1 Problemas de Las Olimpiadas Internacionales De Física olimpiada internacional 19.pdf · Suponiendo que los iones se aceleran mediante una diferencia de potencial U antes de excitarlos

José Luis Hernández Pérez, Agustín Lozano Pradillo, Madrid 2008

1

Problemas de Las Olimpiadas

Internacionales

De Física

José Luis Hernández Pérez

Agustín Lozano Pradillo

Madrid 2008


2

XIX OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. AUSTRIA .1988

1.- La absorción y emisión de un fotón esa un proceso reversible. Un

buen ejemplo se encuentra en la excitación de un átomo desde el estado

fundamental a uno de mayor energía y el subsiguiente retorno al estado

fundamental. En tal caso podemos detectar la absorción de un fotón a

partir del fenómeno de la emisión espontánea o fluorescencia. Algunas

de las más modernas técnicas instrumentales utilizan este principio para

la identificación de los átomos y también para medir o calcular el valor

de la velocidad en el espectro de velocidades del haz de electrones.

En un experimento idealizado un ión con una sola carga viaja, con

velocidad v , en dirección opuesta a un haz de luz láser. La longitud de

onda del láser se puede variar. Un ión en reposo se puede excitar a un

nivel superior de energía al interaccionar con la luz láser de longitud de

onda 600 nm. Pero si ese mismo ión se mueve con una cierta velocidad

hacia la luz del láser entonces, de acuerdo con el efecto Doppler, se

necesita que este emita una longitud de onda diferente a la anterior. El

espectro de velocidades de los iones está comprendido entre v=0 y v

=6000 m/s

1.1.1.-- ¿Qué rango de longitudes de onda del láser debe utilizarse para

lograr la excitación de todos los iones cuyo espectro de velocidades es el

indicado anteriormente?

1.1.2.- Un análisis riguroso del problema exige la aplicación del

principio de relatividad, el cual conduce a la expresión

vc

vcff´

Calcular la diferencia que existe en utilizar la fórmula clásica del efecto

Doppler

1.2.- Suponiendo que los iones se aceleran mediante una diferencia de

potencial U antes de excitarlos mediante la luz del láser, determinar la

relación entre el espectro de velocidades de los iones y el potencial

acelerador U.

1.3 La relación carga masa de cada uno de los iones es kg

C64.10m

q y

poseen dos niveles de energía que corresponden a las longitudes de onda

600 nm y 600+10-3

nm. Mostrar que la luz de las dos longitudes de onda

utilizadas para excitar los iones se solapan cuando no se aplica a los

iones voltaje acelerador.


3

Si se utiliza un voltaje acelerador es posible separar los dos espectros de

la luz de manera que no haya solapamiento entre ellos. Calcular el valor

mínimo de U para que esto suceda.

1.1.1.- Rango de longitudes de onda

Cuando el láser está en reposo y el ión se mueve hacia el láser, la ecuación del efecto

Doppler es:

c

v1ff´ o

Siendo f´ la frecuencia que recibe el ión, fo la frecuencia del láser, v la velocidad de

desplazamiento del ión hacia el láser y c la velocidad de la luz.

Por otra parte el ión solamente pasa a un estado de mayor energía cuando recibe la luz

del láser de frecuencia f*, esto ocurre tanto si el ión está en reposo como si se desplaza

con velocidad v, por tanto, la ecuación del efecto Doppler se escribe

c

v1ff* o

Cuando el íon está en reposo v = 0 y f* = fo = Hz5.10600.10

3.10

λ

c 14

9

8

m

Cuando su velocidad es v = 6000 m/s

c

vcλ

c

v1λλ

c

v1

λ

c

λ

c

c

v1ff* mmM

Mm

o

nm0,012

s

m3.10

s

m6.10*600nm

c

vλ1

c

vcλλ

c

vcλλλΔλ

8

3

mmmmmM

Para que todos los iones puedan excitarse la longitud de onda del láser debe estar

comprendida entre 600 nm y 600,012 nm.

1.1.2. Análisis riguroso…

Escribimos las formulas

vc

vcff;

c

v1ff o

´

Ro

´

D

Los subíndices D y R significan Doppler clásico y relativista, respectivamente.

