1 INT INTEGRALI 0. Differenziale di una funzione Sia f una funzione reale di dominio A ⊆ IR , derivabile in un punto x 0 interno ad A. Introduciamo due nuovi simboli: Δf = def f(x) - f(x 0 ) , Δx = def x - x 0 (1) per ogni x ∈A, che esprimono l'incremento della funzione f relativo a x 0 e l'incremento della variabile x. Ciò premesso, fissiamo nel piano un riferimento cartesiano ortogonale OXY (fig.1) e prendiamo sulla curva Gr( f ) i pun ti P 0 (x 0 , f(x 0 )) e P(x 0 +Δx, f(x 0 +Δx)), con x 0 + Δx ∈ A. Si ha subito: f(x 0 +Δx) = f(x 0 ) + Δf (2) Prendiamo poi la funzione affine g tale che la retta Gr(g) sia la tangente alla curva Gr(f) nel punto P 0 . Detto P' il punto di coordinate (x 0 +Δx, g(x 0 +Δx)) e indicato con Q il punto in cui la parallela all'asse X condotta per P 0 incontra la parallela all'asse Y condotta per P', si ha: g(x 0 +Δx) = f(x 0 ) + f'(x 0 ) ⋅ Δx. (3) Il prodotto f'(x 0 ) ⋅ Δx viene chiamato differenziale di f nel punto x 0 e indicato con df. Allora: df = def f'(x 0 ) ⋅ Δx (4) Quindi la (3) si può scrivere: g(x 0 +Δx) = f(x 0 ) + df. (5) Se ora poniamo: ε = Δ Δ - ′ x f ) x ( f 0 (6) e moltiplichiamo ambo i membri di questa per Δx, si ottiene f'(x 0 ) ⋅ Δx - Δf = ε ⋅ Δx, ovvero: df - Δf = ε ⋅ Δx (7) (In fig.1 è df = P Q ′ , Δf = QP , ε ⋅ Δx = P P ′ ). Dalla (6) segue pure 0 lim 0 x = ε → Δ , da cui si deduce: 0 x x lim 0 x = Δ Δ ⋅ ε → Δ . (8) La (8) si esprime dicendo che ε ε ε ⋅ ⋅ ⋅ Δ Δ Δx è un infinitesimo di ordine superiore a Δ Δ Δx per Δ Δ Δx → → → 0 (cioè ε ⋅ Δx tende a zero "più rapidamente" di Δx quando Δx tende a zero) e giustifica l'uguaglianza approssimata: df ≈ Δf (9) di cui si fa largo uso nelle applicazioni. E' appena il caso di osservare che questa "uguaglianza" potrà essere utilizzata con sufficiente approssimazione soltanto per valori di Δx abbastanza piccoli, perché è solo per tali valori di Δx che la quantità ε ⋅ Δx potrà ritenersi trascurabile rispetto a df. (fig.1) X Y O x 0 x 0 + Δx df P 0 P' P Q Gr(f) Gr(g) Δf
30
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1
INT INTEGRALI 0. Differenziale di una funzione
Sia f una funzione reale di dominio A ⊆ IR, derivabile in un punto x0 interno ad A.
Introduciamo due nuovi simboli: ∆f =
deff(x) − f(x0) , ∆x =
defx − x0 (1)
per ogni x ∈ A, che esprimono l'incremento della funzione f relativo a x0 e l'incremento della variabile x.
Ciò premesso, fissiamo nel piano un riferimento cartesiano
ortogonale OXY (fig.1) e prendiamo sulla curva Gr( f ) i pun
ti P0(x0, f(x0)) e P(x0+∆x, f(x0+∆x)), con x0+ ∆x ∈ A.
Si ha subito:
f(x0+∆x) = f(x0) + ∆f (2) Prendiamo poi la funzione affine g tale che la retta Gr(g)
sia la tangente alla curva Gr(f) nel punto P0.
Detto P' il punto di coordinate (x0+∆x, g(x0+∆x)) e indicato
con Q il punto in cui la parallela all'asse X condotta per P0
incontra la parallela all'asse Y condotta per P', si ha: g(x0+∆x) = f(x0) + f'(x0) ⋅ ∆x. (3) Il prodotto f'(x0) ⋅ ∆x viene chiamato differenziale di f nel punto x0 e indicato con df. Allora: df =
def f'(x0) ⋅ ∆x (4)
Quindi la (3) si può scrivere:
g(x0+∆x) = f(x0) + df. (5)
Se ora poniamo:
ε=∆∆−′ xf )x(f 0 (6)
e moltiplichiamo ambo i membri di questa per ∆x, si ottiene f'(x0) ⋅ ∆x − ∆f = ε ⋅ ∆x, ovvero:
df − ∆f = ε ⋅ ∆x (7)
(In fig.1 è df = PQ ′ , ∆f = QP , ε ⋅ ∆x = PP ′ ).
Dalla (6) segue pure 0 lim0x
=ε→∆
, da cui si deduce:
0 xx lim
0x=
∆∆⋅ε
→∆. (8)
La (8) si esprime dicendo che εεεε ⋅⋅⋅⋅ ∆∆∆∆x è un infinitesimo di ordine superiore a ∆∆∆∆x per ∆∆∆∆x →→→→ 0 (cioè ε ⋅ ∆x
tende a zero "più rapidamente" di ∆x quando ∆x tende a zero) e giustifica l'uguaglianza approssimata:
df ≈ ∆f (9)
di cui si fa largo uso nelle applicazioni. E' appena il caso di osservare che questa "uguaglianza" potrà essere
utilizzata con sufficiente approssimazione soltanto per valori di ∆x abbastanza piccoli, perché è solo per tali
valori di ∆x che la quantità ε ⋅ ∆x potrà ritenersi trascurabile rispetto a df.
(fig.1)
X
Y
O x0 x0 + ∆x
df P0
P'
P
Q
Gr(f)
Gr(g)
∆f
2
ESEMPI
� Stimiamo l'incremento della funzione x � ln x quando x varia da 2 a 2,01.
Errore assoluto commesso: dln − ∆ln = 0,00002. � Stimiamo l'incremento della funzione x � tan x quando x varia da
π/4 a π/4 + 0,01.
Poiché x0 = π/4 e ∆x = 0,01, risulta:
dtan = tan' (4π ) ⋅ 0,01 = 2 ⋅ 0,01 = 0,02.
Incremento esatto: ∆tan = tan (4π + 0,01) − tan (
4π ) = 0,0202.
Errore assoluto commesso: dtan − ∆tan = 0,0002. In particolare, il differenziale della funzione identica viene indicato con dx e chiamato, impropriamente,
differenziale della variabile x. Poiché dx =def
d(x � x) = 1⋅ ∆x = ∆x, la (4) si può scrivere:
df =
def f'(x0) ⋅ dx (10)
A parole: il differenziale della funzione f nel punto x0 è uguale al prodotto della derivata di f in x0 per il differen
ziale della variabile x. Dalla (10) segue la notazione di Leibniz, che consiste nell'indicare la derivata di f in x0 con il simbolo
0xxdxdf
=����
�� e la funzione derivata con
dxdf oppure con )x(f
dxd . La derivata seconda di f, si suole indica
re con uno dei simboli
0
2
2
xxdx
fd
=��
�
�
��
�
�,
2
2
dx
fd , )x(f2
2
dx
d . Analogamente per le derivate successive.
11 Ricorrendo alla relazione df ≈ ∆f, rispondi alle seguenti domande.
(1) Di quanto si accresce l'area di un quadrato se il suo lato, lungo 1 m, aumenta di 1 mm?
(2) Sulla parabola di equazione y = x2 + 3x + 2 si consideri il punto P di ascissa 1. Se l'ascissa
di P aumenta di 10−6, di quanto varia la sua ordinata?
(3) Un piano inclinato lungo 1 m forma con l'orizzontale un angolo α = 60°. Di quanto varia l'altezza
del piano se α aumenta di 1° ?
99 11 (1) 0,002 m2 ; (2) 5⋅10−6 ; (3) 8,7 mm.
EP INT / 0
SOLUZIONI
3
1. Il problema dell'area Sia f una funzione reale limitata e non negativa in un intervallo [a, b].
Si chiama trapezoide di f nell'intervallo [a, b], la figura piana �
delimitata dal grafico di f, dall'asse X e dalle rette di equazione
x = a e x = b (fig.2).
Una questione che spesso si pone è la seguente: determinare un
numero reale non negativo che misuri l'area di �, numero che indi
cheremo con area �.
In casi molto particolari, la definizione di area � è facilitata da con
siderazioni di geometria elementare.
Il trapezoide � di una funzione costante f : x � c, con c ≥ 0, nell'intervallo [a, b], è un rettangolo
di base b−a e altezza c (fig.3). E' allora naturale porre:
area � =
def c ⋅ (b − a) (1)
Se g è la funzione ottenuta dalla funzione costante f : x � c modificando in modo arbitrario le
immagini di un numero finito di punti di [a, b], il trapezoide ���� di g nell'intervallo [a, b] si ottiene da
quello di f aggiungendo o togliendo ad esso un numero finito di segmenti paralleli all'asse Y (fig.4).
Ciascuno di questi segmenti può essere considerato come un rettangolo degenere avente base uguale a
zero, e quindi area nulla. Di conseguenza, appare ancora del tutto ragionevole porre:
area �' =
def c ⋅ (b − a) (2)
Si chiama suddivisione dell'intervallo [a, b], ogni sottoinsieme finito � = { x0, x1, � , xn }
di [a, b] tale che a = x0 < x1 < x2 < � < xn = b. L'insieme di tutte le suddivisioni di [a, b] verrà indicato con �.
Una funzione f : [a, b] → IR si dice a gradini, se esiste una suddivisione � di [a, b] tale che la restrizione di f a
ciascuno degli intervalli aperti ] x k−1, x k [ , per k = 1, � , n, è costante (in fig. 5 abbiamo preso n = 4), men
tre le immagini in f dei punti della suddivisione sono arbitrarie.
����
a b O X
Y
(fig.2)
a b a b
Y
X X
Y
O O
c c
(fig.3) (fig.4)
Y
X
(fig.5)
O a = x0 x1 x2 x3 x4 = b
4
Se f(x) = c k ≥ 0 per ogni x ∈ ] x k−1, x k [, le aree dei rettangoli di base x1 − x0, x2 − x1, � , xn − xn−1 e altez
za c1, c2, � , cn, rispettivamente, sono date da c1 ⋅ (x1 − x0), c2 ⋅ (x2 − x1), � , cn ⋅ (xn − xn−1).
L'area del trapezoide di f nell'intervallo [a, b], è allora:
area � =def
� −=
−
n
1k)xx(c 1kkk (3)
L'unione di un insieme finito di rettangoli con i lati paralleli agli assi coordinati, non sovrapposti, si dice un
plurirettangolo. Pertanto la (3) definisce l'area del trapezoide � come area del plurirettangolo sotteso dal
grafico di f. 2. Integrale di una funzione limitata e non negativa
Sia f una funzione reale limitata e non negativa in un intervallo [a, b] e sia � il trapezoide di f in [a, b].
Per ogni suddivisione � = {x0, x1, � , xn} ∈ �, sia m k l'estremo inferiore e M k l'estremo superiore della restri
zione di f all'intervallo ]x k−1, x k[, per k = 1, � , n 1 .
Alla coppia (f, �) associamo due funzioni a gradini, indicate rispettivamente con g e h, la prima minorante e
la seconda maggiorante rispetto a f, cioè tali che g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) per ogni x ∈ [a, b].
