§1. VÉCTƠ CƯỜNG ĐỘ NG. 1. L n. Khái ni ng

Bài giảng Vật lý 2

1

CHƯƠNG 1. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN.

§1. VÉCTƠ CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG.

1. Lực tương tác điện. Khái niệm điện trường

Mở đầu chúng ta đã biết một số vật khi cọ sát vào len, dạ… có khả năng hút được các vật nhẹ.

Ta nói các vật này bị nhiễm điện hay đã mang điện tích. Trong tự nhiên có hai loại điện tích: điện

tích xuất hiện trên thanh thủy tinh sát vào lụa được gọi là điện tích dương, điện tích xuất hiện trên

thanh nhựa khi sát vào dạ được gọi là điện tích âm. Thực nghiệm cho thấy các điện tích cùng dấu thì

đẩy nhau, khác dấu thì hút nhau.

Điện tích có thể di chuyển từ vật này sang vật khác nhưng vẫn tuân theo định luật bảo toàn

điện tích: “điện tích của một hệ cô lập thì bảo toàn”.

Điện tích trên một vật bao giờ cũng là số nguyên lần của điện tích nguyên tố, đó là lượng điện

tích nhỏ nhất trong tự nhiên có độ lớn e = 1,6.10-19 C. Có nhiều hạt cơ bản mang điện tích nguyên tố

trong đó điện tử là hạt vật chất nhỏ nhất mang điện tích nguyên tố âm - e = 1,6.10-19 C, điện tử có

khối lượng m = 9,1.10-31 kg. Điện tử có trong mọi chất, nguyên tử của đơn chất gồm hạt nhân tích

điện dương và các điện tử chuyển động xung quanh. Bình thường nguyên tử trung hòa về điện,

nguyên tử có thể nhận thêm một vài điện tử để trở thành ion âm, nguyên tử cũng có thể bị mất một

vài điện tử và trở thành ion dương.

Học thuyết căn cứ vào sự vận động của điện tử để giải thích các hiện tượng điện gọi là thuyết

điện tử.

a. Định luật Culông

Lực tương tác giữa hai điện tích điểm được xác định nhờ định luật Culông

2

21'r

qqkFF

=−=

(1.1)

Trong hệ đơn vị SI: k =

Trong đó hằng số điện 0 = 8,86.10 - 12

Hằng số điện môi của môi trường được xác định phụ thuộc vào bản chất của môi trường.

Chất Hằng số điện môi

Chân không

Không khí

Thủy tinh

1

1.0006

5 10

).

.(10.9.4

12

29

0 C

mN=

).

(2

2

mN

C

Hình 1.1

+ -

r

q1 q2 F’ F

q1 q2 F’ F

+ + r

-


2

E

M

r +

q

M E

-

+

q

r

Hình 1.2

Chú ý: Định luật Culông chỉ giới hạn sử dụng cho hệ hai điện tích điện. Lực tương tác của

một hệ gồm n điện tích hoặc lực tương tác của hai vật mang điện phải được tính theo quy tắc tổng

hợp lực.

b. Khái niệm điện trường

Theo quan điểm của vật lý học hiện đại lực tương tác giữa các điện tích được thông qua một

môi trường vật chất trung gian người ta gọi môi trường ấy là điện trường.

Điện trường là môi trường vật chất đặc biệt bao quanh các điện tích, nhờ điện trường làm trung

gian mà lực điện được truyền đi từ điện tích này đến điện tích khác với một vận tốc hữu hạn. Tính

chất cơ bản của điện trường là tác dụng lực điện lên bất kỳ điện tích nào đặt trong nó.

2. Véctơ cường độ điện trường

a. Định nghĩa

Nếu đặt một điện tích thử q0 vào trong điện trường nó

sẽ chịu một lực tác dụng . Thực nghiệm cho thấy tỉ số:

(1.2)

không phụ thuộc vào độ lớn của q0 mà chỉ phụ thuộc vào

vị trí trong điện trường vì vậy người ta dùng véc tơ

để đặc trưng của điện trường về phương diện tác dụng lực

và gọi là véctơ cường độ điện trường.

Véctơ cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng có giá trị bằng lực tác dụng của

điện trường lên một đơn vị điện tích dương đặt tại điểm đó.

Trong hệ đơn vị SI, cường độ điện trường đo bằng V/m.

b. Cường độ điện trường gây tại một điện tích điểm.

24o o

F q rE

q r r= = (1.3)

3. Nguyên lý chồng chất điện trường

Véctơ cường độ điện trường gây bởi một hệ điện tích điểm bằng tổng các véc tơ cường độ điện

trường gây bởi từng điện tích: 1

n

i

i

E E=

= (1.4)

Véctơ cường độ điện trường gây bởi vật mang điện:

(1.5)

4. Thí dụ

Tính cường độ điện trường gây bởi lưỡng cực điện.

Lưỡng cực điện là một hệ hai điện tích điểm có độ lớn bằng

nhau nhưng trái dấu đặt cách nhau một khoảng l rất nhỏ so

với khoảng cách từ lưỡng cực điện đến những điểm đang xét

Người ta xây dựng mômen lưỡng cực trong đó có

độ lớn bằng khoảng cách giữa hai điện tích.

Để xác định cường độ điện trường gây bởi lưỡng cực

tại một điểm M nằm trên mặt phẳng trung trực của lưỡng cực.

F

constq

FE ==

0

E

=vat

EdE .

lqPe .= l

+

+

+ + q - q

r1 r r2

E 2

E

E 1

l

M

Hình 1.3


3

Ta lần lượt biểu diễn véctơ cường độ điện trường do từng điện tích gây ra tại M: và .Theo

nguyên lý chồng chất điện trường

Trong đó

Theo quy tắc hình bình hành tổng hợp lực E = 2E1 cos = 2E1 =>

Vì r >> l nên ; mặt khác nên: 34

e

o

PE

r=

§2. ĐỊNH LÝ OXTROGRATXKI-GAUSS CHO ĐIỆN TRƯỜNG

1. Đường sức điện trường

Để mô tả điện trường người ta dùng đường sức. Đường sức điện trường là các đường cong mà

tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với phương của vectơ cường độ điện trường tại điểm ấy, chiều của

đường sức là chiều của vectơ cường độ điện trường.

Người ta quy ước vẽ số đường sức xuyên qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với đường

sức bằng độ lớn của cường độ điện trường tại điểm đó. Tập hợp đường sức được gọi là điện phổ.

Qua điện phổ trên hình ta nhận thấy đường sức điện trường bao giờ cũng xuất phát từ điện tích

(+) tận cùng trên các điện tích (-), đi đến từ hoặc đi ra , chúng luôn luôn là các đường cong

không khép kín và bị hở tại các điện tích. Các đường sức điện trường không cắt nhau vì tại mỗi điểm

chỉ có một vectơ cường độ điện trường.

2. Vectơ cảm ứng điện

Từ công thức tính điện trường gây bởi điện tích điểm người ta

nhận thấy độ lớn của vectơ phụ thuộc vào môi trường () vì vậy

phổ đường sức điện trường khi đi qua hai môi trường có hằng số

điện môi khác nhau thì phổ thay đổi và đường sức điện trường bị

gián đoạn.

Vì vậy người ta đưa ra một đại lượng để đặc trưng cho điện

trường mà không phụ thuộc vào môi trường nữa. Đó là vectơ cảm

ứng điện .

1E 2E

21 EEE +=

2

0

21..4 r

qEE

==

12r

l3

10 ..4

.

r

lqE

=

rl

rr +=4

22

1lqPe .=

E

ED

0=

Hình 1.4

- + -

+

+

+

Hình 1.5


4

Do không phụ thuộc vào môi trường nên nếu vẽ đường sức của vectơ cảm ứng điện thì phổ

đường sức này sẽ liên tục. Vì thế người ta thay thế đường sức điện trường bằng đường sức cảm ứng

điện. Đường sức cảm ứng điện cũng được định nghĩa giống như đường sức điện trường.

3. Điện thông

Điện thông hay thông lượng cảm ứng điện gửi qua diện tích dS bằng:

.ed D dS = (1.6)

Điện thông gửi qua diện tích S bằng:

.e ed D dS = = (1.7)

Ý nghĩa của điện thông: . . .cos .e nd D dS D dS D dS = = =

Theo quy ước đây chính là số đường sức cảm ứng điện gửi qua dS.

4. Định lý O-G

Điện thông gửi qua một mặt kín bằng tổng đại số các điện tích chứa trong mặt kín ấy.

.e i

iS

D dS q Q = = = (1.8)

Trong đó: Q là tổng điện tích chứa trong mạch kín:

Dạng vi phân của định lý O - G:

Theo giải tích: . .S V

D dS divD dV=

Mặt khác:

Suy ra:

divD = (1.9)

5. Ứng dụng

Tính điện trường gây bởi mặt cầu mang điện.

Giả sử mặt cầu mang điện có bán kính R tích điện q,

do tính đối xứng nên điện trường của nó sinh ra đối xứng

cầu. Vectơ cảm ứng điện phải có phương đi qua tâm

cầu, để xác định cảm ứng từ tại điểm M cách tâm cầu một

đoạn r > R, ta tưởng tượng vẽ qua M mặt cầu S đồng tâm

với mặt cầu mang điện và tính thông lượng cảm ứng điện

gửi qua mặt cầu đó.

2.4 .e n

S S

D dS D dS D r q = = = =

=V

dVQ

D

2.4 r

qD

=

2

0 ..4 r

qE

=

R D

O r M

So S

. + +

+ +

+

+ + +

+

+

+

Hình 1.7


5

(c)

q

F

qo

r + dr r

ds

rN

rM

N

+

M

Hình 8.8

Hình 1.8

§3. ĐIỆN THẾ

1. Công của lực tĩnh điện

Ta dịch chuyển một điện tích q0 trong điện trường gây bởi điện tích q theo đường cong (c) bất

kỳ.

Công của lực tĩnh điện:

Kết luận: Công của lực tĩnh điện trong việc dịch chuyển điện tích q0 trong điện trường của một

điện tích điểm không phụ thuộc vào dạng của đường cong dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí

điểm đầu và điểm cuối của chuyển dời. Vậy theo định nghĩa về trường lực thế ta nói trường tĩnh điện

là trường lực thế.

2. Thế năng của điện tích điểm trong điện trường

Chúng ta đã biết công của lực trong trường lực thế có giá trị bằng độ giảm thế năng, vậy trong

trường tĩnh điện ta có:

Trong một chuyển dời ds:

Vậy

So sánh với biểu thức:

Ta suy ra biểu thức thế năng: (1.10)

Nếu quy ước thế năng: thì ta có c = 0.

Vậy biểu thức thế năng của một điện tích thử q0 trong điện trường gây bởi điện tích q:

(1.11)

2

0

0

3

0

00 ...4

....4

...r

drqqsdr

r

qqsdEqsdFdA

====

NMMN

N

M

MNr

qq

r

qq

rr

qqdAA

...4...4

11

..4 0

0

0

0

0

0

−=

+−==

dWdA −=

NM

N

M

N

M

MN WWdWdAA −=−==

NM

MNr

qq

r

qqA

...4...4 0

0

0

0

−=

cr

qqW +=

...4 0

0

0=W

r

qqW

...4 0

0

=


6

3. Điện thế, hiệu điện thế

Từ biểu thức thế năng ta nhận thấy tỷ số không phụ thuộc vào điện tích q0 mà chỉ phụ

thuộc vào q và vị trí M. Vì vậy, ta có thể dùng tỷ số đó để đặc trưng cho điện trường về phương diện

năng lượng tại điểm đang xét và gọi là điện thế của điện trường tại M.

(1.12)

VM là điện thế tại một điểm trong điện trường nó có giá trị bằng công của lực tĩnh điện trong

việc dịch chuyển một đơn vị điện tích (+) từ điểm đó đến .

Từ biểu thức AMN = WM - WN = q0 (VM - VN) => UMN = VM - VN = .

UMN được gọi là hiệu điện thế giữa hai điểm M và N, nó có giá trị bằng công của lực tĩnh điện

trong việc dịch chuyển một đơn vị điện tích (+) từ M đến N.

§4. LIÊN HỆ GIỮA VÉCTƠ CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐIỆN THẾ.

1. Mặt đẳng thế

Định nghĩa: Là quỹ tích của những điểm có cùng điện thế. Trong điện trường gây bởi điện tích

điểm, mặt đẳng thế là mặt cầu. Công của lực tĩnh điện trong việc dịch chuyển điện tích thử q0 trên

mặt đẳng thế là bằng 0. Tại mọi điểm trên mặt đẳng thế vectơ cường độ điện trường luôn vuông góc

với mặt đẳng thế.

2. Liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế

Điện thế và vectơ cường độ điện trường là hai đại lượng

đặc trưng cho điện trường nên chúng có liên hệ với nhau.

Xét hai điểm M và N rất gần nhau trong điện trường, giả

sử điện thế tại M là V và điện thế tại N là V + dV. Tính công

của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích q0 từ M đến N.

Theo định nghĩa: 0dA q Eds=

Mặt khác:

Vậy hay

(1.13)

Vậy hình chiếu của vectơ cường độ điện trường trên một phương có trị số bằng độ giảm điện

thế trên một đơn vị dài của phương đó.

Trong hệ toạ độ Đềcác:

hay . . .x y zE i E j E k E i j k V gradVx y z

= + + = − + + = −

Vậy vectơ cường độ điện trường tại một điểm bất kỳ trong điện trường bằng và ngược dấu

với gradien của điện thế tại điểm đó.

0q

W

r

q

q

WV

...4 00 ==

0q

AMN

( ) dVqdVVVqdA .00 −=+−=

dVdsEsdE −== cos...

ds

dVEs −=

Z

ZYX

VE

y

VE

x

VE

−=

−=

−= ;;

E


7

§5. NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TRƯỜNG

1. Năng lượng tương tác của một hệ điện tích điểm

Ta biết rằng nếu điện tích điểm q2 đặt trong điện trường của một điện tích điểm q1 thì thế năng

của q2 là:

1 2

0 12

1W

4t

q q

r= (1.14)

12r là khoảng cách giữa hai điện tích.

Dễ dàng thấy Wt cũng là t hế năng của q1 trong điện trường của q2. Ta nói Wt

là thế năng

tương tác hay năng lượng tương tác điện của hệ hai điện tích q1 và q2 ký hiệu là:

1 212 21

0 12

1W W

4

q q

r= = (1.15)

Ta có thể viết: 2 112 21 1 2

0 12 0 12

1 1 1 1W W

2 4 2 4

q qq q

r r

= = +

trong đó: 21

0 124

qV

r= ( điện thế tại vị trí q1 (do q2 gây ra),

2

120

1

4V

r

q=

( điện thế tại vị trí q2 (do q1 gây ra).

Vậy: ( )12 21 1 1 2 2

1W W

2q V q V= = + (1.16)

Nếu có hệ ba điện tích điểm q1, q2, q3 với khoảng cách tương hỗ là 12r ,

23r , 31r thì năng lượng

tương tác điện của hệ ba điện tích ấy cho bởi:

2 3 3 11 212 23 31 21

0 12 23 31

1W W W W W

4

q q q qq q

r r r

= + + = = + +

3 32 1 1 21 2 3

0 12 0 13 0 23 0 12 0 31 0 32

1 1 1

2 4 4 2 4 4 2 4 4

q qq q q qq q q

r r r r r r

= + + + + +

.

( )1 1 2 2 3 3

1W

2q V q V q V= + + (1.17)

trong đó V1, V2, V3 lần lượt là điện thế tại vị trí của mỗi điện tích q1, q2, q3 do hai điện tích kia gây

ra.

Tổng quát, năng lượng tương tác điện (gọi tắt là năng lượng điện) của hệ n điện tích điểm q1,

q2, q3… qn cho bởi: 1

1W

2

n

i i

i

qV=

= (1.18)

2. Năng lượng điện của một vật dẫn cô lập tích điện

Chia vật thành từng điện tích điểm dq ta tính được năng lượng điện của vật dẫn ấy:


8

1

W2

Vdq= (1.19)

nhưng đối với vật dẫn tích điện cân bằng V = không đổi, vậy

1W

2V dq=

trong đó dq = q = điện tích của vật dẫn.

Vậy 1

W2

qV= (1.20)

Ta cũng có thể viết:

2

21 1 1W

2 2 2

qqV CV

C= = = (1.21)

vì q = CV (C là điện dung của vật dẫn).

3. Năng lượng tụ điện

Nếu có một hệ vật dẫn tích điện cân bằng lần lượt có điện tích và điện thế:

Q1, q2 ,q3…qn,

V1, V2, V3…Vn,

thì năng lượng của hệ vật dẫn ấy cho bởi

1

1W

2

n

i i

i

qV=

= (1.22)

Nói riêng năng lượng của một tụ điện tích điện cho bởi

( )1 1 2 2

1W

2q V q V= + (1.23)

Trong đó q1 = q2 =q (giả sử q > 0).

Vậy: ( )1 2

1 1W

2 2q V V qU= − =

hay 2

21 1W

2 2

qCU

C= = (C là điện dung của tụ điện). (1.24)

4. Năng lượng điện trường

Xét một tụ điện phẳng, điện dung C cho bởi

0SC

d

=

Năng lượng tụ điện có thể viết

201W

2

SU

d

=

, (1.25)


9

nhưng U = Ed với E là cường độ điện trường giữa hai bản tụ, vậy:

2

0

1W ( )( )

2E Sd= (1.26)

trong đó Sd = ∆V bằng thể tích không gian giữa hai bản, bằng thể tích không gian điện trường.

Người ta quan niệm rằng năng lượng tụ điện tich điện thức chất là năng lượng của điện trường tồn

tại giữa hai bản tụ điện. Năng lượng này được định xứ trong không gian điện trường.

Năng lượng định xứ trong một đơn vị thể tích của không gian điện trường, còn được gọi là mật

độ năng lượng điện trường, cho bởi

2

0

W 1w

2e E

V= =

(1.27)

Kết quả này thu được đối với điện trường đều trong khoảng không gian giữa hai bản tụ điện

nhưng đối với một điện trường bất kì.

