל שונות עצמיות פונקציות מהם אחד מהאפשרויות, ולכל

סופי במיתר הומוגנית אי גלים משוואת4.5

צורה:

דריכלה( מסוג שפה )תנאישפה: תנאי צורת

התחלה: תנאי צורת

27 מתוך 18 עמוד

פתרון דרך4.5.1

:ההומוגנית המשוואה את לפתור . מתחילים1

העצמיות הפונקציות העצמיים, ואת הערכים את מוצאים 4.4.2 ב כמו

מתקבל: דריכלה שפה תנאי של במקרה

מהצורה: יהיה . הפתרון2

בצורה הפתרון את נרשם , לכןTn בפונקציה מוכלBn שהמקדם נניח

סינוסים, בצורה: לטורF(x, t) את . מפתחים3

: של מד"ר ומקבלים המקורית במשוואה הפתרון את . מציבים4

לכן המשוואה את מקיימות העצמיות . הפונקציות5

בצורה: נכתוב הפתרון את

עבור הומוגנית לא מד"ר קיבלנו כלומר

הוא: ופרטי הומוגני פתרון של כסכום של . הפתרון6

לא המקדמים גם , אזt ב תלוי לא כלומר הוא המקורית המשוואה של הומוגני האי החלק א. אם

קבוע הוא הפרטי הפתרון ולכןt ב תלויים

מורכב הפרטי שהפתרון הפרמטר: מניחים ווריאציית בשיטת פותריםt ב תלויים כן המקדמים ב. אם

כלומר, ההומוגניים הפתרונות של לינארית לא מקומבינציה

מהמערכת: מוצאים המקדמים את כאשר

ההתחלה: בתנאי הפתרון את . נציב7

27 מתוך 19 עמוד

כלומר:n במרחב לטור בפיתוחf, g של המקדמים הם כאשר

27 מתוך 20 עמוד

הומוגניים לא שפה תנאי4.5.2

סופי, מהצורה: במיתר הומוגנית אי גלים משוואת על נסתכל

הבעיה את , נפתורהשפה, נגדיר תנאי את שתקייםw פונקציה נבנה הומוגניים לא השפה תנאי כאשר

בהתאם(, ישתנו ההתחלה תנאי )גם הומוגניים יהיוv של השפה תנאי עבורה

: u ל נחזור ובסוף

שפה: לתנאי דוגמאות

מהצורה פונקציה , נבנהדריכלה: מסוג שפה . תנאי1

מהצורה פונקציה נבנהמעורבים: שפה . תנאי2

מהצורה פונקציה נבנהנוימן: מסוג שפה . תנאי3

שוויון דורשים השפה בתנאי מציבים פשוט להגדיר צריךw פונקציה איזה רואים לא אם כללי באופן

מעורבים: שפה בתנאי , לדוגמהw ל התנאים את ומוצאים לאפס

יותר פשוט הומוגני אי חלק מקבליםw הפונקציה החסרת אחרי כלל בדרך

27 מתוך 21 עמוד

החום : משוואת5 פרק

הומוגנית חום משוואת5.1

,צורה:

ההתחלה: תנאי צורת

)דריכלה(: שפה תנאי צורת

הפתרון: צורת

פתרון דרך5.1.1

ליוביל שטורם בעיית השפה, ומקבלים ובתנאי המקורית במשוואה הכללי הפתרון את . מציבים1

העצמיים והערכים העצמיות הפונקציות כל את . מוצאים2

השפה תנאי ואת המשוואה את פותר מהצורה פתרון . כל3

השוואת ידי ועלXn העצמיות הפונקציות ידי על שנפרש במרחב לטורf (x) ההתחלה תנאי את . מפתחים4

