Quadripôles 1 I.QUA1 - ETUDE D'UN QUADRIPOLE RESISTIF Mise en équations de circuits / quadripôle passif Conventions de signes dans un quadripôle (Approche matricielle) 1. Equations générales 2R R 2R R L R e 1) maille d’entrée : u1 = 2Ri1+ua ; maille de sortie : u2 = 2Ri2+ua u1 = 3Ri1+Ri2 noeud A :i1+i2 = ua/R ua = Ri1+Ri2 u2 = Ri1+3Ri2 Remarque : matrice impédance [ ] = R 3 R R R 3 Z réelle symétrique 2. Charge du quadripôle 1) u2 = -RLi2 2) 1° méthode : à partir des équations R R 3 R R 8 R 3 R R 3 R i R i i R 3 Ri i R i R i R 3 u L L e L 1 2 2 1 2 L 2 1 1 + + = ⇒ + - = ⇒ + = - + = 2° méthode : à partir du schéma électrique ( 29 R R 3 R R 8 R 3 R 3 R R 2 R R R 2 R L L L L e + + = + + + = 2) R R 3 R R 8 R 3 R L L L + + = 2 2 L R 8 R = RL = 2√2R 3. Caractéristique de transfert 1) quadripôle symétrique. D'après ce qui précède Rg = 2√2R 2) équations propres au quadripôle : [1] u1 = 3Ri1+Ri2 et [2] u2 = Ri1+3Ri2 équations propres liées à l’utilisation Rg = RL = 2√2R : [3] u2 = -2√2Ri2 et [4] u1 = 2√2Ri1 gain en tension (en charge) : Av = u2/u1. Par exemple : [3] et [4] dans [1] ( 29 2 1 1 1 2 2 u 3 2 2 u R 2 2 u i R 2 2 u i - = - ⇒ = - = Av = 3-2√2 gain en tension positif et inférieur à 1 (≈ 0.17) (quadripôle passif) gain en courant : Ai = i2/i1. Par exemple : [3]/[4] i2/i1 = -u2/u1 Ai =-Av gain en courant négatif car par convention i2 (courant de sortie) entre dans le quadripôle. gain en tension composite en charge : Avg = u2/eg. On a 2 e R R R e u g g e e g 1 = + = (diviseur de tension à l'entrée) Avg = Av/2 soit 2 2 2 3 A vg - = 3) ( 29 2 2 2 3 A N vgN - = 1 2 N u N e g 1/2 2√2R 2√2R 2√2R 2√2R 3-2√2 3-2√2 3-2√2
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1 I.QUA1 - ETUDE D'UN QUADRIPOLE RESISTIFmeteosat.pessac.free.fr/IMA/ressources/Electronique/Elect_ANA/PEA… · Quadripôles 3) Le gain aux basses fréquences est AvgBF. Après la
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Quadripô les
1
I.QUA1 - ETUDE D'UN QUADRIPOLE RESISTIF
Mise en équations de circuits / quadripôle passif Conventions de signes dans un quadripôle (Approche matricielle) 1. Equations générales
2R
R
2R
RLRe
1) maille d’entrée : u1 = 2Ri1+ua ; maille de sortie : u2 = 2Ri2+ua u1 = 3Ri1+Ri2 noeud A :i1+i2 = ua/R
ua = Ri1+Ri2 u2 = Ri1+3Ri2
Remarque : matrice impédance [ ]
=
R3RRR3
Z réelle symétrique
2. Charge du quadripôle
1) u2 = -RLi2
2) 1° méthode : à partir des équations
RR3RR8R3
RR3R
iRi
iR3RiiRiRiR3u
L
Le
L
12
212L
211
++
=⇒+
−=⇒
+=−+=
2° méthode : à partir du schéma électrique ( )
RR3RR8R3
R3RR2RR
R2RL
L
L
Le +
+=
++
+=
2) RR3RR8R3
RL
LL +
+=
22
L R8R =
RL = 2√2R
3. Caractéristique de transfert
1) quadripôle symétrique. D'après ce qui précède
Rg = 2√2R 2) équations propres au quadripôle : [1] u1 = 3Ri1+Ri2 et [2] u2 = Ri1+3Ri2 équations propres liées à l’utilisation Rg = RL = 2√2R : [3] u2 = -2√2Ri2 et [4] u1 = 2√2Ri1 gain en tension (en charge) :
