-
7/23/2019 1020124183
1/107
U N IV E R S ID A D A U TO N O MA D E N U E V O LE O N
Secre tara A cadmica
M ATEM A TI CAS, PR I M ERA EDI C I ON 1995
-
7/23/2019 1020124183
2/107
-
7/23/2019 1020124183
3/107
1 0 2 0 1 2 4 1 8 3
F O N D O
U N IV E R S IT A R IO
0S3
I N TRODUCC IN
El presente texto forma parte de los materiales propuestos por el COMIT TCNICO D
REA DE MATEM TICAS para e l curso de MATEMTICAS IV de la Reforma Acadm
Es claro que textos de Clculo abundan en el mercado; pero no existe uno adecuado p
estudiantes al que el programa de Reforma est dirigido, ni tampoco uno con la inten
de promover la superacin acadmica del profesorado en este nivel medio-superior.
E l ob je t ivo genera l de la Reforma Acadmica , la superacin ac admica , es ambicios
sera presuntuoso afirmar que con materiales como el presente lo satisfa
comple tam ente . Esta es la p r imera aproximacin y de los resu l tados d
exper imentacin de l mater ia l se ob tendrn los e lementos para su correccin . Nue
consideraciones para su elaboracin fueron las siguientes:
i) El mae stro que impartir la clase tiene conocim ientos prev ios de los te
involucrados en esta fase del programa y por tanto, creemos que la resolucin
problema s es esencial para cubrir los objetivo s propue stos. Y puesto que
util izado por los maestros en clase, el mismo material les proporcionar un a
a su labor docente .
ii) En esta fase de la Reform a, no se espera introduc ir al alumn o en una problem
ajena a su realidad educ ativa . Es por ello que en la presenta cin de los mater
se ha cuidado que los niveles de rigor en la formalizacin no rebasen aqullos
la prctica docente del profesor exija.
ii) En los diferen tes captulos del tex to se ha trata do de cons truir la teora
argum entos plausibles y de sealar algunos detalles format ivo s. En otras pala
hemos intentado util izar la intuicin hasta donde nos ha sido posible, por consi
que en la enseanza de las matemticas, los procesos heursticos juegan un
primordial para su aprendizaje.
Por encima de todas las cosas, el objetivo principal en el desarrollo de este texto ha
tener en cuenta las necesidades del estudia nte. El esfuerz o de los autores a este res
se ilustra con el intento para motivar, a travs de los problemas de aplicacin
ejercicios y con los mltiples ejemplos que lustran los conceptos.
Los autores desean expresar su gratitud sincera a los maestros que presentan val
sugerencias, y as como tambin expresar un reconocimien to a las personas qu
ayudaron en la elaboracin de este libro.
Comit Tcn ico de Matemt icas
Lic. Blanca M
a
Borghes Alonso
Ing. Roberto Snchez Ayala
Ing. Fernando Javier Gmez Triana
Lic. Miguel Angel Torrecillas Gonzlez
Ing . An ton io Montem ayor S oto
Ing. Jos Luis Guerra Torres
-
7/23/2019 1020124183
4/107
C A P I T U L O 1
F U N C I O N E S 1
1 . 1 F u n c i n . 2
1 .2 Func io nes l inea les 12
1 . 3 F u n c i o n e s c u a d r t i c a s y p a r b o l a s 3 1
1 . 4 M s f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s 3 7
1 . 5 C o m b i n a c i o n e s d e f u n c i o n e s 4 1
C A P I T U L O 2
L I M I T E S Y C O N T I N U I D A D V . 4 7
2 .1 Con cep to in tu i t i vo de l m i te . . . 48
.. . 2 .2 Teore ma de l m i tes 54
2 .3 L m i tes en los que in te rv iene in f in i to 58
; 2 . 4 C o n t i n u i d a d 6 5
C A P I T U L O 3
L A D E R I V A D A 7 0
3 . 1 I n c r e m e n t o s y r a z o n e s d e c a m b i o 7 1
3 . 2 L a d e r i v a d a 7 9
3 . 3 D e r i v a d a s d e f u n c i o n e s e l e v a d a s a u n a p o t e n c i a . . . 8 7
3 . 4 O t ra s a p li c ac i on e s . . . 9 3
3 . 5 D e r i v a d a s d e l p r o d u c t o y c o c i e n t e s
y La reg la de la caden a 10 0
3 . 6 D e r i v a d a s d e o r d e n s u p e r i o r 1 0 8
C A P I T U L O 4
A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A 1 1 4
4 . 1 D e r i v a d a s y g r f i c a s d e f u n c i o n e s 1 1 5
4 . 2 B o s q u e j o d e c u r v a s p o l i n o m i a l e s 1 2 5
4 . 3 P u n t o s c r t i c o s 1 2 8
4 . 4 C r i t r i o s p a r a e x t r e m o s l o c a l e s .? 1 3 2
4 . 5 A p l i c a c i o n e s d e m x i m o s y m n i m o s 1 3 7
C A P I T U L O 5
LA INTEG RAL . . . . V 145
5 . 1 A n t i d e r i v a d a s 1 4 6
5 . 2 A r e a s b a j o c u r v a s 1 5 3
5 . 3 M s s o b r e r e as . . . . . 1 6 0
C APT U LO 1
FUNCIONES
I N T R O D U C C I N
Gran par te de las c ienc ias inc luyen e l es tud io de las re lac iones en t re dos
v a r i a b l e s . P o r e j e m p l o , s e g u r a m e n t e a l g u n a v e z h a s e s c u c h a d o
c o m e n t a r i o s t a l e s c o m o :
L a d e m a n d a d e u n a r t c u l o d e p e n d e d e s u p r e c i o d e v e n t a .
E l rea de un c rcu lo depende de la long i tud de su rad io .
La in tens idad de l son ido depende de la d is tanc ia a que se
e n c u e n t r a l a f u e n t e s o n o r a .
E l poder adqu is i t i vo de la moneda depende de l nd ice de l cos to de
la v ida .
E l n m e r o d e v i v i e n d a s c o n s t r u i d a s e n u n a o d e p e n d e n d e l a t a s a
de in te rs de l c rd i to bancar io .
L a f u e r z a e n t r e d o s p a r t c u l a s c o n c a r g a e l c t r i c a o p u e s t a d e p e n d e
de la d is tanc ia en t re e l las , e tc .
En cada una de es tas re lac iones , e l va lo r de una de las var iab les
dete rm in a e l va lo r de la o t ra . La pa labra " func in " se u t il i za para ind icar
u n a d e p e n d e n c i a d e u n a c a n t i d a d c o n r e s p e c t o d e o t r a .
E l c o n c e p t o d e f u n c i n e s u n a d e l a s i d ea s f u n d a m e n t a l e s q u e s a t u r a
tod as las mate m t icas . Cas i cua lqu ie r es tud io que se re f ie ra a la
a p l i c a c i n d e l a s m a t e m t i c a s a p r o b l e m a s p r c t i c o s o q u e r e q u i e r a n e l
a n l i s i s d e d a t o s e m p r i c o s e m p l e a e l c o n c e p t o d e f u n c i n .
-
7/23/2019 1020124183
5/107
C A P I T U L O 1
F U N C I O N E S 1
1 . 1 F u n c i n . 2
1 .2 Func io nes l inea les 12
1 . 3 F u n c i o n e s c u a d r t i c a s y p a r b o l a s 3 1
1 . 4 M s f u n c i o n e s e l e m e n t a l e s 3 7
1 . 5 C o m b i n a c i o n e s d e f u n c i o n e s 4 1
C A P I T U L O 2
L I M I T E S Y C O N T I N U I D A D V . 4 7
2 .1 Con cep to in tu i t i vo de l m i te . . . 48
.. . 2 .2 Teore ma de l m i tes 54
2 .3 L m i tes en los que in te rv iene in f in i to 58
; 2 . 4 C o n t i n u i d a d 6 5
C A P I T U L O 3
L A D E R I V A D A 7 0
3 . 1 I n c r e m e n t o s y r a z o n e s d e c a m b i o 7 1
3 . 2 L a d e r i v a d a 7 9
3 . 3 D e r i v a d a s d e f u n c i o n e s e l e v a d a s a u n a p o t e n c i a . . . 8 7
3 . 4 O t ra s a p li c ac i on e s . . . 9 3
3 . 5 D e r i v a d a s d e l p r o d u c t o y c o c i e n t e s
y La reg la de la caden a 10 0
3 . 6 D e r i v a d a s d e o r d e n s u p e r i o r 1 0 8
C A P I T U L O 4
A P L I C A C I O N E S D E L A D E R I V A D A 1 1 4
4 . 1 D e r i v a d a s y g r f i c a s d e f u n c i o n e s 1 1 5
4 . 2 B o s q u e j o d e c u r v a s p o l i n o m i a l e s 1 2 5
4 . 3 P u n t o s c r t i c o s 1 2 8
4 . 4 C r i t r i o s p a r a e x t r e m o s l o c a l e s .? 1 3 2
4 . 5 A p l i c a c i o n e s d e m x i m o s y m n i m o s 1 3 7
C A P I T U L O 5
LA INTEG RAL . . . . V 145
5 . 1 A n t i d e r i v a d a s 1 4 6
5 . 2 A r e a s b a j o q u r v a s 1 5 3
5 . 3 M s s o b r e r e as . . . . . 1 6 0
C APT U LO 1
FUNCIONES
I N T R O D U C C I N
Gran par te de las c ienc ias inc luyen e l es tud io de las re lac iones en t re dos
v a r i a b l e s . P o r e j e m p l o , s e g u r a m e n t e a l g u n a v e z h a s e s c u c h a d o
c o m e n t a r i o s t a l e s c o m o :
L a d e m a n d a d e u n a r t c u l o d e p e n d e d e s u p r e c i o d e v e n t a .
E l rea de un c rcu lo depende de la long i tud de su rad io .
La in tens idad de l son ido depende de la d is tanc ia a que se
e n c u e n t r a l a f u e n t e s o n o r a .
E l poder adqu is i t i vo de la moneda depende de l nd ice de l cos to de
la v ida .
E l n m e r o d e v i v i e n d a s c o n s t r u i d a s e n u n a o d e p e n d e n d e l a t a s a
de in te rs de l c rd i to bancar io .
L a f u e r z a e n t r e d o s p a r t c u l a s c o n c a r g a e l c t r i c a o p u e s t a d e p e n d e
de la d is tanc ia en t re e l las , e tc .
En cada una de es tas re lac iones , e l va lo r de una de las var iab les
dete rm in a e l va lo r de la o t ra . La pa labra " func in " se u t il i za para ind icar
u n a d e p e n d e n c i a d e u n a c a n t i d a d c o n r e s p e c t o d e o t r a .
E l c o n c e p t o d e f u n c i n e s u n a d e l a s i d ea s f u n d a m e n t a l e s q u e s a t u r a
tod as las mate m t icas . Cas i cua lqu ie r es tud io que se re f ie ra a la
a p l i c a c i n d e l a s m a t e m t i c a s a p r o b l e m a s p r c t i c o s o q u e r e q u i e r a n e l
a n l i s i s d e d a t o s e m p r i c o s e m p l e a e l c o n c e p t o d e f u n c i n .
