10 Integral indefinida y definida - Jaime Pinto 10 Integral.pdf · 2010. 9. 26. · 10 Integral indefinida y definida ... Aplicaciones de la integral definida 43. Se estima que el

288 SOLUCIONARIO

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10 Integral indefinida y definida

■ Piensa y calcula

Calcula: a) y = x5, y' = b) y' = 3x2, y = c) y = e5x, y' = d) y' = e3x, y =

Solución:

a) y' = 5x4 b) y = x3 c) y' = 5e5x d) y = e3x13

1. Reglas de integración

1. ∫3(3x – 5)7 dx

Solución:

Se aplica la integral de una función polinómica.

+ k

2. ∫Solución:

Se aplica la integral de una función racional.

– + k

3. ∫ dx

Solución:

Se aplica la integral de una función logarítmica.

9 L|x + 3| + k

4. ∫ex dx

Solución:

Se aplica la integral de una función exponencial.

ex + k

5. ∫

Solución:


L |x + 3| + k

6. ∫ (x2 – 4x) dx

Solución:

– 2x2 + k

7. ∫26x dx

Solución:


+ k

8. ∫Solución:


L |x2 – 1| + k

9. ∫4 dx

Solución:

+ k8x√x

3

√x

12

x dxx2 – 1

26x – 1

3 L 2

x3

3

dxx + 3

9x + 3

16(3x + 5)2

dx(3x + 5)3

(3x – 5)8

8

● Aplica la teoría

TEMA 10. INTEGRAL INDEFINIDA Y DEFINIDA 289

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10. ∫Solución:

Se aplica la integral de una función irracional.

+ k

11. ∫6x3 dx

Solución:

+ k

12. ∫ + + dx

Solución:

– – + k

13. ∫ dx

Solución:

+ k

14. ∫2x(x2 + 1) dx

Solución:

+ x2 + k

15. ∫ dx

Solución:

– + k

16. ∫ (x3 – 6x2 + 1) dx

Solución:


– 2x3 + x + k

17. ∫x(x2 + 5) dx

Solución:

+ + k

18. ∫

Solución:


2 + k

19. ∫ex/2 dx

Solución:


2 ex/2 + k

20. ∫ + k

Solución:

dx

21. ∫ dx

Solución:


– + k

22. ∫ (4x + 1)5 dx

Solución:


+ k

23. ∫Solución:

L x + k

24. ∫3 · 23x dx

Solución:


+ k

25. ∫Solución:


– + k

26. ∫ dxex

ex – 5

16(2x – 1)3

dx(2x – 1)4

23x

L 2

dxx

(4x + 1)6

24

1(x – 3)3

3(x – 3)4

–13(x3 + 1)

x2

(x3 + 1)2

√x – 1

dx

√x – 1

5x2

2x4

4

x4

4

1(x + 3)

1(x + 3)2

x4

2

3x3√x4

3√x

1x2

1x

√x

)2x3

1x2

1

2√x(

3x4

2

√7x + 5

7 dx

2√7x + 5

290 SOLUCIONARIO

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Solución:

L |ex – 5| + k

27. ∫ dx

Solución:


L |x2 – 3x + 5| + k

28. ∫2 dx

Solución:


+ k

29. ∫Solución:

Se aplica la integral de una función trigonométrica.

arc sen 2x + k

30. ∫e–7x dx

Solución:


– + k

31. ∫Solución:


–L |1 – x| + k

32. ∫ (x4 – 2x – 5) dx

Solución:


– x2 – 5x + kx5

5

dx1 – x

e–7x

7

2 dx

√1 – (2x)2

5x 5√2x3

5√2x

2x – 3x2 – 3x + 5


Halla, contando, el área de la 2ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cadacuadradito es una unidad cuadrada.

Solución:

Tiene exactamente 7,5 u2

2. Integral definida Y

X

5

+2

y = x – 1

x = 5x = 2

[ ]

33. Calcula ∫2

–1(5 – x2) dx

Solución:

a) F(x) = 5x –

b) F(–1) = – , F(2) =

c) ∫2

–1(5 – x2) dx = 12 u2

34. Calcula ∫1

3

(–2x + 1) dx

Solución:Y

X1 3

223

143

x3

3

Y

X– 1 2



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a) F(x) = x – x2

b) F(1) = 0, F(3) = –6

c) ∫3

1(5 – x2) dx = –6 u2

35. Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la

integral definida ∫2

–1|x| dx

Solución:

a) ∫2

–1|x| dx = ∫

0

–1(–x) dx + ∫

2

0x dx

Sea F(x) = ∫(–x) dx

F(x) = –

F(–1) = – , F(0) = 0

∫0

–1(–x) dx = u2

G(x) = ∫x dx

G(x) =

G(0) = 0, G(2) = 2

∫2

0x dx = 2 u2

∫2

–1|x| dx = ∫

0

–1(–x) dx + ∫

2

0x dx = = 2,5 u2

36. Calcula el valor de ∫0

1

Solución:

a) F(x) = – e–x2

b) F(0) = – , F(1) = – e–1

c) ∫1

0= (1 – e–1) = 0,32 u21

2x dxex2

12

12

12

Y

X10

x dxex2

52

x2

2

12

12

x2

2

Y

X– 1 2

■ Piensa y calcula Halla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo delmargen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada.

Solución:

La amarilla, 5 u2 aproximadamente, y la verde 2 u2 aproximadamente.

En total, unas 7 unidades cuadradas.

3. Cálculo de áreasY

X431

y = x2 – 2x – 3

x = 1 x = 4

A1

A2

292 SOLUCIONARIO

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37. Halla el área de la región plana limitada por la gráficade f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rec-tas x = 0, x = 3

Solución:

Raíces: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 3

∫(x3 – 3x2 – x + 3) dx = – x3 – + 3x

∫1

0(x3 – 3x2 – x + 3) dx = u2

∫3

1(x3 – 3x2 – x + 3) dx = –4 u2

Área = = 5,75 u2

38. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2xy la parábola y = 2x – x2

Solución:

Raíces: x1 = 1, x2 = 3

∫(–x2 + 4x – 3) dx = – + 2x2 – 3x

∫3

1(–x2 + 4x – 3) dx = u2

Área = = 1,33 u2

39. Halla el área de la región plana limitada por la gráficade y = x3 – 4x y el eje X

Solución:

Raíces: x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2

∫(x3 – 4x) dx = – 2x2

∫0

–2(x3 – 4x) dx = 4 u2

∫2

0(x3 – 4x) dx = –4 u2

Área = 8 u2

40. Calcula el área de la región limitada por la curva

y = y las rectas y = 0, x = 2, x = 3

Solución:

Raíces: x = 0

∫ dx = L |x3 – 2|

∫3

2dx = (L 25 – L 6) u2

Área = (L 25 – L 6) = 0,48 u2

41. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dibuja el recinto limitado por las curvas:

y = ex + 2, y = e–x, y = 0, x = –2, x = 0

b) Halla el área del recinto considerado en el aparta-do anterior.

