BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Modul siswa tentang Operasi
Bilangan Real ini terdiri dari 4 bagian proses pemelajaran yang
meliputi 4 sub kompetensi, yaitu: 1. Operasi Pada Bilangan Real,
yang terdiri dari 2 kegiatan belajar. Kegiatan Belajar 1 membahas:
macam-macam bilangan real, operasi bilangan real (penjumlahan,
pengurangan, perkalian, pembagian). Kegiatan Belajar 2 membahas:
konversi pecahan ke bentuk persen, pecahan dan desimal atau
sebaliknya. Kegiatan ini dialokasikan 10 jam pelajaran. 2.
Penerapan Operasi Pada Bilangan Berpangkat, yang terdiri satu
kegiatan yaitu Kegiatan Belajar 3 yang membahas: Konsep Bilangan
Pangkat, Sifat Bilangan Pangkat, Penyederhanaan Bilangan Pangkat.
Kegiatan ini dialokasikan 6 jam pelajaran. 3. Penerapan Operasi
Pada Bilangan Irasional, yang terdiri dari dua kegiatan belajar.
Kegiatan Belajar 4 membahas: Klasifikasi Bilangan Real ke bentuk
akar dan bukan bentuk akar, Opersasi Bilangan pada bilangan bentuk
akar Penyederhanaan bilangan bentuk akar. Kegiatan ini dialokasikan
6 jam pelajaran. 4. Konsep Logaritma yang merupakan kegiatan
Belajar 5. Kegiatan Belajar membahas : Pengertian Logaritma,
Operasi Logaritma dan sifat-sifatnya, membahas soal Logaritma
menggunakan tabel dan tanpa tabel. Kegiatan ini dialokasikan 6 jam
pelajaran.
5. Evaluasi untuk kompetensi: menerapkan konsep Operasi Bilangan
Real dialokasikan 2 jam pelajaran. Setelah mempelajari modul ini,
kompetensi yang diharapkan adalah melatih berfikir dan bernalar
secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam
memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan. Pendekatan
yang digunakan dalam menyelesaikan modul ini menggunakan pendekatan
siswa aktif melalui metode: pemberian tugas, diskusi pemecahan
masalah, serta presentasi. Guru merancang pembelajaran, yang
memberikan kesempatan seluas-luasnya pada siswa untuk berperan
aktif dalam membangun konsep secara mandiri ataupun bersama-sama.
B. Prasyarat Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari modul
ini adalah siswa telah mempelajari dan menguasai tentang
macam-macam bilangan. C. Petunjuk penggunaan Modul 1. Penjelasan
Bagi Siswa Agar siswa dapat menguasai materi yang ada pada modul
ini perlu dilakukan langkah-langkah berikut: a. Bacalah modul ini
secara berurutan dari Kata Pengantar sampai Cek Kemampuan, fahami
benar isi dari setiap bab nya. b. Setelah anda mengisi Cek
Kemampuan, apakah anda termasuk kategori orang yang perlu
mempelajari modul ini ? Jika anda menjawab YA maka pelajari modul
ini. c. Laksanakanlah semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini
agar kompetensi anda berkembang sesuai standar.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 1
d. Buatlah rencana belajar anda dengan menggunakan format
seperti yang ada dalam modul ini, konsultasikan dengan guru
pembimbing hingga mendapat persetujuan. e. Lakukan kegiatan belajar
untuk mendapatkan kompetensi sesuai rencana kegiatan belajar yang
telah anda susun dan disetujui oleh guru pembimbing. f. Setiap
mempelajari satu sub kompetensi, anda harus menguasai materi. g.
Pengetahuan pendukung (Uraian Materi), melaksanakan tugas-tugas,
mengerjakan lembar latihan. h. Dalam mengerjakan lembar latihan
anda jangan mellihat Kunci Jawaban terlebih dahulu sebelum anda
menyelesaikan lembar latihan. i. Laksanakan Lembar Kerja untuk
pembentukan psikomotorik skills, sampai anda benar-benar terampil
sesuai standar. Apabila anda mengalami kesulitan dalam melaksanakan
tugas ini, konsultasikan dengan guru anda. 2. Peran Guru a.
Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing
siswa melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam tahap
belajar. c. Membantu siswa dalam memahami konsep dan praktik baru
dan menjawab pertanyaan siswa mengenai proses belajar siswa. d.
Membantu siswa dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain
yang diperlukan untuk belajar. e. Mengorganisasikan kegiatan
belajar kelompok jika diperlukan. f. Melaksanakan penilaian. g.
Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi
dan merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya. h. Mencatat
pencapaian kemajuan siswa D. Tujuan Akhir Spesifikasi kinerja yang
diharapkan dikuasai siswa setelah mengikuti seluruh belajar adalah
siswa dapat : 1. Membedakan pengertian definisi dan aksioma pada
matematika. 2. Menuliskan contoh bilangan asli. 3. Menuliskan
contoh bilangan cacah. 4. Menuliskan contoh bilangan bulat. 5.
Menyebutkan definisi bilangan rasional. 6. Membuat skema bilangan.
7. Menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan bulat. 8.
Menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan pecahan. 9.
Mengalikan dan membagi bilangan-bilangan bulat. 10. Mengalikan dan
membagi bilangan-bilangan pecahan. kegiatan
Berdasarkan spesifiksasi kinerja di atas, kemungkinan aplikasi
konsep Bilangan Real secara mendalamdi dunia kerjadi antaranya
untuk menyelesaikan persoalan Operasi Bilangan Real, Perbandingan,
skala, persen, pangkat, akar dan logaritma. Pengetahuan bilangan
real merupakan syarat pokok untuk bisa menerapkan konsep matematika
yang dipelajarinya dalam penyelesaian permasalahan yang terdapat
pada pelajaran lain atau dalam kehidupan sehari-hari, yang
dihadapinya secara logis dan sistimatis sekaligus melatih daya
nalarnya serta menumbuhkan minat dan rangsangan akan matematika,
sikap cermat, kritis dan berfikir logis.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 2
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 3
E. Kompetensi : Menerapkan Program Linier. Lingkup Materi
Belajar Sistem bilangan real. Operasi pada bilangan bulat. Operasi
pada bilangan pecahan.
Sub KompetensiA.1. Menerapkan operasi pada bilangan real.
Kriteria Kinerja Bilangan real dibedakan sesuai dengan macamnya.
Dua atau lebih bilangan bulat dioperasikan (dijumlah, dikurang,
dikali, dan dibagi). Dua atau lebih bilangan pecahan, dioperasikan
(dijumlah, dikurang, dikali, dan dibagi) sesuai dengan prosedur.
Bilangan pecahan dikonversi ke bentuk persen atau pecahan desimal
sesuai dengan prosedur. Konsep perbandingan (seniali dan berbalik
nilai), skala dan persen digunakan dalam penyelesaian masalah
kejuruan. Konsep bilangan rasional diterapkan dalam penyelesaian
masalah kejuruan. Bilangan berpangkat dijelaskan sesuai dengan
konsep yang berlaku. Bilangan berpangkat dioperasikan sesuai dengan
sifat-sifatnya.
Sikap
Materi Pokok Pembelajaran Pengetahuan Macam-macam bilangan real.
Operasi dua atau lebih bilangan bulat. Operasi dua atau lebih
bilangan pecahan.
Keterampilan
Teliti dan cermat dalam perhitungan bilangan real.
Menghitung dan mengoperasikan bilangan real.
Konversi bilangan.
Konversi pecahan ke bentuk persen, pecahan desimal atau persen.
Perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala dan persen.
Perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan persen.
Penerapan bilangan real dalam menyelesaikan masalah kejuruan.
Konsep bilangan berpangkat dan sifatsifatnya. Operasi pada bilangan
berpangkat.
Penyelesaian masalah kejuruan.
A.2. Menerapkan operasi pada bilangan berpangkat.
Penjelasan konsep dan sifatsifat bilangan berpangkat.
Pengoperasian bilangan berpangkat.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 4
Sub Kompetensi
Kriteria Kinerja Bilangan berpangkat disederhanakan atau
ditentukan nilainya dengan menggunakan sifat-sifat bilangan
berpangkat. Konsep bilangan berpangkat diterapkan dalam
penyelesaian masalah.
Lingkup Materi BelajarPenyederhanaan bilangan berpangkat.
Sikap
Materi Pokok Pembelajaran Pengetahuan Penyederhanaan bilangan
berpangkat.
Keterampilan
Penyelesaian masalah.
A.3. Menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk
akar).
Bilangan real diklasifikasi ke bentuk akar dan bukan bentuk akar
sesuai dengan konsep yang berlaku. Bilangan bentuk akar
dioperasikan sesuai dengan sifat-sifatnya. Bilangan bentuk akar
disederhanakan atau ditentukan nilainya dengan menggunakan
sifat-sifat bentuk akar. Konsep bilangan irasional diterapkan dalam
penyelesaian masalah.
Konsep bilangan irasional.
Penjelasan konsep dan sifatsifat bilangan irasional.
Operasi pada bilangan bentuk akar. Penyederhanaan bilangan
bentuk akar. Digunakan untuk perhitungan konversi ukuran.
Pengoperasian bilangan irasional. Penyederhanaan bilangan
irasional.
Penyelesaian masalah.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 5
Sub KompetensiA.4. Menggunakan konsep logaritma.
Kriteria Kinerja Pengertian logaritma dideskripsikan dengan
tepat. Operasi logaritma diselesaikan sesuai dengan sifat-sifatnya.
Soal-soal logaritma diselesaikan dengan membaca tabel dan tanpa
tabel. Permasalahan bidang keahlian diselesaikan dengan menggunakan
logaritma.
Lingkup Materi BelajarKonsep logaritma. Operasi pada
logaritma.
Sikap
Materi Pokok Pembelajaran Pengetahuan Penjelasan konsep
logaritma. Pengoperasian logaritma. Penyelesaian masalah
logaritma.
Keterampilan
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 6
F. Cek Kemampuan NO. PERTANYAAN YA TIDAK
1.
Dapatkah anda menyebutkan macam-macam bilangan real ? Dapatkah
anda mengoperasikan dua atau lebih bilangan bulat ? Dapatkah anda
mengoperasikan dua atau lebih Bilangan pecahan ? Dapatkah anda
mengkonversikan bilangan pecahan ke Bentuk persen atau bentuk
desimal ? Tahukah anda konsep perbandingan senilai dan berbalik
nilai ? Dapatkah anda menentukan ukuran gambar dengan Skala ?
Dapatkah anda menentukan besarnya persentase ? Dapatkah anda
memahami tentang bilangan irasional ? Dapatkah anda menentukan
hasil operasi bilangan Irasional ? Dapatkah anda merasionalkan
penyebut pecahan ? Tahukah anda tentang logaritma ? Dapatkah anda
meng operasikan logaritma ?
2
3.
4.
5.
6
7 8 9
10 11 12
Apabila Anda menjawab TIDAK pada salah satu pertanyaan di atas,
pelajarilah materi tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab
YA pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan
tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 7
BAB II. PEMELAJARAN A. Rancangan Belajar Siswa Seperti telah
diinformasikan dalam pendahuluan bahwa modul ini hanya sebagian
dari sumber belajar yang dapat anda pelajari untuk menguasai
Kompetensi Menerapkan Konsep Operasi Bilangan Real, untuk
mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi non instruksional,
anda perlu latihan. Aktifitas-aktifitas yang dirancang dalam modul
ini selain mengembangkan kompetensi matematika, juga mengembangkan
kompetensi Substansi non instruksional. Untuk itu maka dalam
menggunakan modul ini anda harus melaksanakan tugas-tugas yang
telah dirancang. 1. Buatlah rencana belajar anda berdasarkan
rancangan pemelajaran yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai
kompetensi Konsep Operasi Bilangan Real, dengan menggunakan format
sebagai berikut : Pencapaian No Kegiatan Tgl Jam Tempat Alasan peru
bahan bila diperlukan Paraf Siswa Guru
Mengetahui, Guru Pembimbing
Yogyakarta, Siswa
Agustus 2004
(...........................) (.............................) 2.
Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah
ditetapkan.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 8
Anda membuat ringkasan menurut pengertian anda sendiri tentang
konsep-konsep kompetensi yang anda pelajari dan juga mencari contoh
yang terdapat di sumber lain. B. Kegiatan Belajar 1. Kegiatan
Belajar 1. a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 Setelah mempelajari uraian
kegiatan belajar ini, anda diharapkan : 1) Dapat membedakan
macam-macam bilangan real. 2) Dapat melakukan operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian dan pembagian dua atau lebih bilangan bulat.
3) Dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian dua atau lebih bilangan pecahan. b. Uraian Materi
Kegiatan Belajar 1 1) Macam- macam Bilangan Real. 1.1) Bilangan
Asli (A) Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama-tama
digunakan oleh manusia untuk membilang, yaitu : 1, 2, 3, 4, 5, ...
A = {1, 2, 3, 4, ...} 1.2) Bilangan Cacah (C) Pada bilangan asli
kita dapat mengadakan operasi pengurangan, misalnya: 7 5 = 2, 20 8
= 12, tetapi bagaimana dengan 5 5 = ? Oleh karena itu dikenal
bilangan nol, sehingga 5 5 = 0 Bilangan asli dan nol dinamakan
Bilangan Cacah. C = {0, 1, 2, 3, ...} 1.3) Bilangan Bulat (B) Dalam
operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif.
Misalnya: 3 5 = -2 , 20 35 = -15 Bilangan asli, nol dan bilangan
negatif dinamakan bilangan bulat. B = {... , ... , -2, -1, 0, 1, 2,
3, ...} 1.4) Bilangan Rasional (Q) Bilangan rasional (disebut juga
bilangan pecahan) adalah bilangan yang p dapat dinyatakan dalam
bentuk dengan p, q B dan q 0. q Contoh bilangan rasional (Q) = 2;
0,3; 2= 2 1 3 10 2 1 ; 4 ; 1,321321321... 3 2
Jadi 2 adalah bilangan rasional. Jadi 0,3 adalah bilangan
rasional.
0,3 =
2 1 dan 4 Jelas bilangan rasional. 3 2 1,321321321... dapat
dibuktikan sbb: Misal x = 1,321321321... 1000x = 1321,321321...
1000x x = (1321,321321...) (1,321321321...) 999x = 1320 1320 x =
999 Pecahan desimal berulang lainnya dapat diperlakukan sama.
Sehingga disimpulkan bahwa pecahan desimal berulang meripakan
bilangan rasional.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 9
1.5)
Bilangan Irasional ( Q ) Bilangan irasional adalah bilangan yang
tidak dapat dinyatakan dalam p bentuk dengan p, q B dan q 0. q
Contoh: V2, V5, , log 5 ,...
