1 Physik IV: Quantenmechanik Historische Höhepunkte: 1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum) Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung 1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E h Erklärung des Photoeffekts 1907 Einstein Gitterschwingungsquanten (Phononen), E vib h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper 1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums 1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen- Geburt der modernen Quanten(feld)theo rie VL Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie
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1 Physik IV: Quantenmechanik Historische Höhepunkte : 1900PlanckEinführung der Hilfsgröße h (Wirkungsquantum) Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung.
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1
Physik IV: QuantenmechanikHistorische Höhepunkte:
1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum)Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung
1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E h Erklärung des Photoeffekts
1907 Einstein Gitterschwingungsquanten (Phononen), Evib h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper
1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums
1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħ kVorhersage von Materiewellen
1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik
Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik
Geburt der modernen Quanten(feld)theorie
VL Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie
2
1. Die Plancksche Quantenhypothese
1.1. Wärmestrahlung
Wärmestrahlung Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern
Beispiel: Wärmestrahlung unserer Sonne
Beispiel: Kosmische Infrarot-Hintergrundstrahlung vom Universum Licht von der Materie/Antimaterie-Vernichtung wurde 3…4105 Jahre nach dem Urknall freigesetzt als Kerne und Elektronen neutrale Atome bildeten
Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden
3
1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung
Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen
Typ 1: Diskrete Frequenzspektren (Linienspektren)• bei atomaren molekularen Gasen nicht zu großen Drucks
unabhängige Partikel• T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur
Bohrsches Atommodell
Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren• bei festen flüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks, dichten Plasmen• in charakteristischer Weise T-abhängig
Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagneti-schen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W n h entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz im Hohlraum.
Postulat: ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik
Boltzmannsches Verteilungsgesetz Tkνh
TkW
νν nexpexpWp ν
Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n:
0j
βνhj
βνhn
ν
e
enp
Tk
1β
Tk
1β mit
22
0j
βνhj
βνhn
ν
e
enp
Tk
1β
Tk
1β νhnTWν
Also:
0j
βνhj
0n
βνhn
ν0n
νν
e
eνhnTWnpTW
2βνh
βνh
βνh0n
βνhn
0n
βνhn
e1
eνh
e1
1
βe
βeνhn
geometrische Reihe
βνhe1
1
1e
νh
e1
eνhTW
βνhβνh
βνh
ν
23
1e
νhTW
Tkνhν
1e
νhTW
Tkνhν
ννn 2
c
π8νdNd
3 ννn 2
c
π8νdNd
3 TWνnTw νν TWνnTw νν
Plancksches Strahlungsgesetz
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νh2w
π4
cS
Tkνh2
3
νν
1e
1
c
νh2w
π4
cS
Tkνh2
3
νν
1e
1
c
νh2S
c
νS
Tkνh3
5
ν
2
λ
1e
1
c
νh2S
c
νS
Tkνh3
5
ν
2
λ
Tkνh1e Tk
νh
Infrarot-Grenze: h ≪ k T (klassischer Grenzfall ,,h 0”)
TkνTw 2
c
π8ν 3 TkνTw 2
c
π8ν 3
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Ultraviolett-Grenze: h ≫ k T Tkνh
Tkνh
e1e eνTw Tkνh
3
3
c
hπ8ν
eνTw Tk
νh
3
3
c
hπ8ν
Wiensches Strahlungsgesetz
Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums
24
1
10
100
0,1
0,01
1000
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
Tkchλ
34
5
ch
Tk2λS
Rayleigh-Jeans
Planck
Wien
25
MaxSlnMaxS λλ
0
5
10
15
20
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tkchλ
34
5
ch
Tk2λS
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
Position des Maximums:
Tkνhx Abkürzung:
1elnxln5.constSln xλ
9651,4xe15xSln0 xλdxd
1ee
x5
λλdd
x
x
!
KTGHz1039651,4ν hTk
max KTGHz1039651,4ν hTk
max 2014,0λ KT
mm898,2Tkch
max 2014,0λ KT
mm898,2Tkch
max
.constKmm898,2λT max Wiensches Verschiebungsgesetz
26
x0
0.4
0.8
1.2
1.6
0 2 4 6 8 10
32
3
ch
Tkπ8νw
Gesamte Energiedichte:
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
xdxνdw hTk
1e133
hTk
c
hπ8ν x3
4
ch15
π8
01e
xch
Tkπ8 Tkxdw 33
5
x
3
3
4
4
ch15
π2π4
c TkwS 23
4
4151 π
Leistungsabgabe von Lambertstrahler (Fläche F) in Halbraum: S F
428
ch15
kπ24td
Wd KmW1067,5σ,TFσ 23
45 Stefan-Boltzmann-Gesetz
Stefan-Boltzmann-Konstante
Tkνhx Abkürzung:
27
Quantenmechanik
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
Anmerkungen:
• Experimentelle Messung des Hohlraumspektrums– Bestätigung der Planckschen Theorie– Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an
gemessene Spektren
• Vorgriff: De Broglies Geniestreich Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln (Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben?
