10 - S UPERCONDUTIVIDADE P ROF.C ´ ESAR AUGUSTO DARTORA - UFPR E- MAIL : CADARTORA@ELETRICA . UFPR . BR C URITIBA -PR
Prof. Dr. C.A. Dartora
Roteiro do Capıtulo:
• Propriedades gerais de supercondutores
• Equacoes de London e Efeito Meissner
• Teoria Microscopica: Modelo BCS
• Fenomenologia: Teoria de Ginzburg-Landau
• Supercondutores Nao-Convencionais: High-Tc
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Propriedades gerais de supercondutores
⇒ A SC foi descoberta por Heike Kammerlingh Onnes em 1911.(Onnes ganhou o premio Nobel de Fısica em 1913 por suas desco-bertas em fenomenos de baixas temperaturas, que levou a producaodo helio lıquido.)
⇒ Sao caracterısticas gerais dos supercondutores:
• Abaixo de uma temperatura crıtica Tc a resistencia cai abrupta-mente para zero.
• Ha a expulsao total do campo magnetico do interior do materialsupercondutor, conhecido como Efeito Meissner.
• Existencia de correntes persistentes, ou supercorrentes, que naosofrem dissipacao.10 - Supercondutividade 3/32
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Comportamento da resistencia eletrica com a temperatura para umcondutor normal e um supercondutor:
⇒ Para um SC a resistencia cai abruptamente para zero abaixo deTc enquanto para um condutor normal ela nunca se anula.10 - Supercondutividade 4/32
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Efeito Meissner
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Elementos Supercondutores
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Equacoes de London⇒ Obtidas pelos irmaos London com base nas eqs. de Maxwell
macroscopicas, para permitir explicar a supercondutividade e o efeitoMeissner.
⇒ Consideremos a equacao de movimento para uma carga q demassa m na presenca do campo eletrico E, sem dissipacao:
dvdt
=qm
E . (1)
⇒ A dens. de corrente e definida como J = nqv onde n e adensidade volumetrica de cargas q. Supondo por simplicidade que nseja constante no tempo, podemos multiplicar toda a equacao acimapor nq para obter:
∂J∂t
=nq2
mE . (2)
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⇒ Considerando as equacoes de Maxwell macroscopicas:
∇ ·D = ρ , (3)∇ ·B = 0 , (4)
∇×E = −∂B∂t
, (5)
∇×H = J+∂D∂t
, (6)
podemos calcular o rotacional de (2) para relacionar esta com a leide Faraday (5):
∇×(
∂J∂t
)=
∂
∂t∇×J =
nq2
m∇×E =−nq2
m∂B∂t
. (7)
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⇒ Eliminando a derivada temporal ficamos com:
∇×J =−nq2
mB . (8)
⇒ Lembrando que B=∇×A, onde A e o vetor potencial magnetico,podemos obter a relacao de London entre a corrente e o potencial:
J =−nq2
mA . (9)
⇒ Esta ultima equacao quebra a simetria de gauge eletromagnetico,uma vez que para o regime invariante no tempo ∇ ·J = 0⇒∇ ·A =0!
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⇒ Levando em conta agora a Lei de Ampere ∇×H = J temos daeq. (8):
∇×J = ∇×∇×H =−nq2
mB
e utilizando ∇×∇×H = ∇(∇ ·H)−∇2H , B = µ0H finalmenteobtemos:
∇2B = k2B , (10)
onde
k2 =µ0nq2
m.
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⇒ Para um campo magnetico aplicado tangencial a superfıcie deum supercondutor: condicoes de contorno implicam a continuidadede B na superfıcie devendo B satisfazer a equacao (10).
⇒ Supondo o eixo z perpendicular a superfıcie do supercondutor,considerado semi-infinito na regiao z ≥ 0 e B = B0x para z < 0,temos no interior do supercondutor:
d2Bx(z)dz2 = k2Bx , Bx(0) = B0 . (11)
cuja solucao e da forma:
Bx(z) = B0e−kz , (12)
⇒ Efeito Meissner: o campo magnetico se extingue exponenci-almente para o interior do SC, as linhas de fluxo sao expulsas doSC.10 - Supercondutividade 11/32
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⇒ A distancia z = 1/k e o comprimento de penetracao de LondonλL:
λL =
√m
µ0nq2 . (13)
⇒ Tipicament q = −2e e m = 2me levando a ideia de que oseletrons formam pares.
⇒ No interior do supercondutor J = −k2A, ja que para camposestaticos e uniformes A = B× r/2.
⇒ O campo magnetico externo deve ser exatamente compensadono interior do supercondutor, para que Bx(z >> λL) = 0. Lem-brando que B = µ0(H+M), verificamos que M = −H, o que dauma susceptibilidade diamagnetica ideal χm =−1!
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Variacao do Campo Magnetico no Interior de um Supercon-dutor: Efeito Meissner
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Teoria Microscopica: O Modelo BCS
⇒ Descrita por Bardeen, Cooper e Schrieffer em 1957: premio Nobelde Fısica por essa teoria. Os ingredientes essenciais sao os seguintes:
• Existencia de uma interacao atrativa entre eletrons devido a in-teracao eletron-fonon.
• A interacao promove a formacao de pares de Cooper (estados dedois eletrons ”ligados”) que e energeticamente favoravel em relacaoaos eletrons nao correlacionados.
• Preve a existencia do gap supercondutor, permite inferir a tem-peratura crıtica abaixo da qual o material se torna supercondutor, ocampo magnetico crıtico que destroi a supercondutividade e o com-portamento do calor especıfico.
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⇒ Representacao diagramatica da interacoes eletron-fonon:
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⇒ O modelo BCS mais simples negligencia interacao coulombianaeletron-eletron. Nos metais considera um gas de eletrons represen-tados por ondas planas uniformes, interagindo com o gas de fononsda rede cristalina:
H =∑kσ
εkσc†kσ
ckσ+∑q
hωqa†qaq+∑
kqσ
(Dqc†k−qσ
ckσa†q+D∗qc†
k+qσckσaq) .
(14)
onde ckσ(c†kσ) sao operadores fermionicos que aniquilam(criam)
eletrons de momento hk e spin σ = (↑,↓), aq(a†q) sao operadores
bosonicos que aniquilam(criam) fonons de momento hq.
⇒ Por simplicidade pode-se assumir que na ausencia de camposmagneticos εkσ = h2k2/(2m) e na presenca do campo um termo deZeeman da forma σµBB0 deve ser acrescentado.
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⇒ O termo
He = ∑kσ
εkσc†kσ
ckσ
e a energia do gas de eletrons;
⇒ O termo seguinte no hamiltoniano,
Hph = ∑q
hωqa†qaq
representa o gas de fonons;
⇒ Ja o ultimo termo e o de interacao eletron-fonon:
Hel−ph = (Dqc†k−qσ
ckσa†q+D∗qc†
k+qσckσaq)
representa troca de energia e momento entre eletrons e fonons,com emissao e absorcao de fonons.10 - Supercondutividade 17/32
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⇒ Aplicando uma transformacao de similaridade descrita em:
C. Kittel, The Quantum Theory of Solids.
eliminam-se as variaveis de fonons em baixas temperaturas, dei-xando o Hamiltoniano apenas com termos eletronicos. Restam aenergia dos eletrons livres e a interacao e-e mediada por troca defonons virtuais:
H = ∑kσ
εkσc†kσ
ckσ−V ∑kk′qσσ′
c†k−qσ
ckσc†k′+qσ′ck′σ′ . (15)
onde assume-se que V > 0, dando origem a uma interacao atrativaeletron-eletron.
⇒ O modelo BCS assume a existencia de medias nao nulas paraoperadores da forma:
c†k↑c
†−k↓ e ck↑c−k↓.
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⇒ Uma nova simplificacao coloca o hamiltoniano de BCS na formaa seguir:
H = ∑k
εk(c†k↑ck↑+ c†
−k↓c−k↓)−V ∑kk′
c†k′↑c
†−k′↓c−k↓ck↑ . (16)
⇒ Admite-se uma teoria do campo medio definido:
∆ =V ∑k′〈ck′↑c−k′↓〉 .
resultando em:
H = ∑k
εk(c†k↑ck↑+ c†
−k↓c−k↓)−∑k(∆c†
k↑c†−k↓+∆
∗c−k↓ck↑) . (17)
⇒ Deve-se diagonalizar o Hamiltoniano acima atraves das transf.de Bogoliubov. O parametro ∆ resulta ser a energia de ligacao dopar de Cooper, formado por um eletron k ↑ e outro −k ↓.10 - Supercondutividade 19/32
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⇒ Da analise deduz-se que:
∆(0) = 1.76kBTc ,
e ainda proximo de Tc
∆(T )∆(0)
= 1.74(
1− TTc
)1/2
, (18)
e ainda existe um campo crıtico cuja energia de Zeeman associadapromove a quebra do par de Cooper, cujo comportamento e dadopor:
Hc(T )Hc(0)
≈ 1−(
TTc
)2
.
