-
10.1 Elipsa
X Zadatak 9: Dva tjemena elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 i njezina dva
zaristavrhovi su kvadrata povrsine 16. Kako glasi jednadzba
elipse?
Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:
Tocke T1, T2, T3 i T4 su tjemena elipse. Dakle jedino tocke T2 i
T4 mogu sfokusima elipse ciniti kvadrat. Kako je povrsina kvadrata
dana mozemo odreditivelicinu stranice tog kvadrata, odnosno duljine
duzina
∣∣F1T2∣∣, ∣∣F1T4∣∣, ∣∣F2T1∣∣ i∣∣F2T3∣∣. Oznacimo duljinu
stranice kvadrata s k, tada vrijedi:P = k2
16 = k2 /√
4 = kDakle duljina stranice kvadrata jednaka je 4. Nadalje
prisjetimo se da za svakutocku T koja je nalazi na elipsi mora
vrijediti∣∣F1T ∣∣+ ∣∣F2T ∣∣ = 2apri cemu je a velicina velike
poluosi elipse. Iz skice mozemo zakljuciti da moravrijediti
∣∣F1T2∣∣+ ∣∣F2T2∣∣ = 2aNo kako su F1T2 i F2T2 duljine stranica
kvadrata dalje slijedi:
4 + 4 = 2a
1
-
8 = 2a
Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:
8 = 2a / · 12
8 · 12 = 2a ·12
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:4�81 ·
1�21
=1�2a1 ·
1�21
41 =
a
14 = a
Dakle duljina velike poluosi iznosi 4. Nadalje promatrajuci
sliku moramo za-kljuciti da je duljina dijagonale kvadrata zapravo
jednaka dvostrukoj malo polu-osi, odnosno da vrijedi: ∣∣T2T4∣∣ =
2bPrisjetimo se da duljinu dijagonale d kvadrata cija je stranica
jednaka k racu-namo prema izrazu d = k
√2. Dakle slijedi:
4√
2 = 2b
Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:
4√
2 = 2b / · 12
4√
2 · 12 = 2b ·12
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
2�4√
21 ·
1�21
=1�2b1 ·
1�21
2√
21 =
b
12√
2 = b
Dakle duljina male poluosi iznosi 2√
2. Preostaje jos samo odrediti jednadzbuelipse, slijedi:
b2x2 + a2y2 = a2b2(2√
2)2
x2 + 42y2 = 42 ·(
2√
2)2
2
-
22 ·(√
2)2
x2 + 16y2 = 16 · 22 ·(√
2)2
4 · 2 · x2 + 16y2 = 16 · 4 · 2
8x2 + 16y2 = 128
Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je
jednadzbom:
E ... 8x2 + 16y2 = 128
Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 10: Zarista elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 i jedno njezino
tjeme vrhovisu jednakostranicnog trokuta povrsine 9
√3. Odredi jednadzbu elipse.
Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:
Tocke T1, T2, T3 i T4 su tjemena elipse. Dakle jedino tocke T2 i
T4 mogus fokusima elipse ciniti trokut. Kako je povrsina
jednakostranicnog trokutadana mozemo odrediti velicinu stranice tog
trokuta, odnosno duljine duzina
3
-
∣∣F1T2∣∣, ∣∣F2T2∣∣ i ∣∣F1F2∣∣. Oznacimo duljinu stranice
jednakostranicnog trokutas k. Prisjetimo se da izraz za povrsinu
jednakostranicnog trokuta ima oblik
P4 =a2√
34 pri cemu je a duljina stranice jednakostanicnog trokuta.
Dakle
vrijedi:
P4 =k2√
34
9√
3 = k2√34
Pomnozimo cijelu jednakost s 4√3, slijedi:
9√
3 = k2√34 / ·
4√3
9√
3 · 4√3
= k2√34 ·
4√3
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
91��√
31 ·
4��√
31= k
21��√
31�4
· �41
��√
31
9 · 41 =
k2
136 = k2 /√
6 = k
Dakle duljina stranice jednakostranicnog trokuta jednaka je 6.
Nadalje prisje-timo se da za svaku tocku T koja je nalazi na elipsi
mora vrijediti∣∣F1T ∣∣+ ∣∣F2T ∣∣ = 2apri cemu je a velicina velike
poluosi elipse. Iz skice mozemo zakljuciti da moravrijediti
∣∣F1T2∣∣+ ∣∣F2T2∣∣ = 2aNo kako su F1T2 i F2T2 duljine stranica
kvadrata dalje slijedi:
6 + 6 = 2a
12 = 2a
Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:
12 = 2a / · 12
4
-
12 · 12 = 2a ·12
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
6��121 ·
1�21
=1�2a1 ·
1�21
61 =
a
16 = a
Dakle duljina velike poluosi iznosi 6. Nadalje promatrajuci
sliku moramo za-kljuciti da je duljina duzine F1F2 zapravo jednaka
dvostrukom linearnom eks-centricitetu, odnosno da vrijedi: ∣∣F1F2∣∣
= 2eNaime prisjetimo se da su koordinate zarista elipe upravo
jednaka F1 (−e, 0) iF2 (e, 0). Racunamo dalje:
6 = 2e
Mnozimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:
6 = 2e / · 12
6 · 12 = 2e ·12
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
3�61 ·
1�21
=1�2e1 ·
1�21
31 =
e
13 = e
Dakle linerani eksentricitet iznosi 3. Nadalje prisjetimo se da
su mala poluos,velika poluos te linerani ekscentricitet elipse
medjusobno povezani izrazoma2 − b2 = e2. Slijedi:
a︸︷︷︸6
2 − b2 = e︸︷︷︸3
2
62 − b2 = 32
36− b2 = 9
36− 9 = b2
27 = b2 /√
5
-
√27 = b
Djelomicno korijenujemo lijevu stranu jednakosti, slijedi:
3√
3 = b
Dakle duljina male poluosi iznosi 2√
2. Preostaje jos samo odrediti jednadzbuelipse, slijedi:
b2x2 + a2y2 = a2b2(3√
3)2
x2 + 62y2 = 62 ·(
3√
3)2
32 ·(√
3)2
x2 + 36y2 = 36 · 32 ·(√
3)2
9 · 3 · x2 + 36y2 = 36 · 9 · 3
27x2 + 36y2 = 972
Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je
jednadzbom:
E ... 27x2 + 36y2 = 972
Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 11: Tjemena elipse su vrhovi romba cija je povrsina 30
kv, jed.Zbroj duljina dijagonala romba jednak je 16. Kako glasi
jednadzba elipse?
Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:
6
-
Tocke T1, T2, T3 i T4 su tjemena elipse. Nadalje uocimo da su
dijagonale rombana slici jednake dvostrukoj maloj odnosno velikoj
poluosi. Dakle neka vrijedi:
e = 2a
f = 2bPrisjetimo se da su e i f standardne oznake za dijagonale
kod cetverokuta.Nadalje prisjetim se da se povrsina romba kojem su
poznate velicine dijago-nala racuna prema izrazu P = e · f2 . Prema
podacima iz zadatka dolazimo dosljedeceg sustava jednadzbi: {
30 = e · f2e + f = 16
Imajuci na umu da vrijedi e = 2a i f = 2b slijedi:30 =
2a︷︸︸︷e ·
2b︷︸︸︷f
2e︸︷︷︸2a
+ f︸︷︷︸2b
= 16
{30 = 2a · 2b22a + 2b = 16
Izlucimo broj 2 na lijevoj strani druge jednadzbe, slijedi:{30 =
4a · b22 (a + b) = 16
Pokratimo sto se pokratiti dade u prvoj jednadzbi, dok drugu
pomnozimo s 12 ,slijedi:
30 =2�4a · b�21
2 (a + b) = 16 / · 12{30 = 2a · b2 (a + b) · 12 = 16 ·
12
Pomnozimo prvu jednadzbu s 12 , a u drugoj pokratimo sto se
pokratiti dade,slijedi:
30 = 2a · b / · 121�2 (a + b)
1 ·1�21
=8��161 ·
1�21
7
-
30 · 12 = 2a · b ·
12
a + b1 =
81
Pokratimo sto se pokratiti dade u prvoj jednadzbi,
slijedi:15��30
1 ·1�21
=1�2a · b
1 ·1�21
a + b = 8{ 151 =
a · b1
a + b = 8{15 = a · ba + b = 8
Iz druge jednadzbe izrazimo a pomocu b, slijedi:{15 = a · ba + b
= 8 ⇒ a = 8− b
Dobiveni izraz za a uvrstavamo u prvu jednadzbu, slijedi:
15 =8−b︷︸︸︷a ·b
15 = (8− b) · b
15 = 8b− b2
Sve clanove sume s desne strane jednakosti prebacimo na lijevu
stranu, slijedi:
b2 − 8b + 15 = 0
Time smo dobili kvadratnu jednadzbu koju rjesavamu prema izrazu
za rjesenjakvadratne jednadzbe:
p-osb1,p-os b2 =
−b±√
b2 − 4ac2a
Napomena: Ovdje smo pisali p-osb1 i p-osb2 kako bi naglasili da
se govori onepoznanici iz kvadratne jednadzbe koja predstavlja
velicinu male poluosielipse za razliku od b koji u izrazu za
rjesenja kvadratne jednadzbe pred-stavlja linearni koeficijent.
Kasnije kada nece moci doci do zabune opetcemo pisati samo b za
oznaku male poluosi.
8
-
Ovdje je potrebno primjetiti razliku izmedju nepoznanice b u
dobivenoj kvadrat-noj jednadzbi, te koeficijenta ispred linearnog
clana kvadratne jednadzbe kojegstandardno oznacavamo isto s b.
Dakle koeficijenti dobivene kvadratne jed-nadzbe su:
a = 1
b = −8
c = 15
Racunam:
p-osb1,p-os b2 =
− (−8)±√
(−8)2 − 4 · 1 · 152 · 1
p-osb1,p-os b2 =
8±√
64− 602
p-osb1,p-os b2 =
8±√
42
p-osb1,p-os b2 =
8± 22
Dakle jedno rjesenje jest dobivene kvadratne jednadzbe jest:
p-osb1 =8− 2
2
p-osb1 =62
Pokratimo sto se pokratiti moze, slijedi:
p-osb1 =3�6�21
p-osb1 =31
p-osb1 = 3
To znaci da je velicina velike poluosi jednaka:
a1 = 8−3︷︸︸︷b1
a1 = 8− 3
a1 = 5
Preostaje jos samo odrediti jednadzbu elipse za prvo rjesenje,
slijedi:
b21x2 + a21y2 = a21b21
32x2 + 52y2 = 32 · 52
9
-
9x2 + 25y2 = 9 · 25
9x2 + 25y2 = 225
Pogledajmo sada i drugo rjesenje, slijedi:
p-osb2 =8 + 2
2
p-osb2 =102
Pokratimo sto se pokratiti moze, slijedi:
p-osb2 =5��10�21
p-osb2 =51
p-osb2 = 5
To znaci da je velicina velike poluosi jednaka:
a2 = 8−5︷︸︸︷b1
a2 = 8− 5
a2 = 3
Preostaje jos samo odrediti jednadzbu elipse za prvo rjesenje,
slijedi:
b22x2 + a22y2 = a22b22
52x2 + 32y2 = 52 · 32
25x2 + 9y2 = 25 · 9
25x2 + 9y2 = 225
Dakle dvije elipse koje zadovoljavaju uvjete zadatka su dane
jednadzbama:
E1 ... 9x2 + 25y2 = 225
E2 ... 25x2 + 9y2 = 225
Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 12: Tjemena elipse su vrhovi romba cija je povrsina 96
kv, jed.Razlika duljina dijagonala romba jednaka je 4. Kako glasi
jednadzba elipse?
Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:
10
-
Tocke T1, T2, T3 i T4 su tjemena elipse. Nadalje uocimo da su
dijagonale rombana slici jednake dvostrukoj maloj odnosno velikoj
poluosi. Dakle neka vrijedi:
e = 2a
f = 2b
Prisjetimo se da su e i f standardne oznake za dijagonale kod
cetverokuta.Nadalje prisjetim se da se povrsina romba kojem su
poznate velicine dijago-nala racuna prema izrazu P = e · f2 . Prema
podacima iz zadatka dolazimo dosljedeceg sustava jednadzbi: {
96 = e · f2e− f = 4
Imajuci na umu da vrijedi e = 2a i f = 2b slijedi:96 =
2a︷︸︸︷e ·
2b︷︸︸︷f
2e︸︷︷︸2a
− f︸︷︷︸2b
= 4
11
-
{96 = 2a · 2b22a− 2b = 4
Izlucimo broj 2 na lijevoj strani druge jednadzbe, slijedi:{96 =
4a · b22 (a− b) = 4
Pokratimo sto se pokratiti dade u prvoj jednadzbi, dok drugu
pomnozimo s 12 ,slijedi:
96 =2�4a · b�21
2 (a− b) = 4 / · 12{96 = 2a · b2 (a− b) · 12 = 4 ·
12
Pomnozimo prvu jednadzbu s 12 , a u drugoj pokratimo sto se
pokratiti dade,slijedi:
96 = 2a · b / · 121�2 (a− b)
1 ·1�21
=2�41 ·
1�21
96 · 12 = 2a · b ·12
a− b1 =
21
Pokratimo sto se pokratiti dade u prvoj jednadzbi,
slijedi:48��96
1 ·1�21
=1�2a · b
1 ·1�21
a− b = 2{ 481 =
a · b1
a− b = 2{48 = a · ba− b = 2
Iz druge jednadzbe izrazimo a pomocu b, slijedi:{48 = a · ba− b
= 2 ⇒ a = 2 + b
12
-
Dobiveni izraz za a uvrstavamo u prvu jednadzbu, slijedi:
48 =2+b︷︸︸︷a ·b
48 = (2 + b) · b
48 = 2b + b2
Sve clanove sume s lijeve strane jednakosti prebacimo na desnu
stranu, slijedi:
b2 + 2b− 48 = 0
Time smo dobili kvadratnu jednadzbu koju rjesavamu prema izrazu
za rjesenjakvadratne jednadzbe:
p-osb1,p-os b2 =
−b±√
b2 − 4ac2a
Napomena: Ovdje smo pisali p-osb1 i p-osb2 kako bi naglasili da
se govori onepoznanici iz kvadratne jednadzbe koja predstavlja
velicinu male poluosielipse za razliku od b koji u izrazu za
rjesenja kvadratne jednadzbe pred-stavlja linearni koeficijent.
Kasnije kada nece moci doci do zabune opetcemo pisati samo b za
oznaku male poluosi.
Ovdje je potrebno primjetiti razliku izmedju nepoznanice b u
dobivenoj kvadrat-noj jednadzbi, te koeficijenta ispred linearnog
clana kvadratne jednadzbe kojegstandardno oznacavamo isto s b.
Dakle koeficijenti dobivene kvadratne jed-nadzbe su:
a = 1
b = 2
c = −48
Racunam:p-osb1,
p-os b2 =−2±
√22 − 4 · 1 · (−48)
2 · 1
p-osb1,p-os b2 =
−2±√
4 + 1922
p-osb1,p-os b2 =
−2±√
1962
p-osb1,p-os b2 =
−2± 142
Dakle jedno rjesenje jest dobivene kvadratne jednadzbe jest:
p-osb1 =−2− 14
2
13
-
p-osb1 =−16
2Pokratimo sto se pokratiti moze, slijedi:
p-osb1 =−8��−16�21
p-osb1 =−81
p-osb1 = −8
No to je nemoguce jer velicina male poluosi ne moze biti
negativna. Pogledajmosada i drugo rjesenje, slijedi:
p-osb2 =−2 + 14
2
p-osb2 =122
Pokratimo sto se pokratiti moze, slijedi:
p-osb2 =6��12�21
p-osb2 =61
p-osb2 = 6
To znaci da je velicina velike poluosi jednaka:
a2 = 2 +6︷︸︸︷b2
a2 = 2 + 6
a2 = 8
Preostaje jos samo odrediti jednadzbu elipse za prvo rjesenje,
slijedi:
b22x2 + a22y2 = a22b22
62x2 + 82y2 = 62 · 82
36x2 + 64y2 = 36 · 64
36x2 + 64y2 = 2304
Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je
jednadzbom:
E ... 36x2 + 64y2 = 2304
Time je zadatak rijesen.
14
-
Y ] Z
X Zadatak 13: Napisi jednadzbu elipse opisane jednakostranicnom
trokutu akosu dva vrha tog trokuta tocke A (−a, 0) i B (a, 0), koje
su ujedno dva tjemenaelipse.
Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:
Primjetimo da bi elipsa zadovoljavala uvjete zadatka ona mora
biti rodiranaza 90◦ oko ishodista, odnosno mala i velika poluos
moraju zamijeniti uloge,odnosno mala poluos ce u ovom slucaju
zapravo biti veca od velike poluosi.Nadalje sa slike mozemo uociti
da je "velika poluos" zapravo jednaka upravo a,dok velicinu "male
poluosi" b mozemo odrediti iz cinjenice da je ona zapravovisina
jednakostranicnog trokuta kojem elipsu opisujemo. Nadalje uocimo da
jeduljina stranice jednakostranicnog trokuta na slici zapravo
jednaka 2a.Nadalje prisjetimo se da duljinu visine
jednakostranicnog trokuta racunamo
prema izrazu v = a√
32 , pri cemu je a duljina stranice jednakostranicnog
trokuta.