Postulat: ωE ωE kp
kp
• Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?)
– Energie:
– Impuls: π2
h π2h ωνhE γ
|k||k|νhE|p| π2h
λh
c1
c1
γ
0m,cv γγ
28
1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern
1.2.1. Klassische Theorie
Erinnerung:Innere Energie eines Mols (NA Teilchen) einer Substanz: U
Molare spezifische Wärme C const.VT
UV
C const.VT
UV
Avogadrokonstante
1-atomige Gase f 3 (Translation: 3, Rotation: 0)
2-atomige Gase f 5 (Translation: 3, Rotation: 2)
mehratomige Gase f 6 (Translation: 3, Rotation: 3)
Festkörper f 6 (Ekin: 3, Epot: 3)
(Schwingungen der Gitteratome)
RC 23
V RC 2
5V
R3CV
R3CV
Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U.
kNR AGaskonstante
# Freiheitsgrade
RCTRU 2f
V2f
29
Experimenteller Befund:
0 1000 T [K]
3R
CVklassische Theorie
PbC
Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne Photonen
Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze Phononen
Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei• kleinen Temperaturen• Festkörpergitter aus leichteren Atomen• stark gebundenen Festkörpergittern
hohe SchwingungsfrequenzenDéjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ??
30
1.2.2. Das Einstein-ModellPostulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ):
• Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren (Eigenkreis-frequenz ) ist stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants .
• Bei Festkörpern ergibt sich aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen:
ω
ωnE vib ωnE vib
Vorgriff: Quantenmechanisch korrekt für harmonische Oszillatoren:
macht hier keinen Unterschied (Glück gehabt)
ωnE 21
n ωnE 21
n
31
ωNA23
quantenmechanische Grundzustandsenergie
ω21
Mittlere Schwingungsenergie: Wie bei Hohlraumstrahlung TWν
1e
ω
1e
νhE
TEθ
Tkνhvib
k
ωE ωθ
Einstein-Temperatur
NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung
1e
θR3
1e
θkN3
1e
ωN3EN3U
TθE
TθE
ATθAvibA EEE
2
2
Tθ
V
V
1e
eR3
T
UC
TEθ
TEθ
E
Klassischer Grenzfall: T ≫ E
0 R3CV 0eR3C Tθ2
Tθ
VEE Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E
Experiment 0TC 3V
32
1.2.3. Das Debye-ModellEinstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt 1 FrequenzDebye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt Frequenz-Spektrum
2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung:
a a
a2vT
minmaxTνa2λ T
maxν
1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung:
a2vL
minmaxLνa2λ L
maxν
Effektive Grenzfreq.
Modellparametergν
1.1.3. Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: ν 2
c
π43
(c Phasengeschwindigkeit) νπ4νπ4νn 33L
3T v
32
v1
v22 νπ4νπ4νn 33
L3T v
32
v1
v22
a ≫ Atomabstand (wie bei Hohlraumstrahl.) 0νν Lmin
Tmin 0νν L
minTmin
Kontinuumsgrenzfall
a
aa
V
33
3g3
1v
π12 νV 3
Debye-Grenzfrequenz:
Debye-Temperatur:
31
A31
A
VN2
gVN
π43
g π6vωvν
gkh
gkD νωθ
νννn 0 νννn 0 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3v
32 νπ4νn 3v32
Planck Debye Einstein
0g
Normierung von n() im Debye-Modell:
A
ν
0
N3νdνnVg
# Schwingungsmoden
34
1e
νhTW
Tkνhν
1e
νhTW
Tkνhν
v
νπ12νn
3
2
v
νπ12νn
3
2
νdTWνnVU gν
0
ν νdTWνnVU gν
0
ν
g
Tkνh
3
3g
A
g
Tkνh
3
3
ν
01exp
ννπ4
N3
ν
01exp
νv
hπ12 νdhπ12 νdVU
31
A
VN
π43
g vν
xdT UTθ
01e
x4
θ
R9D
x
3
3D
xdT UTθ
01e
x4
θ
R9D
x
3
3D
kNRθ
A
k
νh
Dg
Spezifische Wärme:
D
2
Tθ
2T
θTθ3
3D
D
Tθ
3
3D
θ
01exp
expθ
θ
R9θ
01exp
θθ
R9xTθ
V
V θd θdTT
UC
)(
)(
)(
xd1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
xd
1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
Tkνh xSubst.