• La funzione g : [a, b] → IR è definita da: • La funzione h : [a, b] → IR è definita da:
g(x) = �
,m),x(f
k
h(x) = �
,M),x(f
k
In fig.6, � include il plurirettangolo sotteso dal In fig.7, � è incluso nel plurirettangolo sotteso
grafico di g. dal grafico di h.
Si chiama somma inferiore di f relativa alla Si chiama somma superiore di f relativa alla suddivisione �, il numero reale: suddivisione �, il numero reale:
s(f, �) = �=
−−⋅n
1i)1ixix(im s (f, �) = �
=−−⋅
n
1i)1ixix(iM
che rappresenta l'area del plurirettangolo sot che rappresenta l'area del plurirettangolo sot
teso dal grafico di g. teso dal grafico di h.
Come subito si riconosce, per ogni � ∈ � risulta:
s(f, �) ≤ s (f, �).
1 Quando f è continua in [a, b], m k è il minimo assoluto e M k è il massimo assoluto di f in [x k−1, x k].
per x∈�� per x∈ ]x k−1, x k[
per x∈�� per x∈ ]x k−1, x k[
, (k = 1, … , n) , (k = 1, … , n)
a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b O O
Gr(g)
a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 = b
Gr(h)
(fig.6) (fig.7)
5
Al variare di � in �, si ottiene l'insieme delle Al variare di � in �, si ottiene l'insieme delle
somme inferiori di f: somme superiori di f:
S = { s(f, �) / � ∈ � } S = { s (f, �) / � ∈ � }
Allora l'insieme S è limitato superiormente. Allora l'insiemeS è limitato inferiormente. Quindi esiste il numero reale sup S. 2 Quindi esiste il numero reale inf S .
La funzione f si dice integrabile (secondo Riemann) in [a, b], se e solo se:
sup S = inf S . Se f è integrabile in [a, b], si pone:
�b
a
dx )x(f =def
sup S = inf S (1)
chiamato integrale di f in [a, b]. L'integrale così definito, spesso indicato semplicemente con �b
a
f , viene
Il simbolo �, proposto da Leibniz nel 1675, non è che una S allungata, iniziale della parola latina summa.
L'intervallo [a, b] si dice intervallo d'integrazione: a e b sono, rispettivamente, l'estremo inferiore e l'estremo
superiore dell'integrale; f è la funzione integranda. Il fattore dx (differenziale della variabile x) appare del
tutto superfluo nella definizione di integrale ma, come vedremo nei paragr. 7 e 8, esso diventa estremamente
utile come artificio di calcolo nel computo effettivo di molti integrali. Il simbolo che figura al primo membro del
la (1) lo chiameremo, per comodità di esposizione, notazione classica di integrale. 3. Integrale di una funzione limitata
Nella definizione di integrale abbiamo supposto che la funzione integranda f fosse limitata e non negativa
nell'intervallo [a, b]. Vediamo ora come sia possibile rimuovere la condizione di non negatività, troppo restritti
va anche per le esigenze più comuni dell'Analisi.
Data una funzione f, diciamo parte positiva e parte negativa di f, le funzioni f+ e f− definite per ogni x ∈ Dom(f)
ponendo:
f+(x) = ��
�
<
≥
0)x(fse,0
0)x(fse),x(f
����������
������ , f−(x) =
��
�
<−
≥
0)x(fse),x(f
0)x(fse,0
������
���������.
Si noti che f+, f− sono funzioni non negative e f = f+ − f−.
Ciò premesso, prendiamo un intervallo [a, b] in cui f risulti limitata.
La funzione f si dice integrabile in [a, b], se f +, f − sono entrambe integrabili
in [a, b]. In questa ipotesi, si pone:
�b
a
f =def
�+
b
a
f − �−
b
a
f
La fig.8 rappresenta il grafico di una funzione f limitata e di segno variabile nell'intervallo [a, b]. Dal grafico
di f è facile ricavare i grafici delle funzioni f+, f− e i rispettivi trapezoidi (fig.9 e 10).
2 Per l'assioma di completezza del campo IR (vedi «Il campo IR» p.4).
assunto come area del trapezoide di f nell'intervallo [a, b].
6
Se f è integrabile in [a, b], il numero �b
a
f è dunque uguale, per definizione, alla differenza delle aree dei trape
zoidi di f + e di f − nell'intervallo [a, b]. La definizione di integrale può essere ulteriormente estesa ponendo:
�a
af =
def 0 , �
b
af =
def�−a
bf
Sorgono ora due problemi fondamentali: � Determinare l'insieme delle funzioni limitate in [a, b] che siano integrabili.
� Data una funzione f integrabile, calcolare �b
af .
Diciamo subito che la soluzione completa del problema �, dovuta a Riemann, va ben oltre i limiti di un cor
so introduttivo. Per la maggior parte delle applicazioni, tuttavia, sono sufficienti le risposte parziali fornite dal
seguente teorema che ci limitiamo ad enunciare: Se la funzione f è continua oppure limitata e generalmente continua oppure monotòna
nell'intervallo [a, b], allora f è integrabile in [a, b].
La soluzione del problema � si basa sul Teorema fondamentale del calcolo integrale, che studieremo nel
paragrafo 6. Questo teorema e le regole di calcolo che da esso si deducono, ci consentiranno di integrare un
numero abbastanza grande di funzioni elementari. 4. Proprietà degli integrali Enunciamo le principali proprietà degli integrali rinunciando, per brevità, alle dimostrazioni. Siano f e g funzioni integrabili in [a, b]. Allora sono integrabili in [a, b] le funzioni f+g e αf,
per ogni α ∈ IR, e risulta:
� +b
a)gf( = �
b
af + �
b
ag , � α
b
a)f ( = �⋅α
b
af (1 − 2)
Le (1) e (2) si dicono rispettivamente proprietà addittiva e proprietà di omogeneità.
