10. évfolyam, els ő epochafüzet - suranyisz.husuranyisz.hu/acdc/matematika/elso_epocha/elso_epochafuzet_10_2013.pk.pdf · Összefüggések : nevezetes szorzatok, műveleti tulajdonságok,

10. évfolyam, első epochafüzet

Tulajdonos:

………………………………………

(Ismétlés: algebra, függvények)

ISMÉTLÉS: ALGEBRA, FÜGGVÉNYEK

3

Tartalom

Amit tudni kell….......................................................................................... 4

Műveletek algebrai kifejezésekkel, egyenletek egyenlőtlenségek..................... 5

Összevonás ..................................................................................................5

Szorzás, osztás ............................................................................................5

Elsőfokú egyenletek......................................................................................8

Szöveges feladatok.......................................................................................9

Elsőfokú egyenlőtlenségek............................................................................9

A lineáris függvény .....................................................................................10

A nemlineáris függvények és a függvény-transzformáció ..............................13

Másodfokú algebrai kifejezések ...................................................................19

Nevezetes szorzatok ..................................................................................19

Szorzattá alakítás .......................................................................................19

Kiegészítés teljes négyzetté........................................................................20

Magasabbfokú azonosságok........................................................................22

Harmadfokú azonosságok ..........................................................................22

**Negyed, ötöd, …. fokú azonosságok........................................................23

Algebrai törtek............................................................................................24

Egyenletek, egyenlőtlenségek ......................................................................26

Algebrai törtes egyenletek, egyenlőtlenségek..............................................26

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek ...................................................26

A diszkrimináns................................................................................................................27

A gyöktényezős alak .......................................................................................................27

A Viète-formulák (avagy összefüggés a gyökök és az együtthatók között) ...........28

Vegyes feladatok másodfokú egyenletekre.............................................................28

A másodfokú függvény................................................................................33

A másodfokú függvény és a másodfokú egyenlet ........................................34

Hatványozás ismétlése ................................................................................38

Műveletek hatványokkal..............................................................................38

A negatív kitevőjű hatvány ..........................................................................38

Számok normálalakja..................................................................................39

Vegyes feladatok hatványokra.....................................................................40

Hatvány függvények....................................................................................42

Feladatgyűjtemény......................................................................................44

Műveletek algebrai kifejezésekkel ...............................................................44

Egyenletek, egyenlőtlenségek .....................................................................46

Gyökök és együtthatók ...............................................................................48

Lineáris függvények....................................................................................49

Nemlineáris függvények..............................................................................50

ELSŐ EPOCHAFÜZET

4

Amit tudni kell…

az epocha végére

Fogalmak: algebrai kifejezések, változó, együttható, egytagú, többtagú, egynemű, egyenlet, egyenlőtlenség, másodfokú egyenlet, diszkrimináns, gyöktényezős alak, függvény, lineáris függvény, meredekség, nemlineáris függvények, konvex, konkáv, zérushely, hatvány függvény, páros páratlan, hatvány, normálalak

Összefüggések: nevezetes szorzatok, műveleti tulajdonságok, a másodfokú egyenlet megoldóképlete, a lineáris függvény hozzárendelési szabálya, másodfokú gyökei közötti

összefüggés, másodfokú gyökei és szélsőértékek közötti összefüggés, függvények és egyenletek

közötti kapcsolat, hatványozás azonosságai

Eljárások: műveletek elvégzése algebrai kifejezésekkel (szorzás, osztás, összevonás, zárójel felbontás), szorzattá alakítás, kiegészítés teljes négyzetté, algebrai törtek egyszerűsítése, elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása, másodfokú egyenletek megoldása, lineáris és nemlineáris függvények vizsgálata, függvények ábrázolása, függvény-transzformáció, számolás hatványokkal, normálalakkal

Az epocha értékelése:

• 70% az epochazáró • 30% az epocha során feldolgozásra kerülő anyagrészekből írt résztesztek fogják

adni. (15-15). • További 10 pontot ér az órai aktivitás illetve a házi feladatok elkészítése.

ami fontos az évben

• Ebben az évben a tételekre és bizonyításokra fogunk figyelni, hogy mit is jelent egzaktul kimondani egy állítást és ezt be is kell tudni bizonyítani.

• Az utolsó epochában mindenki be fog számolni az addig előforduló valamely tételből/tételekből és bizonyításából. Ezért már most érdemes készíteni egy füzetet, amiben ezeket gyűjtögetitek az utolsó epochára.


5

Műveletek algebrai kifejezésekkel, egyenletek

egyenlőtlenségek

Összevonás

1. Vonj össze mindent, amit lehet!

a. ( ) =+−+ aaba 5238

b. ( ) ( )=−+−−+ 82162 22 xxxx

c. =+−++− aaaa6

7

6

1

2

1

2

3

6

5

3

1 22

d. { }( )[ ]=−−+−− 2612510 xxx

e. =−+−++− baababbaababab 2222 43257

f. =+−−++6

25323

41 xxx

Szorzás, osztás

2. Végezd el a kijelölt műveleteket!

a. =⋅⋅ 43 53 xxx b. =515 5 :y

c. ( ) ( ) =⋅− 25 2yy d. =255 d:d

e. =⋅⋅ 25 42

1xx f. =28 618 x:x

g. ( )=−⋅ 243 56 abba h. ( ) ( ) =ca:abc8

i. ( ) =⋅ 532 cc j. ( ) ( ) =xyz:zyx 525 22

k. ( ) =⋅⋅ 132 543 dd l. ( ) ( ) =− b:b 312 3

3. Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékei mellett!

a. =a

a

210 2

b. =3

2

122

b

ab

c. =23

55

153

xd

xd d. =55

64

13516

qp

qp

ELSŐ EPOCHAFÜZET

6

4. Végezd el a szorzásokat, osztásokat! Rendezd az összegeket csökkenő fokszám szerint!

a. ( ) =− 25 y b. ( ) =+ 5105 :x

c. ( ) =⋅+ aa 332 d. ( ) =− x:xx 23

e. ( ) ( ) =+⋅− 52 xx f. ( ) =+− b:bbb 3693 32

g. ( ) =⋅+⋅− 226 xx h. ( ) =+−2

128 2 :xx

5. Bontsd fel a zárójeleket a műveletek elvégzésével! Ahol lehet, vonj össze!

a. ( )( ) =+− 52 xx b. ( )( ) =−+− 2732 xxx

c. ( )( ) =−− 36 yy d. ( )( ) =−−−+ 18523 xyxy

6. Számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét! (Előbb hozd a kifejezést a legegyszerűbb alakra, és csak a végén helyettesíts be!) A füzetbe dolgozz!

a. ( )( ) ( )( ) =−+−+− 2525 xxxx ha 3

7=x

b. ( )( ) ( )( ) =+−−−− 1347 yyyy ha 9

5=y

c. ( )( ) ( )( ) ( ) =+−−−++−− 13725632 2 aaaaaa ha 65,a =

7. Egyszerűsítsd a következő törteket a változók lehetséges értékei mellett! Ne feledd, hogy ( ) ( ) xyyx −=−⋅−1 ! Kikötés!

a. =−−

ab

ba

b. =−−

b

b

3

3

c. ( )( ) =

−−

cbd

bca315

3

d. ( )( ) =

−−

ijm

jin

15

5


7

Tudnivaló

A) Azokat a műveleteket, amelyekben a betűk felcserélése esetén az eredmény nem változik, kommutatívnak nevezzük.

Az alapműveletek közül ilyen az összeadás és a szorzás. Pl. 5665 +=+ és 56 65 ⋅=⋅

B) Azokat a műveleteket, amelyekben a betűk tetszőlegesen csoportosíthatók, asszociatívnak nevezzük.

Az alapműveletek közül ilyen az összeadás és a szorzás. Pl. ( ) 14743 =++ , ( ) 14743 =++ és ( ) 60543 =⋅⋅ , ( ) 60543 =⋅⋅

Emlékeztető

Ha betűkkel és számokkal műveleteket végzünk, akkor algebrai kifejezéseket kapunk. Az algebrai kifejezésekben előforduló betűket változóknak nevezzük. A változók valamely előre megadott alaphalmaz elemeit jelentik. (Általában az alaphalmaz a valós számok halmaza; ha nem, akkor külön meg kell adni az alaphalmazt.) Az algebrai kifejezés helyettesítési értékét kapjuk meg, ha a változó helyébe beírjuk az alaphalmaz elemeit és a kijelölt műveleteket elvégezzük.

Az algebrai kifejezésben szorzótényezőként előforduló számokat együtthatónak nevezzük. Pl.: abba 23 2 + kifejezésben a 3 és a 2 együttható.

Egytagúnak nevezzük azokat az algebrai kifejezéseket, amelyekben csak szorzás és osztás fordul elő, vagy a műveleti sorrend szabályait szem előtt tartava, az utolsó levégzendő művelet szorzás vagy osztás. Többtagúnak mondjuk, ha összeadás vagy kivonás szerepel, nem zárójelezett formában.

Egyneműnek mondjuk azokat az egytagú algebrai kifejezéseket, amelyeknek csak az együtthatóik különböznek. Pl.: ba23 és ba22− .

Összevonni csak egynemű algebrai kifejezéseket tudunk. Ilyenkor összevonjuk az együtthatókat, a betűkifejezések változatlanok maradnak. Pl.: bababa 222 523 =+ .

Zárójeles kifejezések összevonásánál alkalmazzuk a számoknál tanultakat: Pl.: ( ) 28235235 −=−+=−+ aaaaa vagy ( ) 22235235 +=+−=−− aaaaa

Algebrai kifejezések szorzása és osztása esetén:

a) ha egytagú a kifejezés, akkor az együtthatókkal elvégezzük a kijelölt műveletet, a betűkre pedig a hatványozás szabályait alkalmazzuk.

Pl.: cbacbaba 35232 1553 =⋅ vagy 2

2

4

2 5

5

25

a

b

ba

ba = .

ELSŐ EPOCHAFÜZET

8

b) többtagú kifejezésekkel úgy végezzük el a műveletet, hogy az egyik tényező minden tagját összeszorozzuk a másik tényező minden tagjával. Pl.:

( ) ababaa 51535 2 +=+ vagy

( )( ) babaabaa 25615325 2 +++=++ vagy

( )( ) 2222 6815256315325 baababbabaabababa +++=+++++=+++

Elsőfokú egyenletek

Minden egyenlethez, egyenlőtlenséghez hozzátartozik egy alaphalmaz, ebben a halmazban

keressük a megoldásokat. Ha a feladat szövege nem adja meg előre az alaphalmazt, akkor az

általunk ismert legbővebb számhalmazt, azaz a valós számok halmazát tekintjük annak. Az

alaphalmaz azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő kifejezések

értelmesek, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük.