Dakle mora vrijediti:
b = 2a√
32
pri cemu je a velicina "velike poluosi". Sredimo dobiveni izraz
tako da pokratimosto se pokratiti moze, slijedi:
b =1�2a√
3�21
b = a√
31
15
-
b = a√
3Dakle duljina "male poluosi" iznosi a
√3. Preostaje jos samo odrediti jednadzbu
elipse, slijedi:b2x2 + a2y2 = a2b2(
a√
3)2
x2 + a2y2 = a2 ·(
a√
3)2
a2 ·(√
3)2
x2 + a2y2 = a2 · a2 ·(√
3)2
3a2 · x2 + a2y2 = a2 · a2 · 3Pomnozimo potencije istih baza na
desnoj strani jendakosti prema izrazu zamnozenje potencija istih
baza, odnosno prema izrazu an · am = am+n, slijedi:
3a2x2 + a2y2 = 3a4
Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka dana je
jednadzbom:
E ... 3a2x2 + a2y2 = 3a4
Time je zadatak rijesen.
Napomena: Krajnju jednadzbu mozemo jos podijeliti s a2.
Y ] Z
X Zadatak 14: Koliki je numericki ekscentricitet elipse ako je
linearni ekscen-tricitet aritmeticka sredina duljina velike i male
poluosi?
Rjesenje: Dakle vrijedi:
e = a + b2Nas zadatak je odrediti numericki ekscentricitet ε
kojega racunamo preko izraza
ε = ea
Prisjetimo se da za elipsu opcenito vrijedi izraz e2 = a2−b2
gdje su a i b velicinevelike i male poluosi. No to znaci da je dan
sljedeci sustav jednadzbi: e =
a + b2
e2 = a2 − b2
Desnu stranu druge jednadzbe prepoznajem kao razliku kvadrata
koju raspisu-jemo prema izrazu x2 − y2 = (x + y) (x− y), slijedi: e
=
a + b2
e2 = (a + b) (a− b)
16
-
Nadalje u drugu jednazbu uvrstimo izraz za e koji je dan u prvoj
jednadzbi,slijedi:
a+b2︷︸︸︷e 2 = (a + b) (a− b)(
a + b2
)2= (a + b) (a− b)
Lijevu stranu jednakosti raspisujemo prema izrazu za dijeljenje
potencija istiheksponenata, odnosno prema izrazu a
n
bn=(a
b
)n, slijedi:
(a + b)2
22 = (a + b) (a− b)
(a + b)2
4 = (a + b) (a− b)
Pomnozimo cijelu jednakost s 1a + b , slijedi:
(a + b)2
4 = (a + b) (a− b) / ·1
a + b
(a + b)2
4 ·1
a + b = (a + b) (a− b) ·1
a + bPokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
a+b����(a + b)2
4 ·1
���a + b1=
1��
��(a + b) (a− b)1 ·
1���a + b1
a + b4 =
a− b1
a + b4 = a− b
Pomnozimo cijelu jednakost s 4, slijedi:
a + b4 = a− b / · 4
a + b4 · 4 = (a− b) · 4
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
a + b1�4· �4
1
1 = 4a− 4b
a + b1 = 4a− 4b
17
-
a + b = 4a− 4b
Prebacimo a s lijeve na desnu stranu jednakosti, a −4b s desne
na lijevu stranujednakosti, slijedi:
b + 4b = 4a− a
5b = 3a
Pomnizimo cijelu jednakost s 15 , slijedi:
5b = 3a / · 15
5b · 15 = 3a ·15
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
1�5b1 ·
1�51
= 3a1 ·15
b
1 =3a5
b = 3a5Sada mozemo linearni ekscentricitet izraziti pomocu
velike poluosi a, slijedi:
e = a +
3a5︷︸︸︷b
2
e =a + 3a5
2Svedemo razlomke u brojniku glavnog razlomka na zajednicki
nazivnik 5, slijedi:
e =
5a + 3a52
e =
8a52
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
e =
4�8a5�211
18
-
e =
4a511
e = 4a5Preostaje jos samo odrediti numericki ekscentricitet,
slijedi:
ε =
4a5︷︸︸︷e
a
ε =
4a5a
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
ε =
41�a5�a11
ε =
4511
ε = 45Dakle numericki ekscentricitet elipse koja zadovoljava
uvjete zadatka iznosiε = 45 . Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 15: Napisi jednadzbu elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 ako je
njezin num-ericki ekscentricitet ε = e
ajednak 12 , a elipsa prolazi tockom T (2, 3).
