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1. Physikalische Grundlagen
In diesem Kapitel sollen in knappen Zügen wichtige physikalische
Eigenschaften des Lichtesund der Lichtausbreitung zusammengestellt
werden, soweit sie für das Verständnis der indiesem Buch
dargestellten Zusammenhänge wichtig sind. Für eine ausführliche
Darstellungder physikalischen Grundlagen sei auf einschlägige
Lehrbücher der Physik verwiesen. AlsBeispiele sind [1] und [2]
angeführt.
1.1 Einführung
Optik im historischen Sinn ist die Lehre vom Licht und befaßte
sich zunächst mit den Er-scheinungen, die durch unser Sinnesorgan
Auge wahrgenommen werden können, wobei einewesentliche
Fragestellung die Natur des Lichtes selbst betraf. Die
Vorstellungen über dieNatur des Lichts waren im Laufe der
Geschichte bestimmt durch zwei gegensätzliche Auf-fassungen. Nach
der Korpuskulartheorie besteht Licht aus einem Strom kleiner
Teilchen, diesich mit großer Geschwindigkeit geradlinig
fortbewegen. Der prominenteste Vertreter derKorpuskulartheorie war
Isaak Newton (1642 - 1727). Er nahm an, daß bei Brechung
undReflexion auf die Lichtteilchen Kräfte wirken, die senkrecht zur
Übergangsfläche stehen.Auch die Beugung des Lichts an Öffnungen
führte er auf anziehende Kräfte zurück, die vonden Kanten der
beugenden Öffnungen ausgingen.
Obwohl man bereits zu dieser Zeit darüber diskutierte, inwieweit
das Wellenbild dazugeeignet sei, die Natur des Lichts zu
beschreiben, war der Einfluß Newtons so dominierend,daß der
Durchbruch des Wellenmodells fast ein Jahrhundert auf sich warten
ließ. ChristianHuygens (1629 - 1695) entwickelte das erste
semiquantitative Wellenmodell des Lichts, mitdem die Ausbreitung
und speziell die Beugung des Lichts an Öffnungen und Kanten
erklärtwerden konnte. Thomas Young (1773 - 1829) erweiterte das
Huygenssche Wellenmodelldurch das sogenannte Interferenzprinzip.
Damit konnte er schon lange vorher
beobachteteInterferenzerscheinungen wie die Newtonschen Ringe als
Überlagerung von Lichtwellenerklären. Augustin Jean Fresnel (1788 -
1827) stellte die Wellentheorie auf eine mathemati-sche Grundlage,
was den endgültigen Durchbruch des Wellenmodells bedeutete.
Die Natur der Lichtwellen als elektromagnetische
Transversalwellen wurde von JamesClerk Maxwell (1831 - 1879)
erkannt. Seine von ihm aufgestellten Gleichungen zurBeschreibung
von elektrischen und magnetischen Feldern, die sogenannten
MaxwellschenGleichungen, haben u.a. als Lösungen elektromagnetische
Wellen, die sich mit Lichtge-schwindigkeit ausbreiten. Die Gesetze
der Optik konnten aus diesen Gleichungen hergelei-tet werden, so
daß die Optik zu einem Teilgebiet der Elektrodynamik wurde.
All den frühen Wellenmodellen lag die Annahme zugrunde, daß die
Ausbreitung derLichtwellen an ein Medium gebunden ist. Daher
postulierte man eine, den ganzen Raum
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2 1.2 Elektromagnetisches Spektrum
Bild 1.1 Frequenz- und Wellenlängenbereiche der
elektromagneti-schen Strahlung
durchdringende Substanz, den Lichtäther. Interferometrische
Messungen der Lichtgeschwin-digkeit, die von Albert Abraham
Michelson (1852 - 1931) zusammen mit Edward WilliamsMorley (1838 -
1923) mit einem eigens dafür konstruierten Gerät, dem sogenannten
Michel-son-Interferometer, durchgeführt wurden, führten schließlich
zur Aufgabe dieser Ätherhypo-these.
Wie sieht nun die moderne Vorstellung über die Natur des Lichts
aus? Aus heutigerSicht muß man sagen, daß beide Richtungen eine
gewisse Berechtigung hatten. Nachdemdie Wellennatur des Lichts
allgemein anerkannt war, wurden um die Wende zum 20. Jahr-hundert
Experimente bekannt, die mit der Wellentheorie des Lichts nicht
interpretiert werdenkonnten. Diese Widersprüche zur Wellennatur
traten bei Experimenten auf, in denen dieWechselwirkung zwischen
Licht und Materie untersucht wurde. Als Ausweg schlug
AlbertEinstein (1879 -1955) im Jahre 1905 eine neue Form der
Korpuskulartheorie vor. Danachbesteht Licht aus einem Strom von
einzelnen Energie- bzw. Lichtquanten, die sich mit
Licht-geschwindigkeit bewegen und deren Energie proportional zur
Lichtfrequenz ist. Die Folgedavon war die unbefriedigende
Situation, daß je nach Experiment Licht entweder als Teil-chenstrom
oder als Welle interpretiert werden mußte
(Welle-Teilchen-Dualismus). Erst dermodernen Quantentheorie gelang
es, mit ihrer Wahrscheinlichkeitsinterpretation beideAspekte zu
vereinigen.