Az egyenlet, egyenlőtlenségek megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az

értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet, egyenlőtlenséget. Ezeket a számokat

hívjuk az egyenlet, egyenlőtlenség megoldásainak, vagy az egyenlet, egyenlőtlenségek

gyökeinek és ezek a számok alkotják az egyenlet, egyenlőtlenségek megoldáshalmazát. A

megoldáshalmazt szokás számegyenesen is ábrázolni. Ez különösen az egyenlőtlenségeknél

érdemes használni.

8. Emlékezz!

a. Mi az a mérleg elv? Mit lehet illetve nem lehet megtenni az egyenlet egyenlőtlenség mindkét oldalával?

b. Mikor van gyök vesztés, illetve mikor nyersz hamis gyököt?

9. Milyen x-re teljesül az egyenlőség? (Figyelj, a törtvonal zárójelet helyettesít!) (Az egyenlet megoldása után ellenőrizz!)

a. ( ) ( )946458 +−=−− xxx b. ( ) ( ) ( )( )3434215532 +−=−−− xxxxxx

c. 529

103

127

35

32

52

43 =

−−

++

− xxx d. 52

41

5

23 =−−− xx

e. 12

271

4

56

3

15 −−=−−+ xxx f.

3

522

5

466

xx

x −+=−−

g. 8

3

2

352

4

1 −−−+=++ xxx

xx


9

Szöveges feladatok

10. Egy télikabát ára decemberben 41800 Ft volt nem fogytak így leértékelték őket. Január végén a kiárusításkor kétszer annyi százalékkal szállították le az árát így 33900 Ft lett az új ára. Hány százalékosak voltak az árleszállítások?

11. Béláék januárban betettek a bankba 25000 Ft, a következő év januárjában tudtak csak hozzá tenni 18000 Ft-t, de ebben az évben a kamatokat is megemelték januártól 28%-kal. így a következő évben mikor kivették a pénzüket 55460 Ft-ot kaptak. Mekkorák voltak a kamatok a két évben?

12. A termelők a táp, a benzin stb. árának emelkedése miatt úgy emelték meg a tej árát, hogy zuhanni kezdett a fogyasztás. ezért csökkentették a megemelt árat úgy, hogy félszer annyi százalékkal csökkentették, mint amennyivel emelték. Így a vaj csak 8%-kal lett csak magasabb az eredetinél. Hány százalékkal emeltek első körben?

13. Egy bank 15% kamatot fizet minden évben a betétekre. Mekkora összeget tettek be Szabóék három évvel ezelőtt, ha most 330000 Ft-ot vettek ki?

14. **400000 Ft kölcsönt szeretnénk felvenni, ennek 5/8-át a barátok összeadják, így csak a maradékot kell felvenni a banktól 12%-os éves kamatra. Hány hónap alatt tudjuk kifizetni, ha havonta maximum 10000 Ft-ot tudunk a törlesztésre fordítani?

15. Egy 2 dl 20%-os ecethez, mennyi vizet öntsünk, hogy 8%-os oldatot kapjunk?

16. Egy 12% 2dl és egy 4dl 7%-os alkoholt összeöntve hány százalékos lesz az koktélunk? Mennyi narancslevet öntsünk hozzá, hogy 6%-os oldatot kapjunk?

17. Péter édesanyja korának az ötödétől 2-vel több, a húgáétól 4-gyel több, aki édesanyjuk korának épp a hetede. Hány évesek?

18. Karcsi és Ricsi testvérek. Egyik héten egyikük, másik héten a másikuk takarítja ki a szobájukat. Karcsi 25 perc alatt, Ricsi 15 perc alatt takarítja ki. Mennyi idő lenne, ha közösen tennék meg a takarítást?

Elsőfokú egyenlőtlenségek

19. Gyűjtsd össze, hogy mi az azonosság, ellentmondás és mi a különbség az egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldásában! Írásban dolgozz, a füzetben!

20. Oldd meg az egyenlőtlenségeket, és a megoldáshalmazt ábrázold számegyenesen!

a. xx 324 −≥+ b. 4326 −≤+ xx

c. 524

53 +<+x

x d.

2

49

4

31

3

25 +<−−− xxx

ELSŐ EPOCHAFÜZET

10

21. Van-e megoldása a következő egyenlőtlenségeknek? A megoldásokat ábrázold számegyenesen! Figyelj a megadott alaphalmazra is!

a. ( )( ) xxxx +<−+− 81233 2 és 53 ≤≤− x

b. ( ) 11055

423

4

1,x

xx +<+− és Z∈x

c. 3

2

4

3

2

1 −−−≥−− xxxx és 0≥x

d. 2

49

4

31

3

25 +<−−− xxx és +∈Qx

A lineáris függvény

22. Párosítsd össze a hozzárendelési utasításokat a grafikonokkal!

( ) 12

5 += xxf ( ) 22

1 −−= xxg ( ) 12 −= xxh ( ) 33

2 +−= xxi

a)

b)

c)

d)

23. Ábrázold a füzetbe a következő függvényeket, majd írd be a betűjeleket a következő oldalon a megfelelő helyre!

a. ( ) x2

1xa −=

b. ( ) 3xb =

c. ( ) 10xc −=

d. ( ) x3xd =

e. ( ) 5x2xe +−=

f. ( ) 7x3

4xf −−=

g. ( ) 2x2

1xg +=

h. ( ) 5x5xh −=


11

konstans függvény:

szigorúan monoton csökkenő:

szigorúan monoton növekvő:

egymásra merőlegesek:

elsőfokú függvény:

átmegy az origón:

zérushelye egész szám:

helyettesítési értéke 0-nál 3:

24. Írd a megfelelő függvénynek betűjelét az állításokhoz! (Ábrázolás nélkül döntsd el!)

a. ( ) 4x2

1xa +−=

b. ( ) 8x2

7xb −−=

c. ( ) 11x3xc +−=

d. ( ) 2xd =

e. ( ) 2x2xe +=

f. ( ) 3x2xf +=

g. ( ) 2x5

2xg −−=

h. ( ) 7x5

3xh −=

Illeszkedik a …

P(3; 2) pontra: Q(-4; 6) pontra: R(-2; -1) pontra: S(5; -4) pontra:

Nem illeszkedik egyik pontra sem:

25. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! (Jellemzés: értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, y tengellyel való metszéspont, menete)

a. 252 −x,xa , [ )22;x −∈ b. 33

2 +− xxa , ( ]33;x −∈

26. Előbb ábrázold a füzetedbe a függvény grafikonját, majd add meg a hozzárendelési szabályt!

a. Átmegy az origón, és az x tengely pozitív irányában 1 egységet haladva 4 egységgel nő.

b. Átmegy a (0; 2) ponton, és az x tengely pozitív irányában 1 egységet haladva 4 egységgel nő.

c. Átmegy az origón, és az x tengely pozitív irányában 1 egységet haladva 2 egységgel csökken.

d. Átmegy a (0; 2) ponton, és az x tengely pozitív irányában 1 egységet haladva 2 egységgel csökken.

e. Átmegy az origón, és az x tengely pozitív irányában 3 egységet haladva 1 egységgel nő.

f. Átmegy a (0; 2) ponton, és az x tengely pozitív irányában 3 egységet haladva 1 egységgel nő.

ELSŐ EPOCHAFÜZET

12

27. A következő függvények közül ábrázolás nélkül válogasd ki azokat, amelyeknek grafikonja egyenes! Választásod indokold is!

25 +− xx:f a 43 −xx:h a xx:k −a 12 2 +xx:q a

4

1−xx:m a

x

xx:r

−−

2

2a 4

5

1 −xx:s a +∈+− Nx,xx:n 12a

( ) ( ) ( )261524 −−−++− xxxx:g a ( ) ( )151242 22 −+−−− xxxxx:l a

28. Válaszolj a kérdésekre úgy, hogy az ( ) 5x2xf −= a ( ) 1x2

1xg +−= és a

( ) 1000123 −= xxh függvényeken illusztrálod válaszod!

a. Hogyan lehet kiszámolni, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt? b. Hogyan lehet zérushelyet (x tengellyel való metszéspontot) számítani a

hozzárendelési szabály alapján? c. Mit jelent, hogy egy függvény helyettesítési értéke mennyi egy megadott x

érték esetén? d. Hogyan válaszolhatsz arra a kérdésre, hogy hol vesz fel a függvény egy

megadott értéket?

A LINEÁRIS FÜGGVÉNY

Azokat a függvényeket, melyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvénynek nevezzük.

→ A lineáris függvények hozzárendelési szabálya mindig

bmxx +a vagy ( ) bmxxf += vagy bmyy += alakú

→ Az m a függvény meredekségét jelöli

→ A meredekség megmutatja, hogy az x tengely pozitív irányába egy egységet haladva mennyivel változik a függvény értéke. Ha 0>m akkor nő, és ha

0<m akkor csökken a függvény értéke

→ A b értéke megmutatja, hogy a grafikon hol metszi az y tengelyt.

Ha a hozzárendelés ( ) mxxf = alakú, vagyis a b értéke nulla, akkor a grafikon áthalad az origón. Az ilyen hozzárendelés esetén, ha x értékét valahányszorosára változtatjuk, akkor y értéke is ugyanannyi szorosára változik, vagyis egyenes

arányosságról beszélhetünk.

Ha a hozzárendelés f(x)=b alakú, vagyis m értéke nulla, akkor a függvény értéke állandó (konstans), nem is függ az x-től. Ilyen esetben a grafikon egy x tengellyel párhuzamos egyenes.

A függvény helyettesítési értéke alatt az ( )xfxa értjük. Tehát az ( ) 35 +−= xxf , akkor 72a , tehát ( ) 72 =f .

Lineáris függvény zérushelye, az az x, amihez a szabály 0-t rendel. Az előző

példában a zérushely a 5

3.

A függvény menete a meredekségtől függ, most 5−=m , azaz csökkenő.


13

29. Oldd meg grafikusan!

a. 5

4

5

224 +≤− xx b.

3

31

3

1 xx

−≥−

c. xx

252

6 −<− d. 4312 −>− xx

A nemlineáris függvények és a függvény-transzformáció

30. Ábrázold az alapfüggvényeket és egyszerű transzformáltjaikat, részfeladatonként külön koordinátarendszerbe, színessel! (Ha kell, készíts értéktáblázatot!)

a. xx:f a 2+xx:h a

3−xx:g a

b. 2xx:f a 52 −xx:g a

( )23+xx:h a

c. ( )x

xf1=

( )1

1

−=

xxg

( ) 31 +=x

xh

d. ( ) [ ]xxf = ( ) { } 2+= xxg ( ) xxh sgn5=

31. Ábrázold és jellemezd a függvényeket (a táblázat szerint)!

a. 31 −−xx:a a b. ( )23−− xx:b a

c. 52 −⋅ xx:c a d. x

:d1

2 +a

ÉT ÉK Zh Tm Min Max Növekvő Csökkenő

a

b

c

d

ELSŐ EPOCHAFÜZET

14

32. Ábrázold és jellemezd a függvényeket (a táblázat szerint)!

a. ( )235 −− xx:a a b. 512 −−xx:b a

c. 2

1

+−

xx:c a d.

