-
Metodología utilizada: Se realizó una búsqueda del material
bibliográco(libros, artículos,artículos en Internet,
tésis,revistas,resúmenes de congresos) contemas relacionados con el
tema de la investigación relaizada.Se asignaron las tareas por
realizar de cada uno de los participantes en la
investigación y se asignaron tareas a los becarios PIFISe
realizó la adquisición del material y equipo de cómputo necesario
para la
realización del proyecto.Se conguró el equipo de cómputo para
que se ajustara a las necesidades del
proyectoaqui estuvieron involucrados los becarios PIFI en la
conguración del equipo
de cómputo
Análisis:En el reporte se da el planteamiento del problema, un
estado del arte del
método,de soluciones y problemas que se tienen, se mencionan los
alcances ylimitantes del trabajo así como logros alcanzados. Al nal
se dan posibles líneasde investigación a realizarse. El desarrollo
del proyecto se fundamenta en lametodología de E. Cartan y S. Lie
para el estudio de las ecuaciones diferenciales atraves de los
invariantes generados por las ecuaciones de estructura de las
formasdiferenciales que permiten encontrar la dimensión del grupo
de transformacióno el espacio de los difeomorsmos generados por los
invariantes.
1 Planteamiento del problema
El problema de ltrado basicamente es la solución de la ecuacion
de densidadque es una ecuación diferencial no lineal estocástica.
Con la solución se puedeencontrar una medida de desviación del
error ya sea para realizar una prediccióno bien un ltrado de una
señal, siempre y cuando los primeros momentos noqueden expresados
en términos de momentos superiores es posible resolverla.En el
trabajo se dan condiciones de existencia de un grupo de
transformaciónpara encontrar los difeomorsmos de la ecuación . El
estudio se centra a partirdel conocimiento de los invariantes
generados por las formas diferenciales delsistema de ecuaciones
dieferenciales. Dada una ecuación diferencial no linealse estudian
los posibles difeomorsmos para llevarla al sistema de
ecuacioneslineal o ecuaciones de Kalman-Bucy, y las dimensiones
posibles para los gruposde transformación que realizan el
difeomorsmo.
2 Estado del Arte
Los ltros son ampliamente utilizados en la industria para los
sistemas de nave-gación , sistemas de guía, radar, sonar,
determinación de órbitas de satélites,imágenes, señales, etc. Los
primeros resultados sobre ltrado fueron publicadospor Kolmogorov y
Wiener, estos enfoques se basan en el conocimiento de la
1
-
función de correlación o bien que el producto interno del
sistema sea invarianteen el tiempo. El ltro de Wiener está limitado
a sistemas lineales, monovariable,y estacionarios (las propiedades
estadísticas de la señal y el ruido se mantienenconstantes,
básicamente la función de correlación), y pueden ser
discretizados.El ltro de Kalman hace posible la estimación de
sistemas multivariables y noestacionarios. La importancia del ltro
de Kalman, aparecido a principios dela década de los sesenta, es
comparable a los trabajos realizados por Nyquisty Bode, en la
década de los veinte, y a los de Wiener, Kolmogorov en los
añostreinta. El ltro de Kalman fue desarrollado directamente para
sistemas dis-cretos, lo que permite de forma natural su
implementación en computadora.Posteriormente el ltro de Kalman se
amplió a sistemas continuos esto últimopor Bucy.
La idea de Kalman es que a partir de la salida del sistema se
estimen lasvariables de estado o bien son la de construir un
observador con ruido. Losproblemas en el enfoque de Kalman o las
restricciones, son las de ser un sistemalineal y con ruido gausiano
o bien Kalman y Bucy establecieron ltros dimen-sionales nitos con
distribución inicial gausiana;Brockett and Mitter propusierónde
forma independiente la idea de usar álgebras de estimación para
construirltros no lineales dimensionalmente nitos. La idea es
imitar el enfoque deWei-Norman usando el método algebraico de Lie
para resolver la ecuación dedensidad (DMZ) [?]. Uno de los méritos
del enfoque de Lie, es su aspecto ge-ométrico, señala de facilidad
de encontrar ltros para sistemas dinámicos linealesy la dicultad
para encontrar ltros de sistemas dinamicos no lineales como
elproblema del sensor cúbico. Mientras el álgebra de Lie sea nita
es posibleencontrar ltros recursivos. El problema aquí es llegar a
conocer si se tiene unálgebra de Lie que sea dimensionalmente nita
y dar una clasicación para estasálgebras de estimación.
El desarrollo del presente trabajo es la solución de un método
alterno parala solución de ltro no lineal. El objetivo sera
encontrar los invariantes de unaecuación de la ecuaci{on
diferencial no lineal y encontrar de ser posible unaforma canónica
de esta. Asi como dar una posible solución en términos defunciones
o por medio de un cambio de varibles aceptadas por el sistema
deecuaciones. La metodología por E. Cartan nos proporciona
soluciones para daruna clasicación de álgebras de Lie aún cuando la
función de densidad genereun álgebra de Lie innita y se basa en el
enfoque de la teoria de invariantes oecuaciones de estructura.En el
trabajo se considera el problema de equivalencia de formas
diferen-
ciales y se desarrollan los invariantes generados por el
sistemas de ecuacionesdiferenciales así como la dimensión que puede
el grupo de difeomorsmos gen-erados por esta para encontrar por
medio de los invariantes una forma canónicade las ecuaciones.
3 Alcances
2
-
Se dan condiciones de existencia para el grupo de transformación
de las ecua-ciones diferenciales no lineales a un sistema de
ecuaciones diferenciales canónico.Asimismo se conocera la dimensión
del grupo de transformación y sus invari-antes. La metodología se
basa en el estudio de las ecuaciones diferenciales quehizo E.
Cartan y S.Lie. La aplicación de la teoría es en general aplicable
acualquier tipo de sistemas de ecuaciones ya sea ordinario o
parcial. Aquí lametodologia trata hasta el grupo de transformación
puntual, dejando el de con-tacto a estudios posteriores.
