-
1ESTR
UCTU
RAS
D
ISCR
ETAS
I
Estructuras Discretas I
Conjuntos Ordenados
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Los nmeros naturales, enteros, reales, fraccionarios, tienen
definido un orden entre sus elementos. Dado un conjunto cualquiera,
sobre el que se define una relacin binaria, si la relacin cumple
ciertas propiedades, entonces se puede establecer un orden entre
los elementos de ese conjunto
Propiedad antisimtrica:Sea R una relacin en un conjunto de X. Se
dice que se cumple la propiedad antisimtrica cuando:
yxxRyyRxSi =
Propiedad de conexin:Sea R una relacin en un conjunto de X. Se
dice que se cumple la propiedad de conexin cuando:
xyyxXyx
-
2Relacin de Orden ParcialSe dice que la relacin R definida sobre
un conjunto A es un orden parcial si cumple las propiedades:
Reflexiva Antisimtrica Transitiva
Relacin de Orden TotalSe dice que la relacin R definida sobre un
conjunto A es un orden total si cumple las propiedades:
Reflexiva Antisimtrica Transitiva Conexin
Relaciones de Orden
Dra.. Norka Bedregal Alpaca
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Notacin: Se acostumbra denotar una relacin de orden R por el
smbolo
- 3Conjunto Totalmente OrdenadoSe dice que el conjunto (E,
-
4Diagrama de HasseSi E es finito, en la representacin grfica de
la relacin se obtiene un diagrama de Hasse si: Se evita el tener
que poner arcos dirigidos, colocando los elementos que preceden a
otros, en escalones inferiores unidos por una sucesin ascendente de
aristas. No se grafican las reflexividades No se grafican las
transitividades
Diagrama de Hasse
Dra.. Norka Bedregal Alpaca
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Ejemplos:({1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}, |) es parcialmente ordenado
({1, 2, 3, 4, 5, 6,9}, menor o igual ) es totalmente ordenado
Sus respectivos diagramas de Hasse son:
Diagrama de Hasse
Dra.. Norka Bedregal Alpaca
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
-
5 Un camino ascendente es por ejemplo {1, 2, 8, 16 } 2 est
relacionado con 20, existe el camino ascendente que los une 3 no
est relacionado con 16, no existe un camino ascendente
El Diagrama de Hasse asociado es:
Ejemplo:Considere el conjunto A = {1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 15, 16,
20, 30 } y la relacin es divisor de
Dra.. Norka Bedregal Alpaca
Diagrama de HasseCO
NJU
NTO
S O
RD
ENAD
OS
Dada una relacin de orden sobre un conjunto se puede pasar de la
representacin de grafo a la representacin de diagrama de Hasse y
viceversa
Diagrama de Hasse Grafo
Grafo Diagrama de Hasse
Dra.. Norka Bedregal Alpaca
Diagrama de Hasse
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
-
6Orden producto:Sobre Z x Z, el conjunto de los pares ordenados
de nmeros enteros, se define el orden producto
Orden de ConjuntosSi X es un conjunto y , donde es el conjunto
de todos los subconjuntos de X, entonces es un orden. Se le llama
orden de conjuntos.
( )XP ( )X( ),P
( ) ( ) dbcadcba
- 7Observaciones:Sea (P,
-
8Minimales: 1 que es mnimo.Maximales: 4, 5, 6, 9. No hay
mximo.
Ejemplo
EjemploEn el orden producto sobre el conjunto {a, b, c}
Dra.. Norka Bedregal Alpaca
EjemplosCO
NJU
NTO
S O
RD
ENAD
OS
Ejemplos
Dra.. Norka Bedregal Alpaca
Ejemplos
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
- 9Definicin:Sea (P,
-
10
Observaciones El supremo o nfimo de B, si existe, es nico
Si B = {a,b} entonces se acostumbra usar la notacin:
baBbaB
:inf:sup
Ejemplo{ }edB ,= cedfed == ;{ }baB ,= existenobacba == ;{ }fdB
,= dfdffd == ;
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Supremo e nfimo
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Ltices o Retculas
Definicin:Sea (L,
-
11
Latices o Retculas
Ltice producto:Sean ltices, entonces la ltice producto se define
como:
( ) ( )2211 ,,, LL
( ) ( ) ( ) dbcadcbaLxLLdondeL 2121 ,,,, =es una ltice pues(
),L
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dbcadcba dbcadcba 21 21 ,,,,,,
==
Ejemplo
Sea Di el conjunto de los divisores de i donde se define la
relacin es divisor de, para i un nmero natural.Encuentre la ltice D
= D2 x D8CO
NJU
NTO
S O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Latices o Retculas
Solucin:
D2 D8
D
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
-
12
En una latis el supremo y el nfimo se pueden definir como
operaciones que satisfacen las siguientes propiedades:
Latices o RetculasCO
NJU
NTO
S O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Latices o Retculas
Definicin:Sea (L,
-
13
Ltices Isomorfas
Definicin:Sean ltices, y sea una funcin biyectiva ( ) ( )2211
,,, LL 21: LLf f es un isomorfismo entre las ltices dadas si:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )bfafbaf
bfafbaf
21
21
=
=
Luego se dice que las ltices son isomorfas y se denota por:
( ) ( )2211 ,,, LL
21 LL
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
( ),LObservaciones:
Sea una ltice, entonces se cumple:
abaybbaba ==
Dadas ltices, y es un isomorfismo entre las ltices
( ) ( )2211 ,,, LL 21: LLf
)()( 21 bfafbaSi Ya que
)()()()()()(
2
11
111
bfafafbafbfbafabaybbaba
==
==
Ltices Isomorfas
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
-
14
Esto significa que dos ltices son isomorfas si el diagrama de
Hasse de una de ellas se obtiene reetiquetando los vrtices de la
otra
Ltices Isomorfas
Ejemplo
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Definicin:Una latis es distributiva si cumple las siguientes
propiedades:
Ltices Distributivas
EjemploLas siguientes latices son distributivas:
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
-
15
No todas las latices son acotadas
Ltices Acotadas
Ejemplo
En ZxZ con la relacin de orden:
Las operaciones de supremo e nfimo:
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Ltices Acotadas
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
-
16
Definicin:Sea una latis acotada, con elemento mnimo m y elemento
mximo MSe dice que el elemento a posee complemento si existe un
elemento a tal que:
Una latis es complementada si todo elemento posee
complemento
Ltices ComplementadasCO
NJU
NTO
S O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Teorema:Sea E una latis acotada, entonces:
Ltices Complementadas
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
-
17
La latis D20 no es complementada, 2 y 10 no tienen
complementoEjemplos
Ltices Complementadas
Las siguientes latices son complementadas
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Determine si D30 es una latis complementada
Ejercicio
Ltices Booleanas
Definicin
Una latis distributiva y complementada recibe el nombre de latis
de Boole o Algebra de Boole
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
-
18
Ejemplos La latis D20, es distributiva, no es complementada por
tanto no es lgebra de Boole
El conjunto {0, 1} con las operaciones booleanas y el
complemento booleano es una latis de Boole
El conjunto potencia de {a, b, c} con la operacin de inclusin de
conjuntos es una latis de Boole
Ltices BooleanasCO
NJU
NTO
S O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Ejercicios PropuestosEjercicio 1.-Estudia en cada caso si la
relacin dada es o no un orden sobre el conjunto dado.
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
-
19
Ejercicios PropuestosEjercicio 2.-Demuestra que el orden de
inclusin en P(A) solo es lineal cuando A es vaco o unitario.
Ejercicio 3.-Dibuja el diagrama de Hasse de P({a, b, c, d}).
Ejercicio 4.-Sea (A,*) un conjunto ordenado y finito. Demuestra
que si * es un orden total, entonces (A,*) es un conjunto bien
ordenadoEjercicio 5.-Dibuja diagramas de Hasse que representen los
siguientes conjuntos ordenados
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
Ejercicios PropuestosEjercicio 6.-Estudia los elementos extremos
y extremales en los siguientes conjuntos de nmeros, ordenados por
la relacin de divisibilidad.
a) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}b) {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}c) {1, 2,
3, 4, 6, 8, 12} d) {2, 3, 4, 6, 8, 12}
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
-
20
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 7.-Razona en cada uno de los casos siguientes si se
tiene una latice, tomando como orden la relacin de inclusin.
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca
FIN
CON
JUN
TOS
O
RD
ENAD
OS
Dra. Norka Bedregal Alpaca