Kết luận:

Điện trường mang năng lượng:

Năng lượng này định xứ trong không gian điện trường. Mật độ năng lượng điện trường tại một

điểm là:

22

0

0

1 1 1w

2 2 2e

DE ED

= = = (1.28)

Do đó năng lượng điện trường định xứ trong một thể tích hữu hạn V là:

( )

W we

V

dV= (1.29)


10

CHƯƠNG 2. TỪ TRƯỜNG KHÔNG ĐỔI.

§1. VÉCTƠ CẢM ỨNG TỪ. ĐỊNH LUẬT BIO-XAVA-LAPLAX.

1. Tương tác từ, từ trường

Chúng ta đã biết là hai nam châm gần nhau thì tác dụng lực lên nhau. Lực đó gọi là lực tương

tác từ. Thí nghiệm còn cho thấy, nam châm và dòng điện gần nhau cũng tác dụng lực lên nhau, hai

dòng điện gần nhau cũng tác dụng lực lên nhau. Nghiên cứu cho thấy là các lực tương tác giữa nam

châm và dòng điện, giữa hai dòng điện với nhau cũng có cùng bản chất như lực tương tác giữa hai

nam châm. Đó là lực tương tác từ (gọi tắt là lực từ).

Để giải thích cơ chế truyền lực từ thì chúng ta phải thừa nhận xung quanh nam châm hoặc

dòng điện phải tồn tại một môi trường vật chất gọi là từ trường. Lực từ được truyền nhờ có từ

trường.

Từ đó chúng ta có các nhận xét quan trọng sau:

- Nam châm hay dòng điện thì tạo ra xung quanh nó một từ trường. Nếu nam châm hay dòng

điện đặt trong một từ trường khác (do nam châm và dòng điện khác tạo ra) thì nó lại bị từ trường tác

dụng lực từ.

- Dòng điện được tạo ra từ các hạt điện chuyển động có hướng. Vậy các hạt điện chuyển động

có hướng sẽ tạo ra từ trường. Khi các hạt điện chuyển động có hướng trong một từ trường khác thì

nó lại bị từ trường tác dụng lực. Lực mà ta nói gọi là lực Lorentz.

2. Véctơ cảm ứng từ và véctơ cường độ từ trường

Để đặc trưng cho từ trường về mặt tác dụng lực lên hạt điện chuyển động trong từ trường, ta

dùng đại lượng véctơ cảm ứng từ . Véctơ cảm ứng từ có thể định nghĩa như sau:

Trong một từ trường đều (véctơ không đổi, các đường sức từ trường là song song, cách đều

nhau), cho một hạt điện tích q0 chuyển động với véctơ vận tốc theo hướng làm với các đường sức

từ một góc α. Khi đó từ trường tác dụng lên điện tích q lực (lực Lorentz). Ba véctơ là ; ; Lv B F có

mối quan hệ theo công thức:

(2.1)

Độ lớn của lực Lorentz: FL = q0.v.B.sinα

Độ lớn của cảm ứng từ được tính theo công thức: . Như vậy đơn vị đo cảm ứng

từ là (N.s/C.m), gọi là tesla (T). Đơn vị nhỏ hơn thường được dùng là gauss (G), 1G = 10 - 4(T).

Trong thực tế, để tìm hướng của từ trường (hướng của véctơ ), ta có thể dùng một kim nam

châm thử. Đặt kim nam châm thử tại một điểm nào đó trong từ trường thì từ trường tác dụng lực làm

kim nam châm quay tới vị trí cân bằng. Khi đó trục của kim nam châm sẽ có phương trùng với

phương của véctơ . Hướng đi từ cực nam đến cực bắc của kim nam châm thử chính là hướng của

véctơ .

Ngoài véctơ cảm ứng từ , còn dùng véctơ cường độ từ trường để đặc trưng cho từ

trường. Véctơ được định nghĩa như sau:

0

BH

= (2.2)

Sau này chúng ta sẽ thấy véctơ do dòng điện tạo ra ngoài sự phụ thuộc vào dòng điện và vị

trí của các điểm trong từ trường, còn phụ thuộc vào môi trường xung quanh dòng điện. Véctơ chỉ

B

B

v

LF

0 ( )LF q v B=

sin0vq

FB L=

B

B

B

B H

H

B

H


11

phụ thuộc vào dòng điện và vị trí các điểm trong từ trường, không phụ thuộc vào môi trường. Đơn vị

đo cường độ từ trường là (A/m).

3. Định luật Bio -Xava – Laplax

Trên dây dẫn hình dạng bất kỳ có dòng điện, ta lấy một véc

tơ (có chiều là chiều dòng điện, có độ dài đủ nhỏ để coi là

thẳng). Khi đó tích gọi là một phần tử dòng điện. Cảm ứng từ

do dòng điện tạo ra tại mỗi điểm trong không gian được coi là tổng

hợp các cảm ứng từ do tất cả các phần tử dòng của dây dẫn tạo ra.

Vậy việc xác định cảm ứng từ của một phần tử dòng là vấn đề rất

quan trọng trong việc tính toán cho từ trường.

Để tính cảm ứng từ của một phần tử dòng điện, chúng ta

dùng định luật Bio - Xava - Laplax có nội dung như sau:

+) Tại điểm M trong không gian, véctơ cảm ứng từ do

phần tử dòng tạo ra có phương vuông góc với mặt phẳng tạo

bởi và (hình 2.1). Ba véctơ , và theo thứ tự đó

làm thành một tam diện thuận.

+) Về độ lớn thì cảm ứng từ dB được tính theo công thức: , trong đó là

góc tạo bởi và , là độ từ thẩm của môi trường, (T.m/A) gọi là hằng số từ.

+) Công thức dạng véc tơ của định luật Biô - Xava - Laplax được viết :

(2.3)

4. Nguyên lý chồng chất từ trường

Nếu tính cảm ứng từ của một dòng điện bất kỳ, chúng ta lấy tích phân sau:

Nếu có n dòng điện thì cảm ứng từ do hệ các dòng điện tạo ra tại mỗi điểm được tính theo

công thức: .

§2. CÁC VÍ DỤ TÍNH CẢM ỨNG TỪ CỦA DÒNG ĐIỆN

1. Cảm ứng từ của dòng thẳng

Điểm M cách dây dẫn mảnh có dòng điện cường độ I một khoảng là OM = R (hình 2.2). Một

phần tử dòng điện bất kỳ tạo ra tại M véctơ cảm ứng từ được tính theo công thức (2.3).

Để tính tích phân, chúng ta đổi biến số. Chọn chiều dòng điện là chiều dương trục tọa độ Ox, khi đó

thì:

x = - Rcotg; r = R/sin; dL = dx =

Nhận xét: Tại M thì mọi véctơ do tất cả các phần tử dòng điện tạo ra đều có cùng hướng.

dL

.I dL

dB

IdL

IdL r IdL r dB

0

2

sin.

4

IdLdB

r

=

IdL r 7

0 4 .10 −=

0

3.

4

IdL rdB

r

=

B = 0

3.

4

IdL rdB

r

=

1

n

i

i

B B=

=

IdL dB

2sin

dR

dB

Hình 2.1

Idl

dB

r

M

(2.4)

(2.5)


12

Do vậy véctơ có cùng hướng với các véctơ , nên với dòng thẳng thì véctơ tại M

có phương vuông góc với mặt phẳng tạo bởi dòng điện và điểm M, có chiều được xác định nhanh

bằng quy tắc "cái đinh ốc 1".

Để tính tích phân, chúng ta đổi biến số. Chọn chiều

dòng điện là chiều dương trục tọa độ Ox, khi đó thì :

x = - Rcotg; r = R/sin; dL = dx =

Nhận xét: Tại M thì mọi véctơ do tất cả các

phần tử dòng điện tạo ra đều có cùng hướng. Do vậy véctơ

có cùng hướng với các véctơ , nên với dòng

thẳng thì véctơ tại M có phương vuông góc với mặt

phẳng tạo bởi dòng điện và điểm M, có chiều được xác

định nhanh bằng quy tắc "cái đinh ốc 1".

Về độ lớn thì:

dB = =

Nếu tính cho một đoạn dòng điện thẳng PQ thì tích phân được lấy cận từ góc 1 đến góc 2,

được kết quả:

B = (cos1 - cos2) (2.6)

Cường độ từ trường:

H = (cos1 - cos2) (2.7)

Với dòng thẳng dài vô hạn thì 1 = 0; 2 = .

Do vậy :

B = , H = (2.8)

2. Cảm ứng từ của dòng điện tròn

Một dây dẫn có dạng là đường tròn tâm O, bán

kính R có dòng điện cường độ I. Tính cảm ứng từ do

dòng điện tạo ra tại điểm M nằm trên trục của đường

tròn, cách tâm đường tròn một khoảng OM = h. Ta

chia đường tròn thành vô số phần tử dòng (hình

2.3). Véc tơ cảm ứng từ do phần tử dòng

tạo ra tại M được phân tích thành hai thành phần:

Trong đó trùng với trục của vòng tròn, ndB

vuông góc với trục vòng tròn.

B dB= dB B

2sin

dR

dB

B dB= dB

B

0

4

I

2

sindL

r

0

4 R

sin d

0

4

I

R

4

I

R

0

2

I

R

2

I

R

IdL

dB IdL

t ndB dB dB= +

tdB

I

Idl

dB’

dBt

Idl'

dBn

dB

R

O

Hình 2.3

dB

x

2

Idl r

1

R o

2

M

Hình 4 Hình 1.2


13

Nhận xét: nếu lấy phần tử dòng đối xứng với qua tâm O thì phần tử dòng tạo ra

tại M véc tơ cảm ứng từ . Do đối xứng, tổng hai thành phần . Khi đó

véc tơ cảm ứng từ tại M là:

Do mọi thành phần đều cùng chiều nên véc tơ cảm ứng từ tại M có phương trùng với

trục của vòng dây, có chiều cũng được xác định theo quy tắc"cái đinh ốc 2" (hai quy tắc "cái đinh

ốc" 1 và 2 chúng ta đã làm quen ở chương trình THPT).

Về độ lớn thì cảm ứng từ B tại M là: sin

Trong đó sin = 1, còn r được tính bằng: r2 = R2 + h2; sin = .

Kết quả khi lấy tích phân trên vòng dây thì các đại lượng R, và h không đổi, = 2 R.

Ta được: B = (2.9)

Tại tâm vòng tròn thì h = 0. Vậy cảm ứng từ tại tâm O có độ lớn: B0 =

3. Momen từ của dòng điện kín.

Để thuận tiện trong tính toán, người ta đưa ra khái niệm momen từ của dòng kín. Xét một dòng

điện có dạng là đường cong kín phẳng với cường độ I, diện tích S (hình vẽ 2.4). Chọn véc tơ pháp

tuyến đơn vị của S là có chiều nhận chiều dòng điện kín làm chiều quay thuận (là chiều véc tơ

cảm ứng từ do dòng kín tạo ra). Ta định nghĩa đại lượng véc tơ:

(2.10)

Khi đó gọi là momen từ của dòng kín. Nếu gọi véc tơ

là véc tơ diện tích thì:

Theo định nghĩa, momen từ của dòng điện kín có đơn vị đo là

(A.m2). Véc tơ cảm ứng từ do dòng tròn tạo ra tại điểm nằm trên trục của

vòng dây có thể viết lại như sau:

Nếu xét tại các điểm rất xa tâm O của vòng dây dẫn thì :

thì

4. Cảm ứng từ do hạt điện chuyển động có hướng tạo ra

Xét một phần tử dòng điện I tạo ra cảm ứng từ tại điểm M là (định luật Bio - Xava -

Laplax), ta coi phần tử dòng được tạo bởi dn hạt điện chuyển động có hướng với véc tơ vận tốc trung

bình là . Số hạt điện dn = n0dV = n0. S.dL, trong đó S là tiết diện ngang của dây dẫn.

/IdL IdL /IdL/ / /

t ndB dB dB= + / 0n ndB dB+ =

t n tB dB dB dB dB= = + =

tdB B

.4

ot

IB dB

= = 2

sindL

r

2 2

R

R h+

dL2

2 2 3/ 22( )

oIR

R h

+

0

2

I

R

n

B

. .mp I S n=

mp .S S n=

.mp I S=

0

2 2 3/ 22 ( )

mpB

R h

=

+

2 2 3/ 2 3( )R h R+ 0

32

mpB

R

=

dL dB

v

pm

S

n

O

I

Hình 2.4


14

Mặt khác: I = j.S = n0.q0.v.S, q0 là điện tích của mỗi hạt điện. Gọi là cảm ứng từ của một

hạt điện tạo ra tại M.

Ta có: =

Chú ý: .

Do đó ta được:

§3. ĐỊNH LÝ O - G CHO TỪ TRƯỜNG

(Định lý Otrogradski - Gauss).

1. Đường sức từ trường.

Để biểu diễn từ trường, phương pháp đơn

giản nhất là dùng các đường sức. Qua hình ảnh các

đường sức, ta biết được chiều và độ lớn của cảm

ứng từ tại mỗi điểm trong từ trường. Đường sức từ

trường được định nghĩa là các đường cong (trong

trường hợp tổng quát) vẽ trong từ trường sao cho

tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với phương

của véc tơ cảm ứng từ tại đó, chiều của đường sức

là chiều của véc tơ cảm ứng từ (hình 2.5).

Ngoài ra còn quy ước: số đường sức qua một

đơn vị diện tích đặt vuông góc với các đường sức

thì bằng cảm ứng từ. Như vậy có thể hiểu là mật độ

đường sức thì bằng độ lớn của cảm ứng từ. Tập hợp

các đường sức từ trong một từ trường gọi là từ phổ

của từ trường đó.

Các hình 2.6 (a,b,c) mô tả đường sức từ

trường của dòng điện thẳng, dòng điện tròn và của

ống dây điện. Đường sức từ trường là các đường

cong kín. Đó là điểm khác biệt giữa từ trường và

điện trường tĩnh.

2. Từ thông.

Xét một mặt có diện tích S bất kỳ ở trong một từ

trường. Ta chia S thành vô số các diện tích vi phân (còn

gọi là nguyên tố diện tích) dS sao cho trong phạm vi

mỗi một dS thì từ trường coi là đều (hình 2.7). Tại dS

thì véc tơ cảm ứng từ là , ngoài ra chúng ta đã định

nghĩa véctơ diện tích . Đại lượng vô hướng

gọi là từ thông qua diện tích dS.

Từ định nghĩa, ta có các nhận xét về từ thông như

sau:

qB

qB =dB

dn

0 0

3

. ( ).

4

q v dL r

r dL

0 0( ) ( )q v dL r q dL v r =

0 0

3

( )

4q

q v rB

r

=

B

.dS dS n=

.md B dS =

I

Hình 2.6b

M Bm

I

Hình 2.5

Hình 2.6a

Hình 2.6c

Hình 2.7

dS

dS

B

S


15

+ , trong đó dSn là hình chiếu của dS lên mặt phẳng vuông góc với

véctơ cảm ứng từ. Vậy từ thông là đại lượng vô hướng có giá trị đại số. Khi là góc nhọn thì từ

thông qua dS mang dấu dương, khi là góc tù thì mang dấu âm, khi = 900 thì từ thông qua dS bằng

0.

+ Do B = mật độ đường sức từ nên về độ lớn thì được tính bằng số đường sức từ

qua dSn (cũng bằng số đường sức từ qua dS).

Để tính từ thông qua diện tích S, lấy tổng từ thông qua tất cả các diện tích vi phân của S.

Ta có công thức tổng quát sau:

. (2.11)

3. Định lý O - G cho từ trường.

a. Phát biểu định lý: Từ thông qua một mặt kín S bất kỳ trong từ trường thì bằng 0.

b. Chứng minh: Ta luôn chọn chiều véc tơ pháp tuyến đơn vị tại mỗi điểm của mặt kín S hướng ra

bên ngoài mặt. Mặt kín S coi tạo bởi 2 mặt cong S1 và S2 (hình 2.8). Khi đó từ thông qua S được

tính:

+==S SS

m SdBSdBSdB21

Nhận xét: ở mặt S1 thì các đường sức đi

vào nên góc tạo bởi ( , )B dS là góc tù ứng với

tất cả các diện tích vi phân dS, còn ở mặt S2

thì các đường sức đi ra nên là góc nhọn.

Do vậy:

0; 0.

Về trị số tuyệt đối thì từ thông

là bằng nhau vì số đường sức từ đi vào mặt S1 đúng bằng số đường sức từ đi ra khỏi mặt S2. Kết

quả là :

+ Do đường sức từ trường là các đường cong kín nên từ trường là một trường "xoáy". Định lý

O - G mà chúng ta chứng minh được là dựa trên tính chất "xoáy" của từ trường. Vì vậy có thể nói

biểu thức: =S

SdB 0

mô tả tính chất "xoáy" của từ trường.

+ Trong tính toán, người ta hay dùng định lý O - G ở dạng vi phân. Trong toán học chúng ta đã

có công thức của định lý O - G cho phép chuyển tích phân trên mặt kín thành tích phân theo thể tích:

=VS

dVBdivSdB

. Trong đó (toán tử divergence)

Theo kết quả của định lý thì phải có:

(2.12)

Công thức (2.12) là dạng vi phân của định lý O - G cho từ trường.

. cos .m nd B dS B dS = =

.m nd B dS =

md

.m m

S S

d B dS = =

1

1 .m

S

B dS = 2

2 .m

S

B dS =

1 2;m m

1 20m m m = + =

yx zBB B

divBx y z

= + +

0divB =

dS

B

S1 S2

B dS

Hình 2.8


16

§4. ĐỊNH LÝ VỀ DÒNG TOÀN PHẦN.

1. Lưu số của véc tơ cường độ từ trường.

Giả sử có một đường cong kín (C) trong từ

trường. Trên (C) chọn một chiều dịch chuyển quy

ước là chiều dương. Ta chia (C) thành vô số các

véctơ có chiều trùng chiều dương quy ước, có

độ dài rất nhỏ sao cho coi là thẳng. Trong

mỗi đoạn thì từ trường được coi là không đổi

(véctơ là như nhau tại mọi điểm). Lập tích vô

hướng: = .cos, trong đó là góc tạo

bởi 2 véctơ là và (hình 2.9).

