1 Switching Network X 1 X m X 2 Z 1 Z m Z 2 Circuito combinatorio: un circuito senza “memoria”. L’output è completamente determinato dai valori dell’input. Circuito sequenziale: il circuito possiede uno stato interno. L’output è determinato dall’input e dallo stato interno. cuiti combinatori e sequenziali
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1 Switching Network X1X1 XmXm X2X2 Z1Z1 ZmZm Z2Z2 Circuito combinatorio: un circuito senza memoria. Loutput è completamente determinato dai valori dellinput.
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Transcript
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SwitchingNetwork
X1
Xm
X2
Z1
Zm
Z2
Circuito combinatorio: un circuito senza “memoria”. L’output è completamente determinato dai valori dell’input.
Circuito sequenziale: il circuito possiede uno stato interno. L’output è determinato dall’input e dallo stato interno.
Circuiti combinatori e sequenziali
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INVERTER
X X’
X X’0 11 0
se X=0 allora X’=1se X=1 allora X’=0
OR
AB
C=A+B
A B C0 0 00 1 11 0 11 1 1
se A=1 O B=1 allora C=1 altrimenti C=0
AB
C=A·B
A B C0 0 00 1 01 0 01 1 1
se A=1 E B=1 allora C=1 altrimenti C=0
AND
Funzioni logiche: algebra booleana
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gate AND
Diagrammi temporali
4
OR Gategate OR
5
Inverterinverter
6X=q1
Il contatore binario sincrono a due bit
Possiamo generare automaticamente questa sequenza?
tempo
Usiamo il segnale di clock della scheda per scandire il tempo
clk
Y=q0
1 per un ciclo di clock, 0 per un ciclo di clock
1 per due cicli di clock, 0 per due ciclo di clock
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X=q1
Y=q00
0
1
0
0
1
1
1
q1q0: numero a due bit
Campioniamo q1q0 numero a un tempo prefissato dopo il bordo di salita di clk
campionamento sincrono
0 1 2 3
Numero binario a due bit che aumenta di 1 a ogni ciclo di clock
La cifra più grande di un numero a 2 bit è tre al ciclo successivo la sequenza riparte da zero
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0 1 2 3
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Un circuito che produce questa sequenza che si ripete all’infinito è il contatore sincrono a due bit
clk
Segnale di input: clk
res segnale di input: reset ogni volta che è asserito la sequenza riparte da zero
q0
q1
numero binario di output
q[1..0]
Diversa rappresentazione: raggruppamento in un bus
0 1 2 3 0 1 2 3 0
Nel circuito reale il conteggio cambia sempre un pò dopo il bordo del clock
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Più input
• Funzionano allo stesso modo• Com’è l’output?
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Qualunque espressione booleana può essere implementata come un circuito logico.
F = [A(C+D)]’+BE
CD
C+D[A(C+D)]’ [A(C+D)]’+BE
BE
BE
AA(C+D)
Espressioni booleane e circuiti logici
F=Y’Z+X
Z
Y’YY’Z+X
X
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• 2n righe• dove n # di• variabili
Rappresentazione: tavola della verità
F=Y’Z+X
Z
Y’YY’Z+X
X
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X+0 = X
X0
C=XX 0 C0 0 01 0 1
X+1 = 1
X1
C=1X 1 C0 1 11 1 1
X0
C=0
X·0 = 0
X 0 C0 0 01 0 0
X1
C=X
X·1 = X
X 1 C0 1 01 1 1
Teoremi fondamentali: operazioni con 0 e 1
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X+X = X
XX
C=XX X C0 0 01 1 1
XX
C=X
X·X = X
X X C0 0 01 1 1
Teoremi fondamentali: leggi idempotenti
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X
(X’)’=X
BC=X
X B C0 1 01 0 1
Teoremi fondamentali: legge di involuzione
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X+X’ = 1
XX’
C=1X X’ C 0 1 1 1 0 1
XX’
C=0
X·X’ = 0
X X’ C0 1 01 0 0
Teoremi fondamentali: legge di complementarità
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X può essere una funzione arbitrariamente complessa.
Semplifichiamo le seguenti espressioni booleane il più possibile usando i teoremi fondamentali.
