1 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için ’in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. ’in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı ile gösterilirse, olur. Bu eşitliğin her iki tarafını ile bölersek, bulunur. limit halde sıfıra yaklaştığında bu ifadenin reel değerli bir limiti varsa, bu limite fonksiyonun x 0 noktasındaki türevi denir ve olarak gösterilir. fonksiyonunun türevi , f ‘(x), veya daha basit olarak sembolü ile gösterilebilir. Kapalı fonksiyonlarda her iki tarafın türevi alınarak eşitlikten türevi çözülür. Geometrik Açıklama fonksiyonun eğrisine deyip türevin geometrik açıklamasını yapalım. A bu eğri üzerinde koordinatları , B ise olan iki nokta olsun. ABD dik üçgeninden , yazılabilir.
17
Embed
10.1 Türev Kavramı - tolgaguyer.com daha basit olarak sembolü ile gösterilebilir. Kapalı fonksiyonlarda her iki tarafın türevi alınarak eşitlikten türevi çözülür. Geometrik
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
10.1 Türev Kavramı
fonksiyonu için ’in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. ’in bu aralıktaki
bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x0 + noktasında fonksiyonun değeri
olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı ile gösterilirse,
olur. Bu eşitliğin her iki tarafını ile bölersek,
bulunur. limit halde sıfıra yaklaştığında bu ifadenin reel değerli bir limiti varsa, bu limite fonksiyonun x0 noktasındaki türevi denir ve
olarak gösterilir.
fonksiyonunun türevi
, f ‘(x),
veya daha basit olarak
sembolü ile gösterilebilir. Kapalı fonksiyonlarda her iki tarafın türevi alınarak eşitlikten türevi çözülür.
Geometrik Açıklama
fonksiyonun eğrisine deyip türevin geometrik açıklamasını yapalım. A bu eğri üzerinde
koordinatları , B ise olan iki nokta olsun. ABD dik üçgeninden ,
yazılabilir.
2
Bu oran A ve B noktalarını birleştiren doğrunun (kirişin) eğimidir. x = x – x0’in sıfıra yaklaşımı halinde bu oran,
=
olur. Bu ise eğrisine noktasında teğet olan doğrunun eğimi olup tanıma göre fonksiyonun bu noktadaki türevidir. Yani ;
dir.
Bu sonuca göre, fonksiyonunun eğrisine noktasında teğet olan doğrunun denklemi ise,
olarak veya daha basit bir gösterimle,
şeklinde yazılabilir.
3
10.1.1 Türev Kavramı İle İlgili Tanım, Teorem ve Örnekler
Tanım :
Eğer bir fonksiyonun tanım aralığının bir noktasında türevi varsa yani mevcutsa fonksiyona bu noktada türevi alınabilir fonksiyon denir.
Teorem :
fonksiyonu tanım aralığının herhangi bir noktasında türevi alınabilir bir fonksiyon ise fonksiyonu bu noktada süreklidir.
İspat :
yazabiliriz.
Her iki tarafın için limitini alırsak,
elde edilir. Burada,
bulunur. Yani fonksiyonu noktasında süreklidir.
Bu teoremin tersi doğru değildir. Yani bir fonksiyon tanım aralığının herhangi bir noktasında sürekli olduğu halde bu noktada türevi alınamayabilir.
4
i)
ii)
iii)
10.2 Türevi Alma Kuralları
10.2.1 Toplamın Türevi
ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun.
Toplamın Türevi:
ise dir.
5
İspat :
’te meydana gelen artma miktarına karşılık ve de meydana gelen artma miktarları ve
, ’de meydana gelen artma miktarı ise ile gösterilirse,
yazılabilir.
yani,
bulunur. Eşitliğin her iki tarafını ile bölersek,
ve için limitleri alınırsa,
bulunur.
10.2.2 Çarpımın Türevi
ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun.
Çarpımın Türevi:
ise dur.
İspat :
6
fonksiyonu türevi alınabilir bir fonksiyon olup
dır. Dolayısıyla,
elde edilir.
10.2.3 Bölümün Türevi
ve tanım aralığının her noktasında türevi alınabilir fonksiyonlar olsun.
alınabilir fonksiyonlar olduğuna göre için ve dır. Buna göre,
olup dir.
yazılabilir. Burada , ile birlikte sıfır olan sonsuz küçük bir büyüklüktür. Yani,
dır. Böylece
veya diğer bir gösterimle yazılabilir. Bu kurala zincir kuralı denir.
10.2.5 Ters Fonksiyon Türevi
ise ters fonksiyonunun türevi dir.
8
İspat :
bağıntısından yararlanılarak
bulunur.
10.2.6 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (I)
y = cos x Fonksiyonun Türevi
ise dir.
İspat :
bağıntısından
bulunur. Yani ise dir.
10.2.7 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (II)
y = tan x Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
9
İspat :
olarak yazılırsa bölümün türevinden,
veya olduğundan,
yazılabilir.