הטור של המקדמים את מוצאים מקדמים

יהיו: הטור של המקדמים

האנרגיה פתרון: שיטת יחידות הוכחת5.1.2

(x לפי )אינטגרל האנרגיה שיטת

והשפה: ההתחלה תנאי עם המשוואה שאת . נניח1

שונים, כלומר: פתרונות שני מקיימים

, מתקיים: . נגדיר2

מתאפסים: גם ההתחלה תנאי וכל

, מתקייםהבא: האינטגרל את . נגדיר3

( נגדיר הגלים )במשוואת

27 מתוך 22 עמוד

:t לפי . נגזור4

בחלקים: אינטגרציה לפי האינטגרל את נפרק

וחיובית, לכן באפס מתחילה ממש(, וגם )לא יורדת , מונוטונית ש . קיבלנו5

.t לכל

ולכן זהותית אפס הוא תמיד( של )החיובישהאינטגרנד מכאן

אמיתי פתרון5.1.3

או החום בבעיית) ונגזרותיוu הטור אם אמיתי פתרון הוא מהצורה פתרון

שלMה- מבחן ידי על לעשות אפשר הטור של במ"ש התכנסות שווה, בדיקת במידה הגלים(, מתכנסים בבעיית

מתכנס. ש כך לכלMn חסם למצוא צריך ווירשטראס(, כלומר של )המריונטה ווירשטראס

כאשר יתקבל אמיתי פתרון

מוכלל. הוא אמיתי לא פתרון

הומוגנית חום במשוואת המקסימום עקרון5.1.4

הבאים: הקטעים באחד במלבן מקסימום מקבלת את שמקיימת פונקציה

פרבולית( שפה נקרא הקטעים שלושת )צירוף

27 מתוך 23 עמוד

T

L

t

x

הומוגניות חום במשוואות יציבות הוכחת5.1.5

הבאות: הבעיות של פתרונות שני

קרובות, כלומר הבעיות

מתקיים שבהכרח נוכיח

מקסימום מקבלתw המקסימום עקרון , ולפיהמשוואה: של פתרון היאw, נסמן

הבאים: בקטעים במלבן

חסומה, כלומר גם המקסימום עקרון לפי ולכן חסומים הקטעים כל

המלבן משפת מרחק עד אמיתי : הפתרוןהערה

27 מתוך 24 עמוד

לפלס : משוואת6 פרק

כללית לפלס משוואת6.1

בתחוםצורה:

השפה(: על )נקודות שפה: עבור תנאי צורת

דריכלה: משוואות של שפה תנאי

התחום( לשפת ניצב בכיוון )נגזרתנוימן: משוואות של שפה תנאי

פתרון: צורת

פתרון דרך6.1.1

Y ולX ל ליוביל שטורם בעיית ומקבלים במשוואה הכללי הפתרון את . מציבים1

עצמיות ופונקציות עצמיים ערכים . מוצאים2

השפה בתנאי המוכלל הפתרון את . מציבים3

העצמיות הפונקציות של במרחב כטור אותו אחד, מציגים במשתנה שתלוי שפה תנאי עם להשוות : כדיהערה

אותן. שמנרמלים (, אחריYn אוXn) המתאימות

מלבן בקודקודי הומוגניים לא שפה ערכי איפוס6.1.2

מאפס, כלומר: שונים התחום שפה, שבקודקודי תנאי עם לפלס בעיית כשנתונה

הפונקציה: , ואתהפונקציה: את מגדירים

הומוגנים יהיוw של השפה תנאי שעבורם המקדמים את ומוצאים השפה בתנאיw את מציבים

: u ל חוזרים ובסוףw עבור המשוואה את התחום. פותרים בקודקודי

: v ב נוסף איבר להגדיר צריך : לפעמיםהערה

בעיגול לפלס משוואת6.2

מעגליות: לקואורדינטות נעבור

בתחוםצורה:

שפה: תנאי צורת

המחזוריות: תנאי

27 מתוך 25 עמוד

הפתרון: צורת

27 מתוך 26 עמוד

פתרון דרך6.2.1

ומקבלים: במשוואה הכללי הפתרון את . מציבים1

המחזוריות: בתנאי גם . מציבים2

/ בזוגיות להשתמש המחזוריות, כדי בתנאי במקום הפרטי במקרה להציב : כדאיהערה

. הפונקציות של אי-זוגיות

ליוביל: שטורם בעיות . קיבלנו3

מחזוריות( מפונקציות מורכב לא הפתרון )אחרת שלילי לא ש נובע המחזוריות , מתנאיא.