Định nghĩa: ( ) ( )

cosC C

Hdl Hdl = gọi là lưu số của véctơ cường độ từ trường dọc theo đường

cong kín (C) một vòng.

Theo định nghĩa thì lưu số của véctơ cường độ từ trường là đại lượng vô hướng, có giá trị đại

số, đơn vị đo là (A), cùng đơn vị đo của cường độ dòng điện.

2. Định lý dòng toàn phần.

a. Phát biểu định lý: Lưu số của véctơ cường độ từ trường dọc theo đường cong kín (C) một vòng

có giá trị bằng tổng đại số cường độ của các dòng điện xuyên qua diện tích (S) giới hạn bởi

đường cong kín (C) đó.

b. Chứng minh định lý

Chúng ta chứng minh định lý trong trường

hợp đơn giản nhất: (C) là đường cong kín phẳng, có

một dòng điện cường độ I xuyên vuông góc với (S),

(hình 2.10).

Tại điểm M trên đường cong kín (C), véctơ

vuông góc với OM, véctơ hợp với véctơ một

góc . Qua M ta vẽ một đường sức từ trường là

đường tròn tâm O, bán kính r = OM. Nếu chiều

dương quy ước trên (C) cùng chiều đường sức thì

cos 0. Nếu chiều dương quy ước trên (C) ngược chiều đường sức thì cos 0.

cos =

ở đây ds = MN là độ dài cung tròn nên ds = r.d.

Thay: H = và lấy tích phân, được: c

rdr

I1

2

Nếu (C) là đường cong kín bao quanh diện tích S nhưng dòng điện không xuyên qua S thì từ O

ta kẻ 2 tia tiếp xúc với (C), đường cong kín (C) coi tạo bởi 2 đường cong (C1) và (C2). Khi đó, tích

phân được lấy như sau:

1 2) 1 2( ) ( ) ( ( ) ( )

02 2

C C C C C

I IHdl Hdl Hdl rd rd

r r

= + = − + − =− + =

dl

dl

dl

H

.H dl .H dl

H dl

H

dl H

. . .H dl H dl= Hds

2

I

r

(C

(+)

d

r

N

M

dl

H

I

(+)

O

P

d

Hình 2.9

C2

C1

P

O

I

Hình 2.10


17

Từ kết quả của việc chứng minh cho trường hợp đơn giản, chúng ta suy rộng cho trường hợp

tổng quát: đường cong kín (C) có hình dạng bất kỳ, dòng điện không nhất thiết phải là thẳng thì kết

quả vẫn đúng.

Nếu có n dòng điện xuyên qua diện tích S giới hạn bởi (C) thì véctơ cường độ từ trường tại các

điểm trên (C) là tổng các véc tơ cường độ từ trường do các dòng điện tạo ra. Khi đó:

, thay vào tích phân, ta được:

===

===n

i

i

n

i

i

c

n

i

i

c

IldHldHldH111

(2.13)

Biểu thức (2.13) là biểu thức tổng quát của định lý dòng toàn phần trong trường hợp chỉ có các

dòng điện dẫn xuyên qua diện tích S giới hạn bởi (C). Khi vận dụng biểu thức đó cần chú ý: dòng

điện nào tạo từ trường có đường sức cùng chiều với chiều dương quy ước của (C) thì cường độ I của

dòng đó có giá trị dương và ngược lại.

3. Ứng dụng của định lý dòng toàn phần

a. Tính cảm ứng từ của ống dây điện thẳng, dài

Một ống dây điện thẳng, dài dạng hình trụ, trên đo có quấn các vòng dây một cách đều đặn.

Cho dòng điện qua ống dây với cường độ I thì trong ống dây có từ trường. Gần đúng có thể coi từ

trường chỉ tập trung trong lòng ống dây và là từ trường đều (Hình 2.11).

Ta chọn đường cong kín (C) có dạng là hình chữ nhật MNPQ có chiều dương quy ước như

hình vẽ, chiều dịch chuyển trên (C) ở trong ống dây cùng chiều đường sức từ trường. Lưu số của véc

tơ cường độ từ trường được tính:

+++=QMPQMNPQ NPMN

ldHldHldHldHldH

Trên đoạn MN thì H = 0, trên đoạn NP và

QM thì vuông góc với nên tích phân trên

MN, NP và QM bằng 0. Trên đoạn PQ thì cùng

chiều và giá trị của H không đổi. Vậy kết quả

tích phân sẽ là:

QPHlHHdlldHPQMNPQ

.. ===

Ta gọi số vòng dây dẫn (chính là số dòng điện) xuyên qua S giới hạn bởi MNPQ là n. Theo kết

quả của định lý thì :

(2.14)

Trong đó n0 là số vòng dây trên một đơn vị dài của ống dây. Cảm ứng từ trong ống dây:

(2.15)

b. Tính cảm ứng từ của ống dây hình xuyến

Một hình xuyến có bán kính trong R1, bán kính ngoài R2 có quấn các vòng dây dẫn mang dòng

điện. Gần đúng ta cho rằng từ trường chỉ tập trung trong lòng hình xuyến, đường sức từ là các đường

tròn tâm O, bán kính R. Nếu R1 và R2 không chênh lệch nhau quá nhiều thì cảm ứng từ trong lòng

hình xuyến coi có độ lớn không đổi (hình 2.12).

1

n

i

i

H H=

=

H dl

H

dl

0.nI

H l nI H n Il

= → = =

0 0 0B H n I = =

M N

P Q

Hình 2.11


18

Chọn (C) trùng với một đường sức từ thì hai véc tơ cùng chiều. Khi đó:

===c cc

RHdlHdlHldH 2..

Số vòng dây của hình xuyến là n thì số dòng điện xuyên

qua S giới hạn bởi (C) là n. Theo kết quả của định lý thì:

=c

ldH

nI => H.2 R = nI

Và do đó: B = 0n0I

Trong đó n0 cũng là số vòng dây quấn trên một đơn vị dài

(mật độ vòng dây).

§5. TÁC DỤNG CỦA TỪ TRƯỜNG LÊN DÒNG ĐIỆN

1. Tác dụng của từ trường lên một phần tử dòng điện, lên một dòng điện

a. Lực từ tác dụng lên một phần tử dòng điện

Xét một phần tử dòng điện đặt trong từ trường. Tại nơi đặt phần tử dòng thì từ trường coi

là đều (vì độ dài dL đủ nhỏ), cảm ứng từ là . Ta coi phần tử dòng tạo nên bởi dn = n0.S.dL hạt

điện chuyển động có hướng với véc tơ vận tốc trung bình là . Lực tác dụng tổng hợp của từ trường

lên dn hạt điện chuyển động có hướng trong phần tử dòng chính là lực mà từ trường tác dụng lên

phần tử dòng. Do đó:

Chú ý: và mật độ dòng điện j = n0.q0.v, I = j.S, được kết quả lực mà từ trường tác

dụng lên một phần tử dòng: (2.16)

Công thức (1.13) còn có tên gọi là công thức lực Ampe.

Độ lớn của lực Ampe: dF = I.dL.B. sin

Trong đó là góc tạo bởi hai véc tơ và

b. Lực từ tác dụng lên một dòng điện

Có một dòng điện hình dạng tuỳ ý, đặt trong một từ trường bất kỳ. Ta chia dòng đó thành vô số

các phần tử dòng . Tại mỗi phần tử dòng thì từ trường coi không đổi có véc tơ cảm ứng từ .

Khi đó phần tử dòng chịu tác dụng lực từ là lực Ampe. Lấy tổng các lực do từ trường tác dụng lên

mọi phần tử dòng thì sẽ được lực từ tác dụng lên dòng điện. Do đó ta có:

== BLIdFdF

Trường hợp đơn giản là trong từ trường đều, dòng điện là thẳng thì trên chiều dài PQ = L của

dòng điện sẽ chịu tác dụng của lực từ:

Về độ lớn thì: F = IL.B.sin

Trong đó là góc tạo bởi dòng điện và véctơ cảm ứng từ.

;H dl

02

nH I n I

R→ = =

IdL

B

v

0 0. . . . ( )LdF dn F n S dL q v B= =

. .dL v v dL=

dF IdL B=

B IdL

IdL B

( )F I L B=

R1

R2

R

O

Hình 2.12


19

2. Tác dụng của từ trường lên một mạch điện kín. Momen của lực từ

Trong trường hợp đơn giản ta xét một mạch kín có

dạng hình chữ nhật MNPQ đặt trong từ trường đều, cảm

ứng từ B (hình vẽ 1.13). Tại thời điểm nào đó thì véctơ

momen từ của dòng điện và véctơ cảm ứng từ hợp

với nhau một góc . Lực từ tác dụng lên cạnh MN và PQ là

và ngược hướng, giá của

hai lực cùng nằm trên đường thẳng xx/ nên chỉ có tác dụng

làm biến dạng khung. Giả thiết khung cứng thì hai lực đó bị

khử bởi phản lực của khung.

Lực tác dụng lên cạnh NP là

Lực tác dụng lên cạnh QM là

Hai lực đó cùng phương nhưng không cùng giá nên

chúng tạo ngẫu lực làm khung quay xung quanh trục xx/. Momen của ngẫu lực được tính theo công

thức:

µ = d.F3 = a.sinα.B.I.b, a.b = S → µ = B.I.S.sinα.

I.S = pm là momen từ của khung dây.

Mặt khác, hai véctơ và hợp với nhau một góc , là véctơ có phương nằm trên trục

quay. Do vậy có thể viết:

(2.17)

Độ lớn của momen ngẫu lực:

= pm.B.sin (2.18)

Dưới tác dụng của ngẫu lực, khung quay xung quanh truc xx/ đến khi momen lực triệt tiêu. Khi

đó góc = 0 nghĩa là hai véctơ và cùng chiều, mặt phẳng khung vuông góc với đường sức từ

trường. Ta nói khung đã tiến tới trạng thái cân bằng bền.

3. Năng lượng của mạch điện kín trong từ trường. Công của lực từ

a. Năng lượng của mạch điện kín trong từ trường

Mạch điện kín trong từ trường có tương tác với từ trường nên có năng lượng tương tác. Năng

lượng đó gọi là năng lượng của mạch điện kín trong từ trường. Để tính năng lượng đó, ta xét công

của momen lực từ làm quay khung dây chữ nhật MNPQ. Khi khung quay một góc d thì momen lực

thực hiện công dA = - .d = - pm.B.sin.d

Có dấu (-) là vì momen lực từ luôn sinh công cản trở lại sự chuyển động của khung dây trong

từ trường vì xu hướng tác dụng của momen lực từ là làm khung tiến tới trạng thái cân bằng bền.

Công dA dương nếu d < 0 và ngược lại.

Lấy tích phân từ vị trí mà hai véctơ và hợp với nhau một góc = 1 đến vị trí có =

2 , được: A =

Viết lại: A = ( - pm.B.cos1) - ( - pm.B.cos2 ) (2.19)

mp B

1 ( )F I MN B= 2 ( )F I PQ B=

3 ( )F I NP B=

4 ( )F I QM B=

mp

B

mp B =

mp B

mp B

2 2

1 1

1 2. .sin . . ( )m mdA p B d p B cos cos

= − = − −

M

N

P

Q

x

F1

b

a

F3

F2

x’

F4

d

B

Pm

Hình 2.13

Hình 9.13


20

Trong trường thế thì công của lực (momen lực) tính bằng độ giảm thế năng. Từ trường không

phải là trường thế nên ta chỉ nói là công của lực từ tác dụng lên mạch kín bằng độ giảm năng lượng

của mạch điện kín trong từ trường. Vậy có thể đặt:

Năng lượng của khung dây khi ở vị trí mà hai véctơ và hợp với nhau một góc :

Wm = - pm.B.cos = (2.20)

Công thức (2.20) mặc dù được xây dựng cho khung dây chữ nhật trong từ trường đều nhưng

được tổng quát hóa cho mọi mạch điện kín ở trong từ trường bất kỳ.

b. Công của lực từ

Để tiện sử dụng, công thức (2.19) ta có thể biến đổi như sau: pm = I.S

A = I.B.S. cos2 - I.B.S. cos1 = I.m2 - I.m1 = I.m (2.21)

Trong đó m là biến thiên của từ thông qua diện tích của khung dây dẫn trong từ trường.

Trường hợp khung quay một góc nhỏ d thì công nguyên tố dA = I.dm (2.22)

Mặc dù công thức (2.21) và (2.22) được xây dựng cho khung dây chữ nhật nhưng ta tổng quát

hoá cho mọi mạch kín bất kỳ khi chuyển động trong từ trường. Khi vận dụng cần chú ý là nếu chỉ có

lực từ tác dụng lên mạch kín thì dm luôn dương vì xu thế là lực từ luôn làm cho khung tiến tới

trạng thái cân bằng nên m tăng. Vậy nếu có ngoại lực khác làm mạch kín dịch chuyển trong từ

trường lệch khỏi vị trí cân bằng bền thì lực từ sinh công cản, chống lại sự dịch chuyển đó.

4. Năng lượng của mạch điện trong từ trường.

Ta biết rằng công của lực từ trong sự dịch chuyển đều một mạch điện kín trong từ trường là:

(2.23)

Theo định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng thì công này phải bằng độ giảm năng

lượng của mạch điện trong từ trường.

Để đơn giản giả sử mạch điện là một khung dây kín diện tích S quay đều trong từ trường đều.

1 2 1 2 1 2' ( ) cos cos cos cosm m m m mA I I IBS IBS p B p B W =− = − = − = − =

hay (2.24)

§6. HẠT ĐIỆN CHUYỂN ĐỘNG VÀ TỪ TRƯỜNG.

1. Từ trường gây bởi một hạt điện chuyển động.

Dòng điện sinh ra từ trường, hạt điện chuyển động có hướng thì tạo thành dòng điện vậy các

hạt điện chuyển động có hướng phải tạo ra từ trường.

Giả sử có một hạt điện có điện tích là q chuyển động có hướng với vận tốc tạo ra tại M bất

kì trong không gian véc tơ cảm ứng từ . Thì có:

-Điểm đặt tại M.

-Phương vuông góc với mặt phẳng chứa véc tơ vận tốc và điểm M.

mp B

.mp B−

( )

( )

( )

( )

mm IdIdAA === ..

2

1

2

1

BpW mm

.−=

v

B

B

v


21

-Chiều sao cho 3 véc tơ , ,qv r B theo thứ tự tạo thành tam diện thuận hoặc xác định theo qui

tắc đinh ốc đối với hạt điện dương, hạt điện âm có chiều ngược lại.

-Độ lớn :

* Biểu thức: (2.25)

2. Hạt điện chuyển động trong từ trường- Lực Lorentz.

Xét một hạt điện có điện tích q chuyển động có hướng với vận tốc vào trong từ trường đều

có cảm ứng từ . Hạt điện sẽ chịu tác dụng lực từ do từ trường tác dụng lên nó gọi là lực Loren kí

hiệu .

Biểu thức: (2.26)

Trong đó :

- có phương vuông góc với mặt phẳng chứa ( , ),

- có chiều tuân theo qui tắc bàn tay trái đối với hạt điện dương và - chiều ngược lại đối với hạt

điện âm.

- Độ lớn sinF q vB =

Chú ý:

1. Nếu hạt điện chuyển động theo phương vuông góc với từ trường.

Lực Loren luôn vuông góc với véc tơ vận tốc, nó có tác dụng làm thay đổi hướng chuyển động

của hạt điện và nó chính là lực hướng tâm khi đó hạt điện có quỹ đạo là một đường tròn. Bán kính

quỹ đạo sẽ được xác định từ công thức sau:

2

L ht

mvF F qvB

R= =

=> Bán kính quỹ đạo mv

RqB

= (2.27)

Tần số và chu kì quay của hạt điện trong từ trường là:

(2.28)

(2.29)

2. Nếu hạt điện chuyển động tạo với phương của từ trường một góc bất kì.

Khi đó lực Lorentz luôn vuông góc với phương chuyển động của hạt điện do đó nó không sinh

công hay động năng của hạt điện không đổi, véctơ vận tốc chỉ thay đổi về phương, độ lớn không đổi.

Hạt điện chuyển động cong đều.

2

0sin.

4 r

vqB

=

3

0

4 r

rvqB

=

v

B

LF

BvqFL

= .

LF

v

B

m

qB

R

vf

222===

qB

m

fT

21==


22

Lực Lorentz (2.30)

trong đó song song với phương của từ trường, vuông góc với từ trường.

vậy theo phương từ trường hạt điện chuyển động thẳng đều với vận tốc v .

luôn vuông góc với đóng vai trò lực hướng tâm làm hạt điện chuyển động

theo quỹ đạo tròn có mặt phẳng quỹ đạo vuông góc với từ trường. Bán kính quỹ đạo xác định bởi

công thức:

(2.31)

Chu kì quay trên quỹ đạo tròn:

(2.32)

CHƯƠNG 3: CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

§1: ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA HIỆN TƯỢNG CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

1. Hiện tượng cảm ứng điện từ

Như chúng ta đã biết, khi từ thông qua một mạch kín biến thiên thì trong mạch xuất hiện dòng

điện cảm ứng. Hiện tượng đó gọi là hiện tượng cảm ứng điện từ.

Nếu hình dạng mạch kín không đổi thì diện tích mạch không đổi. Vậy có hai cách làm từ thông

qua mạch biến thiên:

Một là: Đặt mạch kín trong một từ trường biến đổi theo thời gian.

Hai là: Nếu từ trường không đổi thì làm cho mạch điện chuyển động trong từ trường. Ví dụ

quay một khung dây trong từ trường.

Nhận xét:

Để tạo ra dòng điện cảm ứng ta phải tốn năng lượng vì khi trong mạch kín có dòng cảm ứng

thì từ trường sẽ tác dụng lực từ làm cản trở sự chuyển động của mạch kín trong từ trường. Chúng ta

đã biết là lực từ luôn có xu hướng đưa mạch kín tiến tới trạng thái cân bằng bền là trạng thái mà

mạch kín có năng lượng cực tiểu.