Rjesenje: Krenimo od cinjenice da vrijedi:
ε = 12ε = e
a
⇒ 12 = eaDobivenu jednakost pomnozimo s a, slijedi:
12 =
e
a/ · a
19
-
12 · a =
e
a· a
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
12 ·
a
1 =e
1�a· �a
1
1a
2 =e
1a
2 = e
Nadalje prisjetiom se da za elipsu vrijedi jednakost e2 = a2 −
b2 pri cmu je avelika poluos, b mala poluos te e linearni
ekscentricitet elipse. Imajuci na umuda vrijedi e = a2 ,
slijedi:
a2︷︸︸︷e 2 = a2 − b2(a2
)2= a2 − b2
Raspisemo lijevu stranu jednakosti prema izrazu za dijeljenje
potencija istiheksponenata, odnosno prema a
n
bn=(a
b
)n, slijedi:
a2
4 = a2 − b2
Pomnozimo cijelu jednakost s 4, slijedi:
a2
4 = a2 − b2 / · 4
a2
4 · 4 = a2 · 4− b2 · 4
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
a2
1�4· �4
1
1 = 4a2 − 4b2
a2
1 = 4a2 − 4b2
a2 = 4a2 − 4b2
Prebacimo a2 s lijeve na desnu stranu jednakosti, a 4b2 s desne
na lijevu stranujednakosti, slijedi:
4b2 = 4a2 − a2
4b2 = 3a2
20
-
Pomnozimo cijelu jednakost s 14 , slijedi:
4b2 = 3a2 / · 14
4b2 · 14 = 3a2 · 14
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:2�4b2
1 ·1�41
= 3a2
·14
b2
1 =3a2
4
b2 = 3a2
4Nadalje prisjetimo se da svaka tocka elipse mora zadovoljavati
jednadzbu elipseb2x2 +a2y2 = a2b2. Kako je tocka T (2, 3) nalazi na
elipsi ciju jednadzbu trazimmora vrijediti:
b22︷︸︸︷x 2 + a2
3︷︸︸︷y 2 = a2b2
b2 · 22 + a2 · 32 = a2b2
4b2 + 9a2 = a2b2
Nadalje primjenimo cinjenicu da vrijedi b2 = 3a2
4 , slijedi:
4
3a24︷︸︸︷b2 +9a2 = a2
3a24︷︸︸︷b2
4 · 3a2
4 + 9a2 = a2 · 3a
2
4
Pomnozimo cijelu jednakost s 43 , slijedi:
4 · 3a2
4 + 9a2 = a2 · 3a
2
4 / ·43
4 · 3a2
4 ·43 + 9a
2 · 43 = a2 · 3a
2
4 ·43
Pokratimo sto se pokatiti dade, slijedi:
4 ·1�3a2
1�4· �4
1
�31+
3�9a2
1 ·4�31
= a2 ·1�3a2
1�4· �4
1
�31
4 · a2
1 +12a2
1 = a2 · a
2
1
21
-
4a2 + 12a2 = a4
Pomnozimo potencije na desnoj strani jednakosti prema izrazu za
mnozenjepotenicija istih baza odnosno prema an · am = am+n,
slijedi:
16a2 = a4
Prebacimo 16a2 s lijeve na desnu stranu jednakosti, slijedi:
0 = a4 − 16a2
Izlucimo a2 iz oba clana na desnoj strani jednakosti,
slijedi:
0 = a2(a2 − 16
)Ako je umnozak dva broja jednak nuli tada jedan od tih brojeva
mora biti jednaknuli, odnosno mora vrijediti:
a2 = 0 ili a2 − 16 = 0
Prebacimo 16 s lijeve na desnu stranu u drugoj jednadzbi,
slijedi:
a2 = 0 ili a2 = 16
No a2 ne moze biti jednako 0 jer se u tom slucaju nebi radilo o
elipsi, pa jesamim time a2 = 16 jedino moguce rjesenje. Odredimo
koliko iznosi b2 iz izraza
b2 = 3a2
4 , slijedi:
b2 = 316︷︸︸︷a2
4
b2 = 3 · 164Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
b2 = 3 ·��164
1�4
b2 = 121b2 = 12
Preostaje jos samo odrediti jednadzbu elipse, slijedi:
b2x2 + a2y2 = a2b2
12︷︸︸︷b2 x2 +
16︷︸︸︷a2 y2 =
16︷︸︸︷a2 ·
12︷︸︸︷b2
12x2 + 16y2 = 16 · 12
22
-
12x2 + 16y2 = 192Dakle elipsa koje zadovoljava uvjete zadatka
dana je jednadzbom:
E ... 12x2 + 16y2 = 192
Time je zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 16: Stranica kvadrata upisanog elipsi prolazi njezinim
zaristem.Koliki je numericki ekscentricitet elipse?
Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:
Kako je numericki ekscentricitet elipse dan izrazom ε = ea, pri
cemu je e linearni
ekscentricitet te a velicina velike poluosi, najbolje bi bilo
pokusati izraziti apomocu e ili e pomocu a. Promatarjuci danu sliku
mozemo doci do zakljuckada cemo vrlo vjerojatno lakse prikazati a
pomocu e.Nadalje prisjetimo se da za svaku tocku T koja lezi na
elipsi mora vrijediti:∣∣F1T ∣∣+ ∣∣F2T ∣∣ = 2aPromotrimo li sliku
uvidjamo da vrijedi:∣∣F1T ∣∣ = d i ∣∣F2T ∣∣ = eDakle jednakost
prelazi u oblik:
d︷ ︸︸ ︷∣∣F1T ∣∣+e︷ ︸︸ ︷∣∣F2T ∣∣ = 2a
23
-
d + e = 2a
No iz pravokutnog trokuta 4F1F2T zakljucujemo da preko
Pitagorinog pouckamora vrijediti: ∣∣F1T ∣∣2 = ∣∣F1F2∣∣2 + ∣∣F2T
∣∣2
d︷ ︸︸ ︷∣∣F1T ∣∣ 2 =2e︷ ︸︸ ︷∣∣F1F2∣∣ 2 +
e︷ ︸︸ ︷∣∣F2T ∣∣ 2d2 = (2e)2 + e2
Raspisemo prvi clan sume na desnoj strani nejednakosti prema
izrazu za mnozenjepotencija istih eksponenata ondnosno prema an ·
bn = (a · b)2, slijedi:
d2 = 22e2 + e2
d2 = 4e2 + e2
d2 = 5e2
Korijenujemo cijelu jednakost, slijedi:
d2 = 5e2 /√
d =√
5a2
Desnu stranu jednakosti raspisemo prema pravilu za mnozenje
korijena istihstupnjeva, odnosno prema n
√a · n√
b = n√
a · b, slijedi:
d =√
5 ·√
a2
d =√
5e
Vratimo se na jednakost d + e = 2a, slijedi:√
5e︷︸︸︷d +e = 2a√
5e + e = 2a
Izlucimo e iz clanova sume na lijevoj strani jednakosti,
slijedi:
e(√
5 + 1)
= 2a
Pomnizimo cijelu jednakost s 12 , slijedi:
e(√
5 + 1)
= 2a / · 12
e(√
5 + 1)· 12 = 2a · 12
24
-
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
e(√
5 + 1)
1 · 12 =1�2a1 ·
1�21
e(√
5 + 1)
2 =a
1e(√
5 + 1)
2 = a
Dakle vrijedi a =e(√
5 + 1)
2 . Preostaje jos samo odrediti numericki ekscen-tricitet,
racunamo:
ε = ea︸︷︷︸
e(√5+1)2
ε = ee(√
5 + 1)
2Rijesimo se dvojnog razlomka prema pravilu vanjski s vanjskim,
unutarnji sunutarnjim, slijedi:
ε =
e
1e(√
5 + 1)
2
)
ε = 2ee(√
5 + 1)
Pokratimo sto se pokratiti dade, slijedi:
ε =1�2e
1�e(√
5 + 1)
ε = 2√5 + 1
Dakle numericki ekscentricitet elipse opisane u zadatku jest ε =
2√5 + 1
. Timeje zadatak rijesen.
Y ] Z
X Zadatak 17: Zarista elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su
pravokutnogtrokuta kojem je povrsina jednaka 18. Odredi jednadzbu
elipse.
Rjesenje: Prije svega promotrimo sljedecu sliku:
25
-
26