Despejamos fo de la primera y lo sustituimos en la segunda


4

10

´

R

´

D

28

23

2

2

´

R

´

D

2

2

´

D´

R

2

2

´

D

22

´

D

´

D´

R

2.101f

f

3.10*2

6.101

2c

v1

f

f

2c

v1

ff

c

v1

f

vc

cf

vc

vc

vc

cff

La formula clásica es válida para esta velocidad de los iones.

1.2.- Determinar la relación entre el espectro de velocidades de los iones y el

potencial acelerador U.

Para los iones de velocidad cero m

2qUvqUmv

2

1m

2

m

Para los iones de velocidad v: m

2qUvvmv

2

1qUmv

2

1 2

M

2

M

2

m

2qU

m

2qUvvvΔv 2

mM

Si U es pequeño no existe apenas cambio en el espectro de las velocidades.

Si U es muy grande el espectro de velocidades es cada vez más pequeño y tiende a cero.

1.3 Mostrar que la luz de las dos longitudes de onda utilizadas para excitar los

iones se solapan cuando no se aplica a los iones voltaje acelerador.

Primer nivel de energía sin voltaje acelerador

Cuando la velocidad de los iones es cero nm600λ (1)

m

Cuando la velocidad de los iones es v

nm599,988

3.10

6.101

nm600

c

v1

λλ

c

v1

c

λ

c

λ

c

v1ff

8

3

(1)

m(1)

M

(1)

M

(1)

mo

*

Segundo nivel de energía sin voltaje acelerador

Cuando la velocidad de los iones es cero nm10600λ -3(2)

m

Cuando la velocidad de los iones es v


5

nm599,989

3.10

6.101

nm10600

c

v1

λλ

c

v1

c

λ

c

λ

c

v1ff

8

3

-3(2)

m(2)

M

(2)

M

(2)

mo

*

Para observar el solapamiento

1.3 .-Calcular el valor mínimo de U para que esto suceda.

De la figura1 se deduce que para que no haya solapamiento

(U)λ(U)λ (1)

m

(2)

M

8U10m

2qUvqUvm

2

1 3(1)

m

2(1)

m

)1(

c

8U101

600(U)λ

c

8U101(U)λ600nm

c

v1

c

(U)λ

c

λ

c

v1ff

3

(1)

m

3(1)

m

(1)

m

(1)

m

(1)

mo

*

Vamos a calcular (U)v (2)

M´

m

2qUv(U)v(U)vm

2

1qUmv

2

1 2(2)

M

2(2)

M

2

599,988 599,997 600,001 599,993

(1)

Mλ

(2)

Mλ (1)

mλ

(2)

mλ

Fig.1


6

(2)

c

m

2qUv

1

10600(U)λ

c

(U)v1(U)λnm10600

c

(U)v1

c

(U)λ

c

λ

c

v1ff

2

3-(2)

m

(2)

M(2)

m

3-(2)

M

(2)

m

(2)