Hai mạch kín có kích thước giống hệt nhau, từ thông biến thiên qua diện tích hai mạch cũng

giống nhau nhưng cường độ dòng cảm ứng trong hai mạch lại khác nhau vì điện trở của hai mạch

khác nhau. Vậy cường độ dòng cảm ứng không đặc trưng đầy đủ cho hiện tượng cảm ứng điện từ mà

phải là suất điện động cảm ứng.

Theo cách hiểu thông thường thì muốn có dòng điện phải có nguồn điện. Vậy ta có thể cho

rằng: khi từ thông qua diện tích một mạch kín biến thiên thì trong mạch đã xuất hiện một "nguồn

điện". Nguồn điện đó sinh ra dòng điện cảm ứng. Đại lượng đặc trưng cho nguồn điện là suất điện

động của nguồn điện. Từ đó có thể kết luận:

BvqBvqFFFL

+=+= 2121

1v

2v

01 =F

BvqFFL

== 22 2v

qB

mv

qB

mvR

R

mvBqv

sin; 2

2

22 ===

qB

m

fT

21==


23

S N

N S

(c)

(1), t

(2), t + dt

Hình 3.1

Hình 3.2

=> Khi từ thông qua diện tích của một mạch kín biến thiên thì trong mạch xuất hiện một suất điện

động cảm ứng.

Chú ý: Nếu mạch hở nhưng từ thông qua mạch biến thiên thì trong mạch vẫn có suất điện động

cảm ứng. Mạch khi đó tương đương một nguồn điện bị hở mạch.

2. Định luật Lenz

Để xác định chiều của dòng cảm ứng, ta dùng định luật Lenz:

Dòng cảm ứng có chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại nguyên nhân

sinh ra nó (chống lại sự biến thiên của từ thông qua diện tích mạch).

Có thể hiểu định luật Lenz qua ví dụ sau: Một ống dây thẳng đặt trong từ trường của một nam

châm (hình 3.1). Khi dịch chuyển cực bắc của nam châm lại gần ống dây, từ thông qua ống dây tăng,

dòng cảm ứng xuất hiện trong ống dây làm ống dây có từ trường có chiều sao cho đầu ống dây gần

cực bắc của nam châm trở thành cực bắc của ống dây. Do đó xuất hiện lực tương tác từ giữa nam

châm và ống dây, lực đó là lực đẩy chống lại sự dịch chuyển tương đối giữa nam châm và ống dây.

Khi dịch chuyển nam châm ra xa ống dây thì từ thông qua ống dây giảm, đầu ống dây gần cực bắc

của nam châm lại trở thành cực nam của ống dây. Giữa nam châm và ống dây lại xuất hiện lực hút

chống lại sự dịch chuyển đó. Vậy có thể kết luận:

Định luật Lenz phù hợp với định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng. Muốn có dòng điện

cảm ứng (năng lượng điện) thì phải tốn công.

3. Định luật cơ bản của hiện tượng cảm ứng điện từ (Định luật Faraday)

Chúng ta đi tìm biểu thức định lượng của hiện

tượng cảm ứng điện từ. Giả sử có một mạch kín (C)

trong từ trường. Tại thời điểm t, mạch ở vị trí (1), từ

thông qua mạch là m1. Sang thời điểm t + dt, mạch

dịch chuyển trong từ trường tới vị trí (2), từ thông qua

mạch là m2 (hình 3.2). Trong khoảng thời gian dt, từ

thông qua mạch biến thiên là dm nên xuất hiện suất

điện động cảm ứng C tạo dòng cảm ứng iC (coi dòng

cảm ứng là không đổi trong thời gian dt).

Năng lượng của "nguồn điện" tương ứng với

suất điện động cảm ứng C trong thời gian dt là:

dW = C.iC.dt

Từ trường sinh công cản là: dA = iC.dm .

Công ta tốn để thắng công cản của từ trường:

dA’ = - dA = dW

dA’ theo định luật bảo toàn sẽ chuyển hoá thành năng

lượng của nguồn điện cảm ứng. Vậy:

C.iC.dt = - iC.dm

Ta được: C = - (3.1) md

dt


24

Công thức (3.1) là công thức của định luật cơ bản về hiện tượng cảm ứng điện từ. Chúng ta có

thể phát biểu định luật như sau:

Suất điện động cảm ứng trong mạch bằng độ giảm của từ thông qua diện tích mạch trong

một đơn vị thời gian.

hoặc:

Suất điện động cảm ứng trong mạch bằng đạo hàm của từ thông qua diện tích mạch theo

thời gian nhưng lấy ngược dấu.

§2. HIỆN TƯỢNG TỰ CẢM

1. Hiện tượng tự cảm

Trong hiện tượng cảm ứng điện từ, ta thấy khi một mạch kín ở trong từ trường ngoài (do nam

châm hoặc mạch điện khác tạo ra) mà từ thông qua diện tích mạch thay đổi thì trong mạch xuất hiện

suất điện động cảm ứng.

Bây giờ chúng ta xét riêng một mạch kín có dòng điện chạy qua, không đặt trong từ trường

ngoài nào. Mạch kín đó tạo ra từ trường của chính nó. Nếu cường độ dòng điện qua mạch không đổi

theo thời gian thì từ trường do mạch kín tạo ra là từ trường không đổi. Do vậy từ thông do từ trường

đó gửi qua diện tích mạch cũng không đổi.

Vấn đề sẽ khác nếu cường độ dòng điện qua mạch biến thiên theo thời gian. Khi đó từ trường

do dòng điện qua mạch tạo ra là từ trường biến thiên theo thời gian. Vì vậy từ thông do từ trường đó

gửi qua diện tích của mạch cũng biến thiên theo thời gian. Trong mạch phải xuất hiện một dòng cảm

ứng (và tất nhiên trong mạch tồn tại một suất điện động là suất điện động cảm ứng). Dòng cảm ứng

và suất điện động cảm ứng trong trường hợp này được gọi là dòng tự cảm và suất điện động tự cảm.

Vậy có thể khẳng định:

Khi cường độ dòng điện qua một mạch điện biến thiên theo thời gian thì trong mạch xuất hiện

một suất điện động tự cảm.

Nhận xét: Hiện tượng tự cảm thuộc về hiện tượng cảm ứng điện từ nên suất điện động tự cảm

tạo dòng tự cảm chống lại sự tăng hay giảm của từ thông qua diện tích của mạch điện. Khi cường độ

dòng điện qua mạch tăng thì dòng tự cảm phải ngược chiều với dòng qua mạch để dòng tổng cộng

qua mạch là i tăng lên từ từ. Ngược lại, khi dòng điện qua mạch giảm thì dòng tự cảm phải cùng

chiều với dòng qua mạch để cường độ dòng tổng cộng qua mạch là i không giảm đột ngột.

2. Suất điện động tự cảm

Suất điện động tự cảm được tính theo biểu thức của định luật cơ bản về hiện tuợng cảm ứng

điện từ: T.C = md

dt

−

(3.2)

Nhận xét: m B; B i nên m i. Ta đặt: m = Li; trong đó L là hệ số tỉ lệ gọi là độ tự

cảm của mạch (hay hệ số tự cảm). Độ tự cảm L phụ thuộc vào hình dạng, kết cấu của mạch và môi

trường. Đơn vị đo L là henry (H).

Do vậy, suất điện động tự cảm được tính theo công thức:

T.C = di

Ldt

− (3.3)


25

3. Hệ số tự cảm

a. Ý nghĩa của hệ số tự cảm

Mạch điện nào có hệ số tự cảm lớn thì khi cường độ dòng điện qua mạch biến thiên, suất điện

động tự cảm xuất hiện trong mạch lớn nên dòng tự cảm lớn. Dòng tự cảm luôn có xu hướng chống

lại sự biến thiên của cường độ dòng điện qua mạch. Vậy có thể hiểu là hệ số tự cảm đặc trưng cho

"quán tính" của mạch.

b. Hệ số tự cảm của một ống dấy điện thẳng, dài, gần đúng coi từ trường trong ống dây là đều

B = .0 .n0.i = .0. .i

Trong đó i là cường độ dòng điện qua ống dây; n0 là số vòng dây trên một đơn vị dài của ống.

Từ thông qua n tiết diện ống (n vòng dây):

m = n. B. S = .0.i.

Từ công thức: m = L.i ta được:

L = .0. (3.4)

Nếu đặt V = S. là thể tích ống dây, được:

L = .0.

§3. NĂNG LƯỢNG TỪ TRƯỜNG

1. Năng lượng từ trường của một ống dây điện

Chúng ta đi phân tích hiện tượng sau: Có nguồn điện không

đổi suất điện động e, điện trở trong r, mạch ngoài là điện trở thuần

R. Khi cho nguồn phát dòng (đóng khoá K) thì cường độ dòng

điện đạt ngay giá trị ổn định I. Khi đó công của nguồn điện

chuyển hóa hết thành nhiệt tỏa trong mạch (hình 3.3).

Hiện tượng sẽ khác nếu mạch ngoài là một ống dây điện.

Khi đóng khóa K, cường độ dòng điện không thể tăng một cách

đột ngột vì có hiện tượng tự cảm. Phải sau một khoảng thời gian

t nào đó (gọi là khoảng thời gian quá độ) thì cường độ dòng điện

mới đạt giá trị ổn định I. Có thể thiết lập biểu thức định lượng mô

tả đầy đủ hiện tượng trong khoảng thời gian quá độ.

Trong khoảng thời gian quá độ (cường độ dòng điện đang

tăng) thì trong mạch có hai suất điện động: e và suất điện động tự

cảm T.C. Gọi R0 là điện trở thuần tổng cộng của cả mạch, i là

cường độ dòng điện thì theo định luật Ôm cho mạch kín:

e + T.C = Ri hay e - L /dt = Ri

Nhân 2 vế với idt ta được:

n

l

2

.n

Sl

2.n S

l

l

2

0 .n V

di

K e, r

Hình 2.4

e, r K

R

Hình 3.3


26

e.i.dt = L.i.di + R.i2.dt

Nhận xét: e.i.dt = dW là công của nguồn điện sinh ra trong khoảng thời gian dt

R.i2.dt = dQ là nhiệt toả ra trong mạch trong khoảng thời gian dt.

Vậy dW dQ nghĩa là phải có một phần năng lượng của nguồn được chuyển hóa sang dạng

khác không phải là nhiệt.

Chúng ta thấy trong khoảng thời gian quá độ, cường độ dòng điện qua ống dây tăng từ 0 đến I

nên từ trường trong lòng ống dây cũng tăng. Từ trường là môi trường vật chất nên phải có năng

lượng. Vậy có thể cho rằng L.i.di = dWm là độ tăng năng lượng từ trường (năng lượng từ trường

được tích luỹ trong ống dây sau khoảng thời gian là dt). Lấy tổng năng lượng từ trường được tích

luỹ trong khoảng thời gian quá độ, ta được năng lượng từ trường tích luỹ trong lòng ống dây. Đó

chính là phần năng lượng mà nguồn e chuyển hóa sang dạng năng lượng khác mà ta nói ở trên.

Vậy năng lượng từ trường trong ống dây khi cường độ dòng qua ống dây là I được tính:

Wm = (3.5)

2. Năng lượng từ trường, mật độ năng lượng từ trường

Không chỉ trong lòng ống dây khi có dòng điện mới có năng lượng từ trường. Chúng ta thừa

nhận là trong bất kỳ không gian nào có từ trường thì cũng tồn tại năng lượng từ trường.

Để tính được năng lượng của từ trường, phải biết mật độ năng lượng từ trường. Mật độ năng

lượng từ trường được định nghĩa như sau:

Gọi V là thể tích nguyên tố (coi là đủ nhỏ) để từ truờng trong đó là đều. Wm là năng lượng

từ trường trong V. Đại lượng m = (J/m3) gọi là mật độ năng lượng từ trường.

Về ý nghĩa thì đó là năng lượng từ trường trong một đơn vị thể tích.

Dựa vào năng lượng từ trường của ống dây điện thẳng, có thể tính được mật độ năng lượng từ

trường. Coi từ trường trong lòng ống dây là từ trường đều và chỉ tập trung trong thể tích ống dây. Do

vậy: m = (3.6)

3. Công thức tổng quát tính năng lượng từ trường

Trong thể tích V có từ trường, nếu biết hàm mật độ từ trường = (x, y , z) thì ta tính được

năng lượng từ trường trong thể tích đó.

Chia V thành vô số thể tích nguyên tố dV đủ nhỏ để từ trường trong mỗi dV coi là đều. Khi đó

năng lượng từ trường trong thể tích dV là:

dWm = m.dV

Lấy tổng năng lượng từ trường trong tất cả các thể tích nguyên tố dV ta được năng lượng từ

trường trong thể tích V:

Wm = (3.7)

2

0

.. .

2

I

m

L IdW L i di= =

mW

V

22 2

20

2

0

11 12 .

. 2 2 2

m

LIW n SI

B B HV S l Sl

= = = =

2

0

1. .

2 2m

V V V

BdW dV B H dV

= =


27

CHƯƠNG 4. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

§1: LUẬN ĐIỂM THỨ NHẤT CỦA MAXWELL

1.Phát biểu luận điểm.

Xét hai vòng dây dẫn kín được đặt trong từ trường biến thiên theo thời gian ( ( )tB→

). Bằng các

thiết bị đo dòng điện người ta thấy trong hai vòng dây: một vòng được đặt nơi có từ trường ngoài

đang tăng, vòng kia đặt nơi có từ trường ngoài đang giảm thì chúng có chiều dòng điện khác nhau.

Chiều dòng điện trong hai vòng dây kín được xác định bởi định luật Lenx. Dòng điện xuất hiện trong

vòng dây gọi là dòng điện cảm ứng, dòng điện cảm ứng có chiều sao cho từ trường do nó sinh ra

'( )B→

chống lại nguyên nhân sinh ra nó. Dòng điện cảm ứng xuất hiện chứng tỏ trong dây dẫn xuất

hiện điện trường →

E có chiều cùng chiều dòng điện cảm ứng. Theo định nghĩa suất điện động

==)()( cc

ldEldEq

(q = + 1C)

Tức là: Suất điện động có giá trị bằng công của lực điện trường trong dịch chuyển một đơn

vị điện tích dương dọc theo một đường cong kín.

Trường tĩnh điện là trường thế do đó )(c

ldE

= 0 (Lưu số của vectơ cường độ điện trường tĩnh

dọc theo một đường cong kín thì bằng 0). Dòng điện cảm ứng xuất hiện trong mạch điện kín thì

)(c

ldE

≠ 0 như vậy đường sức điện trường ở đây không phải là trường thế mà là trường xoáy.

Đối với điện trường tĩnh là trường thế thì các đường sức điện trường xuất phát từ điện tích

dương và kết thúc tại điện tích âm.

Đối với điện trường xoáy thì các đường sức điện trường là các đường cong khép kín.

Sự biến thiên của từ trường ngoài làm xuất hiện dòng điện cảm ứng hay điện trường xoáy được

Maxwell phát biểu thành luận điểm 1:

“Bất kỳ một từ trường nào biến đổi theo thời gian cũng sinh ra một điện trường xoáy”.

2. Phương trình Maxwell –Faraday.

Theo định luật cơ bản của hiện tượng cảm ứng điện từ:

Hình 3.1

Hình 4.1

E

IC

B

(đang tăng)

IC

B

(đang giảm)

E


28

c= - = -

)(S

SdBdt

d (4.1)

Với m =( )S

BdS là từ thông gửi qua diện tích (S) giới hạn bởi vòng dây kín (C)

Từ định nghĩa suất điện động: c = )(c

ldE

(4.2)

Từ (4.1) và (4.2): )(c

ldE

= -

)(S

SdBdt

d (4.3)

(4.3) gọi là phương trình Maxwell - Faraday dạng tích phân.

Vậy: “Lưu số của vectơ cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất kỳ thì

bằng về giá trị tuyệt đối, nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua

diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.”

Dạng vi phân của phương trình Maxwell - Faraday:

Trong giải tích biểu thức (4.2) có thể viết lại: )(c

ldE

= ( )S

rot E dS→ →

(4.4)

với rot→

E =

zyx EEEzyx

kji

Mặt khác ta có :

( )S

dBdS

dt

−

=

( )

.S

dBdS

dt

−

(4.5)

Từ (4.3), (4.4) và (4.5) ta có:

( )S

rot E dS→ →

= ( )S

dBdS

dt− => rot

→

E = (4.6)

Nói chung →

B = →

B (x,y,z,t) nhưng chỉ có ( )tB→

biến thiên theo thời gian mới sinh ra điện trường

xoáy nên (4.6) có thể viết lại:

rot→

E = (4.7)

(4.7) gọi là phương trình vi phân Maxwell - Faraday dạng vi phân.

dt

d m

dt

Bd−

t

B

−


29

§2. LUẬN ĐIỂM THỨ HAI CỦA MAXWELL

1. Phát biểu luận điểm

Bất kỳ một điện trường nào biến đổi theo thời gian cũng sinh ra một từ trường.

2. Phương trình Maxwell – Ampe.

a. Giả thuyết của Maxwell về dòng điện dịch

Hình 4.2

Định nghĩa: Dòng điện dịch là dòng điện tương đương với điện trường biến thiên theo thời

gian về phương diện sinh ra từ trường.

Theo Maxwell điện trường biến đổi giữa hai bản của tụ điện sinh ra từ trường giống như một

dòng điện (dòng điện dịch) chạy qua toàn bộ không gian giữa hai bản của tụ điện, có chiều là chiều

của dòng điện dẫn trong mạch và có cường độ bằng cường độ dòng điện dẫn trong mạch đó.

Gọi Id là dòng điện dịch giữa hai bản tụ điện có diện tích S.

Khi đó mật độ dòng điện dịch là:

jd = S

I

S

I d = (Id = I tức dòng điện dẫn bằng dòng điện dịch)

Dòng điện dẫn: I =

jd = ( )dt

d

S

q

dt

d

dt

dq

S=

=

1 (4.8)

với S

q= (C/m2) là mật độ điện mặt của tụ điện.

Từ định lý O - G cho điện trường ta có cảm ứng điện giữa hai bản tụ điện:

D = (4.9)

Từ (4.8) và (4.9) => jd = hay →

dj = dt

Dd→

(vì chúng cùng chiều) (4.10)

dt

dq

dt

dD

I

D

H

I

D

H

H

dJ

dJ

H


30

Vậy: “Véctơ mật độ dòng điện dịch bằng tốc độ biến thiên theo thời gian của véctơ cảm ứng

điện”.