1.2 Elektromagnetisches Spektrum
Das elektromagnetische Spektrum erstreckt sich von den
Funkwellen bis zur Gammastrah-lung. Es ist wichtig, sich zu
verdeutlichen, daß die aus den unterschiedlichen Gebieten
be-kannten Strahlungsformen die gleiche physikalische Natur haben,
nämlich Wellenerschei-nungen des elektrischen und magnetischen
Feldes sind, und daher den gleichen physikali-schen
Gesetzmäßigkeiten unterliegen. Der Unterschied liegt ausschließlich
in der jeweiligenWellenlänge bzw.Frequenz. Die Ein-teilung erfolgt
nachden praktischen An-wendungsgebieten.Bild 1.1 zeigt
dieEinordnung dessichtbaren Lichts indas Gesamtspek-trum der
elektroma-gnetischen Strah-lung. Das mensch-liche Auge ist nurfür
den Bereich von380 nm bis 780 nm
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1. Physikalische Grundlagen 3
empfindlich. Die meisten modernen Anwendungen der Optik sind
nicht mehr an die sicht-bare Strahlung gebunden sind, sondern
umfassen sowohl den benachbarten ultravioletten Be-reich (UV, 100
nm bis 380 nm) als auch den infraroten Bereich (IR, 780 nm bis 1
mm).Daher hat man den optischen Bereich des elektromagnetischen
Spektrums auf den Wellen-bereich von 100 nm bis 1 mm
festgelegt.
Ein wichtiger Aspekt sind die Größenverhältnisse von Wellenlänge
λ der jeweiligenStrahlung und typischen Geometrieabmessungen d von
Elementen und Hindernissen imÜbertragungsweg, die im Bild 1.1
ebenfalls dargestellt sind. Haben beispielsweise die
Geo-metrieabmessungen die gleiche Größenordnung wie die
Wellenlänge, wird die Ausbreitungder Strahlung wesentlich durch
Beugung der Wellen an den Elementen bzw. Hindernissenbestimmt (vgl.
Abschnitt 1.6).
Jedem ist sicher bekannt, daß ein UKW- bzw. Fernsehsender im
Schattenbereich eines Berges kaumzu empfangen ist. Der Empfang
eines Langwellensenders hingegen ist problemlos, obwohl
elektroma-gnetische Wellen sich im freien Raum immer geradlinig
ausbreiten. Ein Blick auf die zugehörigenWellenlängen erklärt dies.
Die Wellenlänge der Langwellen liegt im km-Bereich und damit in
derGrößenordnung der Ausmaße des Berges. Durch Beugung der Wellen
an dem Berg gelangen diese inseinen Schattenbereich und können
empfangen werden. Die Wellenlänge der UKW- bzw. Fernseh-wellen
liegt im Bereich von cm bis zu wenigen m und ist klein im Vergleich
zu den Bergabmessungen,so daß die Beugung der Wellen hier keine
wesentliche Rolle spielt.
Im optischen Bereich ist die Abmessung der meisten
Übertragungselemente (Linsen, Pris-men u.a.) groß im Vergleich zur
Wellenlänge, so daß die Beugung der Lichtwellen ver-nachlässigt
werden kann. In diesem Fall nähert man die Lichtwellen durch sich
geradlinigausbreitende Strahlen und gelangt damit in das Gebiet der
geometrischen Optik. Liegendagegen die Ausmaße der optischen
Elemente in der Größenordnung der Wellenlänge, wiedies
beispielsweise bei Lichtwellenleitern der Fall ist, die in der
optischen Nachrichten-technik eingesetzt werden, beeinflußt der
Wellencharakter ganz wesentlich die Ausbreitungdes Lichts.
1.3 Ausbreitung und Energietransport von elektromagneti-schen
Wellen
Wie wir gesehen haben, besteht Licht aus elektromagnetischen
Wellen in einem bestimmtenWellenlängenbereich. Allgemein kann man
Wellen charakterisieren als sich räumlich aus-breitende
Schwingungen. Bei Schallwellen sind dies periodische Schwankungen
des Drucksbzw. der Dichte, die sich in einem Medium, beispielsweise
in der Luft, fortpflanzen. Ent-sprechend ist eine
elektromagnetische Welle eine sich ausbreitende Schwingung des
elektri-schen und magnetischen Felds. Im Unterschied zu
Schallwellen breiten sich elektromagneti-sche Wellen nicht nur in
Medien, sondern auch im Vakuum aus. (Nur deshalb gelangt z. B.die
Strahlung der Sonne auf die Erde.)