Siano f e g funzioni integrabili in [a, b] e sia f(x) ≤ g(x) per ogni x∈ [a, b]. Allora:
�b
af ≤ �
b
ag . (3)
La (3) prende il nome di proprietà di monotonìa.
(fig.8) (fig.9) (fig.10)
Gr( f )
a b a b a b
Gr( f+) Gr( f
−)
7
Sia f una funzione integrabile in [a, b] e sia c∈ [a, b]. Allora:
�b
af = �
c
af + �
b
cf (4)
La (4) si dice proprietà addittiva rispetto all'intervallo d'integrazione.
Se f è una funzione pari integrabile in [−a, a], allora:
�−
a
af = �⋅
a2
0f . (5)
Se f è una funzione dispari integrabile in [−a, a], allora:
�−
a
af = 0. (6)
Un altro risultato notevole è costituito dal teorema della media integrale.
Sia f è una funzione continua nell'intervallo [a, b]. Allora esiste almeno un punto
c∈ [a, b] tale che:
�b
af = (b − a) ⋅ f(c). (7)
Se la funzione f è non negativa, il teorema enunciato ha una
Esso, infatti, assicura l'esistenza di almeno un punto c ∈ [a, b]
tale che l'area del trapezoide di f in [a, b] sia uguale all'area
del rettangolo di base b−a e altezza f(c). Il numero f(c) si dice
media integrale di f in [a, b].
5. Il teorema fondamentale del calcolo integrale Sia f una funzione continua nell'intervallo [a, b].
Si chiama primitiva di f in [a, b], ogni funzione G che sia continua in [a, b], derivabile in ]a, b[ e tale che:
G'(x) = f(x), ∀x ∈ ]a, b[. (1)
Se f ha in [a, b] una primitiva G, essa ha ovviamente anche la primitiva:
x � G(x) + k (2)
dove k rappresenta un numero reale qualsiasi. Meno ovvio è che: Se G è una primitiva di f in [a, b], allora tutte le primitive di f in [a, b] hanno la forma (2).
Dim Siano G1 e G due primitive di f in [a, b]. Si ha, per ipotesi, )x(f)x(G1 =′ e )x(f)x(G =′ .
Pertanto è )x( )GG( 1 ′− = f(x) − f(x) = 0. Ma allora, per il primo corollario al T. di Lagrange,
la funzione G1 − G è costante in [a, b], cioè risulta (G1 − G) (x) = G1(x) − G(x) = k (costante).
Ne segue G1(x) = G(x) + k. � Indicato con x un punto variabile in [a, b], consideriamo ora la funzione F definita da:
F(x) = �x
af (3)
di dominio [a, b], chiamata funzione integrale di f.
Y
X O a b
f(c)
c
(fig.11)
8
Il teorema che segue descrive l'importantissima relazione che lega le funzioni F e f. T. fondamentale del calcolo integrale − La funzione integrale F, definita dalla (3), è una
primitiva di f in [a, b].
Dim Preso un punto qualsiasi x0 ∈ [a, b] (fig.12), per ogni
x ≠ x0 si ha:
F(x) − F(x0) = �x
af − �
0x
af = �
x
x0
f ,
da cui segue:
F(x) − F(x0) = (x − x0) ⋅ 0
x
x
xx
f
0
−
�
.
Per il T. della media integrale, esiste allora almeno un punto c ∈ [x0, x] 3 tale che: F(x) − F(x0) = (x − x0) ⋅ f(c). (0)
• Se x0 = a, essendo F(a) = �a
af = 0, dalla (0) segue F(x) = (x − a) ⋅ f(c).
Allora 0 )c(f)ax(limax
)x(Flimax
=⋅−+→
=+→
.
∴ La funzione F è continua nel punto x0 = a. (1)
• Analogamente, se x0 = b, si ricava )b(F )x(Flimbx
=−→
.
∴ La funzione F è continua nel punto x0 = b. (2)
• Se x0 ∈ ]a, b[, possiamo scrivere la (0) nella forma:
)c(f xx
)x(F)x(F
0
0 =−−
.
Al tendere di x a x0, il punto c tende a x0 e quindi f(c) tende a f(x0).
Allora F'(x0) = f(x0), ∀x0 ∈ ]a, b[.
∴ La funzione F è derivabile in ]a, b[. (3) Dalle (1), (2), (3) congiuntamente, segue che F è una primitiva di f in [a, b]. � Formula di Torricelli - Barrow − Se G è una primitiva qualsiasi di f in [a, b], allora:
�b
af = G(b) − G(a). (4)
Dim Sia G una primitiva qualsiasi di f. Per quanto abbiamo visto, esiste un numero reale k tale che:
G(x) = �x
af + k
Da questa, ponendo x = a, si ricava G(a) = k. Ponendo poi x = b, si ottiene la (4). �
3 Oppure c ∈ [x, x0] se x < x0.
P PO
x0 � x b a
Y
O
(fig.12)
9
La differenza G(b) − G(a), cioè l'incremento che la primitiva G subisce quando la variabile x passa dal valore
a al valore b, si suole indicare con la notazione [ ] ba)x(G � . Avremo pertanto:
�b
af = [ ] b
a)x(G � =def
G(b) − G(a).
ESEMPI (Negli esempi e negli esercizi adotteremo sempre la notazione classica di integrale)
� Calcoliamo l'area del trapezoide � della funzione identica f(x) = x nell'intervallo [a, b], con a > 0.
Si vede subito che � è il trapezio di altezza b−a, base minore a e base maggiore b (fig.13).
area � = �b
a
dx x = b
a
2
2
1 x ��
��� = )ab( 22
2
1 −⋅ . (5)
� Calcoliamo l'area del trapezoide � della funzione quadrato f(x) = x2 nell'intervallo [ a, b ] (fig.14).
area � = �b
a
2 dx x = b
0
3
3
1 x ��
��� = )ab( 33
31 −⋅ . (6)
� Gli integrali che figurano nelle (5) e (6) sono casi particolari del seguente:
�α
b
a
dx x , con [a, b] ⊆ IR + e α ∈ IR.