Solución:

Raíces: x = –1

∫–1

–2ex + 2 dx = e – 1 u2

∫0

–1e–x dx = e – 1 u2

Área = 2e – 2 = 3,44 u2

Y

X–1

13

13

x2

x3 – 2

13

x2

x3 – 2

X

Y

32

x2

x3 – 2

x4

4

Y

X2

0– 2

43

43

x3

3

Y

X1

3

234

74

x2

2x4

4

Y

X0 3

1



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42. Dada la función, definida en los números reales salvoen x = 0

f(x) = 3 – x –

calcula el área de la región plana limitada por la gráficade f(x) y el semieje positivo X

Solución:

Raíces: x1 = 1, x2 = 2

∫ 3 – x – dx = 3x – – 2L|x|

∫2

13 – x – dx = – 2 L 2 u2

Área = – 2 L 2 = 0,11 u232

32)2

x(x2

2)2x(

X

Y

21

2x


Un depósito recoge agua de un grifo a una velocidad que sigue la función f(x) = 2x, donde f(x) se expresa en litros por mi-nuto, y x, en minutos.

Calcula la integral ∫0

5

2x dx e interpreta el resultado.

Solución:

∫0

5

2x dx = 25

Se recogen 25 litros de agua en los 5 primeros minutos.

4. Aplicaciones de la integral definida

43. Se estima que el ritmo de crecimiento de un feto du-rante el embarazo viene dado por la función:

f(x) = – +

donde x se mide en semanas y f(x) en centímetrospor semana. Calcula cuánto ha crecido el feto en las30 primeras semanas.

Solución:

a) El crecimiento será:

∫0

30– + dx

b) F(x) = ∫ – + dx = – +

c) F(30) = 45; F(0) = 0

d) |F(30) – F(0)| = |45 – 0| = 45

Ha crecido 45 cm

x2

10x3

600)x5

x2

200()x

5x2

200(x5

x2

200


294 SOLUCIONARIO

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44. Una fábrica produce objetos de decoración. La fun-ción de ingreso marginal viene dada por:

i(x) = 5 +

donde x es el número de objetos vendidos e i(x) vie-ne dado en euros.

¿Cuál es el incremento de los ingresos obtenidoscuando se pasa de vender 100 a vender 200 objetos?

Solución:

∫200

1005 + dx = 500 + 3(L 101 – L 51) = 502,05 €

45. La función que mide el caudal que sale de un depósi-to es:

f(x) = 10 – x

donde f(x) está dado en litros por segundo, y x, ensegundos.

¿Qué cantidad de agua sale del depósito entre el se-gundo 4 y el segundo 8?

Solución:

Volumen = ∫8

4(10 – x) dx = 16 litros.

46. En un municipio se estima que el ritmo de generaciónde basura viene dado por la función:

f(x) = 10 000 · e0,5x

donde x se mide en años y f(x) en toneladas por año.Si se considera x = 0 el primer año en el que se iniciael estudio, ¿cuánta basura se generará en el municipiodurante los 5 primeros años?

Solución:

a) El crecimiento será:

∫0

5

10 000 e0,5x dx

b) F(x) = ∫10 000 e0,5x dx = 20 000 e0,5x

c) F(5) = 243 650; F(0) = 20 000

d) |F(5) – F(0)| = |243 650 – 20 000| = 223 650

Se han generado 223 650 Tm

Y

X4 8

)3x + 2(

Y

1

20

X

40 60 80 100 120 140 160 180 200

2345

3x + 2


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Ejercicios y problemas

Preguntas tipo test

PAU

Calcula la siguiente integral indefinida:

∫ x + 2

dx

– + k

x + 3

+ k

+ 10x – + k

+ L |x| + k

Sea la función f(x) = 3x2 – 6x. Si f '(x) representa suderivada, encuentra una primitiva F(x) de f(x) queverifique F(2) = f '(3)

x3 – 3x2 + 5 x3 – 3x2 + 16

x3 – 3x2 + 13 x3 – 3x2

Calcula el área de la región plana acotada limitada porlas gráficas de las funciones reales de variable real:

f(x) = x2 – x; g(x) = 1 – x2

4/3 u2 8/9 u2

8/3 u2 9/8 u2

Dada la función:

f(x) =

calcula el área del recinto limitado por los ejes decoordenadas y la gráfica de la función.

2/3 u2

1/3 u2

1 u2

No se puede calcular el área porque la funciónes discontinua en x = 0

Dada la función:

f(x) =

calcula el área limitada por la gráfica de la funcióny = f (x), las rectas x = –3, x = 2 y el eje de abscisas.

31/3 u2

11/3 u2

35/3 u2

No se puede calcular el área porque la funciónes discontinua en x = –3

Calcula el área de la región limitada por la parábolay = x2 y la recta y = –x + 2

9 u2

3 u2

21/2 u2

9/2 u2

Dada la función f(x) = –x3 – 2x2 + 3x, calcula el áreaencerrada por la gráfica de la función f(x) y por eleje OX

32/3 u2

71/6 u2

45/4 u2

7/12 u2

Una alfombra de flores lleva 21 rosas por cada 4 dm2

de superficie. Se quiere rellenar de rosas una partede la alfombra cuya gráfica está limitada por las fun-ciones:

y = –x2 + 4x + 3 ; y = 3

Si se mide en metros y cada rosa cuesta 0,3 €,¿cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra?

1 680 €

3 570 €

840 €

1 890 €

Sea la función f(x) = 3x2 – 6x. Calcula el área limita-da por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3

8 u2

4 u2

6 u2

2 u2

Halla el área limitada por la recta y = –4x + 4 y laparte positiva de los ejes de coordenadas.

2 u2 4 u2

1/2 u2 8 u2

✘

10

✘

9

✘

8

✘

7

✘

6

✘

2 si x Ì –3x2 si –3 < x < 11 si x Ó 1

°§¢§£

5

✘

x2 – 1 si x Ì 0(x – 1)2 si x > 0

°¢£

4

✘

3

✘

2

x4

4

25x

x3

3✘

)5x(1

3

x4

4x4

4

)5x(

1

Contesta en tu cuaderno:

296 SOLUCIONARIO

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1. Reglas de integración

47. ∫4(4x – 1)5 dx

Solución:


+ k

48. ∫Solución:


– + k

49. ∫ (2x + 7)2 dx

Solución:

+ k

50. ∫e– x dx

Solución:


–e–x + k

51. ∫Solución:


L |x – 1| + k

52. ∫ dx

Solución:

– + k

53. ∫2– 4x dx

Solución:


– + k

54. ∫Solución:


L |x2 + 9| + k

55. ∫ dx

Solución:

+ k

56. ∫Solución:


2 + k

57. ∫ dx

Solución:

2 + k

58. ∫ dx

Solución:

+ k

59. ∫e4x – 7 dx

Solución:

+ k

60. ∫ (5 – 2x)4 dx

Solución:

– + k

61. ∫ – + dx

Solución:

– + + + kL |x2 + 3|

23

2x21x

)xx2 + 3

3x3

1x2(

(5 – 2x)5

10

e4x – 7

4

3 L |x2 – 5|2

3xx2 – 5

√x2 – 1

2x

√x2 – 1

√3x

3 dx

√3x

–3x – 9

3(x – 9)2

12

x dxx2 + 9

2–4x

4 L 2

52x2

5x3

dxx – 1

(2x + 7)3

6

14(x – 1)4

dx(x – 1)5

(4x – 1)6

6


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62. ∫ (10x4 + 2x3 – x – 1) dx

Solución:


2x5 + – – x + k

63. ∫x(x + 1)2 dx

Solución:

x4 + x3 + x2 + k

64. ∫ dx

Solución:


+ k

65. ∫ex/3 dx

Solución:


3ex/3 + k

66. ∫ dx

Solución:

x2 – 3x + L |x| + k

67. ∫ 3x2 + 1 – + dx

Solución:

Se aplica la integral de las operaciones.

x3 + x – L |x + 2| – + k

68. ∫ (2x – 1)3 dx

Solución:


+ k

69. ∫3xex2 dx

Solución:

+ k

70. ∫5 · 7– 5x dx

Solución:


– + k

71. ∫Solución:


– + k

72. ∫ (2x + e5x) dx

Solución:

x2 + + k

73. ∫ dx

Solución:


L |x3 + 5x – 1| + k

74. ∫ x + dx

Solución:

+ L |x| + k

75. ∫ (x + 1)3 dx

Solución:

+ k(x + 1)4

4

x2

2

)1x(

3x2 + 5x3 + 5x – 1

e5x

5

1x + 7

dx(x + 7)2

7–5x

L 7

3ex2

2

(2x – 1)4

8

2x4

)8x5

1x + 2(

12

x2 – 3x + 1x

5x 5√x3

8

5√x3

12

23

14

x2

2x4

2

298 SOLUCIONARIO

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76. ∫ dx

Solución:


+ k

77. ∫23x dx

Solución:

+ k

78. ∫2x dx

Solución:

+ k

79. ∫e5x dx

Solución:


+ k

80. ∫Solución:


L |5x + 4| + k

81. ∫ (6x2 – x + 2) dx

Solución:

2x3 – x2 + 2x + k

82. ∫x3x2 dx

Solución:

+ k

83. ∫xe–x2 dx

Solución:

– + k

84. ∫ dx

Solución:

2 L |x + 1| + k

85. ∫ x3 + x2 – 8x + 1 dx

Solución:


+ – 4x2 + x + k

86. ∫ (x + ) dx

Solución:

+ + k

2. Integral definida

87. Calcula ∫2

5( + 1) dx

Solución:

a) F(x) = + x

b) F(2) = 3, F(5) =

c) ∫5

2+ 1 dx = = 8,25 u2

88. Calcula ∫1

3

(x2 – 2x – 4) dx

334)x

2(454

x2

4

Y

2 5

X

x2

2x√x3

x2

2

√x

x3

4x4

4

)34(

2x + 1

e–x2

2

3x2

2 L 3

12

5 dx5x + 4

e5x

5

3(x2 – 1) 3√x2 – 1

4

3√x2 – 1

23x

3 L 2

3(5x + 1) 3√5x + 1

20

3√5x + 1


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Solución:

a) F(x) = – x2 – 4x

b) F(1) = – , F(3) = –12

c) ∫3

1(x2 – 2x – 4) dx = – = –7,33 u2

El área es negativa porque el recinto está debajo del eje X

89. Sea f : � 8 � la función definida por f(x) = |x2 – 1|

a) Esboza la gráfica de f

b) Calcula ∫0

2

f(x) dx

Solución:

∫2

0|x2 – 1| dx = ∫

1

0(–x2 + 1) dx + ∫

2

1(x2 – 1) dx

Sea F(x) = ∫(–x2 + 1) dx

F(x) = – + x

F(0) = 0, F(1) =

∫1

0(–x2 + 1) dx = u2

G(x) = ∫(x2 – 1) dx

G(x) = – x

G(1) = – , G(2) =

∫2

1(x2 – 1) dx = u2

∫2

0|x2 – 1| dx = ∫

1

0(–x2 + 1) dx + ∫

2

1(x2 – 1) dx = 2 u2

90. Calcula ∫0

e

1 + dx

Solución:

a) F(x) = x + L|x|

b) F(e) = e + 1; F(1) = 1

c) ∫0

e

1 + dx = F(e) – F(1) = e

3. Cálculo de áreas

91. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica def(x) = x3 – 4x, el eje de abscisas y las rectas x = –1,x = 2

Solución:

Raíces: x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2

∫(x3 – 4x) dx = – 2x2

∫0

–1(x3 – 4x) dx = u2

∫2

0(x3 – 4x) dx = –4 u2

Área = = 5,75 u2

92. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de lasfunciones

y = 2 – x4 y = x2

Solución:

Raíces: x1 = –1, x2 = 1

∫(–x4 – x2 + 2) dx = – – + 2xx3

3x5

5

Y

X1–1

234

74

x4

4

Y

X2

0–1

)1x(

)1x(

43

23

23

x3

3

23

23

x3

3

Y

X0 1 2

223

143

x3

3

Y

X31

300 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.


∫1

–1(–x4 – x2 + 2) dx = u2

Área = = 2,93 u2

93. Dada la función f(x) = 4 – x2, calcula el área encerradaentre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.

Solución:

Raíces: x1 = –2, x2 = 2

∫(4 – x2) dx = 4x –

∫2

–2(4 – x2) dx = u2

Área = = 10,67 u2

94. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de lafunción f(x) = –4x3 + 5, el eje de abscisas, la rectax = –1 y la recta x = 1

Solución:

Raíces: x = = 1,08

∫(–4x3 + 5) dx = –x4 + 5x

∫1

–1(–4x3 + 5) dx = 10 u2

Área = 10 u2

4. Aplicaciones de la integral definida

95. El caudal de un grifo viene dado por la función:

f(x) = 1 + 2x

donde x se mide en minutos y f(x) en litros por minuto.

a) Escribe la función que expresa la cantidad de aguaque arroja el grifo al cabo de x minutos.

b) ¿Cuánta agua arroja el grifo durante la quinta hora?

Solución:

La función será:

a) F(x) = ∫(1 + 2x) dx = x + x2

∫4

5

(1 + 2x) dx

b) F(5) = 30; F(4) = 20

c) |F(5) – F(4)| = 10

El grifo ha arrojado 10 litros.

96. La función de ingreso marginal de un producto, en mi-llones de euros, es:

i(x) = 15 – 2x

donde x es el número de unidades vendidas en miles.

a) ¿Qué ingreso se obtiene por la venta de 2 000 uni-dades?

b) ¿Cuál es el ingreso adicional al pasar de 2 000 a 3 000unidades vendidas?

Solución:

∫2

0(15 – 2x) dx = 26 millones de euros.

∫3

2(15 – 2x) dx = 10 millones de euros.

97. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartir-se. La parcela es la región plana limitada por la curva

y = y la recta y = (x – 1)

Calcula el área de la parcela.

Solución:

Área = ∫5

1( – ) dx = = 1,33 u24

3x – 1

2√x – 1

Y

X1 5

12√x – 1

3√102

Y

X1–1

323

323

x3

3

Y

X2–2

4415

4415


© G

rupo

Edi

toria

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ño, S

.L.

98. Calcula tres primitivas de la función:

y = x

Represéntalas. ¿En qué se parecen?

Solución:

y =

y = + 1

y = – 3

Todas las curvas tienen en común que son traslaciones ver-ticales de la integral sin constante.

99. Dada la función:

y = – x + 1

a) calcula su integral indefinida.

b) halla la primitiva que pasa por el punto P(4, – 1)

c) dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en elapartado anterior.

Solución:

a) ∫ (–x + 1)dx = – + x + k

b) – + 4 + k = –1

k = 3

y = – + x + 3

c)

100. Calcula la integral de la función:

f(x) = x3 – 4x

Solución:

Es la integral de un polinomio.

– 2x2 + k

101. ∫ dx

Solución:

+ k

102. ∫ + 3x2 dx

Solución:

L |x| + x3 + k


y = ex + 2

Solución:

Es la integral de una función exponencial.

ex + 2 + k

104. ∫ dx

Solución:

– L |x| – + k

105. ∫ x + dx

Solución:

– + k


f(x) =

Solución:


(x – 1) + k√x – 123

√x – 1

1x

x2

2

)1x2(

2x

x2

2

)x3 – x + 2x2(

)1x(

–12e2x

1e2x

x4

4

Y

X

x2

2

42

2

x2

2

Y

X

x2

2

x2

2

x2

2

Para ampliar

107. Calcula ∫0

3

dx

Solución:

a) F(x) = L |x + 1|

b) F(0) = 0, F(3) = L 4

c) ∫3

0dx = L 4 = 1,39 u2

108. Sea la función f(x) = 2x3 + bx2 + ax – 5

a) Halla los valores de a y b, de forma que f(x) tengaun máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2

b) Halla el área de la región limitada por la gráfica f(x) yel eje X entre x = 0 y x = 3

Solución:

a) f '(x) = 6x2 + 2bx + a

En los puntos en los que tiene el máximo y el mínimo,la primera derivada se anula.

Se obtiene el sistema:

ò a = 12, b = –9

y = 2x3 – 9x2 + 12x – 5

b) Raíces: x1 = 1, x2 =

• F(x) = – 3x3 + 6x2 – 5x

• F(0) = 0, F(1) = – , F(5/2) = – , F(3) = –

• Área = = 3,19 u2

109. Sea la función f(x) = 3x – x3

Halla el área de la región limitada por el eje X y dichafunción.

Solución:

Raíces: x1 = – , x2 = 0, x3 =

a) F(x) = – +

b) F(– ) = , F(0) = 0, F( ) =

c) Área = = 4,5 u2

110. Considera las funciones f, g : � 8 � definidas por:

f(x) = 6 – x2, g(x) = |x|, x é�

a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas f y g

b) Calcula el área del recinto descrito en el apartadoanterior.

Solución:

a) Dibujo:

b) Raíces: x1 = –2, x2 = 2

∫0

–2(6 – x2 + x) dx =

∫2

0(6 – x2 – x) dx =

Área = = 14,67 u2

111. Calcula el valor de a, positivo, para que el área encerra-da entre la curva y = ax – x2 y el eje de abscisas sea 36.Representa la curva que se obtienen para dicho valorde a

443

223

223

Y

X2–2

92

94√3

94√3

3x2

2x4

4

Y

X0– √

—3

√—3

√3√3

5116

32

7532

32

x4

2

Y

X13

5–2

52

°¢£

a + 2b + 6 = 0a + 4b + 24 = 0

1x + 1

Y

X3

1x + 1

302 SOLUCIONARIO

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Solución:

ax – x2 = 0 ò x = 0, x = a

∫a

0(ax – x2) dx = 36 ò a = 6

y = 6x – x2


a) Dibuja la región limitada por la curva de ecuacióny = x(3 – x) y la recta de ecuación y = 2x – 2

b) Halla el área de la región descrita en el apartado an-terior.

Solución:

a) Gráfica:

b) Raíces: x1 = –1, x2 = 2

Área = ∫2

–1(–x2 + x + 2) dx = = 4,5 u2

113. Halla los valores de m para que el área de la región li-mitada por la parábola y2 = x y la recta y = mx sea 1

Solución:

Raíces: x1 = 0, x2 =

∫ 0

1/m2

( – mx) = 1

m =

114. Calcula el área de la región limitada por la curva y = ex

y las rectas x = 0 y x = 2

Solución:

a) ∫ex dx = ex

b) F(2) = e2; F(0) = 1

c) Área = ∫0

2ex dx = |F(2) – F(0)| = e2 – 1 u2

115. Halla el valor del parámetro a sabiendo que el área li-mitada por la gráfica de la parábola y = x2 – ax y el

eje X es

Solución:

x2 – ax = 0 ò x = 0, x = a

∫a

0(x2 – ax) dx =

|a3| = 64

a = 4

a = –4

323||

323

Y

X2

2

3√62

6

√x

Y

X1—

m2

1m2

94

Y

X2

–1

Y

X0 6

304 SOLUCIONARIO

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116. Calcula tres primitivas de la función:

y = – x

Represéntalas. ¿En qué se parecen?

Solución:

y = –

y = – + 3

y = – – 1

Todas las curvas tienen en común que son traslaciones ver-ticales de la integral sin constante.

117. Dada la función: y = ex

a) calcula su integral indefinida.

b) halla la primitiva que pasa por el punto P(1, 1)

c) dibuja la función inicial y la primitiva que se pide en elapartado anterior.

Solución:

a) ∫ ex dx = ex + k

b) e1 + k = 1 ò k = 1 – e ò y = ex + 1 – e

c)


f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x

Solución:

Es la integral de un polinomio.

– x4 + + 3x2 + k


f(x) =

Solución:

Se aplica el método de integración de funciones racionales.

La descomposición es:

x – 3 +

La integral es:

– 3x + 2 L |x| + kx2

2

2x

x2 – 3x + 2x

x3

3x5

5

Y

X

Y

X

x2

2

x2

2

x2

2

Problemas

Y

X40

Y

X0– 4


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y = e– x

Solución:

Es la integral de una función exponencial.

