PENGUKURAN KESALAHAN PERAMALAN tY: nilai data runtun waktu pada periode t tYˆ : nilai peramalan dari tYtttYYe ˆ − = : residual atau error atau kesalahan peramalan 1. Mean absolute deviation (MAD) : n e n YYMAD n ttn ttt∑ ∑ = = = − = 1 1 ˆ 2. Mean squared error (MSE) : ( ) n e n YYMSEn ttn ttt∑ ∑ = = = − = 1 2 1 2 ˆ 3. Mean absolute percentage error (MAPE) : n Ye n YYYMAPE n tttn tttt∑ ∑ = = = − = 1 1 ˆ 4. Mean percentage error (MPE) : n Ye n YYYMP En tttn tttt∑ ∑ = = = − = 1 1 ˆ LANGKAH PERAMALAN Anda di sini Data masa lalu t Periode yang diramalkan --o----------o-----------o-------------o-------------o-----------o-----------o--- Y t-3 Y t-2 Y t-1 Y t Y t+1 Y t+2 Y t+3 Data yang terbaru Metode Pemulusan Eksponensial untuk data TrendMetode dua parameter Holt a) Rangkaian pemulusan secara eksponensial ) )( 1 ( 1 1 − − + − + = ttttTA YA α α b) Estimasi trend 1 1 ) 1 ( ) ( − − − + − = ttttTA A Tβ β c) Ramalan pada periode p p TA Yttp t× + = + ˆ dengan : A t : nilai baru yang telah dimuluskan α : konstanta pemulusan (0 <α < 1 ) Y t : data aktual pada periode t β : konstanta pemulusan untuk estimasi trend (0 <β < 1 ) T t : estimasi trend p : periode yang diramalkan p tY+ ˆ : nilai ramalan pada periode p Example : (data kasigi) α =0. 3 dan β =0.1 ; A 1 = Y 1 ; T 1 = 0 ; p = 3t = 1 A 1 = 500 T 1 = 0 3 ˆ 1 1 3 1 × + = + TA Y= 500 + 0 × 3 = 500 e 4 = 4 4 ˆ YY− =400 – 500= –100 t = 2 ) )( 1 ( 1 2 1 2 2 2 − − + − + = TA YA α α =0.3×350+(1-0.3) ×(500+0) =105+350=455 1 2 1 2 2 2 ) 1 ( ) ( − − − + − = TA A Tβ β = 0.1×(455-500)+(1-0.1)×0= – 4.5 1
10
Embed
1 Topik Met Peramalan Metode Tiga Parameter Winter
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
5/12/2018 1 Topik Met Peramalan Metode Tiga Parameter Winter - slidepdf.com
Analisis regresi adalah suatu metode yang menggunakan metode kuadrat terkecil untuk
menguji data dan menggambarkan kesimpulan yang penuh arti tentang hubungan dependensi yangada antara peubah tak bebas (peubah respon, Y) dan peubah bebas (peubah prediktor, X) atau
peubah yang menerangkan variasi Y. Persamaan regresi adalah suatu persamaan yang menyatakan
hubungan antara Y dan X yang di dalam tulisan ini hanya akan dibahas untuk Y saja yang acak
sedangkan untuk X dianggap tetap atau tidak acak.
Regresi Linier Sederhana dan Berganda
Regresi linier sederhana mencakup dua peubah yaitu Y dan X sedangkan regresi linier
berganda melibatkan lebih dari dua peubah yaitu Y dan (X 1, ..., X p). Dalam model regresi linier
sederhana dan berganda diberikan beberapa asumsi yang memungkinkan model tersebut dapat
digunakan. Sehingga untuk menggunakannya asumsi yang diajukan harus dipenuhi atau dengan
kata lain harus diuji keberadaannya. Sayangnya banyak peneliti yang kadang-kadang menganggapasumsi tersebut sudah benar dan akibatnya tidak perlu lagi diadakan pengujian. Padahal, jika
pengujian asumsi tidak dilakukan maka koefisien regresi (estimator parameter) yang diperoleh
akan tidak layak untuk dipakai, hal ini karena dengan tidak diujinya asumsi yang ada akan
menyebabkan penghitungan rumus-rumus yang digunakan untuk mendapatkan koefisien regresi
tersebut tidak bisa dipertanggung-jawabkan secara matematis.
