Σελίδα 1 από 5 Φ101: Γενική Φυσική Ι Τελική Εξέταση 7 Ιουνίου 2019 Η εξέταση διαρκεί 3 ώρες. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αριθμομηχανή. Καλή σας επιτυχία! 1. Η δυναμική ενέργεια ενός υλικού σημείου μάζας m=1kgr είναι V x = ! ! − − ! ! όπου ! = 1 Joule, ! = 1 m, και η αριθμητική τιμή του = 4 και του = 1. A. Ποιες είναι οι μονάδες στις οποίες μετράται το και ποιες το ; (0.5 μονάδες) B. Να σχεδιαστεί με ακρίβεια η V x του υλικού σημείου. (0.5 μονάδες) C. Να μελετηθεί με ακρίβεια η κίνηση της μάζας για κάθε τιμή της ολικής ενέργειας του συστήματος Ε, δηλαδή για οποιεσδήποτε αρχικές συνθήκες. (0.5 μονάδες) D. Να μελετηθεί η κίνηση του υλικού σημείου για x 0 = −2m και v 0 = 5m/s. (0.5 μονάδες) Λύση Α) Το α και b πρέπει να έχουν τις ίδιες μονάδες με τις ποσότητες από τις οποίες αφαιρούνται. Μια που το x είναι σε μονάδες μήκους (m) το α έχει μονάδες m 2 και το b μονάδες m. B) Η γραφική παράσταση της V x = ! − 4 − 1 Είναι Εύκολα βλέπουμε ότι τα σημεία στα οποία η V(x) μηδενίζεται (τέμνει τον άξονα Χ) είναι τα x=1, x=2 και x=-2. Για να βρούμε τα ακρότατα της V(x) υπολογίζουμε την παράγωγό της ως προς x και βρίσκουμε τις ρίζες της, δηλαδή dV x = 0 ⟹ 2− 1 + ! − 4 = 0 ⟹ 3! − 2− 4 = 0 ⟹ x !,! = 1 ± 13 3 Η τιμή της V(x) στα ακρότατα θα είναι V x ! = !"!!" !" !" = −0.88 < 0 όπου x ! = !! !" ! = 1.53 > 0 και V x ! = !"!!" !" !" = 6.06 > 0 όπου x ! = !! !" ! = −0.86 < 0 E (γ) E (α) E (β) x ! x ! x ! x ! x !
5
Embed
Φ101 Γενική Φυσική Ιph101.edu.physics.uoc.gr/files/F101_final_June2019_sol.pdf · περιοχές κίνησης είναι μόνο αυτές στις οποίες
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
ΛύσηΑ)Τοακαιbπρέπειναέχουντιςίδιεςμονάδεςμετιςποσότητεςαπότιςοποίεςαφαιρούνται.Μιαπουτοxείναισεμονάδεςμήκους(m)τοαέχειμονάδεςm2καιτοbμονάδεςm. B) Η γραφική παράσταση της
𝐸 − 𝑉 𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑉 𝑥 ≤ 𝛦 (1)Η παραπάνω σχέση καθορίζει την κίνηση του σώματος ως συνάρτηση της ολικής ενέργειας. Επιτρεπτέςπεριοχέςκίνησηςείναιμόνοαυτέςστιςοποίεςηδυναμικήενέργεια,V(x),είναιμικρότερηαπό(ήτοπολύ ίση με) την ολική ενέργεια Ε. Η διερεύνηση γίνεται σχεδιάζοντας οριζόντιες γραμμές y(x)=E καιβλέπονταςπούθαπρέπειναβρίσκεταιτοσώμαώστεναισχύειπάντοτεησχέση(1).
α)Εάν Ε > V x! τότεηκίνησητουσώματοςείναιελεύθερηαπότομείονάπειρομέχριτοσημείοόπουηV(x)=E,σημείοτοοποίοθαβρίσκεταιπροφανώςσταδεξιάτουx!(x > x!).β)ΕάνΕ < V x! τότεηκίνησητουσώματοςείναιελεύθερηαπότομείονάπειρομέχριτοσημείοόπουηV(x)=E,,σημείοτοοποίοθαβρίσκεταιπροφανώςστααριστεράτουx = −2(x < −2).γ)ΕάνV x! < Ε < V x! τότεη ευθεία𝑉(𝑥) = Ε τέμνει την𝑉(𝑥) σε τρίασημείαπουαντιστοιχούνστιςτιμές x!, x! , x! όπου x! < x! < x! < x! < x! και θα έχουμε δύο περιπτώσεις. Μία όπου το σώμα θαβρίσκεται αρχικά αριστερά από το x! (x < x!) και επομένως θα κινείται ελεύθερα από το μείον άπειρομέχριτοσημείοστοοποίοV(x)=Eκαιμίαόπουτοσώμαβρίσκεταιδεξιάαπότοx!(x > x!)καιαριστεράαπότο x! (x < x!) καιθακάνειπεριορισμένηκίνηση (μηαρμονικήταλάντωση)γύρωαπότοσημείοx!όπουέχουμετοτοπικόελάχιστοτηςδυναμικήςενέργειας.