Nói chung →

D = →

D (x,y,z,t) tức hàm phụ thuộc vào toạ độ và thời gian nhưng chỉ có →

D (t) biến

thiên theo thời gian mới sinh ra từ trường nên (4.10) được viết lại là :

→

dj = t

D

→

(4.11)

b. Thiết lập phương trình Maxwell – Ampe

Gọi →

j là mật độ dòng điện dẫn và →

dj = t

D

→

là mật độ dòng điện dịch. Ta có mật độ dòng

điện toàn phần là:

→

TPj = →

j + t

D

→

(4.12)

Theo định lý Ampe về dòng điện toàn phần: )(c

ldH

= ITP (4.13)

ITP là dòng điện toàn phần xuyên qua diện tích (S) giới hạn bởi đường cong kín (C)

ITP = ( )

TP

S

j dS = ( )

( )S

DJ dS

T

+ (4.14)

Từ (4.13), (4.14) ta có:

)(c

ldH

= ( )

( )S

DJ dS

T

+ (4.15)

(4.15) gọi là phương trình Maxwell -Ampe dạng tích phân.

Vậy: “Lưu số của vectơ cường độ từ trường dọc theo một đường cong kín bất kỳ thì bằng

cường độ dòng điện toàn phần chạy xuyên qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó”.

Ta có: )(c

ldH

= ( )S

rot H dS→

(4.16)

Trong đó

rot→

H =

zyx HHHzyx

kji

(4.15), (4.16) => rot→

H = T

DJ

+

(4.17)

(4.17) gọi là phương trình Maxwell - Ampe dạng vi phân.


31

§3. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ VÀ HỆ THỐNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

1. Năng lượng trường điện từ

Điện trường và từ trường tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là

trường điện từ.

Trường điện từ có năng lượng. Năng lượng đó tồn tại trong khoảng không gian có sóng điện

từ. Mật độ năng lượng trường điện từ bằng tổng mật độ năng lượng của điện trường và từ trường:

= e + m = (0E2 +0H

2 ) = (ED + BH )

với →

D = 0

→

E ; →

B = 0

→

H

Năng lượng trường điện từ trong thể tích V:

W =( ) ( )

( )V V

dV E D B H dV→ → → →

= +

2. Hệ thống các phương trình Maxwell

a. Phương trình Maxwell – Faraday

Dạng tích phân: ( )C

Edl = ( )S

dBdS

dt

−

(4.17)

Dạng vi phân: t

BErot

−=

→

Phương trình này diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến

thiên và điện trường xoáy.

b. Phương trình Maxwell – Ampe

Dạng tích phân: )(c

ldH

= ( )

( )S

DJ dS

T

+

(4.18)

Dạng vi phân: rot→

H = T

DJ

+

Phương trình (4.18) diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: Điện trường biến thiên cũng sinh

ra từ trường như dòng điện dẫn.

c. Định lý Otrogradski - Gauss đối với điện trường

Dạng tích phân: ( )S

DdS = Q (4.19)

Dạng vi phân: Div→

D = trong đó Div→

D = z

D

y

D

x

D zyx

+

+

Phương trình (4.19) diễn tả tính không khép kín của đường sức điện trường tĩnh (trường thế):

các đường sức điện trường tĩnh xuất phát từ điện tích dương và kết thúc tại điện tích âm nhưng

chúng bị hở ngay tại điện tích.

2

1

2

1


32

d. Định lý Otrogradski - Gauss đối với từ trường

Dạng tích phân: )(S

SdB

= 0 (4.20)

Dạng vi phân: Div →

B = 0

Div →

B = z

B

y

B

x

B zyx

+

+

Phương trình (4.20) diễn tả tính khép kín của đường sức từ trường

e. Các mối liên hệ

Môi trường điện môi: ED

0=

Môi trường dẫn điện: EJ

=

Môi trường từ thẩm: HB

0=

§ 4. SÓNG ĐIỆN TỪ

1. Sự tạo thành sóng điện từ

Vào những năm 1887 - 1889 Hertz dùng một nguồn điện xoay

chiều cao tần nối qua hai ống dây tự cảm đến hai thanh kim loại ở đầu

có gắn hai quả cầu kim loại A và B. Điều chỉnh khoảng cách giữa hai

quả cầu kim loại A và B để có sự phóng điện giữa A và B như vậy

giữa A và B đã xuất hiện một điện trường biến thiên theo thời gian.

Sử dụng các thiết bị đo điện trường, từ trường ta sẽ thấy tại mỗi

điểm trong không gian bao quanh A,B xuất hiện cả điện trường và từ

trường biến thiên theo thời gian.

2. Phương trình Maxwell cho sóng điện từ

Môi trường chân không là môi trường không dẫn ( j

= 0) và là

môi trường không có điện tích ( = 0).

Hệ phương trình Macxoen cho sóng điện từ có dạng:

rot→

E =

rot→

H = t

D

→

(→

j = 0)

Div→

D = 0 ( = 0)

Div→

B = 0

→

D = 0

→

E ; →

B = 0

→

H

t

B

−

~

A C B

Hình 4.3


33

Tính chất sóng điện từ:

+ Sóng điện từ lan truyền trong cả môi trường chất và môi trường chân không với vận tốc:

v = = =

(với c = = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không)

n = là chiết suất tuyệt đối của môi trường.

+ Vận tốc truyền sóng điện từ trong các chất điện môi luôn nhỏ hơn so với vận tốc ánh sáng trong

chân không v < c.

Trong chân không = 1, =1, v = c.

Vậy: Trong chân không sóng điện từ lan truyền với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng.

+ Sóng điện từ là sóng ngang, phương dao động của →

E , →

H vuông góc với phương truyền sóng, 3

vectơ →

E , →

H và →

V theo thứ tự tạo thành một tam diện thuận (khi quay từ →

E sang →

H thì chiều tiến

của đinh ốc là chiều của →

V ).

3. Sóng điện từ phẳng đơn sắc

Sóng điện từ là sóng phẳng đơn sắc, xuất hiện khi nguồn ở rất xa phát ra sóng có một tần số

góc xác định khi đó các mặt sóng là những mặt phẳng song song.

Với sóng phẳng đơn sắc người ta thấy và luôn dao động

cùng pha và trị số của chúng tỉ lệ với nhau:

= .

Hai véctơ và luôn vuông góc với nhau.

Ba véctơ , và →

V theo thứ tự tạo thành tam diện thuận.

4. Năng lượng và năng thông sóng điện từ

Để đặc trưng cho quá trình truyền năng lượng sóng điện từ

trong không gian người ta sử dụng năng thông sóng điện từ: là năng lượng sóng điện từ gửi qua một

diện tích S đặt vuông góc với phương truyền sóng trong một đơn vị thời gian.

Ф = w.S.v

Mật độ năng thông sóng: Mật độ năng thông sóng P là năng thông sóng gửi qua một đơn vị

diện tích P = w.v vì w

cùng chiều với →

v nên ta có thể viết : P = vw

. .

Với sóng phẳng đơn sắc: w = E2 = H2 = E. H

P = w.v = E. H . = E.H

Vì hai véc tơ và luôn vuông góc với nhau nên ta có thể viết:

= →→

HE .

00

1

c

n

c

00

1

→

E→

H

0→

E 0→

H

→

E→

H→

E→

H

0 0 0 0

0 000

1

→

E→

H

→

H

→

→

P

V

→

E

Y

Z

X O

Hình 4.4


34

CHƯƠNG 5: TÍNH CHẤT SÓNG CỦA ÁNH SÁNG

§1. QUANG LỘ ANH SÁNG. NGUYÊN LÝ FERMAT, ĐỊNH LÝ MALUS

1. Quang lộ của ánh sáng

Định nghĩa: Quang lộ của ánh sáng giữa hai điểm A, B là đoạn đường ánh sáng truyền

được trong chân không trong khoảng thời gian t, với t là khoảng thời gian mà ánh sáng đi được

đoạn đường AB trong môi trường.

Biểu thức:

(5.1)

t: thời gian ánh sáng truyền từ A đến B trong môi trường.

L: quang lộ ánh sáng giữa hai điểm A, B.

Chú ý:

- Nếu ánh sáng truyền qua môi trường có chiết suất không đổi n, ta có:

(5.2)

d: khoảng cách AB.

- Nếu ánh sáng truyền qua nhiều môi trường có chiết suất n1, n2, … với các quãng đường tương ứng

là d1, d2, … thì quang lộ tổng cộng là:

(5.3)

- Nếu ánh sáng đi trong môi trường mà chiết suất thay đổi liên tục từ điểm này đến điểm khác thì ta

chia đoạn đường thành những đoạn ds đủ nhỏ để coi như chiết suất không đổi trên mỗi đoạn.

(5.4)

2. Nguyên lý Fermat

Phát biểu: Giữa hai điểm A, B ánh sáng sẽ truyền theo con đường nào mà quang lộ là cực

trị.

Như vậy, xét về mặt toán học, để biết đường đi của ánh sáng, ta chỉ cần giải phương trình vi

phân bậc một của quang lộ theo khoảng cách.

Thực vậy, sau đây ta sẽ dùng nguyên lý Fermat để dẫn ra 2 đinh luật cơ bản của quang hình là

khúc xạ và phản xạ.

Xét hai điểm A, B nằm phía trên mặt phản xạ (hình vẽ 4.1). Gọi AIB là con đường ánh sáng

truyền từ A đến mặt phản xạ rồi tới B. Quang lộ ánh sáng là:

Theo nguyên lý Fermat ánh sáng sẽ đi theo con đường thoả mãn

ctL =

ndnvtL ==

=++=i

iidndndnL ...

2211

=B

A

dsnL .

( ) ( )

−+++=+=

22

2

22

1 xphxhnIBAInL

0=dx

dL

A B

I ∑

h1

h2 x p-x

Hình 5.1


35

'sinsin02

2

22

1

2ii

hx

xp

hx

xn

dx

dL==

+

−−

+=

Đây chính là công thức của định luật phản xạ.

Định luật khúc xạ được chứng minh tương tự (sinh viên tự làm).

3. Định lý Malus

a. Mặt trực giao

Mặt trực giao là mặt vuông góc với các tia của một chùm sáng. Nếu chùm sáng là chùm

đồng quy thì những mặt trực giao là những mặt cầu đồng tâm mà tâm là điểm đồng quy đó; nếu

là chùm song song thì mặt trực giao là những mặt phẳng song song.

b. Định lý Malus

Nghiên cứu sự truyền sáng, Malus đưa ra định lý sau:

Quang lộ của các tia sáng giữa hai mặt trực giao của một chùm sáng thì bằng nhau.

§2. CƠ SỞ QUANG HỌC SÓNG

1. Bản chất sóng điện từ của ánh sáng

Như ta đã biết, nếu chỉ dựa vào các định luật của quang hình sẽ không giải thích được các hiện

tượng giao thoa, nhiễu xạ…, mà phải dựa vào tính chất sóng của ánh sáng mới giải thích được. Theo

các hiểu biết hiện nay, ánh sáng là những sóng điện từ có tần số khá lớn, trong khoảng

Hz, ứng với bước sóng trong khoảng .

Bản chất điện từ của ánh sáng được xác lập nhờ sự so sánh các tính chất giống nhau giữa một

bên là ánh sáng và một bên là sóng điện từ trong thuyết Macxoen:

* Sóng ánh sáng là sóng ngang tuyệt đối.

* Ánh sáng truyền được trong chân không, với vận tốc đúng bằng 00 .

1

=c

* Không có ranh giới giữa sóng quang học và sóng radio trong miền hồng ngoại cũng như giữa

sóng quang học và tia Rơghen trong miền tử ngoại.

Ở đây, ta phải chú ý rằng giữa sóng radio và sóng quang học có một sự khác nhau quan trọng.

Sóng radio được sinh ra nhờ chuyển động tuần hoàn của tập thể các electron trong mạch dao động

(tần số phụ thuộc kích thước ăng ten), còn sóng quang học được phát ra do sự chuyển mức năng

lượng bên trong các nguyên tử, phân tử riêng biệt trong vật thể (tần số phụ thuộc hiệu năng lượng

bên trong hệ nguyên tử W2- W1).

* Việc đồng nhất sóng quang học với sóng điện từ được khẳng định bởi việc giải thích các hiện

tượng quang học một cách đơn giản, không cần dựa vào các giả thiết phụ, chẳng hạn giải thích hiện

tượng phản xạ và khúc xạ ánh sáng, hiện tượng tán sắc ánh sáng…

1514 1010

m7,04,0

(a) (b)

Hình 5.2


36

2. Hàm sóng ánh sáng

Ánh sáng là một loại sóng điện từ, nhưng thực nghiệm chứng tỏ rằng chỉ có thành phần điện

trường khi tác dụng vào mắt mới gây ra cảm giác sáng. Vì vậy dao động của véc tơ được gọi là

dao động sáng.

Nếu tại O phương trình dao động sáng là: , thì tại M cách O một đoạn r phương

trình dao động sáng sẽ là:

(5.5)

Trong đó: là thời gian ánh sáng truyền từ O đến M,

là quang lộ ánh sáng trên đoạn OM,

là bước sóng ánh sáng trong chân không,

là pha ban đầu của dao động sáng.

Nếu ánh sáng truyền theo chiều ngược lại, hàm sóng của ánh sáng sẽ có dạng:

(5.6)

Phương trình (5.5), (5.6) được gọi là hàm sóng của ánh sáng.

3. Cường độ sáng

Để đặc trưng cho độ sáng tại một điểm, ta đưa ra khái niệm cường độ sáng tại điểm đó.

Cường độ sáng I tại một điểm là một đại lượng có trị số bằng năng lượng truyền qua một đơn vị

diện tích đặt vuông góc với phương truyền sáng trong một đơn vị thời gian.

Từ biểu thức hàm sóng ta thấy độ sáng tại một điểm sẽ phụ thuộc biên độ của véc tơ dao động

sáng tại điểm đó:

(5.7)

Trong đó k là hệ số tỷ lệ. Khi chỉ cần so sánh cường độ sáng tại các điểm khác nhau ma không

cần tính cụ thể giá trị, ta có thể quy ước lấy k= 1.

(5.8)

4. Nguyên lý chồng chất

Sóng ánh sáng tuân theo nguyên lý chồng chất sau:

Khi hai hay nhiều sóng ánh sáng gặp nhau thì từng sóng riêng biệt không bị các sóng khác

làm nhiễu loạn. Sau khi gặp nhau, các sóng ánh sáng vẫn truyền đi như cũ, còn tại những điểm

gặp nhau, dao động sáng bằng tổng các dao động sáng thành phần.

5. Ứng dụng

Dựa vào bản chất sóng của ánh sáng ta mới có thể giải thích được các hiện tượng giao thoa,

nhiễu xạ ánh sáng. Đồng thời sử dụng nguyên lý chồng chất và biểu thức của hàm sóng ánh sáng, ta

dễ dàng khảo sát hiện tượng giao thoa ánh sáng.

E

tEE cos0=

( )

−=

−=−=

LtE

cT

LtEtEEM

2cos

2coscos 000

cL =

rL2−=

( )

+=

+=+=

LtE

cT

LtEtEEM

2cos

2coscos 000

2kEI =

2EI =


37

§3. GIAO THOA CỦA HAI NGUỒN SÁNG KẾT HỢP

1. Điều kiện để có giao thoa ánh sáng

Giao thoa ánh sáng là sự chồng chất của hai hay nhiều sóng ánh sáng. Kết quả là trong trường

giao thoa tồn tại những miền sáng, miền tối cố định xen kẽ.

Thực nghiệm và lý thuyết chứng tỏ rằng: điều kiện cần để có giao thoa là các sóng phải có

cùng tần số và có hiệu pha không đổi. Các sóng như vậy được gọi là các sóng kết hợp.

2. Các phương pháp tạo hai nguồn sáng kết hợp

Khi làm thí nghiệm về giao thoa sóng âm, dùng hai âm thoa cùng một tần số, thay đổi khoảng

cách giữa chúng, ta dễ dàng phát hiện được các vị trí cực đại và cực tiểu giao thoa. Nhưng với ánh

sáng thì thực nghiệm cho thấy rằng thí nghiệm tương tự không thể thực hiện được.

Nguyên nhân nằm trong cơ chế phát sáng. Ta đã biết, mỗi nguyên tử phát sáng trong khoảng

thời gian cỡ 10-8 giây, hoặc ngắn hơn, với một pha ban đầu nào đó. Sau đó, nó có thể được kích thích

để phát sáng trở lại, nhưng với pha ban đầu đã khác. Trong mỗi nguồn sáng thực, có hàng trăm triệu

tâm phát sáng thường xuyên như thế, với thời điểm ban đầu và pha ban đầu tuỳ ý. Vì vậy, sóng ánh

sáng từ hai nguồn độc lập, dù có cùng chu kỳ, nhưng hiệu pha ban đầu thay đổi nhanh đến nỗi không

kịp quan sát vân giao thoa. Do đó, mọi sơ đồ giao thoa đều phải thực hiện được việc tách sóng sáng

xuất phát từ cùng một nguồn thành hai nguồn thứ cấp, sau đó cho chúng gặp lại nhau. Đối với hai

nguồn đó, hiệu pha ban đầu của các sóng do chúng phát ra luôn không đổi. Sau đây là một số sơ đồ

giao thoa điển hình.

a. Khe Young

Nguồn sáng là một khe S hẹp được chiếu sáng mạnh (hình vẽ 4.3). Từ đó sóng ánh sáng được

chiếu lên hai khe S1, S2 đặt rất gần nhau, tương đối cách đều S.

Khe S được xem gần đúng là một nguồn điểm. Do đó hai khe S1, S2 được chiếu sáng bởi các

phần tử khác nhau của cùng một sóng nên có tần số như nhau và độ lệch pha không đổi theo thời

gian. Sóng sáng xuất phát từ S1, S2 gặp nhau trên màn E gây nên giao thoa.

b. Gương Fresnel

Ánh sáng phát đi từ một nguồn điểm S rọi vào hai gương phẳng G1, G2 tạo với nhau một

góc cỡ vài phút (hình vẽ 4.4). Ánh sáng phản xạ từ hai gương tựa như phát đi từ hai nguồn

sáng ảo S1, S2 đối xứng với S qua G1, G2. Khoảng cách giữa chúng là: , L là khoảng cách

từ nguồn S đến cạnh chung của hai gương. Muốn b nhỏ thì phải thật nhỏ.

