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Gérard Hincelin - Electronique B8
Chapitre 9 : Fibres optiques
SOMMAIRE4. Fibre optique à saut d’indice
Composantes axiales des champsComposantes transversesEquation de dispersionodes TE et TMrides HE et EHModes LP dans l’approximation du guidage faible
2. Guides d’ondes diélectriquesEquations de passageRéflexion totaleOnde évanescente
3. Types de fibres optiques
Gérard Hincelin - Electronique B8
Introduction : Fibres optiques
Emergence dans les années 60Développement en parallèle avec celui des composants optoélectroniquesDomaines d’applications : télécommunications optiques, capteurs optiques,opto-microondes, médical, …
Le cœur mesure quelques µm. Utilisation d’interfaces optoélectroniques (Mais évolution vers les réseaux « tout optique »).
AVANTAGESTrès faible atténuation :
0,2 dB/km à λ = 1,55 µmTrès large bande passante sur fibre monomodeMultiplexage en longueur d’onde WDMDimensions, poids, flexibilitéImmunité aux interférences électromagnétiques.
Gérard Hincelin - Electronique B8
Réflexion sur un dioptre plan
Equations de passagemilieux non absorbantsindices n1 > n2
Conservation des composantes tangentielles des champs E et H
Conservation de β:Loi de Snell-Descartes:
Réflexion totale pour ϕt = π/2Angle d’incidence critique:
milieu 2
Σ
nrmilieu 1
iϕ
tϕ
z
1kr
2kr
1 1n ε=
2 2n ε=
β = n1kosinϕi1 2sin sini tn nϕ ϕ=
Notations:
0kcω
=
1 1 1 0k n n kcω
= =
2 2 2 0k n n kcω
= =
2
1
sin cnn
ϕ =
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Exemple : guide d’onde plan
Guidage par réflexion totale pour:
Pas de perte par réflexion !Contrainte sur β:
Comparaison avec le guide métalliqueOnde évanescente
Onde liée à la surface dans le milieu 2Décroissance rapide des champspermet d’assurer la continuité des composantes tangentielles des champs
2c iϕ ϕ π≤ ≤
1 0 sin in kβ ϕ=
1 0 2c in k car πβ ϕ ϕ≤ ≤ ≤2
1
sin inn
ϕ ≥
1 0 2 0sin cn k n kβ ϕ≥ =
2 0 1 0n k n kβ≤ ≤
d zβ : composante axiale
cœur : n1
gaine : n2
ϕi
κ : composantetransversale
Réflexion totale : ϕi > ϕc
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Coupure des modes:guide métallique et guide diélectrique
En optique
Cϕ 1 1n ε=
2 2n ε=
Guidé :ϕi > ϕC
Non guidé:ϕi < φC
ω
β1n
cω
En micro ondes
1 1n ε=
ϕ = 0 à la coupure
coupure:0β →
2ncω
2ncωβ =
à la coupure
2 1n nc cω ωβ≤ ≤
10 ncωβ≤ ≤
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Types de fibres optiques
revêtement protecteur
cœur : n1 gaine : n2
Constitution d’une fibre optique
r
a) Monomodediamètre = 5 à 8 µm
b) Multimodesaut d’indicea = 50 µm
c) Multimodegradient d’indice
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Composantes axiales des champs
Equation d’onde en coordonnées cylindriques (Ez ou Hz)
Séparation des variables
Solution périodique en φn = 0, 1, 2 , ….