• Se α ≠ −1, una primitiva della funzione f(x) = xα in [a, b] è G(x) = 1x1
1 +α⋅+α
. Quindi:
�αb
a
dx x = b
a
1x1
1 ��
��� +α⋅
+α =
11+α
⋅ (b
α
+1− a
α
+1). (7)
• Se α = −1, si ha invece:
�−
b
a
1 dx x = �b
a
dx x1 = [ ] b
a xln = )ab( ln . (8)
����
a b a b
(fig.13) (fig.14)
����
Y Y
X X
1 b π
(fig.16) (fig.15)
O
Y Y
X X
���� ����
10
� Per a = 1 e b > 1, la (8) diventa:
�b
1
dx x1 = ln b. (9)
Quindi il logaritmo naturale di un numero reale b > 1 è l'area del trapezoide delimitato dall'iper
bole di equazione x⋅y = 1 nell'intervallo [1,b] (fig.15).
� Calcoliamo l'area della lunetta � delimitata dalla sinusoide nell'intervallo [0, π] (fig.16).
area � = �π
0
dx x sin = [ ] π−0
x cos = −cos π + cos 0 = 2. (10)
� La conoscenza di una primitiva di f in [a, b] risolve dunque il problema del calcolo dell'integrale di f.
Occorre tenere presente, tuttavia, che molte funzioni elementari, come:
xln1 x � ,
2xe x −� ,
xx sin x � , …
hanno primitive che non sono funzioni elementari.
In alcuni di questi casi si conoscono dei procedimenti ingegnosi che consentono di valutare esattamente l'in
tegrale di f senza passare per una primitiva. Quasi sempre però il calcolo si effettua ricorrendo a formule
d'integrazione numerica, che forniscono un valore approssimato dell'integrale. � L'insieme di tutte le primitive di una funzione f prende il nome di integrale indefinito di f e si indica con:
� dx)x(f oppure con � f .
Ad esempio, si ha � dxx1 = lnx + k. Infatti, come subito si riconosce, è:
dxd (lnx+ k) = dx
d ln(x) = x1 , per x > 0; dx
d (lnx+ k) = dxd ln(−x) = x
1− ⋅(−1) = x
1 , per x < 0.
Per contrapposizione, l'integrale di f esteso all'intervallo [a, b] viene chiamato integrale definito.
Poiché dalla definizione di primitiva segue che:
� fdxd = � fdx
d = f (11)
l'operazione di integrazione indefinita può considerarsi come l'operazione inversa della derivazione.
11 Ricorrendo alla formula di Torricelli−Barrow, calcola:
(1) �4
1
dx (2) �−
3
1
dx (3) � ⋅2
0
dx x (4) � ⋅5
1
dx x (5) � ⋅3
0
2 dx x (6) � ⋅−
4
1
2 dx x (7) � ⋅0
2
3 dx x
(8) � ⋅3
1
dx x1 (9) � ⋅
2
12
dx x
1 (10) � ⋅1
41
dx x
1 .
22 Tenendo presenti le proprietà di addizione e di omogeneità dell'integrale definito (paragrafo 4), calcola:
(1) � ⋅+3
1
dx5)(x (2) � ⋅−1
0
dx3)(2x (3) � ⋅−+−
2
1
2 dx )x34x(1 (4) � ⋅−+−
2
2
3 dx )5xx(
(5) � ⋅−+3
232
dx 1 )( x
2 x
1 (6) � ⋅+−1
4
23
21
dx x
1 x x (7) � ⋅−23
1
2 dxx1 x )( (8) � ⋅−
0
1
dx x x x )(32 .
EP INT / 1, … ,5
11
33 Costruisci nel tuo quaderno una tabella che elenchi sulla prima colonna, intestata a f(x), le funzioni
elementari che seguono e, sulla seconda, intestata a � f , le corrispondenti primitive (vedi schema).
6. Integrazione per decomposizione in somma Le proprietà addittiva e di omogeneità degli integrali indefiniti ( vedi EP 4 pag.11 ) possono essere compendia
te nell'unica formula:
� β+α )gf( = �α f + �β g (1)
che esprime una tecnica di calcolo chiamata integrazione per decomposizione in somma. Questa è utile
quando si riesce a scomporre la funzione integranda nella somma di due (o più) funzioni, delle quali è noto
l'integrale indefinito (vedi integrali (1),…,(5) dell'EP 4 p. 11). A volte, come mostrano gli esempi che seguono,
è necessario ricorrere a qualche artificio.
ESEMPI − Calcoliamo per decomposizione in somma i seguenti integrali indefiniti.
� � ⋅+ dx1 xx . Sommando e sottraendo 1 al numeratore, si ha successivamente:
1 xx+ = 1 x
1 1 x+
−+ = 1 x1 x
++
− 1 x1+ = 1 − 1 x
1+ .
Allora � ⋅+ dx1 xx
= � ⋅− + dx 1 ) ( 1 x1
= � dx − � ⋅+ dx1 x1 = x − ln x + 1+ k.
SOLUZIONI
Gli integrali (12), …, (20) prendono il nome di integrali indefiniti quasi immediati. Aggiungili alla ta
bella degli integrali immediati (vedi EP 3).
13
� � ⋅++ dx
1 x3 x
2
2. Scrivendo 1+ 2 in luogo di 3, si ha successivamente:
1 x3 x
2
2
++ =
1 x2 1 x
2
2
+++ =
1 x1 x
2
2
++
+
1 x2
2 + = 1 +
1 x2
2 +.
Allora � ⋅++ dx
1 x3 x
2
2 = dx 1 )(
1 x2
2⋅+� +
= � dx + 2 ⋅ � ⋅+
dx1 x
12
= x + 2 ⋅ arc tan x + k.