10.2.8 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (I)
y = arcsin x Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
İspat :
ise yazılabilir. Buradan,
ve ters fonksiyonun türevinden; ( zira dir.)
bulunur.
ve olduğundan bulunan değerler yukarıdaki türev ifadesinde yerine
yazılırsa bulunur. Yani, ise dir.
10.2.9 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (II)
y = arccos x Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
10
İspat :
ise ve dir. Ters fonksiyonun türevinden,
bulunur. ( çünkü )
ve olduğundan bulunan değerler yukarıdaki türev ifadesinde yerine yazılırsa
bulunur. Yani,
ise dir.
10.2.10 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri (III)
y = arctanx Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
İspat :
ise ve
dir. Ters fonksiyonun türevinden
bulunur. ( ) olduğuna göre,
bulunur. O halde,
dir.
11
10.2.11 Logaritma Fonksiyonunun Türevi
y = logax Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
İspat :
yazılabilir. Logaritmanın özelliklerinden,
eşitliğin sağ tarafını x ile çarpıp bölersek,
ve buradan olup
denirse için olacağından;
olup
bulunur. Yani,
ise dir.
y = ln x Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
12
İspat :
’in türev ifadesi olan ifadesinde a = e konursa,
bulunur. olduğuna göre,
bulunur. O halde,
ise dir.
10.2.12 Üstel Fonksiyonların Türevi
y = ax Üstel Fonksiyonunun Türevi
ise dır.
İspat :
ifadesinin her iki tarafının logaritmasını alırsak,
bulunur. Bu ifadenin her iki tarafının türevi alınırsa,
elde edilir.
ifadesi bu eşitlikteki yerine yazılırsa, bulunur.
10.2.13 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (I)
y = shx Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
13
İspat :
ifadesinin türevi alınırsa, bulunur. Yani,
ise dir.
10.2.14 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (II)
y = chx Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
İspat :
ifadesinin türevi alınırsa, bulunur. Yani,
ise dir.
10.2.15 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri (III)
y = thx Fonksiyonunun Türevi
ise dir.
İspat :
yazılabilir. Bölümün türevinden,
bulunur. Buna göre,
ise dir.
14
10.3 Bazı Elemanter Fonksiyonların Türev Tablosu
Buraya kadar incelediğimiz türev ifadeleri yardımıyla özel fonksiyonların türevlerini bir tablo halinde verebiliriz. Aşağıda verilen tablodaki ifadelerde u’nun x’e bağlı ve türevi alınabilir bir fonksiyon olduğu kabul edilmiştir. u = x halinde u' = 1 olacağı açıktır. Bölüm sonundaki soruların çözümü için aşağıdaki tablo bilgileri yeterli olacaktır.
y y'
0
u u'
a.u'
un nun-1 u'
eu eu. u'
au(a > 1, a1)
au.lna.u'
logau(a > 1, a1) .logae.u'
sin u cos u. u'
cos u -sin u. u'
15
tan u (1 + tan2 u). u' = . u' = sec2u. u'
cotan u -(1 + cotan2 u). u' = . u' = -
cosec2u. u'
sh u chu.u'
ch u shu.u'
th u (1 - th2 u). u' = . u' = sech2u. u'
coth u . u' = -cosech2u. u'
arcsin u
arccos u
arctan u
arccotan u
16
10.4 Kapalı Fonksiyonların Türevi
f(x,y) = 0 denklemiyle belirtilen kapalı fonksiyonlarda denklemin y = φ(x) şeklinde y’nin x’e bağlı bir
ifadesi elde edilebiliyorsa türev φ' (x) = olarak bulunabilir. Ancak bu tür fonksiyonlarda y’nin x cinsinden ifadesini hesaplamak çoğu kez mümkün olmaz. Bu durumda y’nin x’in fonksiyonu olduğu göz önünde bulundurularak zincir kuralı uygulanıp türev hesaplanır.
10.5 Ardışık Türev ve Yüksek Mertebeden Türevler
fonksiyonu aralığında türevi alınabilir bir fonksiyon ise, bu fonksiyonun türevine yani
y'=f '(x)= ifadesine f(x)’in birinci mertebeden türevi denir.
Eğer f '(x) = g(x) fonksiyonu da aralığında türevi alınabilir bir fonksiyon ise buna yani, g(x)’e f(x) fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir ve
y'', f ''(x),
sembollerden biri ile gösterilir. Benzer şekilde eğer mevcutsa f(x)’in (n)’inci mertebeden türevi,
yn, f n(x),
sembollerinden biri ile gösterilir. Bu ifadedeki n(n N)’ye türevin mertebesi denir.
17
f (x) =
f '(x) =
f '' (x) =
f ''' (x) =
...
f (n) (x) =
Bir Toplamın Yüksek Mertebeden Türevi
u ve v n’inci mertebeden x’e bağlı türevi alınabilir iki fonksiyon ise,