2. Μία σταγόνα νερού σχηματίζεται τη χρονική στιγμή t=0 σε ένα ακίνητο σύννεφο και αρχίζει να πέφτειλόγωβαρύτητας.Καθώςπέφτει,ημάζατηςαυξάνεταιμερυθμόανάλογοτηςστιγμιαίαςμάζαςτηςκαιμεσταθεράαναλογίαςλ > 0.ΘεωρήστεότιτοπεδίοβαρύτηταςτηςΓηςείναιομογενέςκαισταθερόσεόλητηςδιάρκειακίνησηςτηςσταγόνας.ΝαγραφείοδεύτεροςνόμοςτουΝεύτωνασεδιανυσματικήμορφήγιατηνπερίπτωσηαυτήκαιναβρεθείηταχύτητατηςσταγόναςωςσυνάρτησητουχρόνου.(2.5μονάδες)
Υπόδειξη: α) Υπενθυμίζεται ότι σε ένα σύστημα μεταβλητής μάζας,𝑀(𝑡), ο δεύτερος νόμος τουNewtonγράφεταιως:
A. Δείξτε,κάνονταςένααντίστοιχοσχήμαγιαλόγουςευκρίνειας,ότιηροπήαδράνειαςτουκυλίνδρουγύρωαπότονάξονασυμμετρίαςτουείναι(1μονάδα):
𝐼 =310𝑀𝑅!
B. Ανοκύλινδροςτηνχρονικήστιγμήtκυλά,χωρίςναολισθαίνει,μεσταθερήταχύτητακατάμήκοςτουάξοναx,𝑣 = 𝑣!𝚤,υπολογίστετηνκινητικήτουενέργειακαθώςκαιτομέτροκαιδιεύθυνσητουδιανύσματοςτηςστροφορμής,𝐿,ωςπροςτηναρχήτωναξόνων.(1.5μονάδα)
Λύση: Α) Παρατηρώντας το διπλανό σχήµα µπορούµε να δούµε ότι για λόγους συµµετρίας ο πιο βολικός στοιχειώδης όγκος είναι ο 𝑑𝑉 = 𝐿 2𝜋𝑟𝑑𝑟 ενώ η στοιχειώδης µάζα 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑟 𝑑𝑉. Εποµένως ότι η µάζα του κυλίνδρου θα είναι:
𝛭 = 𝜌𝑑𝑉!
= 𝜌 𝑟 𝐿2𝜋𝑟𝑑𝑟!!!
!!!
⇒
𝑀 = 2𝜋𝐿𝜌! 𝑟 −𝑟!
𝑅𝑑𝑟 =
!!!
!!!
2𝜋𝐿𝜌!𝑅!
2−𝑅!
3𝑅⇒
𝑀 =𝜋𝜌!𝐿𝑅!
3 (1)
Αντίστοιχα η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα συµµετρίας του κυλίνδρου θα είναι:
𝐼 = 𝑟!𝑑𝑚!
= 𝑟!𝜌 𝑟 𝐿2𝜋𝑟𝑑𝑟!
= 2𝜋𝐿𝜌! 𝑟! −𝑟!
𝑅𝑑𝑟 =
!!!
!!!
2𝜋𝐿𝜌!𝑅!
4−𝑅!
5𝑅=𝜋𝐿𝜌!𝑅!
10!
𝐼 =310𝑀𝑅! (2)
Σελίδα4από5
Β) Ένα σχήµα που παρουσιάζει την κίνηση του σώµατος είναι το ακόλουθο:
H κινητική ενέργεια του κυλίνδρου είναι το άθροισµα της κινητικής ενέργειας λόγω της µεταφορικής κίνησης του κέντρου µάζας (ΚΜ) και της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής. Σηµειώνουµε ότι από τη στιγµή που το σώµα κυλά µε γωνιακή ταχύτητα ω χωρίς να ολισθαίνει ισχύει ότι: 𝜔 = !!
!. Εποµένως:
𝛵 = 𝛵!" + 𝛵!"# =12𝛭𝑣!! +
12𝐼𝜔!