Tk
νh
x
3
3g
A
g
01e
x4
hTk
ν
Nh9 xd
35
xd1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
xd
1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
Klassischer Grenzfall: T ≫ D
0
3R
T
θ
3
1
θ
TR9xdx
θ
TR9xd
1x1
1x
θ
TR9C
3
D
3
D
Tθ
0
2
3
D
Tθ
02
43
DV
DD
Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D
Tθ
TRπ
5
12xd
1e
ex
θ
TR9C 3
3
D
4
02x
x43
DV
4154 π
Erweiterungen:
• Mehrere Grenzfrequenzen (z.B. für anisotrope Kristalle)
• Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte kωω
36
Rätsel: Freies Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei.
Klassische Erwartung: TkC 23
ElektronenV
Quantenmechanik: Elektronen besitzen den Spin ( Drall) 21
Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden.
Theorie des Fermigases (VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik) Die Dichte n() der Energiezustände wächst mit ½ an.
n()
F
T 0 K
voll besetzt
Fermi-Kante
Fermi-Energie
angeregtn()
F
kTkTnicht
anregbar
T 0
F ≫ kBZimmertemperatur nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante
37
1.3. PhotonenNewton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes nicht erfolgreichHuygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie erfolgreich
Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” (Licht-Korpuskel) schlagen Elektronen aus Elektrode 1.3.1. Der Photoeffekt
Experiment von Hallwachs (1887):
UV-LichtMetallplatte
Elektrometer
Plattenladung
negativ
positiv
neutral
Beobachtung
Entladung
keine Entladung
positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”
38
Die Photozelle (Lenard, 1902)
Iph
Photo-strom
U
R
Strahlungsdichte S*
Photokathode
ElektronenVakuumröhre
Iph
UU0
Sättigung
Kompensations-Spannung
39
Befunde:
a) S* ↗ Iph↗
Wellenbild Korpuskelbild
✔ ✔ b) Sättigungsstrom unabhängig von U
sobald Raumladungseffekte klein✔ ✔
c) eU0 max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔
Iph
UU0
Iph
U
S*
40
Wellenbild Korpuskelbild d) Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g
ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab.↯ ✔
Iph
Mat
eria
l 1M
ater
ial
2
g1 g2
S*
↯ ✔
Iph
UU0
Iph
U
S*
41
e) Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab.
e U0
g0
hαtan hαtan
Austrittsarbeit
Iph
UU0
Iph
U
S*
Wellenbild Korpuskelbild
↯ ✔
↯ ✔
42
f) Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung
Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode
Hohe Bestrahlungsintensität
Elektronendichte
Zeitverzögerung (Wellenbild)
Ws103eV2 192cmmW1I
215 cm10n sm100t
Iph
UU0
Iph
U
S*
Wellenbild Korpuskelbild
↯ ✔
43
Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.
νhEγ
Vakuum-Potential
E
0
Fermi-Kante
Leitungselektronen
EF
kinE νhE kin Einstein-Gleichung
Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge: h
ν g
hν g
chλ g
ch
λ g
44
Iph
UU0
Iph
U
S*
Messung von U0 als Funktion von h, νhEUe kin0 νhEUe kin0
Hohe Intensität kontinuierlicher Photostrom in allen PMs
Kleine Intensität statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs
46
Moderner Detektor für Korpuskelstrahlung ( Teilchen):
LEP-Speicherring, CERN, Genf (1989-2000)
e e
GeV10050E GeV10050E
47
e e Ionisationsspur des positiven Myons
Ionisationsspur des positiven Myons
Ionisationsspur des negativen Myons
Ionisationsspur des negativen Myons
Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines weniger harten Photons,
abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines weniger harten Photons,
abgestrahlt vom
48
1.3.2. Der Comptoneffekt (Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927)
Blende
Photon-Detektor
Bragg-Kristall
(Monochromator)
Röntgen-Quelle
Blende Blende
Target-Material (Substanz mit schwach gebundenen
Elektronen in Atomhüllen)
0λ Ungestreute Strahlung
drehbarer Monochromator- /
Detektor-Arm
αλλ SS
Messprogramm: Für jeden fest eingestell-ten Streuwinkel drehe
Monochromator- / Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal
maximal ist.