–e–x + k

121. La recta que pasa por los puntos (0, – 6) y (1, 0) (obser-va el dibujo) es la gráfica de la función derivada segundaf’’ de una cierta función f: � 8 �. Se sabe que el origenpertenece a la curva y = f(x) y que en ese punto la rec-ta tangente tiene pendiente igual a 3. Determina unaexpresión de la función f

Solución:

f "(x) = 6x – 6

f '(x) = 3x2 – 6x + k1

f '(0) = 3 ò k1 = 3

f '(x) = 3x2 – 6x + 3

f(x) = x3 – 3x2 + 3x + k2

f (0) = 0 ò k2 = 0

f(x) = x3 – 3x2 + 3x

122. Se considera la función real de variable real definida por:

f(x) =

Calcula el valor de a > 0 para el cual se verifica la igual-

dad ∫0

a

f(x) dx = 1

Solución:

∫a

0dx = L (a2 + 1)

Se resuelve la ecuación y se toma a > 0:

L (a2 + 1) = 1 ò a =

123. Calcula el valor de a > 0 para que ∫0

a

dx = 3

Solución:

∫a

0= L (a + 1)

L (a + 1) = 3 ò a = e3 – 1

124. Se consideran las funciones f(x) = x2 – 2x + 3,g(x) = ax2 + b

a) Calcula a y b para que las gráficas f(x) y g(x) seantangentes en el punto de abscisa x = 2

b) Para los mismos valores de a y b, halla el área limita-da por las gráficas de las funciones y el eje vertical Y

Solución:

a) a = , b = 1

b) Área:

∫2

0dx = = 1,33 u24

3x2 – 4x + 4

2

X

Y

0 2

12

Y

2

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

4 6 8 10 12 14 16 18 20

X

dxx + 1

1x + 1

Y

0,5

0,5

1

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

X

√e2 – 112

12

xx2 + 1

xx2 + 1

Y

X

Y

Xy = f ''(x)

306 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas125. Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b, g(x) = –x2 + c

a) Determínense a, b y c sabiendo que las gráficas deambas funciones se cortan en los puntos (–2, –3) y(1, 0)

b) Calcula el área de la región limitada por las gráficasf(x) y g(x)

Solución:

a) f(x) = x2 + 2x – 3, g(x) = –x2 + 1

b) Área:

Área = ∫1

–2(–2x2 – 2x + 4) dx = 9 u2

126. Halla el área del recinto delimitado por la curvay = x2 + 4x + 5 y la recta y = 5

Solución:

Área = ∫0

–4(–x2 – 4x) dx = = 10,67 u2

127. Sea la función f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x

Calcula el área determinada por la gráfica f(x), el eje ho-rizontal y las rectas x = –1 y x = 2

Solución:

Raíces: x1 = –1, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 3

a) F(x) = – x4 + + 3x2

b) F(–1) = , F(0) = 0, F(2) =

c) Área = = 6,53 u2

128. Se quiere dividir la región plana encerrada entre la pará-bola y = x2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual áreamediante una recta y = a. Halla el valor de a

Solución:

Aplicando el cálculo integral, se tiene:

∫1

–1(1 – x2) dx = u2

Si y = a, y = x2

x2 = a ò x1 = – , x2 =

La mitad de es

∫0

√–a

(a – x2) dx =

= ò a =


a) Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivosde coordenadas y las curvas:

y = x2 + 1, y = e y = x – 1

b) Halla el área del recinto considerado en el apartadoanterior.

Solución:

a) Recinto:

b) Área del recinto.

∫1

0(x2 + 1) dx =

43

Y

X210

2x

3√22

13

2a√a3

13

23

43

√a√a

43

Y

X

9815

7615

2215

x3

3x5

5

Y

X– 1 320

323

X

Y

– 4 0

X

Y

– 2

1


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∫2

1– x + 1 dx = – + L 4

Área = + L 4 = 2,22 u2


a) Dibuja el recinto limitado por la curva y = ,

la recta tangente a esta curva en el punto de abscisax = 1 y el eje de abscisas.

b) Calcula el área del recinto considerado en el aparta-do anterior.

Solución:

a) Recta tangente:

y =

b) Área del recinto.

∫3

1– dx =

∫5

3dx = 1

Área = = 1,67 u2

131. De la función f : � 8 � definida por:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un

punto de inflexión en (0, 0) y que: ∫0

1

f(x) dx =

Calcula a, b, c y d

Solución:

Si tiene un máximo relativo en x = 1, la primera derivadase anula para x = 1

3a + 2b + c = 0

Si tiene un punto de inflexión en (0, 0), pasa por ese pun-to; por tanto, d = 0 y la segunda derivada se anula en x = 0

b = 0

De donde se obtiene: c = –3a

La función es:

f(x) = ax3 – 3ax

∫1

0(ax3 – 3ax) dx =

– =

a = –1

f(x) = –x3 + 3x

Para profundizar

132. La recta de ecuación 3x – y + 2 = 0 es tangente a la pa-rábola de ecuación y = ax2 + c en el punto P(1, 5)

a) Calcula las constantes a y c de la ecuación de la pará-bola describiendo el procedimiento que sigas.

b) Dibuja la región plana limitada por el eje Y, la parábo-la y la recta tangente.

c) Calcula el área de la región descrita en el apartadoanterior.

Solución:

a) La pendiente de la recta es m = 3

La derivada de la parábola es y' = 2ax

Por tanto, para x = 1 ò 2a = 3 ò a =

Si la parábola pasa por el punto P(1, 5), se deduce que

c =

b) Dibujo:

c) ∫1

0+ – 3x – 2 dx =

Área = = 0,5 u212

12)7

23x2

2(

Y

X0 1

72

32

Y

X0 1

54

5a4

54

54

53

5 – x2

23)9 – x2

45 – x

2(

Y

X

1 3 5

5 – x2

9 – x2

4

56

12)2

x(

308 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas133. La figura siguiente representa la gráfica de una función

f : [0, 7] 8 �

Sea F : [0, 7] 8 � la función definida por:

F(x) = ∫0

x

f(t) dt

a) Calcula F(4) y F(7)

b) Dibuja la gráfica F(x) explicando cómo lo haces.

Solución:

a) F(4) es el área comprendida entre el eje X y la funciónen el intervalo [0, 4], F(4) = 4 u2

F(7) se obtiene como F(4), pero hay media unidad máspositiva y una y media negativa, F(7) = 3 u2

La fórmula de F(x) es:

• En el intervalo [0, 4] es:

f(t) = 1 ò F(x) = x


f(t) = –x + 5 ò F(x) = – + 5x + k1

con la condición de que debe pasar por el puntoP(4, 4). De donde se obtiene que k1 = –8

F(x) = – + 5x – 8


f(t) = –1 ò F(x) = –x + k2

con la condición de que debe pasar por el puntoP(6, 4). De donde se obtiene que k2 = 10

F(x) = –x + 10

F(x) =

b)

134. Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = x3 – 3xen el punto de abscisa x = –1

Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y lacurva dada, y calcula su área.

Solución:

La recta tangente en el punto de abscisa x = –1 es y = 2

∫2

–1(2 – x3 + 3x) dx =

Área = = 6,75 u2

135. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = ex,y = e–x y la recta x = 1

Solución:

∫1

0(ex – e–x) dx = e + – 2

Área = e + – 2 = 1,09 u2

136. En la figura aparece una curva que representa una fun-ción polinómica de grado 2. Los puntos de intersecciónde la curva con el eje X son el A(1, 0) y el B(3, 0).Ade-más, el área limitada por la curva y los dos ejes coor-denados vale 4/3. Halla la expresión de dicha función.

Solución:

f(x) = a(x – 1)(x – 3)

f(x) = a(x2 – 4x + 3)

a∫1

0(x2 – 4x + 3) dx = – ò a = –1

f(x) = –x2 + 4x – 3

43

Y

X

1e

1e

Y

X10

274

274

Y

X2–1

Y

X

x si 0 Ì x Ì 4x2

– — + 5x – 8 si 4 < x < 62

–x + 10 si 6 Ì x Ì 7

°§§¢§§£

x2

2

x2

2

Y

X


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137. Dibujar con la mayor exactitud posible las gráficas delas funciones f(x) = 3x2 – 6x y g(x) = –x2 + 6x – 8. Re-presenta el recinto limitado por ambas funciones y ob-tén su área.

Solución:

Raíces: x1 = 1, x2 = 2

∫2

1(–4x2 + 12x – 8) dx =

Área = = 0,67 u2

138. Representa gráficamente el recinto plano limitado porla curva y = x3 – x y su recta tangente en el punto deabscisa x = 1. Calcula su área.

Solución:

La ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 0) es:y = 2x – 2

∫1

–2(x3 – 3x + 2) dx =

Área = = 6,75 u2

139. Determina el área comprendida entre las curvas y = x2,y = y la recta que pasa por los puntos A(2, 4) yB(4, 2)

Solución:

Raíces: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4

∫ 1

2(x2 – ) dx = 3 –

∫ 2

4(6 – x – ) dx = +

Área = = 3,67 u2

140. Calcula el valor de a > 0 para que:

∫0

3

dx = 5

Solución:

∫ 0

3

dx = L (3 + a) – L a = L

L = 5 ò = e5 ò a =

141. Se consideran las curvas y = x2 e y = a, donde a es unnúmero real comprendido entre 0 y 1(0 < a < 1).Ambascurvas se cortan en el punto (x0, y0) con abscisa positi-va. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambascurvas desde x = 0 hasta x = x0 es igual a la encerradaentre ellas desde x = x0 hasta x = 1

Solución:

Al punto (x0, y0) se le puede llamar ( , a)

∫ 0

√–a

(a – x2) dx = ∫1

√–a(x2 – a) dx

a = a – a +

a =

142. Considera la función f : � 8 � definida por:

f(x) = 2 + x – x2

Calcula a, a < 2, de forma que ∫a

2

f(x) dx = 92

13

13√a

23√a

23

√a

Y

X

0,2

0,2

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

0,40,60,81,0

3e5 – 1

3 + aa

3 + aa

3 + aa

1x + a

1x + a

113

23

4√23√x

4√23

√x

X

Y

1 2 4

√x

274

274

Y

X1

–2

23

23

Y

X12

310 SOLUCIONARIO

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Solución:

∫2

a(2 + x + x2) dx =

– – 2a + = ò a = –1, a =

El valor a < 2 es a = –1

143. De la gráfica de la función polinómica f : � 8 � dadapor:

f(x) = x3 + ax2 + bx + c

se conocen los siguientes datos: que pasa por el origende coordenadas y que en los puntos de abscisas 1 y –3tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo ycuarto cuadrantes.

a) Calcula a, b y c

b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la funciónf(x) y el eje de abscisas, y calcula su área.

Solución:

a) a = 3, b = –10, c = 0

f(x) = x3 + 3x2 – 10x

b) Dibujo:

Raíces: x1 = –5, x2 = 0, x3 = 2

F(x) = + x3 – 5x2

F(–5) = – , F(0) = 0, F(2) = –8

Área = = 101,75 u2

144. Determina una constante positiva a sabiendo que la figu-ra plana limitada por la parábola y = 3ax2 + 2x, la rectay = 0 y la recta x = a tiene área (a2 – 1)2

Solución:

La parábola pasa por el origen de coordenadas.

∫a

0(3ax2 + 2x) dx = a4 + a2

Por tanto:

a4 + a2 = (a2 – 1)2

Resolviendo esta ecuación, se obtiene:

a = , a = –

Solo se toma el resultado positivo, como indica el enun-ciado del problema.

√33

√33

Y

aX

4074

3754

x4

4

Y

1

10

20

30

2 3– 3 – 2 – 1– 6 – 5 – 4

X

72

92

103

a2

2a3

3

92

Y

X–1 2


© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

149. ∫ (x3 – 6x2 + 1) dx

150. ∫ dx

151. ∫ dx

152. ∫5 · 75x dx

153. ∫ dx

154. ∫ (ex/5 + x2) dx

Solución:

Solución:

1(x + 3)2

Solución:

Solución:

1(3x + 5)2

Solución:

5x3

Solución:

Windows Derive Linux/Windows

145. Calcula la siguiente integral indefinida:

∫ (e5x + x2) dx

146. Calcula la integral:

F(x) = ∫ (2x – 5) dx

Halla la primitiva que pase por el punto P(4, 3).Representa la primitiva obtenida para comprobarque pasa por dicho punto.

147. Dibuja y calcula el área del recinto limitado por eleje X y la función f(x) = x2 – 2x – 3 en el intervalo[1, 4]

148. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemáticas, curso y tema.

Solución:Resuelto en el libro del alumnado.



Paso a paso

Practica

312 SOLUCIONARIO

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155. Calcula la integral: F(x) = ∫ (3x2 – 4x – 1) dx

Halla la primitiva que pase por el punto P(2, 1).Representa la primitiva obtenida para comprobarque pasa por dicho punto.

156. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la si-guiente integral definida.

∫25(x – 1) dx

Observa y justifica el signo del valor obtenido.


∫14(x2 – 6x + 4) dx

Observa y justifica el signo del valor obtenido.

Solución:

Solución:

Solución:

Linux/Windows


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rupo

Edi

toria

l Bru

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.L.


∫4

–4|x| dx

159. Dibuja el recinto limitado por las siguientes fun-ciones y calcula su área.

f(x) = 4 – x2 g(x) = 2x + 1

Solución:

Solución:

Windows Derive

314 SOLUCIONARIO

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160. Dibuja y calcula el área del recinto limitado por eleje X y la función:

f(x) = –x3 + x2 + 2x

161. Una fábrica produce chips para ordenadores. Lafunción de ingreso marginal viene dada por:

i(x) = 3 +

donde x es el número de chips vendidos e i(x) vie-ne dado en euros. Si vende 10 000 unidades, ¿cuá-les son los ingresos obtenidos?Dibuja la región correspondiente a los ingresos ob-tenidos.

Solución:

2x + 1

Solución:

Linux/Windows


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162. Calcula el área encerrada por las funciones:f(x) = x3 + 3x2, g(x) = x + 3

163. En una ciudad de 500 000 habitantes, se estimaque la velocidad de enfermos por día que hay enuna epidemia de gripe sigue la función:

f(x) = 2x + 20donde x se mide en días y f(x) en miles de personascada día.Calcula el número de personas que enfermarán en-tre el segundo día y el quinto día.