-
7/23/2019 1020124183
6/107
1 1 Funcin
Empeza remos dando l a de f i n i c i n f o rma l de una f unc i n :
De f i n i c i n
Una " f unc i n " es una reg la que asoc ia l os e l emen tos de dos con jun tos "X " y
"Y", de t a l mane ra que a cada e l emen to V de l p r ime r con jun to l e
co r responde un n i co e l emen to " y " de l segundo con jun to .
x
>
E n t r a d a
S a l i d a
(Observa que la def in ic in no permi te que a una ent rada le corresponda ms de una
sal ida) .
Por lo general , se usa una sola le t ra como " / ' (o
n
g" o "F" o "G") para denominar una
fun cin . As i SI una fun cin T as igna un valor de y para un valor de par t icu lar
es to se esc r i be como
y=f(x)
y se lee "f d e * " o y en * " ; y debemos i n t e rp re ta r es ta no tac i n como que la " y " es
el va lor de la fun c i n en (Observa que J(x)" no es e l prod ucto de T por "x").
Ejemplo 1
Si f(x)=x
2
, encuen t ra :
a)f(3) b ) / f - 2 ) o) fa) d )f(a+h)
So luc i n
En es tos cua t ro casos , s imp lem en te reemp laza remos l a "x" por 3, -2, "a" y " a + h "
r espec t i vamen te .
a)f(3) = (3)
2
=9
b)f-2) = (-2)
2
=4
c)f(a)=(a)
2
=a
2
Con e l p rops i t o de en fa t i za r , pod r amos habe r esc r i t o es ta f unc i n como
f ( ) = O
2
Lo anter io r muestra que V es un "poseed or del lugar" de cualqu ier va lor permis ib le
As , s i se desea eva la r f ( a + h ) , se i n t r oduce "a+h" en e l parntes is-
d if(a+h) = (a+h)
2
=a
2
+2ah+h
2
Una c l a ra comprens in de la no tac i n f unc i ona l es dec i s i va en c l cu l o Es tud ia e l
s i gu i en te e j emp lo con t odo cu i dado , pues s te j uga r un impo r tan te pape l en l os
s i gu ien tes cap t u l os .
Ejemplo 2
S g (
X
)=x
2
-2x, ca l cu l a y s imp l i f i ca
a) g(-4) b) g(4) c) g(4+h)
d ) g ( 4 + h )
.
g ( 4 )
e)
So luc i n
a) g(-4) = (-4)
2
-2 (-4)=16+8=24
b)
g(4) = (4)
2
-2(4)=16-8=8
c) g(4+h )=(4+h)
2
-2(4+h)=16+8h+h
2
-8-2h=8+6h+h
2
d)
g
(4+h
)-g
(4)=8+6h+h
2
-8=6h+h
2
0
v g ( 4 + h ) - g ( 4 )
=
6 j ^
=
h ( ^ r h l
= 6 + h
e )
E E S
(En gene ra l l a can t i dad - g ( x )
p a f a u n a f u n c
n d a d a "g\ ha r ev i den te
impo r tanc i a cuando es tud iemos e l cap t u l o 3 ) .
Si una funcin se def ine por una re lac in del t ipo
n
y=f(x)", onefx) expres a e l va
de la f unc i n po r med io de una f rmu la a l geb ra i ca en t rm inos de l a va r iab l e V , p
e j e m p l o : y= x
3
+3x-7, en tonces a l a V se l e denomina " va r i ab l e i ndepend ien te " y a
Y se le l lama "var iab le depen dien te" , pues el va lor de "y" depe nde del va lor e leg
para
"x
m
.
La regla de correspondencia es la par te pr inc ipal de una funcin, pero sta no que
de te rm inada comp le tamen te , s i no has ta que se da su dom in i o y r ango .
DOMIN IO Y RANGO DE UNA FUNCIN
D/ E l " dom in i o " de una f unc i n es e l con jun to de va l o res pe rm is i b l es que
puede t omar l a va r i ab l e i ndepend ien te .
E l " r ango " de una f unc i n es e l con jun to de va l o res co r respond ien tes
que t oma l a va r i ab l e depend ien te .
n g ran pa r t e de los casos cons ide rado s , l os dom in i os y r angos de l as f unc i ones
l as cua les es ta remos i n t e resados son subco n jun tos de l os nmeros rea les . En ta
caso s, la fun c i n por lo regular se represe nta por su grf ica . La grf ica de una fun c
/ s e ob t i ene d i bu jando t odos l os pun tos (x,y), en donde * pe r t enece a l dom in i o d
y=f(x), m a n e j a n d o x y y como coo rdenadas rec tangu la res .
Ejemplo 3
C o n s i d e r e m o sf(x)=2+0.5x
2
. E l dom inio de fes e l con jun to de t odos l os nme
rea les , dado que podemos eva lua r f(x) para cualqu ier va lor real de Algu nos de
valores de esta funcin aparecen en la tabla 1, en la cual a lgunos valores de x e
l is tados en e l rengln super ior y los va lores de y=f(x) estn debajo de los valo
-
7/23/2019 1020124183
7/107
c o r r e s p o n d i e n t e s d e x. L o s p u n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s a l o s v a l o r e s d e x y y se
gra f icaro n como pu ntos en la f igura 1 . La g r f ica de la func in f(x)=2+0.5x
2
es una
curva con fo rma de U que pasa por los pun tos ya g ra f icados .
Tab la 1
1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
2 .5 4 6 .5 10 2 .5 4 6 .5 10
F ig . 1
S u p o n g a m o s a h o r a q u e e n e l e j e m p l o 3 , x d e n o t a e l n m e r o d e a r t c u l o s p r o d u c i d o s
por una fbr ica y f(x) i n d i c a e l c o s t o t o t a l d e l p r o d u c i r * u n i d a d e s . E l c o s t o d e n o
p r o d u c i r a r t c u l o s s e o b t i e n e h a c i e n d o x=0, es to es ,
f(0)=2
D e m o d o q u e 2 s e r e l c o s t o m n i m o , p r o d u z c a m o s a r t c u l o s o n o . E s t o s s e c o n o c e n
c o m o g a s t o s p e r m a n e n t e s . P o r e j e m p l o , i n v e r s i o n e s e n m a q u i n a r i a , r e n ta d e l l o ca l d e
l a f b r i c a y g a s t o s d e a d m i n i s t r a c i n s o n a l g u n o s e j e m p l o s d e g a s t o s p e r m a n e n t e s .
E n e s t e c a s o , e l d o m i n i o d e / n o e s e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s n m e r o s r e a l e s s i n o e l
c o n j u n t o d e l o s e n t e r o s n o n e g a t i v o s , d a d o q u e * r e p r e s e n t a e l n m e r o d e a r t c u l o s
p r o d u c i d o s y d e b e s e r u n n m e r o e n t e r o . E n c o n s e c u e n c i a
D
f
={0,l ,2,3,4,...}
A h o r a c o m o l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e * t o m a l o s v a l o r e s 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , l a v a r i a b l e y=f(x)
a s u m e l o s v a l o r e s
f(0)=2+0.5(0f=2
f(l)=2+0.5(l)
2
=2.5
f(2)=2+0.5(2)
2
=4
f(3)=2+0.5 (3)
2
=6.5
e t c .
En es te caso , la g r f ica d e /e s la que aparece en la f igura 2 . Ntese q ue la g r f ica se
c o m p o n e d e u n c o n j u n t o d i s c r e t o d e p u n t o s y n o d e u n a c u r v a c o n t i n u a , c o m o l o f u e
en e l caso an te r io r . De es te e jem plo , adver t i mos que e l dom in io y rango de una
f u n c i n p u e d e n d e p e n d e r d e l o q u e l a s v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s y d e p e n d i e n t e s
r e p r e s e n t e n e n u n p r o b l e m a p r c t i c o .
r
1 2
8
4
i i 1 i i
0
A
X
Fig. 2
CRITERIO DE LA L NEA VERTICAL
Cua lqu ie r curva dada (o con jun to de puntos) en e l p lano cartesiano es la
gr f ica de una func in (en la cua l y es la var iab le depend ien te ) s i cua lqu ie r
l nea ver t ica l cor ta a la g r f ica so lamente en un punto .
i'.
i
rix
0
)
y
/ j fi*
0
)
(\ /
y
/U,
4
x . :
y
h - 1
i *
i
- i
. I I I . I
0 X
0
x 0
*0 *
0
2 *
0
4 6 *
(} (b) (0
Fig. 3
Cua lq u ie r l nea ver t i ca l cor re spon de a a lgn va lo r par t icu la r , d igam os de
var iab le independ ien te , y e l pun to en que es ta l nea ver t ica l cor ta a la g r
d e t e r m i n a e l v a l o r d e y que le cor respo nde a *
0
. Es dec i r la g r f ica m isma de la r
que re lac iona cada va lo r de * con a lgn va lo r de y. S i la l nea ver t ic a l x=x
0
no c
a la g r f ica en n ingn punto , es to s ign i f i ca que
x
0
n o p e r t e n e c e a l d o m i n i o .
Las g r f icas de la f igura 3 representan func ione s . (Ntese que en la par te (c
d o m i n i o d e la f u n c i n e s el c o n j u n t o d e e n t e r o s { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } d e m o d o q u e l a g r
s lo cons ta de c inco puntos ms b ien que de una curva) .
Por o t ra par te , las g r f ica s de la f igura 4 no repres entan func ione s . Es tas no
func iones porque ex is ten l neas ver t ica les que cor tan a las g r f icas en ms de
p u n t o . E n c o n s e c u e n c i a , a l v a l o r x=x
0
en la p r imera g r f ica , le cor re spon den
v a l o r e s y y y
2
de y. En ta l caso , e l va lo r de * no de te rm ina un va lo r n ic o de y .
-
7/23/2019 1020124183
8/107
(b)
Fig. 4
En la g r f ica de una funcin , los va lo res a lo la rgo de l e je x en que la grfica est
def in ida con st i tu yen e l domin io de la funci n . En fo rma an loga, los va lo res a lo la rgc
del eje y en que la g r f ica t iene puntos con st i tuy en e l rango de la func in . Esto se
i lustra en la f igura 5 . Aqu tenem os que
D
f
={x\-24
Fig. 6
Si
x
-
7/23/2019 1020124183
9/107
Solucin
Si*4 )
E l domi n io de esta funci n es el con jun to de todos los nm eros rea les no negat iv os
En el caso de que 04, la func in es idntic a a la
de l e jemplo 5 .
X
0
2
4
5
8
13
L y _ = f ( x )
4
2
0
1
2
3
t
8
\Y
4
( 8 , 2 )
( 1 3 , 3 ) _
( 2 , 2 P
i
( 5 ,
i
I
o
i
4 8
1 2
X
Fig. 8
En estos e jemplos, la funcin considerada est de f in ida por dos expresione
a lgebra icas. A lgunas veces es necesar io considerar funciones de f in idas por t res o m
e xp re s io n e s d i fe re n te s .
t y
f(x) - b
b
0
X
Fig. 9
Conclu imos esta seccin estud iando a lgunas funcione s simp les. Una funcin de
fo rm a
f(x)=b
e n d o n d e b es una cons tan te , se denomina func in consta n te . (Vase la f ig . 9 )
g r f ica de fe s una lnea recta para lela al eje * a una dista ncia \b\ por encima o p
deba jo de l e je * depend iend o de que b sea posi t ivo o negat ivo . En este caso
D
f
= e l con ju n to de todos los nmero s rea les y R
f
= {b}
Una funcin de f in ida por la re lacin
f(x) =aX +a
H
.
x
n
-'+...+a
x+ a
0
(a
n
*0)
c o n ao,a
lt
...,a
H
co n s ta n te s y n un en tero no negat ivo , se d ice que es una func
po l inomia l de g rado n. P o r e je m p lo , l as fu n c io n e s /y g de f in idas por
f(x)=3x
7
-5x
4
+2x-l y g(x)=x
3
+7 x
2
-5x+3
son funciones po l inomia les de grado 7 y 3 , respect ivamente .
-
7/23/2019 1020124183
10/107
Solucin
S i * < 5 0 , cada un idad t iene un costo de 10C, de modo que e l costo to ta l de * un idades
e
/ J
e
?
e n t a V 0
,
S
-
A S q e
'
c ( x ) = 1 0 x
P
a r a
C u a n d o *= J0 , o b te n e m o s
c(50)=500: e l cost o de las p r imeras 50 un idades (esto es, 500C) m s e l costo de l resto
de las un idades usadas. E l nmer o de estas un idades que sobrepasan a 50 es *-5 0
y cuesta n 30 cada una, por lo que e l costo to ta l es de 3 f*-5 0) ce n tavo s. As que la
ta r i f a to ta l cu a n d o *> 5 0 es '
c(x) =500+3(x-50) =500+3x-150
= 350+3x
Podemos escr ib i r cf*) en la fo rma : C(x) = ( 10X (x 5 0 ) J
Ejemplo 7
Considera la funcin sigu ien te
f ( x ) = 4 - x ( 0 < x < 4 )
1 \Jx-A (x >4 )
E l domi n io de esta funci n es el con jun to de todos los nm eros rea les no negat iv os
En el caso de que 04, la func in es idntic a a la
de l e jemplo 5 .
X
0
2
4
5
8
13
Ly_=f(x)
4
2
0
1
2
3
t
8
\Y
4
(8, 2)
(13, 3) _
( 2 , 2 P
i
(5,
i
I
o
i
4 8
12
X
Fig. 8
En estos e jemplos, la funcin considerada est de f in ida por dos expresione
a lgebra icas. A lgunas veces es necesar io considerar funciones de f in idas por t res o m
e xp re s io n e s d i fe re n te s .
t y
f(x) - b
b
0
X
Fig. 9
Conclu imos esta seccin estud iando a lgunas funcione s simp les. Una funcin de
fo rm a
f(x)=b
e n d o n d e b es una cons tan te , se denomina func in consta n te . (Vase la f ig . 9 )
g r f ica de fe s una lnea recta para lela al eje * a una dista ncia \b\ por encima o p
deba jo de l e je * depend iend o de que b sea posi t ivo o negat ivo . En este caso
D
f
= e l con ju n to de todos los nmero s rea les y R
f
= {b}
Una funcin de f in ida por la re lacin
f(x)=aX +a
n
.
x
nl
+...+a
x+ a
0
(a
n
*0)
c o n ao,a
lt
...,a
H
co n s ta n te s y n un en tero no negat ivo , se d ice que es una func
po l lnomia l de g rado n. P o r e je m p lo , l as fu n c io n e s /y g de f in idas por
f(x)=3x
7
-5x
4
+2x-l y g(x)=x
3
+7 x
2
-5x+3
son funciones po l inomia les de grado 7 y 3 , respect ivamente .
-
7/23/2019 1020124183
11/107
Si e l grad o de una fun ci n pol inomia l es 1, la l lamare mos fun cin l ineal . La forma
general de la func in l ineal est dada por
f(x)=mx+b (m*0)
en donde
m
y
b
son cons tan tes . (Vase la Fi g . 10 ) Como sabem os po r lo expues to
en cursos anter iores, la grf ica de una funcin l ineal es una l nea recta con pendiente
m
y o rdenada a l o r i gen
b.
A q u
D j,
es igual a fyque a su vez es igual a l conjunto de
Fig. 10
S i e l g rado de l a f unc i n po l i nom ia l es 2 , l a denom ina remos f u nc i n cua d r t i ca . La
func in cuad r t i ca gene ra l puede de f i n i r se po r
g(x) =ax
2
+bx+c (a9^0)
en donde
a, b
y
c
son cons tan tes . Es tud ia remos es tas func i ones con t odo de ta l l e en
las secc i ones s i gu i en tes .
En f o rma an loga , una f unc i n po l i nom ia l de g rado 3 se conoce como fu nc in cb i ca .
Po r e j emp lo , l a f unc i n de f i n i da po r
f(x)=2x
3
-5x
2
+7x+l
es una f unc i n cb i ca .
S i e l g rado de l a f unc i n po l i nom ia l es ce ro , se reduce a una f unc i n cons ta n te .
S i una f unc i n puede exp resa rse como e l coc i en te de dos f unc i ones po l i nom ia l es , se
denom ina f unc i n rac i ona l . E j emp los de f unc i ones rac i ona les son
f(x)=
L
I
y
g ( x )
= 2
X
* - 7 X + 1
5X
2
-2
En gene ra l , cua lqu ie r f unc i n rac i ona l t i ene l a f o rma
f(x) =p(x)/q(x),
en donde
p(x)
y
q(x)
son po l i nom ios en
x.
Si e l va lor
f(x)
de una f u nc i n / se encu en t ra po r un nmero f i n i t o de ope rac i ones
a lge b ra i c as , / se l l ama f unc i n a l geb ra ica . Las ope rac i ones a l geb ra i cas son l a ad i c i n ,
l a sus t racc i n , l a mu l t i p l i cac i n , l a d i v i s i n , l a e l evac in a po tenc ias y l a ex t r acc i n
d e
r a ces . Po r e j emp lo , las f un c i o ne s / y
g
def in idas por
o n
f unc i ones a l geb ra i cas .
Apa r t e de l as f unc i ones a l geb ra i cas , ex i s t en o t r as f unc i ones l l amadas f unc i one
t rascend en tes . E j emp los de f unc i ones t rascenden tes son l as f unc i ones l oga r tm i ca
y l as f unc i ones exponenc ia l es , que no se expond rn en es te cap t u l o .
Ejerc ic io 1.1
1. Dada
f(x)=3x+2,
ca l cu l a
f(l), f(-2),/(x
2
) vf(x+h)
2 . Dada
f(x)=5-2x,
ca l cu l a
f(3),f(-l),f(a) yf(a+h)
3 . Dada
f(t)=5t+7,
ca l cu l a
f(l),f(-3),f(c),f(l+c)
y
f(l) +f(c)
4 . Dada
f(x)=3-4x,
ca l cu l a
f(a),f(a+l)
y
f(a) + f(l)
5 . Dada
fx^x
2
,
ca l cu l a
f (3 ), f( -2 ), f( a) , f ( ^ )
y
f(x+h)
6. Dada
f(x)=3x
2
+7,
ca l cu l a
f(c),f(c+h)
y
f(c+h)-f(c)
7 . D a d a f (x ) = V x , c a l c u l a / f f l , / ^ y
ftf+h
2
)
8. Dada
f ( x )
l i " , c a l c ul a
f(25),f(0) yf(7)
9 . Dada
f(t)=3t
2
-5t+7,
ca l cu l a
f(0), f(l/t), f(c) +f(h) yf(c+h)
10 . Dada
f(u)=2u
2
+3u-5,
ca l cu l a
f(0),f(l/x),f(x+h)
y
f(x+h)-f(x)
11 . Dada f ( x ) = ( 2x -3 s i x > 5
l 6 - 3 x s i x < 5
Encuen t ra cada uno de l os va l o res s i gu i en tes :
a.f(0) b. f(7) C
. / - 2J
. f(5+h) y f(5-h), con h>0
12. Dada g(x) .= { J*
+ J a
3 | | <
Evala cada uno de los valores s iguientes
a.
g(l)
b.
g(3)
c.
g(-l)
d .
g(0)
e.
g(-3)
Evala
[f(x+h)-f(x)]/h
en donde
f(x)
est dada abajo
13. f(x) = 2x+ 5 14. f (x)=3x-7
15. f(x) ^x
2
16. f(x) =x?-3x +5
Dete rm ina e l dom in i o de cada f unc i n
17. f(x)=2x+3 18. f(t)=2t
2
-3t+7
1 9. h ( x ) = l i 2 0 .
X-2 P "
1
2 1 . 2 2 .
X
2
-3X+2
x
-
7/23/2019 1020124183
12/107
2 3 . g ( t ) -yjt-2 2 4 . / ( y ) = - ^ 3 y - 2
25 . g r ( t ) =
1
\2t-2
2 6 . f ( x ) = { 2 x - 3 s i x > 5
1 6 - 3 x s i x < 5
Establezca s i las grf icas representan o no funciones
1.2 Funciones L ineales
En esta seccin, exam inare mos a lgunas propieda des de las rectas. Nues tro pr imer
objet ivo ser invest igar la ecuacin a lgebra ica que t iene una recta dada, as como su
g r f i ca .
Una de las propiedades ms impor tantes de una l nea recta es qu tan
p ronunc iada men te s ube o ba ja , y deseamos i n t r oduc i r una can t i dad que m ida e l g rado
de i nc l i nac i n (pend ien te ) de una rec ta . Empecemos con s ide rando un e j emp lo . La
ecuac in y=2x-4 t iene co mo gr f ica la l nea recta que aparece en la f igura 11.
El i jamos dos puntos sobre esta l nea, ta les como los puntos (3,2) y (5,6) , que se
deno tan , r espec t i vamen te , po r P y Q en la f igura c i tad a. La d i ferencia ent re las
c o o r d e n a d a s x de es tos dos pun tos , deno tada po r PR , se denomina e l " avance " o
d i s t anc i a de P a Q:
La d i ferencia ent re las coordenadas > de P y Q, igual a la d is tancia QR , se denomi
l a e l evac in de P a Q:
e l e v a c i n = Q R = 6 - 2 = 4
Obs erve mos qu e la e levacin es igual a dos veces e l avance. Este es e l caso,
imp or ta ndo qu pares de pun tos e l i jamos sobre la grf ica. Por e jemp lo, tomem os
p u n t o s P'(-l,-6) y Q'(4,4). (Vase la f ig . 11) Entonc es
avar\ce=P'R'=4-(-l)=5 y e l evac in = Q'R'=4-(-6) = 10
7 '
e
Y I
a( .6) y
6
4
- o ' i 4 .
-
7/23/2019 1020124183
13/107
E n t r m i n o s d e c o o r d e n a d a s ,
e levac in =
QR=y
2
-y
y t a m b i n
a v a n c e =
PR=x
2
-x,
(Ntese que s i
Q
es tuv iese por deba jo de
R
, lo cua l suceder a s i la rec ta p resentara una
inc l inac in descendente hac ia la derecha, en tonces la e levac in ser a negat iva .
P o d a m o s e l e g i r t a m b i n
Q,
de ta l manera que es tuv iese a la izqu ie rda de
P,
en cuyo
c a s o x
2
-
7/23/2019 1020124183
14/107
Fig . 14
E jemplo 4
Encuent ra la ecuac in de la rec ta que pasa por e l pun to (5 , -3 ) con pend ien te -2
S o l u c i n
Usando la ecuac in de la fo rma punto-pend ien te con ra=-2 y (x
lt
y,) =(5,-3),
encont ramos que la ecuac in requer ida de la l nea rec ta es la s igu ien te
y-(-3)=-2(x-5)
y+3=-2x+10
y=-2x+7
Ejemplo 5
Determ ina la ecuac in de la l nea rec ta que pasa por los pun tos (1 , -2 ) y (5 ,6 )
S o l u c i n
La pend ien te de la rec ta que une a (1 , -2 ) con (5 ,6 ) es
a s
6 - ( - 2 )
=
8
= 2
5 - 1 4
Usando la fo rma punto-pend ien te , la ecuac in de la l nea rec ta a t ravs de (1 , -2 ) con
p e n d i e n t e m = 2 e s
y-(-2)=2(x-l)
y=2x-4
Esta es la rec ta que aparece en la f igura 11
E n la f o r m a p u n t o - p e n d i e n t e , s e a
(x
l9
y
t
)
igu al a (0,b) . (Vas e la f ig. 15) Enton ces la
e c u a c i n p u n t o - p e n d i e n t e s e t r a n s f o r m a e n
y-b=m(x-0)
o bien
Fig. 15
pend ien te - in te rsecc in de la rec ta .
U n a
ecuac in en fo rma genera , (de una func in de p r imer g rado, con dos var iab .es *
y , es una ecua c in de ,a fo rm a ^
+ f l y + c = 0
en donde
A B y C
s o n c o n s t a n t e s y
A B
d i fe ren tes de cero .
Con base en e , es tud io an te r io r , podemos descr ib i r ,a g r . f i ca de ia ecuac in i inea i
general.
S i 2*5*0 Y la ecua c in tom a la fo rm a
a -C/B.
e s s m s S A S S w r r . o .
or la ecuac in de una l nea rec ta .
1 . p u n t o - p e n d i e n t e
2.
P e n d i e n t e
- in te rsecc in
3 . Genera l
y-y=m(x-x)
y=mx+b
Ax+Bv+C=0 A
y
B
d i fe ren tes de cero .
y=mx+b
Ejemplo 6
Dada la ecua c in i inea i de te rm ina ,a pend ien te y ia in te rse cc in , de su
gr f ica .
-
7/23/2019 1020124183
15/107
Para encontrar la pendiente y la in terseccin
y
de la recta, debemos expresar la
ecua cin dada en la form a >
y=mx+b
Es deci r , debemos resolver la ecuacin de
y
en t rm inos de
x.
2x+3y=6
3y=-2x+6
y= -
2
/
3
x+2
Comparando l a f o rma pend ien te - i n t e r secc i n ,
y=mx+b,
t enemos que
m= -
2
/
3
y
b=2.
De modo que la pen18iente es igual a -
2
/
3
y la in terseccin
y
es igual a 2.
Graf icando funciones l ineales
Ejemplo 7
Dibuja la grf ica de la ecuacin l ineal
3x-4y=12
So luc i n
Sabemos que la grf ica de una ecuacin l ineal con dos var iables s iempre es una l nea
recta,y que una l nea recta est com pleta men te determin ada por dos punto s. De
modo que a l graf icar la ecuacin l ineal , encontramos dos puntos d is t in tos
(x,y)
que
sat is fagan la ecuacin, los graf icamos y, los unimos mediante una l nea recta.
Hac iendo
x
-
7/23/2019 1020124183
16/107
ki lmetro es de 2 .5x mi l lones de d la res y e l costo de const iuccin de y k i lmetros
de t ren sub terrneo a $4 mi l lones por ki lmetro es de 4y mi l lones de d la res. Dado
que e l costo to ta l es igua l a l p resupuesto asignado para ta l p ropsi to ,
2.5x+4y=200
Esta ecuacin nos da la re lacin requer ida en tre los nmeros de ki lm etros que pueden
constru i rse con e l p resupuesto .
Despe jando y en la ecuacin dada, ob tenemos
+ 5 0
La pendiente de esta Ifnea es -
6
/
a
, que expresa e l hecho de que cada ki lmetro
ad iciona l de construccin de au top ista ser e l costo de construccin de
&
/
8
k i lmetros
de t ren sub terrneo. Despe jando a * en la ecuacin or ig ina l en funcin de
y
x= -
a
/y+80
As que, cada ki lmetro ad iciona l de construccin de t ren sub terrneo es a cambio de
8
/
5
k i lmetro de construccin de au top istas.
Por l t imo estud ia remos a lgunas ap l icaciones de las funciones l inea les y l neas rectas
a prob lemas en la admin istracin y la economa .
Mode los de costo l inea l
En la p roduccin de cua lqu ie r b ien por una empresa, In te rvienen dos t ipos de co stos;
que se conoc en como costo s f i jos y costos var iab les. A los costo s f i jos hay que
enfren tarse sin importa r la can t idad producida de l a r t cu lo ; es decir , no dependen de l
n ive l de p roduccin . E jemplos de costos f i jos son las ren tas, In te reses sobre
prstamos y sa la r ios de admin istracin .
Los costos var iab les dependen de l n ive l de p roduccin ; es decir , de la can t idad de
art cu los p rod ucidos. Los costos de los mater ia les y de la mano de obra son e jemplos
de costos var iab les. E l costo to ta l est dado por
Costo t o ta l = Costos var iab les + Costos f i jos
Consideremos e l caso en e l que e l costo var iab le por un idad de l a r t cu lo es constan te .
En este caso , los costos var iab les to ta les son proporciona les a la can t idad de art cu los
produc idos. S i m denota el costo var iab le por un idad, en tonces los costos var iab les
to ta les a l p roducir un idades de art cu los son de mx d la res. S i los costo s f i jos son
de b d la res, se desprende que e l costo to ta l y
c
(en d la res) de p roducir* un idades
est dado por
Costo to ta l = Costos to ta les var iab les + Costos f i jos
y
c
=mx+b
z s s s s s r r
CU Y
a ordenada a l o r igen da los costos f i jos.
K o de costo l inea l) E l costo var iab le de procesar un kg . de g ranos de ca f es de
soo v los costos f i jos por d a son de $300.
i Da la ecuacin de costo lineal y dibuja su grfica
? , Determina e l costo de procesar 1000 ki los de granos de ca f en un d a .
a t i f representa e l costo (en dla res) de p rocesar * Kg . de g ranos de ca f por d a .
se sigue que de acuerdo a l mode lo l inea l , tenemos
y=mx+b
en donde m representa e l costo var iab le por un idad y > es e l cos to f i jo . En nuestro
ca so , m = 5 0 C = $ 0 .5 0 y 6 = $3 0 (X J ^ g ^ ^ Q O
Con e l ob je to de d ibu ja r la g r f ica de la funcin , p r imero encontramos dos puntos
sobre ella
Fig. 18
comp to en e l p r^me^ cu a d ran e p o r q u e ,V > , n o pueden ser c an t idades negat ivas,
b . S u s t itu y e nd o , - i f l en I n e c u a c i n J ^
En consec uencia , e l costo de procesar 1 000 kg . de g ranos de ca f a l d a ser de
800.
-
7/23/2019 1020124183
17/107
Ejemplo 10
(Mode lo de costos) El cos to de fabr icar 10 m quinas de escr ib i r a l d a es de $ 350
mientras que cues ta $600 pro duci r 20 mquinas del mismo t ipo a l d a. Supo niendo
un modelo de costo l ineal , determina la re lac in ent re e l costo tota l y
c
de produci r " x "
mquinas de escr ib i r a l d a y d ibuja su grf ica.
Soluc in .
Se nos han dado los puntos (10, 350) y (20, 600) que estn sobre la grf ica de un
mode lo de cost o l ineal . La pendiente de la l nea que une estos dos puntos es
_ 6 0 0 - 3 5 0 2 5 0 _
o c
-
m = = , ^ =25
2 0 1 0 1 0
Usando la forma punto-pendiente, adver t imos que la ecuacin requer ida de la l nea
recta (del mode lo de costo l ineal ) con pendiente m = 25 y q ue pasa por e l pu nto
(10 ,350 ) es
y-y,=m(x-x,)
y
c
-350=25(x-10)=25x-250;
es deci r ,
y=25x+100
La grf ica de la ecuacin anter ior en este caso no es una l nea recta cont inua porque
no puede tomar valores f racc ionar ios a l representar e l nmero de mquinas de escr ib i r
p roduc idas . La va r i ab l ex s l o puede t omar va l o res en te ros 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 . . . l os va l o res
co r respond ien tes de y
c
se dan en la tabla 4.
Graf ica ndo estos punto s, obtene mos la grf ica que se aprec ia en la f igura 19. Ntese
que la grf ica consta de puntos (d iscretos) separados mas b ien de una l nea recta
con t i nua .
l nea recta. Ten emo s que
Tasa de depre c iac in (por ao)
L (Valor In ic ia l - va lo r de desecho ) + (Vida t i l en anos)
Ejemplo 13
So luc i n
Depre ciac in por ao = (Prec io de adquis ic in in ic ia l ) - (Vida t i l en aos)
= (150 ,000 d la res) + ( 12 aos )
= 12,500 dlares
Valor despu s de * aos = (Valor in ic ia l ) - (Depreciac in por ao) (Nme ro de ao
= (150,000
d lares)
- (12,500
d l a res po r ao )Uaos )
=150,000-12,500a: d lares
Fig. 21
-
7/23/2019 1020124183
18/107
O f e r t a y d e m a n d a
Las leyes de la o fe r ta y la demanda son dos de las re lac iones fundamenta les en
cua lqu ie r an l is is econ mic o . La can t ida d * de cua lqu ie r a r t cu lo que ser adqu i r ida
por los cons umid ores depen de de l p rec io en que e l a r t cu lo es t d ispon ib le . Una
re lac in que espec i f ique la can t idad de un a r t cu lo de te rm inado que los consumidores
es tn d ispue s tos a com prar , a var ios n ive les de p rec io s , se denor r t fn 3ey de la
dem anda . La ley ms s imp le es una re lac in de l t ipo ^
p=mx+b '
e n d o n d e
p
es cur va d e
l a o f e r t a . E n g e n e r a l , l o s p r o v e e d o r e s i n u n d a r n e l m e r c a d o c o n u n a g r ^ & f l j j i d a d d e
a r t c u l o s , s i p u e d e n p o n e r l e u n p r e c i o a l t o , y c o n u n a c a n t i d a d r r # s - f ^ q e a d e
ar t cu los s i e l p rec io ob ten ido es ms ba jo . En o t ras pa labras , la o f r t aumen ta a l
sub i r e l p rec io . Una cur va de dema nda l inea l t p ica aparece en la par te (b> de la f igura
25. E l p rec io p j cor respo nde a un p rec io ba jo de l cua l los p roveedore s no o f recer n
e l a r t cu lo .
d e m a n da t i e n e n c o o r d e n a d a s .
x
=20, p=25
y
x=30,p=20
ion
v (30 20) . D ado que la ecua c in de dem anda
es
l n e a |
0
e st X o 7 a S S n 2 una E l e c t a q ue 'p asa por ,os p un to s , 20 ,2 5 ,
S
, K ( L a p a n d e e d e la Ifn ea q ue u na e s t o s ^ un t o s e s ^ ^
&
m =
" 3 0 - 2 0 ~ T 1 0
Por la frmula
p u n t o
-pend ien te , la ecuac in l inea l de la I fnea que pasa por 0 , 26 ) con
p e nd an t e m - 0 . 5 e s y-y^mfx-x,)
Dado que
y
m
p,
tene mos que ^
p=-0.5x+35
l a ecua c in de dema nda requer ida . (Vase la f ig . 23)
que es
P
40
- (0 . 35)
20
- ^ ^
|
i
20
40
60
(70,0)
Fig. 23
Punto de equ i l ib r io de l mercado
Si el prec io de cie rto art icule> es.de mas iadc, , lo .
de la o fe rt a , s ie m pre e x is te una' ^ ^ ^ J ^ / S e s K a T a c an ti d a d qu e los
modo que la can t id ad dema ndada por los cons umid ores gua le a ca q ^ ^
proveed ores es tn demand ada ' es igua l a la can t ida d
o f r e c id a . ^ S Z S S T ^ ^
te
f e r t 3 V
"
deman da. (Vase la f ig . 24)
-
7/23/2019 1020124183
19/107
Fig. 24
Algebra icamente , e l p recio de equ i l ib r io de l mercado
p
0
y la can t idad de equ i l ib r io x
0
se de termina reso lviendo las ecuaciones de la o fe rta y la demanda simu l tneamente
para
p
y
x .
N tese que e l p recio y la can t idad de equ i l ib r io s lo t ienen sent ido cuando
no son negat ivas.
E jemplo 15
Determina el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes de la oferta y
la demanda sigu ien tes
D:p=25-2x
* (1)
S:p=3x+5
, (2)
So lucin
Igua lando los dos va lo res de
p
en las ecuaciones y (2 ), tenemo s que
3x+5=25-2x
Fci lmente se ve que la so lucin es
x=4.
S u s t i t u ye n d o
x-4
en la ecuac in (1 ), resu l ta
p=25-8=17
En consecuencia , e l p recio de equ i l ib r io es 17 y la can t idad de equ i l ib r io es de 4
un idades. Las g r f icas de las curvas de la o fe rta y la demanda aparecen en la f igura
25.
P
30
Oferta
/ P -
a* + 5
20
;
17)
10
OwnandaV
l i
- 25 - 2*
t ,
4
8 x
, - V
Ejemplo 16 '
1
" . , . .
S i l a s e cu a c io n e s d e l a d e m a n d a y l a o fe r ta so n , ce s f . ^C t i v^n te
D:3p+5x=22
(3)
S:2p-3x=2
determina los va lo res de x y p en e l pun to de equ i l ib r io de l mercado.
La^ecuaciones (3 ) y (4 ) fo rman un sistem d ecuaciones imf fes en las var iab les *
Y p Reso lvamos este sistema por e l mtodo de suma y resta . Mu l t ip l ic ando am bos
lados de la ecuacin (3 ) por 3 y los dos miem bros de te ecuacin (4 ) por 5 , o b tenemo s
9p+15x=66
10p
-15x
=10
Ensegu ida sumamo$ estas dos ecuaciones y simp l i f icamos -
9p+15x
-t?
10p-15x=66+1 ft
i,
,
/ v f f ' iW?" . .
As que p=4. Sust i tuy endo este va lo r dB p
3(4)r5x^22
Por lo tan to , x=2. E l pun to de equ i l ib r io de l mercado ocurre cuand o.p= 4 y x=2.
Ejercicio 1.2
Determina las pendientes de las lneas que unen cada pareja de puntos.
1 .( 2 ,1 ) y (5 ,7 ) 2 . (5 ,-2 ) y (1 ,-6 ) $
3. (2,-1) y (4,-1) 4. (3,5) y
( - 1 , 5 )
5. (-3 ,2 ) y (-3 ,4 ) 6 , (1 ,2 ) y (1 ,5 )
Encuentra la ecuacin de las l neas rectas que sa t isfacen las cond iciones de cada un
de los e je rcicios sigu ien tes. D ibu ja la g r f ica en cada caso .
7 . Pasa a t ravs de l pun to (2 ,1 ) y t iene pend ien te 5 .
8 . Pasa por (1 ,-2 ) con pend ien te -3
9 . Pasa a t ravs de los puntos (3 ,1 ) y (4 ,5 )
10. Pasa por (2,1) y (3,4)
11 . Pasa a t ravs de los punto s (3 ,-2 ) y (3 ,7 )
12 . T iene pend ien te -2 y o rdenada a l o r igen 5
13. Funcin de costo .
Una empresa que fabr ica rad io -receptores t iene costos f i jos de $3000 y
cos to de la man o de obra y el mater ial es de $15 por radio. Dete rmin a
funcin de costo , es decir , e l costo to ta l como una funcin de l nmero
rad ios p roducidos. S i cada rad io -receptor se vende por $25, enc uentre
funcin de ingresos y la funcin de u t i l idades.
-
7/23/2019 1020124183
20/107
14. (Funcin de ingresos)
Un fabr ican te puede vender 300 un idades de su p roducto a l mes a un prec
de $20 p or unidad y 50 0 unidad es a un precio de $1 5 por unidad. Expresa
demanda de l m erc ad o* (e l nmero de un idades que pueden venderse a l me
como una funcin de l p recio por un idad, supon iendo que es una funcin l inee
Expresa los ingresos como:
a . Una funci n de l p recio ; b . Una funci n de x.
15. (Funcin de costo )
El azcar tiene un costo de 250 para cantidades hasta de 50 libras y de 20
por libra extra en el caso de cant idade s por enci ma de las 50 lib ras. Si C(>
denota e l costo de* l ib ras de azcar, representa
C(x)
por medio de expresione
a lgebra icas aprop iadas y bosque ja su g r f ica .
16 . (Mode lo de costo l inea l)
El costo variable de fabricar una mesa es de $7 y los costos fi jos son de $15
a l d a . Determina e l costo to ta l y
c
de fabr icar x mesa s al da. Cul es el cost
de fabr icar 100 mesas a l d a?
17. (Mode lo de costo l inea l)
El costo de fabricar 100 cmaras a la semana es de $700 y el de 120 cmara
a la semana es de $800.
a . Determina la ecuacin de costo , supon iendo que es l inea l .
b. Cules son los cos tos fi jos y variab le por unidad?
18. (Mode lo de costo l inea l)
A una compaa le cuesta $75 producir 10 un idades de cie r to a rt cu lo a l d a \
$120 producir 25 un idades de l mismo art cu lo a d a .
a . Determina la ecuacin de costo , supon iendo que es l inea l .
b. Cul es el costo de producir 20 artculos al da?
c. Cul es el costo variable y el costo fi jo por artculo?
19. (An l is is de l pun to de equ i l ib r io )
Los costos f i jos por p roducir c ie r to a rt cu lo son de $5000 a l mes y los costos
var iab les son de $3 . 50 por un idad. S i e l p roductor vende cada uno a $6 .00,
responde a cada uno de los incisos sigu ien tes:
a . Encuentra e l pun to de equ i l ib r io .
b . Determina e l nmero de un idades que deben producirse y venderse a l mes
para ob tener una u t i l idad de $1000 mensua les.
c. Obtn la prd ida cuando s lo 1500 un idades se p roducen y venden cada
mes.
20 . (An l is is de l pun to de equ i l ib r io )
E l costo de producir x a r t cu los est dado por } \=2.8x+600 y cada artc ulo se
ve n d e a $ 4 .0 0
a. Encuentra e l pun to de equ i l ib r io
b. Si se sabe que al menos 450 unidades se vendern, cul debera ser el
precio fi jado a cada artculo para garantizar que no haya prdidas?
21. (Depreciacin)
Una empresa compr maqu inar ia nueva por $1500 0. S i se deprecia l inea lmente
en $75 0 a l ao y si t iene un va lo r de desperd icio de $2 250 , por cunto t ie mpo
estar la maqu inaria en uso? Cul ser el valor V de ia maquinar ia despus de
t aos de uso y despus de 6 aos de uso?
22. (Depreciacin)
La seora Ol ivares compr un te levisor nuevo por $800 que se deprecia
l inea lmente cada ao un 15% de su costo o r ig ina l . Cu l es el va lo r de
te levisor despus de t aos y despus de 6 aos de uso?
23. (Ecuacin de la oferta )
A un precio de $2 .50 por un idad, una empresa o frecer 8000 vest idos a l ies
a $4 cada un idad, la misma empresa producir 14 ,000 vest idos a l mes
Determina la ecuacin de la o fe rta , supon iendo que es l inea l .
24. (Relacin de la demanda)
Un fabr ican te de herramien tas puede vender 3000 mart i l los a l mes a $2 cada
uno, mien tras que s lo pueden venderse 2000 mart i l los a $2 .75 cada uno
Determina la ley de demanda, supon iendo que es l inea l .
25 . (Punto de equ i l ib r io de l mercado)
Un comercian te puede vender 200 un idades de cie r to a rt cu lo a l d a a $30 por
un idad y 250 un idades a $27 por un idad. La ecuacin de ia o fe rta para ta
art cu lo es
6p=x+48.
a. Determina la ecuacin de la demanda para e l a r t cu lo , supon iendo que es
lineal.
b . Encuentra e l p recio y la can t idad de equ i l ib r io .
1 .3 Funciones Cuadr t icas y Parbo las
Una funcin de la fo rma
f(x)=ax
2
+b x+c (a*0)
co n a, b y c cons tan tes , se denomina funcin cuadr t ica . E l domin io def (x) es e
con jun to de todos los nmeros rea les. La g r f ica de una funcin cuadr t ic a es un
curva denominada parbo la .
La funcin cuadr t ica ms simp le se ob t iene haciendo b y c igua les a cero , en cuy
ca so o b te n e m o sf(x)=ax
2
. Las g r f icas comunes de esta funcin en los casos en qu
a es posi t iva o negat iva aparecen en la f igura 26 . E i pun to m s ba jo de la g r f ic
cu a n d o a>0 ocurre en e l o r igen , mien tras que este mismo es e l pun to ms a l to
a
-
7/23/2019 1020124183
21/107
Teorema 1 t
La grf ica de la func in f(x)=a-tyx+c(a*0) es.una parbola que se abre hacia arr
si
a>Oy
hac ia abajo s i
a 0
y el pur
ms a l to s i a
-
7/23/2019 1020124183
22/107
Como es tab lec imos an tes , e l vr t ice de la parbo la represento e l pun to ms ba jo
c u a n d o
a>0
o e l pun t o ms a l to s i
a0,
l a f u n c i n
f(x)=ax
2
+bx+c
tom a su va lo r mn imo en e l vr t ic e de la parbo la
c o r r e s p o n d i e n t e . E s o e s
, f ( x )
e s m n im o c u a n d o
x=-b/2a.
Por o t ro lado , cuan do
a
-
7/23/2019 1020124183
23/107
Ejemplo 4
(Dec is iones sobre f i jac in de ren tas) E l seor A lonso es p iop ie ta r io de un ed i f i c io de
depa r tame ntos con 60 hab i ta c iones . E l puede ren ta r las todas s i f i ja una ren ta mensua l
de $200 por hab i tac in . A una ren ta ms a l ta , a lgunas hab i tac iones quedarn vac as .
En consecuenc ia , por cada inc remento de la ren ta de $5 , una hab i tac in quedar
vac a , s in pos ib i l idad a lguna de ren ta r la . Determ ina la re lac in func iona l en t re e l
ingreso mensua l to ta l y e l nm ero de hab i tac io nes vac as . Qu ren ta mens ua l
max im lzar a e l ingreso to ta l? Cu l es es te ingreso m x imo ?
S o l u c i n
Se a
x
e l nm ero de un idades vac as . E l nme ro de depa r tam ento s ren tados es
e n t o n c e s
60-x
y la ren ta mensua l por hab i tac in es
(200+5x)
d la res . S i
R
denota e l
ingreso mensua l to ta l (en d la res) , se s igue que
R=
(Renta por un ida d) (Nm ero de un idades ren tadas)
= (200+5x) (60-x)
=-5x
2
+10Qx+12,000
El ingreso mensua l to ta l
R
es una func in cuadr t ica de * con
a = -5 , b = 100 y 0 = 12 ,00 0
La gr f ica de
R
es una parbo la que se abre hac ia aba jo (dado que
a.
Qu nme ro de un idades p roduc idas
min im izar an e l cos to p romed io? Cu l es e l cor res pond ien te cos to m fn imo por
un idad?
9>
^ u f g r a n j e r o t i e n e 5 0 0 y ar d a s de c er c a co n la c ua l d e l im i t a r u n c o r r al
rec tang u la r Cu l es e l rea mx ima que puede cercar?
1 0 l (
T u ? d l r t a
d
e r
p
; r d e u n l ib r o e n . 2 0 c a da u n o , v e n d e r 1 0 , 0 0 0
a a mo l a r e s
Por cada d la r de inc remento en e l p rec io , las ve n t a , ba jan en 40 0
copTas Qu precio deberta f i jar a cada l ibro de mod o que el ingre so sea
mx im o? Cu l es e l va lo r de es te ingreso mx imo?
1 . 4 M s Fu n c i o n e s E l e me n t a l es
En es ta secc in , es tud ia r emos a lgun as func ione s s imp les de uso e in te rs c om n.
Func iones po tenc ia les
Una func in de la fo rma
. f(x)=ax" .
en donde a y n son cons ta n tes d is t in tas a cero , se denom ina fun c in po tenc ia l .
Cons ideremos a lgunos casos espec ia les de fundones de es te t ipo .
1
' "
= 2
n e s t e c a s o f(x)=ax
2
, y tene mos un caso espec ia l de las func i ones c uadr t icas
expu es tas en la sec c i / n 3 . La g r f ica de es una parbo la con vr t ice en
e l o r igen , que se abre hac ia a r r iba s i
a>0
y hac ia aba jo s i
a
-
7/23/2019 1020124183
24/107
2-
n-M'
. u u
A h o r a , f ( x )= ax
1 2
= o s f x
La g r f ica es la mi tad de una parbo la que se abre hac ia
la de rec ha . Si a>0, la g r f ica es la mi tad super io r de la pa rbo la , mien t ras que
si a0 6 a0 t iene una
fo rma s imi la r a la de y-l/x y en e l caso de que a
-
7/23/2019 1020124183
25/107
El caso n= 0 corres pond e a una lnea recta hor izonta l . Por l t imo , s i n
-
7/23/2019 1020124183
26/107
Los dominios de las funciones suma, d i ferencia y producto son iguales a la part
c o m n d e lo s d o m i n i o s d e / y g, esto es, a l conjunto de las x en las cuales t a n t o
c o m o g estn def in idas. En e l caso de la func i n cocien te, e l dom inio es la part
c o m n d e l o s d o m i n i o s d e / y g excepto por aquel los valores dex en los cualesg(x)=(.
Ejemplo 1
Se af(x)=l/(x-l) y g(x)=Jx. Calculaf+g, f-g, fg, f/g y g/f. De te rm ina e l dom in i o r
cada caso.
So luc i n
Tenemos :
(f+g)(x)=f(x)+g(x) =
A X
(f-g)(X)=f(x)-g(x)= -L-V^
A JL
(f'g)(x)=f(x)'g(x) =
x-1 x-1
( ) (Y ) =
f
(
X )
=
1
/ (
y
~
1
) =
1
Dado que su denominado r se hace ce ro cuando x=l,f(x) no est def in ida s i x=l, de
modo que e l dom in i o de fes igual a l con junto de todo s los reales exce pto 1.
De manera s imi lar , g(x) est def in ida en aquel los valores de x para los cuales la
expres in dentro del radica l no es negat iva, esto es, para x>0. As que
D/{x\x*l} y D
g
:{x\x>0}
La pa r t e comn de D
f
y D
g
es
{g\x^O y x * l }
Este conjunto es e l dominio de f+g, f-g y f-g.
Dado que g(x)=yfx es ce ro cuando x=0, este punto debe exc lu i rse del dom inio def/g.
En consecuenc ia , e l dom in i o de f/g es
{x\x>0 y x * l }
es deci r e l conjunto (1) .
fcs
J^'
a
d t e s
necesa r i o exc l u i r x - i de l
- -
tanto g c o m o / e s t n d e f i n i d a s .
X=g(p),
t e n e m o s
R=f (x )f(g (p))
conduce a la def in ic in s iguiente
De f i n i c i n
d 0
m i n i o d e
g
de ta l manera que
g(x)
pe r t enezc
a f do m in t od e ^ E nto nc es S S ^ ( , /s e / c om p u e s t a c on se d ef in e po
(fog)(x)=f(g(x))
Ejemplo 2 ,
Se af(x)=l/(x-2) y g(x)=Jx. Evala:
a. (fog)(9);
b. (fog)(4);
c. (fog)(x);
d. (gof)(6);
e. (goflfl);
f.
(gof
)(x).
a
,
g
( 9 ) = J 9 = 3 . P or t a n t o ,
(fo g)
9 )
=f(g (9 )) =f(3) =
11(3-2)
=
1
b. g(4)^4=2. T e n e m o s
f o
g ) 4 ) = f g 4 ) M 2 ) = 1/(2-2)
Es to no es ta de f i n i do . E l va l o r no pe r t enece a . dom in i o d e / o
g
, de modo q
(fog)(4) no puede de te rm ina rse .
c . g(x)=>fx
x 1
-
7/23/2019 1020124183
27/107
e
.f(l)=l/(l-2)=-l;(gof)(l)=g(f(l))=g(-l)=
/ T e l c u a l n o e s u n n m e r o r e a l . N o
p o d e m o s e v a l u a r
(gof)(l)
porque 1 no per tenec e a l dom in io de
gof.
tf(x)=l/(x-2)
(gof)(x)=g(f(x))= yf{x) =
E l d o m i n i o d e / o g e s t d a d o p o r
D
fog
={x\xED
g
y
g(x)EDj
Es pos ib le demost ra r que , para las func iones de l e jemplo 2
D
fog
={x\x>0
y
x*4}
y t a m b i n
D
goJ
={x\x>2}
Ejemplo 3
( Ingresos) E l ingreso mensua l
R
ob ten ido por vender zap atos mo de lo de lu jo es un
f u n c i n d e l a d e m a n d a
x
de l merca do. Obsrves e que, como una func i n de l p rec i
p
por par , e l ingreso mensua l y la demanda son
R=300p-2p
2
y
x=300-2p
C m o d e p e n d e
R
de
x?
S o l u c i n
Si
R=f(p)
y
p=g(x), R
p u e d e e x p r e s a r s e c o m o u n a f u n c i n d e
x
por med io de l
c o m p o s i c i n R= (fog)(x) =f(g(x)). L a f u n c i n f(p) es t dada por R=f(p)=300p-2p
2
. S
e m b a r g o , c o n o b j e to d e o b t e n e r
g(x),
debem os reso lver la re lac in de demand:
x=300-2p
d e m o d o q u e e x p r e s e m o s
p
c o m o f u n c i n d e
x.
O b t e n e m o s a s
p=
1
A(300-x)
S u s t i t u i m o s e s t e v a l o r d e
p
en
R
y s i m p l i f i c a m o s
R=300p-2p
2
=300-
'A
(300-x)-2-
'A
(300-x)
2
= (150) (300)-150x-
A
(300
2
-600x +X
2
)
=15Qx-0.5x
2
Este es e l resu l tado requer ido , que expresa e l ingreso mensua l R como una func in d i
l a d e m a n d a
x
en e l mercado.
Ejercicio
1 .5
C a l c ul a la s u m a , l a d i f e r e n c i a , el p r o d u c t o y e l c o c i e n t e d e l as d o s f u n c i o n e ^ y g e
ca a uno de los e je rc ic ios s igu ien tes . Determ in a los dom.n .os de las fund on e
resu l tan tes .
1.f(x)=; gM=
i
x-l
2
.f(x)=x
2
+l; gto=yx
3
. f(x) = yfx^T; g(*)=
t t o
4.f(x)=l+Jx; g(x)=
X+2
2x
l
X + 2
5 .f(x)=(x+l)
2
; g(x)= -J-^
D a d a s J M - * Y v ^ T , e v a l a c a d a u n a d e l a s c o m p o s i c i o n e s s i g u i e n t e s
6.
(fog)(5)
7
-
S.(fog)(5/4) 9. (gof)(-2)
10 .
(fog)(*) U.(goJ)(H)
12 . (fog)(2) 1 3. (gofl(l)
D e t e r m i n a (fog)(x) y (gof)(x) en los e je rc ic ios s igu ien tes
14 .f(x)=; g(x)=l+x
'\5.f(x)=>fx+l; g(x)=x
2
1 6 . / ( * ; = ^ ; g(x)=Vx+i
17
.f(x)=2Wx; g(x)=(x-2)
2
18 .f(x)=+2; g(x)x-3
-
7/23/2019 1020124183
28/107
19. (Func in de ingreso)
L a d e m a n d a
x
de c ie r to a r t cu lo es t dada por
x=2000-15p,
e n d o n d e
p
es e
prec io por un idad de l a r t cu lo . E l ingreso mensua l
R
ob ten ido de las ven tas d i
es te a r t cu lo es t dado por
R=2000-15p
2
.
C m o d e p e n d e
R
de
x?
20. (Func in de ingreso)
U n f a b r i c a n t e p u e d e v e n d e r
q
un idades de un p roduc to a l p rec io
p
por unidad,
e n d o n d e
20p+3q=600.
C o m o u n a f u n c i n d e l a c a n t i d a d
q
demandada en e
mercado, e l ingreso semana l to ta l es t dado por
R=30q-0.15q
2
.
En qu forma
d e p e n d e
R
de l p rec io
pl
C A P I TU L O 2
L M I TE S Y C O N TI N U I D A D
I N T R O D U C C I O N
El " l m i te " de una func in , es una de las ideas fundamenta les de l C lcu lo
D i fe renc ia l e In tegra l , y que lo d is t inguen de o t ras a reas de las
matemt icas , como e l lgebra , la geomet r a y la t r igonomet r a .
La d iscus in r igurosa de es te concepto puede parecer d i f c i l y comple ja
p o l o T u e n o s l i m i t a re m o s a u n a d i s c u s i n i n t u it i v a da c o n c e p o d e
" l m i te " , ya que fue p rec isamente as , como suced i la evo luc ion
h i s t r i c a d e e s t e c o n c e p t o .
Aaue l los es tud ian tes que dec idan cursar una L icenc ia tu ra de C ienc ias o
de Ing enie ra te ndr n^a opor tun idad de rev isar fo rma lmen te e l con cep to
de l " l m i te " en su curso de C lcu lo D i fe renc ia l .
Ex is ten muchos prob lemas de l mundo rea l que pueden ser descr i tos por
m o d e l o s
m a t e m t i c o s q u e e s t a b l e c e n u n a r e l a c i n f u n c i o n a l e n t r e d o s
var fab les dondTe l va lo r 'de una de e l las , depende de los va lo res que tome
la o t ra , es ta l t ima l lamada var iab le independ ien te .