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4 1.3 Ausbreitung und Energietransport
(1) Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Man veranschaulicht sich Wellen gern durch die sogenannten
Phasenflächen, auch als Wel-lenflächen oder Wellenfronten
bezeichnet. Diese entstehen, wenn man zu einem Zeitpunktalle
Raumpunkte verbindet, in denen die Welle die gleiche Phase hat. Bei
einer Schallwellebilden z. B. die Punkte maximalen Drucks die
Phasen- oder Wellenflächen. Entsprechendder Gestalt solcher
Phasenflächen unterscheidet man verschiedene Wellenformen.
DieWellenflächen ebener Wellen sind Ebenen im Raum, während sie bei
Kugelwellen dieForm einer Kugeloberfläche haben. Beide Beispiele
sind idealisierte Grenzfälle, die abergern für die Beschreibung von
Wellenerscheinungen benutzt werden.
Eine Welle als zeitlich und räumlich periodischer Vorgang wird
durch die GrößenSchwingungsdauer T (Periodendauer) und Wellenlänge
λ (Periodenlänge der Welle) cha-rakterisiert. Der Kehrwert der
Schwingungsdauer f ' 1/T, der die Zahl der Schwingungenpro
Zeiteinheit angibt, ist die Frequenz. Häufig wird die Kreisfrequenz
ω ' 2πf ' 2π/Tund die Wellenzahl k ' 2π/λ verwendet. Die
Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenflä-chen im Raum
fortbewegen, ist die Phasengeschwindigkeit einer Welle. Sie wird
beielektromagnetischen Wellen als Lichtgeschwindigkeit bezeichnet.
Speziell die Vaku-umlichtgeschwindigkeit co ' 2,998·108 m/s ist
eine Naturkonstante, und es gilt:
co '1
µoεo(1.1)
εo ' 8,854·10-12 C2/(Nm2) ist die elektrische Feldkonstante und
µo ' 4π·10-7 Vs/(Am) diemagnetische Feldkonstante. Die
Lichtgeschwindigkeit c in einem Medium hängt von
dessenEigenschaften ab. In Medien, die im optischen Bereich nur
schwach absorbieren, ist dieLichtgeschwindigkeit durch die relative
Dielektrizitätszahl εr (auch Permittivitätszahl oderrelative
Permittivität genannt) und die relative Permeabilität µr des
Mediums bestimmt:
c ' 1εoεr µo µr
'con (1.2)
Die meisten optischen Medien sind unmagnetisch, so daß
näherungsweise µr • 1 gilt. ist die Brechzahl des Mediums.n ' εr µr
. εr
Die Brechzahl eines Mediums gibt das Verhältnis der
Ausbreitungsgeschwindigkei-
ten des Lichts im Vakuum und im Medium an.
In diesem Zusammenhang wird häufig der Begriff der optischen
Weglänge nd benutzt.Dabei wird der vom Licht in einem Medium
zurückgelegte geometrische Weg d auf dieVakuumlichtgeschwindigkeit
bezogen: Legt Licht in einer bestimmten Zeit in einem Medi-um mit
der Brechzahl n die Strecke d zurück, so ist nd der in der gleichen
Zeit im Vakuumzurückgelegte Weg.
Eine grundlegende Beziehung, die für alle Wellenformen gilt, ist
der Zusammenhangzwischen Frequenz, Wellenlänge und
Phasengeschwindigkeit:
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1. Physikalische Grundlagen 5
E
H
z
→
→
λ
Bild 1.2 Elektrische und magnetische Feldvektorenstehen
senkrecht aufeinander und auf der Ausbrei-tungsrichtung
f ' cλ
bzw. c ' ωk (1.3)
Eine weitere wichtige Eigen-schaft der elektromagnetischenWellen
ist, daß sie transversalsind. Die Schwingungsrichtungendes
elektrischen und magnetischenFelds stehen senkrecht auf der
Aus-breitungsrichtung. Zudem stehenelektrisches und magnetisches
Feldsenkrecht aufeinander. Bild 1.2 il-lustriert die Verhältnisse.
DieRichtung, in welche die elektrischeFeldstärke der Welle zeigt
,bezeichnet man als Schwingungs-ebene, die Richtung der
magnetischen Feldstärke als Polarisationsebene der Welle.
(2) Harmonische Wellen
Für die quantitative Beschreibung beschränken wir uns auf ebene
Wellen und Kugelwellen.Das elektrische und magnetische Feld einer
ebenen, harmonischen Welle, die sich in z-Rich-tung ausbreitet, hat
folgendes Aussehen:
PE (z, t ) ' PEm cos(ω t & kz % no)PH (z, t ) ' PHm cos(ω t
& kz % no)
(1.4)
Em , Hm sind die Amplituden des elektrischen und magnetischen
Felds (stehen senkrecht aufder z-Achse), ω ' 2πf, k ' 2π/λ und no
die Anfangsphase der Welle. Die Größe
n (z, t) ' ω t & kz % no (1.5)ist die Phase der Welle. Daran
wird der Begriff der Phasen- bzw. Wellenfläche deutlich.Die Lage
aller Punkte, die zu einem Zeitpunkt to die gleiche Phase n(to, z)
' konst. haben,ist durch die Bedingung kz ' konst. bestimmt. Das
ist gerade die Gleichung für eine Scharvon Ebenen, die senkrecht
auf der z-Achse stehen.
Um die Wellenausbreitung in eine beliebige Richtung zu
beschreiben, ordnet man derWellenzahl einen Vektor zu, dessen
Richtung die Ausbreitungsrichtung und dessen BetragPkk ' 2π/λ ist.
Gibt man den Raumpunkt, in dem die Phase betrachtet wird, durch
seinenOrtsvektor an, ergibt sich als Verallgemeinerung die Phase
einer ebenen Welle Pr
n (Pr, t) ' ω t & Pk Pr % no (1.6)Die Wellenflächen, die
durch festgelegt sind, sind Ebenen, die senkrecht aufPkPr '
konst.dem Wellenzahlvektor stehen. Pk
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6 1.3 Ausbreitung und Energietransport
Für das elektrische Feld einer harmonischen Kugelwelle im
Abstand r von ihrer Quellegilt:
PE(r, t) 'PAKr
cos(ω t & kr % no) (1.7)
Hier sind die Wellenflächen durch kr ' konst. bestimmt und
bilden Kugelflächen mit demRadius r. Der Betrag der Amplitude der
Kugelwelle, EKm(r) ' AK /r, nimmt mit wachsen-dem Abstand r vom
Wellenzentrum ab. Die Ursache ist, daß die von der Welle
transportier-te Energie, die proportional zum Amplitudenquadrat ist
(vgl. unten), sich auf eine Kugelflä-che verteilt, die mit r 2
wächst.
Die Zeitabhängigkeit der durch Gln.1.4 und 1.7 beschriebenen
Wellen ist durch eineeinzige Frequenz ω bestimmt. Sie beschreiben
daher monochromatisches (”einfarbiges“)Licht.
Zur Vereinfachung der Rechnungen mit Wellenausdrücken wie Gln
1.4 und 1.7 speziell beiÜberlagerung von Wellen wählt man häufig
statt der trigonometrischen Funktionen Sinusbzw. Kosinus die
komplexe Exponentialdarstellung. Das elektrische Feld einer ebenen
Wel-le (Gl. 1.4) und einer Kugelwelle (Gl. 1.7) haben in dieser
Schreibweise die Form
PEc(z, t ) ' PEcm ej(ω t&kz) PEc(r, t ) '
PAcr
ej(ω t&kr ) (1.8)
Die komplexen Amplituden enthalten die Anfangsphase noPEcm ' PEm
e
jno PAc ' PAK ejno (1.9)
Komplexe Größen sind natürlich keine physikalischen (meßbaren)
Größen. Das Rechnenmit der komplexen Exponentialschreibweise
beinhaltet die Vereinbarung, daß für die physi-kalische Größe der
Realteil der komplexen Ausdrücke zu nehmen ist, wobei man
benutzt,daß . So ergibt der Realteil von Gl. 1.8 mit 1.9 gerade Gl.
1.4 bzw. 1.7. Re(e jx) ' cosx
Eine weitere Eigenschaft der elektromagnetischen Felder ist, daß
zeitlich veränderlicheelektrische und magnetische Felder sich
gegenseitig bedingen. Auf elektromagnetische Wel-len bezogen heißt
das, daß es keine isolierte elektrische bzw. magnetische Welle
gibt, son-dern beide immer zusammen auftreten. Für harmonische
Wellen entsprechend Gln. 1.4 und1.7 gilt für das Verhältnis der
Beträge beider Feldstärken
EH
'µε
' Z (1.10)
µ ' µo µr, ε ' εo εr . Die Größe Z bezeichnet man auch als
Wellenwiderstand. Der Wellen-
widerstand des Vakuums beträgt .Zo 'µogo
' 376,730 Ω
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1. Physikalische Grundlagen 7
Ee ' εcE (z, t )2 '
12εcE 2m (1.14)
(3) Energietransport
Normalerweise spüren wir die Welleneigenschaft des Lichts nicht.