� � ⋅ sinx xcosdx . Per la relazione pitagorica, si ha:
sinx xcos1⋅ = sinx xcos
xsin xcos 22
⋅+ = sinx xcos
xcos2
⋅ + sinx xcosxsin2
⋅ = xsinxcos
+ xcosxsin .
Allora � ⋅ sinx xcosdx = � ⋅ dxxsin
xcos − � ⋅− dxxcosxsin
= lnsin x − lncos x + k.
� � ⋅ dxxcos2 . Dalla formula di duplicazione per il coseno, scritta nella forma cos 2x = 2⋅cos2x – 1,
si ricava cos2x = 2x2cos 1 + .
Allora � ⋅ dxxcos2 = dx)x2cos1(2
1 ⋅+� = �⋅ dx(21 + � ⋅⋅ )dxxcos 222
1 = k )xsinx( 22
121 ++ =
= k )xcossinxx(21 +⋅+ .
� � ⋅ dxxtan2 . Dall'identità xcos
12
= xtan1 2+ , segue xtan2 =
xcos1
2 − 1.
Allora � ⋅ dxxtan2 = � ⋅− dx1)(
xcos1
2 = � ⋅ dx
xcos1
2 − � dx = tan x – x + k.
� ⋅ dxxcos3 . Dalla relazione pitagorica, si ricava cos2x = 1− sin2x. Ne segue:
cos3x = cos2x ⋅ cos x = (1− sin2x) ⋅ cos x = cos x − sin2x ⋅ cos x.
(13) (poni x = sin t), 22 3 − ; (14) (poni x = ln t), e −1− ln( 2
e 1 + ); (15) (poni x = et), tan 1; (16) 4.
33 (1) ln tan 2x + k; (2) −cot 2
x + k; (3) 2x tan 1
2+
− + k; (4) ln 1 + tan 2x + k.
9. Integrazione delle funzioni razionali fratte: decomposizione in fratti semplici Un importante applicazione del metodo d'integrazione per decomposizione in somma, si ha quando la funzio
ne integranda è una funzione razionale fratta g(x)f(x) , essendo f(x) e g(x) polinomi a coefficienti reali, rispettiva
mente di grado m e n. Esaminiamo tre casi.
Se m < n e il polinomio g(x) possiede n zeri reali e distinti x1, … , xn, come prima cosa si cerca di fatto
Cerchiamo allora tre costanti α1, α2, α3 tali che, per ogni x, si abbia:
2 x3 x
1 x23
2
+−− = 1
1
)1 x( −
α + 22
)1 x( −
α + 2 x3
+α (o)
Per questo, sviluppiamo il secondo membro della (o), ottenendo:
11
)1 x( −
α + 22
)1 x( −
α + 2 x3
+α =
)2 x()1 x(
)1 x( )2 x( )2 x( )1 x(2
2321
+−
−α++α++⋅−α = …
… =
2 x3 x
2 2 x)2 ( x) (3
3213212
31
+−
α+α+α−α−α+α+α+α .
Ora, l'uguaglianza (o) è verificata se e solo se:
2x2− 1 = (α1+ α3)x2
+ (α1+ α2 − 2α3)x − 2α1 + 2α2 + α3 (1) ovvero se e solo se:
��
�
−=α+α+α−=α−α+α=α+α
122022
321
321
31
. (2)
Abbiamo così ottenuto un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite α1, α2, α3 che, risol
to, fornisce α1 = 911 , α2 = 3
1 , α3 = 97 .
Sostituendo questi valori nella (o) e integrando ambo i membri, si ricava:
� +−− dx
2 x3 x1 x2
3
2 = 9
11 lnx − 1 − )1 x(3
1− + 9
7 lnx + 2 + k. �
Se m ≥ n possiamo dividere f(x) per g(x), ottenendo: f(x) = g(x) ⋅ q(x) + r(x) (3) dove q(x) è il quoziente (di grado m – n) e r(x) è il resto (di grado minore di n).
Dalla (3), dividendo ambo i membri per g(x), si ha:
)x(g)x(f = q(x) + )x(g
)x(r (4)
e integrando, si deduce:
� dxg(x))x(f = � dx)x(q + � dxg(x)
)x(r . (5)
L'integrale di )x(g)x(f
viene così decomposto nella somma di due integrali: il primo non presenta alcuna dif
ficoltà, essendo q(x) un polinomio; il secondo è l'integrale di una funzione razionale fratta il cui numera
tore r(x) ha grado inferiore a quello del denominatore g(x). Pertanto, nell'ipotesi che tutti gli zeri di g(x)
siano reali, si è ricondotti ai casi precedentemente studiati.
21
ESEMPIO − Calcoliamo l'integrale indefinito:
� � −+− dx3
24
1) (x 1 x x . Si ha f(x) = x4– x2+ 1 e g(x) = (x – 1)3 = x3– 3x2+ 3x – 1.
Poiché il grado di f(x) è maggiore del grado di g(x), dividiamo f(x) per g(x).
x4 + 0x3
– x2 + 0x + 1 x3– 3x2+ 3x – 1 x4 − 3x3 + 3x2 − x
3x3 − 4x2 + x + 1
3x3 − 9x2 + 9x − 3
5x2 − 8x + 4. Allora q(x) = x + 3, r(x) = 5x2 − 8x + 4 e, per la (4), risulta :
3
24
)1 x(1 x x
−+− = x + 3 + 3
2
1) (x 4 x8 x5
−+− . (0)
Decomponiamo in somma di fratti semplici la frazione al secondo membro della (0). Si ha:
3
2
1) (x 4 x8 x5
−+− = 1
1
1) (x −
α + 22
1) (x −
α + 33
1) (x −
α (1)
e sviluppando il secondo membro, si ottiene:
11
1) (x −
α + 22
1) (x −
α + 33
1) (x −
α = 332
21
1) (x
)1 x( )1 x(
−
α+−α+−α = … = 332121
21
1) (x
)x 2 ( x
−
α+α−α+α+α−+α .