Av = u2/u1. Par exemple : [3] et [4] dans [1]
( ) 211
1
22
u322u
R22ui
R22ui
−=−⇒
=
−=
Av = 3-2√2
gain en tension positif et inférieur à 1 (≈ 0.17) (quadripôle passif) gain en courant : Ai = i2/i1. Par exemple : [3]/[4]
i2/i1 = -u2/u1
Ai =-Av
gain en courant négatif car par convention i2 (courant de sortie) entre dans le quadripôle. gain en tension composite en charge :
Avg = u2/eg. On a 2
e
RRR
eu g
ge
eg1 =
+= (diviseur de tension à l'entrée)
Avg = Av/2 soit
2223
A vg−=
3) ( )
2223
AN
vgN−=
1 2 N uNeg
1/2
2√2R 2√2R 2√2R
2√2R
3-2√2 3-2√2 3-2√2
Quadripô les
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II.QUA - QUADRIPOLES AMPLIFICATEURS
Quadripôles équivalents / Paramètres des quadripôles / Filtres du 1° ordre / Diagramme de Bode Forme quadripolaire d'un amplificateur de tension / Passe-haut et passe-bas du 1° ordre 1. Amplificateur de tension
3) Le gain aux basses fréquences est AvgBF. Après la fréquence de coupure f = 1/(2πτ), chaque cellule passe-bas du 1° ordre provoque une diminution asymptotique de pente -20 dB/décade. La pente de la fonction de transfert est donc de -40 dB/décade. A la fréquence f = 1/(2πτ), chaque terme du 1° ordre apporte une atténuation de 3 dB. L'écart entre la courbe réelle et les asymptotes est de -6dB. La phase varie de 0 à -π/2 par cellule passe-bas, à partir de -π (gain négatif) soit de -π à -2π. (voir courbe) 4) AvgBFdB= 40 dB La pente asymptotique après la fréquence de coupure est de -40 dB/décade. On atteindra donc un gain de 0 dB soit 40 dB en dessous de AvgBFdB à une fréquence égale à 10 fois la fréquence de coupure. (Ceci suppose que pour fT, la courbe soit pratiquement confondue avec l'asymptote ; en réalité, l'écart est d'environ -0.08 dB). Autre solution : le déterminer graphiquement sur le diagramme de Bode.
3. Filtre actif
1) En TBF, C et C’ ≡ circuits ouverts : vs = +gmve(R+R’) Av0 = gm(R+R’)
Quadripôle : matrices caractéristiques ; réponse en fréquence Matrice admittance / transmittance, immitances d’entrée et de sortie Diagramme de Bode 1. Demi-filtre
1) ( )
( )
=ω−+ω+−
=−+α−
+α
−
0jCvvjCvR
vv
0R
vvR1
vR
vv
eBBAB
BA
0
A
0
eA
⇒( )
=ω−ω++−
=α
−−
α
+α−
0jRCvjRC21vv
0RR
vvRR
11
v
eBA
0Be
0A
2) ⇒( )
( )
ω−ω+=
=
ω+
α
+α−
+α
−+
+ω
α
+α−
−
jRCvjRC21vv
0jRC21RR
11
RR
v1jRCRR
11
v
eBA
00B
0e
⇒( ) ( )
α−α
+ω+=
α−+ω
α−α
+R
R11jRC21v1jRC
RR1
1v 0B
0e
f (Hz)225 450
τ = 0
τ = 1
τ = 1/2
IHIdB
0
-6
( )( )ατω+
αωτ+α−==ω2j1j1
VV
)j(He
B
avec ( ) ( )
α−α
+=ατR
R11RC 0
3) α = 0 τ(0) = RC et RC2j1RCj1
)j(Hω+ω+=ω
(AN : 1/(2πRC) ≈ 450 Hz)
α = 1 τ(1) = RC et RC2j1
RCj)j(H
ω+ω=ω
α = ½ τ(½) = RC[1+R0/(4R)] et H(jω) = ½ 4) Ce réglage permet d’augmenter les fréquences inférieures à 450 Hz de 6 dB au maximum, ou au contraire de les atténuer. Il agit sur la partie « grave » du spectre audiofréquence.
2. Etude quadripolaire
1)
( )
( )
( )
ω+−
+ω−=
=−
+α−
+α
−
ω−+α
−=
jCvR
vvjCvvi
0R
vvR1
vR
vv
jCvvR
vvi
2A2
122
2A
0
A
0
1A
210
A11
⇒
( )
( )
ω−−ω+=
=α
−−
α
+α−
ω−α
−ωα+α
=
jCvR
vRC2j1
Rv
i
0RR
vvRR
11
v
jCvR
vCRj1
Rv
i
1A2
2
021
0A
20
A0
0
11
I2) ⇒
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ω+α
α−+
α−−
α
αα−+
α−−ω+=
αα−+
α−α+
αα−+
α−=
ω+α
α−+
α−−
αα−+
α−−ωα+α
=
jRC
RR
11
1Rv
RR
RR
11
1RC2j1
Rv
i
RR
11
1RR
v
RR
11
1vv
jRC
RR
11
1Rv
RR
11
1CRj1
Rv
i
0
10
0
22
0
02
01A
0
2
00
0
11
Quadripô les
5
⇒
( )
( ) ( )
( ) ( )
ω+α
α−++
ω+α
α−+
α−−=
ω+α
α−+
α−−
ω+α
α−+
+α−=
RC2j
RR
11
1Rv
jRC
RR
11
1Rv
i
jRC
RR
11
1Rv
CRj
RR
11
1R
R1
Rv
i
0
2
0
12
0
20
0
0
0
11
( )
( )
ω+α
α−+
+α−= CRj
RR
11
1R
R1
R1
Y 00
0
011 ;
( )
ω+α
α−+
α−−== RCj
RR
11
1R1
YY0
2112
( )
ω+α
α−+= RC2j
RR
11
1R1
Y0
22
Y11 = i1/v1 lorsque v2 = 0 admittance d’entrée lorsque la sortie est court-circuitée. Y22 = i2/v2 lorsque v1 = 0 admittance de sortie lorsque l’entrée est court-circuitée. Y12 et Y21 admittances de transfert inverse resp. direct lorsque les portes sont resp. court-circuitée.
3) i2 = Y21v1+Y22v2 = 0 v2/v1 = -Y21/Y22
( )
( )
α
α−+ω+
α
α−+ω+α−=
=RR
11RC2j1
RR
11RCj1
vv
0
0
0i1
2
2
: on retrouve (heureusement) l’expression précédente
4) Ze0. Sortie ouverte i2 = 0 i1 = Y11v1+Y12v2 ; 0 = Y21v1+Y22v2 ; par définition Ze = v1/i1 ; ici Ze0 = [Y11-Y12Y21/Y22]-1 ou Ze0 = [Y11-Y122/Y22]-1 Zs0. Impédance vue sur la sortie on annule le générateur d’entrée (Rg = 0) v1 = 0. i2 = Y22v2 ; par définition Zs0 = 1/Y22.
Quadripô les
6
IV.QUA - AMPLIFICATEUR MIS SOUS FORME QUADRIPOLAIRE
Quadripôle : représentation courante / amplificateur de tension Immitances d’entrée et de sortie / gain en tension Fréquence de coupure 1. Gain en tension
1) Equation au nœud S : 0Rv
RvvA
Rvv
u
s
OUT
se0se =−+−+−
π
:
uOUT
OUT
0
e
s
R1
R1
R1
RA
R1
vv
++
+=
π
π
Rπ >> ROUT : OUTu
u0
uOUT
OUT
0
e
s
RRRA
R1
R1
RA
vv
+=
+≈ A0 si ROUT 0
2. Résistance d’entrée
1) Re = RIN II ve/iπ ; avec iπ = (ve-vs)/Rπ = ve(1-Av)/Rπ Re = RIN II [Rπ/(1-Av)] 2) RIN constante ; RX = Rπ/(1-Av) dépend de Av et donc de Ru.
3. Résistance de sortie
1) Av = Av0Ru/(Ru+Rs)
2) ici : OUTu
u0
e
sRRRA
vv
+≈ et A0 est le gain à vide (Ru ∝) ; par identification, Rs = ROUT.