Abbiamo già parlato abbondantemente dei NOR e NAND
XY
Z XY
Z
ZXY
XY
Z
NOR e NAND e altri simboli
ZY
XZ
Y
X
NOR
NAND
Spesso si usano abbreviazioni simili anche per gli input negati. Ad esempio
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39
40
41
La legge di De Morgan si generalizza a n variabili:
(X1 + X2 + X3 + ··· + Xn)’ = X1’X2’X3’ ··· Xn’
(X1X2X3 ··· Xn)’ = X1’ + X2’ + X3’ + ··· + Xn’
Legge di De Morgan (cont.)
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Esprimiamo il complemento f’(w,x,y,z) della seguente espressione in forma semplificata.
f(w,x,y,z) = wx(y’z + yz’)
f’(w,x,y,z) = w’ + x’ + (y’z +yz’)’
= w’ + x’ + (y’z)’(yz’)’
= w’ + x’ + (y + z’)(y’ + z)
= w’ + x’ + yy’ + yz + z’y’ + z’z
= w’ + x’ + 0 + yz + z’y’ + 0
= w’ + x’ + yz + y’z’
Legge di De Morgan (esempio)
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Logica positiva: la tensione high (+V) rappresenta 1 e la tensione low (0V) rappresenta 0
Logica negativa: la tensione high (+V) rappresenta 0
e la tensione low (0V) rappresenta 1
Logica positiva e negativa
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gate logico
e2
e3
e1
eo
lo stesso circuito fisico implementa diverse funzioni logiche. La funzione implementata depende dalla logica usata per Interpretare gli input e gli output.
q2 q1 q0 a b c d e f g 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
Completare la tavola per ciascuno dei led
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Secondo step: determinare le equazioni logiche a partire dalla tavola della verità per ciascuno dei sette segnali col metodo meccanico della somma di mintermini
Terzo step: minimizzare le espressioni logiche con i teoremi dell’algebra booleana
Quarto step: disegnare il circuito che ha come input q2, q1, q0 e come output a, b, c, d, e, f, g con QUARTUS
Disegno implementato con una struttura gerarchica
vediamo cosa vuol dire e come si procede
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Struttura gerarchica di uno schema
Foglio principale:
LabElettronica
62
Clickate sul menu File e selezionate New
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Selezionare Block diagram / schematic file
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Appare un nuovo foglio di disegno. Salvarlo col nome seven-seg-decoder
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In questo foglio implementiamo il circuito. Cominciamo a mettere gli input (q[2..0]) e gli output (a, b, c, d, e, f, g)
Disegnate poi tutto il circuito e salvate il file nuovamente
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Creiamo un simbolo per il circuito corrispondente al file seven-seg-decoder
Il simbolo può essere quindi usato come componente in altri fogli di disegno
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Torniamo al foglio di disegno principare (LabElettronica)
selezioniamo col mouse symbol tool
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Compare la finestra che permette di selezionare simboli di componenti
Scrivere seven-seg-decoder: appare il simbolo del nuovo componente
Clickare OK
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Il componente può essere ora posizionato nel foglio principale
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Pilotiamo l’input q[2..0] con un valore costante attraverso un componente lpm_constant
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Gli output a, b, c, d, e, f, g del componente seven-seg-decoder nel foglio LabElettronica vanno collegati ai pin di output denominati led[0], ..., led[6] che devono essere assegnati ai numeri dei pin fisici 144, 143, 142, 141, 140, 139, 136 come da schema della scheda in figura sotto
i pin led[6..0] corrispondono ad g, f, e, d, c, b, a
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Teniamo deasserito permanentemente led[7]:
Collegato a massa nel foglio principale e mandato al pin di output led[7] corrispondente al pin 135
DP
led[7]
DIS[3..0]COM3, COM2, COM1, COM0
Ci sono altri due segnali da considerare sugli array
DP: segnale che accende la virgola
COM# segnale di abilitazione (enable): i led di un array si accendono solo se il corrispondente segnale COM# è asserito
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Controllo dei segnali COM#
Decidiamo in quale array visualizzare la cifra controllando i segnali COM# con i quattro tasti presenti sulla scheda
Attenzione: SW# sono attivi bassi per cui vanno invertiti prima di collegarli a DIS#
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Quinto step: simulare il comportamento del circuito QUARTUS
verifica: mandatemi per email tutti i file del progetto – potete lavorare in coppia
Avete 7 giorni di tempo (prova lunedì prossimo)
Sesto step: provare il funzionamento del circuito sulla scheda
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Addizionatore a un bit
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78
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80
81
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Progettiamo un circuito logico che implementi un addizionatore a due bit. Questo circuito ha tre input (A, B, Cin) e due output (S, Cout). L’output S è uno se la somma è uno, cioè se il numero di input uguale a uno è dispari. L’output del riporto è uno se la somma produce un riporto, cioè se due o più input sono uno.
