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19-9-2015

rabajo Colaborativo

Fase1Nombre del Curso:

ECUACIONESDIFERENCIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

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INTRODUCCION

El presente trabajo pone a prueba lo estudiado en la primera unidad del curso, ademásde afirma nuestro trabajo como compañeros de grupo.

El curso de ecuaciones diferenciales nos proporciona los conocimientos, métodos,técnicas y criterios para la modelación matemática de fenómenos específicos propiosde la ingeniería.

Además Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen una funciónincógnita y alguna de sus derivadas. Si la función es de una variable la ecuación sellama ordinaria (EDO). Si es de varias variables, la ecuación es en derivadas parciales.

Podemos decir que Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos

instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos ytécnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, queexpresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto deparámetros

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OBJETIVOS

Aplicar los principios fundamentales de las ecuaciones diferenciales de primerorden.

Desarrollar ejercicio específico y aplicativo de las ecuaciones diferenciales

Identificar el objetivo general de las ecuaciones diferenciales y los objetivos decada una de sus unidades.

Identificar cual es el contenido del curso, su propósito, y la necesidad de ver estamateria para diversos campos que ofrece la ingeniería.

Conocer qué es una Ecuación diferencial y sus procedimientos de investigación,proceso y sus aplicaciones, examinar sus funciones y emplearlas a las técnicasde solución de circuitos, ya que es una herramienta esencial de estudio.

Revisar los aspectos generales del curso ecuaciones diferenciales, planteado enla plataforma virtual.

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TRABAJO COLABORATIVO FASE1

Temática : introducción a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la ecuacióndiferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, justifique su respuesta.

TEM ECUACIONESDIFERENCIALES

DESCRIPCI N DESARROLLADOPOR

A cos=

Ecuación diferencial linealya que la variabledependiente no seencuentra dentro de unafunción y/o elevada a algúnexponente.Primer orden ya quesolamente existe una

primera derivada.

Omar MontañoTorres

B = 1 Ecuación diferencial nolineal debido a que “y” tiene como coeficiente un“3” y por esto no dependensolamente de la variableindependiente “ X ” y es deprimer orden ya quesolamente existe unaprimera derivada.

Williams AvilaPardo

C = cos )Ecuación diferencial nolineal de segundo orden yaque existe una segundaderivada la cual es

Williams AvilaPardo

D = 1( ) Ecuación diferencial nolineal de segundo orden yaque existe una segundaderivada la cual es

Omar MontañoTorres

E 1 6 = 0 Ecuación diferencial nolineal debido a que “y” tiene como coeficiente un“2” y por esto no dependensolamente de la variableindependiente “ X ” y es deprimer orden ya quesolamente existe unaprimera derivada.

Williams AvilaPardo

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Temática : ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ejerc ic io Resuel to por Wil l iams A vi la Pardo

a. Resolver la ecuación diferencial por el método de variables separadas.

− − − = ⟹ −1 − = Separando variables tenemos:

1 − = − ⟹ −1 − = Integrando en ambos lados:

−1 − = Resolviendo la integral:

−1 − = − −= − 13− 1, 1

,

= ⟹ = ⟹ = = Reemplazando u, du, v, dv en la fórmula de integración por partes:

= = = 2, 2 Luego la solución de la ecuación diferencial es:

−1 − = − 13− 1 = 1 2 −(113−) = 1, = 1 2

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B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

Ejercic io Resu elto p or Om ar Mon taño To rres

=

1 1 = 0 1 1 = 0

= 1 = 1 1

ℎ∗ ∗ = ℎ′ ∗∗ ∗∗= ℎ′ = 1 ℎ′ = 1 ℎ =

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C. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales hallando el factor integrante

. Ejercic io Res uelto po r Om ar Mon taño To rres

=

Primero se halla el criterio de exactitud

= = = = 6 = 18 Se observa que ≠

Por lo tanto la ecuación diferencial no es exacta.

Para llevarla a exacta hace el cálculo de un factor integrante a través de las siguientespruebas.

, =

, = ℎ Ŋ = ∫ŋ ŋ

Ŋ = ℎ = 6 = 18

Reemplazo

6 184 9 = 124 9

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Observo que no se cumple ya que solo debe dar en función de x.