4. C ππ
1) On remplace Rπ par 1/(jCπω) ; RX devient 1/[jωCπ(1-Av)] soit l’impédance d’un condensateur de capacité CX = (1-Av)Cπ. 2) τ = RINCX = RINCπ(1-Av) fcin = 1/[2π RINCπ(1-Av)]
Quadripô les
7
V.QUA - QUADRIPÔLE NON-LINEAIRE
Quadripôle amplificateur de tension Schéma dynamique au premier ordre / linéarisation Gain en tension dynamique / Résistance d’entrée dynamique 1. Point de polarisation
1) VE = E/2-IER/2 ; VE0 ≈ 1.42 V ; IE0 ≈ 0.21 mA 2) IS0 ≈ 0.71 mA ; VS0 = -RuIS0 (AN ≈ -7.1 V)
2. Variations de tension
1) VE+ = E/2+∆E/4-IE+R/2 ; VE- = E/2-∆E/4-IE-R/2 ; 2) VEmin ≈ 1.23 V ; VEmax ≈ 1.64 V ; IEmin ≈ 0.155 mA ; IEmax ≈ 0.265 mA ; ISmin ≈ 0.58 mA ; ISmax ≈ 0.82 mA ; VSmin ≈ -8.2 V ; VSmax ≈ -5.8 V. 3) rE = ∆VE/∆IE ; AN = 0.41/0.11 ≈ 3.7 kΩ 4) Av = ∆VS/∆E ; AN = -1.32/.41 ≈ -3.24 ; Avg = ∆VE/∆Eg x ∆VS/∆VE = 2∆VE/∆E Avg ≈ -1.37 (Rem : Avg = AvrE/(rE+R/2)) 5) PE = ∆VE2/(2rE) ; Pu = ∆Vu2/(2Ru) ; G = Av2rE/Ru ; AN ≈ 3.88>1 (≈ 6 dB pas terrible)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,5 1 1,5 2 2,5
V E (V )
I E (m
A)
Q0
Q+0
Q-0
Quadripô les
8
VI.QUA – PREAMPLIFICATEUR ACCORDE
Quadripôle : Immitances d’entrée et de sortie / transferts / passif-actifs Diodes : polarisation inverse Gain en tension / Résistances d’accès Réponse en fréquence / Diagramme de Bode / Fréquence de coupure Capacité dynamique / schéma dynamique-statique / self de « schock » / condensateur de liaison 1. Réseau de Wien
on complète la varicap par C’ en II tel que CTmax+C’ ≥ Cmax. Par ex, C’ = VNE6 22 pF(…)
4) 0
2
T
0 VCC
E −
= ; Emin pour CT = Cmax-C’ (soit ≈ 14.17 pF) AN ≈ 1.4 V ; Emax pour CT = Cmin-C’ (soit ≈ 7.47 pF) AN ≈ 5.8 V.
Par chance Emax<6 V, sinon on aurait dû employer en condensateur non E6 pour viser « plus juste ». Emid pour CT = C0-C’ (soit ≈ 10.65 pF) AN ≈ 2.7 V.
Quadripô les
9
5) f0(E)
80
85
90
95
100
105
110
0 2 4 6E (V)
f 0 (M
Hz)
2c) Circuit réel
+ Rg
R’’
D1 veeg
+
D2
E
C’
C’ Re
CL
LS
+ Rg
R’’
D1 veeg
+
D2
E
C’
C’ Re
CL
LS
En plus des éléments déjà ajoutés : LS = self de «schocke » pour éviter un court-circuit RF par E. (telle que Lω0 très grande) CL = condensateur de liaison qui évite un courant continu, dû à E, dans Re (et R’’ tant qu’à faire) (tel que 1/(Cω0) très faible.
3. Préamplificateur
3a) Caractéristiques
1) 2
se
1
ee R
vvRv
i−
+= , et vs = Rmie
1
2
2me
RR1
RRR
+
+= 2) 2m
m
1
2
e
m
e
e
e
s
e
s0v RR
RRR
1RR
vi
iv
vv
A+
+====
3b) Réponse en fréquence
1) ( )
++
+=
c20m
0m
1
2v
ffj1RR
RRR
1jfA
c20m
220m
0m
1
2
ff
RRR
j1
1RR
RRR
1
+++
+= :
passe-bas du premier ordre de gain Av0, de fréquence de coupure c2
0mc f
RR
1'f
+=
2) 1f
'fR
R
c
c
0m2
−=
AN ≈ 335 Ω (VN = 330 Ω).
3c) Valeurs numériques
1) Av0dB = 30 dB Av0 ≈ 31.6. 1R
R1A
RR
0m
20v
21
−
+
= AN ≈ 9.4 Ω (VN = 10 Ω)
2)
1
2
2me
RR1
RRR
+
+= AN ≈ 77 Ω (proche de 75 Ω).
Quadripô les
10
VII.AMPLIFICATEUR DE DIFFERENCE
Amplificateurs : Caractéristiques Réponse en fréquence Gain en tension / Résistances d’accès Diagramme de Bode / Fréquence de coupure 1. Amplificateur de différence
3a) Forme canonique 1) Z = Z’+Z’’ : 2 condensateurs en série C = C’C’’/(C’+C’’), Z = 1/(jCω).