Was wir bemerken, istder Helligkeitseindruck, den Licht im Auge
verursacht. Wir stellen fest, daß Sonnenstrahlenwärmen oder auch
einen Sonnenbrand verursachen, daß Licht einen Negativfilm
schwärztusw. Diese Wirkungen rühren von einer wichtigen Eigenschaft
her, die grundsätzlich mitder Ausbreitung von Wellen verbunden ist,
nämlich dem Transport von Energie. Die Son-nenenergie, die in Form
von Licht und Wärme auf die Erde gelangt, ist Voraussetzung
füralles Leben. Zudem können wir dies ausnutzen bei der Gewinnung
von elektrischer Energieoder Wärmeenergie aus der Sonnenstrahlung.
Die Energie, die in Sonnenkollektoren oderfotovoltaischen Anlagen
gewonnen wird, entsteht bei der Kernfusion auf der Sonne und
wirddurch die elektromagnetischen Wellen der Sonnenstrahlung auf
die Erde transportiert. DieGröße, die den Energietransport
beschreibt, ist die Intensität bzw. Bestrahlungsstärke. Sieist
definiert als die Energie, die pro Zeit- und Flächeneinheit im
zeitlichen Mittel von derWelle tranportiert wird (Maßeinheit W/m2).
Sie läßt sich berechnen aus dem zeitlichenMittelwert des Betrags
des sogenannten Poyntingvektors S
Ee ' S (1.11)Der Querstrich über der Größe bedeutet die Bildung
des zeitlichen Mittelwerts. Aus derTheorie der elektromagnetischen
Felder ist bekannt, daß der Poyntingvektor die Energie-stromdichte,
d.h., die pro Zeit- und Flächeneinheit transportierte Energie
beschreibt. DerPoyntingvektor ist das Vektorprodukt aus
elektrischer und magnetischer Feldstärke
PS ' PE × PH (1.12)und zeigt in Richtung des Energietransports.
Für die durch Gln. 1.4 und 1.7 beschriebenenharmonischen Wellen
ergibt sich mit Gln. 1.2 und 1.10 der Betrag der
Energiestromdichte
S ' εcE 2m cos2 (ω t & kz % n) (1.13)
d.h., die Energiestromdichte schwankt periodisch mit der
Lichtfrequenz. Warum bemerkenwir diese Schwankungen nicht?
Vergegenwärtigen wir uns die Periodendauer einer
elektro-magnetischen Welle im sichtbaren Spektralgebiet. Aus Bild
1.1 entnehmen wir eine Licht-frequenz f .1015 Hz, was der Dauer
einer einzelnen Schwingung von ent-T . 10&15 s ' 1 fsspricht.
Diesen extrem schnellen Änderungen können weder das Auge noch
fotoelektrischeEmpfänger folgen (die Zeitkonstante der schnellsten
heute bekannten Fotodioden liegt bei
). Praktisch bilden Lichtempfänger den zeitlichen Mittelwert von
der ein-10&12 s ' 1 psfallenden Energiestromdichte. Die
Eigenschaft der Empfänger, zeitlich mittelnd zu wirken,ist daher in
der Definition der Intensität, Gl.1.11, enthalten. Das zeitliche
Mittel von Gl.1.13ergibt:
(Man achte darauf, daß die beiden Größen Ee als energetische
Größe Intensität bzw. Bestrah-lungsstärke und Em als Amplitude des
elektrischen Felds nicht miteinander verwechseltwerden!) Dabei
wurde benutzt, daß ist. Gl.1.13 zeigt:cos2 (ω t&kz%n) ' 1/2
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8 1.3 Ausbreitung und Energietransport
Ee '12εc*Ecm*
2 '12εcE 2m (1.17)
Die Bestrahlungsstärke ist zum Amplitudenquadrat der
elektrischen Feldstärke pro-portional.
Zur Bestrahlungsstärke einer Kugelwelle im Abstand r vom
Wellenzentrum gelangt man,wenn man ihre Amplitude EKm ' AK/r (Gl.
1.7) in Gl. 1.14 einsetzt:
Ee(r) 'gc2
A 2Kr 2
(1.15)
Die Bestrahlungsstärke nimmt mit dem Quadrat des Abstands r ab
(vgl. Erklärung zuGl. 1.7).
Um zur Energie pro Zeiteinheit zu kommen, die von einer
Lichtwelle durch eine FlächeA transportiert wird, muß die
Bestrahlungsstärke mit der Fläche multipliziert werden.
DieGröße
Φe ' Ee A (1.16)wird als Strahlungsleistung bzw. Strahlungsfluß
bezeichnet (vgl. Kap. 5).
