GEOMETRI TRANSFORMASIDalam pembahasan ini sebelumnya anda harus
memahami geometri pada bidang, oleh karena itu geometri ini
disajikan untuk mengingat kembali geometri tersebut. Yang akan kita
bahas khususnya adalah Geometri Euclides bidang. Geometri Euclid
berasal dari Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Suatu bidang
yang padanya diberlakukan Geometri Euclides adalah sebuah himpunan
yang unsur unsur tak terdefinisikannya dinamakan titik. Bidang ini
dinamakan bidang Euclides, apabila pada himpunan titik titik ini
bermacam macam axioma, definisi definisi, dan teorema teorema.
Unsur unsur tak terdefinisi adalah titik dan himpunan himpunan
bagian bidang yang dinamakan garis.
DEFINISI Transformasi
Misalkan V suatu bidang Euclid, T merupakan dari V ke v, T
disebut sebagai transformasi, Jika dan hanya jika T sebuah Fungsi
Bijektif.Axioma axioma bidang Euclid V ke v :
1. Sebuah garis dapat dibentuk minimal 2 (dua) titik
2. Dua buah titik yang garisnya diperpanjang akan menghasilkan
sinar
Setengah sinar
Satu sinar
3. Pada sebarang titik dan jarak dapat membentuk lingkaran
OA = jarakA = titik
4. Semua sudut siku siku besarnya sama 905. Jika suatu garis
lurus memotong 2 (dua) garis lurus, membentuk sudut sudut dalam
sepihak kurang dari sudut siku siku, dua buah garis ini jika
diperpanjang akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak
kurang dari dua buah sudut siku siku. FUNGSIContoh fungsi
Contoh bukan fungsi
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2}
RF = {(1,1), (2,2), (3,2)}RF merupakan range fungsi
R = {1, 2} ; jangkauan hasilFUNGSI BIJEKTIF
(Dua Sifat)
Fungsi Surjektif/Onto/Pada
Definisi
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan pada himpunan
A. Artinya bahwa pada tiap titik pada prapeta. Jadi kalau T suatu
tranformasi maka ada sehingga . B dinamakan peta dari A oleh T dan
A dinamakan prapeta dari B.
Contoh:
; anggota di B mempunyai anggota di AB = T(A)
Ket :
B : peta dari A oleh T
T(A) : prapeta dari B oleh T Fungsi Injektif/One one
function/Satu satuDefinisi
f memenuhi A ke B, apabila f(a) = a' artinya a = a' dimana
CONTOH SOALMisal v bidang euclides dan A sebuah titik tertentu pada
V. Ditetapkan relasi T sebagai berikut;
a. T(P) = A, P = A, b. Jika dan ; T(P) = QQ merupakan titik
tengah ruas garis . Apakah relasi T merupakan transformasi ?
JAWAB:
1. Fungsi v ke V
Artinya untuk setiap unsur v memiliki peta di V
Ambil sebarang titik pada V yaitu titik P, Titik A diketahui
sebagai titik tertentu pada V, Memiliki dua kondisi;
P = A
Titik P pada V, T(P) = A
Titik , , Q titik tengah ; , , dan Q merupakan titik tengah
tunggal dan unik.Sehingga fungsi v ke V2. Fungsi bijektif
Surjektif
Ambil sebarang , karena A merupakan titik tertentu pada V dari
memunculkan dua kondisi;
R = A
Sudah jelas bahwa R mempunyai prapeta yaitu titik A itu sendiri.
Secara geometri pada bidang v terdapat titik M yang merupakan
prapeta dari R yaitu T(M) = R, T(M) merupakan titik tengah.
T(M) = R artinya T(M) prapeta dari R dan R peta dari M oleh
T.
Karena mempunyai prapeta oleh fungsi T, yaitu T(M)
Sehingga T merupakan fungsi T pada Onto/Surjektif Injektif
Ambil sebarang titik P dan sehingga T(P) = T(Q) sehingga T(P) =
T(Q) memunculkan kondisi;
P = A
Maka T(P) = P = A sedangkan T(P) = T(Q), T(Q) = A
Jadi Q = A dan P = A
Q = A
Maka T(Q) = Q = A sedangkan T(Q) = T(P), T(P) = A
Jadi P = A dan Q = A
dan Misal dan dan Karena , maka maka
Sehingga T(P) = T(Q) berarti dan Dengan demikian A, P, dan Q
merupakan kolinear dengan titik tengah dan titik tengah sebagai P =
Q
Jadi untuk setiap P, , T(P) = T(Q) mendapatkan P = Q. Dengan
demikian T merupakan fungsi satu satu/InjektifKarena T merupakan
fungsi satu satu dan fungsi pada T merupakan fungsi bijektif dengan
demikian relasi T merupakan Transformasi.LATIHAN1) Andaikan g dan h
dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. A sebuah titik yang
terletak ditengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah
asal g yang didefinisikan sebagai berikut;
Apakah maka ?a) Apakah dearah nilai T ?
