1. Matematičke osnove računarske tehnike

1. Matematičke osnove

računarske tehnike

Pozicioni brojni sistemi su sistemi označavanja

brojeva gde vrednost svake cifre u broju zavisi od:

- njene vrednosti,

- njene pozicije u broju.

Svaki pozitivan prirodni broj u pozicionom

brojnom sistemu, može se zapisati u obliku:

gde su:

q prirodni broj koji zovemo osnova brojnog sistema

ai cifre brojnog sistema

1.1 Pozicioni brojni sistemi

)1( ....0

0

1

1

1

1 qaqaqaqan

n

n

n

x

Binarni brojni sistem:

q = 2, ai{0,1}

Oktalni brojni sistem:

q = 8, ai{0,1,2,3,4,5,6,7}

Decimalni brojni sistem:

q = 10, ai{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Heksadecimalni brojni sistem:

q = 16, ai{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F}

1.1.1 Binarni brojni sistem

Binarni brojni sistem je najčešće korišćeni

brojni sistem u digitalnim i računarskim

uređajima.

Predstavljanje informacija sa samo dva

znaka najviše odgovara mogućnostima

savremene elektronske tehnologije.

Smenom q=2 jednačina 1. dobija oblik:

0

0

1

1

1

1 22...22 aaaa n

n

n

nx

Primer 1. Konverzija iz binarnog u

decimalni brojni sistem

Konvertovati 10010110(2) u decimalni broj.

)10(2416128

102141801613206401281

22222222

)2(

150

0110100110010110

01234567

)1( ....0

0

1

1

1

1 qaqaqaqan

n

n

n

x

Primer 2. Konverzija iz decimalnog u

binarni brojni sistem

Konvertovati 169(10) u binarni broj.

MSB (1)02:1

(0)12:2

(1)22:5

(0)52:10

(1)102:21

(0)212:42

(0)422:84

LSB (1)842:169

)2()10( 10101001169

Mane binarnog predstavljanja

Osnovni nedostatak u binarnom predstavljanju

brojeva je predugački zapis broja.

Zbog toga se u računarskim sistemima najčešće

koristi heksadecimalni sistem predstavljanja

brojeva. Pri tome računar i dalje radi sa binarnim

brojevima.

Za predstavljanje brojeva je izabran

heksadecimalni brojni sistem zbog jednostavne

konverzije izmedju njega i binarnog brojnog

sistema.

1.1.2 Heksadecimalni

brojni sistem

Cifre heksadecimalnog brojnog sistema su:

Jednačina 1. smenom q=16 dobija oblik:

151413121110 ,,,,,9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0,

FEDCBA

0

0

11

1 1616...1616 1 aaaan

n

n

nx

Primer 3. Konverzija iz heksadecimalnog

u decimalni brojni sistem

Konvertovati 5E3(16) u decimalni broj.

)10(32241280

1316142565

161616

)16(

1507

31453E5

012

)1( ....0

0

1

1

1

1 qaqaqaqan

n

n

n

x

Primer 4. Konverzija iz decimalnog u

heksadecimalni brojni sistem

Konvertovati 4328(10) u heksadecimalni broj.

(1)016:1

(0)116:16

E)(141616:270

(8)27016:4328

)16()10( 8E104328

Primer 5. Konverzija iz binarnog u

heksadecimalni brojni sistem

Konvertovati 110111110(2) u heksadecimalni broj.

Konverzija se vrši grupisanjem po 4 cifre binarnog broja, počevši sa desne strane:

1110(2) = 14(10) = E(16)

1011(2) = 11(10) = B(16)

1(2) = 1(10) = 1(16)

110111110(2) = 1BE(16)

Primer 6. Konverzija iz heksadecimalnog

u binarni brojni sistem

Konvertovati 3A9(16) u binarni broj.

Konverzija se vrši tako što se svaka cifra heksadecimalnog broja konvertuje u 4 cifre binarnog broja:

9(16) = 9(10) = 1001(2)

A(16) = 10(10) = 1010(2)

3(16) = 3(10) = 0011(2)

3A9(16) = 001110101001(2)=1110101001(2)

1.3 Sabiranje

binarnih brojeva

Važe ista pravila kao za sabiranje

decimalnih brojeva.

Tablica sabiranja:

1111101011011011000101110100101010000000scbac izul

Primer 7. Sabiranje

binarnih brojeva

Sabrati brojeve 10110111(2) i 10011010(2)

10001010101011001

11101101

01111101

BAB

A

cul

1.4 Oduzimanje

binarnih brojeva

Tablica oduzimanja:

1111100011011011100100110100101110000000

rpbap izul

Primer 8. Oduzimanje

binarnih brojeva

Oduzeti broj 10011010(2) od broja 10110111(2)

10111000

01011001

11101101

00

BA

B

A

1.5 Množenje

binarnih brojeva

Množenje se obavlja tako što se množenik

množi svakom cifrom množioca, a potom se

parcijalni proizvodi, pomereni za po jedno

mesto u levo, sabiraju.