Aus Gln. 1.8 und 1.9 sieht man, daß in der komplexen
Schreibweise die Bestrahlungsstärkeproportional zum Betragsquadrat
der komplexen elektrischen Feldstärke ist:
Wellengleichung
Die besprochenen Eigenschaften der elektromagnetischen Wellen
sind Folgerungen aus den Maxwell-schen Gleichungen, den
Grundgleichungen zur Beschreibung der elektrischen und
magnetischenFelder. Wir wollen diese hier aufschreiben für den in
der Optik interessierenden Fall ladungs- undstromfreier
Materialien:
PL× PE ' &µ MPH
Mt(1.18)
PL× PH ' MPD
Mt(1.19)
PL PD ' 0 PL(µ PH) ' 0 (1.20)mit µ ' µo µr und dem elektrischen
und magnetischen Feld. steht für den vektoriellen Diffe-PE, PH
PLrentialoperator ”Nabla“, der in kartesischen Koordinaten die
Form
PL ' PexMMx
% PeyMMy
% PezMMz (1.21)
hat. sind die Einheitsvektoren in Richtung der
Koordinatenachsen. Das Feld wird als di-Pex, Pey, Pez PDelektrische
Verschiebung bezeichnet und ist eine Funktion des elektrischen
Felds . Es beschreibtPEden Einfluß des Mediums auf das einfallende
elektrische Feld. Anschaulich kann man sich das sich
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1. Physikalische Grundlagen 9
∆ PE ' 1c 2
M2 PEM t 2
∆ PH ' 1c 2
M2 PHM t 2
(1.23)
so vorstellen, daß durch die Kraftwirkung des elektrischen Felds
im neutralen Medium positive undnegative elektrische Ladungen
gegeneinander verschoben werden. Diese Ladungsverschiebung
beein-flußt wiederum das elektrische Feld, was sich in der
Abhängigkeit ausdrückt. Im einfachstenPD( PE)Fall sind beide Felder
zueinander proportional
PD ' εoεr PE (1.22)
εo ist die elektrische Feldkonstante, εr die relative
Dielektrizitätszahl (εr ' 1 für das Vakuum). In derOptik zeigt sich
die Materialeigenschaft in der Brechzahl . Die meisten optischen
Materia-n ' εr µrlien sind nicht magnetisch, , so daß mit guter
Näherung ist. In Medien mit anisotroperµr . 1 n . εrStruktur wie in
Kristallen stimmen die Richtungen beider Felder nicht mehr überein,
was zur Erschei-nung der Doppelbrechung führt (vgl. Kapitel 10).
Bei starken elektrischen Feldern kann die dielektri-sche
Verschiebung nichtlinear von E abhängen. In diesem Fall kommen wir
in das Gebiet der nicht-linearen Optik, das in den vergangenen
Jahren durch die intensiven Laserlichtquellen wesentlichenAuftrieb
erfahren hat.
Gln.1.18 und 1.19 zeigen, daß sich die zeitabhängigen Felder
gegenseitig bedingen: Ein zeitab-hängiges magnetisches Feld erzeugt
Wirbel des elektrischen Felds (Gl. 1.18) und eine
zeitabhängigedielektrische Verschiebung und folglich ein
zeitabhängiges elektrisches Feld erzeugt Wirbel desmagnetischen
Felds (Gl.1.19). Gl. 1.20 sagt aus, daß unter den hier gemachten
Voraussetzungen dieFelder quellenfrei sind.
Aus Gln. 1.18 - 1.22 können wir die Grundgleichung der
Wellenoptik, die Wellengleichung her-leiten. Multipliziert man Gl.
1.18 und Gl. 1.19 von links vektoriell mit und benutzt die
IdentitätPL
sowie (Gl. 1.20 mit 1.22), ergibt sich die Wellengleichung für
dasPL×PL× PE ' PL(PL PE) & PL2 PE PL PE ' 0elektrische und
magnetische Feld
mit
∆ ' PLPL ' M2
Mx 2%
M2
My 2%
M2
Mz 2(1.24)
und . Die durch Gln. 1.4 und 1.7 beschriebenen harmonischen
Wellen sind spezielle Lö-c 2 ' (εµ)&1
sungen der Wellengleichungen. Welche Wellenform man als Lösung
der Wellengleichung 1.6 erhält,hängt von den konkreten Bedingungen
ab (Form der Strahlungsquelle, Blenden im Strahlen usw.).
Die Maxwellschen Gleichungen und die Wellengleichung vermitteln
einen linearen Zusammen-hang zwischen den Feldern. Daraus folgt das
Superpositionsprinzip für die Lösungen der Wellenglei-chung: Die
Summe von zwei Lösungen ist wieder eine Lösung. Elektromagnetische
Wellen überla-gern sich. Diese Eigenschaft bildet z. B. den
theoretischen Hintergrund für die Erklärung von
Interfe-renzerscheinungen als Überlagerung von Lichtwellen und dem
Huygensschen Prinzip, die wir in denfolgenden Abschnitten
besprechen werden.
In der Optik hat man oft den Fall, daß Licht von einem Medium in
ein anderes eintritt (z. B.Übergang von Luft in Glas). Wichtig ist
daher die Frage, wie sich elektrisches und magnetisches Feldbeim
Übergang an den Grenzflächen zwischen zwei aneinandergrenzenden
Medien mit unterschiedli-chen relativen Dielektrizitätszahlen
εr(1), εr(2) bzw. Brechzahlen n1, n2 verhalten. Ebenfalls aus
denMaxwellschen Gleichungen kann man folgern, daß die zur
Grenzfläche tangentialen Komponenten deselektrischen und
magnetischen Felds stetig sein müssen:
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10 1.3 Ausbreitung und Energietransport
z
z
z
E z( )
t = 0
t t = ∆
t t = 2∆
cvg
Bild 1.3 Bei unterschiedlicher Phasen- undGruppengeschwindigkeit
(c … vg) bewegensich Einhüllende des elektrischen Felds
undPhasenflächen (z. B. markiertes Maximum)verschieden schnell
E (1)t ' E(2)t H
(1)t ' H
(2)t (1.25)
Die Normalkomponenten beider Felder sind an der Grenzfläche
unstetig, stetig müssen dagegen dieNormalkomponenten von
(dielektrische Verschiebung) und sein:ε PE µ PH
εoε(1)r E
(1)n ' εoε
(2)r E
(2)t µo µ
(1)r H
(1)t ' µo µ
(2)r H
(2)t (1.26)
(4) Gruppengeschwindigkeit
Durch Gl. 1.4 und 1.7 wurden ideal mono-chromatische, unendliche
lange Wellenzügebeschrieben. In der Realität gibt es solcheWellen
nicht. Es treten Wellenzüge mitendlicher Länge auf, oder Wellen,
derenAmplitude nicht gleich bleibt, die also mo-duliert sind. In
der Nachrichtentechniknutzt man die Modulation einer Trägerwel-le,
um Informationen zu übertragen. DieGrundform einer Information in
der digita-len Nachrichtentechnik stellt ein Wellenpa-ket bzw. ein
Impuls dar. Für solche Anwen-dungen ist man weniger an der
Phasenge-schwindigkeit der Trägerwelle als an
derAusbreitungsgeschwindigkeit des ganzenWellenpakets oder der
Modulationseinhül-lenden interessiert. Diese
Geschwindigkeitbezeichnet man als Gruppen- oder
Signalgeschwindigkeit. Ein auf den ersten Blick über-raschendes
Ergebnis ist, daß in dispersiven Medien, also in Medien, deren
Brechzahl von derFrequenz bzw. Wellenlänge abhängt (vgl. Abschn.
1.8), sich Phasen- und Gruppengeschwin-digkeit unterscheiden. Bild
1.3 zeigt schematisch, wie sich in diesem Fall die Einhüllendeeines
Wellenpakets gegenüber den Wellenmaxima der Trägerwelle verschiebt.
Die Träger-welle wandert unter der Einhüllenden.
Wir wollen uns das anhand des einfachsten Falls klar machen, daß
die Modulation durchdie Überlagerung von zwei monochromatischen
Wellen gleicher Amplitude mit leicht diffe-rierenden Frequenzen und
Wellenlängen entsteht. Die aus den beiden Wellen
E1 ' Em cos(ω1 t&k1z)E2 ' Em cos(ω2 t&k2z)
(1.27)
resultierende Welle E ' E1 + E2 kann unter Verwendung der
Identität
cosα%cosβ ' 2cos 12
(α%β) cos 12
(α&β)
in
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1. Physikalische Grundlagen 11
z
z
E z( )
E z( )λ2 λ1
E1 E2
E E1 2 +
gegenphasiggleichphasig
Bild 1.4 Wegen der verschiedenen Wellenlängen ändert sich
entlangder Ausbreitungsrichtung die Phasendifferenz zwischen den
beidenAusgangswellen. Das führt zu Bereichen, wo beide Wellen
phasen-gleich schwingen, die resultierende Welle also eine maximale
Ampli-tude hat, und zu Stellen, wo beide gegenphasig schwingen
vg 'dωdk (1.30)
Eres ' 2Em cos(∆ω t&∆kz) cos(ω t&kz) (1.28)umgeformt
werden. ω ' (ω2 + ω1)/2 und k ' (k2 + k1)/2 stellen die mittlere
Frequenz bzw.Wellenzahl der resultierenden Welle dar. ∆ω ' (ω2
& ω1)/2 und ∆k ' (k2 & k1)/2 können wirals
Modulations-frequenz bzw.Modulationswel-lenzahl bezeich-nen. Bild
1.4 ver-anschaulicht dasErgebnis. Es isteine Welle (Trä-gerwelle)
entstan-den, die eine zeit-v e r ä n d e r l i c h eoder
modulierteAmplitude hat.Bild 1.4 machtauch die Ursachedieser
Modulationdeutlich. Die un-terschiedlichenFrequenzen bzw.W e l l e
n l ä n g e nführen zu Phasen-verschiebungen zwischen den beiden
Ausgangswellen, die vom Ort z abhängen. Dadurchentstehen Bereiche,
wo beide Wellen phasengleich schwingen, die resultierende Welle
alsomaximale Amplitude hat, und Bereiche, wo beide gegenphasig
schwingen. An diesen Stel-len verschwindet die resultierende Welle.