b) Apakah , , , buktikan ; , ?c) Apakah T injektif ?2) Diketahui
sebuah titik K dan ruas garis , dan sebuah garis g sehingga dan
jarak antara K dan adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak
antar K dan g. Ada pandanan T dengan daerah asal dan daerah nilai g
sehingga apabila maka T(P) = = a) Apakah bentuk himpunan peta peta
kalau P bergerak pada ?b) Buktikan bahwa T injektif !c) Apakah E
dan F dua titik pada , apakah dapat dikatakan tentang jarak jika
dan ?3) Diketahui tiga titik A, R, S yang berlainan dan tidak
segaris. Ada padanan T yang didefinisikan sebagai berikut:
T(A) = A, T(P) = P sehingga P titik tengah a) Lukislah !b)
Lukislah Z sehingga T(Z) = S !c) Apakah T suatu transformasi ?4)
Diketahui P = (0,0), , . T : adalah suatu pandanan yang
didefinisikan sebagai berikut; apakah maka T(X) = ?
a) Apabila A = (0,1) tentukan T(A)
b) Tentukan prapeta dari B (4,3)
c) Apabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ,
dengan d) Apabila E dan F dua titik pada daerah asal T, apakah
dapat dikatakan tentang jarak ?5) Diketahui f : V V. Jika P (x,y)
maka f (P) = a) Tentukan f (A) jika A = (-3,6)
b) Tentukan semua prapeta dari titik B (4,2)
c) Apakah bentuk daerah nilai f ?
d) Apakah f suatu transformasi ?6) Diketahui fungsi g : sumbu X
V yang didefinisikan sebagai berikut :
Apabila P (x,0) maka g(P) = (x,)
a) Tentukan peta A (3,0) oleh g
b) Apakah R (-14,196) daerah nilai gc) Apakah g surjektif ?d)
Gambarlah daerah nilai g7) T : V V, didefinisikan sebagai berikut
:
Apabila P (x,y) maka
a) T(P) = (x + 1,y), untuk b) T(P) = (x 1,y), untuk c) Apakah T
injektif ?
d) Apakah T suatu transformasi ?8) Diketahui sebuah garis S dan
titik titik A, B, C seperti dapat dilihat pada gambar dibawah ini;T
: V didefinisikan sebagai berikut :
a) Jika , maka T(P) = Pb) Jika , maka T(P) = , sedemikian hingga
garis s adalah sumbu ruas c) Lukislah , d) Lukislah prapeta titik
Ce) Apakah T suatu transformasi ?f) Buktikan bahwa 9) Diberikan dua
titik A dan B, kontruksikanlah garis s sedemikian sehingga , dan
tentukanlah !10) Jika diberikan titik A (1,3) dan B (-2,-1) tulis
sebuah persamaan untuk garis s sedemikian sehingga !11) Diberikan S
= {(x,y)a) Tentukan jika A (2,5)
b) Tentukan C sedemikian sehingga c) Jika P (x,y) adalah suatu
titik, tentukan 12) Diberikan T : {(x,y)}
a) Tentukan dan A b) Tentukan D jika c) Jika P (x,y) adalah
suatu titik. Tentukan 13) Diketahui garis S = {(x,y)} dan A (2,k),
carilah nilai K jika !14) Diketahui T = {(x,y)} dan B (3,-1).
Carilah K jika !15) Jika S suatu yang didefinisikan S(P) = (x 5, y
+ 3) untuk semua titik P. Periksa apakah S isometri ? Dapatkah anda
generalisasikan hasilnya !16) Periksalah apakah T suatu isometri
yang didefinisikan untuk titik P (x,y) oleh T(P) = (2x,y + 1) !17)
Sebuah lingkaran dengan jari jari r dan pusat A pada bidang euclied
ditepatkan relasi T sebagai sehingga AP . AQ = . Apakah relasi T
suatu transformasi ?Jawaban :
Fungsi V ke V
Ambil sebagai titik pusat P = A
titik dalam lingkaran P pada lingkaran
P diluar lingkaran
Untuk P = A
T(P) = Q
Artinya tidak ada Q yang memenuhi , untuk P = A ; .
Bukan fungsi V ke V, karena bukan fungsi V ke V.
Sehingga T bukan transformasiJawaban1) Apakah maka ?
a) Apakah dearah nilai T ?