!!!!! 𝑇 =
12𝛭𝑣!! +
12
310𝑀𝑅!
𝑣!!
𝑅!⇒ 𝑇 =
1320𝛭𝑣!!
Σχετικά με τη στροφορμή, αυτή είναι και πάλι το άθροισμα της στροφορμής του ΚΜ, 𝐿!" , καθώς και τηςστροφορμήςλόγωπεριστροφής𝐿!"#.ΤοΚΜβρίσκεταιεξ’ορισμούπάνωστοάξοναπεριστροφήςπουαπέχειαπόστασηRαπότοεπίπεδοκίνησης.Ανθεωρήσομε,όπωςφαίνεταικαιστοπαραπάνωσχήμα,ότιοάξοναςZέχεικατεύθυνσηπροςταπάνωκαιμιαπουοάξοναςXσύμφωναμετηνεκφώνησηείναιπροςταδεξιάστοεπίπεδοκατάτηνκίνησητηςμάζας(αφού𝑣 = 𝑣!𝚤),τότεθαισχύειότι:
4. Κατά τη διάρκεια τουαγώναΑτρόμητος-ΟΦΗ, ο οποίος έληξε 0-2, ένας οπαδός τουΑτρόμητουπετά γιαεκφοβισμόπρος τον τερματοφύλακαΣωτηρίου κέρμα δύο ευρώμάζας𝑚 = 8.5𝑔𝑟 το οποίο βρίσκεται σεθερμοκρασίαπεριβάλλοντος(𝛵! = 25 𝐶! ).Οοπαδόςευτυχώςαστοχείκαιτονόμισμαχτυπάτοέδαφοςκαισταματά.Έστωότιηαρχικήταχύτητατουνομίσματοςήταν𝑣 = 20𝑚/sκαιότιοοπαδόςβρισκότανστιςκερκίδεςσεύψοςℎ = 30𝑚πάνωτοέδαφος.α)Αντο60%τηςαρχικήςενέργειαςσυνεισφέρειστηναύξησητης εσωτερικής ενέργειας του νομίσματος προσδιορίστε την τελική του θερμοκρασία. Θεωρήστε ότι τοπεδίοβαρύτηταςείναιομογενέςκαι𝑔 = 9.84 𝑚𝑠!!(1.5μονάδα)β)Εξαρτάταιαυτότοαποτέλεσμααπότημάζατουνομίσματος;Αιτιολογείστετηναπάντησήσας.(0.5μονάδες)(Δίνεταιότιηειδικήθερμότητατουχαλκούείναι𝑐 = 0.38 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑔𝑟!!𝐾!!).
Λύση
A) Ησυνολικήμηχανικήενέργειατουκέρματοςείναιτοάθροισματηςδυναμικήςκαικινητικήςτουενέργειας
Σελίδα5από5
𝛦 =12𝑚𝑣! +𝑚𝑔ℎ ⇒ 𝐸 = 𝑚
12𝑣! + 𝑔ℎ (1)
Μια που το 60% της παραπάνω ενέργειας του κέρματος μετατρέπεται σε θερμότητα, 𝑄, ηθερμοκρασίατουκέρματοςθααυξηθείσύμφωναμετοντύπο
όπου𝑘!ηγνωστήσταθεράBoltzmann.Ένα μονοατομικό μόριο έχει 𝑓 = 3, δηλαδή τρεις βαθμούς ελευθερίας καθαρά λόγω της μεταφορικήςκίνησηςτουκάθεμορίουστις3διαστάσεις.ΈναδιατομικόμόριομπορείναέχειΑ)5βαθμούςελευθερίας,𝑓 = 5,εάνταδυοάτομα,ταοποίακινούνταιστοχώροτωντριώνδιαστάσεων,είναισταθεράσυνδεδεμέναμεταξύτους(καιημεταξύτουςαπόστασηδεμεταβάλλεται)Β) 7 βαθμούς ελευθερίας,𝑓 = 7, εάν τα δυο άτομα, κινούνται στο χώρο των τριών διαστάσεων, και ηαπόστασημεταβάλλεταιενώείναισυνδεδεμέναμεμίαδύναμητηςμορφήςτουνόμουτουHooke,δηλαδήεκτελούναρμονικήταλάντωσηγύρωαπόμίαμέσηαπόστασημεταξύτους.Σεκάθεπερίπτωσηόμωςγιατηνίδιαθερμοκρασίακαιίδιοαριθμόμορίωντοδιατομικόαέριοθαπεριέχειπερισσότερηενέργειααπόότιτομονοατομικό.