1.6) Bilangan Real (R) Bilangan real adalah bilangan yang
terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional. R=QU Q 2)
Operasi hitung pada bilangan bulat. 2.1) Operasi penjumlahan. Untuk
a, b, c B berlaku : a) a+b=b+a Hukum Komutatif. b) (a + b) + c = a
+ (b + c) Hukum asosiatif. c) a+0=o+a=a Nol adalah elemen identitas
sifat penjumlahan. Contoh: a) 3+5=5+3=8 b) 6 + (-2) = (-2) + 6 = 4
c) (3 + 4) + 6 = 3 + (4 + 6) 7 + 6 = 3 + 10 13 = 13 d) (-4 + 2) +
(-5) = -4 + {2 + (-5)} -2 + (-5) = -4 + (-3) -7 = -7 2.2) Operasi
pengurangan. Mengurangi a dengan b sama dengan menambah a dengan
lawan b. Yaitu: a b = a + (-b) Contoh: a) 5 3 = 5 + (-3) = 2 b) 10
8 = 10 + (-8) = 2 c) 3 5 = -3 + (-5) = -8 d) 6 (-4) = 6 + 4 = 10
2.3) Operasi perkalian. Untuk a, b, c B berlaku : a) axb=bxa b) (a
x b) x c = a x (b x c) c) ab + ac = a (b + c) d) ax1=1xa=a
Hukum Komutatif. Hukum asosiatif Hukum distributif terhadap
penjumlahan. 1 adalah elemen identitas perkalian.
Contoh: a) 3 x 4 = 4 x 3 = 12 b) (-3 x 4) x (-5) = -3 x (4 x 5)
-12 x (-5) = -3 x (-20) 60 = 60 c) 5 x 3 + 5 x 4 = 5 x (3 + 4) 15 +
20 = 5 x 7 d) 5x0=0x5=0 e) 6x1=1x6=6 2.4) Operasi pembagian.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 10
Jika a dan b bilangan-bilangan dan b 0 maka membagi a dengan b
sama dengan mengalikan a dengan kebalikan (invers perkalian) dari
b. 1 Yaitu : a:b=ax b
Contoh: 30 21 =6 = 3 a) c) 5 7 15 40 = 3 = 10 b) d) 5 4 Pada
operasi pembagian Hukum komutatif, asosiatif tidak berlaku,
sehingga untuk menyelesaikan operasi pembagian harus disesuaikan
dengan urutan yang ada. Contoh: 1) 120 : 4 = 30 2) 120 : 4 : 5 = 30
: 5 = 6 3) 40 : 2 : 4 = 20 : 4 = 5 3) Operasi hitung pada bilangan
pecahan. 3.1) Operasi penjumlahan dan pengurangan. Untuk
menjumlahkan atau mengurangkan bilangan-bilangan pecahan terlebih
dahulu menyamakan penyebut dari tiap sukunya. Contoh: 2 3 10 9 + =
+ a) 3 5 15 15 10 + 9 = 15 19 4 = =1 15 15 b) 3 2 12 10 = 5 3 20 20
12 10 = 20 2 1 = = 20 10 4 2 2 4 2 7 + 1 = + 7 3 5 7 3 5 20 30 63 =
+ 45 45 45 20 + 30 63 13 = = 45 45
c)
3.2) Operasi Perkalian. Untuk menyelesaikan operasi perkalian
dua bilangan pecahan atau lebih dilakukan dengan mengalikan
pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Contoh: 4
2 4x 2 8 x = = a) 3 5 3x 5 15
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 11
b) c)
3 1 2 3x1x 2 6 x x = = 7 5 10 7 x5x10 350 1 2 1 7 2 1 2 x x = x
x 3 3 5 3 3 5 7 x 2 x1 14 = = 3x 3x 5 45
3.3) Operasi Pembagian. Penyelesaian operasi pembagian pada
bilangan pecahan dilakukan dengan mengubah tanda bagi menjadi
perkalian dan membalik pecahan pembagi. a m a k : = x b k b m
Contoh: 5 2 5 3 : = x a) 12 3 12 2 5x 3 15 = = 12 x 2 24 2 7 5 : =
5x b) 7 2 5x 7 35 = = 2 2 5 2 1 5 3 2 : : = x x c) 4 3 2 4 2 1 5x3x
2 = 4x 2x1 30 3 = =3 8 4 *) Jika dalam satu soal ada lebih dari
satu operasi hitung dan tidak ada tanda kurung maka mendahulukan
perkalian atau pembagian dari pada penjumlahan atau pengurangan. *)
Jika operasinya sama kuat, maka kerjakan operasi yang dimuka dulu.
Operasi yang sama kuat : penjumlahan dan pengurangan perkalian dan
pembagian Contoh: a) 24 : 6 + 7 x 2 = (24 : 6) + (7x2) = 4 + 14 =
18 b) 3 + 8 5 + 10 = 11 5 + 10 = 6 + 10 = 16 c) 8 + 20 : 4 x 6 = 8
+ (20 : 4) x 6 =8+5x6 = 8 + 30 = 38 3 4 1 2 3 1 3 x : = x d) 4 5 2
3 5 2 2 3 3 5 4 12 15 3 = = 20 20 =
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1. 1) Bilangan bulat,
bilangan pecahan dan bilangan desimal berulang merupakan bilangan
rasional.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 12
2) Bilangan real adalah bilangan yang terdiri atas bilangan
rasional dan bilangan irasional. 3) Pada operasi pembagian hukum
komutatif dan hukum asosiatif tidak berlaku. 4) Untuk menjumlahkan
dan mengurangkan bilangan pecahan harus terlebih dahulu menyamakan
penyebut dari tiap sukunya. 5) Penyelesaian pembagian bilangan
pecahan dilakukan dengan mengubah tanda bagi menjadi kali dan
membalik pecahan pembaginya. a m a k : = x b k b m d. Tugas 1.
Diskusikan penyelesaian soal berikut dengan kelompok belajar anda,
dan presen tasikan hasilnya didepan kelas sesuai dengan pengarahan
guru. Soal : 1) Gambarlah diagram Ven yang menunjukkan hubungan
antara himpunan bilangan Rasional, bilangan Irasional, bilangan
Bulat, bilangan Cacah, bilangan Asli dan bilangan Prima. 2) Hitung:
a) 2 x (3 + 4) = 3) (-5) x {4 (-2)} = 1 1 4) 2 + 3 = 2 3 3 1 5) 1 :
2 = 4 3 e. Tes Formatif 1 (waktu 45 menit). 1) Tuliskan bilangan
bulat antara 5 dan 4. 2) Tunjukkan bahwa 1,3333... adalah bilangan
rasional. 3) a) 30 + (-8) = b) 25 (-5) = 4) 27 x 2 + 16 : 4 = 2 2
5) 1 x = 3 5 2 5 : = 6) a) 7 6 1 b) 3 : = 2 5 3 4 : : = 7 2 6 1 8)
6 + 2 : 3 x 5 = 2 9) Diketahui persegi panjang dengan panjang
sisinya 6,5 m dan lebar 3,5 m. Hitung lah keliling persegi panjang
tersebut. 4 9 3 :1 5 10 10) = ................... 2 3 2 x1 3 8
7)
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 13
f.
Kunci jawaban Tes Formatif 1. 1) -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 4 2)
1,333... = adalah bilangan rasional 3 3) a) 22 b) 30 4) 58 2 5) 3
12 6) a) b) -6 35 5 7) 7 1 8) 10 6 9) 20 m 6 10) 11
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 14
g.
Lembar Kegiatan Siswa 1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Tuliskan 4 buah
bilangan asli yang pertama ! Tuliskan 5 buah bilangan cacah yang
kedua ! Tuliskan bilangan bulat antara 3 dan 4 ! Sebutkan definisi
bilangan rasional dan berikan 4 contohnya ! Tuliskan 3 buah contoh
bilangan irasional ! Tunjukan bahwa 3,333... adalah bilangan
rasional ! Buatlah skema bilangan ! Jumlahkan: a) 128 + 59 = c)
(-125) + (-30) = b) 125 + (-40) = d) (-125) + 30 = a) 67 34 = b) 67
(-34) = 1 1 a) 3 + 2 = 5 2 4 3 b) 1 + = 7 4 1 1 a) 3 2 = 5 2 2 1 b)
7 2 = 5 3 5 3 x = a) 6 7 1 1 b) 4 x 3 = 4 2 a) 58 ; 12 = b) 100 : 4
: 5 = 14) Berapakah: a) 372 : 2 x 5 + 8 x c) (-67) 34 = d) (-67) +
34 = 1 1 c) 2 + 3 = 8 2 3 1 d) 5 + = 4 4 1 1 c) 4 3 = 4 6 1 1 d) 5
4 = 2 4 2 1 x 5x1 = c) 3 2 d) (-5) x 7 x (-2) = 1 5 c) 4 : = 3 6 2
1 d) 5 : 2 = 5 3
9) Kurangkan: 10) Jumlahkan:
11) Kurangkan:
12) Kalikanlah:
13) Bagilah:
1 = 2 b) 22 + 6 x 5 : 7 4 =
2. Kegiatan Belajar 2. a. Tujuan Kegiatan Belajar 2. Setelah
mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan: 1) Dapat
memahami konversi pecahan ke bentuk persen atau pecahan desimal. 2)
Dapat menyelesaikan soal-soal perbandingan (senilai dan berbalik
nilai). 3) Dapat menentukan ukuran sesungguhnya jika ukuran dalam
gambar dan skala diketahui atau sebaliknya. 4) Dapat menyelesaikan
soal-soal yang berhubungan dengan persen. 5) Dapat menerapkan
operasi hitung pada bilangan real dalam menyelesaikan masalah
kejuruan. b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2. 1) Konversi pecahan
ke bentuk persen atau pecahan desimal. Suatu pecahan dapat
dituliskan dalam 3 cara :
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 15
a) Pecahan biasa, misal: b) Desimal.
3, 3 5 100
Desimal menggunakan nilai tempat: Dibaca: per sepuluh per
seratus per seribu 75 = 0,75 100
.. .. .. , , ,... 10 100 1000
Misal:
Angka 7 nilainya 7 per sepuluh. Angka 5 nilainya 5 per seratus.
c) Persen. Persen adalah bentuk lain dari pecahan yang penyebutnya
seratus. Sehingga didapat perseratusan atau perseratus dan ditulis
dengan tanda %. 2 Misal: 2 % artinya . 100 Konversi pecahan ke
bentuk persen. Untuk menyatakan pecahan biasa ke bentuk persen,
caranya: Pecahan tersebut dikalikan 100 % Contoh: (1) Nyatakan
dalam persen. 5 1 3 a) b) c) 8 6 4 Jawab: 3 3 300 a) = x 100 % = %
= 75 % 4 4 4 5 5 500 b) = x 100 % = % = 62,5 % 8 8 8 1 1 100 2 c) =
x 100 % = % = 16 % 6 6 6 3 2) Perbandingan. Perbandingan dua buah
nilai dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Secara
umum pembagian antara besaran a terhadap besaran a b ditulis: a : b
atau b Dibaca : a dibanding b a dan b disebut suku-suku
perbandingan. Sifat-sifat suatu perbandingan. 1) Kedua suku suatu
perbandingan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Contoh: a) 100 : 60 = 1000 : 600 (tiap suku dikalikan 10) b) 1000 :
400 = 5 : 2 (tiap suku dibagi 200) 2. Jika a : b = c : d maka a.d =
b.c Contoh: a) 3 : 2 = 30 : 20 maka 3.20 = 2.30 = 60 b) 4 : 3 = 16
: p maka 4.p = 3.16 4p = 48 maka p = 12 Ada 2 jenis perbandingan:
(1) Perbandingan senilai. Perbandingan senilai dengan dua
perbandingan yang harganya sama.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 16
5 liter minyak mempunyai massa 4 kg dan 10 liter minyak
mempunyai massa 8 kg. Perbandingan antara kuantitas volume minyak
dan kuantitas massa dituliskan sebagai: 5 : 10 = 4 : 8 atau 1 : 2 =
1 : 2 (2) Perbandingan berbalik nilai. Perbandingan berbalik nilai
jika dua perbandingan harganya saling berbalikan. Misal: Suatu
mobil berjalan sejauh (s) 120 km dalam waktu (t) 4 jam pada
kecepatan (v) 30 km/jam. Bila kecepatannya 40 km/jam maka jarak
tersebut ditempuh dalam waktu 3 jam. Bila kecepatannya 60 km/jam
maka jarak tersebut ditempuh dalam waktu 2 jam. Artinya: Jika
kecepatan mobil dilipatkan dengan suatu bilangan, maka waktu yang
diperlukan untuk menempuh jarak yang sama dibagi sesuai dengan
bilangan kelipatannya. Dari pemisalan di atas dituliskan dalam
bentuk perbandingan, yaitu perbandingan untuk waktu akan diperoleh
20 : 60 dan senilai 4 : 2. Dengan model matematika
variabel-variabel yang saling bergantung. Misalnya: a dan b
sehingga a berubah dari a1 menjadi a2 dan b berubah dari b1 menjadi
b2, maka : (1) (2) a1 : a2 = b1 : b2 a1 : a2 = b2 : b1 disebut
perbandingan senilai disebut perbandingan berbalik nilai.
Misal:
Contoh: 1) Jika harga 4 buah buku tulis adalah Rp 8.000,00.
Berapakah harga 20 buah buku tulis ? Jawab: Harga 4 buah buku tulis
= Rp 8.000,00 Rp8.0000 Harga 1 buah buku tulis = = Rp 2.000,00 4
Jadi harga 20 buah buku tulis = 20 x Rp 2.000,00 = Rp 40.000,00 2)
Untuk menempuh jarak 50 km sebuah mobil memerlukan 6 liter bensin.
Berapakah jarak yang ditempuh dengan 48 liter bensin ? Jawab:
Banyak bensin 6 liter Jarak yang ditempuh 50 km 48 48 liter x 50 km
= 400 km 6 Jadi jarak yang ditempuh dengan 48 liter bensin adalah
400 km. 3) Persediaan beras untuk 5 orang akan habis dalam 6 hari.
Jika untuk 8 orang beras akan habis dalam berapa hari ? Jawab:
Banyak orang Banyak hari 5 12 6 x a1 b 2 5 x = = maka a 2 b1 6 12
didapat 6x = 60 sehingga x = 10 Beras akan habis dalam waktu 10
hari untuk 6 orang. 3) Skala
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 17
Skala yaitu perbandingan antara besar benda dalam gambar dengan
besar benda sesungguhnya. Skala = UG ukuran .gambar =
ukuran.sebenarnya US
Misal kita akan menggambar rumah yang berukuran (12 x 9) m2. Di
dalam gambar kita lukis panjang 12 cm dan lebarnya 9 cm. Ini
berarti : 9cm 9cm 1 = = Dilihat dari lebar: skala = atau 1 : 100 9m
900cm 100 12cm 12cm 1 = = Dilihat dari panjang : skala = atau 1 :
100 12m 1200 cm 100 1 Jadi skala rumah tersebut atai 1 : 100 100 1
: 100 artinya tiap 1 cm dalkam gambar menyatakan 100 cm ( 1 m)
ukuran sesungguhnya. Contoh: 1) Panjang suatu rumah dalam gambar 8
cm, sedangkan panjang rumah sesungguhnya 12 m. Jika tinggi pintu
dalam gambar 1,2 cm, tentukan: a) Skala gambar rumah tsb. b) Timggi
pintu sesungguhnya. UG 8cm 1 8cm Jawab: a) Skala = = = = US 1200 cm
150 12 m Jadi skala rumah = 1 : 150 b) Tinggi pintu sebenarnya =
1,3 x 150 cm = 195 cm = 1,95 m 2) Jarak 2 kota pada peta 6,5 cm.
Jika skala peta 1 : 150.000. Berapa jarak sesungguhnya ? Jawab:
Jarak sesungguhnya = 6,5 x 150.000 cm = 975.000 cm = 9,75 km. 4)
Persen. Persen adalah perseratus dan ditulis dengan lambang %. 1 a)
1 % artinya 100 15 b) 15 % artinya 100 100 c) 100 % artinya = 1 100
1 25 12 d) 12,5 % artinya 2 = 2 = 25 x 1 = 25 = 1 100 100 2 100 200
8 5 x 900 = 45 e) 5 % dari 900 = 100 Contoh: Seorang pedagang kayu
menjual 2,5 m3 kayu yang merupakan 5 % dari kayu simpanannya.
Berapa m3 simpanan kayu tersebut ! Jawab: 5 % dari simpanan Kayu =
2,5 m3 2,5 100 250 = 2,5x = = 50 Kayu = 5 5 5 100 Jadi simpanan
kayu pedagang = 50 m3
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 18
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 2. 1) Untuk mengubah
pecahan ke bentuk persen caranya : Persentase = pecahan x 100 % 2)
Perbandingan. Perbandingan antara besaran a terhadap besaran b
ditulis a : b atau a b
Perbandingan senilai, jika dua perbandingan harganya sama.
Perbandingan berbalik nilai, jika ada perbandingan harganya saling
berkebalikan. UG ukuran.gambar 3) Skala = = ukuran.sebenarnya US 4)
Persen adalah perseratus dan ditulis dengan lambang %. d. Tugas
Kegiatan Belajar 2. Diskusikan soal-soal LKS 2 berikut ini dengan
anggota kelompok Anda. Kemudian presentasikan hasilnya, sesuai
dengan yang ditugaskan oleh guru.
e. Lembar Kegiatan Siswa 2. 1) Ubahlah ke bentuk persen: 2 1 3
a) b) c) 5 4 4 2) Seorang pekerja setiap 3 jam memperoleh upah Rp
20.000,00. Berapakah upah selama 9 jam ? 3) Sebuah rumah digambar
dengan skala = 1 : 100. Tentukan: a) jarak sebenarnya jika jarak
gambar 8 cm. b) jarak pada gambar jika jarak sebenarnya 9 m. 4)
Siti membeli barang seharga Rp 125.000,00. Kemudian ia menjualnya
deng an memperoleh keuntungan Rp 25.000,00. Berapa persen
keuntungan Siti ? f. Tes Formatif 2. Type A: 3 8 2) Bingkai peta
dengan panjang dan lebar berbanding 6 dan 4. Dalam bentuk kecil
panjangnya 10 cm. Jika skala dibuat 1 : 15, hitunglah lebar bingkai
peta yang akan dibuat ! 3) Berapakah 5 % dari harga penjualan mobil
Rp 42.250.000,00 ! 1) Nyatakan dalam bentuk persen : Type B. 7 ! 20
x 2 = , tentukan nilai y jika x = 3 ! 2) Pada perbandingan y 3 1)
Berapa persen jika 3) Skala peta 1 : 50.000. Jika jarak antara 2
kota dalam peta 35 cm, berapakah jarak 2 kota yang sebenarnya ?
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 19
g.
Kunci Jawaban Tes Formatif 2. Type A: 1) 37,5 % 2) 100 3) Rp
2.112.500,00 Type B: 1) 35 % 2) y = 4,5 3) 17,5 km
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 20
3. Kegiatan Belajar 3. a. Tujuan Kegiatan Belajar 3. Setelah
mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan: 1) Dapat
memahami sifat-sifat bilangan berpangkat. 2) Dapat menyederhanakan
bilangan berpangkat, 3) Dapat menyelesaikan soal-soal bilangan
berpangkat. 4) Dapat menyelesaikan persamaan dalam bilangan
berpangkat. b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3. 1) Pengertian
bilangan berpangkat. Bilangan berpangkat dapat ditulis sbb: an
=
axaxaxax.....xa sebanyak n faktor
an = disebut bilangan berpangkat a = disebut bilangan pokok
(dasar) n = disebut pangkat 2) Sifat- sifat bilangan berpangkat. ap
x aq = a p + q p,q A ap : aq = a p q p,q A (ap)q = apq pA (a.b)p =
ap . bp pA p p a a = p pA b b Contoh: 1) a4 x a2 = a4+2 = a6 2) X6
: X = X6-1 = X5 3) (a5)2 = a5X2 = a10 4) (a.b2)3 = a3.b2X3 = a3.b6
m 3X 4 m 12 3 4 5) m2 = = n n 2X 4 n8
( )
1 1 1 2 X 2 + 1 X 2 1 2 6) = X (1) = X 1 7) Persamaan
perpangkatan. 32X+1 = 27 32X+1 = 33 2X + 1 = 3 2X = 3 1 2X = 2 jadi
x = 2 = 1 2 3) Macam- macam bilangan berpangkat. Macam-macam
bilangan berpangkat: a) Bilangan berpangkat bulat positif. Contoh:
22 = 2 x 2 54 = 5 x 5 x 5 x 5 108 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x
10 x 10 b) Bilangan berpangkat nol. Contoh: a0 , 30 , 150 , ... 32
9 30 = 32-2 = 2 = =1 9 3
2
a0 = 1
dengan a 0
Jadi setiap bilangan berpangat nol selalu menghasilkan satu. c)
Bilangan berpangkat negatif.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 21
Contoh: ... ; 100 ; 10 ; 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... 1 1 1
Dapat ditulis: 100 ; 10 ; 1 ; ; ; ; ... 10 100 1000 1 1 1 102 ; 101
; 100 ; 1 ; 2 ; 10 10 10 3 102 ; 101 ; 100 ; 10-1 ; 10-2 ; 10-3
Jadi1 n
d) Bilangan berpangkat pecahan. Jika
1 = a n n a
a dengan n A dikalikan sebanyak n faktor, maka a1 n
x
a
1 n
x
a
1 n
x
a
1 n
x ... x
a
1 n
=
a
1 1 1 1 + + +...+ n n n n
n faktor sebanyak n suku = Jadi1 n 1
a
n n
= a1 = a
a n adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan
dirinya=n
sendiri sebanyak n faktor akan menghasilkan a. Hal itu dapat
diartikan
a
a dengan n A, a R.dengan m, n A dengan mengambil analog dari
bilanganm n m
Jika makam
m an
a
1 n
a
dikalikan sebanyak n faktor.m m m m m m m m
an
x
+ + + +...+ a n x a n x a n x ... x a n = a n n n n n
= = Jadim m
an
nx
m n
am am atau
an =
dapat diartikan sama dengann
an
a m dengan m, n A.
Contoh:1
16 4
=
4
16
=
4
24
=
4
24
= 2
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3. 1) Bilangan berpangkat
adalah hasil perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri secara
beruntun. an = a x a x a x ... x a sebanyak n faktor. 2) Sifat
perpangkatan. ap x aq = a p + q p,q A ap : aq = a p q p,q A (ap)q =
apq pA (ab)p = ap . b p pA (a/b)p = (ap/ bp) pA a0 = 1 dengan a
0
1 = a n n a
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 22
3) Dalam menjabarkan dan menyederhanakan bilangan berpangkat
mengguna kan sifat-sifatnya. d. Tugas Kegiatan Belajar 3.
Diskusikan soal-soal berikut ini dengan anggota kelompok Anda.
Kemudian presentasikan hasilnya, sesuai dengan yang ditugaskan oleh
guru.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 23
e. Lembar Kegiatan Siswa 3. 1) Apakah benar p0 = 1 2)
Sederhanakan: a a b X X b b a2 0 1 2
3) Nyatakan ke dalam bentuk akar 4) Hitung nilai dari:
X
2 3
(125) 3
5) Tentukan nilai X dari 2X 3 = 1. f. Tes Formatif 3 (Waktu 45
menit). 1) Buktikan bahwa: 20 = 1 2) Sederhanakan: 62(X3)2 3)
Nyatakan ke dalam bentuk akar: a)5 X6 1
b) X2 +X1 X3 1 2
3 5 Y
4) Tentukan harga
1 X 3
jika x = 64
5) Tentukan nilai X dari
2 2 X 1 = 8 X 4
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 24
g. Kunci Jawaban Tes Formatif 3. 1) Cukup jelas. 2) 36X6 3) a) 6
X 5 b) 5 Y 3 1 6 5) X = 11 4) 2 5. Kegiatan Belajar 4. a. Tujuan
Kegiatan Belajar 4. Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar
ini, anda diharapkan: 1) Dapat memahami tentang konsep bilangan
irasional. 2) Dapat menentukan penjumlahan dan pengurangan dari dua
atau lebih bilangan irasional bentuk akar. 3) Dapat menentukan
perkalian dan pembagian dari dua atau lebih bilangan irasional
bentuk akar. 4) Dapat merasionalkan penyebut dari pecahan bentuk
akar. b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4. 1) Pengertian. Bilangan
irasional (bilangan tak terukur) adalah bilangan yang tidak dapat p
dinyatakan dalam bentuk , dengan p,q B dan p 0. q Bilangan
irasional disebut juga bilangan tak rasional. Bilangan irasional
diklasifikasikan menjadi 2 kelompok yaitu : a. Bilangan pecahan
desimal tak terbatas tak berulang. Contoh : 1). e = 2,718218... 2).
= 3,142857... b. Bilangan yang berbentuk akar, (khusus akar
bilangan prima) : Contoh : 1). 2 = 1,414213562... 2). 3 =
1,732050808...
2. Operasi Bilangan Irasional. a) Penjumlahan dan pengurangan.
Bilangan irasional tidak dapat di jumlahkan atau dikurangkan
kecuali bilangan itu sejenis, karena besarnya tidak terukur (letak/
posisinya tidak dapat ditentukan dengan tepat pada suatu garis
bilangan). Contoh : 1). e + = e + (tidak bisa digabung menjadi e )
2). e - e - (tidak bisa digabung) 3). 4). 5). 7+ 3= 7+ 3 (tidak
bisa digabung menjadi
10 ) 3
(tidak bisa digabung menjadi 2 ) 5 3 + 4 3 = (1 + 4) 3 = 5 3 hal
ini boleh karena 3 & adalah akar sejenis.
7 -
b) Perkalian bentuk akar. Ingat bahwa a x Contoh: 1) 8x 3
a =a
a b x c d = ac b.d = 8x 3 = 24 = 4x 6 = 2 6
2) 3 2 x 2 5 = (3x2)( 2 x
5 ) = 6 10
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 25
c) Menyederhanakan bilangan irasional : 1). Memperkecil bilangan
dibawah tanda akar : hal ini mengingat sifat perkalian akar ; b x d
= Contoh : a). 18 = 9.2 = 9 . 2 = 3 . 2 = 3 2 b).
b.d
75 =
25.3 =
25 .
3 =5 3
2). Merasionalkan penyebut suatu pecahan. a a b a b = X = Ingat
bahwa b b b b 2 (a + b)(a b) = a b2 Contoh: 6 6 2 6 2 = X = =3 2 1)
2 2 2 2 2) 3) 3 2 5 4 1+ 3 = 3 2 5 = X 5 5 X = 3 5 3 5 = 2.5 10 =
4(1 3) 1 ( 3)2 2
4 1+ 3 2
1 3 1 3
=
4(1 3) 1 3
=
4(1 3)
= 2(1 3)
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 4. - Bilangan irasional
adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p , a,b B
dan b 0. q Bilangan irasional tidak dapat dijumlahkan dan tidak
dapat dikurangkan. Merasionalkan penyebut suatu pecahan bentuk akar
dengan cara dikalikan dengan 1 (satu) yang dijadikan pecahan dengan
penyebut yang sama dengan penyebut pecahan yang akan dirasionalkan.
d. Tugas Kegiatan Belajar 4. Diskusikan soal-soal berikut ini
dengan anggota kelompok Anda. Kemudian presentasikan hasilnya,
sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru. e. Lembar Kegiatan Siswa
4. 1) Apakah benar bahwa 2) Tentukan jumlah dari 3) Tentukan
selisih dari
50 merupakan bilangan irasional ?3 5 + 20 5 3 48
4) Tentukan hasil kali dari 2 2 x 3 2 5) Sederhanakan bentuk
akar berikut : a). 12 b). 60 6) Rasionalkan penyebut dari : 2 a) b)
5 f.
3 3 2
c)
2 3 3+ 2
Tes Formatif 5 (Waktu 45 menit). 1) Buktikan bahwa 3 adalah
bilangan irasional.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 26
2) Tentukan 2 8 + 3) Tentukan 3 5
2.
203 5 b) 2 3 2
4) Tentukan 2 3 x 3 5 . 5) Rasionalkan penyebut dari a)
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 27
g. Kunci Jawaban Tes Formatif 4. 1) 3 = 1,7320508... hasilnya
merupakan bilangan desimal tak berulang dan tak terbaras. 2) 5 2
3)
53 5 5 2(3 + 2 ) 7
4) 6 15 5) a) b)
4. 5.
Kegiatan Belajar 5. a. Tujuan Kegiatan Belajar 5. Setelah
mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan: 1. Dapat
memahami pengertian logaritma. 2. Dapat menentukan logarima suatu
bilangan dengan menggunakan daftar logaritma. 3. Dapat menentukan
anti logaritma suatu bilangan. Dapat memahami sifat-sifat
logaritma;. Dapat mempergunakan logaritma dalam
perhitungan-perhitungan. 6. b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 5. 1)
Pengertian logaritma. Kita telah memahami pengertian bilangan
berpangkat. Bentuk umum bilangan berpangkat: an dimana a disebut
bilangan pokok dan n disebut pangkat. Kalau bilangan pokok dan
pangkat tidak diketahui maka hasil dari bilangan berpangkat dapat
dicari. Sebagai contoh: 102 = 100 Kebalikannya apabila yang
diketahui bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat, maka
pangkat dari bilangan pokok tersebut dapat ditentukan. Sebagai
contoh: 102 = 100, mencari pangkat dari bilangan 10 yang hasilnya
sama dengan 100. Pangkat tersebut adalah 2. Mencari pangkat dari
suatu bilangan pokok, jika hasil pemangkatan sudah diketahui
seperti di atas dapat ditulis dengan notasi logaritma yang
disingkat log. Sebagai contoh: 10 ...... = 100, ditulis 10 log 100
= ... Dan nilai 10 log 100 = 2. Logaritma adalah invers dari
perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok
sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. a Definisi:
log Y = X aX = Y a a Y X = = = bilangan pokok (basis logaritma) 1 a
> 0 radikal hasil penarikan logaritma.
Jika bilangan pokok sutu logaritma tidak ditulis, bilangan pokok
logaritma tersebut adalah 10. Contoh: log 100 = ..... artinya 10log
100 = ... Jawab: log 100 = 2. Log 1000 = .... artinya 10log 1000 =
3 Log 10000 = ..... artinya 10log 10000 = 4
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 28
2) Menentukan logaritma dengan menggunakan daftar logaritma.
Daftar logaritma yang biasa digunakan disebut daftar logaritma
biasa yaitu dengan bilangan pokok 10. Dalam daftar logaritma yang
ditulis hanya bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari
suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebit mantis. Lajur-lajur
dalam logaritma terdiri dari : a. Lajur N (lajur pertama) dari atas
ke bawah memuat bilanganbilangan secara berurutan dari nol sampai
1000. b. Lajur ke dua sampai dengan lajur ke sebelas, dari kiri ke
kanan berturutturut diisi dengan bilangan 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9.
Lajur yang memuat angka nol disebut lajur nol, yang memuat angka 9
disebut lajur sembilan. Cara menentukan logaritma bilangan pokok
10. Sebagai contoh: Dengan menggunakan daftar logaritma tentukan
nilai logaritma dari : a) log 4,6 b) log 46 c) log 460 Jawab: a)
log 4,6 = ..... Antara log 1 = 0 dan log 10 = 1 Log 4,6 = 0,....
Angka di depan tanda koma, disebut indek (karakteristik). Angka di
belakang tanda koma disebut mantis dari logaritma bilangan itu.
Mantis didapat dalam daftar logaritma pada baris ke 4 dan lajur ke
6 = 6628. Jadi log 4,6 = 0,6628. b) log 46 = ..... Antara log 10 =
1 dan log 100 = 2 Log 46 = 1,..... Mantis didapat pada daftar
logaritma pada baris ke 4 dan lajur ke 5 = 6628. Jadi log 46 =
1,6628. c) log 460 = ..... Antara log 100 = 2 dan log 1000 = 3 Log
460 = 2,.... Dengan cara yang sama dengan di atas diperoleh log 460
= 2,6628. 3) Menentukan anti logaritma suatu bilangan. Apabila
nilai logaritma suatu bilangan sudah diketahui, maka bilangan itu
dapat ditentukan dengan menggunakan daftar logaritma. Jadi daftar
logaritma sekaligus juga merupakan daftar anti logaritma. Sebagai
contoh : Tentukan bilangan yang logaritmanya : a) 0,6628 b) 1,6628
c) 2,6628 d) 3,6628 Jawab: a) Misal bilangan yang akan ditentukan
itu x, maka log x = 0,6628 Oleh karena log x = 0,6628 (antara 0 dan
1) maka x antara 1 dan 10. 0 < log x < 1 maka 1 < x <
10
Kemudian dicari pada daftar logaritma sehingga didapat angka
6628. Selanjutnya dari angka 6628 ditarik garis ka arah kiri sampai
lajur N diperoleh angka 4 dan ditarik garis vertikal ke atas
diperoleh angka 6. - pada lajur N diperoleh angka 4 ditulis 46 -
pada arah vertikal diperoleh angka 6 maka mantis 6628 berhubungan
dengan bilangan 46.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 29
Oleh karena bilangan x nilainya diantara 1 dan 10 maka x = 4,6
b) Log x = 1,6628 maka x antara 10 dan 100 Dengan cara seperti di
atas diperoleh x = 46. c) Log x = 2,6628 maka x antara 100 dan 1000
x = 460 d) Log x = 3,6628 maka x antara 1000 dan 10000. x = 4600
4). Sifat- sifat Logaritma. Setelah memahami pengertian logaritma
dan cara menentukan logaritma suatu bilangan, maka sekarang kita
mempelajari sifat-sifat logaritma. Adapun manfaat dari sifat-sifat
logaritma ini adalah dalam penerapan logaritma dalam
perhitungan-perhitungan. Sifat 1 Logaritma perkalian dua bilangan
sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan tadi.a
log (b x c) = alog b + alog ca a
Bukti log b = x maka ax = b ..... (1) log c = y maka ay = c
..... (2) Jika persamaan (1) dikalikan (2) diperoleh: b x c = ax x
ay b x c = ax + y a log (b x c) = alog ax + y = x+y = alog b + alog
c terbukti. Misal : Contoh: a) 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 x 8) =
2log 32 = 2log 25 = 5 1 1 b) 3log + 3log 27 = 3log ( x 27) 3 3 =
3log 9 = 3log 32 = 2 c) log 8 + log 125 = log (8 x 125) = log 1000
= 3
Sifat 2 Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih
logaritma dari masing-masing bilangan itu.a
log
b c
= alog b - alog c
Bukti Misal :a a
log b = x maka ax = b ..... (1) log c = y maka ay = c .....
(2)
b ax = c ay b = a(x y) c b a log = alog a(x-y) c
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 30
= xy b a log = alog b - alog c c Contoh: 60 15 = 2log 4 = 2log
22 = 2 9 b) 3log 9 - 3log 27 = 3log 27 1 = 3log 3 = 3log 3-1 = -1
500 c) log 500 - log 5 = log 5 = 2log 100 = 2 a)2
log 60 - 2log 15 = 2log
Sifat 3 Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat
dikalikan dengan logaritma bilangan itu. a log b n = n x alog b
Bukti log b n = alog (bxbx ... xb) n faktor = alog b + alog b + ...
+ alog b n suku a a n log b = n x log b terbuktia
Contoh: a) 2 log 25 3 log 5 + log 20 = log 252 log 53 + log 20
25 2 x 20 = log 53 = log 5 4 x 20 53 = log (5 x 20) = log 100 = 2
b) 1 2 1 2 log 16 2 2log 4 + log 64 = 2log 16 1/2 2log 42 + log
(64)1/2 2 2 = 2log (42)1/2 2log 42 + log (26)1/2 = 2log 4 2log 42 +
log 23 4 x8 = 2log 16 32 = 2log 16 = 2log 2 = 1 53 x2 3 3 log 5 + 3
log 2 - log 10 = log 10 125 x8 = log 10 1000 = log 10
c)
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 31
= log 100 = 2 Sifat 4 Mengubah bilangan pokok logaritma.a
log b =
log b log a
atau
a
log b =
1b
log a
Buktia
log b = x maka ax = b log b = log ax = x . log a log b x = log
aa
log b log b
= = =
log b log a log b log a 1b
terbukti
a
log a
terbukti
Contoh: Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma di bawah ini dalam
a. a) 2log 9 b) 8log 3 Jawab : a) 2log 9 = 2log 32 = 2 x 2log 3 = 2
x a = 2a log 3 b) 8log 3 = log 8 = = = = Sifat 5 a) b) c) Bukti:
a)a a
log 3 log 2 3 log 3 3 log 2 1 log 3 3 log 2 1 2 1 1 x log 3 = x
a = a 3 3 3
log b xan an
log b m
log c = alog c m a = x log b nb a
log b n =
log b
log b x
b
log c = = =
log b log c x log a log b log c log aa
log c
terbukti
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 32
b)
an
log b m
= = =
log b m log a n log b m . log a n m a . log b n n a log b n a
log b
terbukti
c)
an
log b n = =
terbukti
Contoh: a) Hitunglah Jawab: c)
log 5 x 5log 64 log 5 x 5log 64 = 2log 64 = 2log 26 = 6 2 Jika
log 3 = a, maka nyatakan 4log 81 dalam a.2 2
Jawab:
4
log 81 = =
22
log 3 4
4 2 log 3 2 = 2.a = 2a Sifat 6 a Bukti: Misal: `a
log b
= b
a
log b = x maka ax = b (definisi logaritma) a x a log b = a
aa
log b
= b
terbukti
Contoh : 2 2 log 5 = 5 c. Rangkuman Uraian Materi Kegiatan
belajar 5. Sifat-sifat logaritma yang telah di jelaskan di atas
dapat disajikan dalam rangkuman sebagai berikut : Definisi
logaritma Jika Sifat 1 Sifat 2 Sifat 3 Sifat 4 Sifat 5a
log Y = X aX - Y 0 < log x < 1 maka 1 < x < 10 a log
(b x c) = alog b + alog ca a
log
b c
= alog b - alog c 1b
log b n = n x alog b log b a log b = atau alog b = log a a) b)
c)a
log a
log b xan
log b m
log c = log c m a = x log b na
b
a
an log b
log b n =
log b
Sifat 6
a
a
= b
d.
Tugas Kegiata n Belajar 5.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 33
Diskusikan soal-soal berikut ini dengan angoota kelompok anda.
Kemudian persentasikan hasilnya, sesuai dengan yang ditugaskan
guru. e. Lembar Kegiatan Siswa 5. 1) Nyatakan dengan notasi
pangkat. a) 2log 128 = 7 1 b) 2log = -2 4 2) Hitunglah nilai
logaritma di bawah ini. a) 10log 100 1 b) 10log 100 3)
Sederhanakan. a) 2log 48 - 2log 6 = b) 2log 5 - 2log 20 = c) 6log 4
+ 6log 9 = d) 7log 4 + 2 7log 3 - 2 7log 6 = e) 3log 27 + 3log 3 =
4) Hitunglah: log 25 x 2log 10 x 5log 4 = 5). Jika 2log 3 = a dan
2log 5 = b, maka nyatakan 6log 50 dalam a dan b.
f.
Tes Formatif 5. 1) Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan
memakai notasi logaritma: a) 25 = 32 b) 60 = 1 c) 34 = 81 2)
Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi pangkat: a)
10log 1 = 0 b) 2log 64 = 6 1 c) 3log = -2 9 3) Gunakan daftar
logaritma untuk menentukan nilai tiap logaritma berikut: a) log 2
d) log 3,2 b) log 20 e) log 32 c) log 200 4) Tentukan bilangan yang
nilai logaritmanya diketahui sebagai berikut: a) 0,8388 c) 2,8388
b) 1,8388 d) 3,8388 5) Sederhanakan. a) 3log 5 + 3log 2 + 3log 4 =
b) 3log 27 - 3log 81 = c) 3 log 2 + 2 log 4 = d) 2 log 15 - 2 log 5
= 7) Jika 2log 3 = a a) 4log 81 = b) 8log 27 = 8) Jika a = 2 dan b
= 64, hitunglah alog b = 9) Sederhanakan. 9 2 a) 2 log 5 b) 3 log 4
9) Tentukan nilai x pada persamaan log x3 - 2 log 102 + 2 log x =
3
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 34
f.
Kunci Jawaban Tes Formatif 5. 1) a) b) 2) a) b) 3) a) b) c) 4)
a) b) 5) a) 6) a) 7) 6 8) a) 10) 3 log 32 = 5 log 1 = 0 100 = 1 26
= 64 0,3010 1,3010 2,3010 6,9 69 -1 2a2 6
c)
3
log 81 = 4
c) 3-2 = 1/9 d) 0,5051 e) 1,5051 c) 690 d) 6900 b) log 128 b)
1,5 a b) 4
c) 9
5
BAB III EVALUASI Evaluasi Kompetensi (waktu 90 menit) 1.
Tentukan nilai dari : a. 4 + 3 10 + 5 + 7 b. 4 + 3 (10 + 5) + 7 c.
25 x 3 + 18 : 6 d. 10 : 2 e. 5 + 4 : 3 x 6 f.
(16 ) 3 / 4
g. 32 . h.
1 1 . 27 3 1 2 4
2
3
. 90
i. Log 50 + log 2
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 35
j. 2log 16 + 2log 5 2log 10 2. Nyatakan dalam persen ( % ) :
a.
b. 0,04 c. 1
7 8
d. 1, 12 3. Dalam bulam promosi suatu produk baru dijual dengan
dikon 35% dari harga yang tertera pada label harga produk. Jika
pada label tertulis Rp. 120.000,00 berapa harga jualnya ? 4.
Seorang tukang pigura mendapat pesanan sebuah bingkai lukisan
dengan perbandingan ukuran panjang dan lebar8 : 5, lewat surat.
Pada gambar bingkai panjangnya 12 cm. Pemesan menghendaki skala
gambar dan ukuran sebenarnya 1 : 20. Hitunglah ukuran bingkai
tersebut !
2 5
BAB IV PENUTUP Sebagai tindak lanjut dari seluruh kegiatan
belajar dalam modul Operasi Bilangan Real ini, jika hasil evaluasi
terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 % atau lebih, maka siswa
dapat melanjutkan ke modul berikutnya. Setelah mendapat rekomendasi
dari guru atau pembimbing mata diklat Matematika (Modul diberikan
pada siswa untuk dipelajari di rumah). Tetapi jika siswa masih
belum mencapai penguasaan kompetensi 75 % atau siswa dianggap belum
kompeten, maka siswa harus mengulang evaluasi tersebut. Tidak
menutup kemungkinan untuk diadakan penelusuran terhadap penguasaan
kompetensi dengan mengulang kembali tahap-tahap kegiatan belajar
yang belum dikuasai (siswa diberkan modul pada kompetensi ini untuk
dipelajari di rumah).
---0---
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 36
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 37
DAFTAR PUSTAKA Husein Tampomas , 1999 Seribu Pena Matematika SMU
kelas 1, Jakarta, Erlangga. Maman Abdurahman, Drs. 2000, Matematika
SMK , Bandung, CV Armico. Sukamto, dkk. 2000, Matematika SMK 1,
Jakarta, Yudhistira.
Modul Operasi Bilangan Real, Matematika SMK./Halaman 38