3

62 −xx:d a

ÉT ÉK Zh Tm Min Max Növekvő Csökkenő

a

b

c

d

33. Add meg a következő függvények hozzárendelési szabályát!

a.

b.

c.

d.


15

34. Add meg a következő függvények hozzárendelési szabályát! a.

b.

c.

d.

35. Rajzold be a koordináta-tengelyeket, ha adott a függvény grafikonja és a

hozzárendelési szabály! Figyelj a szélsőértékekre! Milyen típusú és hol mennyit vesz fel? Kiolvasható a hozzárendelési szabályból?

a. ( )22xx −a

b. 11xx −−a

c. ( ) 12xx 2 +−−a

d. 11x2x −−a

ELSŐ EPOCHAFÜZET

16

Most figyelj a zérushelyekre! Milyen kapcsolat van a zérushelyek és a szélsőérték helyek között?

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

36. Ábrázold a következő függvényeket! Mindegyiknél gondold végig, hogy mi az alapfüggvény, és milyen transzformációs lépésekkel kapod meg annak grafikonjából az ábrázolni kívánt függvény grafikonját!

A 12 2 −xx:a a 22

1 +xx:b a ( )213 −xx:c a 22x

2x:d −

+−a

B ( )212 −xx:e a 2+− xx:f a 1

1

−xx:g a 2

1 +−x

x:h a

C 14x2x:i −+−a 23 −−− xx:j a ( ) 13 2 +−− xx:k a 12

1 +−x

x:l a

37. Ábrázold a következő függvényeket! Mindegyiknél gondold végig, hogy mi az alapfüggvény, és milyen transzformációs lépésekkel kapod meg annak grafikonjából az ábrázolni kívánt függvény grafikonját! és az Értelmezési tartomány hogyan szűkíti!

A 12: 2 −xxa a [ ]41;x −∈ ( )213: −xxc a ( )14;x −∈

B ( )212: −xxe a +∈ Rx 1

1:

−xxg a ] ]1;x ∞−∈

C 14x2x: −+−ai [ [∞−∈ ;x 4 ( ) 13: 2 +−− xxk a ] ]50;x∈

38. Ábrázold a következő összetett függvényeket!

a. ( ) 34 −−= xxa

b. ( ) 34 −−= xxb

c. ( ) 334 −−−= xxc

d. ( ) 334 −−−= xxc

a. ( ) ( ) 43 2 −−= xxa

b. ( ) ( ) 443 2 −−−= xxb

c. ( ) ( ) 443 2 −−−= xxc

d. ( ) ( ) 4443 2 −−−−= xxd

Hány zérushelye van függvényeknek? Mi mondható el a szélsőértékhelyekről? És értékekről? Milyen a menetük?

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................


17

39. **Ábrázold a következő összetett függvényeket!

a. ( ) 33 ++−= xxxa

b. ( )

−≤−−<<−

≥−=

452

443

452

xhax

xha

xhax

xb

c. ( ) 75 +++= xxxc

d. ( )3

2

−−=

x

xxd

e. ( )2

52

−−=

x

xxe

f. ( ) 562 +−= xxxf

g. ( ) 782 2 +−= xxxg

ELSŐ EPOCHAFÜZET

18

Függvény-transzformáció:

→ Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk

meg, hogy az alapfüggvényt (pl. ( ) 2xxf = )

meghatározó szabályhoz egy pozitív számot

adunk, akkor a grafikon az y tengellyel

párhuzamosan, a hozzáadott értéknek megfelelően,

pozitív irányba tolódik el (pl. ( ) 32 += xxg ).


meg, hogy az alapfüggvényt meghatározó

szabályhoz egy negatív számot adunk, akkor a

grafikon az y tengellyel párhuzamosan, a

hozzáadott értéknek megfelelően, negatív irányba tolódik el (pl. ( ) 22 −= xxh ).


meg, hogy az alapfüggvényt (pl. ( ) xxf = )

meghatározó művelet elvégzése előtt x-hez egy

pozitív számot adunk, akkor a grafikon az x

tengellyel párhuzamosan a hozzáadott értéknek

megfelelően, negatív irányba tolódik el (pl.

( ) 3+= xxg .


meg, hogy az alapfüggvényt meghatározó művelet

elvégzése előtt x-hez egy negatív számot adunk,

akkor a grafikon az x tengellyel párhuzamosan a

hozzáadott értéknek megfelelően, pozitív irányba

tolódik el (pl. ( ) 2−= xxh ).

→ Ha egy hozzárendelés utasítását úgy változtatjuk meg, hogy az alapfüggvényt (pl.

( ) 2xxf = ) meghatározó szabályt mínusz eggyel

megszorozzuk, akkor a grafikon tükröződik az x

tengelyre (pl. ( ) 2xxp −= ).



szabályt valamilyen pozitív, egynél nagyobb

számmal megszorozzuk, akkor a grafikon

függőleges irányban a szorzó számszorosára

nyúlik meg (pl. g(x)).



szabályt valamilyen pozitív egynél kisebb

számmal megszorozzuk, akkor a grafikon

függőleges irányban a szorzó számszorosával zsugorodik össze (pl. h(x)).


19

Másodfokú algebrai kifejezések

Nevezetes szorzatok

40. Párosíts össze a kifejezéseket! (Lehet, hogy van páratlan!)

a. ( )22+a

b. ( )212 +a

c. 2

22

1

−a

d. ( )( )22 +− aa

e. ( )( )22 ++ aa

A. 12 −a B. 144 2 ++ aa C. 442 ++ aa

D. 424

1 2 +− aa

E. 42 +a

41. Végezd el a műveleteket!

a. ( ) =+ 22x b. ( ) =+ 23 ba

c. ( ) =− 23y d. ( ) =− 24 cb

e. ( )( ) =−+ 55 zz f. ( )( ) =+− acac 66

42. Végezd el a műveleteket!

a. ( ) =+ 223 yx

b. ( ) =− 257 zy

c. ( )( ) =−+ xzxz 6464

d. ( ) =+2328 ba

e. ( ) =−274 910 cb

f. ( )( ) =+− 453453 5757 abcabc

Szorzattá alakítás

43. Írd le a tanult szorzattá alakítási módszereket! Minden módszer mellé írj példát is!

1. : ............................................................................................................................................

példa: .......................................................................................................................................

2: .............................................................................................................................................

példa: .......................................................................................................................................

3. .............................................................................................................................................

példa: .......................................................................................................................................

44. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

a. =++ 25102 aa b. =+− 36122 bb c. =− 492c d. =+− 2441 dd e. =++ 23612 ee f. =− 2441 f,

ELSŐ EPOCHAFÜZET

20

45. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

a. =++ 22 4914 yxyx b. =+− 257049 2 yy

c. =− 2121144 x d. =++ 22 43624 baab e. =+− 4236 26169 bbcc f. =− 22 1625 ba

46. Bontsd szorzattá, amennyire csak lehet! (A füzetbe dolgozz!)

a. =− 22 55 yx b. =− 23 yy

c. =+− 22 242 baba d. =+− 22 44 aabb e. ( ) ( ) =+++ 11 xbxa f. ( ) ( ) =−−− aax 525

g. ( ) ( ) =+−+ 32332 xxxy h. * =+−− zxxzx 3344 2 i. * =−−+ 432 aaaa j. ** =−+− 42 22 baba k. ** =++− 2346 22 xxxx l. *** =++ 124 xx m. *** =+++ 6116 23 xxx

Kiegészítés teljes négyzetté

47. Párosíts össze a kifejezéseket a hiányzó részekkel! (Mindegyik teljes négyzet

legyen!) Utána írd fel a kifejezést zárójeles alakban!

a. 92 +− ......x A. x10

b. 252 ++ ......x B. x8

c. 94 2 +− ......x C. x6

d. 99 2 +− ......x D. x12

e. 162 +− ......x E. x18

48. Egészítsd ki teljes négyzetté! (Segítség: A másodfokú és az elsőfokú tag alapján

határozd meg, hogy mi kerül a zárójelbe, utána számold ki a maradékot!)

a. ( )22 2 ....x.....xx −=+− b. ( )22 6 .....y....yy +=++

c. ( )22 10 ....a.....aa +=+− d. ( )22 124 ....b........bb +=++

e. ( )22 3 ....x.....xx +=++ f. ( )22 2124 ....y.....yy +=++

g. ( )22 369 ....a.....aa +=++ h. ( )22 52025 ....b.....bb −=+−

49. Egészítsd ki az alábbi kifejezéseket teljes négyzetté!

a. ( )22 2 .................xyx +=++

b. =++ .......cdc 44 2 c. =+− 22 2536 q.......p

d. =++ 22

9

4

4

1z.......x

e. =+− 22364 ba...........

50. Írd fel teljes négyzet segítségével a kifejezéseket! (A négyzetre emelés elvégzésével ellenőrizheted megoldásod helyességét.) Pl.: ( ) 2376 22 −+=++ xxx

a. =+− 1142 yy

b. =− xx 122 c. =++ 542 xx d. =+− 622 yy

e. =−− 862 yy

f. =+−− 2xx23 g. * =− xx 124 2 h. * =−+ 12129 2 yy


21

51. ** Írd fel teljes négyzet segítségével a kifejezéseket!

a. =+ xx2

41

b. =−+ 134

91 2 zz c. =++ 15040 2 yy,

52. Figyeld meg a példát, és mintájára oldd meg a feladatokat!

Példa: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11343134113423463 22222 +−=+−−=+−−=+−=+− xxxxxxx

a. =+− 1582 2 xx b. =−+ 18243 2 xx c. =−+− 1172 2 xx d. =+−− 653 2 xx

53. Egyszerűsítsd a törteket! (Használd a nevezetes szorzatokat!!!)

a. =−−

22

22

112224

12124

b. =−2000

3620062

c. =⋅−⋅ 2001199919982000

7998

54. * Számítsd ki! (Használd a nevezetes szorzatokat!!!)

a. =− 22 603703 b. =− 22 702703

c. =⋅−⋅ 100199910021000

4002 d. =

⋅−⋅⋅−⋅9999100011000110000

9998100021000410000

55. * Számítsd ki a törtek értékét! (Használd a nevezetes szorzatokat!!!)

a. =+⋅−⋅

319981639961319980

319980639961319981

b. =⋅

−−+65432054321

6543205432165432054321 22 )()(

56. ** Végezd el a műveleteket! (Ne feledkezz meg az összevonásról!)

a. ( )( ) =+−+ 22 bababa

b. ( )( ) =−+−+ 3223 babbaaba

c. ( )( ) =++− 22 bababa

d. ( )( ) =+++− 3223 babbaaba

Mit tapasztalsz az összevonások után? ...............................................................................

............................................................................................................................................

ELSŐ EPOCHAFÜZET

22

Magasabbfokú azonosságok

Harmadfokú azonosságok

57. Írd fel zárójel nélkül!

a. ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅+=+ babababa 3

b. ( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅−⋅−=− babababa 3

c. ( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+⋅+=+ 2222 3 aaaa

d. ( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅−⋅−=− 2222 3 aaaa

58. Párosítsd össze a kifejezéseket! (Nem biztos, hogy mindegyiknek van párja.)

a. 3223 33 yxyyxx −+− A. ( )32−x

b. 8126 23 −+− xxx B. ( )31 x−

c. 133 23 −+− xxx C. ( )31−x

d. 8126 23 +−+− xxx D. ( )3yx −

e. 133 23 +++ xxx E. ( )32 x−

59. * Végezd el a zárójelek felbontását!

a. ( ) =+ 3yx b. ( ) =− 3xz

c. ( ) =+ 31a d. ( ) =− 33b

e. ( ) =+ 332z f. =

−3

3

1

2

1qp

60. ** Egészítsd ki! (Visszaszorzással ellenőrizd, hogy helyesen gondolkodtál-e!)

( ) )....................(.........baba +=+ 33

( ) )....................(.........baba −=− 33

61. *** Bontsd szorzattá, amennyire csak lehet!

a. =+++ 133 23 aaa

b. =+ 83x

c. =−+− 326128 xxx

d. =− 273y

e. =+ 44 abba

f. =− 66 yx


23

**Negyed, ötöd, …. fokú azonosságok

62. Írd fel zárójel nélkül! A végeredmény rendezd a-ra csökkenő hatvány szerint!

a. ( ) ( )( ) ( )(babababa +=++=+ 34

b. ( ) ( )( ) ( )(2222 34 +=++=+ aaaa

c. ( ) ( )( ) ( )(babababa −=−−=− 34

d. ( ) ( )( ) ( )(2222 34 −=−−=− aaaa

e. ( ) ( )( ) ( )(babababa +=++=+ 45

f. ( ) ( )( ) ( )(babababa −=−−=− 45

Mit tapasztalsz? Hány tagú lesz az összeg? Mi mondható el az együtthatókról?

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

Fel tudnád írni, akár rögtön is?

( )6ba +

( )6ba −

( )62+a

( )62−a

ELSŐ EPOCHAFÜZET

24

Algebrai törtek

63. Bontsd szorzattá a számlálót és a nevezőt kiemeléssel vagy nevezetes szorzatok alkalmazásával, majd egyszerűsíts! (Ne feledkezz meg a kikötésről sem! Emlékszel, a nevezőben nem lehet nulla! Miért?)

a. =+ cdc

c2

b. =++

sts

bsrs2

c. =−−

12

2

a

aa

d. =+ efe

ef

e. =++nbna

nn2

f. ( ) =−−

2

2

3

9

b

b

g. ** =+

−−yx

yx 55

h. ** =−−

ab

ba 22

i. ** =−−x

x

2

42

j. ** =−

+−b

bb

3

962

k. ** =−

+−x

xx

23

9124 2

l. ** =−

+−43

92416 2

y

yy

64. Végezd el a törtek összevonását! (A lehető legkisebb közös nevezővel dolgozz!)

a. =−++3

1

6

52 mm b. =−+−

18

22

12

54 baba

c. =−−−+3

3

2

23

aaa d. =

−+

1

32

aa

e. =+−

+ aaa

21

32 f. =

++

− 12

13

xx

65. Dolgozz a füzetbe! Először alakítsd szorzattá amit lehet, utána egyszerűsíts, majd

végezd el a szorzásokat és osztásokat! (Tegyél kikötést is!)

a. * =⋅−a

b

b

aba 22

b. ** =

−++

−1

21011

21042

b

b:

b

b

c. * =+

⋅+

−xx

x

1

2

62

1 2

d. ** =−−⋅

+−+

−+

21119

1325

1312 2

x

x

x

x

x

x

e. * =++g

geg:

e

ege 22

f. *** =+

+

−−

2

33 ba:ab

ba

ba

g. * =+−

+−

3

2

3

42

x

x:

x

x

66. ** Dolgozz a füzetbe! Bontsd szorzattá a számlálót és a nevezőt, utána

egyszerűsítsd a törteket! (A szorzattá alakítás történhet kiemeléssel, vagy

nevezetes azonosság alkalmazásával.) A kikötéseket is írd fel!

a. =+++

+3223 33

22

yxyyxx

yx b. =

+++++

22

3223

233

yxyx

yxyyxx


25

c. =+

+++33

133 23

x

xxx d. =

+−−+−

44

81262

23

xx

xxx

e. =−

−+−44

3223 33yx

yxyyxx f. =

+−−+−22

3223

3632662

yxyx

yxyyxx

g. =−+−

−3993

5523

2

xxx

x

Nevezetes szorzatok:

I. 222 BAB2A)BA( ++=+

II. 222 BAB2A)BA( +−=−

III. 22 BA)BA()BA( −=−⋅+

IV. ( ) 32233 BAB3BA3ABA +++=+

V. ( ) 32233 BAB3BA3ABA −+−=−

** VI. ( )( )2233 BABABABA +−+=+

** VII. ( )( )2233 BABABABA ++−=−

Ezek nagyon hasznos összefüggések, sokszor egyszerűsítik a számolást, érdemes őket

fejből tudni!

ELSŐ EPOCHAFÜZET

26

Egyenletek, egyenlőtlenségek

Algebrai törtes egyenletek, egyenlőtlenségek

67. Oldd meg az egyenleteket! Először, ahol lehet, alakíts szorzattá a tanult

azonosságok vagy kiemelés segítségével, és egyszerűsíts! Ne feledkezz meg a

kikötésekről!

a. 232

42

+=+−

xx

x b. 57

4

1682

+=−

+−x

x

xx c. 34

25

25 2

+=−−

xx

xx

68. Milyen valós számokra teljesül? Ne felejtkezz el a kikötésékről!

a. 032 <−

x

x b. 0

5

32 >−+

x

x

c. 032

5 ≥−−

a

a d. 0

4

2 >−−

y

y

e. 01

4

1

3 <−

+−−

dd

d f. * 01

4

2 <++−

c

c

g. * 212

3 ≤+

−b

b h. * 2

2

43 <−−

x

x

69. **Mely valós számokra igaz?

a. ( )

04

43 2

≥−

−−x

x b.

( )0

5

95 2

>−

++−x

x

c. 0562

<++x

xx d. 0

542

≤−+−x

xx

70. Milyen valós számokra teljesülnek a következő egyenletek? (Kikötés, ellenőrzés!)

a. 23

12

21 −=

−−−

x

x

x

x b.

52

92

23

32

−−=

−−

x

x

x

x c.

82

2

4

1

−−=

− x

x

x

d. 29

72

72

+=−+

xx

x e. 0

16

16

4

4

4

42

=−

+−+−

+−

x

x

x

x

x

x

f. 5

3235

1 x

x

x

x

xx ++=−⋅− g.

( )913

32

31

2 −−=

+−−

−+

x

x

x

x

x

x h.

343

33

62−++=

−−

x

x

x

x

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

71. Add meg az egyenletek megoldását! (Ha lehet, ne használd a megoldóképletet!

Alakíts szorzattá, logikázz! Figyelj arra, hogy az összes megoldást megtaláld!)

a. 42 =x b. 225 x=− c. ( ) 45 2 =−x

d. 0962 =++ xx e. 0123 2 =−x f. ( )( )320 +−= xx

g. 24100 x= h. 2320 2 ,x = i. 0483 2 =+x j. ( ) 010 =− xx k. xx 10252 =+ l. 0105 2 =− xx


27

72. ldd meg az egyenleteket!

a. 062 =−− xx b. xx 282 =+ c. 012 =−x d. 052 =− xx e. 09168 2 =+− xx

f. ( ) ( )( ) 35322 −−−=− xxxx

g. ( ) ( )( ) ( ) 222 411121 xxxxxx −=−+−+−+

h. 3

4

10

111

3

72 −−=−− xxxx

i. ( ) ( )

53

513

232

1222 +−−=−− xxxx

A diszkrimináns

73. Az egyenletek megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány valós megoldása van a

következő egyenleteknek! (Vizsgáld a diszkriminánst!)

a. 0853 2 =+− xx b. 018122 2 =+− xx c. 01175 2 =−+ xx d. xxx 5732 −=+ e. xxx 7365 2 −=− f. xxx −=−− 10252 g. 048243 2 =+− xx h. 06115 2 =+− xx i. 01493 2 =++ xx j. xxx 513262 2 +=+ k. 22 12572 xxxx −−=− l. 22 2973 xxx −=−

74. ** Határozd meg az 0242 =++ xxa egyenletben az „a” paraméter értékét úgy, hogy

a. ne legyen megoldása a valós számok körében! b. egy valós gyöke legyen! c. két különböző valós gyöke legyen!

75. ** Határozd meg az 0182 2 =++ xbx egyenletben az „b” együttható értékét úgy, hogy

a. ne legyen megoldása a valós számok körében! b. egy valós gyöke legyen! c. két különböző valós gyöke legyen!

A gyöktényez ős alak

76. Mi a megoldása az alábbi egyenleteknek? (Ne feledd, egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla!)

a. ( )( ) 053 =+− xx b. ( )( ) 0842 =+−⋅ xx c. ( ) 0723 =+xx

d. ( )( ) 0713 =−− xx e. ( )( ) 05792 =−− xx f. ( )( )( ) 0321 =−−− xxx

77. Írj fel egy másodfokú egyenletet, melynek a gyökei

a. 3 és 5 b. 2 és -6 c. 0 és 11 d. 21

és 7

78. Írd fel szorzat alakban a másodfokú algebrai kifejezéseket!

a. =+− 652 xx b. =−+ 3072 xx c. =−− 642 2 xx d. =−+ 352 2 xx

ELSŐ EPOCHAFÜZET

28

79. Egyszerűsítsd az algebrai törteket! A kikötésről ne feledkezz meg!

a. =−

+−3

652

x

xx b. =

−++

307

102 xx

x

c. =−−

+642

662 xx

x d. =

−−+

24

352 2

x

xx

80. Egyszerűsítsd az algebrai törteket! (Kikötés!!!)

a. * =++−−

56

322

2

xx

xx b. * =

+−−−

34

322

2

xx

xx

c. ** =−+−

−+34

322

2

xx

xx d. ** =

−+−+

232

6332

2

xx

xx

e. ** =−+−

−+252

262

2

xx

xx f. ** =

+−−+

12112

211122

2

xx

xx

g. ** =−−−−1572

101332

2

xx

xx h. ** =

++−+

15112

5322

2

xx

xx

A Viète-formulák (avagy összefüggés a gyökök és az együtthatók között)

81. Add meg az egyenletek megoldását, majd keress összefüggés a kapott gyökök összege illetve szorzata, valamint az eredeti egyenlet között!

a. 0652 =+− xx b. 03072 =−+ xx c. 0642 2 =−− xx d. 0352 2 =−+ xx

82. Bizonyítsd be, hogy ha egy másodfokú egyenletben a főegyüttható értéke nulla (a = 1), akkor a két gyök összege az elsőfokú tag együtthatójának ellentettje ( bxx −=+ 21 ), a két gyök szorzata pedig a nulladfokú tag ( cxx =⋅ 21 )!