mo

*

El valor mínimo de U se consigue cuando las ecuaciones (1) y (2) sean iguales

8U600,0018U36600300

8U10*600,0018U3610*6003.10

8U10*600,001U8.1036.10*600c*0,001

c

8U10600,001600,001

c

U8.1036.10600600

c

U8.1036.101

0,001600

c

8U101

600

335

366

366

663

La última ecuación la resolvemos por tanteos sucesivos

U 600 8U63 600,001 8U Diferencia

100 V 17348 16971 377>300

200 V 24268 24000 268<300

150 V 21094 20785 309>300

155 V 21432 21128 304>300

160 V 21766 21466 300=300

No se producirá solapamiento cuando U V160


7

2.- Una rueda cilíndrica de densidad uniforme y masa M =0,40 Kg y

radio R =0,060 m3, y espesor d=0,010 m , está suspendida del techo

mediante de dos cuerdas ligeras. Cada cuerda se puede enrollar sobre el

eje de la rueda . El radio de dicho eje es r = 0,0030 m. La masa del eje y

de las cuerdas se consideran despreciables. Cuando la rueda se gira

manualmente las cuerdas se enrollan sobre el eje hasta que el centro de

mas de la rueda está a una altura de 1m por encima del suelo. Si la

rueda se deja en libertad está desciende verticalmente al mismo tiempo

que gira. Las curdas se desenrollan en su totalidad y la rueda alcanza su

punto más bajo, luego, las cuerdas se enrollan, en sentido opuesto, de

nuevo sobre el eje y la rueda asciende. Se supone que las cuerdas están

en posición vertical y los puntos donde la cuerda toca al eje están

directamente debajo de sus respectivos puntos de suspensión (ver la

figura inferior)

2.1.- Determinar la velocidad angular de la rueda cuando el centro de

masas ha recorrido la distancia s, hacia abajo.

2.2.- Determinar las distintas energías de la rueda cuando s= 0,50 m

2.3.- Calcular la tensión de la cuerda cuando la rueda está descendiendo

2.4.- Calcular la velocidad angular ’como función del ángulo cuando

la cuerda comienza a arrollarse en el eje en el sentido opuesto al que

estaba cuando descendía.

A

r

R

s

S

S eje por el cdm; SA = r

A generatriz del eje de

rotación


8

Dibujar un gráfico de variables que describa el movimiento (en

coordenadas cartesianas) y también la velocidad del centro de masas en

función de .

2.5.- Si cada cuerda resiste una tensión T =10 N sin romperse, encontrar

la máxima longitud de cuerda que puede desenrollarse sin romperse.

2.1.- Velocidad angular de la rueda

Cuando la rueda haya descendido una altura s, su energía potencial se ha transformado

en cinética de traslación del centro de masas y en cinética de rotación alrededor del eje

perpendicular a la rueda y que pasa por el centro de masas

22222 ωMR2

1*

2

1Mv

2

1Iω

2

1Mv

2

1Mgs

La velocidad lineal del centro de masas está relacionada con la velocidad angular de la

rueda rωv

2

Rr

2gsωωR

4

1rω

2

1gs

22

2222

2.2.- Determinar las distintas energías de la rueda cuando s= 0,50 m

Si tomamos como origen de la energía potencial el suelo las distintas energías de la

rueda son:

Energía cinética de traslación:

A

S

r

v

v


9

J9,75.100,0030*

2

0,0600,0030

0,5*9,8*2*0,4*

2

1E

r*

2

Rr

2gsM

2

1rMω

2

1Mv

2

1E

32

22

T

c

2

22

222T

C

Energía cinética de rotación:

J1,95

2

0,0600,0030

0,5*9,8*2*0,060*0,4*

4

1

2

Rr

2gs*MR

2

1*

2

1Iω

2

1E

22

2

22

22R

C

Energía potencial respecto del suelo

J1,960,5*9,8*0,4MgsEp

2.3.- Calcular la tensión de la cuerda

Las ecuaciones son las siguientes:

rαa

Iαr*2T

MaMg2T

T tensión de cada cuerda, a =aceleración del centro de masas, =aceleración angular

de la rueda. I =momento de inercia.

22

2

2

2

2

2

2

2

4r2R

MgRTMg

R

4r2T

R

4Tr

MR2

1

2TrMr*

I

2TrMrMαMg2T

N1,970,0030*40,060*2

0,060*9,8*0,4T

22

2

2.4.- Determinar la velocidad angular en función del ángulo

Cuando la cuerda se ha desenrollado en su totalidad se produce un rebote y la situación

inicial y final queda reflejada en la figura

T

Mg


10

Se deduce que el momento que hace girar a la rueda respecto de A vale: r*MgcosΦ y

la ecuación diferencial del movimiento

2

2

Adt

ΦdIr*MgcosΦ

A partir de esta ecuación obtenemos

CteI

r*Φsen2Mg

dt

dΦ

dt

dΦ*

I

r*ΦMgcos

dt

dt

dΦd

2

1

dt

dΦ*

dt

Φd

dt

dΦ*

I

r*ΦMgcos

A

2

A

2

2

2

A

Cuando =0 la velocidad angular de la rueda se debe a la caída desde una altura H y

hemos visto que vale

A

22

22 I

2MgH

2

RMMr

2MgH

2

Rr

2gHω

Luego la constante es:

A

2

I

2MgH

dt

dΦCte

Finalmente

AAAA

2

2

I

2MgH

I

senΦ2Mgrω

I

2MgH

I

2MgrsenΦω

dt

dΦ

La velocidad máxima se obtendrá cuando sen =1 =90º

t t+

v

T

v A

S

r

v v


11

rHI

2Mgω

A

MAX

La velocidad mínima se obtendrá cuando sen =-1 =180º

rHI

2Mgω

A

MIN

2.4.- b) Dibujar un gráfico de variables que describa el movimiento (en coordenadas

cartesianas) y también la velocidad del centro de masas en función de

En O HA

0I

2Mgω'

En E rHI

2Mgω'

A

MAX

En B rHI

2Mgω'

A

MIN

En cuanto al módulo de la velocidad v’ = ’.r se puede trazar otra gráfica

semejante a la de ’.

rHI

2Mgr.r.ω.v'

A

MAXMAX ;

HI

2Mgr.r.ω.v'

A

00 ;

rHI

2Mgr.r.ω.v'

A

minmin

La componente v’x = -v’ sen

La componente v’y = -v’ cos

360º 270º

’

180º 90

º

0º

B

O

E

1ª

caída

2ª

caída

3ª

caída

4ª

caída

A

S

r

v

v

vy

v

x v


12

2.5.- Si cada cuerda resiste una tensión T =10 N sin romperse, encontrar la máxima

longitud de cuerda que puede desenrollarse sin romperse.

El momento de inercia respecto al eje S es 22

S mr2

1MR

2

1I . Pero suponiendo que

m, la masa del eje, es mucho menor que la masa total del disco M, ponemos

2

S MR2

1I .

El momento de inercia respecto al eje A es:

2

2222

SA r2

RMMrMR

2

1MrII

180º 90

º

O

360º 270º

vx’

0º

B

E

1ª

caída

2ª

caída

3ª

caída

4ª

caída

180º

360º 270

º

vy’

0º

B

E

90

º

1ª

caída

2ª

caída

3ª

caída

4ª

caída

O

A

S

r

v v

vMAX

T

Mg

R

r

A S


13

Las tensiones de las dos cuerdas deben soportar el peso de la rueda y proporcionar la

fuerza centrípeta para girar

La velocidad máxima ocurre en el punto más bajo. Las tensiones de las dos cuerdas

deben soportar el peso de la rueda y proporcionar la fuerza centrípeta para girar

m1,230,00309,8*2

2

0,0600,0030

0,0030*0,4

9,8*0,420

r2g

2

Rr

Mr

Mg2T

H

Hr4g2

Rr

Mr

Mg2T

2

Rr

Hr2g

I

Hr2Mg

Mr

Mg2TrMωMg2T

22

22

22

22A

2

MAX

Por otra parte, la conservación de la energía nos permite obtener también 2 MAX

2

Rr

Hr2g

I

Hr2Mg')('

2

12

2A

22

MAXMAXA HrMhI

Igualando ambas expresiones obtenemos

Hr4g2

Rr

Mr

Mg2T 22


14

3.- Un gas formado por iones positivos de algún elemento (a alta

temperatura) y electrones. El ión positivo pertenece a un átomo de

número atómico Z desconocido. Se sabe que este ión tiene solamente un

electrón en la corteza (capa exterior). Sea este ión representado por el

símbolo A(Z-1)+

Valores de constantes físicas:

0 =8,85.10-12

As/Vm; e=1,602.10-19

A.s; q2=e

2/40 =2,037.10

-28J.m

Constante de Planck ћ =1,054.10-34

J.s;

Radio atómico de Bohr rB = ћ2 /mq

2 =5,29.10

-11 m;

Energía de Rydberg ER=q2/2rB=2,180.10

-18 J;

me (en reposo) = 9,108.10-31

kg; mp (en reposo). c2=1,503.10

-10 J

Cuestión 3.1

Sabemos que el ión A(Z-1)+, que tiene solamente un electrón en su capa

externa, se encuentra en el estado inferior de energía. En este estado, el

cuadrado de la distancia promedio entre el electrón y su núcleo r2 cuyas

componentes sobre los ejes x, y y z sean (Δx)2, (Δy)

2 y (Δz)

2

respectivamente. También el cuadrado del momento promedio esté dado

por p02=(Δpx)

2+(Δpy)

2 +(Δpz)

2 .

Dado que por el principio de incertidumbre se tiene que Δpx ћ /2Δx,

Δpy ћ/2Δy, Δpz ћ/2Δz, se pide escribir la desigualdad que

corresponde al producto (p0)2.(r0)

2 aplicando dicho principio.

Solución 3.1:

Tenemos las relaciones dadas en el enunciado,

ro2=(Δx)

2 +(Δy)

2 +(Δz)

2 ; p0

2=(Δpx)

2+(Δpy)

2 +(Δpz)

2 ;

Δpx ћ /2Δx, Δpy ћ /2Δy, Δpz ћ /2Δz

y además (Δx)2 = (Δy)2 = (Δz)2 = r02/3

por consiguiente:

2

0

22

0222

22

0

3.3

4

11

)(

1

4 rp

zyxp

y por

tanto

p02.r0

2 9/4 . ћ

2

Cuestión 3.2


15

El ión representado por A(Z-1)+ puede capturar otro electrón, pasar a

A(Z-2)+ y emitir como consecuencia un fotón. Escribir una ecuación que

permita calcular la frecuencia de dicho fotón.

Solución 3.2

Tenemos los datos siguientes:

ev

......Módulo de la velocidad del electrón externo antes de la captura.

iv

....... Módulo de la velocidad del ión A(Z-1)+ antes de efectuar dicha captura.

fv

......Módulo de la velocidad del ión A(Z-1)+ después de efectuar la captura

En =h. ...... Energía del fotón emitido Las ecuaciones necesarias son las de la conservación de la energía y del momento. El principio de conservación de la energía queda establecido:

½ .me .ve2 + ½ (M+me).vi

2 + E(A(Z-1)+) = ½ (M+me).vf

2 + E(A(Z-2)+)

E(A(Z-1)+) y E(A(Z-2)+) indican la energía del electrón en la capa exterior de los iones A(Z-

1)+ y A(Z-2)+ respectivamente.

La conservación del momento queda:

uc

h.νv.ZmMv.mMv.m feieee

El vector u

es el vector unitario en la dirección del fotón emitido.

Cuestión 3.3

Calcular la energía del ion A(Z-1)+ usando el valor de la mínima

energía. El cálculo se puede abordar con aproximación basado en los

principios siguientes:

A) La energía potencial del ion A(Z-1)+ se puede expresar en términos

del valor promedio de 1/r. ( en este caso del valor r0 que está dado en

el problema).

B) En el cálculo de la energía cinética del ión usar el valor promedio del

cuadrado del momento, dado en 3.1 después de ser simplificado,

(p0)2 . (r0)

2 (ћ)

2

Solución 3.3

Energía potencial del electrón Ep = - 0

2

00

2

r

Zq

r4ππ

Z.e ; Energía cinética Ec =

e

2

2.m

p

Suponemos el movimiento del electrón confinado en el plano x-y, aplicando el principio

de incertidumbre como en 3.1 puede escribirse:

ro2 = (Δx)

2 +(Δy)

2 po

2 =( Δpx)2 + (Δpy)

2


16

2

o

2

2

o

2

o

2

22

22

0r

4.