את לקיים כדי שלם מספר להיות צריך ש נובעהזה: במקרה ומהפתרון

הוא: הפתרון לכן כלומר המחזוריות תנאי

ולכן0 גם להיות יכול: הערה

הם: והפתרונותאוילר: משוואת , זאתב.

הוא: הכללי . הפתרון4

פורייה, בצורה: לטור את . מפתחים5

ב המקדמים את ומוצאים

27 מתוך 27 עמוד

הערות

מהשפה מרחק עד אמיתי . הפתרון1

כאשר הכללי הפתרון מצורת מתחילים כלל בדרך בעיגול לפלס . בבעיות2

המלא הפתרון הוא הפתרון א. בטבעת

המקדמים ארבעת את נותנים השפות שתי תנאי

שלא איברים הכללי בפתרון יופיע שלא הפתרון, דורשים רציפות , בגלל עיגול, כאשר ב. בתוך

מהצורה יתאפסו, הפתרון שהמקדמים , כלומר0 ב מוגדרים

באינסוף, כלומר מתכנסים שלא איברים הכללי בפתרון יופיע שלא דורשים לעיגול, כאשר ג. מחוץ

מהצורה יתאפסו, הפתרון שהמקדמים

פואסון נוסחת6.3.1

בתחוםמהצורה: בעייה לפתרון פואסון נוסחת

דריכלה( )בעייתהשפה: תנאי עם

אותה: שמקיף מעגל שפת על הנקודות ממוצע הוא נקודה שערך נובע מכאן

גרין זהות6.3.2

כאשר קבוע כדי עד או יחיד פתרון יש נוימן או דריכלה שפה תנאי עם לפלס שלבעיית מוכיחים גרין זהות בעזרת

.חסום

אפס, הוא שההפרש ( ומקבליםv וu בזהות, )בתור פתרונות שתי של הפרש ההוכחה, מציבים רעיון

נוימן(. שפה תנאי של במקרה קבוע )או

(בחלקים: אינטגרציה עם לדמיון לב )שים

27 מתוך 28 עמוד

פתרון לקיום הכרחי תנאי6.3.3

שווה התחום שפת עלu של אינטגרל אם פתרון יש נוימן תנאי עם למשוואה

התחום: כל עלF של לאינטגרל

(. הוא התנאי הומוגנית )במשוואה

הממוצע עקרון6.3.4

הרמונית( )פונקציה בתחום לפלס משוואת את שמקיימת פונקציה של ערך

בתחום, ומוכל הנקודה את שמקיף במעגל הפונקציה ערכי ממוצע השפה(, הוא על )ולא בנקודה

כלומר:

/ מינימום המקסימום עקרון6.3.5

התחום של השפה על מתקבלים חסום בתחוםu הרמונית פונקציה של ומינימום מקסימום

קבועהu אז פנימית בנקודה גם מקסימום מקבלתu ואם

27 מתוך 29 עמוד

- הוכחות נספח

(1 )ריבוי פשוטים עצמיים ערכים

פשוטים: עצמיים ערכים הקצוות( יש לשני נפרדים שפה )תנאי רגולרית ליוביל שטורם לבעיית

בסקלר כפל כדי )עד שוות שהן ומראים עצמי ערך לאותו המתאימות עצמיותu, v פונקציות שתי לוקחים

A:רושמים ,)

ומקבלים מחסרים ב המשוואות את מכפילים

לגרנז' מתקיים לפי

ולכן מתקייםa השפה, בנקודה תנאי לפי

ממשיים עצמיים ערכים

ממשיים: עצמיים ערכים יש רגולרית ליוביל שטורם לבעיית

עצמי ערך עם עצמית פונקציהv לוקחים

( )מתקיים העצמי הערך מתאים העצמית שלפונקציה מראים

רושמים

ומקבלים מחסרים ב המשוואות את מכפילים

גרין זהות לפי

27 מתוך 30 עמוד

שליליים אי עצמיים ערכים

: שליליות אי קריטריון מתקיים מחזורית, כאשר או רגולרית ליוביל שטורם לבעיית

1 .

