1 Rendite e Ammortamenti
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Rendite e Ammortamenti
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Le Rendite
Definizione
Successione di pagamenti scadenzati nel tempo. Ogni pagamento prende il nome di Rata.
Caratteristiche delle Rendite:
• Certe / Aleatorie• Periodiche / Aperiodiche• Posticipate / Anticipate• Temporanee / Perpetue• Costanti / Variabili• Immediate / Differite
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Le Rendite
Valore Attuale di una Rendita
Somma che, impiegata a partire dall’istante di riferimento, in base al tasso di interesse utilizzato per la valutazione, risulta esattamente sufficiente a produrre tutte le rate della rendita alle scadenze previste
Montante di una Rendita
Capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all’istante finale, vengono investite al tasso di interesse utilizzato per la valutazione
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Le Rendite
Ragioniamo in termini di rendite unitarie.
• Rendita Unitaria Annua Posticipata Immediata
• Rendita Unitaria Annua Anticipata Immediata
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Le Rendite
Ragioniamo in termini di rendite unitarie.
• Rendita Unitaria Annua Posticipata Differita (3 anni)
• Rendita Unitaria Annua Anticipata Differita (3 anni)
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Rendita Unitaria Annua Posticipata Immediata
Valore Attuale
2 3
1 2
1 1 1 1...
1 (1 ) (1 ) (1 )
...
n
n
VAi i i i
v v v v
2 3
1 1 (1 )
n
n i
n n
a v v v v
v i
i i
Montante
1 2 3
1 2 3
1 1 1 ... 1 1
... 1
n n n
n n n
M i i i i
r r r r
1 2 3 ... 1
(1 ) 1
n n n
n i
n
s r r r r
i
i
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Esercizio
Calcolare il Valore Attuale ed il Montante di una rendita annua posticipata immediata di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.
4
4
1 (1 ) 1 (1 0,05)3,546
0,05
(1 ) 1 (1 0,05) 14,310
0,05
n
n i
n
n i
ia
i
is
i
500 3,546 1.772,975
500 4,310 2.155,063
n i
n i
VA R a
M R s
8
Rendita Unitaria Annua Anticipata Immediata
Valore Attuale
1 2 11 ... nVA v v v v 11 1
n
n i n i
va i a i
i
Montante
1 2 ...n n nM r r r r
(1 ) 1
11
n
n i
n i n i
i is con d
d is i s
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Esercizio
Calcolare il Valore Attuale ed il Montante di una rendita annua anticipata immediata di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.
4
4
1 (1 ) 1 (1 0,05)1 1 0,05 3,723
0,05
0,054,762%
1 1 0,05
(1 ) 1 (1 0,05) 14,526
0,04762
n
n i
n
n i
ia i
i
id
i
is
d
500 3,723 1.861,624
500 4,526 2.262,816
n i
n i
VA R a
M R s
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Rendita Unitaria Annua Posticipata Differita
Valore Attuale
1 2 2/ ... ...t t t n t nt n i
t
n i
a v v v v v v v
v a
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Esercizio
Calcolare il Valore Attuale di una rendita annua posticipata differita di 3 anni di durata 4 anni e con rata di 500 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.
/
43
1 11
1 1 0,05500 1 0,05 1.531,563
0,05
tt n i n i
nt
VA R a R v a
iR i
i
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Rendita Unitaria Annua Anticipata Differita (3 anni)
Valore Attuale
1 1 1/
/
... 1 ...
1
t t t n t nt n i
t
n i n it
a v v v v v v
v a i a
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Ricerca della Rata
Problemi relativi alle rendite: basta conoscere tre elementi tra VA, R, n, i per ottenere - con qualche calcolo - il quarto.
Calcolare la Rata di una rendita annua posticipata immediata di durata 4 anni e con rata di 1000 euro. Utilizzare un tasso di interesse annuo del 5%.
4 0,05
1.000
n in i
VAVA R a R
a
Ra
4
4 0,05
1 1 0,053,546
0,05
1.000282
3,546
a
R
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Ricerca della durata
11
1 log log log(1 )
log(1 ) log(1 )
log log(1 )
nn
n i
n n
v VAVA R a R i v
i RVA VA
v i v n v iR R
VA VAi i
R Rnv i
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Ricerca della durata
Calcolare n se R=350, VA=1.262, i=0,12.
1262log(1 .0,12)
350 5log1,12
n
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Ricerca del Tasso
Calcolare il tasso effettivo “i” se VA=1000, R=350, n=5.
È necessario ricorrere all’interpolazione
1046,7
1000
991,7
0 1i i i i
lim 0n iia
VA
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Ricerca del Tasso
Nel nostro caso: 5
350.i
VA a
12,50% 1246,2
15,00% 1173,3
17,50% 1107,0
20,00% 1046,7
22,50% 991,7
25,00% 941,2
27,50% 895,0
i VA
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Ricerca del Tasso
Pertanto il tasso cercato si colloca tra il 20,00% ed il 22,50%.Abbiamo quindi i dati seguenti:
0 0
1 1
0,20 1046,7
? 1000
0,2250 991,7
i A
i A
i A
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Ricerca del Tasso
Un valore approssimato di i sarà fornito da:
1 00 0
1 0
( )
0,2250 0,200,20 (1000 1046,7) 0,2212
991,7 1046,7
i ii i A A
A A
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I piani d’ammortamento
• Il problema generale dell’ammortamento di un prestito riguarda le modalità di rimborso del prestito.
• Se un operatore A presta ad un altro B, una somma S che costituisce l’ammontare del prestito, B si impegna a restituirlo entro n anni secondo tempi di rimborso stabiliti.
• Si stabilisce inoltre che l’operatore B, s’impegni a pagare l’interesse sulla somma ancora dovuta, ad un tasso di remunerazione i.
• A può scegliere di restituire il prestito in un’unica soluzione, o versando delle rate periodiche e così via.
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I piani d’ammortamento
Ad esempio se accendiamo un mutuo, dobbiamo azzerare gradualmente il debito.Forniamo la simbologia che sarà utilizzata.
S
C1, C2,… Ch,…, Cn
i
Ih
Importo prestato
Quote capitale ovvero le frazioni del capitale prestato che m’impegno a restituire.
Tasso di remunerazione del prestito
Quote interesse, che misurano il costo del prestito anno per anno
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I piani d’ammortamento
Abbiamo detto che Ih rappresenta il costo del prestito anno per anno, infatti io non pago solo la quota capitale, ma questa l’aumento della quota interessi e all’epoca h pagherò una rata R pari a
La quota d’interesse è proporzionale a due cose:1. Il tasso d’interesse2. Il capitale avuto a disposizione nell’anno, al termine del quale viene pagata la quota interesse
h h hR C I Rata dell’ammortamento: ciò che pago nel generico anno
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I piani d’ammortamento
1
2 1
3 1 2
( )
( )
( )
I i S
I i S C
I i S C C
Costo per il primo anno
Costo per il secondo anno
Così via via per tutti gli anni
DEBITO RESIDUO ALL’EPOCA h hD
Quello che non ho ancora restituito del capitale prestato
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I piani d’ammortamento
Come si calcola il debito residuo?
1 2 ... h h nC C C
1 2 ... hS C C C
Visione prospettiva:
Visione retrospettiva
Guardo al futuro: sommo le quote che non ho ancora restituito
1 h hI D i Quota interesse.
Debito residuo all’epoca precedente
Guardo al passato: sottraggo dal prestito iniziale le quote già pagate
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I piani d’ammortamento
In base a quanto detto rappresentiamo il piano di ammortamento generico.
Ipotizziamo di aver ricevuto un prestito di 1.000 euro da restituire in 5 anni con un tasso di interesse del 5% e quote capitali C=[100,200,300,200,200)
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Rimborso del capitale in un’unica soluzione
In questo caso il capitale preso in prestito S sarà restituito integralmente a scadenza. Si dovranno però pagare gli interessi sul capitale preso in prestito.Riprendendo l’esempio di prima avremo.
Il debito residuo rimarrà pari al capitale inizialmente prestato (es.1.000) fino al rimborso complessivo che avviene in t=5. La rata da pagare comprenderà per i primi 4 anni solamente il pagamento degli interessi sul debito residuo.
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L’ammortamento Francese
L’ammortamento Francese è caratterizzato dalla costanza delle Rate dello schema di ammortamento.
Relazioni fondamentali
n in i
SS R a R
a
1
2 11 2 1
1
... ...
h h
n nn n
C C i
C R v C R v C R v C R v
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L’ammortamento Francese
Seguendo l’esempio di cui sopra compiliamo il piano di ammortamento francese.
La Rata unica sarà:
La prima quota capitale può essere determinata per differenza tra la rata e la quota interesse ovvero secondo la relazione C1=R*vn
5
1.000230,97
1 1 0,05
0,05n i
SR
a
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L’ammortamento Italiano
L’ammortamento Italiano è caratterizzato dalla costanza delle quote capitali.
L’unica relazione fondamentale è:1 2 1... n nC C C C
SC
n
Sempre in base allo stesso esempio fin qui trattato