Lb 2=

S

S1

S2

M

Hình 5.3

G2

G1

S

S2

S1

α

Hình 5.4


38

c. Lưỡng lăng kính Fresnel

Hai lăng kính chung đáy (hình vẽ 5.5) có góc chiết quang A, A’ nhỏ chừng vài phút. Một

nguồn sáng điểm S đặt trên mặt phẳng đáy chung cho hai chùm tia khúc xạ, tựa như phát đi từ hai

nguồnảo S1, S2.

d. Thấu kính Billet

Một thấu kính hội tụ L được cưa làm đôi theo một đường kính. Hai nửa L1, L2 được tách rời

nhau cho ta hai ảnh riêng biệt của cùng một nguồn điểm S.

e. Gương Lloyd

Một nguồn sáng điểm S đặt trước một gương phẳng G sao cho các tia sáng tới gương dưới góc

tới xấp xỉ 900 (hình vẽ 4.7). Tia tới SM trực tiếp từ nguồn S giao thoa với tia phản xạ SIM từ mặt

gương. Tia thứ hai này tựa như xuất phát từ nguồn ảo S’.

Điều đáng nói là ở điểm O, nằm trên giao tuyến của mặt gương với màn E và do đó là điểm

cách đều nguồn thực và nguồn ảo, lại là một vân tối. Sự phân bố của hệ vẫn tựa như là giữa sóng tới

trực tiếp và sóng phản xạ có một hiệu pha ban đầu 1800. Vì vậy chúng ta thừa nhận rằng, khi phản xạ

trên gương pha của sóng bị đảo đi một góc bằng 1800, hay quang lộ của tia sáng bị mất (hoặc được

thêm) nửa bước sóng. Vậy hiệu quang lộ giữa hai tia là:

( ) ( )2

'

+−=−= SMMSSMSIM

S

S1

S2

Hình 5.5

S

S1

S2

Hình 5.6

S

S’

Hình 5.7


39

Khi M trùng với O, ta có2

= , và ở O là một vân tối.

3. Khảo sát giao thoa của hai nguồn sáng đồng bộ

a. Vị trí các cực đại, cực tiểu giao thoa

Xét hai nguồn sáng đồng bộ O1, O2. Phương trình dao động sáng của chúng là:

x1 = E1. cosωt

x2 = E2. cosωt

Tại M sẽ nhận được hai dao động sáng mà hàm sóng có dạng:

−= 111

2cos. LtEx

−= 222

2cos. LtEx

Trong đó L1, L2 là quang lộ trên đoạn đường r1, r2.

Biên độ dao động sóng tại M phụ thuộc hiệu pha:

của hai dao động tổng hợp. Nếu

nghĩa là , thì biên độ dao động sáng

sẽ đạt giá trị cực đại. Nếu , nghĩa là

, thì biên độ dao động sáng tổng hợp và

do đó cường độ sáng sẽ đạt giá trị cực tiểu.

b. Hình dạng và vị trí vân giao thoa

Để đơn giản, ta xét trường hợp ánh sáng truyền trong chân không. Lúc đó vị trí cực đại, cực

tiểu giao thoa xác định bởi công thức:

(5.9)

và (5.10)

Như vậy, quỹ tích những điểm sáng nhất là một họ hypecbôlôit tròn xoay nhận O1, O2 làm tiêu

điểm và trục là đường O1O2. Quỹ tích của những điểm tối nhất cũng là một họ hyperbolic xen kẽ với

họ mặt trên. Riêng mặt sáng cực đại (ứng với k = 0) là mặt phẳng trung trực của đoạn O1O2. Đặt màn

E song song với O1O2 và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ, ta sẽ thu được hệ vân sáng, tối. Đó chính

là các vân giao tuyến của hai họ mặt hyperbolic trên với màn E, và được gọi là các vân giao thoa.

Vân giao tuyến của mặt phẳng trung trực đoạn O1O2 với màn E gọi là vân sáng trung tâm.

Gọi khoảng cách từ vân sáng trung tâm tới vân sáng thứ k là x, khoảng cách O1O2 = l, khoảng

cách từ hai khe tới màn là D. Do l << r1, r2 nên ta có:

(5.11)

(5.12)

k = 0: vân sáng trung tâm

k = ±1, ±2, ±3, …: vân sáng bậc 1, 2, 3, …

Với các vân tối:

( )21

2LL −=

k2= kLL =− 21

( ) 12 += k

( )2

1221

+=− kLL

krr =− 21

( )2

1221

+=− krr

D

xlkrr =− 21

l

Dkx

=

O1

O2

M

x

C l

D

r1

r2

Hình 5.8


40

(5.13)

(5.14)

k = 0, 1, 2, … ứng với vân tối bậc 1, 2, 3, …

-1, -2, -3, …

Từ (5.12), và (5.14) ta thấy các vân sáng, vân tối nằm xen kẽ nhau. Khoảng cách giữa hai vân

sáng (hoặc hai vân tối) kế tiếp được gọi là khoảng vân i:

(5.15)

4. Giao thoa với ánh sáng trắng

Giả sử O1, O2 là hai nguồn kết hợp phát ra ánh sáng trắng (gồm mọi sóng sáng có bước sóng từ

0,38 đến 0,76 ). Khi đó mỗi ánh sáng đơn sắc sẽ cho một hệ vân có màu (là màu của ánh

sáng đơn sắc đó).

Với x = 0, mọi ánh sáng đơn sắc đều cho vân sáng. Kết quả là ta có vân sáng trắng, đựơc gọi là

vân trắng giữa.

Vì khoảng vân i phụ thuộc bước sóng, do đó ở hai bên vân trắng trung tâm, các hệ thống vân

của những ánh sáng đơn sắc khác nhau, nằm ở những vị trí khác nhau. Ứng với cùng một giá trị k,

các cực đại không trùng nhau tạo thành một dải vân có màu sắc như màu cầu vồng, bờ trong viền

tím, bờ ngoài viền đỏ. Càng xa vân sáng giữa các vân ứng với giá trị của k khác nhau, chồng chất lên

nhau và cho những vân màu bạc, ranh giới không rõ rệt.

§4. GIAO THOA GÂY BỞI BẢN MỎNG

1. Bản mỏng có bề dày thay đổi. Vân cùng độ dày

Xét một bản mỏng có bề dày thay đổi, được chiếu

sáng bởi một nguồn sáng rộng (hình vẽ 4.9), chiết suất bản

là n. Một điểm O của nguồn gửi tới điểm M hai tia: tia OM

gửi trực tiếp và tia OBCM gửi tới M sau khi khúc xạ ở B

và phản xạ ở C. Từ M hai tia đó sẽ đập vào mắt người quan

sát.

Như vậy từ một nguồn O, có hai sóng sáng tách ra rồi

gặp nhau tại M. Đó là hai sóng sáng kết hợp. Chúng gây ra

hiện tượng giao thoa tại M. Nhờ vậy ta quan sát thấy các

vân giao thoa ngay trên mặt bản.

Giữa hai tia giao thoa có hiệu quang lộ là:

(5.16)

Số hạng /2 xuất hiện là do tia OM phản xạ tại M. Kẻ . Ta có: .

Do đó: (5.17)

Gọi d là bề dày của bản tại M, i1 là góc tới, i2 là góc khúc xạ, ta có:

RM = BM. sini1 = 2.d.tani2. sini1 (5.18)

( )D

xlkrr +=−

21221

( )l

Dkx

212

+=

l

Dxxi kk

=−= +1

m m

)2

()(21

+−++=−= OMCMBCnOBLL

OMBR ⊥ RMOBOM −

( )2

−−+ RMCMBCn

C

B M

R

O

i1

i2


41

Mặt khác:

nên: 2

sin.tan..2cos

..212

2

−−= iid

i

dn, (5.19)

Theo định luật khúc xạ ta có:

1

22

12

1

22

221

sin

sintan,

sincossin.sin

in

ii

n

iniini

−=

−==

Ta thu được: (5.20)

Vì rằng con ngươi của mắt nhỏ nên mắt chỉ nhìn được những tia nghiêng ít đối với nhau. Do

đó trong công thức (5.20), i1 coi như không đổi và hiệu quang lộ chỉ phụ thuộc bề dày d của bản. Với

những điểm cùng bề dày d thì hiệu quang lộ như nhau và tại các điểm đó cường độ sáng như nhau.

Những điểm có sẽ là vị trí của các vân sáng, còn những điểm có sẽ là vị trí

của các vân tối. Mỗi vân ứng với một giá trị xác định của bề dày d, vì vậy các vân này được gọi là

các vân cùng độ dày. Nếu chiếu bản mỏng bằng ánh sáng trắng thì mỗi ánh sáng đơn sắc sẽ cho một

hệ thống vân và trên bản ta sẽ quan sát được các màu sắc. Đó cũng chính là nguyên nhân khiến một

màng nước xà phòng, một lớp dầu loang trên mặt nước, hoặc một lớp không khí mỏng giữa hai lớp

thuỷ tinh,… có màu sắc khi bị ánh sáng chiếu vào.

2. Nêm không khí

Nêm không khí là lớp không khí hình nêm, giới hạn

giữa hai môi trường trong suốt ( thuỷ tinh chẳng hạn) tạo với

nhau một góc nhỏ. là hai mặt nêm.

Giao thoa đối với nêm không khí là một trường hợp

riêng của giao thoa bản mỏng có bề dày thay đổi. Gọi d = MH

là độ dày của nêm ở một điểm M, cách mép nêm một khoảng

CM = x. Do nhỏ, ta có:

(5.21)

Chiếu một chùm sáng đơn sắc song song vuông góc với

mặt . Do góc nhỏ nên ta có thể bỏ qua sin2i1 trong

(5.20), và thu được hiệu quang lộ của các tia sáng là:

(5.22)

Lượng + /2 là do phản xạ trên mặt gây ra. Những điểm tối thoả mãn:

(5.23)

Ngay tại cạnh nêm (d = 0) là một vân tối.

Những điểm sáng thoả mãn:

(5.24)

vì các điểm mà tại đó bề dày d của lớp không khí có giá trị không đổi là một đoạn thẳng song song

với cạnh nêm, do đó các vân sáng, vân tối là những đoạn thẳng song song với cạnh nêm.

2cos i

dCMBC ==

2sin2 1

22 −−= ind

k= ( )2

12

+= k

21,

.xd =

2

22

+= d

2

( )22

122

2

kdkd =+=+=

( )4

122

2

−==+= kdkd

C

∑1

∑2

M

H

Hình 5.10


42

Khoảng vân:

(5.25)

Chú ý: đối với nêm thuỷ tinh: 2

..2

−= dn

3. Vân tròn Newton

Đặt một thấu kính lồi lên một tấm thuỷ tinh phẳng lồi

(hình vẽ 5.11). Lớp không khí giữa thấu kính và bản thuỷ tinh là

một bản mỏng có bề dày thay đổi. Rọi lên thấu kính một chùm

sáng song song và vuông góc với bản thuỷ tinh.

Tương tự như nêm không khí, tại mặt cong của thấu kính

sẽ có sự gặp nhau của các tia phản xạ và sẽ quan sát được các

vân giao thoa.

Những điểm ứng với bề dày của lớp không khí:

sẽ tạo thành vân tối; còn những điểm ứng với bề dày của lớp

không khí: sẽ tạo thành các vân sáng. Do tính

đối xứng nên các vân giao thoa là những vòng tròn có tâm tại C, và được gọi là các vân tròn Newton.

Ta tính bán kính vân tối thứ k. Gọi rk là bán kính vân tối thứ k, ta có:

(5.29)

trong đó R là bán kính cong của thấu kính, dk là bề dày lớp không khí tại vân tối thứ k.

Vì dk << R, do đó:

(5.30)

(5.31)

Như vậy, bán kính các vân tối tỉ lệ với căn bậc hai của các số nguyên liên tiếp.

4. Ứng dụng

Hiện tượng giao thoa có rất nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. Ta sẽ xét một số ứng dụng cơ bản.

a. Sự khử phản xạ ở các mắt kính

Khi một chùm sáng chiếu vào mặt thấu kính hay lăng kính thì một phần ánh sáng bị phản xạ

trở lại. Ánh sáng phản xạ từ các mặt thấu kính của một dụng cụ quang học sẽ làm cho ảnh bị mờ.

Ngoài ra, ánh sáng phản xạ từ các dụng cụ quang học dùng trong quân sự có thể làm lộ mục tiêu. Vì

vậy trong nhiều trường hợp phải khử sự phản xạ các mặt kính.

Nguyên tắc để khử phản xạ là mặt trước của thấu kính được phủ một lớp mỏng trong suốt đặc

biệt. Lúc đó tia tới bị phản xạ hai lần: trên biên giới không khí – màng mỏng và màng mỏng – thấu

kính. Chiết suất n và bề dày d của màng được chọn sao cho 2 tia phản xạ ngược pha nhau, kết quả là

chúng sẽ khử nhau và không còn ánh sáng phản xạ nữa.

b. Giao thoa kế

Giao thoa kế là những máy đo dựa trên hiện tượng giao thoa ánh sáng. Quan sát một hệ vân

giao thoa, ta dễ dàng phát hiện những độ dịch chuyển vài phần trăm vân, tức là nhưng độ dịch

chuyển cỡ vài phần trăm bước sóng. Vì vậy giao thoa kế được xếp vào loại những máy đo chính xác

nhất.

2

11 =

−=−= +

+kk

kk

ddxxi

2

kd =

( )4

12

−= kd

( )222

kk dRRr −−=

kk Rdr 22

kRrk .=

rk

C

C

H

M dk

O

R

Hình 5.11


43

Giao thoa kế có nhiều kiểu, tuỳ công dụng của mỗi máy, nhưng đều dựa trên nguyên tắc chung

sau: một chùm sáng đơn sắc được phân làm hai chùm tách biệt nhau. Một chùm cố định, còn một

chùm có quang lộ thay đổi được. Việc tách đôi chùm sáng có thể thực hiện bằng nhiều cách, và

chính điểm này phân biệt các giao thoa kế khác nhau.

Giao thoa kế đơn giản nhất là giao thoa kế Rayleigh dùng để đo chiết suất chất lỏng hoặc khí.

Giao thoa kế Michelson dùng để đo chiều dài với độ chính xác rất cao. Ở đây cần chú ý rằng: ứng

dụng có tính lịch sử của giao thoa kế Michelson là dùng để khảo sát sự biến thiên của vận tốc ánh

sáng theo cường độ chùm sáng, theo vận tốc dịch chuyển của nguồn sáng hoặc máy thu.

Sau nhiều thí nghiệm thận trọng ông đã đi đến kết luận: vận tốc ánh sáng trong chân không là

một hằng số.

§5. HIỆN TƯỢNG NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG. NGUYÊN LÝ HUYGENS - FRESNEL

1. Hiện tượng nhiễu xạ ánh sáng

Cho ánh sáng từ nguồn O truyền qua một lỗ tròn nhỏ

trên màn P. Sau P đặt màn quan sát E, trên màn E ta nhận

được vệt sáng AB. Theo định luật truyền thẳng của ánh

sáng, nếu ta thu nhỏ lỗ tròn thì vết sáng AB cũng thu nhỏ

lại. Tuy nhiên thực nghiệm chứng tỏ rằng khi thu nhỏ lỗ

tròn tới một mức nào đó thì trên màn E xuất hiện nhiều

vân sáng tối nằm xen kẽ nhau. Ngay cả trong vùng tối

hình học (ngoài phạm vi AB) ta vẫn quan sát được các vân

sáng, còn trong vùng sáng hình học (trong phạm vi AB)

cũng có các vân tối (hình 5.12). Đặc biệt tại C có thể sáng

hay tối, tuỳ theo khoảng cách từ màn quan sát tới lỗ tròn.

Thí nghiệm trên đây chứng tỏ khi đi qua lỗ tròn các

tia sáng đã bị lệch khỏi phương truyền thẳng.

Hiện tượng tia sáng bị lệch khỏi phương truyền khi đi gần các chướng ngại vật được gọi là

hiện tượng nhiẽu xạ ánh sáng.

2. Nguyên lý Huygens-Fresnel

Khi nghiên cứu về sự truyền sóng, đặc biệt là hiện tượng nhiễu xạ sóng nước, Huyghen đã nêu

ý kiến về sự truyền sáng được phát biểu thành nguyên lý như sau:

Bất kỳ một điểm nào mà ánh sáng truyền đến đều trở thành nguồn sáng thứ cấp phát ánh sáng

về phía trước nó.

Dựa vào nguyên lý Huygens ta có thể giải thích sự lệch của chùm sáng khi đi qua lỗ nhỏ, hiện

tượng phản xạ, khúc xạ. Tuy nhiên để tính dao động sáng tại một điểm M nào đó, ta cần phải tính

tổng các dao động sáng do các nguồn thứ cấp gây ra tại M. Muốn vậy phải biết biên độ và pha của

các nguồn thứ cấp. Nguyên lý Huygens chưa nói gì đến vấn đề này. Để giải quyết vấn đề trên Frênen

đã bố sung nguyên lý sau:

Biên độ và pha của nguồn thứ cấp là biên độ và pha do nguồn thực gây ra tại vị trí của nguồn

thứ cấp.

Nguyên lý Huygens và nguyên lý Fresnel làm thành nguyên lý Huygens – Fresnel, là nguyên

lý cơ bản của quang học sóng.

Ứng dụng

Với nguyên lý Huygens – Fresnel ta có thể giải thích được các hiện tượng giao thoa một cách

rõ ràng cả về mặt định tính lẫn định lượng.

O

P

E

C

A

B

Hình 5.12


44

§6. NHIỄU XẠ CỦA SÓNG ÁNH SÁNG PHẲNG ĐƠN SẮC QUA KHE HẸP

1. Sơ đồ bố trí thí nghiệm

Sơ đồ thí nghiệm được mô tả như hình 5.13.