En es te es tud io nos va a in te resar e l compor tamien to de la func in (de
la
v a r i a b l e d e p e n d i e n t e ) , c u a n d o l a v a r i a b le i n d e p e n d i e n t e s e a p r o x i m a
rep i to
se aprox im a a un va lo r dado , pero s in llegar a toma r d ichc . va lo r ,
or e iemplo s i V se aprox ima a 5 , la V puede tomar va lo res de 4 .9 ,
4 9 9 4 9 9 9 5 . 0 1 . 5 . 0 0 1 , 5 . 0 0 0 1 p e r o n o t o m a r e l v a l o r d e
5 ' , s to es lo que s ign i f i ca aprox imarse a un va lo r dado.
Cuando la var iab le independ ien te se aprox ima a un va lo r dado, la func in
ouede aprox imarse a c ie r to va lo r , o no aprox imars e a n inguno. S i e l caso
es e l p r imero en e l que la func in se aprox ima a c ie r to va lo r dec im os
que e l
v X a l c u a l s e a p r o x i m a l a f u n c i n e s e l l m i te ( L) d e l a m . m
cuando la var iab le independ ien te se aprox ima a l va lo r dado y se
representa en la s igu ien te fo rma:
l im f(x) = L
Lo an te r io r se lee como: e l l m i te d
e f ( x )c u a n d o . . t i e n d e
a V
(x->a),
es
L.
E l segundo caso , cuando la func in no se aprox ima a n ingn va lo r ,
dec imos que e l l m i te no ex is te .
La fo rma en que se re lac ionan dos var iab les nos puede conduc i r a
func iones de muy d i fe ren tes t ipos , y e l c lcu lo de los l m i tes puede ser
d i f c i l y com pl icad o.
-
7/23/2019 1020124183
29/107
19. (Func in de ingreso)
L a d e m a n d a
x
de c ie r to a r t cu lo es t dada por
x=2000-15p,
e n d o n d e
p
es e
prec io por un idad de l a r t cu lo . E l ingreso mensua l
R
ob ten ido de las ven tas d i
es te a r t cu lo es t dado por
R=2000-15p
2
.
C m o d e p e n d e
R
de
x?
20. (Func in de ingreso)
U n f a b r i c a n t e p u e d e v e n d e r
q
un idades de un p roduc to a l p rec io
p
por unidad,
e n d o n d e
20p+3q=600.
C o m o u n a f u n c i n d e l a c a n t i d a d
q
demandada en e
mercado, e l ingreso semana l to ta l es t dado por
R=30q-0.15q
2
.
En qu forma
d e p e n d e
R
de l p rec io
pl
C A P I TU L O 2
L M I TE S Y C O N TI N U I D A D
I N T R O D U C C I O N
El " l m i te " de una func in , es una de las ideas fundamenta les de l C lcu lo
D i fe renc ia l e In tegra l , y que lo d is t inguen de o t ras a reas de las
matemt icas , como e l lgebra , la geomet r a y la t r igonomet r a .
La d iscus in r igurosa de es te concepto puede parecer d i f c i l y comple ja
p o l o T u e n o s
9
l im i ta rem os a una d iscus in in tu i t i v a de c once p o de
" l m i te " , ya que fue p rec isamente as , como suced i la evo luc ion
h i s t r i c a d e e s t e c o n c e p t o .
Aaue l los es tud ian tes que dec idan cursar una L icenc ia tu ra de C ienc ias o
de Ing enie ra te ndr n^a opor tun idad de rev isar fo rma lmen te e l con cep to
de l " l m i te " en su curso de C lcu lo D i fe renc ia l .
Ex is ten muchos prob lemas de l mundo rea l que pueden ser descr i tos por
m o d e l o s
m a t e m t i c o s q u e e s t a b l e c e n u n a r e l a c i n f u n c i o n a l e n t r e d o s
var fab les dondTe l va lo r 'de una de e l las , depende de los va lo res que tome
la o t ra , es ta l t ima l lamada var iab le independ ien te .
En es te es tud io nos va a in te resar e l compor tamien to de la func in (de
l a v a r a l e
d e p e n d i e n t e ) , c u a n d o l a v a r i a b le i n d e p e n d i e n t e
se
a p r o x i m a
r e p i t o s e
aprox ima a un va lo r dado, pero s in l legar a tomar d ichc . va lo r ,
or e iemplo s i V se aprox ima a 5 , la V puede tomar va lo res de 4 .9 ,
4 9 9 4 9 9 9 5 . 0 1 5 . 0 0 1 , 5 . 0 0 0 1 p e r o n o t o m a r e l v a l o r d e
5 ' , s to es lo que s ign i f i ca aprox imarse a un va lo r dado.
Cuando la var iab le independ ien te se aprox ima a un va lo r dado, la func in
ouede aprox imarse a c ie r to va lo r , o no aprox imars e a n inguno. S , e l caso
es el
p r imero en e l que la func in se aprox im a a c ie r to va lo r dec im os
que e l
v X a l c u a l se a p r o x i m a l a f u n c i n e s e l l m i te ( L) d e l a m i s m a ^
cuando la var iab le independ ien te se aprox ima a l va lo r dado y se
representa en la s igu ien te fo rma:
l im f(x) = L
Lo an te r io r se lee como: e l l m i te d
e f ( x )c u a n d o . . t i e n d e
a V
(x->a),
es
L.
E l segundo caso , cuando la func in no se aprox ima a n ingn va lo r ,
dec imos que e l l m i te no ex is te .
La fo rma en que se re lac ionan dos var iab les nos puede conduc i r a
func iones de muy d i fe ren tes t ipos , y e l c lcu lo de los l m i tes puede ser
d i f c i l y com pl icad o.
-
7/23/2019 1020124183
30/107
El ob je t ivo de este estud io , es aprop ia rse de l concepto de l l mi te de una funcin^
ap l icar lo a la so lucin de prob lemas y e je rcicios senci l los.
Para que compr endas e l conc epto de l l mi te de una func in , te mostra re mos ur
prob lema.
Prob lema 1
Un hombre acepta pagar una deuda en la sigu ien te fo rma:
El primer ao el pago ser de $1 20 00 pesos , el segundo ao el pago ser de 0 .9 de
lo que pag el primer ao, el siguiente pago ser 0.9 de lo que pag el ao anterioi
y as sucesiv amente por "n" aos.
A primera vista parece que el hombre no acabar de pagar nunca, lo cual es cierto, sin
em barg o, la can tidad to tal a pagar tiene un valor lm ite y no podr ser ma yor de es
cant idad , sin importa r e l nmero de aos t ranscurr idos incluso si n ->oo.
Vamos a desarro l la r la suma de pagos
n 1 2 3 n
S n = 1 2 0 0 0 + 1 2 0 0 0 (0 .9 ) + 1 2 0 0 0 (0 .9 ) (0 .9 ) + +12 0 0 0 (0 .9 )
n
"
1
Esto es a lgo que ya conoces, es una ser ie geomtr ica convergente , donde e l p r imer
t rm ino es 12 000 y la razn r = 0 .9 .
La f rmu la para la suma de "n" t rminos de una ser ie geomtr ica , es la sigu ien te :
3 , ( 1 - 2 - " )
Sn =
1 - r
donde:
Sn = La suma de "n" t rmino s
a = Es el primer trm ino de la serie
r = Es la razn
El problema en s, es calcular el valor al que tiende esta suma, cuando el nmero de
aos "n" t iende a in f in i to . Esto lo podemos expresar en la sigu ien te fo r ma:
lim Sn = lim
a
'
( 1
-
r
"
}
= llm-
1 2 0 0 0
-
7/23/2019 1020124183
31/107
El dominio de la func in que examinaremos en e l presente problema, es e l conjunt
de t odos l os nmeros rea les , excep to x=3, pues f(3) no esta def in ido, ya que
s
sus t i t u imos x= 3 en la expre s in de f(x), obten emo s 0/0 , y sto es un
inde te rm inac in , s i n emb argo , / f r ) puede ca l cu la r se pa ra cua lqu ie r va lo r de " x
n
cercan
a 3.
Los valores de la tabla y la grf ica de la f ig . 2 .2, m uestra n que cuan do V se acerc
a 3 por la izquierda o por la derecha, los va lores de f(x) se acercan a 6, entonces,
es el l mite de f(x), c u a n d o x-*3.
l im x
2
- 9 = 6
x->3 x - 3
X
f(x)
2 .9
5 .9
2 . 9 9 5 . 9 9
2 . 9 9 9
5 . 9 9 9
3 .1
6 .1
3 . 0 1
6 . 0 1
3 . 0 0 1
6 . 0 0 1
Fig. 2.2
Hemos encontrado en una forma intu i t iva e l l mi te buscado, as que en adelante
usa remos l a no tac i n x-*a para sealar que x t iende a "a" por la izquierda, y x-*a
+
lo hace por la derecha.
Si los l mi tes uni la tera les t ienen un mismo valor "L" , es deci r s i
l im f(x) = l im f(x) = L
x-^a" x-*a
se d ice entonces que e l l mi te ex is te y se escr ibe
lim f(x) = L
x-^a
En a lguno s casos com o en e l problem a anter ior , es posib le remove r la indeterminado
y calcu lar e l l mi te por sust i tuc in d i recta, ya que con la condic in de que x\
podemos hace r l o s i gu i en te :
v
' x - 3 ( x - 3 )
en tonces
lim x + 3 = 6
x-3
que es e l mismo valor obtenido para f (x) =
Las grf icas de las funciones
X
2
- 9
X
2
- 9
X - 3
, cuando x-^3.
f { x ) =
x - 3
f(x)=x+3
Despus de anal izar estos problemas, estamos l is tos para dar una def in ic in in tu i t iva
de l mi te de una funcin
def in ic in in tu i t iva de l mi te
Si f(x) puede ap rox imarse a un nmero f i n i t o L , t omando a "x"
suf ic ientemente cercano pero d is t in to de un nmero "a" , tanto por e l lado
izquierdo como por e l lado derech o de V , enton ces l i r r^ f (x) - L
Pa ra que comprendas caba lme n te l a de f i n i c i n an te r io r , t e mos t ra remos ms e j em p los
Problema 3
Si se nos da la s iguiente funcin compuesta
f (x) = x- 2 si * 3
1 2 si x = 3
Encon trar l im f (x)
x -3
/ .
E n e s i e
n
c a s o / ^ = 2 , c u a n d o x=3. pero la def in ic in nos d ice que e l l mi te es e l va lo
ai que se aprox ima
f(x),
cuan do tanto por la derech a, com o por la .zqu.erda, y d
la grf ica se observa qu e f ( x ) - l . cuan do por lo tanto
lim f(x) = 1
x ->3
Problema 4
Se nos da l a s i gu i en te f unc i n compues ta
f (x) = x - 1 si x 2
Encon trar l im f (x)
x - * 2
1 0 2 0
1
2 4 1 8 3
Fig. 2.4
-
7/23/2019 1020124183
32/107
En la g r f ica ( f ig . 2 .4 ) observamos que s i
x-*2
por la izqu ie rda ,
f(x)-*l,
y si lo hace p
la derecha
f(x)-*-2.