4 Metodología de solución
La metodología de solución propuesta para el problema de ltrado
es el estudiode los invariantes de Elie Cartan y S. Lie generados
por el conjunto de formasdiferenciales independientes dados por el
sistema de ecuaciones diferenciales .Estos invariantes dan el
espacio de solución del grupo de transformación y lasrestricciones
de que exista un difeomorsmo.
5 Límites
Dado el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
estocástica se estudianlos posibles difeomorsmos para llevarla al
sistema de ecuaciones lineales o ecua-ciones de Kalman-Bucy. Se dan
los grupos de transformación que realizan eldifeomorsmo. Los
invariantes diferenciales generados dan las condiciones
deexistencia para el mapeo de un sistema no lineal a un sistema
lineal tipo Kalman
generando el número de variables del grupo de
transformación.
6 Filtro de Kalman
6.1 Introducción
El problema de ltrado envuelve la estimación de un proceso
estocástico queno puede ser observado directamente (variables de
estado), la información con-tenida en x es obtenida a partir de
observaciones de un proceso relacionadoo bien la salida del sistema
(proceso de observación). Aqui el objetivo seraencontrar un
observador óptimo para el sistema.El problema se complica cuando
las mediciones están afectadas por algún
tipo de incertidumbre, como el ruido u otra causa. En ese caso
existe unageneralización del concepto de observación planteado por
primera vez y en formasimultánea por Kalman en EEUU y por Bucy en
Francia. Es decir, el ltrode Kalman-Bucy es un observador de
estados de un sistema en presencia de
3
-
perturbaciones estocásticas o estadísticas. En una forma
resumida se puededecir que el ltrado estadístico nos da una manera
de calcular óptimamente elobservador y determinar las esperanzas
condionales o mas aún determinar ladensidad condicional a partir
del proceso de observación.La idea de Kalman es que a partir de la
salida del sistema se estimen las
variables de estado o bien la de construir un observador con
ruido. Los proble-mas en el enfoque de Kalman o las restricciones,
son las de ser un sistema linealasí como ser resuelto para un
sistema con ruido gausiano, o bien Kalman-Bucyestablecieron ltros
dimensionales nitos con distribución iniciales gaussianas;
6.2 Caso discreto
Consideremos la ecuación de estado y de salida de un sistema no
estacionario,con ruido de la forma:x(k + 1) = A(k)x(k) +B(k)uk) +
v(k);y(k) = C(k)x(k) + w(k);donde las matrices A(k); B(k) y C(k)
son determinísticas y en general serán
variables en los sistemas lineales variantes en el tiempo, y
u(k) y w(k) son losprocesos estocásticos de los ruidos del sistema
que se consideran ruidos blancosde media cero e independientes y
que satisfacen:E[w(k)] = E[v(k)] = 0E[v(k)wT (k)] = E[w(k)vT (k)] =
0E[v(k)vT (k)] = Q(k);E[v(k)vT (j)]; k 6= jE[w(k)wT (k)] =
R(k)E[w(k)wT (j)]; k 6= jLas matrices de covarianza, diagonales y
por lo tanto simétricas, de los
ruidos del sistema Q(k) (positiva semidenida) y R(k) (positiva
denida) sonconocidas. El ruido del sistema puede considerarse que
se genera en su interioro bien que se introduce a la entrada del
sistema, y el ruido de medida es el errorque se comete al medir la
salida, es decir, será el error que cometen los sensoresal medir.El
problema consiste en estimar el valor óptimo del vector de estado
x(k),
basándose en las medidas ruidosas y(0); y(1); y(2); :::; y(k)
que serán conocidas,además de tener en cuenta que el vector de
estado estará contaminado con elruido del sistema. Esta
problemática puede abordarse de tres formas diferentes,Predicción,
Filtrado, Alisado. La matriz que minimiza P (n), está dada por
lasecuaciones:P (n) = fEe(n)e(n)T gcon n = k+1, n = k o n = k�1
según sea con predicción, ltrado o alisado.
Es decir la matriz de covarianza del error e(k) ha de ser
mínima, estando elerror denido como:e(k) = x(k)� bx(k)Si la matriz
de covarianza P (k) ha de ser mínima, cualquier forma
cuadrática
del tipo: aTP (k)a también es mínima, siendo a un vector
arbitrario de orden
4
-
nx1. Se asume que del estado inicial x(0) se conoce su esperanza
matemática ovalor medio:Efx(0)g = x(0)y será un valor
determinístico, además se conoce la matriz de covarianza del
estado inicial (no del error):E�[x(0)� x(0)][x(0)� x(0)]T
;
El estado inicial y el ruido cumplen:E�[x(0)� x(0)vT (k)]
= E
�[x(0)� x(0)wT (k)]
= 0;
al ser independientes y ser la media de los ruidos blancos cero.
La soluciónencontrada por Kalman, fue que el estimador óptimo del
estado es un observadorque, tiene por ecuación:bx(k + 1) =
A(k)bx(k) +B(k)u(k) +K(k)[y(k)� by(k)]=
A(k)bx(k)+B(k)u(k)+K(k)[y(k)�C(k)bx(k)] conK = A(k)P (k)CT (k)
[R(k) + C(k)P (k)Ct(k)]�1
y quedando la ecuación para la matriz de covarianza como una
ecuación de Ric-cati: P (k + 1) = Q(k) + P [A(k)�K(k)C(k)]P (k)AT
(k).
6.3 Para el caso continuo:
Sea el sistema:dx(t) = f(x(t); t)dt+G(x(t))d�(t) x(0) = xo; t �
t0;dz(t) = h(x(t); t)dt+ d�(t) y(0) = 0;donde x; z; n; w son
respectivamente
-
ecuaciones diferenciales, encontrar mapeos equivalentes para
transformacionesde contacto y obtener invariantes diferenciales de
grupos simétricos para estaclase de ecuaciones, y con ello la
dimensión del grupo de tranformaciones.
Sea M una variedad m dimensional suave . un marco es un conjunto
or-denado de 1 formas � = f�1; �2; : : : �ng la cual forma una base
para el espaciocotangente T �M jx en cada uno de los puntos x�M: El
problema de equivalenciade marcos es determinar cuando 2 de ellos
pueden ser mapeados uno al otro porun difeomorsmo � : M ! M; Cartan
observo que el operador de derivadaexterior era la solución del
problema.La 2 forma d�i se puede reescribir en términos de
productos exteriores de
�s;
d�i =mP
j
-
Para el caso que G = feg el problema de equivalencia feg
evaluado es elmismo como el problema de equivalencia para marcos.
En el otro extremo siG = GL(m) entonces cualquier difeomorsmo �
satisface 17 para cualquierfunción invertible g(x). El objetivo del
método de equivalencia sera reducir atraves de una serie de
operaciones invariantes la estructura del grupo G a feg:o bien
tratar el caso intermedio feg � G � GL(m).
7.2 Normalización:
para el problema de equivalencia G evaluado se deben encontrar
combinacionesde los parámetros del grupo gij y de coordenadas x
k las cuales no cambien poruna transformación de coordenadas, si
esto puede hacerse entonces los marcosde � = g(x)w y � = g(x)w
seran invariantes y reducidos a un problema deequivalencia de
marcos
��� = �:Las combinaciones de los parámetros del grupo gij nos
permiten normalizar o
bien tomar un valor constante a traves de especicar uno de los
parámetros comofunción de las coordenadas de los otros parámetros
del grupo, y con ello reducirla dimención de la estructura del
grupo en uno. Si se encontraran combinacionessucientes seria
posible reducir el grupo G al grupo de estructura trivial feg.
Elmétodo de Cartan da una forma algorítmica para encontrar tales
combinaciones.
7.3 Ecuaciones de estructura
Sea el marco � = g(x)w; o21
�i =mXj=1
gijwj (2)
sacando la derivada exterior : d�i =mXj=1
(dgijwj + gijdw
j)
dado que los wj forman un marco en M , las 2 formas
diferenciales dwj sepueden expresar en términos de sumas de
productos exteriores de wj;s o bienpor 18 en términos de �j;s:
:
d�i =mXj=1
(ij ^ �j +
mXj;k=1;j
-
d�i =rX
k=1
mXj=1
(Aijk�k ^ �j +
mXj;k=1;j
-
entonces la ecuación 21 implica que el cociente de torsión sera
invariante:T ijk(x; g) = T
i
jk(x; g) para alguna especicación de parámetros del grupo g;
g:Tales coecientes de torsión son referidos como esenciales para
las ecuacionesde estructura 19. Si un coeciente de torsión no
depende explicitamente de losparámetros del grupo sera un verdadero
invariante para el problema, en casocontrario dara una combinación
invariante por medio de la cual normalizamosal grupo.El proceso
general de eliminar coecientes desconocidos z a partir de los
coecientes de torsión es conocido como absorción y es una de las
2 técnicasfundamentales en la implementación del método de
equivalencia de Cartan. Latorsión no esencial es absorbida en las
ecuaciones de estructura 19 sustituyendocada forma de Maurer Cartan
por la 1 forma modicada:
�k=�k �pXj=1
zkj �j k = 1; :::; r
con los zkj siendo la solución de las ecuaciones de absorción;
las ecuacionesde estructura seran de la forma:
d�i =rX
k=1
mXj=1
(Aijk�k ^ �j +
mXj;k=1;j
-
Admite variables integrales de dimensión m enM�G�M�G. Para
probarla involución de (2.61), uno puede aplicar la prueba del
teorema 9 (parte 1.5.3)que recordamos: sea si0 para 0 � i � m� 1
los caracteres reducidos de Cartany �0m el pseudo-caracter reducido
denido por:
s00 + s01 + � � �+ s0m�1 + �0m = 2m+ 2r �m
= m+ 2r (7)
Sea r(m) el grado de indeterminación de elementos integrales de
dimensiónm del sistema (2.61). Este sistema está en la involución
si y solo si
s01 + 2s02 + � � �+ (m� 1)s0m�1 +m�0m = r(m) (8)
Olver en [50] da una variante optimizada de la prueba de
involución (2.63)que usamos para nuestra implantación. el
pseudo-caracter �0m aquí está denidodiferentemente (escribimos el
ŝ0m) por:
s00 + s01 + � � �+ s0m�1 + bs0m = m+ r (9)
La prueba de la involución es entonces:
s01 + 2s02 + � � �+ (m� 1)s0m�1 +mbs0m = r0; (10)
Donde r0 es el grado de indeterminación de las formas �
calculadas en laabsorción de la torsión.Lema 5: Las pruebas (2.63)
y (2.65) son equivalentes.Prueba. La comparación de las ecuaciones
(2.62) y (2.64) muestran que:
�0m = bs0m + rPara mostrar el lema, es necesario demostrar
que
r(m) = mr + r0;
Revisemos el número r(m) de constantes arbitrarias que guran en
la ecuaciónde un elemento integral (2.61) de dimensión m. Se ha
visto que una vio variableintegral de dimensión m es el gráco de
una función M en M � G � G de laforma:
x = '(x)g = g(x)g = g(x)
Donde g(x) es cualquier función de M en G.. Las diferenciales de
variablesdependientes (dx; dg; dg) dependen linealmente de x: Esta
dependencia linealdebe ser analizada como una dependencia lineal de
(�; �; �), en relación a �:Esta dependencia lineal, que es
justamente la ecuación de un elemento integralde dimensión m, es la
forma
10
-
� = �� = ��� = � + ^(2)�
(11)
Dónde �(2) y � son dos matrices de dimensión m � r: Como la
funcióng(x)es arbitraria, la matriz � es arbitraria y contiene
entonces mr constantesarbitrarias.Por otra parte, la matriz �(2)
dando la indeterminación de formas � al
momento de la absorción de la torsión contiene r0 constantes
arbitrarias. Setiene nalmente r(m) = mr + r0
Si el sistema (2.61) está en involución, se verá que se puede
construir a partirde las constantes T ijk un sistema completo de
constantes que permiten decidirla equivalencia de las G-
estructuras G y G: En el caso contrario, uno prolongael sistema
(2.61).2.7.1 Ejemplo:Para el ejemplo de equivalencia de ecuaciones
ordinarias de segunda orden,
el sistema exterior : 0@d�1 = �1 ^ �1 + T 12;3�2 ^ �3;d�2 = �1 ^
�2 � �1 ^ �3;d�3 = 0;
1A (12)No está en involución. En efecto, el cálculo de
caracteres reducidos de Cartan
dan: s01 = 1; s02 = 0: El grado de indeterminación es r
0 = 0 (ver sección 2.6.2).Se tiene entoncess01 + 2s
02 6= r0:
2.8 ETAPA 5: Prolongación:La prolongación de un sistema
diferencial exterior S o las variables inde-
pendientes son x = (x1; ::::; xp) y las variables dependientes u
= (u1; ::::; un)consisten en(i) añadir a S las ecuaciones de
elementos integrales de dimensión p:
dui = �ijdxj ; (1 � i � n; 1 � j � p): (13)
(ii) sustituir las ecuaciones (2.68) en S para calcular las
restricciones sobre los�ij que son consecuencia de S y de la
condición independencia dx
1^�� �^dxp 6= 0Añadir estas restricciones al sistema de partida
S.En el caso del método de equivalencia de Cartan, las variables
independientes
son x = (x1; ::::; xm) 2 M y las variables dependientes (x; g;
g)2 M � G � G.Las ecuacionesde los planos integrales (de dimensión
m) son exactamente las ecuaciones
del sistema 2.66. Se ha visto que no hay ninguna restricción
sobre los elementosdel matriz �, las restricciones sobre los �ij en
(2.68) son las restricciones deintegrabilidad.
11
-
Ti
j;k(x; g) = Tij;k(x; g) (14)
Obtenidas durante la absorción de la torsión.No se ha efectuado
mas que un prolongamiento parcial [10] del sistema (2.61).
Al principio no se han añadido todas ecuaciones (2.68) (ver
(2.66)) mas que:
� = � + ^(2)�: (15)No se reajustan las ecuaciones (2.69)
consecuencia de (2.61). Al n, se
simetrizan las ecuaciones (2.70) poniendo
� + ^(2)� = � + ^(2)�: (16)El sistema (2.71) dene la
equivalencia de dos nuevas G -estructuras. Asi que
G es prolongada en la G -estructura G0. denida sobre la variable
M 0 =M �G.El nuevo grupo Gtiene por coordenadas los parámetros
indeterminados � dela matriz �(2) salida de la absorción. La
dimensión de Ges entonces r0 el gradode indeterminación de los
elementos integrales de (2.61). El nuevo grupo Gestá formado por
matrices de la forma:
S0 :=
�Id 0^(2) Id
�Es evidentemente conmutativo. el nuevo sistema es entonces
�0 := S0!0 ,!0 :=���
�Se supone que la G -estructura G es prolongada en G0 de la
misma forma.
Proposición 7: las G-estructuras G y G equivalentes si y solo si
las G -estructuras prolongadas G0 y G0 son equivalentes.Prueba.
Esta prolongación parcial consistió en añadir una parte de las
re-
stricciones de integrabilidad sin retirar ninguna
ecuación.Después de la prolongación, se entra de nuevo en una curva
de absorción de
la torsión y de normalización.
8 Introducción
En esta parte del trabajo se resuelve la búsqueda de los
invariantes para elsistema de ecuaciones diferenciales no lineales,
y se desarrolla el cálculo paraencontrar la dimensión del grupo de
transformación, y la base para el conjuntode invariantes que
satisface el sistema así como el cambio de coordenadas enforma
explícita.
Filtro de Kalman
12
-
8.1 Introducción
El problema de ltrado envuelve la estimación de un proceso
estocástico queno puede ser observado directamente (variables de
estado), la información con-tenida en x es obtenida a partir de
observaciones de un proceso relacionadoo bien la salida del sistema
(proceso de observación). Aqui el objetivo seraencontrar un
observador óptimo para el sistema.El problema se complica cuando
las mediciones están afectadas por algún
tipo de incertidumbre, como el ruido u otra causa. En ese caso
existe unageneralización del concepto de observación planteado por
primera vez y en formasimultánea por Kalman en EEUU y por Bucy en
Francia. Es decir, el ltrode Kalman-Bucy es un observador de
estados de un sistema en presencia deperturbaciones estocásticas o
estadísticas. En una forma resumida se puededecir que el ltrado
estadístico nos da una manera de calcular óptimamente elobservador
y determinar las esperanzas condionales o mas aún determinar
ladensidad condicional a partir del proceso de observación.La idea
de Kalman es que a partir de la salida del sistema se estimen
las
variables de estado o bien la de construir un observador con
ruido. Los proble-mas en el enfoque de Kalman o las restricciones,
son las de ser un sistema linealasí como ser resuelto para un
sistema con ruido gausiano, o bien Kalman-Bucyestablecieron ltros
dimensionales nitos con distribución iniciales gaussianas;
8.2 Caso discreto
Consideremos la ecuación de estado y de salida de un sistema no
estacionario,con ruido de la forma:x(k + 1) = A(k)x(k) +B(k)uk) +
v(k);y(k) = C(k)x(k) + w(k);donde las matrices A(k); B(k) y C(k)
son determinísticas y en general serán
variables en los sistemas lineales variantes en el tiempo, y
u(k) y w(k) son losprocesos estocásticos de los ruidos del sistema
que se consideran ruidos blancosde media cero e independientes y
que satisfacen:E[w(k)] = E[v(k)] = 0E[v(k)wT (k)] = E[w(k)vT (k)] =
0E[v(k)vT (k)] = Q(k);E[v(k)vT (j)]; k 6= jE[w(k)wT (k)] =
R(k)E[w(k)wT (j)]; k 6= jLas matrices de covarianza, diagonales y
por lo tanto simétricas, de los
ruidos del sistema Q(k) (positiva semidenida) y R(k) (positiva
denida) sonconocidas. El ruido del sistema puede considerarse que
se genera en su interioro bien que se introduce a la entrada del
sistema, y el ruido de medida es el errorque se comete al medir la
salida, es decir, será el error que cometen los sensoresal medir.El
problema consiste en estimar el valor óptimo del vector de estado
x(k),
basándose en las medidas ruidosas y(0); y(1); y(2); :::; y(k)
que serán conocidas,
13
-
además de tener en cuenta que el vector de estado estará
contaminado con elruido del sistema. Esta problemática puede
abordarse de tres formas diferentes,Predicción, Filtrado, Alisado.
La matriz que minimiza P (n), está dada por lasecuaciones:P (n) =
fEe(n)e(n)T gcon n = k+1, n = k o n = k�1 según sea con predicción,
ltrado o alisado.
Es decir la matriz de covarianza del error e(k) ha de ser
mínima, estando elerror denido como:e(k) = x(k)� bx(k)Si la matriz
de covarianza P (k) ha de ser mínima, cualquier forma
cuadrática
del tipo: aTP (k)a también es mínima, siendo a un vector
arbitrario de ordennx1. Se asume que del estado inicial x(0) se
conoce su esperanza matemática ovalor medio:Efx(0)g = x(0)y será un
valor determinístico, además se conoce la matriz de covarianza
del
estado inicial (no del error):E�[x(0)� x(0)][x(0)� x(0)]T
;
El estado inicial y el ruido cumplen:E�[x(0)� x(0)vT (k)]
= E
�[x(0)� x(0)wT (k)]
= 0;
al ser independientes y ser la media de los ruidos blancos cero.
La soluciónencontrada por Kalman, fue que el estimador óptimo del
estado es un observadorque, tiene por ecuación:bx(k + 1) =
A(k)bx(k) +B(k)u(k) +K(k)[y(k)� by(k)]=
A(k)bx(k)+B(k)u(k)+K(k)[y(k)�C(k)bx(k)] conK = A(k)P (k)CT (k)
[R(k) + C(k)P (k)Ct(k)]�1
y quedando la ecuación para la matriz de covarianza como una
ecuación de Ric-cati: P (k + 1) = Q(k) + P [A(k)�K(k)C(k)]P (k)AT
(k).
8.3 Para el caso continuo:
Sea el sistema:dx(t) = f(x(t); t)dt+G(x(t))d�(t) x(0) = xo; t �
t0;dz(t) = h(x(t); t)dt+ d�(t) y(0) = 0;donde x; z; n; w son
respectivamente
-
L(t) = P (t)CTW�1
dx̂ = Ax̂(t) +Bu(t) + L(t)(y(t)� Cx̂(t))
9 Teoría de Cartan
9.1 Introducción
En esta parte del trabajo se considera la teoría de estructuras
de E. Cartanpara grupos de simetría de ecuaciones diferenciales a
traves de las formas diferen-ciales, este enfoque permite resolver
problemas de equivalencia para una clase deecuaciones
diferenciales, encontrar mapeos equivalentes para
transformacionesde contacto y obtener invariantes diferenciales de
grupos simétricos para estaclase de ecuaciones, y con ello la
dimensión del grupo de tranformaciones.
Sea M una variedad m dimensional suave . un marco es un conjunto
or-denado de 1 formas � = f�1; �2; : : : �ng la cual forma una base
para el espaciocotangente T �M jx en cada uno de los puntos x�M: El
problema de equivalenciade marcos es determinar cuando 2 de ellos
pueden ser mapeados uno al otro porun difeomorsmo � : M ! M; Cartan
observo que el operador de derivadaexterior era la solución del
problema.La 2 forma d�i se puede reescribir en términos de
productos exteriores de
�s;
d�i =mP
j
-
propio conjunto de 1 formas diferenciales.El hecho que una clase
de trasforma-ción mapea el objeto original a uno nuevo sera lo
mismo que escribir las 1 formasdiferenciales en el nuevo cambio de
coordenadas.Sea w = fw1; w2; : : : wng y w=fw1; w2; : : : wng ; 2
marcos.Denición: Sea G � GL(M) un grupo de Lie. sea w y w 2 marcos
denidos
sobre variedades m dimensionales el problema de equivalencia G
evaluado esdeterminar si existe un difeomorsmo� :M !M y una función
G evaluada g: M ! G con la propiedad:
��w = g(x)w: (17)
Para el caso que G = feg el problema de equivalencia feg
evaluado es elmismo como el problema de equivalencia para marcos.
En el otro extremo siG = GL(m) entonces cualquier difeomorsmo �
satisface 17 para cualquierfunción invertible g(x). El objetivo del
método de equivalencia sera reducir atraves de una serie de
operaciones invariantes la estructura del grupo G a feg:o bien
tratar el caso intermedio feg � G � GL(m).
9.2 Normalización:
para el problema de equivalencia G evaluado se deben encontrar
combinacionesde los parámetros del grupo gij y de coordenadas x
k las cuales no cambien poruna transformación de coordenadas, si
esto puede hacerse entonces los marcosde � = g(x)w y � = g(x)w
seran invariantes y reducidos a un problema deequivalencia de
marcos
��� = �:Las combinaciones de los parámetros del grupo gij nos
permiten normalizar o
bien tomar un valor constante a traves de especicar uno de los
parámetros comofunción de las coordenadas de los otros parámetros
del grupo, y con ello reducirla dimención de la estructura del
grupo en uno. Si se encontraran combinacionessucientes seria
posible reducir el grupo G al grupo de estructura trivial feg.
Elmétodo de Cartan da una forma algorítmica para encontrar tales
combinaciones.
9.3 Ecuaciones de estructura
Sea el marco � = g(x)w; o21
�i =mXj=1
gijwj (18)
sacando la derivada exterior : d�i =mXj=1
(dgijwj + gijdw
j)
16
-
dado que los wj forman un marco en M , las 2 formas
diferenciales dwj sepueden expresar en términos de sumas de
productos exteriores de wj;s o bienpor 18 en términos de �j;s:
:
d�i =mXj=1
(ij ^ �j +
mXj;k=1;j
-
�i=
mXj;k=1;j
-
2.7 ETAPA 4: Prueba de involuciónCuando ya ningún coeciente de
estructura depende de los parámetros del
grupo G, la prueba de involución permite decir si se puede, en
la etapa dondeuno está, decidir la equivalencia de dos G
-estructuras G y G. Éstas si sonequivalentes si y solo si el
sistema diferencial exterior:0@ � = �;d� = d�;
�1 ^ � � � ^ �m 6= 0
1A (22)Admite variables integrales de dimensión m enM�G�M�G.
Para probar
la involución de (2.61), uno puede aplicar la prueba del teorema
9 (parte 1.5.3)que recordamos: sea si0 para 0 � i � m� 1 los
caracteres reducidos de Cartany �0m el pseudo-caracter reducido
denido por:
s00 + s01 + � � �+ s0m�1 + �0m = 2m+ 2r �m
= m+ 2r (23)
Sea r(m) el grado de indeterminación de elementos integrales de
dimensiónm del sistema (2.61). Este sistema está en la involución
si y solo si
s01 + 2s02 + � � �+ (m� 1)s0m�1 +m�0m = r(m) (24)
Olver en [50] da una variante optimizada de la prueba de
involución (2.63)que usamos para nuestra implantación. el
pseudo-caracter �0m aquí está denidodiferentemente (escribimos el
ŝ0m) por:
s00 + s01 + � � �+ s0m�1 + bs0m = m+ r (25)
La prueba de la involución es entonces:
s01 + 2s02 + � � �+ (m� 1)s0m�1 +mbs0m = r0; (26)
Donde r0 es el grado de indeterminación de las formas �
calculadas en laabsorción de la torsión.Lema 5: Las pruebas (2.63)
y (2.65) son equivalentes.Prueba. La comparación de las ecuaciones
(2.62) y (2.64) muestran que:
�0m = bs0m + rPara mostrar el lema, es necesario demostrar
que
r(m) = mr + r0;
Revisemos el número r(m) de constantes arbitrarias que guran en
la ecuaciónde un elemento integral (2.61) de dimensión m. Se ha
visto que una vio variableintegral de dimensión m es el gráco de
una función M en M � G � G de laforma:
19
-
x = '(x)g = g(x)g = g(x)
Donde g(x) es cualquier función de M en G.. Las diferenciales de
variablesdependientes (dx; dg; dg) dependen linealmente de x: Esta
dependencia linealdebe ser analizada como una dependencia lineal de
(�; �; �), en relación a �:Esta dependencia lineal, que es
justamente la ecuación de un elemento integralde dimensión m, es la
forma
� = �� = ��� = � + ^(2)�
(27)
Dónde �(2) y � son dos matrices de dimensión m � r: Como la
funcióng(x)es arbitraria, la matriz � es arbitraria y contiene
entonces mr constantesarbitrarias.Por otra parte, la matriz �(2)
dando la indeterminación de formas � al
momento de la absorción de la torsión contiene r0 constantes
arbitrarias. Setiene nalmente r(m) = mr + r0
Si el sistema (2.61) está en involución, se verá que se puede
construir a partirde las constantes T ijk un sistema completo de
constantes que permiten decidirla equivalencia de las G-
estructuras G y G: En el caso contrario, uno prolongael sistema
(2.61).2.7.1 Ejemplo:Para el ejemplo de equivalencia de ecuaciones
ordinarias de segunda orden,
el sistema exterior : 0@d�1 = �1 ^ �1 + T 12;3�2 ^ �3;d�2 = �1 ^
�2 � �1 ^ �3;d�3 = 0;
1A (28)No está en involución. En efecto, el cálculo de
caracteres reducidos de Cartan
dan: s01 = 1; s02 = 0: El grado de indeterminación es r
0 = 0 (ver sección 2.6.2).Se tiene entoncess01 + 2s
02 6= r0:
2.8 ETAPA 5: Prolongación:La prolongación de un sistema
diferencial exterior S o las variables inde-
pendientes son x = (x1; ::::; xp) y las variables dependientes u
= (u1; ::::; un)consisten en(i) añadir a S las ecuaciones de
elementos integrales de dimensión p:
dui = �ijdxj ; (1 � i � n; 1 � j � p): (29)
(ii) sustituir las ecuaciones (2.68) en S para calcular las
restricciones sobre los�ij que son consecuencia de S y de la
condición independencia dx
1^�� �^dxp 6= 0
20
-
Añadir estas restricciones al sistema de partida S.En el caso
del método de equivalencia de Cartan, las variables
independientes
son x = (x1; ::::; xm) 2 M y las variables dependientes (x; g;
g)2 M � G � G.Las ecuacionesde los planos integrales (de dimensión
m) son exactamente las ecuaciones
del sistema 2.66. Se ha visto que no hay ninguna restricción
sobre los elementosdel matriz �, las restricciones sobre los �ij en
(2.68) son las restricciones deintegrabilidad.
Ti
j;k(x; g) = Tij;k(x; g) (30)
Obtenidas durante la absorción de la torsión.No se ha efectuado
mas que un prolongamiento parcial [10] del sistema (2.61).
Al principio no se han añadido todas ecuaciones (2.68) (ver
(2.66)) mas que:
� = � + ^(2)�: (31)
No se reajustan las ecuaciones (2.69) consecuencia de (2.61). Al
n, sesimetrizan las ecuaciones (2.70) poniendo
� + ^(2)� = � + ^(2)�: (32)
El sistema (2.71) dene la equivalencia de dos nuevas G
-estructuras. Asi queG es prolongada en la G -estructura G0. denida
sobre la variable M 0 =M �G.El nuevo grupo Gtiene por coordenadas
los parámetros indeterminados � dela matriz �(2) salida de la
absorción. La dimensión de Ges entonces r0 el gradode
indeterminación de los elementos integrales de (2.61). El nuevo
grupo Gestá formado por matrices de la forma:
S0 :=
�Id 0^(2) Id
�Es evidentemente conmutativo. el nuevo sistema es entonces
�0 := S0!0 ,!0 :=���
�Se supone que la G -estructura G es prolongada en G0 de la
misma forma.
Proposición 7: las G-estructuras G y G equivalentes si y solo si
las G -estructuras prolongadas G0 y G0 son equivalentes.Prueba.
Esta prolongación parcial consistió en añadir una parte de las
re-
stricciones de integrabilidad sin retirar ninguna
ecuación.Después de la prolongación, se entra de nuevo en una curva
de absorción de
la torsión y de normalización.
21
-
10 Introducción
En esta parte del trabajo se resuelve la búsqueda de los
invariantes para elsistema de ecuaciones diferenciales no lineales,
y se desarrolla el cálculo paraencontrar la dimensión del grupo de
transformación, y la base para el conjuntode invariantes que
satisface el sistema así como el cambio de coordenadas enforma
explícita.
Conclusiones:El sistema de ecuaciones diferenciales a la que se
aplica la teoría de E. Cartan
es el siguiente:dx(t) = X11(x; t)dt+X12(x; t)dw x(0) = xo; t �
t0;dz(t) = X21(x; t)dt+X22(x; t)dn z(0) = 0donde x; z; n; w son
respectivamente
-
�1 = a1dx� a1X11(x; t)dt� a1X12(x; t)dw;�2 = a7dz � a7X21(x;
t)dt� a7X22(x; t)dn;�3 = a13dt; �4 = a19dw; �5 = a25dn:
derivando las formas diferenciales anteriores se tienen las
ecuaciones de es-tructura:d�1 = T
113�1 ^ �3 + T 114�1 ^ �4 + T 134�3 ^ �4;
d�2 = T213�1 ^ �3 + T 234�3 ^ �4;
d�3 = 0;d�4 = 0;d�5 = da25;
T 113 = � (xX11;x�X11) = (a13x) ;T 114 = � (xX12;x�X12) = (a13x)
;T 134 = � (X11X12;x+X12;z �X12X11;x ) = (a13a19x) ;T 213 =
�xa7X21;x =a13 ;T 234 = a7 (X12X21;x ) = (a13a19) ;todas las
constantes de estructura son invariantes así tomando ;T 114 = 1;
T
134 =
1; T 213 = 1
y despejando las variables a13; a19; a7 :
a13 = (X11X12;x+X12;z �X12X11;x ) = (xX12;x�X12) ;a19 = �
(xX12;x�X12) =x;a7 = (X11X12;x+X12;z �X12X11;x ) = ((xX12;x�X12)
(xX21;x )) ;
sustituyendo en las formas diferenciales:
d�1 = T113�1 ^ �3 + �1 ^ �4 + �3 ^ �4; (33)
d�2 = �1 ^ �3 + T 234�3 ^ �4;d�3 = 0;
d�4 = 0;
d�5 = da25;
T 113 = (xX12;x�X12) (xX11;x�X11) = ((X11X12;x+X12;z �X12X11;x
)x) ;T 234 = X12= (xX12;x�X12) ;
de los invariantes anteriores cualquer difeomorsmo al sistema 33
debe sat-isfacer que X12;x;= 0 yX11 = nx; siendo el sistema 33
involutivo con una variable libre.Para el caso que
dx(t) = J1xdt+ J2dw x(0) = xo; t � t0; (34)dz(t) = J3xtdt+ J4dn
z(0) = 0:
23
-
las ecuaciones de estructura tienen los siguientes
invariantes:d�1 = �1 ^ �4 + �3 ^ �4;d�2 = �1 ^ �3 � �3 ^ �4;
d�3 = 0; d�4 = 0; d�5 = 0;con los invariantes dados pora13 =
J1;a19 = J2=x;a7= �J1=(xJ3); siendo el pseudo-grupo de
transformación :
x� = nX; z� = nz + c; t� = t+ a;w� = nw + b; n� = f(n);
toda ecuación que satisface a las ecuaciones de estructura del
sistema tendraun difeomorsmo correspondiente. así el sistema de
ecuaciones :
dy(t) = J1ydt+ J2dw y(0) = xo; t � t0 (35)dz(t) = J3ydt+ J4dn
z(0) = 0:
tiene las mismas constantes de estructura con el grupo
correspondiente:
y� = n=y; z� = nz + c; t� = t+ a;w� = nw + b; n� = f(n);
siendo el difeomorsmo entre los 2 sistemas de ecuaciones dado
por la vari-able :
ln(x) = (y^2)=2: quedando las demas variables sin cambio.
Conclusiones y perspectivasEl problema de ltrado básicamente es
la solución de la ecuación de densidad
que es una ecuación diferencial no lineal. Con la solución se
puede encontraruna medida de desviación del error ya sea para
realizar una predicción o bien unltrado de una señal, siempre y
cuando los primeros momentos no queden expre-sados en términos de
momentos superiores es posible resolverla. En el trabajo sedan
condiciones de existencia para encontrar la dimensión de los
difeomorsmosposibles de la ecuación o la dimensión del grupo de
transformación que satis-face. El estudio se centra a partir del
conocimiento de los invariantes generadospor las formas
diferenciales del sistema de ecuaciones dieferenciales. Dada
unaecuación diferencial no lineal estocástica se estudian los
posibles difeomorsmospara llevarla al sistema de ecuaciones lineal
o ecuaciones de Kalman-Bucy, y lasdimensiones posibles para los
grupos de transformación que realizan el difeo-morsmo. Se da un
enfoque diferente y nuevo para el estudio de las
ecuacionesdiferenciales estocásticas que tengan una función de
densidad con un álgebra deLie innita.
24
-
Se dan condiciones de existencia para el grupo de transformación
de las ecua-ciones diferenciales no lineales estocásticas a un
sistema de ecuaciones diferen-ciales lineales.. La metodología se
basa en el estudio de las ecuaciones difer-enciales que hizo E.
Cartan y S.Lie. La aplicación de la teoría es en generalaplicable a
cualquier tipo de sistemas de ecuaciones ya sea ordinario o
parcial.Aquí la metodologia trata hasta el grupo de transformación
puntual, dejando elde contacto a estudios posteriores.
La solución propuesta para el problema de ltrado es el estudio
de los invari-antes de Elie Cartan y S. Lie generados por el
conjunto de formas diferencialesindependientes dados por el sistema
de ecuaciones diferenciales estocásticas noanticipativas. Estos
invariantes dan el espacio de solución del grupo de trans-formación
y las restricciones de que exista un difeomorsmo.Los invariantes
diferenciales generados dan las condiciones de existencia para
el mapeo de un ltro no lineal a un ltro de Kalman y dando la
dimensión del
grupo de transformación.Dentro del contexto general del proyecto
la presente investigación tiene rel-
evancia ya que aporta elementos estadisticos asi como una nueva
metodologiade investigación para los sistemas no lineales que son
de utilidad para obtenerresultados del proyecto general
Anexo:
El ltro de Kalman es un conjunto de ecuaciones matemáticas que
proveenuna solución recursiva eciente delmétodo de mínimos
cuadrados. Esta solución permite calcular un estimador
lineal, insesgado y óptimo del estadode un proceso en cada
momento del tiempo con base en la información
disponible en el momento anterior, y actualizar,con la
información adicional disponible en el momento, dichas
estimaciones.
Este ltro es el principal algoritmopara estimar sistemas
dinámicos especicados en la forma de estado-espacio.
Como un ejemplo para el caso del Filtro de Kalman continuo
podemos con-siderar el siguiente sistema dado por:
_x =
��4 2�2 �4
�+
�01
�u+
�1�1
�v
y =�1 0
�x+ w
donde el término de ruido v(t) tiene media cero y covarianza v =
0:09. Elruido de medición se asume demedia cero y covarianza w =
0:25. El objetivo es dise nar un ltro de
Kalman continuo para estimar las
25
-
variables de estado. Considermos el estado inicial de la planta
x(0) =�0:5 �0:5
�, con covarianza
de este estado inicial P0 = I2�2.
Para describir completamente el ltro de Kalman, recurrimos a las
ecua-ciones:
_P (t) = AP (t) + P (t)AT � P (t)CTW�1CP (t) +G � V �GTL(t) = P
(t)CTW�1
dx̂ = Ax̂(t) +Bu(t) + L(t)(y(t)� Cx̂(t))A continuación
observamos la programación en Matlab para resolver la
ecuación diferencial de _P :function dp =Ej_Kal(t,p)dp =
zeros(3,1);A=[-4 2;-2 -4]; B=[0;1]; C=[1,0]; G=[1;-1]; V=0.09;
W=0.25;P=[p(1),p(2);p(2),p(3)];DP=A*P + P*A- P*C*inv(W)*C*P +
G*V*G;dp(1)=DP(1,1);dp(2)=DP(1,2);dp(3)=DP(2,2);
Con esto podemos encontrar el valor de la ganancia de Kalman que
paraeste ejemplo nos da:L =[0.0270 ; -0.0359];y resolvemos la
ecuación diferencial para dx̂ :function dx =Ej_Kalx(t,x)dx =
zeros(4,1);A=[-4 2;-2 -4]; B=[0;1]; C=[1,0]; G=[1;-1]; V=0.09;
W=0.25;L =[0.0270 ; -0.0359];X=[x(1);x(2)];XH=[x(3);x(4)];u = sin
(t);DX= A*X+ B*u +
G*sqrt(V)*randn;y=C*X+sqrt(W)*randn;XP=A*XH+B*u;XH=XP+ L*(y -
C*XP);dx(1,1)=DX(1,1);dx(2,1)=DX(2,1);dx(3,1)=XH(1,1);dx(4,1)=XH(2,1);end
Para resolver numericamente ambas ecuaciones diferenciales
usamos:A=[-4,2;-2,-4]; B=[0;1]; G=[1;-1];
C=[1,0];V=0.09;W=0.25;[t,p]=ode45(Ej_Kal,[0 10],[0.1 0 0.1]);
26
-
0 2 4 6 8 10-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t
x
z=length(p);%
plot(t,p)P=[p(z,1),p(z,2);p(z,2),p(z,3)];L=P*C*inv(W);[t,x]=ode45(Ej_Kalx,[0
10],[.5 -.5 0 0]);plot(t,x)
La graca que obtenemos es:FILTRO DE KALMAN DISCRETO:Ahora
construyamos un ltro de Kalman discreto para estimar la
evolución
del estado del sistema anterior cuando sele aplica la entrada u
= senkT , con periodo de muestreo T = 0:05s; y sobre
el intervalo kT 2 [0; 10]s:Resumimos los pasos a seguir para
programar el ltro de Kalman discreto.
Partimos del conocimiento delas propiedades estadiscas, valor
esperado y varianza de los ruidos v, y w, y
la condición inicial x0.Para describir completamente el ltro de
Kalman discreto, recurrimos a las
ecuaciones:ex = Ax̂+BukLk+1 = [ASkA
T +GV GT ]CTC[ASkAT +GV GT ]CT +W�1
x̂k+1 = (I � Lk+1C)(Ax̂+Buk) + Lk+1Sk+1 = [I � Lk+1C][ASkATGV GT
][I � Lk+1C]T + Lk+1WLTk+1El programa en Matlab para hacer un
Filtro de Kalman discreto es:Ac=[-4,2;-2,-4]; Bc=[0;1]; Gc=[1;-1];
C=[1,0];
27
-
T=0.05;A=expm(Ac*T);
B=inv(Ac)*(A-eye(2,2))*Bc;G=inv(Ac)*(A-eye(2,2))*Gc;V=0.09;W=0.25;t=0:T:10;
u=sin(t); x0=[0;0]; x=x0; y=C*x0;xh=[0.5;-0.5]; % xh(0)xp=xh; %
xp(0)S=eye(2,2);for k=1:length(t)-1%
sistemax(:,k+1)=A*x(:,k)+B*u(k)+G*sqrt(V)*randn;y(k+1)=C*x(:,k+1)+sqrt(W)*randn;%
ltro de Kalman
inestacionarioxp(:,k+1)=A*xh(:,k)+B*u(k);L=(A*S*A+G*V*G)*C*inv(C*(A*S*A+G*V*G)*C+W);xh(:,k+1)=xp(:,k+1)+L*(y(k+1)-C*xp(:,k+1));S=(eye(2,2)-L*C)*(A*S*A+G*V*G)*(eye(2,2)-L*C)+L*W*L;endplot(t,x)hold
onplot(t,xh,c)
28