Trong đó, K là một khe hẹp có bề rộng AB = b,

được chiếu sáng bằng một chùm sáng đơn sắc

song song có bước sóng . Chùm song song được

tạo bằng cách đặt một nguồn điểm O tại tiêu điểm

của thấu kính Lo. Qua khe K các tia sáng nhiễu xạ

theo nhiều phương. Tách các tia nhiễu xạ theo một

phương nào đó, chùm tia này sẽ gặp nhau ở vô

cùng.

Để quan sát hiện tượng nhiễu xạ, ta dùng

một thấu kính hội tụ L, chùm nhiễu xạ khi đó sẽ

hội tụ tại điểm M trong mặt phẳng tiêu của thấu

kính L. Với các giá trị khác nhau, chùm nhiễu

xạ sẽ hội tụ tại các điểm khác nhau. Tuỳ theo giá

trị của , điểm M có thể sáng hoặc tối. Màn

được đặt tại mặt phẳng tiêu để quan sát hình ảnh nhiễu xạ.

2. Vị trí các cực đại, cực tiểu nhiễu xạ

Xét sự phân bố cường độ sáng trên màn quan sát. Sóng gửi tới khe K là sóng phẳng nên mặt

phẳng của khe là một mặt sóng, các điểm trên mặt phẳng khe có cùng pha dao động (nguyên lý

Huygens – Fresnel). Xét các tia nhiễu xạ theo phương 0= . Theo định lý Malus, quang lộ giữa hai

mặt trực giao thì bằng nhau, do đó các tia gửi tới F đều có cùng pha dao động, chúng tăng cường lẫn

nhau. Kết quả là điểm F rất sáng. Điểm sáng đó được gọi là cực đại giữa.

Để tính cường độ sáng theo một phương bất kỳ ta vẽ các mặt phẳng ,...,, 210 cách

nhau /2 và vuông góc với chùm tia nhiễu xạ. Các mặt phẳng này chia mặt phẳng khe thành các dải.

Bề rộng mỗi dải là

sin2, và số dải trên khe là:

2 sin

/ 2sin

b bn

= = (5.32)

Theo nguyên lý Huygens – Fresnel mỗi dải có thể coi là một nguồn thứ cấp gửi ánh sáng đến

điểm M. Vì quang lộ từ hai dải kế tiếp đến M khác nhau /2, nên dao động sáng do hai dải kế tiếp

gửi tới M ngược pha nhau và chúng khử lẫn nhau. Kết quả là: nếu khe chứa một số chẵn dải (n = 2k)

thì dao động do từng dải kế tiếp gây ra tại M sẽ khử lẫn nhau và điểm M sẽ tối. Vậy điều kiện M tối:

bkk

bn

=== sin2

sin2 (5.33)

trong đó ,...2,1=k ứng với các cực tiểu nhiễu xạ bậc 1, 2,…; ta không lấy giá trị k = 0 vì khi đó

00sin == và lúc đó ta đã có cực đại giữa.

Trường hợp nếu khe chứa một số lẻ dải (n = 2k + 1) thì dao động sáng do từng cặp dải kế tiếp

gây ra tại M sẽ khử lẫn nhau, còn dao động sáng do dải lẻ thứ 2k + 1 gây ra thì không bị khử. Kết

quả điểm M sẽ sáng (tuy nhiên cường độ sáng rất yếu so với cực đại giữa). Điều kiện để M sáng:

F

∑1

∑2

A

B

K

L

0

L

O

φ

M

Φ

Hình 5.13


45

( )

bkk

bn

212sin12

sin2

+=+== (5.34)

trong ,...3,2,1 =k ta loại giá trị k = 0, -1 vì ứng với các giá trị đó b2

sin

= : cường độ sáng

không thể có giá trị cực đại (do khi 0sin = ta đã có cực đại giữa; nếu b2

sin

= lại có cực đại

thì giữa hai cực đại này phải có cực tiểu. Tuy nhiên theo (4.33) thì các cực tiểu đầu tiên phải ứng với

b

=sin ).

Tóm lại:

0sin = có cực đại giữa,

;...2;sinbb

= có các cực tiểu nhiễu xạ,

;...2

5;2

3sinbb

= có các cực đại nhiễu xạ.

Đồ thị phân bố cường độ sáng trên màn quan sát theo sin cho bởi hình vẽ.

Từ đồ thị ta thấy bề rộng cực đại giữa rộng gấp hai lần bề rộng của cực đại khác. Ngoài ra độ

lớn cực đại giữa I0 lớn hơn nhiều so với các cực đại khác. Đó là vì các cực đại I1, I2, … chỉ do dao

động của một dải sáng gây nên, còn cường độ của cực đại giữa do các dao động cùng pha từ toàn bộ

mặt phẳng khe gây ra. Một cách gần đúng ta có thể coi toàn bộ ánh sáng tập trung ở cực đại giữa.

Khác với giao thoa, từ các công thức (5.33), (5.34), ta thấy vị trí các điểm sáng, tối không phụ

thuộc vị trí của khe. Nếu dịch chuyển khe song song với chính nó (giữ thấu kính L và màn quan sát

cố định) thì hình ảnh nhiễu xạ không thay đổi.

Hình 5.14


46

§7. NHIỄU XẠ CỦA SÓNG ÁNH SÁNG PHẲNG ĐƠN SẮC QUA HỆ KHE HẸP

1. Sơ đồ bố trí thí nghiệm

Sơ đồ thí nghiệm nhiễu xạ qua hệ khe hẹp

chỉ khác trường hợp một khe ở chỗ ta thay khe

hẹp K bằng N khe hẹp giống nhau nằm song

song nhau trong một mặt phẳng.

Các khe có thể coi là các nguồn kết hợp,

nên ngoài hiện tượng nhiễu xạ gây bởi từng khe

còn có hiện tượng giao thoa gây bởi các khe. Vì

vậy hình ảnh nhiễu xạ thu được trên màn phức

tạp hơn.

2. Vị trí các cực tiểu chính, cực đại chính, cực đại và cực tiểu phụ

Đầu tiên ta nhận thấy, tại những điểm trên màn quan sát mà thoả mãn:

( ),...2,1,sin == k

bk

(5.35)

thì các khe đều cho cực tiểu nhiễu xạ. Các cực tiểu đó gọi là các cực tiểu chính.

Bây giờ ta xét sự phân bố cường độ sáng giữa hai cực tiểu chính. Xét hai tia sáng xuất phát từ

hai khe kế tiếp. Khi đến M hai tia đó có hiệu quang lộ là:

sin21 dLL =− (5.36)

Nếu kdLL ==− sin21 thì dao động sáng do hai tia đó gây ra (và cả dao động do các tia từ

các khe khác gây ra) tại M đồng pha nhau. Kết quả điểm M sẽ sáng. Các điểm sáng đó được gọi là

các cực đại chính. Vị trí của các cực đại chính được xác định bởi công thức:

( ),...2,1,0,sin == k

dk

(5.37)

Tại F ( 0sin,0 == k ) ta có các cực đại chính giữa. Vì d > b, do đó giữa hai cực tiểu chính có

thể có nhiều cực đại chính. Cuối cùng ta xét sự phân bố cường độ sáng giữa hai cực đại chính. Tại

điểm chính giữa của hai cực đại chính kế tiếp nhau, góc nhiễu xạ thoả mãn điều kiện:

( )

dk

212sin

+= (5.38)

Tại các điểm đó, hiệu quang lộ của hai tia gửi từ hai khe kế tiếp có giá trị là :

( )

212sin21

+==− kdLL

Dao động do hai tia đó khử lẫn nhau. Tuy nhiên điểm chính giữa đó chưa chắc đã là điểm tối.

Ta xét hai trường hợp:

- N = 2. Trong trường hợp này dao động do hai khe gây ra khử lẫn nhau. Điểm chính giữa hai cực

đại chính là điểm tôi.

- N = 3. Trong trường hợp này tại điểm chính giữa hai cực đại chính, dao động do hai khe khử lẫn

nhau, còn dao động do khe thứ ba gây ra không bị khử. Kết quả là giữa hai cực đại chính là một cực

đại. Cực đại này kém sáng hơn nhiều so với cực đại chính nên được gọi là cực đại phụ. Tất nhiên

giữa cực đại phụ này và hai cực đại chính hai bên, phải có hai cực tiểu. Các cực tiểu này gọi là các

cực tiểu phụ.

Trong trường hợp N bất kỳ, người ta chứng minh được rằng giữa hai cực đại chính kế tiếp luôn

có N – 1 cực tiểu phụ và N – 2 cực đại phụ.

O L L

b

Φ

d

K

O F

Hình 5.15


47

Hình 5.17

Hình 5.18

Nếu N lớn thì bề rộng cực đại chính hẹp và cực đại chính quan sát được sẽ thanh nét. Vì các

cực đại phụ kém sáng hơn nhiều so với cực đại chính nên không cần chú ý tới chúng và ảnh nhiễu xạ

qua nhiều khe hẹp thu được là một dãy vạch sáng song song cách đều nhau.

Chú ý: Từ công thức (4.37) ta thấy muốn quan sát được các cực đại chính thì phải nhỏ hơn

d, vì nếu > d thì 1sin , công thức (4.37) sẽ không còn ý nghĩa.

3. Đồ thị phân bố cường độ sáng trên màn quan sát

§8. CÁCH TỬ NHIỄU XẠ. NHIỄU XẠ CỦA TIA X TRÊN TINH THỂ

1. Cách tử nhiễu xạ

a. Định nghĩa

Tập hợp những khe hẹp giống nhau song song cách đều và nằm

trong cùng một mặt phẳng được gọi là cách tử nhiễu xạ.

Khoảng cách d giữa hai khe kế tiếp được gọi là chu kỳ của cách tử.

b. Phân loại cách tử

- Cách tử truyền qua: Cách tử truyền qua có thể chế tạo bằng cách dùng

lưỡi dao kim cương vạch trên mặt thuỷ tinh những rãnh nhỏ song song

(hình vẽ 5.17). Khi chiếu ánh sáng qua cách tử đó, những khoảng bằng

phẳng giữa các rãnh để cho ánh sáng truyền qua và nhiễu xạ về mọi

phương. Chúng đóng vai trò các khe của cách tử nhiễu xạ.

Cách tử truyền qua dùng để nghiên cứu các ánh sáng thấy được. Nó

không dùng để nghiên cứu các tia tử ngoại vì các tia tử ngoại bị thuỷ tinh

hấp thụ mạnh. Để nghiên cứu các tia tử ngoại, người ta dùng cách tử phản

xạ.

- Cách tử phản xạ: Cách tử phản xạ là một mặt kim loại phẳng và nhẵn

bóng. Trên đó người ta dùng mũi dao kim cương vạch nên những rãnh

nhỏ cách đều nhau (hình vẽ 4.18). Khi rọi ánh sáng lên mặt cách tử, ánh

sáng sẽ nhiễu xạ trên những dải bằng phẳng giữa các rãnh và gây ra hình

Hình 5.6. Đồ thị phân bố cường độ sáng N = 5


48

ảnh nhiễu xạ. Các rãnh khuếch tán ánh sáng không đều, pha của các tia khuếch tán đó thay đổi hỗn

loạn, do đó chúng không gây ra hình ảnh nhiễu xạ.

Hiện nay người ta đã chế tạo được những cách tử có từ 500 đến 1200 vạch trên 1 mm. Chiều

dài của các cách tử này có thể tới 10 cm.

c. Quang phổ nhiễu xạ

Nếu chiếu một ánh sáng đơn sắc lên cách tử thì trên màn quan sát ta được các vạch sáng. Bây

giờ ta roi lên cách tử chùm ánh sáng trắng song song. Mỗi ánh sáng đơn sắc của ánh sáng trắng, sẽ

cho một hệ thống các cực đại chính. Tại điểm chính giữa F các ánh sáng đều cho cực đại chính; kết

quả tại F là một vệt sáng trắng. Ứng với một giá trị k xác định, cực đại chính của các ánh sáng đơn

sắc không trùng nhau. Tập hợp các cực đại chính đó hợp thành một quang phổ bậc k. Trong mỗi

quang phổ, vạch tím nằm phía trong, vạch đỏ nằm phía ngoài. Ra xa vân trắng giữa, các quang phổ

bậc khác nhau có thể trùng lên nhau. Các quang phổ cho bởi cách tử được gọi là quang phổ nhiễu xạ.

2. Nhiễu xạ tia X trên tinh thể.

Như ta đã biết, tinh thể vật rắn được cấu tạo bởi các

nguyên tử sắp đều đặn. Mỗi nguyên tử được gọi là một nút

mạng tinh thẻ. Các mặt phẳng 11’, 22’, 33’, … chứa các

nguyên tử được gọi là các mặt phẳng nguyên tử.

Chiếu lên tinh thể một chùm tia Rơghen. Chùm tia

Rơghen đập lên các nút mạng tinh thể và mỗi nút mạng tinh thể

trở thành một trung tâm nhiễu xạ. Chùm tia Rơghen nhiễu xạ

theo nhiều phương, tuy nhiên theo phương phản xạ gương mới

quan sát được hiện tượng nhiễu xạ, vì theo phương đó cường

dộ tia nhiễu xạ là lớn nhất.

Xét các tia nhiễu xạ theo phương phản xạ gương. Hiệu quang lộ giữa hai tia phản xạ trên hai

mặt phẳng 11’, 22’, … là: sin2d=

Hiệu quang lộ giữa hai tia phản xạ trên hai mặt phẳng 11’, 33’ sẽ là 2 . Như vậy theo phương

phản xạ gương, sẽ có một chùm tia nhiễu xạ với hiệu quang lộ là: , 2 , 3 … các tia này sẽ giao

thoa với nhau. Nếu:

dkkd

2sinsin2

=== (5.39)

thì các tia nhiễu xạ sẽ tăng cường nhau và theo hướng đó sẽ có cực đại nhiễu xạ.

Công thức (5.39) gọi là công thức Vulf – Bragg. Đó là công thức cơ bản trong kỹ thuật phân

tích cấu trúc của các chất bằng tia Rơghen. Biết bước sóng , đo góc ta có thể tính được khoảng

cách d, nghĩa là xác định được cấu trúc của tinh thể.

. . . . .

. . . . .

. . . . . φ φ

d

1

2

3

1’

2’

3’

Hình 5.19


49

dS

Hình 6.1

CHƯƠNG 6: TÍNH CHẤT LƯỢNG TỬ CỦA CÁC BỨC XẠ

§1. BỨC XẠ NHIỆT. ĐỊNH LUẬT KIRCHHOFF

1. Khái niệm về bức xạ, bức xạ nhiệt

a. Khái niệm về bức xạ

Mọi vật khi chịu các tác dụng vật lý hoặc hóa học đều có khả năng phát sóng điện từ. Ta nói

vật đó bức xạ (hay phát xạ). Muốn nghiên cứu đầy đủ quá trình bức xạ của một vật, phải khảo sát

tương tác giữa các điện tích (electrôn hoặc iôn) của vật với bức xạ, nghĩa là phải xét cơ chế của quá

trình bức xạ. Ở đây chúng ta khảo sát một số hiện tượng liên quan tới bức xạ theo quan điểm năng

lượng mà không đi sâu vào cơ chế của hiện tượng.

Bức xạ là một dạng năng lượng, vật bức xạ hoặc tiêu thụ nội năng, hoặc nhận năng lượng từ

bên ngoài nhưng dưới dạng khác. Tuỳ theo dạng năng lượng hệ tiêu thụ để bức xạ, có thể phân loại

các quá trình bức xạ như sau:

Quá trình hóa phát quang: là quá trình gây ra do những phản ứng hoá học xảy ra trong vật. Ví

dụ sự phát sáng của phốt pho khi ôxi hoá chậm trong không khí. Trong quá trình này, một phần năng

lượng được giải phóng trong các phản ứng hoá học được biến thành năng lượng bức xạ.

Quá trình điện phát quang: khi cho dòng điện qua chất khí thì các nguyên tử, phân tử khí va

chạm với các electrôn nên bị kích thích, chuyển lên trạng thái có năng lượng cao hơn, sau đó chuyển

về các trạng thái có năng lượng thấp hơn và bức xạ.

Quá trình quang phát quang: vật được chiếu bởi một chùm bức xạ do vật khác phát ra, các

nguyên tử, phân tử của vật hấp thụ bức xạ đó và phát ra bức xạ khác (thường phát bức xạ có bước

sóng lớn hơn bước sóng của bức xạ chiếu tới).

Quá trình bức xạ vì nhiệt (gọi tắt là bức xạ nhiệt): vật bức xạ đơn thuần chỉ do được nung

nóng. Trong quá trình này, vật nhận nhiệt lượng của môi trường, lại bức xạ ra môi trường ấy. Trong

quá trình bức xạ thì bản chất của vật không thay đổi.

b. Bức xạ nhiệt

Bức xạ nhiệt có đặc điểm khác biệt với các loại bức xạ khác, đó là sự cân bằng. Chúng ta xét

một ví dụ sau:

Giả sử có bình cách nhiệt lý tưởng, trong là chân không. Trong bình có hệ n vật trao đổi nhiệt

với nhau chỉ bằng bức xạ (không có đối lưu và dẫn nhiệt). Nếu vật thứ i có nhiệt độ cao hơn các vật

khác thì năng lượng nó bức xạ nhiều hơn năng lượng mà nó nhận vào. Do vậy nhiệt độ của vật sẽ

giảm, sau một thời gian nhiệt độ các vật bằng nhau và hệ ở trạng thái cân bằng. Khi đó năng lượng

mà vật bức xạ ra đúng bằng năng lượng mà vật nhận từ bức xạ của các vật khác. Khi đó ta nói hệ ở

trạng thái cân bằng, nhiệt độ của mọi vật trong hệ là đại lượng đặc trưng cho trạng thái đó.

2. Các đại lượng đặc trưng của bức xạ nhiệt

a. Năng suất phát xạ đơn sắc

Xét một phần tử diện tích dS thuộc bề mặt vật bức xạ nhiệt

đang ở trạng thái cân bằng có nhiệt độ T. Về nguyên tắc thì có thể

cho rằng vật bức xạ ra không gian mọi loại sóng điện từ có bước

sóng thay đổi từ đến 0 ( hay tần số từ 0 đến ), (hình 6.1).


50

Trong một đơn vị thời gian, dS phát năng lượng bức xạ thuộc miền sóng điện từ có bước sóng

từ đến +d theo mọi phương có giá trị là dWp(, T).

Khi đó dWp(; T) chính là năng thông của bức xạ phát từ dS trong giải tần đang xét.

dWp(, T) = r (, T).dS.d

Đại lượng r (,T) gọi là năng suất phát xạ đơn sắc ứng với bước sóng của bức xạ, có đơn vị

đo là (W/m3).

b. Năng suất phát xạ toàn phần

Lấy tổng năng suất phát xạ đơn sắc ứng với mọi tần số hay bước sóng, ta được năng suất phát

xạ toàn phần RT chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật bức xạ:

RT = (6.1)

RT còn được gọi là độ trưng của vật bức xạ, đơn vị đo là (W/m2).

c. Hệ số hấp thụ đơn sắc

Trong một đơn vị thời gian có dW(, T) là năng lượng của các bức xạ ứng với bước sóng từ

đến + d do các vật khác bức xạ gửi tới diện tích dS ( năng thông bức xạ tới). Diện tích dS chỉ hấp

thụ một phần là dWht (, T). Ta định nghĩa:

a(, T) =

thì a(, T) gọi là hệ số hấp thụ đơn sắc. Giá trị của a(, T) nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Nếu a(, T) = 1 với mọi tần số hay bước sóng và nhiệt độ thì vật gọi là đen tuyệt đối, hoặc nếu

a(, T) = 0 với mọi tần số hay bước sóng và nhiệt độ thì vật gọi là trắng tuyệt đối.

Trong thực tế hay gặp các vật xám, đó là các vật chỉ hấp thụ một phần năng lượng của bức xạ

gửi tới nó ứng với mọi bước sóng. Khi đó 0 a(, T) 1.

Một hộp kín có khoét một lỗ nhỏ C, thành trong của hộp được bôi đen (tăng khả năng hấp thụ

bức xạ) có thể coi là vật đen tuyệt đối. Khi chùm bức xạ rọi qua lỗ nhỏ C vào hộp thì qua một số lần

hấp thụ và phản xạ tại thành trong của hộp, bức xạ sẽ bị hấp thụ hầu như hoàn toàn.

3. Định luật Kirchhoff

Ta có hệ n vật trong một bình chân không có vỏ cách nhiệt lý

tưởng. Các vật trong hệ chỉ trao đổi nhiệt với nhau bằng bức xạ.

Khi trạng thái cân bằng được thiết lập thì nhiệt độ mọi vật đều là T

như nhau, (hình 6.2).

Trong trạng thái cân bằng thì vật nào bức xạ mạnh cũng phải

hấp thụ mạnh. Năng lượng mà vật bức xạ đúng bằng năng lượng vật

nhận từ các vật khác.

Gọi dWp(,T) = r(, T).dS.d là năng lượng do diện tích

nguyên tố dS của vật thứ i phát ra trong một đơn vị thời gian ứng

với bước sóng từ đến + d

0

( , )r T d

( , )

( , )

htdW T

dW T

2 1

i n

Hình 6.2


51

dW(, T) = f(, T).dS.d là năng lượng bức xạ gửi tới dS trong một đơn vị thời gian ứng với

bước sóng bức xạ từ đến + d. Về ý nghĩa thì hàm f(, T) chính là mật độ năng lượng bức xạ

của khoảng chân không giữa các vật (năng lượng bức xạ trong 1 đơn vị thể tích của không gian).

dWht(, T) = a(, T).dW(, T) = a(, T).f(, T).dS.d

do: dWp(, T) = dW(, T) nên: r(, T) = a(, T).f(, T), hay có tỉ số:

(6.2)

Công thức (6.2) đúng cho mọi vật trong hệ thống đang xét, không phụ thuộc vào bản chất của

vật. Đó chính là công thức mô tả định luật Kirchhoff, có thể phát biểu định luật như sau:

Tỉ số giữa năng suất phát xạ đơn sắc và hệ số hấp thụ đơn sắc của cùng một vật ở nhiệt độ

nhất định là hàm chỉ phụ thuộc buớc sóng bức xạ và nhiệt độ T mà không phụ thuộc vào bản chất

của vật.

Hàm f(,T) gọi là hàm phổ biến vì nó đúng cho

mọi vật bức xạ. Nếu vật bức xạ là vật đen tuyệt đối thì

a(, T) =1, ta có:

r(, T) = f(, T),

do đó hàm f(, T) chính là năng suất phát xạ đơn sắc

của vật đen tuyệt đối ứng với bức xạ ở bước sóng và

nhiệt độ T.

Bằng thực nghiệm, người ta đo được năng suất

phát xạ của vật đen tuyệt đối ở các nhiệt độ khác nhau

và biểu diễn được đồ thị mô tả sự phụ thuộc của f(, T)

vào và T cho như ở hình 6.3.

Trên đồ thị, tại một nhiệt độ T xác định thì mật

độ năng lượng bức xạ ( năng suất phát xạ của vật đen tuyệt đối ) có một cực đại ở bước sóng m. Khi

nhiệt độ tăng thì m giảm. Vậy có thể nói: khi nhiệt độ của vật đen tuyệt đối tăng thì chùm bức xạ

mang nhiều năng lượng nhất có bước sóng dịch chuyển về phía sóng ngắn.

4. Các định luật thực nghiệm về bức xạ

a. Định luật Stefan – Boltzmann

Bằng thực nghiệm, Stefan đo năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối và tìm được

công thức:

RT = .T4 (6.3)

trong đó = 5,67.10 - 8 (W/m2.K4)

Sau đó Boltzmann chứng minh được bằng lý thuyết. Do vậy công thức (6.3) có tên gọi là công

thức của định luật Stefan – Boltzmann, có thể phát biểu định luật đó như sau:

Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối tỉ lệ với luỹ thừa bậc 4 nhiệt độ tuyệt đối

của vật.

Hằng số trong công thức (6.3) gọi là hằng số Stefan – Boltzmann.

Trong thực tế, ta có các vật xám. Khi đó năng suất phát xạ toàn phần của vật xám được tính

theo công thức: RT = ..T4 .Hằng số gọi là độ đen của vật, cũng chính là hệ số hấp thụ của vật.

( , )( , )

( , )

r Tf T

a T

=

f(,T)

T1< T2 < T3

T1

T2

T3

m1 O

Hình 6.3


52

b. Định luật Wien

Wien nghiên cứu quá trình nén đoạn nhiệt của bức xạ và áp dụng hai nguyên lý của nhiệt động

lực học, đã tìm ra hai định luật. Định luật thứ nhất xác định vị trí bước sóng m (là bước sóng của

chùm bức xạ mang nhiều năng lượng nhất do vật đen tuyệt đối bức xạ ra). Định luật thứ hai xác định

năng suất phát xạ cực đại Em là năng suất phát xạ ứng với bước sóng m. Hai định luật của Wien

phát biểu như sau:

+ Bước sóng m ứng với cực đại của năng suất phát xạ tỉ lệ nghịch với nhiệt độ tuyệt đối của

vật đen (định luật này còn có tên gọi là định luật chuyển dời Wien)

+ Năng suất phát xạ Em của vật đen tuyệt đối ứng với bước sóng m tăng tỉ lệ với luỹ thừa bậc

5 của nhiệt độ tuyệt đối.

Theo hai định luật Wien, ta có các biểu thức:

(6.4)

(6.5)

trong đó: b = 2,897.10-3 mK gọi là hằng số Wien

B = 1,30.10-11 W.m - 3.K - 5

Các định luật Stefan – Boltzmann và Wien được thực nghiệm kiểm tra với độ chính xác rất cao

với nhiều nhiệt độ khác nhau.

§2. THUYẾT LƯỢNG TỬ PLANCK

1. Công thức Rayleigh-Jeans và công thức Wien

Dựa vào lý thuyết điện động lực học cổ điển, Rayleigh-Jeans đã tính toán được hàm phổ biến

f(,T) (cũng chính là năng suất phát xạ đơn sắc của vật đen tuyệt đối), có dạng:

, (6.6)

trong đó c là vận tốc bức xạ (vận tốc sóng điện từ), k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối

của vật đen. Công thức (6.6) gọi là công thức Rayleigh-Jeans.

Công thức Rayleigh-Jeans phù hợp với các bức xạ ở vùng sóng dài nhưng về phía sóng ngắn

thì hoàn toàn sai vì khi đó f(,T) →

Wien tính toán được công thức:

(6.7)

Trong đó C1 và C2 là hai hằng số xác định bằng thực nghiệm. Công thức (6.7) gọi là công thức

Wien phù hợp với thực nghiệm ở vùng sóng ngắn, mâu thuẫn với thực nghiệm ở vùng sóng dài vì

khi lớn thì C2 T nên f(,T) → 0.

m

b

T =

5.mE BT=

4

2( , ) .

cf T kT

=

2

5

1( , ) .C

Tf T C e −

−=


53

2. Thuyết lượng tử của Planck và công thức Planck

a. Thuyết lượng tử của Planck

Planck đã đưa ra quan điểm hoàn toàn mới về năng lượng. Theo Planck, năng lượng cũng có

tính gián đoạn hay còn gọi là bị lượng tử hoá. Một dao động tử khi bức xạ năng lượng thì chỉ có thể

phát ra các lượng tử năng lượng.

Nội dung của thuyết lượng tử của Planck:

+) Các nguyên tử hay phân tử chỉ phát xạ hay hấp thụ năng lượng bức xạ điện từ một cách gián

đoạn. Phần năng lượng phát xạ hay hấp thụ luôn là bội số nguyên lần của một lượng nhỏ xác định

(gọi là một lượng tử năng lượng).

+) Đối với một bức xạ điện từ đơn sắc có tần số hay bước sóng thì lượng tử năng lượng

tương ứng là:

= h = trong đó h = 6,625.10 - 34 (J.s) là hằng số Planck.

b. Công thức Planck

Dựa vào thuyết lượng tử và thống kê Boltzmann, Planck đã tìm được dạng của hàm f(,T):

(6.8)

Công thức (6.8) gọi là công thức Planck.

3. Hệ quả của công thức Planck.

a. Tìm lại được công thức Rayleigh-Jeans

Với các bức xạ thuộc vùng sóng dài (vùng sóng vô tuyến và hồng ngoại xa), bước sóng lớn

nên << 1. Thực hiện khai triển hàm , sau đó lấy gần đúng ở số hạng thứ hai, ta được:

. Thay vào công thức Plăng:

,

chính là công thức Rayleigh-Jeans.

b. Tìm lại công thức Wien

Khi nhiệt độ T của vật đen không quá cao, với các bức xạ thuộc miền sóng ngắn thì:

kT < hc. Do vậy 1, ta bỏ qua 1 ở mẫu số.

Đặt C1 = 2phc2 và C2 = , ta lại được công thức Wien.

hc

2 5 1( , ) 2

1hc

kT

f T hc

e

−=

−

kT

hc hc

kTe xe=

1xe x= +

2 5

4

2( , ) 2

kT cf T hc kT

hc

−= =

kT

hc

2 5 2 51( , ) 2 2

hc

kThc

kT

f T hc hc e

e

−

− −= =

hc

k


54

c. Tìm lại định luật Stefan – Bonltzmann

Từ công thức Planck, ta có:

Đặt x = ; ; hc

kTx = . ta được:

Tích phân có giá trị bằng 6,4939, thay vào được:

(công thức định luật Stefan – Bonltzmann.)

trong đó hằng số = 5,67.10-8 W/m2.K4 là hằng số Stefan – Bonltzmann.

d. Tìm lại định luật chuyển dời Wien

Để tính bước sóng m (bước sóng của bức xạ mang nhiều năng lượng nhất do vật đen phát ra ở

nhiệt độ T), lấy đạo hàm của hàm phổ biến f(,T) theo biến số .

Để đơn giản ta viết hàm phổ biến theo biến x:

Lấy đạo hàm theo x, cho bằng 0, được phương trình:

5x4(e x -1) - x5e x = 0

hay:

Phương trình trên có nghiệm: x = 4,9651. Do đó:

trong đó: chính là hằng số Wien

2 5

0

12 .

1

T hc

kT

R hc d

e

−=

−

hc

kT 2

hcd dx

kTx = −

4 4 3

3 2

0

2

1T x

k T x dxR

h c e

=−

4

TR T=

55 5

3 2

2( , )

1x

xf T k T

h c e

=

−

15

xxe−+ =

m

hc b

kTx T = =

263

23

19,875.102,9.10 ( . )

1,38.10 .4,9651

hcb m K

kx

−−

−= = =


55

§3. HIỆU ỨNG COMPTON

1. Nội dung của hiệu ứng Compton.

Chúng ta xét thí nghiệm của Compton: cho một

chùm tia X (tia Rơnghen) đơn sắc đi qua một khối chất nhẹ

(cacbon hoặc parafin) thì chùm tia X bị tán xạ theo nhiều

phương khác nhau. Dùng máy quang phổ tia X để ghi các

chùm tán xạ (hình 6.4). Kết quả cho thấy: trong chùm tán

xạ với góc tán xạ (góc tạo bởi hướng tán xạ và hướng của

chùm tia X tới ) có hai thành phần tia X. Thành phần thứ nhất có bước sóng đúng bằng bước sóng

của tia X tới. Thành phần thứ hai có bước sóng ’ . Gọi = ’- là độ tăng bước sóng của tia

X. Thực nghiệm cho thấy không phụ thuộc và chất tán xạ, chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ .

Cường độ của chùm tia X có bước sóng ’ lớn nếu tia X tán xạ qua khối chất nhẹ, qua khối chất nặng

thì cường độ nhỏ. Cũng từ thực nghiệm, tìm được công thức sau:

(6.9)

Trong đó C = 2,426.10-12 m gọi là bước sóng Compton; là góc tán xạ.

Vậy hiệu ứng Compton là: hiện tượng tăng bước sóng của tia X khi tia X bị tán xạ qua khối

chất.

2. Giải thích hiệu ứng Compton.

Nếu chỉ quan niệm các bức xạ có tính chất sóng điện từ thì không thể giải thích được đầy đủ

hiệu ứng Compton. Vì vậy, để giải thích hiệu ứng Compton, chúng ta phải sử dụng tính chất hạt của

bức xạ. Coi chùm bức xạ là một chùm hạt phôton.

Mô hình bài toán như sau: coi các êlectrôn ở lớp ngoài của

nguyên tử gần đúng là êlectrôn tự do. Với các chất nhẹ (số khối

nhỏ) thì điều đó là chấp nhận được. Khi chùm tia X tới khối chất

thì xảy ra tương tác giữa các êlectrôn tự do và hạt phôton. Ta

quan niệm hệ hai hạt gồm êlectrôn tự do và hạt phôton là một hệ

kín (hệ cô lập). Khi phôton va chạm với êlectrôn thì phải tuân

theo định luật bảo toàn động lượng và năng lượng (hình 6.5).

Trước va chạm, động lượng của hệ chỉ là động lượng của

phôton (coi êlectrôn đứng yên), sau va chạm thì êlectrôn chuyển

động có hướng theo một phương xác định, có động lượng là

'p p pe = + (6.10)

Trước va chạm thì năng lượng của hệ gồm năng lượng nghỉ của êlectrôn và năng lượng của

phôton tới:

(6.11)

Chú ý: khi va chạm với êlectrôn thì phôton đã truyền một phần năng lượng của nó cho êlectrôn

nên bước sóng của phôton tăng (’ ), năng lượng của phôton sau va chạm là , năng lượng của

êlectrôn là mc2 (giải bài toán theo lý thyết tương đối tính).

2sin..2 2 C=

vmpe

=

2

/

2

0 mchc

cmhc

+=+

/

hc

P

e Hình 6.5

p

p’

Tia X tới

Hình 6.4


56

Động lượng của hạt phôton trước va chạm:

Sau va chạm:

Động lượng của êlectrôn sau va chạm:

Từ phương trình (6.10), ta có: (6.12)

hay: (6.13)

Từ phương trình (6.11) , ta có: (6.14)

Bình phương 2 vế của (6.14) được:

(6.15)

Trừ hai phương trình (6.13) và (6.15) từng vế, được:

Vế trái của phương trình trên bằng 0. Do đó:

Cuối cùng ta được:

Thay giá trị của h, m0 và c, được:

3. Kết luận.

Hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ, phân cực đã chứng tỏ ánh sáng hay các bức xạ nói chung có

bản chất là sóng điện từ. Khi nghiên cứu về bức xạ nhiệt, hiện tượng quang điện và hiệu ứng

Compton thì chúng ta lại thấy, để giải thích được đầy đủ và chính xác các hiện tượng, phải thừa nhận

các bức xạ có bản chất hạt. Vậy có thể khẳng định: các bức xạ luôn có hai thuộc tính cùng tồn tại, đó

là sóng và hạt. Ở hiện tượng này thì thuộc tính sóng thể hiện rõ nét hơn thuộc tính hạt, ở hiện tượng

khác thì thuộc tính hạt lại thể hiện rõ nét hơn thuộc tính chất sóng. Sau này khi nghiên cứu sang

phần vật lý lượng tử, chúng ta sẽ biết, không chỉ các bức xạ mới có bản chất sóng - hạt mà mọi vi hạt

đều có bản chất sóng - hạt.

hp =

//

hp =

v

c

v

mmvpe .

12

2

0

−

==

cos2/

2

/

2

2

222

2

hhhvm −+=

cos2

/

22

/

22

2

22222

2

chchchvcm −+=

2

0/

2 )11

(2

cmhcmc +−=

)11

(22

/0

342

0/

22

/

22

2

2242

2

−++−+= mhccm

chchchcm

)cos1(2

)11

(2)(/

22

/0

342

0

2222

−−−=−−ch

mhccmvccm

2sin2.)( 2/

0

hcm =−

2sin2 2

0

cm

h=

)(10.43,210.3.10.1,9

10.625,6 12

831

34

0

mcm

hC

−

−

−

===

§1. VÉCTƠ CƯỜNG ĐỘ NG. 1. L n. Khái ni ng

Documents