Die Phasengeschwindigkeit der Trägerwelle ist c' ω/k. Die
Geschwindigkeit, mit der sich die Modulationseinhüllende bewegt,
ist analog
vg '∆ω∆k (1.29)
Ist der Frequenzbereich ∆ω um die mittlere Frequenz ω klein,
können wir den Differenzen-quotienten durch die Ableitung
ersetzen:
Gl. 1.30 stellt allgemein die die Gruppen- bzw. die
Signalgeschwindigkeit einer Wellengrup-pe dar. Für optische Medien
mit der wellenlängenabhängigen Brechzahl n(λ) ergibt sich mit
ω ' kc ' kco/n und der Kettenregel die Relationddk
'dλdk
ddλ
' &λ2
2πddλ
Verlag Harri Deutsch D. Kühlke: Optik ISBN:
978-3-8171-1741-3
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12 1.3 Ausbreitung und Energietransport
vg ' c%kdcdk
' c 1% λn
dndλ
(1.31)
Ist die Phasengeschwindigkeit c bzw. die Brechzahl n nicht von
der Wellenlänge λ abhängig,sind Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
gleich. Sonst gilt:
In einem dispersiven Medium (die Phasengeschwindigkeit c bzw.
Brechzahl n istwellenlängenabhängig) unterscheidet sich die
Signalgeschwindigkeit von der Pha-sengeschwindigkeit der
Trägerwelle.
Bild 1.4 veranschaulicht die Ursache für dieses Verhalten.
Pflanzen sich beide Ausgangs-wellen mit der gleichen
Phasengeschwindigkeit fort, bewegen sich auch die gleich-
undgegenphasig schwingenden Bereiche und somit die
Modulationseinhüllende mit dieser Ge-schwindigkeit. Läuft jedoch
eine Welle schneller als die andere, verschieben sich die
gleich-und gegenphasig schwingenden Stellen relativ zu den
Ausgangswellen. Die Modulations-einhüllende bewegt sich folglich
mit einer anderen Geschwindigkeit wie die
resultierendeTrägerwelle.
Das anhand der Überlagerung von zwei monochromatischen Wellen
diskutierte Verhal-ten von Phasen- und Gruppengeschwindigkeit gilt
allgemein für jede Form der Modulationund für Lichtimpulse. Die
Ursache ist, daß jede Wellenform als eine Summe von
mono-chromatischen Wellen unterschiedlicher Frequenz und Wellenzahl
dargestellt werden kann.Die theoretische Grundlage dazu bildet die
Fourier-Analyse.
Beispiel
Ein He-Ne-Laser emittiert im roten Spektralbereich bei einer
Wellenlänge von 633 nm. Im Laserstrahl(Querschnittsfläche 0,6 mm2)
wird eine Bestrahlungsstärke von 0,5 W/cm2 gemessen.a) Welche
Frequenz hat das Laserlicht? Wie groß ist die Schwingungsdauer?b)
Wie groß ist der Strahlungsfluß des Laserstrahls?c) Wie groß sind
die elektrische und magnetische Feldstärkeamplitude der
Laserlichtwelle?
Lösung:a) Die Frequenz und Schwingungsdauer sind nach Gl.
1.3
f 'coλ
'3·108
633·10&91s' 4,74·1014 Hz
T ' 1f' 2,11·10&15 s ' 2,11 fs
b) Den Strahlungsfluß erhält man aus Gl. 1.16 zu .Φe ' Ee A '
0,5 ·0,6@10&2 W ' 3 mW
c) Die elektrische Feldstärkeamplitude kann aus Gl. 1.14
bestimmt werden:
Em '2Eeεo co
' 1,94 kVm
Verlag Harri Deutsch D. Kühlke: Optik ISBN:
978-3-8171-1741-3