Ora, l'uguaglianza (1) è verificata se e solo se:
5x2 − 8x + 4 = α1x2
+ (−2α1 + α2)x + α1 − α2 + α3.
ovvero se e solo se:
��
�
=α+α−α−=α+α−
=α
4825
321
21
1
. (2)
Abbiamo così ottenuto un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite α1, α2, α3 che, risol
to, fornisce α1 = 5, α2 = 2, α3 = 1.
Integrando ambo i membri della (0), finalmente si ricava:
� −+− dx3
24
1) (x 1 x x = � + dx)3x( + � −
+− dx3
2
1) (x 4 x8 x5
= � + dx)3x( + 5 � − dx1 x1 + 2 � −
dx2)1 x(1 + � −
dx3)1 x(1
= 221 x + 3x + 5⋅lnx − 1 − 1 x
2− − 2)1 x(2
1−
+ k. �
11 Calcola i seguenti integrali di funzioni razionali fratte.
(1) � −dx
9 x1
2 (2) � ++dx
6 x7 x1
2 (3) � −−dx
4 x3 xx
2 (4) � −−dx
2 x3 x2x
2 (5) � −+−− dx
x2 x x1 x3 x
23
2
(6) � +−−+− dx
2 x x2 x3 x5 x4
23
2 (7) � −
dx22) (x x (8) � +
+ dx3
2
1) (x x2 x (9) � ++
dxx x2 x
123 (10) � ++
+− dx4 x3 x
2 x x23
2
x + 3.
EP INT / 9
22
(11) � −+− dx34
3
x x3 x2 x (12) � −
+− dx4
2
2) (x 7 x5 x3 (13) � −
+ dx3 x22 x (14) � −
dx1 x
x2
2 (15) � −+
dx6 x x
x2
2
(16) � +−−− dx
8 x10 3x6 x x3
2
2 (17) � +−
−+− dx6 x5 x
10 x14 x6 x2
23 (18) � +⋅−
dx)1 x()1 x(
x2
5.
22 Calcola i seguenti integrali indefiniti (procedendo per sostituzione, ci si riconduce all'integrale di una funzione
razionale fratta in t… Occorre tornare, infine, alla variabile x, come negli esempi svolti 1, … ,5 di pag.16).
(3) k21x ln321x ln71x21x ++−⋅+−−⋅+−+− ; (4) kln1 e1 e
21
x
x+
+−⋅ ; (5) k ln
1 e2 e
x
x+
−− ;
(6) k2xx )1 e(21
1 e1 +
+++− ; (7) k3xln ln6xln2 ++⋅−⋅ ; (8) k lnxln
2
2 xln2 xln ++ +
− ;
(9) (poni t = tan 2x ), kln
2x2x
tan 1
tan 1 +
−
+; (10) k ln
3 tan
1 tan3
51
2x2x
+⋅−
+.
10. Integrali impropri Riprendiamo lo studio degli integrali definiti considerando il caso in cui vengano a mancare alcune delle ipo tesi del teorema enunciato a pag.6 (paragrafo 3). Il nostro prevalente interesse riguarda il significato da attri
buire all'espressione �b
af quando si verifica almeno una delle seguenti condizioni: (a) l'intervallo d'integrazione
è illimitato, ossia è uno dei seguenti: [ a, +∞ [, ] −∞, b ], ] −∞, +∞ [ ; (b) la funzione f è discontinua in a o in b. Nei casi (a) e (b) si parla, rispettivamente, di integrali impropri di prima e di seconda specie.
•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo [ a, +∞ [. Se esiste finito il �∞+→
x
a x
f lim , la funzione f si dice
integrabile (in senso improprio) nell'intervallo [ a, +∞∞∞∞ [ e si pone:
�+∞
a
f =def
�∞+→
x
a x
f lim (1)
SOLUZIONI
23
•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo ] −∞, b ]. Se esiste finito il �∞−→
b
x x
f lim , la funzione f si dice
integrabile (in senso improprio) nell'intervallo ] −−−−∞∞∞∞, b ] e si pone:
�∞−
b
f =def
�∞−→
b
x x
f lim (2)
Se i limiti che figurano al secondo membro delle (1) e (2) esistono finiti, si dice anche che i corrispondenti in
tegrali sono convergenti; se detti limiti sono infiniti (+∞ o −∞), si parla di integrali divergenti.
•••• Sia f una funzione reale continua in IR. Se f è convergente in entrambi gli intervalli ] −∞, c ] e [ c, +∞ [ ,
dove c è un numero reale qualsiasi, la funzione f si dice integrabile (in senso improprio) in IR e si pone:
�+∞
∞−
f =def
�∞−
c
f + �+∞
c
f (3)
Diremo che l'integrale di f in IR è convergente, se sono convergenti entrambi gli integrali impropri che figura
no al secondo membro della (3); diremo che è divergente, se almeno uno dei detti integrali è divergente.
Per indicare l'incremento che una primitiva G(x) di f subisce al variare di x dall'estremo inferiore all'estremo
superiore dell'intervallo d'integrazione, adottiamo le comode annotazioni [ G(x) ]a
+∞ , [ G(x) ]∞−b , [ G(x) ]
∞−+∞ ,
cioè poniamo:
�+∞
a
f = [ G(x) ]a
+∞ =def
)a(G)x(Glim x
−∞+→
, �∞−
b
f = [ G(x) ]∞−b =
def)x(Glim )b(G
x ∞−→− ,
�+∞
∞−
f = [ G(x) ]∞−
+∞ =def
)x(Glim )x(Glim x x ∞−→∞+→
− .
ESEMPI
� La funzione f(x) = e−λx, con λ > 0, è integrabile nell'intervallo [ 0, +∞ [ (fig.17).