83. Ha a másodfokú egyenlet általános alakja: 02 =++ cbxax , és két gyöke 1x és 2x ,

akkor a gyökök és együtthatók között a

bxx 21 −=+ illetve

a

cxx 21 =⋅ összefüggések

állnak fenn. Ezeket Viète-formuláknak is nevezzük. Bizonyítsd be, hogy ez mindig teljesül!

84. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg az 021102 =++ xx egyenlet gyökeinek összegét és szorzatát!

Vegyes feladatok másodfokú egyenletekre

85. Oldd meg a ( ) ( )( ) 2245223 2 +−+=− xxx egyenletet az egész számok halmazán!

86. Oldd meg a ( ) ( ) ( )133136 22 −+=−−+ xxxxx egyenletet a valós számok halmazán!

87. Oldd meg a ( )( ) 643 −=−+ xx egyenletet a negatív számok halmazán!

88. Oldd meg a ( )( ) 9321 2 =+−+ xxx egyenletet a pozitív számok halmazán!


29

89. Tegyél kikötést, majd oldd meg az egyenleteket!

a. ( )

xx

x

xx

614112

2

2 −+=+

b. 1

21

2−

=−+ x

x

x

c. 31

11

62

=−

+− xx

d. * ( )

22

22

4432

2 −+=

+−−

−+

x

x

x

x

x

x

e. * 16

6444

44

2 −=

+−+

−+

xx

x

x

x

f. * 112

212

314

62

=−

−+

+− xxx

g. ** 3

73

43

19

142 +

=+−+

−+

− xx

x

xx

h. ** 3

73

43

19

142 +

=+−+

−+

− xx

x

xx

i. ** xxx

x

−−=

−−

−−

21

12

1123

62

j. *** 112

11

12

32 +−=

+−

+− x

x

xxx

90. *** Az 01272 =++ xax egyenlet egyik gyöke 31 −=x . Határozd meg a másik gyököt és a diszkriminánst! Írd fel az egyenlet gyöktényezős alakját!

91. *** Az 0102 2 =+− bxx egyenlet egyik gyöke 51 =x . Határozd meg a másik gyököt és a diszkriminánst! Írd fel az egyenlet gyöktényezős alakját!

92. Egy 12x18 cm-es kép körül egyenlő szélességű keret van. Határozd meg a keret szélességét, ha a keret területe a kép területének 75%!

93. Két egymás utáni páratlan szám szorzata 3599. Add meg a két számot! (Lehetnek negatív számok is!)

94. Egy téglalap alakú kert hosszabb oldala a rövidebb kétszeresénél 5 méterrel nagyobb. A kert területe 348 m2.

a. Milyen hosszú a két oldal? b. Hány méternyi kerítésre lesz szükség a bekerítésre, ha egy 3 m-es kapu helyét

kihagyják?

95. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm-rel hosszabb, mint a másik, területe pedig 6 cm2.

a. Mekkora a két befogó? b. Számítsd ki az átfogót és a háromszög kerületét is!

96. Két szomszédos pozitív számot összeszorozva a szorzat 729-cel lesz nagyobb a két szám közül a kisebbiknél. Melyik volt a két szám?

97. Egy társaság karácsonyi partit rendezett. Mindenki apró meglepetéssel készült a társaság többi tagja számára. Összesen 272 ajándék cserélt gazdát. Hányan voltak a partin?

98. Van-e olyan konvex sokszög, melynek 90 átlója van?

ELSŐ EPOCHAFÜZET

30

99. Egy négyzet egyik oldalát 6cm-rel megnöveljük, a másikat ugyanennyivel csökkentjük, így egy 64 cm2 területű téglalapot kapunk. Mekkora volt az eredeti négyzet oldala, és területe?

100. Egy téglalap egyik oldala 23 cm-rel hosszabb a másiknál. Átlója 37 cm.

a. Mekkorák az oldalai? b. Számítsd ki a kerületét és a területét!

101. Három egymást követő természetes szám négyzetének összege 1730. Melyik ez a három szám?

102. Bonts fel a 240-et két olyan pozitív egész szám szorzatára, melyeknek az összege 31!


31

A másodfokú egyenlet

Tétel: Nullára rendezett általános alakja:

0cbxax2 =++ , ahol Rc b, a, ∈ ; 0a ≠ .

Ennek megoldását az a2

ac4bbx

2

1,2

−±−= megoldóképlet segítségével kaphatjuk meg.

*** Bizonyítás1:

1. Emeljünk ki „a”-t: 0a

cx

a

bxa 2 =

++

2. A zárójelen belül alakítsunk teljes négyzetté: 0a

c

a4

b

a2

bxa

2

22

=

+−

+

3. A két utolsó törtet hozzuk közös nevezőre: 0a4

ac4b

a2

bxa

2

22

=

−−

+

4. Osszuk el az egyenletet „a”-val ( 0a ≠ ): 0a4

ac4b

a2

bx

2

22

=−−

+

5. Rendezzük: 2

22

a4

ac4b

a2

bx

−=

+

(Mivel a baloldalon egy nemnegatív szám áll, ezért csak akkor van megoldás, ha a jobboldali kifejezés is ilyen, vagyis 042 ≥− acb )

6. Ha ismerjük egy szám négyzetét, akkor négyzetgyökvonással az abszolút

értékéhez jutunk, ezért: 2

2

a4

ac4b

a2

bx

−±=+

7. Átalakítás után: 2

2

a4

ac4b

a2

bx

−±−=

8. Ahol lehet, gyököt vonunk: a

ac4b

a2

bx

2

2−±−=

A törteket közös törtvonalra írva, megkapjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét:

a2

ac4bbx

2

1,2

−±−=

A levezetésből az is kiderül, hogy a megoldások száma a acb 42 − kifejezés, vagyis a diszkrimináns előjelétől függ:

– ha ac4b2 − > 0, akkor két megoldás van,

– ha ac4b2 − = 0, akkor egy megoldás van,

– ha ac4b2 − < 0, akkor nincs megoldása az egyenletnek.

ELSŐ EPOCHAFÜZET

32

***Bizonyítás2:

1. Szorozzunk be „a”-val 022 =++ acabxxa

2. Alakítsunk teljes négyzetet 042

22

=+−

+ acbb

ax

3. A konstans tagokat vigyük át a másik oldalra acbb

ax −=

+42

22

4. Hozzuk közös nevezőre a jobb oldalt 4

4

2

22acbb

ax−=

+

5. Vonjuk gyököt 4

4

2

2 acbbax

−±=+

6. Vigyük át a 2

4

2

2 acbbax

−±−=

7. Hozzuk közös nevezőre 2

42 acbbax

−±−=

8. Osszuk el „a”-val a

acbbx , 2

42

21

−±−=

Gyöktényezős alak

Ha az 0cbxax2 =++ másodfokú egyenlet két gyökét 1x és 2x jelöli, akkor átírható

( )( ) 0xxxxa 21 =−− alakúra.

A Viète-formulák

Tétel: Ezek a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket adják meg:

a

bxx 21 −=+

a

cxx 21 =⋅

*** Bizonyítás:

a

b

a2

b2

a2

ac4bb

a2

ac4bbxx

22

21 −=−=−−−+−+−=+

( ) ( ) ( )a

c

a4

ac4

a4

ac4bb

a4

ac4bb

a2

ac4bb

a2

ac4bbxx

22

22

2

22222

21 ==−−=−−−=−−−⋅−+−=⋅


33

A másodfokú függvény

103. Vizsgáljuk meg a másodfokú alapfüggvényt, vagyis az ( ) 2xxf = függvényt! Rajzold le a füzetbe a grafikonját, majd döntsd el, hogy igaz-e, hogy …

a. a függvény grafikonja szigorúan monoton növekvő, ha az x értéke pozitív? b. a függvény grafikonja szigorúan csökkenő, ha az x értéke negatív? c. a függvény grafikonjának töréspontja van (nem „sima”) az x = 0 helyen? d. a függvényértékek között nincs sem legkisebb, sem legnagyobb? e. ha x helyére egyre nagyobb pozitív számot helyettesítünk, akkor az f(x) is

egyre nagyobb? f. ha x helyére egyre kisebb negatív számot helyettesítünk, akkor az f(x) is egyre

kisebb? g. a függvény minden valós számhoz nemnegatív számokat rendel? h. a függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre? i. a függvény értékkészletébe minden nemnegatív szám beletartozik? j. a függvény grafikonja a [2; 3] intervallumban a (2; 4) és (3; 9) pontokat

összekötő szakasz alatt van?

Egy függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában alulról nézve konvex, ha

grafikonjának bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a függvény

grafikonjának pontjai felett vannak.

Egy függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában alulról nézve konkáv, ha

grafikonjának bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a függvény

grafikonjának pontjai alatt vannak.

104. Milyen változást eredményeznek a hozzárendelés szabályában a megadott geometriai-transzformációk? (Kiindulási alap az ( ) 2xxf = .) Melyik esetben marad konvex a függvény, és mikor változik konkávvá?

a. Az x tengelyre vonatokozó tengelyes tükrözés: b. Az origóra vonatkozó középpontos tükrözés: c. A v(0; 2) vektorral való eltolás: d. A w(-3; 0) vektorral való eltolás: e. A u(1; -4) vektorral való eltolás: f. Függőleges irányú kétszeresre nyújtás:

ELSŐ EPOCHAFÜZET

34

105. Az ( ) 2xxf = függvény grafikonjának melyik geometriai transzformációival nyerhetők a következő függvények? Vizsgáld meg a függvények konvexitását is!

a. ( ) ( )23xxa −= b. ( ) 5xxb 2 += c. ( ) 2x2xc −=

d. ( ) ( ) 36xxd 2 −+= e. ( ) ( )2x3xe −= f. ( ) ( ) 43x2xf 2 −−=

106. Ábrázold függvény-transzformáció segítségével a következő függvényeket! (Először alakítsd át a hozzárendelési szabályt teljes négyzetté kiegészítéssel!)

a. ( ) 52x10xxa 2 +−= b. ( ) 12x6xxb 2 ++=

c. ( ) 2x4xxc 2 +−= d. ( ) 1x2xxd 2 −−−=

107. Ábrázold függvény-transzformáció segítségével a következő függvényeket!

a. ( ) 18x12x2xa 2 +−= b. ( ) 14x8xxb 2 −−−=

c. ( ) 2x4x2xc 2 −+−= d. ( ) 18x16x2xd 2 −+−=

108. Döntsd el az előző két feladat függvényeiről, hogy igaz-e rájuk az állítás!

a. Nincs zérushelye: b. Két zérushelye van:

c. Egy zérushelye van: d. Alulról nézve konvex:

e. Alulról nézve konkáv: f. Van minimuma:

g. Van maximuma:

109. Ábrázold függvény-transzformáció segítségével a következő függvényeket!

a. ** ( ) 11x8x2xa 2 ++= b. ** ( ) 9x12x3xb 2 ++−=

c. ** ( ) 1xx2

1xc 2 −+= d. ** ( )

3

1x4xxd

2 ++=

e. ** ( ) 62

x8xxe

2

+−= f. *** ( ) 8x6xxf 2 +−=

g. *** ( ) 29x8xxg 2 +−+= h. *** ( ) 33x4xxh 2 −+−=

A másodfokú függvény és a másodfokú egyenlet

110. Az 096 =++ xx2 egyenlet diszkriminánsa 0. Mit tudunk ennek alapján elmondani az ( ) 96 ++= xxxf 2 függvény grafikonjáról?

