CEPUNT MATEMÁTICA Equipo de Matemática 200 1. LOGARITMOS 1.1 Definición: El logaritmo de un número real positivo en una base positiva diferente de la unidad, se define como el exponente al cual hay que elevar la base “b” para obtener como resultado el número “N” tal que cumpla: b x = N. Así: Ejemplo 1: El valor de “x” en 25 log 5 3 x es: Resolución: Aplicando definición de logaritmo: 3 5 25 x 2( 3) 5 (5) x 2 6 5 (5) x 2x + 6 = 1 5 2 x 1.2 Propiedades generales: “LOGARITMOS” a) En el campo de los números reales no existe logaritmos de cantidades negativas; pero sí en los complejos. b) Si la base es mayor que la unidad, entonces: logb = +y logb0 = –c) Si la base es menor que la unidad, entonces: logb = y logb0 = +d) logbb = 1; logb1 = 0 e) logbMN = logbM + logbN, siendo A>B>0 ; b>0 y b 1 f) logb N M = logbM - logbN, siendo M>N>0 ; b>0 y b 1 g) logbN p = p logbN, p R, siendo N>0 ; b>0 y b 1 b x = N logbN = x Logaritmo del número en la base dada base Número
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Equipo de Matemática 200
1. LOGARITMOS
1.1 Definición:
El logaritmo de un número real positivo en una base positiva diferente de la unidad, se define como el exponente al cual hay que elevar la base “b” para obtener como resultado el número “N” tal que cumpla: b x = N. Así:
Ejemplo 1: El valor de “x” en 25log 5 3x es:
Resolución:
Aplicando definición de logaritmo: 35 25x
2( 3)5 (5) x 2 65 (5) x 2x + 6 = 15
2x
1.2 Propiedades generales:
“LOGARITMOS”
a) En el campo de los números reales no existe logaritmos de cantidades negativas; pero sí en los complejos.
b) Si la base es mayor que la unidad, entonces:
logb = + y logb0 = –
c) Si la base es menor que la unidad, entonces:
logb = y logb0 = +
d) logbb = 1; logb1 = 0
e) logbMN = logbM + logbN, siendo A>B>0 ; b>0 y b 1
f) logb
N
M = logbM - logbN, siendo M>N>0 ; b>0 y b 1
g) logbNp = p logbN, p R, siendo N>0 ; b>0 y b 1
bx = N
logbN = x
Logaritmo del número en la base dada
base
Número
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1.3 Cologaritmo El cologaritmo de un número es igual al logaritmo de la inversa del número dado. Llamado también aditivo inverso del logaritmo (al sumar el logaritmo de un número con su respectivo cologaritmo el resultado será cero) Es decir:
h) logbp
N = p
1logbN, p R – {0}
i) logbN = p
bNlog p =
p
bNlog p , p R – {0}
j) p
bNlog q =
q
plogbN, p, q R – {0}
k) logbN = blog
Nlog
a
a
l) logba loga b = 1
m) Nlogbb = N
n) alogclog bb ca
o) log a b = alog
1
b
p) Si logba loga N = logb N, entonces:
logba loga c logcd logdN = logb N (Regla Cadena)
q) Nlog
b
1 = –logb N, Nlog
Nlog
a
b = log b a
r) log b M = log b N M = N
Siendo N>0 y b>0, b1; se define: cologbN = logb
N
1 = –logb N
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Propiedades:
Siendo M>0 y N>0, b>0 y b1, p ¡ ; se cumple que:
1.4 Antilogaritmo: Se define como el número que da origen al logaritmo.
Propiedades:
Ejemplos:
1) antilog5 (-2) = 5-2 = 25
1 = 0,04
2) k = antilog2
)4(logantilogco2
3
3
133)2loganti(log
En : 4333 )3(logco2)4(logantilogco2
cologb 1 = 0 ; cologb b = 1
N
1a
Nlogco a
cologbbp = -p, pR
cologb MN = cologb M + cologb N
cologb
N
M = cologb M – cologb N
cologbNp = p cologb N
antilogb x = bx; b>0 y b1, xR.
antilog x = exp10 (x) = 10x
antiloge x = exp (x) = ex
antilogb (logb N) = N , N>0
logbantilogb x = x , xR
antilogb (x + y) = antilogbx .antilogb y
antilogb (px) = (antilogb x)p
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4)1(43log2 23
Entonces:
K = 4
3
3
12)2loganti(logloganti
K = 42
3
12)3(logloganti =
8
3
123logloganti
K =
8
3
12 3
1logloganti
= )8(loganti
2
K = 82
K = 42
1.5 Sistema de logaritmos: De la definición de logaritmo se deduce que cualquier número positivo, diferente de la unidad, puede utilizarse comobase de un sistema de logaritmos; por lo tanto, el número de sistema de logaritmo es ilimitada. Los de mayor aplicación matemática en diferentes áreas son:
logaritmos decimales y logaritmos naturales.