4r

2

r

2

4y)(

1

x)(

1

4p

22

0

2

0 .rp

Entonces la energía total del electrón es:

o

2

2

oe

2

o

2

e

2

o

1)(Zr

Zq

r2mr

Zq

2m

pAE

La energía será mínima cuando dE /dro=0

0r

Zq

rmdr

dE2

o

2

3

oe

2

0

de donde se saca 2

e

2

o

mZq

r

1

, y de esta

2

e

2

2

2

2

e

2

e

2

1)(Z

mZqZq

mZq

2mAE

=

22

e Zq

2

m

teniendo en cuenta que el radio de Bohr es rB = ћ2/meq

2 y la energía de Rydberg es

ER=q2/2rB , queda

2

R

B

2222

2

2

e

1)(Z ZE2r

ZqZ.q

2

.qmAE

en resumen

Cuestión 3.4

Calcular la energía del ion A(Z-2)+ tomándolo en el estado más bajo y

usando los mismos principios que en el caso de A(Z-1)+. Dada la

distancia promedio de cada uno de los dos electrones en la capa externa

(en la forma que se tomó r0 en 3.3), llamándolas r1 y r2 y asumiendo que

la distancia promedio entre los dos electrones está dada por r1 + r2 , y el

momento promedio de cada electrón obedece al principio de

incertidumbre, esto es, (p1)2 . (r1)

2 ( ћ)

2 y (p2)

2 . (r2)

2 (ћ)

2

Sugerencia: Usar como dato que en el estado mas bajo de energía es r1 =

r2

Solución 3.4

En el caso en que el ión A(Z-1)+ captura un segundo electrón

La energía potencial de ambos electrones sería Ep

p = -2 Zq2 /ro

La energía cinética de los dos electrones: Ep

c = 2 p2 /2me = ћ

2/me.ro

2

2

R

1)(Z ZEAE


17

Energía potencial debida a la interacción entre los dos electrones Ep

i = 0

2

21

2

2.r

q

rr

q

La energía total del ión A(Z-2)+ será la suma de las tres energías,

0

2

0

2

2

0e

2

2)(Z2.r

q

r

2.Z.q

rmAE

El mínimo de energía se produce cuando 0dr

dE

0

, y por tanto

02.r

q

r

2.Z.q

.rm

2.2

o

2

2

o

2

3

oe

2

Que simplificada es, 02

q2.Z.q

.rm

2. 22

oe

2

y con el radio de Bohr 2

e

2

B.qm

r

queda

2

q2.Z.q

r

r2.q 22

o

B

2

, es decir

4

1Z

r

1

r

1

Bo

Con este valor de r0 sustituido en la ecuación de la energía, obtenemos su valor mínimo

4

1.

.4

12

4

1

.(min)

2

2

2

2

)2( Zr

qZ

r

Z

mAE

BBe

Z

2

Be

22

B

2)(Z 2qrm4

1Z.

r

1(min)AE

como 2

e

2

B.qm

r

, tenemos en la ecuación 2

Be

2

qrm

luego el último factor en

corchetes vale – q2.

Y escribimos la ecuación 2

B

2

2)(Z4

1Z.

2r

2q(min)AE

y por fin tenemos la

energía mínima

Cuestión 3.5

Considerar en particular que el ión A(Z-1)+ se encuentra en reposo en el

nivel más bajo cuando captura un electrón adicional y el electrón

capturado está también en reposo antes de su captura. Determinar el

2

)2(4

12(min)

ZEAE RZ


18

valor numérico de Z si la frecuencia del fotón emitido que acompaña al

electrón capturado es 2,057.1017

rad/s. Identificar elemento que da lugar

al ión.

Solución 3.5

El ion A(Z-1)+

está en reposo cuando captura el segundo electrón también en reposo antes

de la captura.

La frecuencia del fotón emitido está dada por

.2

10.057,2

2

17

Hz

Y en los apartados anteriores obtuvimos para las energías de ambos estados:

La ecuación de la energía puede ser simplificada en la forma

E(A(Z-1)+) - E(A(Z-2)+) = ћ.= h.

esto es

.ω4

1Z2E.ZE

2

R

2

R

y con los números

17342218 10.607,2.10.05,1)4

1(10.180,2

ZZZ

es decir

07,122 ZZ , cuya solución con sentido físico es 1,42

5111

Z

Esto implica que Z = 4, y por tanto se trata del Berilio

2

R1)A(Z ZEAE y

2

R2)(Z4

1Z2E(min)AE

1 Problemas de Las Olimpiadas Internacionales De Física olimpiada internacional 19.pdf · Suponiendo que los iones se aceleran mediante una diferencia de potencial U antes de excitarlos

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