111. Számold ki az ( ) 40x14xxf 2 +−= függvény zérushelyét? Hol lesz ennek a függvénynek a szélsőértéke? (Maximum vagy minimum?)


35

112. Számold ki az ( ) 40x14xxf 2 −+−= függvény zérushelyét? Hol lesz ennek a függvénynek a szélsőértéke? (Maximum vagy minimum?)

113. Egy ( )xg függvényről tudjuk, hogy a zérushely kiszámítására felírt másodfokú egyenlet diszkriminánsa pozitív, és az 2x együtthatója pozitív. Milyen tulajdonságait lehet megállapítani ennek alapján? És ha még azt is tudjuk, hogy a két zérushely 3 és 5?

114. Hol lesz az ( ) xxxf 2 4−= függvény zérushelye? Milyen x-ekre lesz a függvény

értéke pozitív illetve negatív? Ábrázold az 04 >− xx2 egyenlőtlenség megoldását számegyenesen!

115. Egy másodfokú függvény két zérushelye -5 és 1. A másodfokú tag együtthatója negatív. Mit tudsz a függvényről ennek alapján? (Készíthetsz vázlatos ábrát is.)

116. Mit tudunk az ( ) cbxaxxf ++= 2 függvény a és c értékeiről és a zérushelyét megadó másodfokú egyenlet diszkriminánsáról akkor, ha…

a c D

a. a függvénynek maximuma van az 2−=x

pontban, és ez a pont a grafikonon az x tengely

alatt található.

b. a függvény grafikonja az y tengelyt pozitív és az x

tengelyt két helyen negatív értékekben metszi.

c. a függvény minimuma az x tengelyt érinti

d. a függvény minden értéke pozitív.

e. a függvény grafikonja áthalad az origón, és

maximuma az 3=x -ban van.

117. Válaszolj a kérdésekre úgy, hogy nem ábrázolod a függvényt! ( ) 40x14xxf 2 +−=

a. Hol metszi a függvény az x, illetve az y tengelyt? b. Maximuma vagy minimuma van? c. Melyik a szigorúan monoton növekvő szakasza? d. Melyik a szigorúan monoton csökkenő szakasza? e. Alulról nézve konvex vagy konkáv?

118. Válaszold meg az előző feladat kérdéseit az alábbi függvények esetében!

a. * ( ) 5x6xxa 2 −+−= b. * ( )3

4x5x2xb

2 ++⋅=

c. ** ( ) 124

x18x3xc

2

−−= d. ** ( ) 53

x2x4xd

2

−−=

ELSŐ EPOCHAFÜZET

36

A MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNY

Azokat a függvényeket nevezzük másodfokúnak, melyek az ( ) 2xxf = függvényből transzformáció segítségével állíthatók elő. Ezek közös jellemzői, hogy a hozzárendelési szabályt megadó képletben a változó legmagasabb hatványkitevője 2. Ilyenek pl.: ( ) 42 −= xxg ; ( ) 32 2 ++= xy ; 122 −+ xxxa ; ( )212 −xxa Az ilyen függvények grafikonját értéktáblázat vagy függvény-transzformáció segítségével tudjuk elkészíteni. A grafikon parabola formájú. A hozzárendelési szabály általánosan:

cbxax)x(f ++= 2.

Ha az „a” értéke negatív akkor a parabola konkáv (vagyis lefelé nyílik), ha az „a” értéke pozitív, akkor a konvex (vagyis felfelé nyílik). Az első esetben maximuma a második esetben minimuma van a függvénynek. A hozzárendelési szabályból az is leolvasható, hogy a grafikon az y tengelyt c-nél metszi. A függvény zérushelyét az 02 =++ cbxax egyenlet megoldásával kaphatjuk meg.

– Ez azt jelenti, hogy amennyiben az egyenlet diszkriminánsa negatív, akkor a nincs zérushelye, vagyis a grafikon nem metszi az x tengelyt.

– Ha a diszkrimináns 0, akkor egy zérushelye van, vagyis a grafikon érinti az x tengelyt.

– Ha a diszkrimináns pozitív, akkor két zérushelye van, vagyis két pontban metszi az x tengelyt.

A grafikon elhelyezkedését mutatja az alábbi ábra, a főegyüttható (a) előjele és a zérushelyek függvényében:

Két zérushely esetén a parabola szimmetriája miatt a szélsőérték helye a két zérushely számtani közepe.


37

119. Oldd meg grafikusan ( ) 2231 2 −=−− xx !

120. Oldd meg grafikusan ( ) xx −=++− 552 2 !

121. Oldd meg grafikusan ( ) 9254 2 −=−− xx !

122. Oldd meg grafikusan ( ) 344 2 −<−−x !

123. Oldd meg grafikusan ( ) 152 2 ≤++− x !

124. Oldd meg grafikusan 5522 =++− xx !

125. Oldd meg grafikusan 3342 =++ xx !

126. Oldd meg grafikusan az egyenlőtlenségeket!

a. 0xx ≤−+ 762 b. 0822 <−− xx

c. 0xx ≥+− 1982 d. 0xx >++ 672

e. 0xx ≥+− 1892 f. 4xx ≥+− 1892

127. Egy kisiparos gumikacsákat gyárt. Új fröccsöntőgépet állítanak be és az előállítási költséget a darabszám (x) függvényében az ( ) 350001502 +−= xxxk összefüggés írja le. Mekkora darabszám esetén lesz a legkisebb az egy darabra jutó költség és ez mennyi?

128. **Bontsd fel a 10-et két olyan összeadandóra, hogy a szorzatuk maximális legyen!

129. **Bontsd fel a harmincat úgy két összeadandóra, hogy a négyzetösszegük minimális legyen!

130. **24 m hosszú dróthálóval egy téglalap alakú területet szeretnénk leválasztani. Úgy, hogy az egyik oldala a ház falához csatlakozzon. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a területe maximális legyen?

131. **Egy 10 illetve 15 m-es derékszögű háromszögbe téglalapokat írunk, úgy, hogy a téglalap egyik derékszöge egybeesik a háromszögével, a többi csúcsa pedig a háromszög oldalain helyezkedik el. Mekkorák a maximális területű téglalap oldalai?

ELSŐ EPOCHAFÜZET

38

Hatványozás ismétlése

Műveletek hatványokkal

132. Add meg a számok legegyszerűbb alakját! Számolj prímtényezőkkel és a hatványozási azonosságokkal! (A b.-ben és d.-ben először végezz prímtényezős felbontást!) Dolgozz a füzetbe!

a. =⋅⋅⋅

45

23

710

1486 b. =

2904

4950

c. =⋅

⋅⋅24

23

1810

63215 d. =

14850

16200

133. ** Számolj gyorsan és ügyesen, számológép haszálata nélkül!

a. ..................=⋅ 24 52 b. ..................=⋅+⋅ 3435 4552

c. ..................=4

3

5

125 d. ..................=

⋅⋅⋅

356

34

253

756

A negatív kitevőjű hatvány

134. Írd fel a számokat negatív kitevő nélkül!

a. =−531

b. =

−4

5

2 c. =−3x d. ( ) =− −75

e. =−32

1 f. =

−5

4

3 g. =−4y h. ( ) =− −32

135. Számítsd ki!

a. =8

5

3

3 b. =

6

3

2

4 c. =6

2

5

25 d. =

3

3

2 e. =⋅

100

25 42

f. =

−1

3

1 g. =−1010, h. =

−5

2

1 i. =−210, j. =

0

7

39

136. Fejtsd meg, melyik számot kell

a. kilencedik hatványra emelni, hogy 38 -t kapjunk; b. hatodik hatványra emelni, hogy 427 -t kapjunk; c. tizenhatodik hatványra emelni, hogy 816 -t kapjunk; d. nyolcadik hatványra emelni, hogy 84 -nél kisebb számot kapjunk; e. harmadik hatványra emelni, hogy 122 -nél nagyobb számot kapjunk!


39

Számok normálalakja

137. Írd fel az adatokat normálalakban!

a. A Föld és az Androméda köd távolsága: 95 000 000 000 000 000 000 km (Az SI mértékrendszerben méterben kellene felírni, tedd meg ezt is!) b. A Nap tömege:

1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg c. Egy szénatom súlya:

0, 000 000 000 000 000 000 000 019 9 g d. 1 g hidrogénben

602 000 000 000 000 000 000 000 számú atom van.

138. Írd fel az adatokat normálalakban!

a. A Nap-Föld közepes távolság: 150 000 000 km = b. Az Egyenlítő hossza: 40 075 km = c. A proton tömege: 0,000 000 000 000 000 000 000 001 67g = d. Az elektron tömege: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 91g = e. A sárga fény hullámhossza: 0,000 000 58 m =

139. Az elektromos vonzást az 2

21

r

QQkF = Coulomb törvény írja le, ahol 9109 ⋅=k .

Mekkora erővel taszítja egy mást két 1 cm-re lévő elektron?

140. Mekkora erővel vonzza egymást egy 2 cm-re lévő proton és egy elektron?

141. A tömegvonzás általános törvénye 2

21

r

mmF γ= , ahol 1810381 ⋅=γ , . Mekkora erővel

vonzza a Nap a Földet?

142. ** Érdekes számítások:

a. Mekkora lenne a Föld tömege, ha színaranyból lenne? (A föld térfogata: kb. 321 m10 , az arany sűrűsége:

3dm

kg319, .)

b. Egy érett mákgubóban kb. 3000 mákszem van. Ideális körülmények között a következő nyáron akár mindegyikből nőhet egy új tő, amely legalább egy gubót tartalmaz. Mennyi idő múlva borítaná mák az egész földet, ha 100 mákszem felülete 1 mm2? (A szárazföldek felszíne összesen kb. 135 millió km2.)

c. A Kossuth rádió hullámhossza kereken 555 m. Hányszorosa ez a sárga fény hullámhosszának?

d. Hány méter egy fényév?