Fonction de BESSEL
( , ) ( ) ( )f r R rφ φ= Φ
22 2
2 2
1 ( , ) 1 ( , ) ( ) ( , ) 0rf r f rr f r
r r r r cφ φ ω ε β φ
φ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
22
2
1 0nφ
∂ Φ+ =
Φ ∂
cos( ) sin( )C n D nφ φΦ = +
22 2
r cωκ ε β⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2 2( ) 0Rr r r n Rr r
κ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
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Solution pour r < a (cœur)
Dans le cœur :
Les champs restent finis :
Jn(x) est la fonction de Bessel de première espèceComposantes axiales des champs: solutions possibles
1 1 1
1 1 1
( , ) ( )sin( )( 0)
( , ) ( ) cos( )z n
z n
E r E J r nTE n
H r H J r nφ κ φφ κ φ
= ⎫=⎬= ⎭
22 2 2 2 21 1 1 02 0n k
cωκ ε β β= − = − >
( )1 1( ) nR r C J rκ=
1 1 1
1 1 1
( , ) ( ) cos( )( 0)
( , ) ( )sin( )z n
z n
E r E J r nTM n
H r H J r nφ κ φφ κ φ
= ⎫=⎬= ⎭
2 2 2( ) 0Rr r r n Rr r
κ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
Jn(x)
Fonctions de Bessel de première espèce
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Solution pour r > a (gaine)
Dans la gaine:On pose :Solution générale:
Onde évanescenteIn:Fonction de Bessel modifiée de première espèce (croissante)
Expression des champs (modes TE):
2 2 2 22 2 0 0n kκ β= − <
Fonctions de Bessel modifiées de seconde espèce Kn(x) et de première espèce In(x).
2 2j imaginaire purκ α=
2 2 2 2( ) ( ) ( )n nR r C K r D I rα α= +
2 2 2( , ) ( )sin( )z nE r E K r nφ α φ=
2 2 2( , ) ( ) cos( )z nH r H K r nφ α φ=
Kn(x)
In(x)
2 2 2( ) 0Rr r r n Rr r
κ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
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Composantes transversales des champs
02
02
02
02
1
1
1
1
z zr
z z
z zr r
z zr
j E HEr r
j E HEr r
j H EHr r
j H EHr r
φ
φ
β ωµκ φ
β ωµκ φ
β ωε εκ φ
β ωε εκ φ
⎫⎛ ⎞∂ ∂= − + ⎪⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎪
⎪⎛ ⎞∂ ∂⎪= − −⎜ ⎟∂ ∂ ⎪⎝ ⎠⎬
⎛ ⎞∂ ∂ ⎪= − −⎜ ⎟ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎪⎪⎛ ⎞∂ ∂
= − +⎜ ⎟ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎭
Dans le cœur d’indice n1 (r < a) :
1 1
1 1
( , ) ( )sin( )
( , ) ( ) cos( )
z n
z n
uE r E J r nauH r H J r na
φ φ
φ φ
=
=
( ) ( )0
1 1 12 cos( )n njj n u uE E J r H J r n
r a u a au aφ
ωµβ φ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )
20 1
1 1 1 2 sin( )n nj n u j n uH E J r H J r nu a a r au a
φωε β φ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Dans la gaine d’indice n2 (r > a) :
2 2
2 2
( , ) ( )sin( )
( , ) ( ) cos( )
z n
z n
wE r E K r nawH r H K r na
φ φ
φ φ
=
=
( ) ( )0
2 2 22 cos( )n njj n w wE E K r H K r n
r a w a aw aφ
ωµβ φ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )
20 2
2 2 2 2 sin( )n nj n w j n wH E K r H K r nw a a r aw a
φωε β φ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Composantes transversales en fonction des composantes axiales
Variables réduites (sans dimensions):
2 2 21 1 0
2 2 22 2 0
u a a n k
w a a n k
κ β
α β
= = −
= = −
( )( )
22 21
22 22
u a
w a
κ κ
κ α
= =
= − = −
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Equation caractéristique
Les composantes tangentielles des champ vérifient les équations de continuité
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( );Z Z Z ZE a E a H a H a E a E a H a H aφ φ φ φ= = = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
10 0
2 2
22 20 2 0 1
2 2
1
0( ) ( ) 0 00 0 ( ) ( )
0( ) ( )
0( ) ( )
0
n n
n n
n n n n
n n n n
EK w J uK w J u
Ej jj n j nK w J u K w J ua a w a u aw a u a
Hj n j n j n j nK w J u K w J uw a u a a aw a u a H