Infatti, si ha �+∞
λ−
0
x dxe = +∞
λλ−− �
���
�
0
te = λλ+∞→+−
λ− 1ex
)(limx
= λ1 . �
� La funzione f(x) = x
1 non è integrabile nell'intervallo [ 1, +∞ [ (fig.18).
Infatti, si ha �+∞
1x1 dx = [ ]+∞
1 xln = 1lnxln lim x
−∞+→
= +∞. �
(fig.17) (fig.18) O
1
O 1 O
1
(fig.19)
24
� La funzione f(x) = 2x 11
+ è integrabile in IR (fig.19).
Infatti, si ha dx 0
x 11
2�+∞
+ = [ ]+∞
0 xtanarc = 0 arctan xtanarclim x
−∞+→
= 2π .
Da questa, tenendo conto che la funzione f è pari, si deduce:
dx 2x 11�
+∞
∞−+
= 2 ⋅ dx 0
x 11
2�+∞
+ = 22 π⋅ = π. �
•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo ] a, b ] e sia a un punto di discontinuità per f. Se esiste
finito il �+→
b
xa xf lim , la funzione f si dice integrabile (in senso improprio) nell'intervallo [ a, b ] e si pone:
�+
b
a
f =def
�+→
b
xa xf lim (4)
•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo [ a, b [ e sia b un punto di discontinuità per f. Se esiste
finito il �−→
x
ab xf lim , la funzione f si dice integrabile (in senso improprio) nell'intervallo [ a, b ] e si pone:
�−b
a
f =def
�−→
x
ab xf lim (5)
Se i limiti che figurano al secondo membro delle (4) e (5) esistono finiti, si dice anche che l'integrale di f in
[ a, b ] è convergente; se detti limiti sono infiniti, si parla di integrali divergenti.
•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo ] a, b [ e siano a e b punti di discontinuità per f. Se gli in
tegrali impropri �+
c
a
f e �−b
c
f , dove c ∈ ] a, b [ è un numero reale qualsiasi, convergono entrambi, la funzione f
si dice integrabile (in senso improprio ) nell'intervallo [ a, b ] e si pone:
�−
+
b
a
f =def
�+
c
a
f + �−b
c
f (6)
Diremo che l'integrale di f in [a, b] è convergente, se sono convergenti entrambi gli integrali impropri che figu
rano al secondo membro della (6); diremo che è divergente, se almeno uno dei detti integrali è divergente.
Per indicare l'incremento che una primitiva G(x) di f subisce al variare di x dall'estremo inferiore all'estremo
superiore dell'intervallo d'integrazione, adottiamo le annotazioni [ ]ba
)x(G + , [ ] −ba)x(G , [ ] −
+ba
)x(G , cioè poniamo:
�+
b
a
f = [ ]ba
)x(G + =def
)x(Glim )b(Ga x +→
− , �−b
a
f = [ ] −ba)x(G =
def )a(G)x(Glim
bx−
−→ ,
�−
+
b
a
f = [ ] −
+ba
)x(G =def
)x(Glim )x(Glimaxbx +− →→
− .
25
Alle funzioni integrabili in senso improprio si estendono tutte le proprietà enunciate nel paragrafo 4 (pag. 6),
ad eccezione del T. della media integrale, e i metodi d'integrazione per decomposizione in somma, per parti
e per sostituzione. ESEMPI
� La funzione f(x) = 32
x−
= 3 2x
1 è integrabile nell'intervallo [ −1, 0[ (fig.20).
Infatti, si ha �−
−
−0
1
dxx 32
= [ 31
x3 ⋅ ]1
0−
− =
31
x3lim0 x
⋅−→
+ 3 = 3. �
� La funzione f(x) =
2x 1
1
− è integrabile nell'intervallo ] −1, 1[ (fig.21).
Infatti, si ha �−
−
1
0 x 1
1 dx2
= [ ]01x arcsin
−= 0 arcsinx arcsinlim
1 x−
−→ = 2
π .
Da questa, tenendo conto che la funzione f è pari, si deduce �−
+−−
1
1x 1
1 dx2
= 2 ⋅ 2π = π. �
La funzione f(x) = x ⋅ ln x è integrabile nell'intervallo ] 0, 1] (fig.22).
Anzitutto, integrando per parti, si trova � ⋅ dxxlnx = .kxxlnx 2241
21 +−
Allora �+
⋅1
0
dxxlnx = [
22 xx 41
21 xln − ] +
0
1 = )xxlnx 2241
21
0 x41 (lim −−−
+→ = 4
1− . �
•••• Supponiamo che la funzione reale f sia discontinua in un punto c interno all'intervallo [ a, b ].
Allora f si dice integrabile (in senso improprio ) nell'intervallo [ a, b ] e si pone:
�b
a
f =def
�−c
a
f + �+
b
c
f (7)
(sempre che entrambi gli integrali impropri che figurano al secondo membro della (7) siano convergenti). Si possono infine considerare delle combinazioni "miste". Vediamone una.
•••• Sia f una funzione reale continua nell'intervallo ] a, +∞ [. Se gli integrali impropri �+
c
a
f e �+∞
c
f , dove c ∈ ] a, +∞ [
è un numero qualsiasi, convergono entrambi, la funzione f si dice integrabile (in senso improprio ) nell'in
O (fig.20)
1 −1 −1 (fig.21)
O 1
(fig.22)
26
tervallo [ a, b ] e si pone:
�+∞
+a
f =def
�+
c
a
f + �+∞
c
f (8)
11 Calcola i seguenti integrali impropri di prima specie.
(1) dx 4xe 0�
+∞− (2) dx e
12
x
�∞−
(3) dx 0
xe 1
xe�∞− −
(4) dx e
xln x 1
2�+∞
⋅ (5) dx
1x
xln2�
+∞
(6) dx xe x0
2
�+∞
−⋅ .
22 Calcola i seguenti integrali impropri di seconda specie.