ELSŐ EPOCHAFÜZET

40

Vegyes feladatok hatványokra

143. Rendezd növekvő sorrendbe a számokat! (Alakítsd át úgy a számokat, hogy látható legyen a nagyságuk viszonya! A füzetbe dolgozz, az átalakításokat is írd le! A számológép használata itt nem érvényes.) Segítség: az a)-ban mindent írj át 3-nak a hatványaként, a b)-ben normálalakba!

a. 23

1; 13− ;

27

1;

2

3

1−

; 03 ; 3; 227 ;

4

3

1

;

4

3

1−

b. 0,000 025; 610671,3 −⋅ ; 710:476 ; 0,000 000 001 34 410⋅ ;

144. Rendezd növekvő sorrendbe!

525 ; 1010 32 ⋅ ; 33 52 ⋅ ; 1015

60;

44

8148⋅; 1010 555 +⋅ ; 55048⋅

145. Mit írhatunk a @ helyébe, hogy az egyenlőség igaz legyen?

a. 3632 =⋅ @@ b. 814

12 =@

@

c. 1000052 =⋅ @@ d. @

=3

2

108

723

3

e. 51224 >⋅ @@ f. 0405

1,

@

<

146. ** Vizsgáld meg, hogy az összeadás és a szorzás műveleti azonosságai – a felcserélhetőség (kommutativitás) és a csoportosíthatóság (asszocivitás) – érvényesek-e a hatványozás esetében is! Azaz igaz-e, hogy 53 35 = , illetve

( ) ( )4343 22 = ? (Állításodat indokold is!)

147. Tudjuk, hogy 4=x2 . Számold ki a következő kifejezések pontos értékét!

a. =+2x2 b. =−1x2 c. =x22 d. =x4

e. =−14x f. =+13x2 g. =−+ ++ 221 248 xxx

148. Tudjuk, hogy 9

1=x3 . Számold ki a következő kifejezések pontos értékét!

a. =+13x b. =−23x c. =x33 d. =x9

e. =−29x f. =+123 x g. =−+ ++ 322 3927 xxx


41

Hatványozás, hatványozási azonosságok

A hatvány:

na,

+∈ Nn

Egy olyan n-tényezős szorzat, melynek minden tényezője „a”. Ha n = 1, akkor aa =1 . Az „a” a hatvány alapja, „n” a kitevő, az eredmény, amit a művelet elvégzése után eredményként kapunk az a hatványérték. Hatványozási azonosságok:

Azonos a hatvány alapja: Azonos a hatvány kitevője:

1.) lklk aaa +=⋅ 3.) ( )kkk baba ⋅=⋅

2.) lkl

k

aa

a −= , lk > és 0≠a 4.) k

k

k

b

a

b

a

= és ;a 0≠ 0≠b

Hatvány hatványozása:

5.) ( ) lklk aa ⋅= ,

de vigyázz: lklk aaa ±≠± ; ( )kkk baba ±≠± ; ( ) lklk aa ≠

A negatív kitevőjű hatvány

Megállapodás szerint:

1a0 =

nn

a

1a =−

ahol „a” a 0 kivételével bármilyen szám lehet.

Miért állapodnak meg így a matematikusok? Azért, mert

Pl. 133 =a:a és a hatványozás azonosságai szerint

03333 aaa:a == − ; 25

3 1

aa

a = vagy 2535

3−− == aa

a

a

Ezzel a megállapodással a hatványozás azonosságai is érvényben maradnak (permanenciaelv).

Normál alak:

Ha egy számot, olyan kéttényezős szorzatként írunk át, hogy az egyik tényező 1 és 10 közé essen (lehet 1 is), a másik tényező pedig 10 valamilyen egész kitevős hatványa (akár pozitív, akár negatív) legyen.

ELSŐ EPOCHAFÜZET

42

Hatvány függvények

149. Ábrázold egy koordináta rendszerben az

( ) 2xxf = ( ) 3xxh =

( ) 4xxg = ( ) 5xxi =

Mit tapasztalsz? A hatvány kitevője és a konvexitás milyen kapcsolatban van?

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

Ha egy függvény tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre, akkor páros függvénynek hívjuk. Ebben esetben, ha adott két értelmezési tarománybeli elem, ami egymás ellentettje, ÉTx;x ∈21 és 21 xx −= , akkor ( ) ( )21 xfxf = . Ha egy függvény középpontosan szimmetrikus az origóra, akkor páratlan függvénynek hívjuk. Ebben esetben, ha adott két értelmezési tarománybeli elem, ami egymás ellentettje, ÉTx;x ∈21 és 21 xx −= , akkor ( ) ( )21 xfxf −= .

Milyen függvény a párosság szempontjából az abszolút érték ( )xxf = illetve a

reciprokfüggvény ( )x

xf1= ?

.......................................................................................................................................................


43

150. Ábrázold az ( ) 44 −= xxf ; ( ) 23 += xxg függvényeket és jellemezd!

ÉT ÉK ZH Szélső é. és hely

menete konvexitás paritás TM

( )xf

( )xg

ELSŐ EPOCHAFÜZET

44

Feladatgyűjtemény

Műveletek algebrai kifejezésekkel

f1. Az alábbi kifejezésekben végezd el a lehetséges műveleteket, és rendezd a tagokat csökkenő fokszám szerint! a. =+−+−−++−− aaaaaaaa 2154423 2222 b. =+−+−−+−−+−+− 2232323 2422424143 bbbbbbbbbb c. =−−−+−+−++− 2222222 345243 cdcdcddcdcdccd d. ( ) ( ) ( ) =−+−−−−+− 253123 222 aaaaaa e. ( ) ( ) ( ) ( )1231424332 2222 −−−++−−−−−−− xxxxxxxx f. ( ) ( ) ( )43432312 222 ++⋅−−+⋅++−⋅ aaaaaa g. ( ) ( ) ( ) ( )1142413222 2323223 −+−−−+−⋅−−+⋅++−⋅ xxxxxxxxxx

f2. Határozd meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét, ha a = -2, 3

2b =

a. 2310463412 −+−−++−+− abababa b. babbaab 3734134252 −−−+−−+−+

f3. Az alábbi kifejezésekben végezd el a lehetséges műveleteket!

a. ( ) ( ) ( ) ( )53243213 +⋅−−+⋅− aaaa b. ( ) ( ) 133123 2 −+−−⋅− aaaa c. ( ) ( ) ( ) ( ) abbaaaba 22238124 +−+⋅+−+⋅− d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abbaabaa 91136223 −⋅−+⋅−⋅−−⋅−

f4. Végezd el a négyzetre emeléseket! A füzetbe dolgozz! a. ( )27+a b. ( )28 b− c. ( )27 b+− d. ( )223 xy +

e. ( )234 yx − f. ( )2310 ba − g. ** ( )22 3zx + h. ** ( )223 32 yx −

i. **( )223 b5a8 −

j. **

22

4

1

3

2

+ yx k. **

2

3

7

6

5

− yx l. ** ( )22 yxz ++

m. ** ( )223 zyx −+ n. **

2

7

1

5

24

−− zyx

f5. Alakítsd át négyzetté!

a. =++ 1682 aa b. =+− 25102 bb

c. =++ 49142 cc d. =+− 400402 xx

e. ** =+− 10020 24 dd f. ** =++ 2510 48 xx

g. ** =++ 10536 96 yyxx h. ** =+− 632 366250 yxyx,

f6. ** Bontsd fel a zárójelet!

a. ( )33+a b. ( )312 −b

c. ( )32yx + d. ( )35 d−

e. *** ( )32 43 +c f. *** ( )323 24 xd −


45

f7. Végezd el a műveleteket!

a. ( ) ( ) =+⋅− 22 xx b. ( ) ( ) =−⋅+ 5252 yy

c. ( ) ( ) =+⋅− 7373 xx d. ( ) ( ) =−⋅+ 2525 aa

e. ** ( ) ( ) =+⋅− 6363 22 yy f. ** ( ) ( )=+⋅− 3232 5252 axax

f8. Végezd el a műveleteket!

a. ( ) ( ) ( ) ( ) =+++⋅−−− 22 2323213 aaaa

b. ( ) ( ) ( ) ( ) =−+++−⋅+ 22 7233434 xxxx

c. ( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅++−−+ 32324345 22 xxxx

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−−++−⋅+−− 222 121352525 xxxxx

f9. ** Bontsd fel a zárójelet és vonj össze!

a. ( ) ( )=++⋅− 11 2 xxx b. ( ) ( ) =+−⋅+ 2555 2 yyy

c. ( ) ( ) =+−⋅+ 1612943 2 xxx

f10. Egészítsd ki teljes négyzetté a kifejezéseket!

a. =−− 322 aa b. =++ 642 xx c. =++ 162 aa

d. =+− 2082 xx e. =+− 2102 aa f. =++ 50102 xx

g. =++ 31142 xx h. ** =+− 26162 2 xx i. ** =+−− 362 xx

j. ** =++− 1122 xx k. ** =++ 2123 2 xx l. ** =−−− 7205 2 xx

f11. Alakítsd szorzattá a kifejezéseket!

a. =+− aaa 23 23 b. =+− xxx 2106 23

c. =−++ bbbb 42884 234 d. =+− xxx 201535 23

e. =+− 234 396 aaa f. =+− 345 12244 xxx

g. =+− bababa 23223 10155 h. =−+ 436253 341717 abbaba

f12. ** A csoportosítás módszerével alakítsd szorzattá! a. =+−+ aabab 23 b. =+++ babxax 22

c. =+++ axxyax 1052 d. =−+− bxaxab 248

e. =+−− axbbxa 326 f. =−−+ abxbax 824

g. =+++ bxabax 815206 h. =−−+ abxabx 9420 22

f13. Alakítsd szorzattá a kifejezéseket!

a. =− 2516 2x b. =− 22 10049 ba

c. =− 22 964 xb d. =− 64 12136 yx

e. =+− 100202 xx f. =+− 498436 2 aa

g. =−116 4x h. =− 48116 x

i. =++ 6126 2 xx j. =+− xxx 36244 23

k. =++ 234 12123 xxx l. =++ 1582 xx

m. =−− 12xx2 n. *** =− 273a

o. *** =+ 643x p. *** =+ 33 12527 ba

f14. Számológép használata nélkül számítsd ki a műveletek eredményét!

a. =⋅ 002109989 b. =−−

22

22

274726

74526

c. =−⋅

⋅−⋅232154322543235432054323543255432154

ELSŐ EPOCHAFÜZET

46

f15. Az a és b számokról azt tudjuk, hogy az 23=+ ba és a⋅b = -7. Számítsd ki 22 ba + értékét!

f16. *** Mennyi az együtthatók összege az ( )20072 13 +− xx kifejezés polinom alakjában?

f17. *** Egy téglalap kerülete 74 cm. A téglalap minden oldalára kifelé négyzeteket

rajzolunk. A négy négyzet területének összege 1642 cm2. Mekkora a téglalap

területe?

f18. *** Két szám különbsége 2, a szorzatuk 7. A számok megadása nélkül határozd

meg a köbeik különbségét!

f19. Egyszerűsítsd a következő törteket!

a. =32

25

12

27

ba

ba b.