Lo realizo con de otra manera

18 66 =

2 Lo cual si me sirve porque está dado solo en función de Y

Procedo al cálculo del factor integrante.

∫ | |

Así hallo el factor integrante µ=y2

Ahora procedo a la aplicación del factor integrante

= = Verifico que la ecuación sea exacta después de aplicar el factor integrante.

My=18xy2

Nx= 18xy2

Lo cual me indica que tengo una ecuación exacta e inicio a buscar solución a laecuación diferencial

= Procedo a integrar el término menos complejo que en este caso sería M

Integrando M

→ → Como decidí derivar con respecto a x derivo ahora el resultado con respecto a y

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→ ` Ahora igualo el resultado con respecto a N

` =

Como el término 9 ℎ` se repiete en ambos lados de la ecuación lo elimino yobtengo como resultado ̀=

Obtengo la función derivada por lo tanto debo integrar para obtener la función derivadaque estoy buscando integrar el resultado con respecto a Y

` = → =

Ahora combino los resultados

= = Pero como ya tengo

h(y)=y4+C

El resultado final es = D. Resuelva la ecuación diferencial

Ejercic io Resu elto p or Om ar Mon taño To rres

=

= , =

= 0 = 0 Dividiendo entre x2

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= 0 =

= = 11− = − = − = 1 − =

= 1 Por lo tanto:

=

= 0

Comprobación:

= 0 =

= =

Si = − +

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=

=

+

, dividiendo por x2 arriba y abajo

= 1 1 = − +− + Comprobación parte 1

.A de más por ley de derivada división de funciones:

= = 1 1 0 = − + +− +Comprobación parte 2

Como se puede ver, la comprobación parte 1 es igual a la comprobación parte 2.

E. Resolver el siguiente ejercicio de valor inicial.

Ejercic io Resu elto p or Om ar Mon taño To rres

=

2 = = =

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2( ) =

2 =

= 2 = 2 = 2

/ 2 =

2 = 2

1 =

2 = 1 2 =

1 = 0 =

2 = = 1

( 2 1) = 2 1 =

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= 1 2 = = 2

2 2 = ∗ 2 12 = ∗ = ∗ ( ) = ∗ ( 1 ) = ∗ 1/ =

/ 1/

=

/= 1.√ =

1.√ = √ =

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Ejercicios Colaborativos

Ejercicio 1

Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una soluciónsalada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solucióndentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a unavelocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanquees de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque.

Solución:

Al analizar el ejercicio se sabe que es la cantidad de sal que hay en el tanque enun instante .

De acuerdo a lo anterior se puede decir que la velocidad de entrada de la sal al tanque

en un instante es:

= 6 ⁄ ∗1 ⁄ En el instante , el líquido que se encuentra en el tanque es:

= 10006 6 La concentración de la salmuera es de

1000 Por su parte la velocidad de salida de la sal es: = 6 ∗ 1000

De aquí se determina que la ecuación diferencial es:

= 6 61000 ∗0 = 0

Ahora se hace la ecuación homogénea

= 61000

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= 61000 La respuesta de la ecuación homogénea es:

= 1000 Al hacer variar la constante = y al reemplazar en la no homogénea se obtiene:,1000 = 6 Entonces:

, = 6 1000

= 1000 Por lo que:

= 1000 1000 De aquí se puede concluir que la cantidad de sal en el tanque en un instante es:

1000 100010001000 1 10001000

Ahora se debe encontrar de tal manera que:

1 1000

1000 = 12

Por lo que:

12 = 10001000 1000 = 2∗1000

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Ejercicio 2: Situación y solución planteada.

Enunciado:

Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión quevuela a una altura de 2000 m, y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistenciadel aire. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad delparacaidista en cada instante, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con elparacaídas cerrado, y 90 N.s/m con el paracaídas abierto. Si el paracaídas se abre alos diez segundos del lanzamiento, hallar el instante aproximado en el que elparacaidista llega al piso. ¿Cuál es su velocidad en ese instante? (Considere lagravedad como = 10)

SOLUCI N PLANTEADA CORRECCI N A LA SOLUCI NLa fórmula es incorrecta ya que debe llevar elsingo menos (-) en vez de más (+)

= La fórmula es incorrecta ya que debe llevar elsingo menos (+) en vez de más (-)

= Que equivale a:

. .. . = . ; ( .. )= .