Problema: progettare un circuito logico per far funzionare in modo automatizzato l’allarme di una macchina. Il manuale dell’allarme fornisce i seguenti dettagli sul funzionamento.
“L’allarme si spegnerà se il sistema di allarme è attivato e una qualunque delle due porte o il cofano sono aperti, o se il sensore di vibrazione è attivato e la chiave non è inserita.”
“L’allarme si spegnerà se il sistema di allarme è attivato e una qualunque delle due porte o il cofano sono aperti, o se il sensore di vibrazione è attivato e la chiave non è inserita.”
“L’allarme si spegnerà se il sistema di allarme è attivato e una qualunque delle due porte o il cofano sono aperti, o se il sensore di vibrazione è attivato e la chiave non è inserita.”
Scriviamo in ogni cella il valore della funzione logica (Cout in questo caso)
0
10
0
1
0
1
1
94
Ciascuna cella contenente un 1 corrisponde a un mintermine da considerare nella somma di mintermini della funzione
A
Cin
B
00 01 11 10
0
1
A,B
1
A=1, B=1 Cin=0 mintermine ABCin’
1
A=0, B=1 Cin=1 mintermine A’BCin
1 A=1, B=1 Cin=1 mintermine ABCin1
A=1, B=0 Cin=1 mintermine AB’Cin
La funzione logica non ancora minimizzata è
Cout = ABCin’ + A’BCin + ABCin + AB’Cin
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A
Cin
B
0
0
0 01
1 1 1
Ricordiamo la disposizione di righe e colonne: ciascuna cella corrisponde a una combinazione di input che differisce da quelle adiacenti in una sola variabile
Poichè coppie di celle 1 adiacenti hanno minitermini che differiscono in una sola variabile, possiamo combinarle (cioè combinare la somma di mintermini) in un solo termine usando la legge dell’alegra booleana
XY’+XY=X
Passo successivo: dobbiamo ricoprire tutte le celle contenti un 1 usando rettangoli i più grandi possibile e col minor numero di rettangoli possibile
Il numero di celle racchiuse deve essere multiplo di 2 (1,2, 4, ...)
Consideriamo ad esempio
96
97
ACin
A
Cin
B
0
0
0 01
1 1 1
Regola meccanica: questo gruppo di celle (corrispondente a una somma di 2 mintermini) è equivalente a un singolo termine prodotto in cui:
In questo termine si considerano solo le variabili che hanno lo stesso valore in tutte le celle del gruppo:
In questo caso B varia per cui non si considera
Siccome A e Cin hanno entrambi valore 1 devono apparire non complementati
98
ACin
A
Cin
B
0
0
0 01
1 1 1
A
Cin
B
0
0
0 01
1 1 1
ABCin+ABCin’=AB
A
Cin
B
0
0
0 01
1 1 1
ABCin+A’BCin=BCin
A
B
Cin
0
0
0 01
1 1 1
Cout=ACin+BCin+AB
Dobbiamo ancora finire di ricoprire tutte le celle
In molte funzioni logiche la procedura di combinazione delle celle può essere estesa per combinare più di due 1-celle in un singolo termine prodotto.
Combinazione di 2i celle possibile se:
• ci sono i variabili che assumono tutte le 2i combinazioni possibili
• Le restanti n-i hanno lo stesso valore in ogni cella
Termine prodotto ha n-i variabili: complementata se 0 in ogni cella, non complementata se appare come 1.