( )( ) =

−−

2623

3

4

xx

xx

c. ( )( ) =

−−

aa

aa

524

5322

d. =++

aa

aa

155

30103

24

e. =+−−

aa

aa

1010

883

35

f. =++

22

322

1062012xyyx

xyyx

g. =−−

xx

x

2012

2592

2

h. =−

+−2

2

41

144

x

xx

i. ** =−

+−−916

43682x

xyxy j. ** =

++++++

204153

12896

xaax

xaax

k. =++−+

3612

24202

2

xx

xx l. =

++−−

10113

20262

2

xx

xx

f20. Végezd el a következő szorzásokat és osztásokat! Egyszerűsíts!

a. =⋅ba

yx

yx

ba2

3

24

23

3410

5017

b. =6

6

42

25

8132

274

xy

ba:

yx

ba

c. =+−⋅

−+

yxx

yxy

yxy

xyx23

32

2

2

d. =+−

+−

43

32

2

34

414

3040

27

1520

bab

bab:

aba

baa

f21. Végezd el az algebrai törtek összevonását!

a. 521

25 x

xx+− b.

yyy

5

2

1

4

32 −+

c. 1

5762 +

−++

aaa

a d.

924

5

38

1

++

++

a

a

a

a

e. 510

32414

122

−−+

−+−

−+

x

x

x

x

x

x f.

2012

25

53

2

159

12

+−−

+−+

++

a

a

a

a

a

a

Egyenletek, egyenlőtlenségek

f22. Oldd meg az egyenleteket!

a. 22

42

2 =−

−− xx

x b. 3

32

34 =

++−

+−

x

x

x

x

c. 325

4242 =

+−−

+−

x

x

x

x d. 1

322

493 =

++−

−−

x

x

x

x

e. 43

432621 =

−−−

−−

x

x

x

x f.

10328

54

23

2 −−=

−+

+ xxxx


47

f23. Oldd meg az egyenlőtlenségeket!

a. 223 +−≤− xx b. 42131 −≥+⋅ xx

c. xx 2534 −≥+ d. 2

353

+<+ xx

e. ( ) ( ) xxx −>−−− 443243 f. ( ) ( ) ( )xxx −−⋅≥+⋅−−⋅ 21014312

g. 6

52

13

12 −≤−−− xxx h.

101

23

57 +≥+−− xxx

f24. Oldd meg a hiányos másodfokú egyenleteket!

a. 052 =− xx b. 072 =+ xx

c. 02 =x d. 1212 =x

e. 0492 =−x f. 0252 =+x

g. xx 82 = h. xx 22 −=


a. 0862 =+− xx b. 01242 =−+ xx

c. 027122 =++ xx d. 8111192 +=−+ xxx

e. 5926353 22 ++=+− xxxx f. 12105162 +=+− xxx

g. 0253 2 =−− xx h. 06113 2 =++ xx

i. 049142 =−+− xx j. 0456 2 =++− xx


a. ( )( ) 64322 −=−+−+ xxx b. ( )( ) ( ) xxxx 535321 −=+−−+

c. ( )

28

1341 2

=+−− xx d. x

x

xx =−−− 345

23

e. 12

223 +=+−+x

x

x

x

x f. 2

1

532 =−−−+

x

x

x

x

g. 23

23313 =

−−+

+−

x

x

x

x h. 3

212

21 =

+−−

−+

x

x

x

x

i. 91311

312

353

2 −+=

+−−

−+

x

x

x

x

x

x j. 3

15

13

112

2=

−++

++−

−+

x

x

x

x

x

x

f27. A megadott számhalmazon oldd meg az egyenleteket!

a. 25

100

5

5

5

52 −

=+−+

−+

xx

x

x

x; R∈x b. 0

168

41

412

2=

−+

−−−

++

xx

x

x

x; R∈x

c. 19

1131

1313

2 −=

++−

−+

xx

x

x

x; R∈x d. 2

14

5

12

43

12

12

2

=−

−−+−+

−+

x

xx

x

x

x

x; R∈x

e. *2

1

2

1

123

61 2 −

−−

=−

−−yyy

y;

-R∈y f. * 03

7

35

9

6122

2=

−++

+⋅−

−+⋅

a

a

a

a

a

a;

+∈ Ra

g. *b

b

b

b

b

b

36

12

24

1

123

2162 −

−−=+−−

−+

; Q∈b h. *2

1

42

14

222 −−

−=

+⋅

dd

d

dd; N∈d

f28. ** A c paraméter mely értékeire lesz az 045 2 =+− cxx egyenletnek a. két különböző valós megoldása?

b. egy valós megoldása?

c. Milyen c esetén nincs valós gyök?

ELSŐ EPOCHAFÜZET

48

f29. ** Az 0162 =−+ xax egyenletben határozzuk meg az a paraméter értékét úgy, hogy a. az egyenletnek az egyik megoldása x = -3 legyen!

b. az egyenletnek egy valós megoldása legyen!

c. az egyenletnek két különböző megoldása legyen!

d. az egyenletnek ne legyen valós megoldása!

f30. *** Az ( ) 03122 =−+⋅+− mxmmx egyenletben határozd meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az egyenletnek a. két különböző valós megoldása legyen!

b. egy valós gyöke legyen!

c. ne legyen valós megoldása!

f31. *** Bizonyítsd be, hogy az ( ) 01653525 22 =+++⋅+⋅− kkxkx egyenlet gyökeinek

különbsége k minden értékére ugyanakkora!

f32. *** Milyen összefüggés áll fenn az a, b, c számok között, ha a következő

egyenletnek van valós megoldása? Mi lesz ekkor a megoldás?

( ) ( ) 0322222 =+⋅+−⋅+⋅++ xcbaxcba

Gyökök és együtthatók

f33. Alakítsd szorzattá a másodfokú kifejezéseket!

a. =−+ 62 xx b. =++ 1272 bb

c. =+− 64162 xx d. =−+ 3522 aa

e. =++ 60162 yy f. =++ 17z7z2 2

g. =−− 932 2 xx h. =++ 98282 2 aa

i. =++ 483 2 aa j. =−+ 576 2 xx

k. =+−− 1892 2 bb l. =++− 41312 2 cc

f34. Írj fel olyan egyenletet, melynek gyökei a. 3 és 4 b. -2 és 7 c. -3 és -6 d. 1 és -5

e. 6 és -6 f. 21 és 12 g. 0 és -4 h. 21

és 25

i. 31

és 52

j. 31− és

54

k. 34

és 10

7 l.

87− és

9

13

f35. Írj fel olyan egész együtthatós másodfokú egyenletet, melynek egyik gyöke

a. 2 b. -3 c. 32

d. 43−

f36. Egyszerűsítsd a törteket!

a. 82

1272

2

−+++

xx

xx b.

1572

101332

2

−−−−

xx

xx c.

15112

5322

2

++−+

xx

xx d.

3148

313102

2

−+−−−

xx

xx

f37. ** A 01x5x2 2 =−+ egyenlet megoldása nélkül határozzuk meg a. a gyökök összegét b. a gyökök szorzatát c. a gyökök reciprokának összegét d. a gyökök négyzetösszegét


49

e. Írj fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei az adott egyenlet gyökeinek az ellentettjei!

f. Írj fel olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei kettővel kisebbek, mint az adott egyenlet gyökei!

f38. ** Határozd meg p értékét úgy, hogy az 0152 =++ pxx egyenlet gyökeire teljesüljön, hogy 342

221 =+ xx !

f39. *** Egyszerűsítsd a következő törteket!

a. 22

22

3432

yxyx

yxyx

+−−− b.

22

22

232352

yxyx

yxyx

−+−+

Lineáris függvények

f40. Ábrázold a következő valós számokon értelmezett függvényeket a derékszögű koordináta-rendszerben! a. 12 −xxa b. 32 +− xxa c. 63 −xxa d. 24 −xxa

e. 75 +− xxa f. 221 +xxa g. 1

31 −xxa h. 6

2

3 +− xxa

i. xx5

2a j. 4

5

2 +− xxa k. ( ) 142

1 +−xxa l. ( ) ( )1322 +−+ xxxa

f41. A képeken lineáris függvények grafikonját látod. Add meg a hozzárendelési szabályt!

a.

b.

c.

d.

ELSŐ EPOCHAFÜZET

50

e.

f.

g.

h.

f42. Döntsd el, hogy a P(0; -1), Q(1; 1) és R(2; 5) pontok melyike illeszkedik a következő egyenesekre! a. ( ) 13 −= xxf b. ( ) 12 −= xxg c. ( ) 12 += xxg

f43. Határozd meg a lineáris függvény hozzárendelési szabályát, ha áthalad a P(3; 3) és R(2; 0) pontokon! Mennyi a meredeksége? Hol metszi a tengelyeket?

Nemlineáris függvények

f44. Ábrázold a függvényeket! a. 2−xxa b. 1+xxa c. 3−xxa d. 4+xxa

e. 1+− xxa f. 1−− xxa g. 21 −+xxa h. 22 +−xxa

i. 34 −−xxa j. xx 2a k. 12 −⋅ xxa l. 32 −xxa

f45. Add meg a képeken látható grafikonokhoz tartozó hozzárendelési szabályt! a.

b.


51

c.

d.

f46. Ábrázold a következő intervallumokon értelmezett valós függvényeket!

a. 2

11 −−+ xxxa ; [ ]22;x −∈ b.

11

−−

x

xxa ; [ ]33;x −∈ és 1≠x

c. 12 −−+ xxxa ; [ ]23;x −∈ d. 21 −−+ xxxa ; [ ]32;x −∈

f47. Ábrázold a függvényeket! a. 42 −xxa b. 12 +xxa c. ( )23−xxa d. ( )22+xxa

e. 12 +−xxa f. ( )21−− xxa g. ( ) 11 2 −−xxa h. ( ) 41 2 +−− xxa

i. 22xxa j. 2

21

xxa k. 42 2 −xxa l. ( )222 −xxa

f48. Add meg a képeken látható grafikonokhoz tartozó hozzárendelési szabályt! a.

b.

c.

d.

ELSŐ EPOCHAFÜZET

52

e.

f.

f49. Döntsd el az előző feladat függvényeiről, hogy igaz-e rájuk az állítás! a. Nincs zérushelye: b. Két zérushelye van: c. Egy zérushelye van: d. Alulról nézve konvex:

e. Alulról nézve konkáv: f. Van minimuma: g. Van maximuma:

f50. Ábrázold a függvényeket!

a. x

x1

a b. 21 +x

xa c. 31 −x

xa d. 1

1−x

xa

e. 2

1+x

xa f. x

x2

1a g.

xx

2a h. 1

3

1 +−x

xa

f51. Oldd meg grafikusan az egyenlőtlenségeket! a. 0492 ≤−x b. 04002 <−x c. 0652 ≥−− xx d. 03522 >−+ xx

f52. ** Oldd meg grafikusan az egyenlőtlenségeket!

a. 07

52

≤++

x

x b. 0

4

1832

≥−

++−x

xx

c. 02

62

2

<−−−−

xx

xx d. 0242

62

2

<−−

−xx

x

10. évfolyam, els ő epochafüzet - suranyisz.husuranyisz.hu/acdc/matematika/elso_epocha/elso_epochafuzet_10_2013.pk.pdf · Összefüggések : nevezetes szorzatok, műveleti tulajdonságok,

Documents