A terletak ditengah antara g dan h
maka Jadi daerah nilai T adalah h (semua titik didaerah h)b)
Apakah , , , buktikan ; , ?
Lihat dan (bertolak belakang)
(karena A berada ditengah g dan h)
(karena A berada ditengah g dan h)
Jadi dengan sisi, sudut, sisi
Akibatnya Perbandingan DE dengan sehingga c) Apakah T injektif
?
Ambil dua titik D dan E pada garis g dengan , akan dibuktikan
.
Misal; Sehingga T(D) garis dan T(E) garis dan dalam hal ini,
maka garis DA dan garis EA memiliki dua titik sekutu yaitu A jadi
T(D) = T(E)
Berarti bahwa garis DA dan EA berimpit sehingga berakibat D =
E.
Hal ini kontradiksi maka permisalan salah yang benar T
injektif
2) Ada pandanan T dengan daerah asal dan daerah nilai g sehingga
apabila maka T(P) = = a) Apakah bentuk himpunan peta peta kalau P
bergerak pada ?Semua bayangan A, B, dan P berada pada garis g
sehingga ada himpunan peta peta pada garis g
b) Buktikan bahwa T injektif !Asumsikan T(E) = Maka ada dua
titik D dan E pada AB
Kemungkinan dua;
D = E maka 2(D) = g(E)
2(D)Dengan akan dibuktikan T(D)T(E)
Misal T(D) = T(E) dan sehingga pada sehingga pada Maka dan
memiliki dua titik sekutu yaitu T(D) = T(E) jadi dan berimpit,
sehingga D = E.
Hal ini kontradiksi, maka permisalan salah dan yang benar T
adalah injektifc) Apakah E dan F dua titik pada , apakah dapat
dikatakan tentang jarak jika dan ?3) Diberikan 2 titik
4) Titik tengah AB
gradien AB
persamaan garis S;
(dikali 8)
atau
5) Diberikan S = {(x,y)a) Tentukan jika A (2,5)b) Tentukan C
sedemikian sehingga c) Jika P (x,y) adalah suatu titik, tentukan P
(x,y) sebuah titik maka berada disemua bidang, semua kuadran bisa
Jika P (x,y)
6) Diberikan T : {(x,y)}
a) Tentukan dan A b) Tentukan D jika c) Jika P (x,y) adalah
suatu titik. Tentukan P (x,y) sebuah titik maka berada disemua
bidang, semua kuadran bisa jadi Jika P (x,y)
7) Diketahui garis S = {(x,y)} dan A (2,k), carilah nilai K jika
!
A (2,k); maka titik A dilalui garis
A (2,k) K = -18) Diketahui T = {(x,y)} dan B (3,-1). Carilah K
jika !B (3,-1) maka Titik B melalui garis tB (3,-1)
9) Jika S suatu yang didefinisikan S(P) = (x 5, y + 3) untuk
semua titik P. Periksa apakah S isometri ? Dapatkah anda
generalisasikan hasilnya !A (p,a) B (r,s) Isometri
Definisi; Misalkan T suatu transformasi T ini disebut Isometri
jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik P dan Q anggota dari
bidang Euclide berlaku bahwa dimana .
Sifat-sifat Isometri :
Teorema 1 :
Mengatakan garis menjadi garis
Mengawetkan ukuran sudut
Mengawetkan kesejajaran
Teorema 2 :
Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T satu Isometri
maka T(g) dan T(h) juga saling tegak lurus.
Contoh :
Misalkan diketahui garis g pada bidang v. lihat transformasi
ditetapkan sebagai berikut :
a. Jika b. Jawab :
Ambil 2 titik sembarang pada bidang v, missal P dan Q, Misalkan
:
Dari penilaian ini masalah kondisi hubungan dengan :
P dan Q
Q dan N
G sumbu dari atau G sumbu dari atau Lihat
Lihat
Karena P dan Q merupakan sebarang titik di P maka setiap pasanga
titik P dan Q berlaku sehingga Transformasi T yang ditetapkan
isometri.A
B
AB
A
B
AB
A
B
AB
O
A
R
S
1
2
4
3
1
2
3
4
1
2
3
1
2
A
B
Domain
Kodomain
B
A
1
2
3
1
2
3
B
A
1
2
1
2
3
A
B
C
D
x
y
z
A
B
-1
0
1
-2
0
2
A
B
P(A)
T(P) = A
A
P
Q
Q = T(P)
A
M
R
T(Q) = A
T(M) = R
A
T(P) = P = A
A
P
Q
C
B
S
P
A
g
h
g
h
D
A
E
g
h
D
A
E
K
g
B
P
A
g
B
A
K
F
E
s
M
N
Q
g
P