49
Klassische Theorie:
E
0quasi-freies
Elektron in Atom
Schwingung des Elektrons Hertzscher Dipol
ebene Welle
S
Streuwellenlänge: S 0
Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, je härter (je kleiner ) die einfallende Strahlung ist.
50
Sk
pcE
kp
ωE
SS
SS
SS
pcE
kp
ωE
SS
SS
SS
Sωcπ2
Sλ
e
e
E
p
Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild:
schwach gebunden: EB ≪ E
quasi-frei, in Ruhe
0k
0ωcπ2
0λ
e
me
pcE
kp
ωE
γγ
0γ
γ
pcE
kp
ωE
γγ
0γ
γ
Physik 3 sinλ2λλ 2φ2
C0S sinλ2λλ 2φ2
C0S
m102,426λ 12cm
hC e
m102,426λ 12cm
hC e
Compton-Wellenlänge des Elektrons
51
λ,sinλ2λλΔλ cmh
C2φ2
C0S e λ,sinλ2λλΔλ cm
hC2
φ2C0S e
Bemerkungen:
a) Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫ me.
b) Compton-Formel experimentell bestätigt noch eine unabhängige Messung von h.
c) nur groß falls 0 ≲ OC
X- und -Strahlung:
2φ2
λλ
λΔλ sin2
0
C
0
keV511cmωE0
C
0
C
0 λλ2
eλλ
λch
0γ
d) Ein Photon mit 0 C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S . Hier:
CSC21802
C λ3λλ2sinλ2Δλ
52
e) Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen / Positronen (z. B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7K-Hintergrundstrahlung).
AGN Cas ASchwarzes Loch mit Akkretionsscheibe
relativistischerJet
Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e.
λ,sinλ2λλΔλ cmh
C2φ2
C0S e λ,sinλ2λλΔλ cm
hC2
φ2C0S e
53
1.3.3. Der Mößbauer-Effekt (Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961)
Atomhülle/-kerne quantisierte Energieniveaus (Linienspektren)Beispiel: Fixiertes Atom
01 EEEΔνh
E
E0
E1 Lebensdauer T1
E1 e
Emission
EΔνh
E
E0
E1 Lebensdauer T1
E1
e
Resonanzabsorption
, 2 , E1 h Natürliche Linienbreite
T
1ω
1
T
1ω
1
ωe
EδT 11 EδT 11 ωI
T
1ω
1
T
1ω
1
ωa
ωI
54
Beispiel: Atomhülle Emission / Absorption im sichtbaren Bereich
eV1E γ Ο eV1E γ Ο 10ν
νΔ 10 10
ν
νΔ 10
Na-D-Linie:
Hz105ν
nm589λ14
8
ννΔ
7
102
Hz101νΔ
Beispiel: Atomkern Emission / Absorption im X / -Bereich
Anwendungen: • Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters• Kernstruktur (Quadrupolmoment)• Gitterdynamik (Phonon-Anregung)• Gravitationsrotverschiebung
58
1.3.4. Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 )
• 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung (X, ) hat Teilchencharakter• Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter?• Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man
Beugungsgitter her?• Max von Laue Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung!
Vakuumröhree
Röntgen-Strahlen
Kristall
Fotoplatte
Beugungsbild
v. Laue, Friedrich, Knipping (1912)
Resultat: a) Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung
b) Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur
59
Netzebenenschar
d
Glanzwinkel
Gitterpunkte punktförmige Streuer
konstruktive Interferenz einer Netzebene
d
Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingungλmθsind2
keine Bragg-Reflexe; Medium wird optisch homogen. maxd2λ
Typischer Wert: dmax 51010 m Vergleich: vis 5107 m
60
ωE γ ωE γ kp γ
kp γ
Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter (Kristall-beugung...) als auch Teilchencharakter (Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung.
|p| λh
λπ2
γ |p| λ
hλπ2
γ
Kernreaktor
Neutronen-Absorber
Moderator Neutronen-Abbremsung
(Thermalisierung)
Kollimator
thermische Neutronen
Kristall
Detektor
T 300 K En 25 meV
ckeV7Em2p nnn m108,1 10
phn
Knüller: Laue-Reflexe wie bei Röntgenstrahlung mit 1,81010
m
Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!
61
... und Elektronen ? Dito !
Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ...) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeld-wellen” (elektromagnetisch, Gravitation, …) haben Teilchencharakter.
Quantentheorie Teilchen sind WellenQuantenfeldtheorie Kraftfeldwellen sind Teilchen