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Integrando respecto a t

= . .−. . .−. Entonces, = . .

= . De donde;

= −. .−. = −.

Reagrupando,

= (1−.) Considerando la gravedad como = 1 y latapa inicial en la que el paracaídas está cerrado,donde = 0, = 0 y = 30

= . . −. = 30. ;

Entonces

=1003 1003 −

y

=1003 . 10009 .(1− )

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Luego a los diez segundos, =10

10 ≈ 3 Y la distancia recorrida por el paracaidistadurante los primeros diez segundos seráaproximadamente

= 22 Para la segunda etapa, es decir, cuando elparacaídas está abierto, se toma como instante = 0 aquel en el que el paracaídas se abre y = 90., con lo que se tiene

x0 = 227,7541 m0 = 31. Para esta nueva etapa = 31,67 = . . −.

= . . . (1−) = 227,774 Entonces,

= 1009 20,562− y = 1009 22,847− 250 Entonces, como ( )=2000 tenemos,

Se desprecia 22,8473e− t ya que si t=10, elvalor tiende a cero.Por lo tanto:

1009 0 250, 1009 = 2000

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1009 = 1749 =1749,398

100

= 157,44 En la anterior ecuación el término 2,05− se desprecia para valores de tiemporelativamente grandes (mayores que 10), esdecir, este valor tiende a cero, entonces,=157,4459 . De aquí se deduce que el

paracaidista tarda aproximadamente, 10 +157,4459 =167,4459 en llegar al suelodesde que se arrojó del avión.

La velocidad de éste al llegar al suelo es deaproximadamente = 11,11

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CONCLUSIONES

Este trabajo es importante para el desarrollo de nuestra vida profesionalbuscando el desenvolvimiento dentro del ámbito laboral aplicando los diferentesconceptos y conocimientos adquiridos en todo lo relacionado con las ecuacionesdiferenciales para tener un conocimiento amplio acerca de las ecuacionesdiferenciales aprendiendo su finalidad y tener una proyección del curso parapoder resolver las diferentes situaciones presentadas.

Durante la realización del presente trabajo fue posible clasificar las ecuacionesdiferenciales por tipo, orden y linealidad, para lo cual se utilizaron los conceptosaprendidos durante el estudio de la primera unidad del módulo del curso.

Por medio de la elaboración de este taller, se desarrollaron ejercicios prácticosutilizando las técnicas adquiridas para la resolución de ecuaciones diferencialeslineales de primer orden con variables separables y hallando el factor integrante,lo cual permitió la ejecución de problemas prácticos que afianzan la asimilaciónde las temáticas tratadas.

Finalmente se desarrolló un ejercicio práctico para utilizar los conceptos básicosde las ecuaciones diferenciales.

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REFERENCIAS

Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu,. (2015). Differential Equations. Recuperado 20Septiembre 2015, a partir de http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/hbasees/diff.html

Julioprofe,. (2015). Ecuaciones diferenciales - Julioprofe. Recuperado 20Septiembre 2015, a partir de http://julioprofe.net/courses/ecuaciones-diferenciales/

Mario Orlando Suárez Ibujes, M. (2015). Introducción a las ecuacionesdiferenciales. Teoría y ejemplos resueltos - Monografias.com. Monografias.com.Recuperado 20 Septiembre 2015, a partir dehttp://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml

Matematicas.udea.edu.co,. (2015). Ecuaciones Diferenciales. Recuperado 20Septiembre 2015, a partir de http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

Sc.ehu.es,. (2015). Solución numérica de ecuaciones diferenciales. Recuperado20 Septiembre 2015, a partir de http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-

renovables/MATLAB/numerico/diferencial/diferencial.html YouTube,. (2015). Solución de una ecuación diferencial por separación de

variables. Recuperado 20 Septiembre 2015, a partir dehttps://www.youtube.com/watch?v=v3CsjgKeB7U