1.5.1 Logaritmos vulgares, decimales o de Briggs.
Son aquellos que tienen como base del logaritmo al número 10.
Notación:
Ejemplo: log 10000 = log 104 = 4
log10 N = log N
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Partes de un logaritmo decimal
Sea log 80 = 1,903090...
Se tiene:
Característica: 1 Mantisa: 903090...
Propiedades:
1.5.2 Logaritmos naturales, neperiano o hiperbólico.
El matemático escocés John Neper fue quien implementó este sistema, cuya base es el número irracional “e= 2,7182…”
Notación:
Ejemplos:
1) Ln e5 = 5
2) e Ln7 = 7
log e N = Ln N
Cuando N=10x y xZ: log N = x
Cuando 1<N<10: 0 < log N < 1
Cuando: N > 10: log N > 1
Cuando 0<N<1: log N < 0
NOTA La función f(x) = ex se puede escribir mediante la serie de Maclaurin, así:
2 3
1
1 ...2! 3! !
nx
n
x x xe x
n
Si 1 1 1
1; 1 ... 2,7182...1! 2! 3!
x e
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1.6 Conversión de logaritmos decimales a Logaritmos Neperianos: Supongamos que se conoce loge, utilizando la fórmula del cambio de base, se tiene:
Ejemplo: El logaritmo neperiano de 10000 es:
Resolución:
loge 10000 = 2,3026 log 10000= 2,3026 4= 9,2104
1.7 Conversión de logaritmos Neperianos a logaritmos decimales:Usando la fórmula anterior:
Ejemplo: El logaritmo decimal de 256, si ln4=1,36863, es:
Resolución:
log 256 = 0,4343 ln 256 = 0,4343 ln 44
= 4(0,4343)(1,36863)
= 2,377584
1.8 EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. El valor de “b” que satisface la igualdad 33log3
b es:
A) 3
3 B) 3 C) 3 D) 3 3 E)
33 3
Resolución
10 1010
10
log loglog ln 2,3026 log
log 0,4343e
N NN N
e
3026,2
Nln
10log
NlogNlog
e
e Log N = 0,4343 ln N
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Por definición 33 3b , extrayendo raíz cuadrada, se tiene
Es aquella ecuación trascendente donde, por lo menos, una incógnita está afectada del operador logaritmo. Ejemplos: 1. Log3 (x+2) = log3 (x-2) 2. Logx(x3-1) = 2 3. X + log2 3 = 5 (no es ecuación logarítmica)
Resolución.
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Sea la ecuación:
Debemos garantizar la existencia de los logaritmos, para ello
debemos analizar la base y las expresiones M y N que dependan de la incógnita, es decir, debemos hallar los valores de la incógnita que satisfagan lo siguiente:
0 0 0 1M N a a
Calculamos los posibles valores de la incógnita haciendo: M = N
Finalmente, las soluciones de la ecuación se encontrarán los valores obtenidos en y
CASOS:
Caso 1: 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1
Caso 2: b>0, b1
Donde; CVA: Conjunto de valores admisibles
Caso 3: b>0, b1
Caso 4: b>0, b1
Si: 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐸(𝑥) = 𝑎 ⟺ {𝐸(𝑥) > 0
𝐸(𝑥) = 𝑎𝑏
Si: 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐸(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐺(𝑥)
⟺ {𝐸(𝑥) > 0 ∧ 𝐺(𝑥) > 0, 𝐶𝑉𝐴
𝐸(𝑥) = 𝐺(𝑥)
Si: 𝑙𝑜𝑔𝐺(𝑥)𝐸(𝑥) = 𝑏
⟺ {𝐸(𝑥) > 0 ∧ 𝐺(𝑥) > 0 ∧ 𝐺(𝑥) ≠ 1: 𝐶𝑉𝐴
𝐸(𝑥) = [𝐺(𝑥)]𝑏
Si: 𝑙𝑜𝑔𝑏𝐸(𝑥) + 𝐺(𝑥) = 𝑎
⟺ {𝐸(𝑥) > 0 ∧ 𝐺(𝑥) > 0, 𝐶𝑉𝐴
𝐸(𝑥). 𝐺(𝑥) = 𝑏𝑎
11
21
31 1
121
21
logbM = logb N
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Ejemplos:
1. Caso 1: Resolver log2 (x2 + 3x) = 2
Resolución: La ecuación equivale a resolver
x2 + 3x > 0 x2 + 3x = 22, donde x2 + 3x > 0; determina el CVA de la ecuación inicial y x2 + 3x – 4 = 0; obtenemos que
x2 + 3x – 4 = 0 x = 1 ó x = -4 En consecuencia; como satisface la desigualdad, x=1, x=-4 son soluciones de la ecuación original.
2. Caso 2: El valor de “x” en log2 (x2 – 4) = log2 (4x – 7) es: Resolución: