1 I NUMERI IMMAGINARI I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione X 2 + 1 = 0 non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo. X 2 + 1 = 0 X 2 = -1
27
Embed
1 I NUMERI IMMAGINARI I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
I NUMERI IMMAGINARI
I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione
X2 + 1 = 0
non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.
X2 + 1 = 0
X2 = -1
2
L’unità immaginaria (in matematica)
Si definisce:
i = unità immaginaria,
(è un nuovo numero!!)
è il numero che non esisteva tra i numeri REALI e che permette di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi!!
.
1 - i
i2 = -1
3
L’unità immaginaria (in elettrotecnica)
Si definisce:
j = unità immaginaria
j2 = -1
1 - j
4
I NUMERI COMPLESSI
a = parte realeb = coefficiente parte
immaginaria( x = parte realey = coefficiente parte
immaginaria)• a, b, x, y sono tutti
numeri reali!!
I numeri complessi sono formati da due parti, una
parte reale ed una
parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:
a + j b oppure
x + j y
5
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA
NUMERI COMPLESSI • diagramma di Argand – Gauss
• I due numeri
Sono chiamati complessi coniugati.
Cambia solo il segno della parte immaginaria!!
zz ,
6
DIAGRAMMA DI GAUSSSIGNIFICATO DEI SIMBOLI
z = numero complesso
x = parte reale (ascissa di z)
y = parte immaginaria (ordinata di z)
r =z = modulo di z (è la lunghezza del vettore che parte dall’origine e arriva a z)
angolo formato tra il vettore “r” e il verso positivo delle ascisse (è chiamato “fase” o “argomento”)
7
RELAZIONI TRA I SIMBOLI DI UN NUMERO COMPLESSO
x = r cos ()
y = r sen ()
r2 = x2 + y2
yxr 22
)()cos()(
)cos()(
tgsen
rsenr
xy
)(xy
arctg
8
ESEMPI DI CALCOLO
Passaggio da numero complesso a modulo e fase
z = x + jy = 3 + j 4Modulo:
r2 = x2 + y2 = 9 + 16 =25
r = 5
Fase: = arctg (y/x) = arctg (4/3) = arctg(1,25)
= 51,34 °
9
ESEMPI DI CALCOLO
Passaggio da numero complesso a modulo e fase (complesso coniugato)
Il risultato della divisione tra due numeri complessi è un altro numero complesso,
quindi con una parte reale ed una immaginaria.
Per ottenere questo risultato occorre effettuare una operazione chiamata
“razionalizzazione”.
23
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
DIVISIONE O FRAZIONE
z1 = x1+jy1; z2 = x2+jy2
L’operazione di razionalizzazione consiste nel moltiplicare e dividere per una stessa quantità la frazione da calcolare. Tale quantità è uguale al denominatore della frazione con il segno della
parte immaginaria cambiata
yjx
yjxyjx
yjxyjx
yjxzz
22
22
22
11
22
11
2
1
24
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
DIVISIONE O FRAZIONE
yjx
yjxyjx
yjxyjx
yjxzz
22
22
22
11
22
11
2
1
)()(
)()(yjxyjx
yjxyjxyjx
yjx
zz
2222
2211
22
11
2
1
)]()([
)]()(yjyjxyjyjxxx
yjyjxyjyjxxx
zz
22222222
21212121
2
1
25
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI
)(
])(yyxx
yxxyjyyxx
zz
2222
21212121
2
1
)(
)()(22
22
21212121
2
1
yx
yxxyjyyxx
zz
DIVISIONE O FRAZIONE
)(
)(
)(
)(22
22
212122
22
2121
2
1
yx
yxxyj
yx
yyxxzz
Parte reale Parte immaginaria
26
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIESERCIZI
DIVISIONE O FRAZIONE
10
7
10
11
20
14
20
2220
206
20
1012
20
1020612416
25452343
24
24
24
53
24
53
24
53
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
jjzz
jjj
zz
jjjj
zz
jj
jj
jj
zz
jz
jz
)()()()()()(
)()(
)()(
;
;
27
LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIESERCIZIO IMPORTANTE !!!!!