1. Regresi Linier Sederhana
Suatu analisis regresi yang peubah tak bebas Y bergantung secara linier pada satu peubah
bebas X disebut regresi linier sederhana. Bentuk modelnya adalah Y = β 0 + β 1 X + εuntuk Y adalah peubah tak bebas,
X merupakan peubah bebas, ε ialah residu dan
β 0 , β 1 adalah parameter.Jika diberikan n pasang pengamatan (x1,y1),..., (xn,yn) untuk yi bergantung secara linier pada xi
maka dapat diperoleh : yi = β 0 + β 1 xi + ε i , i=1,...,n.
dengan asumsi-asumsi berikut :
(i) xi tetap (fixed).
(ii) E(ε iε j) = 0 untuk i≠ j.
(iii) E(ε i) = 0 dan V(ε i) = σ 2 untuk
i=1,...,n.
(iv) ε i berdistribusi normal.
(v) parameter β 0 dan β 1 berupa
konstanta.
Masalahnya adalah mengestimasi parameter β 0 , β 1 dan memilih nilai β 0 , β 1 sedemikian
sehingga jarak antara yi dan β 0 + β 1 xi mínimum. Akan digunakan metode kuadrat terkecil
(least squares method) dengan prinsip meminimkan jumlah kuadrat residu, dan menghasilkan
estimator berikut
( )( )
( ) x y
x x
y y x x
n
i
i
i
n
i
i
10
1
2
11
ˆˆdanˆ β β β −=−
−−=
∑
∑
=
=
sehingga nilai i y untuk nilai xi ii x y 10ˆˆˆ β β +=
Data 1
No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X)[Y-mean(Y)]*[X-mean(X)]
keputusan untuk menolak H0 adalah jika Fhit > Fα ,1,(n-2) dengan Fα ,1,(n-2) adalah nilai tabel dari
distribusi F berderajat kebebasan 1 dan n-2 untuk tingkat kepercayaan α . Berikutnya jika
diinginkan maka dapat dilakukan penghitungan daerah kepercayaan 100(1-α )% dari (β 0, β 1)
Untuk memastikan bahwa β 0 dan β 1 merupakan konstanta dapat dilakukan uji individual
terhadap parameter tersebut masing-masing ujinya adalah sebagai berikut :
Uji untuk β 0
hypothesis
H0 : β 0=0
H1 : β 0≠ 0
statistiknya :
0
0ˆ
β
β
S t = dengan
( )∑
∑
=
=
−
=n
i
i
n
i
i
x xn
xS
S
1
2
1
22
0β
Keputusan :
tolak H0
jika t > tα /2,(n-
Uji untuk β 1.
hypothesis
H0 : β 1= 0
H1 : β 1≠ 0
statistiknya :
1
1ˆ
β
β
S t = dengan
( )∑=
−=
n
i
i x x
S S
1
2
2
1β
Keputusan :
tolak H0
jika t > tα /2,(n-
2)
Apabila diperlukan maka dapat dilakukan penghitungan interval kepercayaan 100(1-α )% dari
masing-masing parameter β 0, β 1.
b. Uji Residu.
Cakupan uji residu meliputi : Pertama, uji tidak adanya autokorelasi di dalam residu
(e1,...,en) atau E(ei e j) = 0 untuk i ≠ j dengan kata lain uji independensi (e1,...,en). Untuk menguji
ada dan tidaknya autokorelasi tersebut dapat digunakan uji Durbin-Watson. Jika didefinisikan
ε i = ρ ε i-1 + υ i , υ i < 1 dan i=1,...,n
untuk υ i IID dengan E(υ i) = 0 dan V(υ i) = σ 2 dan ρ diestimasi dengan
∑
∑
=
=
−
=n
i
i
n
i
ii
e
ee
r
1
2
2
1
statistik dari uji Durbin-Watson adalah
∑
∑
=
=−−
=n
i
i
n
i
ii
e
ee
d
1
2
2
2
1)(
untuk ei =
ii y y ˆ−
hypothesis untuk uji ini adalah :
H0 : tidak ada autokorelasi di dalam residu (e1,...,en)H1 : ada autokorelasi di dalam residu (e1,...,en)
keputusan yang dapat diambil menggunakan aturan berikut ini :
untuk ρ > 0, tolak H0 jika d < dL dan terima H0 jika d > dU sedangkan untuk ρ < 0, tolak H0 jika
d > 4 - dL dan terima H0 jika d < 4 - dU . Jika 4 - dU < d < 4 - dL maka tidak dapat diambil
kesimpulannya. Untuk dL dan dU adalah nilai kritis dalam tabel statistik Durbin-Watson.
Selanjutnya jika diketahui adanya autokorelasi dan diinginkan untuk memperoleh model dari data
yang telah dipunyai, maka dapat digunakan metode Prais-Winsten dengan menggunakan suatu
transformasi untuk menghilangkan autokorelasinya.
Kedua, uji kenormalan residu (e1,...,en) dan untuk mengujinya dapat digunakan uji Kolmogorov-
Smirnov atau uji dengan plot : plot P-P atau plot Q-Q. Ketiga, uji kekonstanan variansi residu atauuji homoscedastisitas dalam residu. Dalam hal ini, plot antara e i dan yi dapat digunakan untuk
menguji homoscedastisitas tersebut.
7
5/12/2018 1 Topik Met Peramalan Metode Tiga Parameter Winter - slidepdf.com
Analisis regresi yang peubah tak bebasnya Y bergantung secara linier pada beberapa
peubah bebas X1,...,Xk disebut regresi linier berganda yang persamaannya diberikan dalam bentuk
berikut : Y = f(X1,...,Xk ) dengan f(X1,...,Xk ) adalah suatu fungsi linier dari X1,...,Xk .Secara umum model regresi linier berganda dengan (p-1) peubah bebas dinyatakan sebagai :
i
p
j
ji ji x y ε β β ++= ∑
−
=
1
1
0 , i=1,...,n
atau dapat dinotasikan secara matriks berikut : Y = Xβ + ε
dengan Y adalah vektor n× 1 pengamatan untuk peubah tak bebas
X merupakan matriks n× p yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor 1n× 1 dari
peubah-peubah bebas
β ialah vektor parameter berukuiran p× 1
ε menyatakan vektor residu n× 1
dengan asumsi-asumsi berikut :
(i) xij tetap (fixed) untuk i=1,...,n dan j=1,...,p-1
(ii) E(ε iε j) = 0 untuk i≠ j
(iii) E(ε i) = 0 dan V(ε i) = σ 2 atau E(ε 'ε ) = σ 2 I untuk i=1,...,n
(iv) ε i berdistribusi normal untuk i=1,...,n
(v) parameter β 0, β 1,…, β p-1 berupa konstanta
estimator parameter menggunakan metode kuadrat terkecil : ( ) Y X X X '1'ˆ −
=β
Untuk mendapatkan model terbaik dalam regresi linier berganda, terdapat beberapa cara yang
dapat digunakan : Pertama, pemilihan peubah bebas yang akan dipakai dapat dilakukan dengan
menggunakan metode stepwise, metode eliminasi backward dan metode forward. Untuk
memperoleh peubah bebas yang optimal diperlukan pemakaian ketiga metode tersebut karena satu
dan lainnya mempunyai kelebihan dan kekurangan tersendiri. Kedua, koefisien determinasi R 2
yang didefinisikan dengan 2'
2''
2
ˆ
Y nY Y Y nY X
JKT
JKR R eg
−−== β dapat digunakan untuk melihat goodness
of fit model (kriteria koefisien determinasi R 2). Ketiga, dengan kriteria R 2 adjusted dan rata-rata
kuadrat kesalahan (Mean Square error) bisa digunakan pula untuk goodness of fit model. Berbeda
dengan koefisien determinasi, penambahan peubah ke dalam model belum tentu menyebabkan
naiknya nilai R 2 adjusted. Dengan maximumnya kriteria R 2 adjusted berarti minimumnya kriteria
rata-rata kuadrat kesalahan. Keempat, menguji adanya multikolinieritas yaitu adanya hubungan
linier antar peubah-peubah bebas. Jika ada multikolinieritas maka matriks X'X merupakan matriks
singular atau mendekati singular. Untuk mendeteksi multikolinieritas yang paling sederhana
adalah menggunakan matriks korelasi peubah-peubah bebas (dinotasikan R ), bisa juga dilakukan
dengan menggunakan nilai eigen dari matriks korelasi R karena nilai rank R ditentukan oleh nilai
eigennya yang tidak sama dengan nol atau dengan menghitung perbandingan antara nilai eigenterbesar dengan nilai eigen terkecil, jika perbandingan tersebut melebihi 1000 maka ada
multikolinieritas dan jika kurang dari 100 berarti tidak ada multikolinieritas.
Seperti halnya dalam regresi linier sederhana, setelah langkah goodness of fit model akan
dilakukan uji terhadap asumsi-asumsi yang diberikan.
a. Uji Parameter.
Dengan tabel analisis variansi di bawah ini
db JK RK nilai F
regresi p-1 2''ˆ Y nY X −β 1− p
JKR eg
es
eg
JKR
JKR
residu n-p Y Y Y Y ''' β −
2S pn
JKR es=
−
8
5/12/2018 1 Topik Met Peramalan Metode Tiga Parameter Winter - slidepdf.com