1 Stochastik I Erwartungswert Eine Aussage über die Zukunft
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Stochastik I ErwartungswertEine Aussage über die Zukunft
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Beispiel 1 - Gewinnspiel Würfelspiel X: Gewinn in € Gewinnplan:
Augenzahl 1 2 3 4 5 6
Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 €
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10-malige Durchführung
Augenzahl 1 2 3 4 5 6
Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 €
Absolute Häufigkeit 2 3 2 1 1 1
Relative Häufigkeit 10
2103
102
101
101
101
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Durchschnittlicher Gewinn pro Spiel Arithmetisches Mittel
(durchschnittlicher Gewinn pro Spiel):
101€3
101€1
101€)2(
102€0
103€)2(
102€1x
€20,0101€3
103€1
102€0
104€)2( x
Gewinn -2 €
0 € 1 € 3 €
Relative Häufigkei
t104
103
102
101
Verkürzt:
€20,0
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Vergangenheit -> Zukunft Arithmetisches Mittel
macht eine Aussage über die Vergangenheit.
Wie lässt sich eine Aussage über die Zukunft machen?
ZU ERWARTENDER (DURCHSCHNITTLICHER) GEWINN PRO
SPIEL
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Erwartungswert
Xi in € -2 0 1 3P(X=xi
) 62
62
61
61
E(X) = 613
621
610
622
Bei sehr vielen Spielen kann man mit einem durchschnittlichen Gewinn von 0,17€ pro Spiel rechnen.
Augenzahl 1 2 3 4 5 6Gewinn 1 € -2 € 0 € -2 € 1 € 3 €
17,061
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Erwartungswert
E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn)
Statt E(X) schreibt man auch μ.
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler 0 ist.
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Stochastik IIBinomialverteilte Zufalls-variablenBernoulli-Experimente
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Bernoulli-Experiment Was ist das?
Ein Bernoulli-Experiment ist– ein Zufallsexperiment mit nur zwei
ErgebnissenODER
– ein Experiment, das als Experiment mit nur zwei Ergebnissen interpretierbar ist.
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Bernoulli-Experiment Wie sehen die
Wahrscheinlichkeiten aus?
Wahrscheinlichkeit für Treffer:p
Wahrscheinlichkeit für Niete:1-p
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Bernoulli-Experiment Beispiel:
– Werfen eines Würfels:Ergebnisse:„6“ (Treffer) oder „Keine 6“ (Niete)
– Wahrscheinlichkeiten:P(„6“)=1/6 P(„Keine 6“)=1-(1/6)=5/6
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Bernoulli-Kette Was ist das?
– Besteht ein Zufallsexperiment aus einem mehrfach durchgeführten Bernoulli-Experiment, so nennt man es Bernoulli-Kette.
– Wird es n-mal durchgeführt, heißt es Bernoulli-Kette der Länge n.
– Darstellung als Baumdiagramm möglich
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Bernoulli-Ketten
Beispiel:Werbung: Figur in jedem siebten Ü-Ei
Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Eiern genau eine Figur zu erhalten?
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Bernoulli-Ketten
76
71
76
76
76
76
76
767
171
71
71
71
71
Zur Wahrscheinlichkeit für genau eine Figur gehören die folgenden drei PfadeP(FNN)=P(NFN)=P(NNF)=
P(„1F“)=
34336
76
76
71
34336
34336
34336
343363
343108
Anzahl der Pfade
34336
76
71
76
34336
71
76
76
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Bernoulli-Ketten Problem
– Für größere n (z.B. n=10) sehr aufwendig und unübersichtlich!
Lösung– Einführung einer Zufallsvariable– Benutzen der Binomialkoeffizienten
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Erweitertes Beispiel Kauf von 10 Ü-Eiern Wahrscheinlichkeit für genau 4 Figuren
n=10X: Anzahl der Treffer bzw. der Figuren, X=4p= , 1-p= 7
6711
71
64
76
71
410
035,0P(X=4)=
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Bernoulli-Ketten Zufallsvariable
– X: Anzahl der Treffer in n Versuchen
Binomialkoeffizienten– Anzahl der Möglichkeiten k Treffer in n
Versuchen anzuordnen
Wahrscheinlichkeiten– Trefferwahrscheinlichkeit p– Nietenwahrscheinlichkeit 1-p
kn
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Formel von Bernoulli
n Versuchswiederholungen p Trefferwahrscheinlichkeit 1-p Nietenwahrscheinlichkeit P(X=k) Wahrscheinlichkeit für k
Treffer
kn kp knp 1P(X=k)
=
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Beispiel: Tierarzt Ein Tierarzt behandelt 20 kranke
Tiere mit einem Medikament, das in 80% zur Heilung führen soll. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 19 Tiere geheilt werden?
P(X≥19)= 020119 2,08,02020
2,08,01920
069,0
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Erwartungswert Erwartungswert für die Anzahl der
geheilten Tiere? Allgemeine Formel:
E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn) Hier gilt: E(X)=
Einfachere Berechnung:E(X) = 20 - 80% = 16
020191200 2,08,02020
20...2,08,0120
12,08,0020
0
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Erwartungswert bei einer Bernoulli-Kette
E(X) = n - p
- n Länge der Bernoulli-Kette- p Trefferwahrscheinlichkeit- E(X)Erwartungswert für die
Zufallsvariable X