Graficamente: cerchiamo insiemi rettangolari di 2i 1-celle (sono ammessi anche “incollaggi” su bordi opposti)
Per ciascuna variabile:
Se è zero in tutta l’area ricoperta complementata
Se è uno in tutta l’area ricoperta non complementata
Se è zero in una parte e uno in un’altra non appare nel prodotto
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L’adiacenza è cilindrica
Z’ si estende dal bordo sinistro al bordo destro
F = Z’
106
107
108
109
110
111
112
A
C
B
1
1
0 11
0 0 1
00 01 11 10
0
1
A
C
B
1
1
0 11
0 0 1
00 01 11 10
0
1
F=A,B,C(0,1,4,5,6)
A
C
B
1
1
0 11
0 0 1
00 01 11 10
0
1
A
C
B
1
1
0 11
0 0 1
00 01 11 10
0
1
AC’+B’AC’
113
114
Esempio di funzione a quattro variabili: rivelatore di numeri primi
F=N3,N2,N1,N0(1,2,3,5,7,11,13)
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116
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Esempio di funzione a quattro variabili: rivelatore di numeri primi
F=N3,N2,N1,N0(1,2,3,5,7,11,13)
N3
N2
N1
N0
N3N2
N1N000 01 11 10
00
01
11
10
0 4 12 8
1 1 1 5 1 13
1 3
1 2
1 7 1 11
9
10 14
15
6
N3
N2
N1
N0
N3N2
N1N000 01 11 10
00
01
11
10
1 1 1
1
1
1 1
N3’N0
N2N1’N0
N3’N2’N1
N2’N1N0
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Implicanti primi
Un implicante primo è un insieme cerchiato di 1-celle soddisfacenti la regola di combinazione tale che se cerchiamo di farlo più grande (ricoprendo il doppio delle celle) copre uno o più zeri.
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
0 4 1 12 8
1 1 5 1 13
3
2
1 7 11
9
101 14
1 15
6
F=W,X,Y,Z(5,7,12,13,14,15)
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
1 1
1 1
1
1
Una somma minima è una somma di implicanti primi.
XZ
WX
119
La somma di tutti gli implicanti primi di una funzione logica è detta la somma completa.
La somma completa non è sempre minima però.
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
0 1 4 1 12 8
1 1 1 5 1 13
1 3
2
7 1 11
1 9
101 14
1 15
6
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
1 1
1
XY’F=W,X,Y,Z(1,3,4,5,9,11,12,13,14,15)
1
1
1
1 1
1
1
WX
WZ
X’Z
Y’Z
5 implicanti primi, ma solo tre necessari per ricoprire tutte le 1-celle
120
Una 1-cella distinta è una combinazione di input coperta da un solo implicante primo
Un implicante primo essenziale è uno che copre una o più 1-celle distinte deve essere incluso obbligatoriamente.
Dobbiamo quindi determinare come coprire le 1-celle non coperte da implicanti primi essenziali (se ce ne sono)
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
1 1
1
XY’
1
1
1
1 1
1
1
WX
WZ
X’Z
Y’Z
in questo caso i 3 implicanti primi essenziali ricoprono tutte le 1-celle
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
1 1
1
XY’
1
1
1
1 1
1
1
WX
X’Z
121
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
1 0 1 4 12 8
1 1 1 5 13
1 3
1 2
1 7 11
9
101 14
1 15
6
F=W,X,Y,Z(0,1,2,3,4,5,7,14,15)
WXY
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
1 1
1 1
1
1
1
1
1
W’Y’
W’X’
Qui gli implicanti primi essenziali non ricoprono tutte le 1-celle
Ci sono altri due implicanti primi e dobbiamo scegliere uno dei due
122
WXY
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
1 1
1 1
1
1
1
1
1
W’Y’
W’X’
Qui gli implicanti primi essenziali non ricoprono tutte le 1-celle
usiamo il termine prodotto W’Z perchè ha meno input e quindi costa meno
W
X
Y
Z
WX
YZ00 01 11 10
00
01
11
10
1 1
1 1
1
1
1
1
1
XYZ
W’Z
Esaminiamo gli altri due implicanti primi: dobbiamo scegliere uno dei due
123
124
125
Numeri binari
E’ importante essere in grado di rappresentare numeri nei circuiti digitali
Ad esempio, l’output di un convertitore analogico/digitale (ADC) è un numero a n bit, dove n tipicamente si trova nell’intervallo 8-16.
Si utilizzano varie rappresentazioni, ad es.;- interi non segnati- complemento a due per rappresentare numeri negativi
Can be used in assembly programming to exchange thevalue of two registers in place:
R1 R1R2R2 R1R2R1 R1R2
The In-place Value Permutation Property of the exclusive-OR:(XY)Y = X(XY)X= Y
If we do back substitution in the second and third operations,we will find out that (assuming R1=A and R2=B initially):R1 (A B)R2 (A B) B = AR1 (A B) A = BThus, if initially R1 = A and R2 = B, then after this sequence of operations, R1 = B and R2 = A.