Primer 9. Množenje

binarnih brojeva

Pomnožiti brojeve 1100(2) i 1101(2)

00111001

0011

0011

0000

001110110011

Primer 10. Deljenje

binarnih brojeva

1011000

1011

0000100

1011101011011:100010001

Podeliti broj 100010001(2) sa brojem 1101(2)

Vežbe

BIN → DEC

11010011(2) = 1·27+1·26+0·25+1·24+0·23+0·22+1·21+1·20

= 128+64+16+2+1 = 211(10)

10000100(2) = 1·27+0·26+0·25+0·24+0·23+1·22+0·21+0·20 =

128+4 = 132(10)

11110001(2) = 1·27+1·26+1·25+1·24+0·23+0·22+0·21+1·20

= 128+64+32+16+1 = 241(10)

110101011(2) = 1·28+1·27+0·26+1·25+0·24+1·23+0·22+1·21+1·20 = 256+128+32+8+2+1 = 427(10)

BIN → DEC

)10()2(

22222222

149141612810101001

01234567

)10()2(

1248163264128

1991246412811100011

)10()2(

1248163264128256

307121632256110011001

)10()2(

1248163264128256

35643264256001001101

DEC → BIN

238(10) =11101110(2) 132(10) =10000100(2)

MSB (1)02:1

(1)12:3

(1)32:7

(0)72:14

(1)142:29

(1)292:59

(1)592:119

LSB (0)1192:238

MSB (1)02:1

(0)12:2

(0)22:4

(0)42:8

(0)82:16

(1)162:33

(0)332:66

LSB (0)662:132

HEX → DEC

2FC(16) = 2·162+15·161+12·160 =

2·256+15·16+12·1 = 512+240+12 = 764(10)

A48(16) = 10·162+4·161+8·160 =

10·256+4·16+8·1 = 2560+64+8 = 2632(10)

382(16) = 3·162+8·161+2·160 =

3·256+8·16+2·1 = 768+128+2 = 898(10)

DEC → HEX

(4)016:4

D)(13416:77

B)(117716:1243

B)(11016:11

(1)1116:177

(1)17716:2833

1243(10) = 4DB(16)

2833(10) = B11(16)

HEX → BIN

DEC BIN HEX

0 0000 0

1 0001 1

2 0010 2

3 0011 3

4 0100 4

5 0101 5

6 0110 6

7 0111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

HEX → BIN

BAE(16) = 1011 1010 1110(2)

4EF(16) = 0100 1110 1111(2)

52C3(16) = 0101 0010 1100 0011(2)

658(16) = 0110 0101 1000(2)

304A(16) = 0011 0000 0100 1010(2)

BIN → HEX

1001 1010(2) = 9A(16)

1101 1000(2) = D8(16)

1010 1101 1001(2) = AD9(16)

10 0101 1010 1111(2) = 25AF(16)

1 0111 1011 1110 0101(2) = 17BE5(16)

Sabiranje

101101011

01001101

11011111

01001111

BA

B

A

cul

A = 11111011(2) = 128+64+32+16+8+2+1 = 251(10)

B = 10110010(2) = 128+32+16+2 = 178(10)

A+B = 110101101(2) = 256+128+32+8+4+1 = 429(10)

001011101

11011101

10011101

11011101

BA

B

A

cul

A = 10111001(2) = 128+32+16+8+1 = 185(10)

B = 10111011(2) = 128+32+16+8+2+1 = 187(10)

A+B = 101110100(2) = 256+64+32+16+4 = 372(10)

000101011

10110111

11011101

11111111

BA

B

A

cul

A = 10111011(2) = 128+32+16+8+2+1 = 187(10)

B = 11101101(2) = 128+64+32+8+4+1 = 237(10)

A+B = 110101000(2) = 256+128+32+8 = 424(10)

Oduzimanje

01100100

10101001

11011101

0

BA

B

A

11000100

11101101

01011011

0100

BA

B

A

01100100

11111001

10100011

01110

BA

B

A

01110000

11111101

10110011

00110

BA

B

A

Množenje

0101101

0101

0000

0000

010110010101

0001111

0011

0000

0011

000001010011

11110001

1101

1101

0000

110110111101

1010111

1011

0000

0000

101110011011

Deljenje

1110101:1001=1101

-1001

01011

-1001

001001

-1001

0000

11000110:1001=10110

-1001

001101

-1001

01001

-1001

00000

100110010:10001=10010

-10001

00010001

-10001

000000