Solución:

Solución:

Windows Derive

316 SOLUCIONARIO

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164. El ritmo de crecimiento de una determinada po-blación de peces viene dado por la función:

f(x) = –x2 + 2x + 8donde x se mide en meses y f(x) en miles de pecespor cada mes.Calcula el crecimiento de peces en los tres prime-ros meses.

165. Se estima que el ritmo de crecimiento de un fetodurante el embarazo viene dado por la función:

f(x) = – +

donde x se mide en semanas y f(x) en centímetrospor semana. Calcula cuánto ha crecido el feto enlas 30 primeras semanas.

Solución:

x5

x2

200

Solución:

Linux/Windows

BLOQUE II. ANÁLISIS 317

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Problemas propuestos1. Dada la función f(x) = 4 – 3x2 + x3, determina:

a) la monotonía y la curvatura de f(x)

b) los puntos donde la función alcanza sus extremos rela-tivos.

c) la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en elpunto de abscisa x = –1

Solución:

a) Se calculan la 1ª derivada para estudiar la monotonía yla 2ª derivada para la curvatura:

f '(x) = –6x + 3x2

f ''(x) = –6 + 6x

Estudio de la monotonía:

f '(x) = 0 ò 3x2 – 6x = 0 ò 3x(x – 2) = 0 ò x = 0, x = 2

Si x = 0 ò f(0) = 4 – 3 · 02 + 03 = 4 ò A(0, 4)

Si x = 2 ò f(0) = 4 – 3 · 22 + 23 = 0 ò B(2, 0)

x = 1 ò f '(1) = 3 · 12 – 6 · 1 = 3 – 6 = –3 < 0 (–)

Creciente ( ): (–@, 0) « (2, +@)

Decreciente: ( ): (0, 2)

Estudio de la curvatura:

f ''(x) = 0 ò 6x – 6 = 0 ò x = 1

Si x = 1 ò f(1) = 4 – 3 · 12 + 13 = 2 ò C(1, 2)

x = 0 ò f ''(0) = 6 · 0 – 6 = – 6 < 0 (–)

Convexa («): (1, +@)

Cóncava (»): (–@, 1)

b) Extremos relativos

f ''(0) = 6 · 0 – 6 = –6 < 0 (–) ò A(0, 4) es un máxi-mo relativo

f ''(2) = 6 · 2 – 6 = 6 > 0 (+) ò B(2, 0) es un mínimorelativo

c) Ecuación recta tangente

Si x = –1 ò f(–1) = 4 – 3 · (–1)2 + (–1)3 = 0 ò P(–1, 0)

f '(–1) = 3(–1)2 – 6(–1) = 9

La recta tangente es:

y – 0 = 9(x + 1) ò y = 9x + 9

2. Dada la función:

f(x) =

a) halla el valor de k para que la gráfica sea continua parax = –1

b) para ese valor de k, dibuja la gráfica.

c) calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f yel eje de abscisas.

Solución:

a) f(x) =

La función está definida por cuatro funciones polinómi-cas que son continuas en todo �. Los únicos puntos enlos que puede haber problemas son los valores en losque cambia la definición. En concreto, x = –1, x = 1

Para que sea continua los límites laterales deben coin-cidir y ser iguales al valor de la función.

En x = –1

f(–1) = 1

f(x) = (x + 2) = 1ò k = 1

f(x) = k = k

En x = 1

f(1) = 1

f(x) = k = kò k = 1

f(x) = (x – 2)2 = 1

Para k = 1 la función es continua.

b)

c)

f(x) = 0 ï x = –2, x = 2

F(x) =

x2–— – 2x si x Ì –2

2x2— + 2x si –2 < x Ì –12

x si –1 < x < 1x3— – 2x2 + 4x si x Ó 13

°§§§¢§§§£

Y

X

Y

X

límx8 1+

límx8 1+

°§¢§£

límx8 1–

límx8 1–

límx8 –1+

límx8 –1+

°§¢§£

límx8 –1–

límx8 –1–

–x – 2 si x Ì –2x + 2 si –2 < x Ì –1k si –1 < x < 1(x – 2)2 si x Ó 1

°§§¢§§£

|x + 2| si x Ì –1k si –1 < x < 1(x – 2)2 si x Ó 1

°§¢§£

x 0 1

f '(x) – +

x 0 2

f '(x) + – +

PAU

318 SOLUCIONARIO

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Problemas propuestos

A1 = ∫–2

–1

(x + 2) dx = |F(–1) – F(–2)| =

A2 = ∫–1

1

dx = |F(1) – F(–1)| = 2

A3 = ∫1

2

(x – 2)2 dx = |F(2) – F(1)| =

A = + 2 + = u2

3. a) Si f ' es la derivada de la función dada por

f(x) = 2x3 – 6x2 + (x ? 0), calcula f '(–2)

b) Dibuja la función f(x) = 2x3 – 6x2. Obtén el área que li-mitan la curva y el eje X entre x = 2 y x = 4

Solución:

a) f '(x) = 6x2 – 12x –

f '(–2) =

b)

f(x) = 0 ò x = 0, x = 3

F(x) = ∫(2x3 – 6x2) dx = x4 – 2x3

F(2) = –8; F(3) = – ; F(4) = 0

A1 = ∫2

3

(2x3 – 6x2) dx = |F(3) – F(2)| =

A2 = ∫3

4

(2x3 – 6x2) dx = |F(4) – F(3)| =

Área = + = 19 u2

4. El coste de fabricación en euros de x unidades de un artí-culo viene dado por la función

f (x) = x – 2 + 20

a) ¿Cuál es la función que determina el coste de fabrica-ción unitario?

b) ¿Para qué producción resulta mínimo el coste unitario?¿Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo.

Solución:

a) Coste de fabricación unitario

c(x) = = = 1 – +

c(x) = 1 – +

b) Mínimo coste unitario

c'(x) = – ò c'(x) = 0 ò – = 0 ò

x = 400

c''(x) = – + ò c''(400) = 1/6 400 000 > 0 ò

mínimo relativo.

Para x = 400 unidades es mínimo.

c(400) = 1/6 400 000 € cada unidad.

5. Supongamos que tenemos un alambre de longitud a y loqueremos dividir en dos partes que van a servir de base asendos rectángulos. En uno de los rectángulos su altura esel doble de su base y en el otro su altura es el triple de subase. Determina el punto por el cual debemos cortar elalambre para que la suma de las áreas de los dos rectán-gulos sea mínima.

Solución:

a) Datos, incógnitas y dibujo

b) Función que hay que maximizar

A(x, y) = x · 2x + y · 3y = 2x2 + 3y2

Sujeta a las condiciones: x + y = a ò y = a – x

c) Se escribe la función con una sola variable

A(x) = 2x2 + 3(a – x)2

d) Se calculan máximos y mínimos

A'(x) = 4x – 6(a – x) = 10x – 6a

A'(x) = 0 ò 10x – 6a = 0 ò x = 3a/5

e) Se comprueba en la 2ª derivada

A''(x) = 10 > 0 (+) ò mínimo relativo.