2) ( ) ( ) 1A1RCj
A
jC1A1R
AjC1
A0vD
0vD
0vD
0vDvEXT ++ω
−=ω++
ω−= ; τ = RC(1+AvD0)
3b) Diagrammes de Bode 1) τ = 63 µsec τC = 6.363 msec fc ≈ 25 Hz. 2) Intégrateur pur de constante de temps τ (soit f0 ≈ 2.5 kHz)
4. Annexe
flottant : ni l’entrée ni la sortie choisies ne sont référencées au potentiel de masse (entrée et sortie « différentielles »)
IHIdB
φ
0
20
40
-20
−π
−3π/2
1 10 100 1000 1000025
IHIdB
φ
0
20
40
-20
−π
−3π/2
1 10 100 1000 1000025
Quadripô les
11
VIII. ETUDE D’UN FILTRE PASSIF
Fonction de transfert / Réponse en fréquence Gain en tension / Passe-bas du 1° ordre/ Diagramme de Bode 1. Equations générales
1) En appelant iAM le courant qui traverse le condensateur, et vAM la tension à ses bornes :
au nœud A : 21AM iii += . maille d’entrée : AM11 vRiu += maille de sortie : AM22 vRiu +=
2) A partir de maintenant, on travaillera dans l’espace de Fourier.
ω++=
ω++=
jCII
RIU
jCII
RIU
2122
2111 ( )
( )
τω++=ω+τω+=ω
⇒212
211
Ij1IUjCIIj1UjC
, où τ = RC
2. Charges du quadripôle
2a) « A vide »
1) I2 = 0. ( )
=ωτω+=ω
⇒12
11
IUjCIj1UjC
ωτ+=⇒
j11
UU
1
2 filtre passe-bas du 1° ordre de fréquence de coupure 1/(2πRC)
2) cf plus loin.
2b) Charge résistive 1) U2 = -RI2.
2) A partir du système : ( )
( )
τω+−=τω−τω+=τω
212
211
Uj1RIUjUIj1RUj
( )( )( )
−τω+τω+=τω=τω+
221
12
UUj21j1UjRIUj21
( ) 21 U32jU +τω=
τω+=
32j1
31
UU
1
2
A partir du circuit : 12 U
2j1R2
R
2j1R2
RRR
U
τω++
τω++
=
12 U2j3
1U
τω+= cqfd
3) Lorsque ω = 0, IH’I = 1/3 = K, cohérent avec le diviseur résistif en continu
4) τ’ =2/3τ
la fréquence de coupure est multipliée par 3/2 En continu, il existe une atténuation (perte) de 9.54 dB
2c) Charge capacitive 1) U2 = -I2/(jCω).
2) A partir du système : ( )
( )
τω+ω−=ωω−τω+=ω
212
211
Uj1jCIUjCUjCIj1UjC
( )( )( )
−τω+τω+==τω+ω
221
12
UUj2j1UIUj2jC
( ) 2221 U3j1U ωτ−τω+= (a =1, b = 1, d = 3, e = 1)
A partir du circuit :
12 U
j2j1
jC1
R
j2j1
jC1
j11
U
ωτ+ωτ+
ω+
ωτ+ωτ+
ωτω+
=
( ) 12 Uj1j2j
1U
ωτ++ωτ+τω=
cqfd 3)
459
23
j212
53j1
253
j1 22 −τω−ωτ+=
−ωτ+
+ωτ+
cqfd
4) 2 fréquences de coupure à ≈ 0.38 Hz et 2.62 Hz (Rem : leur moyenne géométrique est 1 Hz)
5) A ω = 1/τ, H’’ = 1/(3j)
IH’’(1)I = 1/3, Arg(H’’(1)) = -π/2
4)
IHIdB
φ
-10
0
-20
0
−π/2
1 10 100
IH’IdB
IH’’IdB
IHIdB
φ
-10
0
-20
0
−π/2
1 10 100
IH’IdB
IH’’IdB
Quadripô les
12
IX.AMPLIFICATEUR DE TENSION
Amplificateurs : Caractéristiques Réponse en fréquence Gain en tension / Résistances d’accès Diagramme de Bode / Fréquence de coupure 1. Etude avec les impédances génériques
1) vem = (β+1)ibZE 2) ve = [(β+1)ZE+rbe]ib 3) vs = -βZCib