1 Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de UNIACC o de los otorgantes de sus licencias. No está permitido copiar, reproducir, reeditar, descargar, publicar, emitir, difundir, poner a disposición del público ni utilizar los contenidos para fines comerciales de ninguna clase. SEMANA 3 Fundamentos Numéricos Lea esto Primero
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Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de UNIACC o de los otorgantes de sus licencias. No está permitido copiar, reproducir, reeditar, descargar, publicar, emitir, difundir, poner a disposición del público ni utilizar los contenidos
para fines comerciales de ninguna clase.
SEMANA 3
Fundamentos
Numéricos
Lea esto Primero
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1 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
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2 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
LÍMITES
Introducción
El límite de una función en un punto, es el comportamiento que tiene la función en
estudio cuando está cercana a un punto determinado.
Ejemplo:
f(x) =
Esta función está definida para todos los valores IR, tales que la expresión x – 3
no sea cero. (Esto debido a que no existe la división por cero)
x – 3 = 0
x = 3
El dominio de esta función es: IR - 3
La variable independiente x puede tomar cualquier valor real, menos el valor x = 3
Pero qué pasa al acercarse al valor x = 3, por la derecha y por la izquierda. Esto
se puede hacer, pues la variable x solamente está imposibilitada de tomar el valor
3
Esta tabla muestra que pasa al tomar valores cercanos al 3.
x f(x)
5 8
4 7
3,5 6,5
3,3 6,3
3,1 6,1
3 #¡DIV/0!
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3 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
2,9 5,9
2,8 5,8
2,7 5,7
2,6 5,6
2,5 5,5
2 5
0 3
-1 2
Se puede observar, que cada vez que la variable independiente x se acerca al
valor 3, al parecer la variable independiente y=f(x) se acerca al valor 6.
Al preguntar, si la función y = f(x), ¿estará tan cerca del 6 cuando se quiera,
cuando x esté tan cerca del 3 como se desee?
Para poder responder este tipo de preguntas, es que existe la idea del límite.
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4 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
I. Límite de una Función Real
Dados f:D IR y x0, L IR se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es
L, si para todo > 0, existe un > 0 tal que:
La idea de fondo de la definición es que, dada f: D IR, f(x) tiene por límite L
cuando "x se acerca a x0 " si, dada cualquier exigencia del tipo " no debe diferir de
L en más de (épsilon)" puede ser satisfecha haciendo que x no se aparte de x0
en más de una cantidad dada.
El "margen de tolerancia" para la función es llamado , mientras que la cantidad
que permite a x desviarse de x0 es llamado (delta).
Épsilon : es un concepto matemático, que significa lo más pequeño que uno
pueda imaginar, es lo contrario del infinito.
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5 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Gráficamente, se tiene que:
Gráfico 1. Límite de una función real.
Fuente: Material creado para la asignatura, basado en figura 1.40 de Cálculo Aplicado (Hoffmannm L) Pág.58
Notación:
Si el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L, se anotará como:
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6 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Ejemplo:
Si F(x) = 5x - 4. Demostrar que
Desarrollo:
Sea > 0. Se busca un > 0 tal que:
En otras palabras se busca:
Si
entonces
Así, basta que
para que se satisfaga la definición de límite.
En otras palabras tomando = /5 (o cualquier valor menor) se tendrá que:
Que es lo que se quería demostrar.
II. Cálculo de Límite de Funciones
Existen diferentes métodos para el cálculo de límites de funciones, que dependen
de la estructura de la función a estudiar. En general son bastantes simples, pero
requieren de un buen manejo algebraico.
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Tienden a ser métodos que se pueden aplicar en una sola oportunidad dentro de
un ejercicio o de forma simultánea con otros métodos. La clave es realizar un
correcto uso de ellos y no realizar errores algebraicos.
a. Límites Inmediatos
Los límites inmediatos son límites donde, al evaluar el valor al cual tiende x, la
función y=f(x) entrega un valor real inmediato, sin necesidad de desarrollar la
función de manera algebraica.
Si P(x) y Q(x) son polinomios enteros y P(a) ≠ 0 o Q(a) ≠ 0, el límite de la fracción
racional:
)(
)(lim
xQ
xP
ax
Se halla directamente.
Este caso se refiere a que siempre se debe calcular el límite de cualquier fracción
racional, evaluando el valor de x en la expresión. El resultado de esta evaluación
en la expresión, será el valor del límite de la expresión, siempre y cuando el
resultado de la evaluación en el denominador sea distinto de 0.
Ejemplo:
1)
2)
Al evaluar queda:
7
4
14
8
10
82
4lim
x
x
x
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8 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Ejemplos: Los siguientes vídeos dan cuenta, paso a paso, del desarrollo de estos
ejemplos
1)
2)
b. Límites Algebraicos
Si P(x) y Q(x) son polinomios enteros y P(a) = Q(a) = 0, se recomienda simplificar
la fracción)(
)(
xQ
xP, por el binomio (x-a), una o varias veces.
Este caso, plantea que al realizar la evaluación del valor de x = a en la fracción
racional, si el resultado da 0/0, entonces se debe factorizar tanto numerador como
denominador por (x-a), para luego proceder a realizar la simplificación y posterior
cálculo del límite. Si al evaluar el límite, se vuelve a obtener 0/0, se debe proceder
Fuente: Rescatado de: http://goo.gl/NXuurC el 10 de Octubre del 2015
Función con salto.
Gráfico 4. Discontinuidad de salto.
Fuente: Rescatado de: http://goo.gl/Ws1BF7 el 10 de Octubre del 2015
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23 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
a. Funciones Continuas
Continuidad en un punto.
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se
cumplen las tres condiciones siguientes:
a) Exista el valor de la función en el punto f(a)
b) Existan los límites laterales
c) La imagen del punto, debe coincidir con el límite de la función en el punto
Ejemplo:
Estudiar la continuidad de
en x = 3
a) La función tiene imagen en x = 3
f(3) = 32 = 9
b) La función tiene límite en x = 3, porque coinciden los limites laterales
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24 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
c) En x = 3, la imagen coincide con el limite
f(3) =
Gráfico:
Gráfico 5. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
Las funciones, de cualquier tipo: polinómicas, racionales, con radicales, etc.,
son continuas en todos los puntos de su dominio.
La función f(x) =
, es continua en todos los IR - 1 En x = 1 no es
continua porque no está definida.
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25 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Gráfico 6. Función: f(x) =
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
Continuidad en un intervalo :
Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:
a) f es continua para todo x, tal que:
x
b) f es continua por la derecha en “a”
c) f es continua por la izquierda en “b”
Es decir, f es continua en , si:
a)
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26 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
b)
c)
Ejemplo:
Sea la función f(x) =
¿Se puede afirmar que la función es continua en el intervalo cerrado ?
a) xo pertenece a
b)
c)
La representación gráfica de esta función es la siguiente:
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Gráfico 7. Función: f(x) =
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
b. Discontinuidades de Funciones:
Si alguna de las 3 condiciones para que exista continuidad no se cumple, la
función es discontinua en un punto.
Gráficamente se pueden distinguir de la siguiente forma:
en x = 3
La función es discontinua, porque en x = 3, no existe imagen:
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28 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
En el gráfico se observa que el punto en x= 3 no está marcado (está en blanco),
porque no tiene imagen (no forma parte de la función)
Gráfico 8. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
en x = 3
La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, ya que no coinciden
los límites laterales.
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29 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
En el gráfico se puede apreciar que hay un salto en el x=3, porque no existe el
límite (límite por la derecha es distinto al límite por la izquierda).
9 ≠ 4
Gráfico 9. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
en x = 3
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30 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
En el gráfico se observa que la función es discontinua, porque en x= 3, no
coincide la imagen con el límite.
Gráfico 10. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
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31 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Tipos de Discontinuidad:
Discontinuidad evitable o reparable.
Si f es discontinua en a, pero existe, se dice que la discontinuidad es
evitable o reparable. En este caso se puede redefinir f(a) de modo que la nueva
función sea continua.
Existen dos casos:
1) La función no está definida en x = a
en x = 3
f(9)
La función presenta una discontinuidad evitable en x = 3 porque tiene límite,
pero no tiene imagen.
Por lo tanto se puede volver a definir para ser continua en x = 3
2) La imagen no coincide con el límite
en x = 3
f(3) = 4
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32 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
f(3) ≠
La función presenta una discontinuidad evitable en x = 3, porque la imagen
no coincide con el límite.
Por lo tanto se puede volver a definir para ser continua en x = 3
Discontinuidad inevitable.
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites
laterales en x = a, pero son distintos.
Salto: es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales
Existen 2 tipos de discontinuidad inevitable:
o Salto finito.
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33 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
La diferencia entre los límites laterales es un número real.
Gráfico 11. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
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En x = 3, hay una discontinuidad inevitable de salto finito 5.
o Salto infinito.
La diferencia entre los límites laterales es infinito.
En x = 3 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.
Discontinuidad esencial:
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los
límites laterales en x = a.
Ejemplo:
La función:
Es discontinua en 0, ya que f(0) no existe.
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35 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Como
No es posible definir f(0) de modo que la función pase a ser continua, por lo que la
discontinuidad es esencial.
Gráficamente, se tiene:
Gráfico 12. Función: = 1/x2
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera, M (2015).
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36 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Conclusión
El concepto de límite de una función en un punto, tiene relación con la
aproximación que tiene la función cuando se aproxima a ese valor. Por ejemplo, la
función f(x) = 3x + 2 se aproxima a 8, cuando x es cercano a 2.
A través de los límites de una función, se puede estudiar la continuidad de estas, y
con esto poder determinar a través de gráficos el comportamiento que tiene una
función, en relación a su crecimiento o decrecimiento.
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37 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Referencias Bibliográficas
Colegio Nacional de Matemáticas (2010). Cálculo Diferencial. México. Editorial
Pearson Educación
Pérez, F. (2008). Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable.
Universidad de Granada. España.
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38 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Si usted desea referenciar este documento, considere:
UNIACC (2015). Límites. Fundamentos Numéricos. Lea esto primero (Semana 3).
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