1 Licence 3 – Outils mathématiques & statistiques
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Licence 3 – Outils mathématiques &statistiques
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Série d’évènementsLe problèmePhénomènes aléatoiresTester les tendancesTester l’uniformitéTester un motif
CyclicitéAutocorrélationMéthodes de Fourier
Plan
3
1229 1376 1583 1780 1927
1239 1377 1584 1804 1928
1240 1387 1587 1806 1929
1265 1388 1598 1814 1931
1269 1434 1611 1815 1932
1270 1438 1612 1826 1933
1272 1473 1613 1827 1934
1273 1485 1620 1828 1935
1274 1505 1631 1829 1938
1281 1506 1637 1830 1949
1286 1522 1649 1854 1950
1305 1533 1668 1872 1951
1324 1542 1675 1874 1953
1331 1558 1683 1884 1954
1335 1562 1691 1894 1955
1340 1563 1708 1897 1956
1346 1564 1709 1906 1957
1369 1576 1765 1916 1958
1375 1582 1772 1920 1962
Années d’éruption du volcan Aso durant la période 1229-1962
Séries d’évènements - Le problème
4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1200 1400 1600 1800 2000
year
no
mb
re d
'eve
nem
ents
Cum n
Régulier ou pas?
Séries d’évènements - Le problème
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Séries d’évènements - Le problème
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Le plus simple : traiter une série de dates!
But: rechercher un critère d’extrapolation, de compréhension…
GéologieTremblements de terre, éruptions volcaniques, impacts météoritiques, extinctions de masse.
Les données sont regardées comme des points dans le temps :très courts face à la période considérée.
Données excédant un seuil (threshold).
Séries d’évènements - Le problème
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Comment faire?
La fin du temps est souvent le présentChoix d’un seuil suivant des critères précis (i.e. séismes)
Si c’est aléatoire (random) c’est cuit! Sinon : régularité (regularity), tendance (trend), motif (pattern).
Importance de la définition du départ et de la fin de la période ciblée. Les évènements ne doivent pas être les limites sinon biais.
Séries d’évènements - Le problème
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Aléatoire (randomness): l’occurrence d’un événement n’affecte pas la probabilité d’occurrence des autres évènements.
Indépendance: Pas très respectée en géologie séismes ou éruptions volcaniques relâchent des contraintes ou causent des instabilités.
Séries d’évènements - Le problème
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10 ans = 10 x 1 an
10 évènements aléatoires
Nombre d’intervalles ou l’on attend k évènements donné par le modèle de Poisson :P(k)xT (vu en L1)
!)(
k
ekP
k
n : nombre total d’évènements, T : nombre d’intervalles = n/T
-> Test du 2
Série d’évènements - phénomène aléatoire
10
H0 : Les évènements sont distribués aléatoirement dans le tempsH1 : Les évènements sont groupés ou réguliers
Avec n évènements, dans T intervalles. (Oj) : nombre d’intervalles observés avec j évènements comparés à (Ek) prédits par la distribution de Poisson. Test du chi-2 (vu en L1)
)(kPTEk
k
kk
E
EO 22 )(
Ek > 5d.l = (nombre de classes – 2)
ATTENTION : Ce test ne convient pas aux tendances (augmentation ou diminution de la fréquence dans le temps)
Série d’évènements - phénomène aléatoire
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Un exemple:
Dans une série de 45 m de carbonates du Dévonien, des horizons de tufs apparaissent :
Position en m:0.5 2.3 3.2 4.2 4.9 7.0 11.4 12.7 14.616.0 21.5 22.5 25.8 30.3 31.9 36.2 42.8
La position est-elle aléatoire?
Série d’évènements - phénomène aléatoire
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Intervalle k
0-33-66-9
9-1212-1515-1818-2121-2424-2727-3030-3333-3636-3939-4242-45
231121021020101
Observation
k Ok
01234
46410
Distribution de fréquenceobservée:
Série d’évènements - phénomène aléatoire
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Nombre d’intervalles : T = 15Nombre d’évènements : n = 17
Pour k=0, E0= 15 x e-17/15 = 4.829
k Ek
012345
4.8295.4703.1011.1730.3330.063
!k
eTE
k
k
Série d’évènements - phénomène aléatoire
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Test du 2.
H0: les données viennent d’une distribution de Poisson (randomness)H1: Les données ne sont pas issues d’une distribution de Poisson
k Ok Ek (Ok-Ek)2/Ek
01
2-infTotal
465
15
4.8295.4704.701
15
0.1420.0510.019
2=0.212
A peu près 5 dans chaque classe : ok= 0.05, dl = 3 (c’est le nbre classes) – 1 = 22 = 5.99H0 n’est pas rejeté. Les données peuvent s’ajuster à la distribution de Poisson
ATTENTION : Ce test ne convient pas aux tendances
Série d’évènements - phénomène aléatoire
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Trend : fréquences croissantes ou décroissantes.
Changement de fréquences = changement dans la longueur des intervalles entre les évènements.
Graphe ordinal entre le numéro des évènements et l’intervalle entre événement.
Statistiques non-paramétriques :coefficient de Spearman (vu en L2!).
Charles Spearman (1863-1945)
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
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Echelle de la 1ere variable : ordinaleEchelle de la 2eme variable : intervalle
rs :coefficient de rang (Spearman)
)1(
)(61
21
2
nn
hRir
n
ii
s
longs scourts/plu plus deviennent sintervalle Les.0:
trendde Pas.0:
1
0
s
s
H
H
hi : longueur du i ième intervalle.n = nbre d’intervalles = nbre d’évènements -1.
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
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Position en m:0.5 2.3 3.2 4.2 4.9 7.0 11.4 12.7
14.6 16.0 21.5 22.5 25.8 30.3 31.9 36.2 42.8
Intervalles1.8 0.9 1.0 0.7 2.1 4.4 1.3 1.9
5.5 1.0 3.3 4.5 1.6 4.3 6.6
Même jeu de données que tout à l’heure
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
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Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
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Rang de l’obs. Intervalle hi Rang de hi D2 = (Rang obs-Rang de hi)2
123456789
10111213141516
1.80.91.00.72.14.41.31.91.45.51.03.34.51.64.36.6
82
3.51
1013596
153.511147
1216
490
0.259
2549419
2556.25
11
4990
D2=287.5
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
20
)1(
61
21
2
nn
Dr
n
is
rs = 0.577. = 0.05 et n = 16, rs critique = 0.427
La valeur calculée excède la valeur critique.Il y a une tendance!
Série d’évènements – Tester les tendances (trends)
21
Les évènements uniformément distribués peuvent se retrouver en géologie quand l’occurrence d’un événement réduit la probabilité d’autres évènements dans un futur proche mais l’augmente après.
Ex: séismes
Test de Kolmogorov (K test) : hypothèse nulle d’uniformité. (vu en L2)
Série d’évènements – Tester l’uniformité
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Basé sur un diagramme de cumul de fréquence. On recherche la différence verticale maximale entre le modèle et les data.
Tester l’uniformité
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Test sensible aux tendances et aux clusters (regroupements)
Le calcul du K met en jeu la proportion d’évènements ayant eu lieu (i/n) et la proportion de temps écoulé (ti/T).
n évènements, T temps total.
Calcul de (i/n) – (ti/T) et ((i-1)/n) – (ti/T)
Plus ces différences sont petites, plus c’est uniforme
Tester l’uniformité
24
Kolmogorov test
H0 : les évènements sont uniformes ou aléatoiresH1 : les évènements sont regroupés ou avec une tendance
TtniTtninK ii //,//1max
K est comparé avec des valeurs critiques issues de tables
Un exemple avec toujours les mêmes données…
Tester l’uniformité
25
i ti/T i/n (i-1)/n ti/T-i/n ti/T-(i-1)/n
123456789
1011121314151617
0.0110.0510.0710.0930.1090.1560.2530.2820.3240.3560.4780.5000.5730.6730.7090.8040.951
0.0590.1180.1760.2350.2940.3530.4120.4710.5290.5880.6470.7060.7650.8230.8820.9411.000
00.0590.1180.1760.2350.2940.3530.4120.4710.5290.5880.6470.7060.7650.8230.8820.941
-0.048-0.067-0.105-0.142-0.185-0.197-0.159-0.189-0.205-0.232-0.169-0.206-0.192-0.150-0.173-0.137-0.049
0.011-0.008-0.047-0.083-0.126-0.138-0.100-0.130-0.147-0.173-0.110-0.147-0.133-0.092-0.114-0.0780.010
1/17
0,5/45
Tester l’uniformité
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K = 4.126 x 0.232 = 0.957
Valeur critique dans la table pour = 0.05 et n = 17 : 0.318
On rejette l’hypothèse nulle. Les évènements ne sont pas uniformes.Ici, plus haute densité en début de série.
Tester l’uniformité
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n Alpha = 0.10 Alpha = 0.05 Alpha = 0.011 0,95 0.9750 0.9950 2 0,7764 0.8419 0.9293 3 0,636 0.7076 0.8290 4 0,5652 0.6239 0.7342 5 0,5095 0.5633 0.6685 6 0,468 0.5193 0.6166 7 0,4361 0.4834 0.5758 8 0,4096 0.4543 0.5418 9 0,3875 0.4300 0.5133
10 0,3697 0.4092 0.4889 11 0,3524 0.3912 0.4677 12 0,3381 0.3754 0.4491 13 0,3255 0.3614 0.4325 14 0,3142 0.3489 0.4176 15 0,304 0.3376 0.4042 16 0,2947 0.3273 0.3920 17 0,2863 0.3180 0.3809 18 0,2785 0.3094 0.3706 19 0,2714 0.3014 0.3612 25 0,2377 0.2640 0.3166 30 0,2176 0.2417 0.2899 35 0,2019 0.2242 0.2690 40 0,1891 0.2101 0.2521 45 0,1786 0.1984 0.2380 50 0,1696 0.1884 0.2260 60 0,1551 0.1723 0.2067 70 0,1438 0.1598 0.1917 80 0,1347 0.1496 0.1795 90 0,1271 0.1412 0.1694
100 0,1207 0.1340 0.1608 n>100 1,223/racine(n) 1,358/racine(n) 1,629/racine(n)
Formulaire - Table de la loi de Kolmogorov-Smirnov
Tester l’uniformité
28
Il y a des distributions non aléatoires qui ne vont pas être détectées avec les méthodes précédentes : patterns.
Par exemple phases d’activité (pattern = uniformité + clusters)
On considère une succession d’intervalles. Calcul d’un coefficient de corrélation (de Spearman) entre h et h+1.Si il n’y a pas de pattern, rs = 0.Si rs < 0 : intervalles longs puis courtsSi rs > 0 : les intervalles successifs sont similaires
Tester un motif (pattern)
29
)1(
)()(61
21
21
nn
hRhRr
n
iii
s
H0 : Pas de relation entre les intervalles successifsH1 : corrélation entre la longueur des intervalles successifs
n = (nbre d’évènements) – 2
Tester un motif (pattern)
30
hi R(hi) hi+1 R(hi+1) (R(hi)- R(hi+1))2
1.80.91.00.72.14.41.31.91.45.51.03.34.51.64.3
82
3.51
1013596
153.511147
12
0.91.00.72.14.41.31.91.45.51.03.34.51.64.36.6
23.519
12586
143.510137
1115
362.256.25644
6499
64132.2542.25
449169
=511
Tester un motif (pattern)
31
hi hi+1 R(hi) R(hi+1)
1,8 0,9 8 2
0,9 1 2 3
1 0,7 3 1
0,7 2,1 1 9
2,1 4,4 10 12
4,4 1,3 13 5
1,3 1,9 5 8
1,9 1,4 9 6
1,4 5,5 6 14
5,5 1 15 3
1 3,3 3 10
3,3 4,5 11 13
4,5 1,6 14 7
1,6 4,3 7 11
4,3 6,6 12 15
Tester un motif (pattern)
32
rs = 0.0875rs critique pour = 0.05 et n = 15 : 0.443
Nous ne rejetons pas H0. Il n’y a pas de corrélation évidente entre les intervalles successifs. Les intervalles consécutifs semblent être indépendants.
Tester un motif (pattern)
33
t hi hi+1 r(Hi) r(hi+1
3 1,2 0,91 5 4
4,2 0,91 8,89 4 11
5,11 8,89 2,4 11 9
14 2,4 1,4 9 6
16,4 1,4 7,5 7 10
17,8 7,5 0,7 10 3
25,3 0,7 1,5 3 7
26 1,5 0,5 8 2
27,5 0,5 12 2 13
28 12 1,3 13 5
40 1,3 9,3 6 12
41,3 9,3 0,4 12 1
50,6 0,4 1,56 1 8
51 1,56
52,56 -0, 5
0, 5
0 10 20 30 40 50 60
Tester un motif (pattern)
34
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15
R(hi)
R(h
i+1)
Tester un motif (pattern)
Décalage de 100h, puis 200h etc…
Décalage de 100h, puis 200h etc…
• Comparer les valeurs observées en un point avec les valeurs observées en un ou plusieurs points plus tôt (valeurs retardées - lagged values).
• Notion importante en analyse spatiale
Temp45,042,540,037,535,0
45,0
42,5
40,0
37,5
35,0
45,042,540,037,535,0
TempLag1 TempLag24
Scatterplot of TempLag1; TempLag24 vs Temp
Hour
Tem
p
7002200130040019001000100160070022001400
45,0
42,5
40,0
37,5
35,0
Time Series Plot of Temp
Chaque observation est très semblable à sa valeur adjacente (lag = 1); mais aussi à la même observation 24h plus tôt (lag = 24).
Chaque observation est très semblable à sa valeur adjacente (lag = 1); mais aussi à la même observation 24h plus tôt (lag = 24).
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
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Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
Chronogramme. L’evolution des T° a Nottingham Castle
L’idée: Trouver le pattern et en tirer avantage.
La corrélation entre les données originales et les k-lagged se nomme l’autocorrélation d’ordre k.
L’Autocorrelation Function (ACF) donne les coefficients de corrélation entre pour les lag consécutifs.
Le corrélogramme est la représentation graphique de l’ACF.
Attention si les séries ont une variance instable. Une transformation est nécessaire avant d’utiliser l’AFC.
Lag
Auto
corr
ela
tion
24222018161412108642
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
Autocorrelation Function for Temp(with 5% significance limits for the autocorrelations)
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
Attention pour la préparation des données:
• Les observations doivent être régulièrement espacées dans le temps
• Toute tendance linéaire doit être éliminée avant l’analyse
• Règle empirique: au moins 50 valeurs dans la série, le lag ne doit pas excéder n/4.
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
39
Séries temporelles – cyclicité. Autocorrélation
Test de significativité du coefficient d’autocorrélation.
)3( nrzr
Avec le lag, rs le coefficient d’autocorrelation pour ce lag et n le nombre d’observations.Zr suit une loi normale centrée réduite. Les bornes sont -1.96 et 1.96 à 95% de confiance.
H0 : rs = 0H1 : rs ≠ 0
Années
1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
CO
2 (p
pm
)
310
320
330
340
350
360
370
Superposition de plusieurs signauxQuels sont leurs origines?
Variation séculaireVariation annuelle?
ICI C’EST TRES SIMPLE… MAIS CE N’EST PAS TOUJOURS LE CAS
Augmentation du CO2 dans l’atmosphère en fonction du temps.
Séries temporelles – cyclicité. Méthodes de Fourier
Prenons un autre exemple:
-37
-36,5
-36
-35,5
-35
-34,5
-34
-33,5
-33
0 2000 4000 6000 8000 10000
Years BP
D18
O
Variation du 18O dans la carotte GISP-2 du Groenland sur les 10000 dernières années
Séries temporelles – cyclicité. Méthodes de Fourier
Décomposition de la lumière par un prisme
Décomposition d’un signal temporel par transformée de Fourier
Séries temporelles – cyclicité. Méthodes de Fourier
Principe de la transformée de Fourier
Elimination du bruit par lissage (Smoothing)
Données brutes = 1 signal + bruit.Le bruit apparaît sur les hautes fréquences. Il a peu d’influence sur les données
adjacentes et peut être réduit en moyennant une courte série.
Utilisation de moyennes arithmétiques pondérées.
Questions :
1. Nombre d’observations prises en compte?2. Valeur des poids?
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - traitement préalable
ti-2 ti-1 ti ti+1 ti+2
-3 12 17 12 -3
Quadratic polynomial smoothing : 5 termes
yi’=(-3yi-2 + 12 yi-1 + 17 yi + 12 yi+1 – 3 yi+2) / 35
No termes ti ti+1
ti-1
ti+2
ti-2
ti+3
ti-3
ti+4
ti-4
579
177
59
126
54
-33
39-214 -21
Quadratic polynomial smoothing : 5-9 termes
Séries temporelles – cyclicité. Traitement préalable
Lignes de croissance
0 20 40 60 80 100 120 140
Bru
tes
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Lignes de croissance
0 20 40 60 80 100 120 140
Lis
sée
s (m
oye
nn
e s
ur
5 p
oin
ts)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Lignes de croissance
0 20 40 60 80 100 120 140
Lis
sée
s (m
oye
nn
e s
ur
9 p
oin
ts)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - traitement préalable
Les tendances doivent être éliminées avant traitement par transformée de Fourier.
Si il y a un trend linéaire
y = a + bt
On doit travailler sur le résidu:
i = yi – bti - a
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - traitement préalable
Décomposition d’une série temporelle en une suite de sinusoïdes (amplitude, phase et fréquence).
cosyVoyons le plus simple
Ajoutons l’amplitude cosAy
Comment changer la fréquence?
Et la phase?
)cos( kAy
)cos( kAy
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
)sin()cos( kky kkk
kkkkkk AA sinet cos
)cos( kkk kAy
Donc pour une fréquence spécifique on a:
Comme on a également :
RSRSSR sinsincoscos)cos(
On tire )sin(sin)cos(cos kAkAy kkkkk
En posant:
On tire
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
])sin()cos([ kkY kk
Finalement on somme toutes ces sinusoïdes!! Toutes les fonctions, à condition qu’elles soient continues, et qu’il n’y ait qu’une valeur de Y pour chaque valeur de X, peuvent être écrites sous la forme:
Relation de Fourier
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Sum of Three Harmonics
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 3,14 6,28
Time
Wa
ve
Am
plit
ud
e
N=1
N=3
N=5
Sum
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
L’amplitude pour une fréquence donnée :
)( 22 kA
En général on définit plutôt la puissance ou la variance:
22
2222 kk
As
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Calcul très complexe alors tout à l’ordinateur!
Algorithme FFT (Fast Fourier Transform) mais quelques contraintes :
1. Les données doivent être également espacées dans le temps2. Le nombre de données doit être 2n avec n entier.3. Il ne doit pas y avoir de trend4. Les fréquences entières sont calculées5. En conséquence de 4. Les cycles doivent être complets.
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Problème en géologie dans la définition du temps
Sédiments : • 1 varve = 1 an
• Croissance sur les coquilles : rythmes lunaires, années, jours…
• Si le taux de sédimentation est constant, alors le temps est assimilable à une distance.
• Quoi qu’il en soit, attention à la corruption du temps!
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Les résultats sont exprimés sous forme de puissance (power spectrum)
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Simulation:
par exemple:
avec 1 = fréquence de la fondamentale (en Hz) fois 2,
s(t) = sin(1t) + 0.75*sin(3*1t) + 0.5*sin(5*1t) + 0.14*sin(7*1t) + 0.5*sin(9*1t) + 0.12*sin(11*1t) + 0.17*sin(13*1t)
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Si T temps total et présence d’un pic à k, la période peut être calculée avec T/k.
Contrainte: La fréquence maximale est déterminée par le nombre d’observations /2. Fréquence de Nyquist.
Problème: l’aliasing! La variance de tous les signaux dont la fréquence est supérieure à la fréquence de Nyquist seront ajoutées aux variances des plus basses fréquences dans le périodigramme!!!
Solution: on filtre les hautes fréquences.
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Mathématiques
Filtres :
Séries temporelles – cyclicité. Fourier - Filtres
Bruit blanc : La puissance est uniformément distribuée sur le spectre
Séries temporelles – cyclicité. Fourier – Le bruit
Bruit rose: C’est un bruit dit "1/f noise’. Perte de 3dB a chaque octave. C’est le bruit le plus fréquent dans la nature.
Séries temporelles – cyclicité. Fourier – Le bruit
Bruit bleu: gain de 3dB a chaque octave.
Séries temporelles – cyclicité. Fourier – Le bruit
Séries temporelles – cyclicité. Fourier « glissant »
Les données réelles sont bruitées (noisy) -> pics mineurs (spikes)Question : signal ou bruit? Réponse : g-test, White noise test.
2
2max
2ˆ
s
sg
H0: Puissance à f due à un phénomèneAléatoireH1: Une cyclicité existe à cette fréquence
Valeur critique:
1
lnln
1
m
mp
eg p= niveau de signification (=0.05)m=(nombre d’observations)/2
Variation totale
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
Série1
Lignes de croissance sur des nautiles du Silurien
Puissance=1,28k=12 (freq max)Variance totale: 9,9n=128m=n/2=64
107,0
07,0ˆ
critg
g
On ne rejette pas H0.Conclusion: Ce pic peut résulter d’un phénomène aléatoire
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
‘White-noise’ test
Puissance uniformément distribuée le long du spectre?
Basé sur le KS test
Puissance cumulée vs. fréquence.
Hypothèses:H0: bruit blancH1: ce n’est pas un bruit blanc
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
2/
1
2
1
2
ˆn
ii
k
ii
k
s
s
Proportion de puissance cumulée à la fréquence k.
n
kk
2
Si bruit blanc, ce qui est attendu
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
Avec a=0.05, les intervalles de confiance sont:
12
36.12
nn
k et
12
36.12
nn
k
Si gk sort de l’intervalle, il y a 95% de chances pour que les données ne résultent pas d’un processus type ‘bruit blanc’
Séries temporelles – cyclicité. Tests de significativité
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Excentricité de l’orbite terrestre (100,000 ans)
Précession de l’axe de la Terre (26,000 ans)
Angle d’inclinaison sur l’axe (40,000 ans)
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
F re q u e n c y (H z )
0 2 4 6 8 1 0
No
ise
in
ten
sity
(d
B)
- 7 0
-6 0
-5 0
-4 0
-3 0W
ith
in-r
un
RS
D%
0 ,0
0 ,2
0 ,41 .5 0 m L .m in -1
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
Fréquence d'échantillonnage et bande passante: Pour définir numériquement un son de fréquence F, il faut appliquer une fréquence d'échantillonnage Fs telle que: Fs>2F.La valeur du taux d'échantillonnage pour un cd, par exemple n'est pas arbitraire, elle découle en réalité du théorème de Shannon/Nyquist, qui stipule que pour numériser fidèlement une valeur ayant une fréquence donnée, il faut numériser au double de cette fréquence. Or l'oreille humaine n'arrive pas à distinguer des sons dont la fréquence dépasse 22 000 Hz, ainsi il faut numériser à 44 000 Hz soit 44 kHz.
Différent taux d'échantillonnage : - 44 kHz : qualité cd- 22 kHz : qualité radio- 8 kHz : qualité téléphone
http://www3.leradome.com/bdd-heureka/numerisation/numerisation-du-son.htm
Séries temporelles – cyclicité. Exemples
R=2n-1 (Où n est le nombre de bits).Ainsi les formats utilisés sont:
8 et 16 bits en micro-informatique et minidisque Sony 16 bits en audio amateur (CD et DAT) 16, 18, 20 et 24 bits en audio professionnelle
Codage sur 8 bits : 256 valeurs possiblescodage sur 16 bits: 65 536 valeurs possibles
Quelle est la signification pratique de la résolution ? Plus on enregistre un son avec une résolution élevée, plus on va pouvoir en enregistrer les infimes détails. La précision maximale obtenue est celle du plus petit échantillon.
Analyse de Fourier – Principe du CD