La loi normale. Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand 1 et Thomas Delzant 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Licence 1ère Année 27 novembre 2006 Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
21
Embed
1 Strasbourg, France - irma.math.unistra.frirma.math.unistra.fr/~delzant/proba6.pdf · La loi normale. Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
La loi normale.
Calcul élémentaire des probabilités
Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1
1IRMA, Université Louis PasteurStrasbourg, France
Licence 1ère Année 27 novembre 2006
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Historiquement, le premier résultat est qu’une loi binomialeressemble à une loi normale ou gaussienne. Ce résultat est dûà de Moivre 1750 et à Laplace 1812.
Binomiale centrée-réduiteOn sait que la loi binomiale B(n; p) est d’espérance np etd’écart-type
√np(1− p). Soit X une loi binomiale B(n; p). Alors
X − np√np(1− p)
est d’espérance 0 et d’écart-type 1.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Approximation par une loi normaleDans la pratique, on remplace toujours la loi binomiale par la loinormale de même espérance et de même écart-type si lesdeux conditions suivantes sont vérifiées :
1 n > 302 np > 8.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
DéfinitionLa fonction de répartition d’une variable aléatoire Z qui suit uneloi normale centrée-réduite, notée Π(z) ou encore Φ(z) (celadépend des ouvrages) se définit par :
Π(z) = Φ(z) = P [Z 6 z] ,
où Z suit une loi N (0; 1) et z est un réel.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Le bénéfice annuel d’une compagnie suit une loi normale demoyenne 500000 e et d’écart-type 100000 e. Le PDG déclarequ’il est sûr d’avoir un bénéfice positif.
QuestionQuelle vaut la probabilité que « le PDG se trompe » ?
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Une usine produit du fil. On désigne par X la variable aléatoirequi à toute bobine associe la longueur du fil de la bobine. Onadmet que X suit une loi normale de moyenne 50 etd’écart-type 0,2.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Questions1 Calculer la probabilité que la longueur du fil :
a. soit inférieure à 50,19 m,b. soit supérieure à 50,16 m,c. soit comprise entre 50,16 et 50,19 m.
2 On va utiliser une table de dépassement de l’écart.Si α est une probabilité, cette table donne le nombre x(α)tel que P [|X | > x ] = α.Sous les hypothèses du dessus, trouver un nombre réel atel que P [50− a < X 6 50 + a] = 0, 14.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
QuestionsSoit X une loi normale N (0; 1).CalculerP [X 6 0, 54] ; P [X 6 0, 38] ; P [X > 0, 8] ; P [−1 < X 6 0, 2].
QuestionsUne entreprise produit des bouteilles d’eau de 0,75 litre. Unebouteille est considérée comme « acceptable »si elle contiententre 74,5 et 75,5 cl d’eau. soit X la variable aléatoire qui décritle contenu d’une bouteille. On suppose que X suit une loiN (75; 0, 3). Quelle est la probabilité qu’une bouteille soit« acceptable » ?
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Exercice 1. Utilisation d’une machine à café commedétecteur de fausses pièces.
ÉnoncéLa banque de France fabrique des pièces de 1 euro. Le poidsd’une pièce authentique prise au hasard suit une loi normaled’espérance µ = 6, 49 g avec un écart-type σ = 0, 015 g.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Questions1 Une machine à café accepte les pièces de 1 euro dont le
poids est compris entre 6, 455 g et 6, 525 g. Quelle est laprobabilité qu’une pièce authentique soit acceptée ?
2 Un faux monnayeur fabrique des fausses pièces dont lepoids suit une loi normale d’espérance µ′ = 6, 56 g etd’écart-type σ′ = 0, 02 g. Quelle est la probabilité qu’unefausse pièce soit acceptée ?
3 On observe que 4 % des pièces sont refusées par lamachine. Quelle est la proportion de fausses pièces encirculation ?
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Exercice 2. Détermination d’une moyenne et d’unécart-type à partir d’une expérience.
ÉnoncéOn sait qu’une variable aléatoire X suit une loi normaleN (µ;σ2) mais on ne connait ni µ ni σ2. Par exemple, µ désignela quantité de goudron dans une cigarette. On ne connait pasde moyens de mesurer directement X , mais on dispose dedeux tests : l’un est positif si X 6 35, 6, l’autre si X 6 30, 3. Onfait un grand nombre d’observations (disons 1000) et onremarque que P [X 6 35, 6] = 0, 985 P [X 6 30, 3] = 0, 19.
Questions
Calculer µ et σ2.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Questions1 Quelle est la loi qui, pour un salarié donne le nombre de
jours d’absence durant un mois de 20 jours de travail ?Quelle est son espérance ? Quelle est sa variance ?
2 Quelle est la loi qui décrit le nombre total de joursd’absence pour l’ensemble des salariés durant un mois de20 jours ? Quelle est son espérance ? Quelle est savariance ? Par quelle loi est-il raisonnable de l’approcher ?
3 Quelle est la probabilité que le nombre total de joursd’absentéisme soit supérieur à 125 au cours de ce mois ?
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
ÉnoncéLa probabilité de gagner au jeu "le milliardaire" de la société"Gauloise des Jeux " est évaluée à 5.10−6 ; pour jouer, chaquejoueur doit acheter un ticket à 1 euro. Un gain rapporte 250 000euros.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
Questions1 Dans une ville, 103 personnes jouent toutes les semaines
pendant deux ans (soit 100 fois) à ce jeu en misant 1 euro.1 Quelle est la loi qui décrit le nombre total de gagnants ?2 Par quelle loi est-il légitime de l’approcher ?3 Quelle est l’espérance mathématique du gain total pour la
société "Gauloise des Jeux " sur cette ville ?2 Sur l’ensemble de la France 5.105 personnes jouent toutes
les semaines pendant deux ans (soit 100 fois).1 On repose les mêmes questions.2 Quelle est la probabilité que le nombre de gagnants sur 2
ans excède 300 ?
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités