25 1. REDES Y ROBUSTEZ: REVISIÓN DE CONCEPTOS Las siguientes medidas o parámetros, que se definirán sobre grafos no dirigidos, serán de gran utilidad en análisis y cálculos posteriores que nos llevarán a estudios acerca de la robustez (tolerancia ante fallos aleatorios o provocados) de los distintos tipos de redes [20-21, 33, 36]. Usaremos grafos sencillos como ejemplo, con el objetivo de aclarar posibles dudas que pudieran surgir durante su comprensión. • Incremento de diámetro al eliminar arcos y nodos: Es la diferencia entre el diámetro de la red después de eliminar una arista y el diámetro de la misma cuando todavía estaba presente dicha arista. Hace referencia al incremento de distancia que existe entre dos nodos cuando algún tramo de la vía que existía en la ruta más corta para unirlos queda fuera de uso, obligando a tomar una ruta alternativa. Es por esto, por lo que la magnitud solo tendrá sentido calcularlo si el grafo es conexo. ܦ∆ൌ ܦ௨௩ െ ܦ௧௨ , 0∆ ܦ∞ (3) El índice tendrá valor nulo en el caso de que, el hecho de haber quitado una arista no haya afectado en el cálculo del diámetro, es decir, la arista eliminada no se encontraba en el camino de longitud menor existente entre el resto de los nodos del grafo. El índice tendrá valor infinito cuando como consecuencia de la eliminación de esa arista el grafo quede inconexo. La magnitud se denotará con un subíndice V en caso de que el incremento venga provocado por la eliminación de un vértice y con un subíndice E en caso de que sea una arista la que se elimina. De la misma forma podría calcularse el incremento de diámetro al suprimir un nodo, aunque hay que tener en cuenta, que la eliminación de un nodo conlleva la supresión de todas las aristas incidentes en él. La definición de la magnitud incremental sería la misma.
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1. REDES Y ROBUSTEZ: REVISIÓN DE CONCEPTOS
Las siguientes medidas o parámetros, que se definirán sobre grafos no dirigidos, serán
de gran utilidad en análisis y cálculos posteriores que nos llevarán a estudios acerca de
la robustez (tolerancia ante fallos aleatorios o provocados) de los distintos tipos de redes
[20-21, 33, 36]. Usaremos grafos sencillos como ejemplo, con el objetivo de aclarar
posibles dudas que pudieran surgir durante su comprensión.
• Incremento de diámetro al eliminar arcos y nodos:
Es la diferencia entre el diámetro de la red después de eliminar una arista y el
diámetro de la misma cuando todavía estaba presente dicha arista. Hace
referencia al incremento de distancia que existe entre dos nodos cuando algún
tramo de la vía que existía en la ruta más corta para unirlos queda fuera de uso,
obligando a tomar una ruta alternativa. Es por esto, por lo que la magnitud solo
tendrá sentido calcularlo si el grafo es conexo.
∆ , 0 ∆ ∞ (3)
El índice tendrá valor nulo en el caso de que, el hecho de haber quitado una
arista no haya afectado en el cálculo del diámetro, es decir, la arista eliminada no
se encontraba en el camino de longitud menor existente entre el resto de los
nodos del grafo. El índice tendrá valor infinito cuando como consecuencia de la
eliminación de esa arista el grafo quede inconexo.
La magnitud se denotará con un subíndice V en caso de que el incremento venga
provocado por la eliminación de un vértice y con un subíndice E en caso de que
sea una arista la que se elimina.
De la misma forma podría calcularse el incremento de diámetro al suprimir un
nodo, aunque hay que tener en cuenta, que la eliminación de un nodo conlleva la
supresión de todas las aristas incidentes en él. La definición de la magnitud
incremental sería la misma.
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Si, por ejemplo, en el grafo de la figura 2, suprimimos la arista 2, la distancia del
nodo 1 al 6 y al 4 será la misma, 4 y 2 respectivamente. Sin embargo, al nodo 5
será mayor (7), al igual que la distancia hasta el nodo 2 (13). La distancia del
nodo 2 al nodo 3 seguirá siendo 1, y al nodo 5 seguirá siendo 2. La distancia del
2 al 4 será ahora 7, al 6 será ahora 8. La distancia del nodo 3 a ningún nodo
cambiará. La distancia del nodo 4 a los nodos 5 y 6 y la distancia entre los nodos
5 y 6 tampoco cambiará. El nuevo diámetro de la red será 13. Luego, el
incremento de diámetro obtenido será 5.
Si en lugar de suprimir una arista suprimimos un vértice, por ejemplo, en ese
mismo grafo el 1, deberemos suprimir también las aristas que conectaban ese
nodo con los nodos pares. El grafo que nos queda es
Figura 3
Las distancias del vértice 2 al resto serán [0 1 7 2 8]. Las distancias del vértice
3 al resto serán [1 0 8 3 9]. Las distancias del vértice 4 al resto son [7 8 0 5
9]. Las distancias del 5 al resto son [2 3 5 0 6]. Las distancias del 6 al resto no
será necesario calcularlas. Esos valores podrían ser obtenidos por simetría. El
diámetro del nuevo grafo es 9. El incremento de diámetro,∆ , es unitario.
• Concepto clásico de conectividad (Peor Caso de Conectividad estadística):
Se denomina ‘Vértice-conectividad’ (A(G)) al número de vértices que es
necesario eliminar para conseguir que la red sea inconexa. De la misma forma,
llamamos ‘Arista-conectividad’ (B(G)) al número de aristas que es necesario
borrar hasta hacer que el grafo no sea conexo.
No es una medida que nos aporte información valiosa, si en nuestra red el quitar
un pequeño o gran grupo de vértices no afecta significativamente al
funcionamiento global de la red. Internet es un buen ejemplo de ello.
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En el grafo mostrado en la figura 2, tanto la ‘vértice-conectividad’ como la
‘arista conectividad’ poseen valor 2.
• Cohesividad (ch(V’)) (Peor Caso de Conectividad estadística):
Sea A(G) la ‘Vértice-Conectividad’ de nuestro grafo. Sea G-V’ el grafo obtenido
a partir del original después de borrar un grupo V’ V de vértices. Se define
entonces la cohesividad como la diferencia entre la conectividad de vértices del
grafo original y la conectividad de vértices del grafo después de haber borrado
de él ese grupo de vértices.
′ ′ (4)
De aquí se deduce que un vértice con cohesividad negativa es un outlier,
mientras que uno con cohesividad unidad es un vértice central.
Figura 4
El vértice 8 del grafo de la figura 4.a tiene cohesividad -2, ya que la red tiene
una ‘vértice conectividad’ igual a 1 si ese vértice está presente (sólo sería
necesario suprimir el vértice 6 para hacer no conexo el grafo) y una ‘vértice-
conectividad’ igual a 3 si ese vértice no está presente (Si quisiese aislar uno de
los vértices externos, por ejemplo el 2, debería eliminar el vértice central y los
dos exteriores adyacentes. En este caso, debería eliminar los nodos 1,3 y 7).
El vértice 7 del grafo de la figura 4.b tiene cohesividad unidad ya que si lo
suprimimos el valor de la ‘vértice-conectividad’ cae de 3 a 2.
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En el grafo de la figura 2, los vértices 1, 2, 4 y 5 tienen cohesividad unidad,
mientras que la de los vértices 3 y 6 es nula.
• Grado mínimo (ξ(i)) (Peor Caso de Conectividad estadística):
Menor número de aristas que debemos eliminar para desconectar la red en dos
subgrafos conexos G1 y G2, conteniendo G1 exactamente i vértices. Algunas
propiedades de esta magnitud son:
1. ξ(i) = ξ(n-i), donde n = número de vértices de la red = |V|
2. ξ(i) ≥ i(kmín(G)-i+1), donde kmin(G) es el grado mínimo de los
vértices del grafo.
3. Si G es una red regular cuyo grado es r, siendo r ≤ n/2 para n>2 e i≥
l, entonces:
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡+⎥⎦
⎥⎢⎣⎢≥
ll
iir )()( ξξ
Existen algoritmos que lo computan. El tiempo que tardan es del orden de
|| Ein⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
.
Figura 5
En el grafo de la figura 5, el 1-degree es uno. Necesitaríamos eliminar la arista
1-2 para obtener dos subgrafos, uno de los cuales tiene únicamente un vértice, el
1. El 2-degree es 2. Lo obtendríamos de dos formas. La primera suprimiría las
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aristas 2-3 y 2-4. El subgrafo formado por dos vértices será el constituido por 1 y
2. La segunda suprimiría las aristas 7-8 y 7-9, siendo el grafo de dos vértices el
compuesto por 8 y 9. El 3-degree será 3. Podríamos suprimir 2-4, 3-5 y 3-5, o
bien 7-4, 7-5 y 7-6. Así podríamos continuar hasta que i = 8, lo que ocurre es
que en realidad sólo sería necesario calcular hasta 4, ya que, por ejemplo,
cuando i = 8 habrá dos grafos uno con ocho nodos y el otro con un nodo. Y este
sería el mismo caso que el del 1-degree, solo que entonces buscamos el grafo de
menor dimensión de los dos que obteníamos y ahora buscamos el mayor. Esta
es una de las propiedades definidas. La tabla 1.1 refleja estos valores.
TABLA I.I
El grafo de la figura 2, tiene los valores de i-degree que se reflejan en la tabla
1.2. Para escindir el grafo en dos, y que uno de los subgrafos tenga un solo
vértice, sería necesario eliminar al menos dos aristas (esto sucederá en el caso de
los vértices 3 y 6). El 2-degree se obtiene al separar junto con cualquiera de
estos dos vértices, el 3 o el 6, uno de los vértices 1, 2, 4 ó 5, siendo el que se
escoja del primer grupo adyacente al que se escoja del segundo conjunto. El 3-
degree puede darse de muchas maneras. Sólo hemos calculado hasta el 3-degree
porque hay 6 vértices (las razones ya se comentaron anteriormente).
1-degree 2-degree 3-degree
2 3 4
TABLA I.II
El problema de estos razonamientos es el hecho de que estamos dividiendo el
grafo en dos componentes. Esto no aporta una idea intuitiva de robustez. Por