⇒ O modelo BCS preve o efeito isotopico verificado experimental-mente, onde a temperatura crıtica varia com a massa do isotopo.10 - Supercondutividade 20/32
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Comportamento da energia do gap supercondutor Eg em funcao datemperatura:
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Fenomenologia de Ginzburg-Landau
⇒ Proposta por Vitaly Ginzburg e Lev Landau nos anos 1950, paraexplicar a supercondutividade no espırito da teoria de transicoes defase de Landau.
⇒ Supoe-se a existencia de um parametro de ordem ψ, que deverepresentar o condensado macroscopico de pares de Cooper. A Ha-miltoniana desse sistema e dada por:
H =1
2m|(−ih∇−2eA)ψ|2+α|ψ|2+ β
2|ψ|4+Hn+
B2
2µ0, (19)
onde Hn e o hamiltoniano da fase normal.
10 - Supercondutividade 22/32
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A densidade de corrente e dada por:
J =iem(ψ∗∇ψ−∇ψ
∗ψ)− 4e2
m|ψ|2A . (20)
⇒ O parametro |ψ|2 descreve a densidade de pares de Cooper noestado supercondutor.
⇒ Considerando a energia potencial do estado supercondutor, naausencia de campos eletromagneticos, temos:
U = α|ψ|2+ β
2|ψ|4 .
Minimizando esta energia temos:
dUd|ψ|
= |ψ|(α+β|ψ|2) = 0
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• As solucoes que minimizam U sao:
• |ψ| = 0 sera um mınimo local se α > 0 e β >. Nesse caso oestado normal e favorecido.
• |ψ|=√−α/β se−α/β> 0. Nesse caso o estado supercondutor
e favorecido.
• Pode-se supor a expansao do parametro de ordem em torno datemperatura crıtica Tc, que em primeira ordem resulta em:
|ψ|2 =−α/β = ψ0(T −Tc)
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• A teoria de G-L descreve satisfatoriamente a SC do tipo I (transicaoabrupta entre estado normal e SC) e do tipo II (permite existenciade linhas de fluxo quantizada e vortices).
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Elementos Supercondutores e suas temperaturas crıticas:
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Supercondutores Nao-Convencionais e High-Tc
A Teoria BCS e tambem denominada convencional e preve:
• a existencia de pares de Cooper mediada por fonons
• os pares estao no estado singleto de spin
• e incompatıvel com ordem magnetica e idealmente apresentamdiamagnetismo perfeito.
• preve como maxima temperatura crıtica admissıvel Tc ∼ 35K.
⇒ Os supercondutores que nao se encaixam nas definicoes dateoria BCS sao ditos Nao-Convencionais, dentre os quais existemos de High-Tc.
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⇒ Principais Tipos de Supercondutividade Nao-Convencional
• Supercondutores de Altas Temperaturas, ou High-Tc: os paresde Cooper nao podem ser formados atraves de interacao por fononsvirtuais, que limita Tc a aproximadamente 35K. Todos os supercon-dutores de Tc > 35K sao denominados High-Tc.
• Os High-Tc foram descobertos por Bednorz e Muller, que ga-nharam o premio Nobel de Fısica em 1987 pela descoberta. Saoexemplos de High-Tc materiais ceramicos chamados cupratos:
HgBa2Ca2Cu3Ox tem a mais alta temperatura ate agora com 135K.
• Alem disso os supercondutores que envolvem ordem magnetica,estado tripleto e pareamento por outros mecanismos que nao sejamfonons. Exemplos sao os supercondutores Iron-based. Podem ser ounao de high-Tc.
10 - Supercondutividade 29/32
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⇒ Evolucao da descoberta de Supercondutores High-Tc
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Temperaturas crıticas para alguns supercondutores
10 - Supercondutividade 31/32
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Referencias deste Capıtulo
[1] Ashcroft/Mermin, Solid State Physics
[2] C. Kittel, Introduction to Solid State Theory.
[3] C. Kittel, The Quantum Theory of Solids.
[4] O. Madelung, Introduction to Solid State Theory.
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