Hay que cortarla por los 3/5

2x3y

yx

40x3

3√x2x3

20x2

√xx2

20x2

√xx2

20x

2√xx

20x

2√xx

x – 2√x + 20x

f(x)x

√x

272

112

272||

112||

272

12

Y

X1–1

10

20

30

40

3878

12x5

3x4

176

13

12

13||

||

12||

BLOQUE II. ANÁLISIS 319

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6. Un taller artesanal está especializado en la producción decierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C(x), eneuros están relacionados con el número de juguetes fa-bricados, x, a través de la expresión:

C(x) =10x2 – 1 850x + 25 000

El precio de venta de cada juguete es de 50 €.

a) Plantea la función de ingresos que obtiene el taller conla venta de los juguetes producidos.

b) Plantea la función de beneficios, entendidos como dife-rencia entre ingresos y costes de fabricación.

c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar bene-ficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?

Solución:

a) Función ingresos

I(x) = 50x

b) Función beneficios

B(x) = I(x) – C(x) = 50x – (10x2 – 1 850x + 25 000)

B(x) = –10x2 + 1 900x – 25 000

c) Maximizar los beneficios

B'(x) = –20x + 1900

B'(x) = 0 ò –20x + 1 900 = 0 ò x = 95 juguetes.

B''(x) = –20 < 0 (–) ò máximo relativo.

B(95) = –10 · 952 + 1 900 · 95 – 25 000 = 65 250 €

Los beneficios ascienden a 65 250 €

7. El consumo de un motor, en un trabajo de 6 horas, vienedado por la expresión

C(t) = – t2 + 8t + 20, siendo t el tiempo en horas,

0 Ì t Ì 6

a) ¿Qué momento es el de mayor consumo? ¿Cuánto esel consumo máximo?

b) ¿Cuánto consume en total el motor en las 6 horas quedura el trabajo?

Solución:

a) Máximo consumo

C'(t) = –2t + 8

C'(x) = 0 ò – 2t + 8 = 0 ò t = 4 horas.

C''(t) = –2 < 0 (–) ò máximo relativo.

C(4) = –42 + 8 · 4 + 20 = 36

b) Consumo total

El consumo total es ∫0

6

(–t2 + 8t + 20) dx

F(t) = ∫(–t2 + 8t + 20) dx = – + 4t2 + 20t

F(0) = 0

F(6) = 192

Consumo total = 192

8. Estudia la continuidad de la función

f(x) =

y clasifica las discontinuidades que se encuentren. ¿Es po-sible definir de nuevo la función para evitar alguna discon-tinuidad?

Solución:

Factorizando el numerador y el denominador se obtiene:

f(x) =

Es discontinua en x = 2, x = 3

a) x = 2 es una discontinuidad evitable; se evita definiendof(x) como la función simplificada

f(x) = =

b) x = 3 es una discontinuidad de 1ª especie de salto in-finito.

9. El número de plazas ocupadas de un aparcamiento, a lolargo de las 24 horas de un día, viene expresado por lafunción

f(t) =

a) ¿A qué hora del día presenta el aparcamiento una ocu-pación máxima? ¿Cuántos coches hay a esa hora?

b) ¿Entre qué horas la ocupación del aparcamiento esigual o superior a 2 000 plazas?

Solución:

a) Máximo

Hay que hallar el máximo absoluto; para ello se hallanlos máximos relativos en cada uno de los intervalos yen los extremos de los intervalos.

El primer trozo es una recta, que vamos a llamar:

g(t) = 1 680 + 20t ò no tiene máximos relativos.

1 680 + 20t si 0 Ì t < 8–10t2 + 260t + 400 si 8 Ì t < 16–10t2 + 360t + 1 200 si 16 Ì t < 24

°§¢§£

x2 + 2x – 1x – 3

(x – 2)(x + 1 – √—2 )(x + 1 + √

—2 )

(x – 2)(x – 3)

(x – 2)(x + 1 – √—2 )(x + 1 + √

—2 )

(x – 2)(x – 3)

x3 – 5x + 2x2 – 5x + 6

t3

3

Y

X

PAU

320 SOLUCIONARIO

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Problemas propuestos

g(0) = 1 680

g(8) = 1 840

El segundo trozo es parte de una parábola; lo vamos allamar:

h(t) = –10t2 + 260t + 400

h'(t) = –20t + 260, h'(t) = 0 ò –20t + 260 = 0 òt = 13

h(13) = 2 090

h''(t) = –20 < 0 (–) ò máximo relativo.

h(8) = 1 840

h(16) = 2 000

El tercer trozo es parte de una parábola; lo vamos a lla-mar:

i(t) = –10t2 + 360t + 1 200

i'(t) = –20t + 360, i'(t) = 0 ò –20t + 360 = 0 ò t = 18

i(18) = 4 440

i''(t) = –20 < 0 (–) ò máximo relativo.

i(16) = 4 400

i(24) = 4 080

El máximo absoluto es para t = 18 horas y en ese mo-mento hay 4 440 coches

b) Ocupación superior a 2 000 plazas

Hay que resolver las inecuaciones:

1 680 + 20t > 2 000 ò x > 16, que no sirve.

–10t2 + 260t + 400 > 2 000 ò 10 < t < 16

–10t2 + 360t + 1 200 > 2 000 ò 2,38 < t < 33,62, solosirve 16 < t < 24

10. La función:

f(t) =

representa la concentración de oxígeno en un estanquecontaminado por residuos orgánicos en un tiempo t(medido en semanas).

a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimientode f(t) para t Ó 0, así como los instantes en los que laconcentración es máxima y mínima.

b) De forma razonada, y conforme a los datos anterio-res, representa gráficamente la función para t Ó 0 yestudia con todo detalle sus asíntotas.

Solución:

a) Máximos, mínimos y crecimiento

f '(t) =

f '(t) = 0 ò t2 – 1 = 0 ò t = 1, t = –1; t = –1 no sirve.

f(1) = 1/2

f ''(t) =

f ''(1) = 1/2 > 0 (+) ò mínimo relativo.

f(0) = 1

El máximo lo alcanza en el instante inicial, t = 0, y el mí-nimo en t = 1

f '(2) = 3/25

Creciente ( ): (1, +@)

Decreciente: ( ): (0, 1)

b) Asíntotas y gráfica

Verticales: no tiene, porque el denominador nunca seanula.

Horizontales:

k = = 1, es cociente de los coeficien-

tes principales.

Asíntota horizontal k = 1

Oblicuas: no tiene, porque el grado del numerador noes uno más que el del denominador.

t2 – t + 1t2 + 1

límt8 +@

Y

X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x 0 1

f '(x) – +

–2t3 + 6t(t2 + 1)3

t2 – 1(t2 + 1)2

t2 – t + 1t2 + 1

10 Integral indefinida y definida - Jaime Pinto 10 Integral.pdf · 2010. 9. 26. · 10 Integral indefinida y definida ... Aplicaciones de la integral definida 43. Se estima que el

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