2 .

שליליים: אי עצמיים ערכים יש

רושמים

האגפים שני על אינטגרציה ומבצעיםv ב מכפילים

מקבלים בחלקים אינטגרציה לפי

לכן

אורתוגונליות עצמיות פונקציות

אורתוגונליות: עצמיות פונקציות מחזורית או רגולרית ליוביל שטורם לבעיית

מתאימים עצמיים ערכים עם פונקציות שתי לוקחים

רושמים

ומקבלים מחסרים ב המשוואות את מכפילים

גרין זהות לפי

אורתוגונליות העצמיות הפונקציות אפס, כלומר הוא האינטגרל ולכן שונים העצמיים הערכים

27 מתוך 31 עמוד

הומוגנית אי חום למשוואת מקסימום קיום

השפה: על מתקבל המקסימום בתחום מהצורה במשוואה

לנתון בסתירה , ולכן פנימית, אז בנקודה מתקבל המקסימום אם

ושוב (, אז) המלבן של העליונה הצלע על מתקבל המקסימום אם

לנתון בסתירה

הומוגנית חום למשוואת מקסימום קיום

השפה: על מתקבל המקסימום בתחום מהצורה במשוואה

מתקיים: מגדירים

, מכאןהומוגנית, אי חום למשוואת המקסימום עקרון מתקיים לכן

מתקיים שרירותי קבוע שבחרנו בגלל

מתקיים השפה את גם מכיל הסגור שהתחום בגלל אבל

שוויון יש ולכן

מהשפה חוץ פנימית בנקודה גם מתקבל שהוא להיות יכול חלש, כלומר הוא כאן המקסימוםהערה:

הומוגנית הרמונית במשוואה מקסימום קיום

השפה על מתקבל המקסימוםD בתחום מהצורה במשוואה

שמתקיים כך מגדירים

להגדרה בסתירה ואז מתקיים היה אזD בתוך מקומי מקסימום היהv ל אם

השפה, מכאן על מתקבלv של המקסימום לכן

מתקיים שרירותי קבוע שבחרנו בגלל

מתקיים השפה את גם מכיל הסגור שהתחום בגלל אבל

שוויון יש ולכן

הערות:

(w של המקסימום הוא )כי השפה על מתקבל גםu של שהמינימום ולהוכיח להגדיר . אפשר1

בתחום גם מתקבל שלה המקסימום קבועה הפונקציה חלש, אם הוא כאן . המקסימום2

27 מתוך 32 עמוד

קבועה פונקציה גוררת הומוגנית הרמונית במשוואה פנימית מקסימום נקודת

משפט התחום, לפי שפת על גם מתקבל מקסימום )אותו התחום בתוך המקסימום נקודת את נקח

מפריע( לא זה המקסימום, אבל

בשפה( יתקיים לגעת )ויכול בתחום שמוכל סביבR ברדיוס עיגול נקח פואסון, אם לפי

סביבו במעגל הנקודות ממוצע הוא המקסימום ערך כלומר

סתירה להתקיים, וזאת יכול לא פואסון לפי השוויון אז מקיימת במעגל נקודה כל אם

מתקיים בעיגול נקודה לכל בהכרח לכן

מוכל אחד של שהמרכז לנקודה, כך מ קטנים עיגולים סדרת ידי על להגיע אפשר בתחום נקודה לכל

שרשרת( כמו )נראה בתחום מוכלים שלפניו, וכולם העיגול של במרכז

הומוגנית בעיה יחידות

אחד מפתרון יותר להיות יכול חסום, אחרת שהתחום הוא התנאי

ב שלהן ההפרש את נסמן שמקיימות פונקציות שתי נקח

מקיים ההפרש

גרין משפט לפי מתקיים

מקבלים:

זהותית אפס היא השפה(, ולכן תנאי )לפי בשפה קבועה, ומתאפסת הפונקציה כלומר

27 מתוך 33 עמוד