Esto con t rad ice la de f in ic in de l m i te , que d ice que debemos tener e l m ismo va lo r p
ambos lados , en tonces e l l m i te d
e f ( x )
no ex is te , cuando
x-*2.
l im f(x) no existe
xr>2
S i n e m b a r g o , p o d e m o s d e s c r i b ir l a c o n d u c t a d e
f(x)
en las cercan as de 2, en la forme
s igu ien te : ^
l im f(x) = 1 y l im f(x) = -2
x-+2' x~*2
La ex is tenc ia o no , de l l m i te de una func in
f(x),
c u a n d o
x-*a,
es independ ien te dele
Ejercicio 2.1
ex is tenc ia o no , de l l m i te de la m isma func in / fx ) , cuando
x-*b,
d o n d e ,
b^a.
Prob lema 5
S i t e n e m o s q u e
f(x)=)/x
, d o n d e
x>0.
E n c o n t r a r :
a) l im \[x
x~-2
b) l im \x
x - > 4
a) El l im Jx n o ex is te , ya que e l va lo r
x>-2
al cual tiende
V , n o e s t d e f in i d o
por la func in dada.
b) El l im
\[x=\[4=
2
X~
5
*4
Completa los datos de
la s
tablas
y conjetura en una orma intuitiva los valores de los siguientes
l mites.
1 ) lim j s t j l =
2)lm^ l-
QQS X
Fig. 2.5
x (Radianes)
se n x i
X
- 0 . 1
- 0 . 0 1
- 0 . 0 0 1
0 . 1
I 0 . 0 1
0 . 0 0 1
* (Radianes)
1 - e o s X
X
- 0 . 1
- 0 . 0 1
- 0 . 0 0 1
- 0 . 0 0 0 1
0 . 1
0 . 0 1
0 . 0 0 1
0 . 0 0 0 1
0 . 1
0 . 0 1
0 . 0 0 1
0 . 0 0 0 1
Esto es c ie r to , ya que de la g r f ica de la f ig . 2 .5 podemos observar que cuando jM-
tan to por la derecha como por la izqu ie rda
, f ( x ) -+2 .
;Q u puedes dec i r de lim \ fx ?
' x-K>
Prob lema 6
L a g r f i c a d e / ) e n l a f i g . 2 . 6 m u e s t r a q u e c u a n d o
x-*3
por la izquierda, los valore:
d e / ) se vue lv en cada vez ms grandes , es dec i r , c recen s in co ta , por lo tan to
l inv f (x ) no ex is te .
x-+3~
Esto es suf ic iente para decir que l im J ^ no existe.
Eva la e l l mi te dado
3) l im (3x + 1 )
x - 2
5) l im (x
2
- 1 )
x - * 1
4) l im x
2
- 1 ,
6
lim Jx-1
x ^ 5
Ut i l i za la g r f ica dada para encon t ra r cada
l m i te , s i es que ex is te .
a) l im f (x )
x - * 2
+
b) l im f ( x )
c) l im f(x)
x - > 2
-
7/23/2019 1020124183
33/107
2 . 2 Te o r e ma s d e l m i t e s
Ha s t a a h o r a , h e mo s
a b o r d a d o
el
concepto de l m i te de una func in en una fo rma
i n t u i t i v a , a t r a v s d e
tab las de va lo res y g r f icas . Los teorem as que verem os a
c o n t i n u a c i n , d e l o s
cua les omi t i remos su demost rac in , te serv i rn para ca lcu la r los
l m i t e s d e u n a f u n c i n o
de te rm inar su ex is tenc ia en una fo rm a senc i l la y p rc t ica .
Te o r e ma 1
S i " c " e s u n a c o n s t a n t e , e n t o n c e s
l i m c = c
x - * a
Ejemplo 1
a) l im, 5 = 5
x-*1
b) l im, n n
x - * 1 0
T e o r e m a 2
i
l im x = a
x->a
E jemplo 2
a) i rr^ x = 2
b) l im x = n
T e o r e m a 3
S i "c " es una cons tan te , en tonces
l im c f(x) = c l im f(x)
x -a x - *a
E jemplo 3
a) l im 3x = 3 l im x = 3-2 = 6
x-2 x-2
T e o r e m a 4
S i l im f (x ) ex is te , en tonc es es n ico
x-*a
T e o r e m a 5
L m i te de una suma, de un p roduc to y de un c o c i e n t e
si l im f(x) = L, y l im g(x) = L
2
, en tonces
x-a x-*a
i) l im [f(x) + g(x>] = l im f(x) + l im g(x) = L, + L
2
x->a x-a x->a
ii) l im f(x) g(x) = l im f(x) l im g(x) = L,L
2
x->a x-a xa
lim f(x) . , j i a
ii) lim f(x ) = x-a
t
= _Li_/ don de L
2
* 0
x-*a
g(x) l im g(x)
T e o r e m a 6
L m i te de una po tenc ia ,
l i m [ f ( x ) ]
n
= [ l im f (x ) ]
n
= L
n
x-*a x - *a
-
7/23/2019 1020124183
34/107
Teorema 7
Lmite de una raz
l i m [ f ( x ) ]
1/ n
= L
1/ n
.
x-a
S i " n " e s u n n m e r o p o s i t i v o p a r , f ( x ) > 0
E jemplo 4
Evaluar Hm^ (3x + 5)
S o l u c i n
Por los teoremas 1 ,2 ,3 se sabe que l im 3x y l im 5 ex is ten , por lo tan to por e l teorer
_,.. x-> i x- i
5 (/)
T e o r e m a 5
(i)
li m
1
(3x + 5) = ^imj 3 x +
x
[ i r t j 5 = 3J^cp x +
x
Jitp 5 =
= 3 - 1 + 5 = 8
E jemplo 5
Evaluar
a) l im (x + 1) \ [x , b) l im (x + 1) \ fx
x-*4 x - > - 2
S o l u c i n
a)l im (x + 1) = 5 y l im \[x = 2, por lo tant o,
x ->4 x -4
por 5 ( i i ) , l im (x+1)
Jx
= l i m ( x + 1 ) - l i m
Jx
= 5 - 2 = 1 0
x-4 x->4 x->4
b
) l imm ( x + 1 ) = - 1 y l i m
\[x
, no ex is te en tonces
k - * - 2 x - > - 2
l im (x + 1)
\fx
no ex is te
x 2
Ejemplo 6
Eva luar l im 3x - 2 , por los teorem as 1 ,2 , 3x-*1 4x + 4
l im (3x -2) = 1 y l im (4x + 4) = 8, ent onc es por 5( i i )
x - 1 x - * 1
l im (3x-2)
l im 3x - 2 = x-1 = 1
x-*1 4x + 4 l im (4x + 4) ^
x - *1
l
m
x / por los
t e o r e ma s
1 , 2 , 3
x - 1 " x H
,
m
x - 1 y l m ( x - 1 ) 0 , e n t o n c e s p or 5( i )
x - 1 x - 1
l i m x
I S m y
_
x
- i = 1 , no ex is te
% - f r l L (x -1 ) T '
x1
Eje rc ic io 2 .2
Eva luar e l l mi te dado
2 . i l m s e r i f f
7
-
l i m
J ^
3 . ( - 5 x ) ^ r - k )
4 . l i m ( x
4
- 3 x
2
+ 1 ) 9 . l i m ( x + 3 )
2
x - 2
x J
5 . l i m
2
( 4 s - 2 ) ( s + 2 ) 1 0 . ^
En los s igu ien tes
e je rc ic ios es necesar io
t rans fo rmar la expres in dent ro de l l m i te para
poder eva lua r la
1 2. H m J ^ X I B . J I m
x - 1 x - 1
d x D
13 . l i n ^ J a ^ h l i s L
-
7/23/2019 1020124183
35/107
x-* -2 x
2
+ 2x
15. l im x
2
-3x
x-*3
x -3
x->-3 x
2
+ 2x-3
21. l im
x - O
x
2
+ 3x-1 + J L
x x
16 . l im x
5
^
x-+0
2 2 .
lim
\ / * + 2 - 2
x-*2 x-2
2.3 L m i tes
en los que In te rv iene In f in i to
D i s t i n g u i r e mo s
dos casos :
1 . L a f u n c i n
f(x)-*oo,
c u a n d o
x-+a
2 . L a f u n c i n
f(x)-*L,
c u a n d o x -
En e l p r imer caso los va lo res de la func in c recen o decrecen s in co ta , cuando
x
t iende
a u
n
v a l " a " , p o r l o t a n t o , e l l m i t e d
e f ( x )
no ex is te y se escr ibe en la s .gu .en te fo rma
lim f(x) =
x-*a
V e a m o s
un e jemplo
Eva luar l im __L
x-*1 x -
S i sus t i t u imo s e l va lo r a l que t iende V en la expres in dent ro de l l m i te , ob tene mos
1/0 , Qu s ign i f i ca es to?
Para con tes ta r es ta p regunta , vamos a ana l iza r e l compor tamien to de la func in en las
c e r c h a s d e i t a n t o po r l a d e r e c h a , c o m o p o r l a i z q u i e r da , e s d e c i r e v a l u a r e m o s
^ S ^ a t e r a l e s i nt ui ti va m en te y c o ns tr ui re m os la g r fi ca de la f u nc i n da da .
*
D a r t i r
d e l o s v a l o r e s de la t a b l a y d e l a g r f i c a d e la f g . 2 . 7 , o b = ^ m o s q u e
x
cuando nos aprox imamos a x=l, por la izqu ie rda , los vab res de la func .n
f (x ) = -
decrecen s in co ta , y cuando lo hacemos por la derecha c recen s in co ta .
Usando la no tac in de l m i te tenemos que,
l im 1 = Y - 1 =
00
x - *1 ^ T T x - 1
+
^ T l
Es to s ign i f i ca que no ex is te un va lo r l m i te para la func in dada, cuando
x-1,
ni por
la derecha, n i por la izqu ie rda , en ton ces
l im 1 no ex is te
x - 1 I T T
Qu podemos conc lu i r de l an l is is an te r io r?
a , S i a l sus t i tu i r e l va lo r a l que t iende V en la expres in de / fx ) den t r o de l l m i te se
obt iene
:
. V
y a ^ r e a l , e n t o n c e s H rn ^ f ( x ) =
lo que s ign i f i ca que no ex is te e l l m i te d
e f ( x )
c u a n d o x - f l .
b ) La g r f ica nos mue st ra que la func in t iene na as n to ta ve r t ica l en x =a
NOTA: Las func iones pue den tener ms de una as n to ta ve r t ica l .
Lo an te r io r es muy t i l cuando se neces i ta bosque ja r la g r f ica de una func in ,
que
t iene as n to tas ver t ica les , te most ra remos un e jemplo .
Bosque ja r la g r f ica de f ( * ) . en las p rox im idades de x= 7.
Lo p r imero es ver s i la func in t iene un l m i te cuando x -W.
I
m x
= j = oo (el l mite no existe )
x - * 1 I T T " 0 "
Es to nos ind ica qu
e f ( x )
no es ta de f in ida en x= 7, Y que la g r f ica de la func in t iene
una as n to ta ver t ica l en x = i , f ig . 2 . 8 .
Para
b o s q u e j a r l a g r f i c a e s n e c e s a r io c o n o c e r c o m o s e c o m p o r t a n l o s v a l o r e s d e / U
por
la
i zqu ie rda y por la derecha de
x=l.
p ar a s ab er s , / W - = / - , p a ra e ll o
eva luaremos
a ) l i m
4
x
