1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester 2004 21.06.2004 10. Vorlesung.

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HEINZ NIXDORF INSTITUTUniversität Paderborn

Algorithmen und Komplexität

Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke

Sommersemester 200421.06.2004

10. Vorlesung

Christian Schindelhauer

Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke 2


Algorithmen und KomplexitätChristian Schindelhauer

Keine Terminänderung

ORGANISATIONNächste Vorlesung:

Fr. 02.07.2004 9-11 Uhr F0.530

Nächste Übungen: Mo. Heute 16 Uhr (C)Fr. 25.06.2004 9 Uhr (A)Fr. 25.06.2004 10 Uhr (B)

Dann wieder normal ...




Kapitel III

Epidemische Informations-ausbreitung

Algorithmen für Peer-to-Algorithmen für Peer-to-Peer-NetzwerkePeer-Netzwerke




Replizierte Datenbanken

Ausgangssituation

–Knoten sind durch ein Netzwerk verbunden

–Knoten und Kanten können ausfallen

–Knoten sollen lokale Information im Netzwerk an alle verteilen

–Verbindungsstruktur unklar Ziel:

–Gleicher Datenbestand an verschiedenen Orten

–Datenbestand muß konsistent gehalten werden

–Verfahren soll dezentral und robust arbeiten, weil Verbindungen/Rechner unzuverlässig

Nicht alle lokale Datenbanken (DB) sind allen bekannt

–z.B. Name-Server im Internet

–z.B. Peer-to-Peer-Netzwerk




Epidemien in der Wissenschaft

Hippokrates „Über Epidemien“ (ca 400 v.Chr.) John Graunt (1662) Louis Pasteur und Robert Koch (19. Jhd.) ...

In der Mathematik

Daniel Bernoulli (1760) Ross, Einfaches Epidemie Model (1911) Kermack und McKendrick, Allgemeines Epidemiemodell (1927)




Replizierte Datenbanken - Alternative Lösungen

Unicast– Jede neue Information wird an alle Datenbanken versandt– Problem:

• nicht alle lokalen Datenbanken sind bekannt oder immer erreichbarAnti-Entropy

– Jede lokale DB kontaktiert zufällig andere lokale DB– Totaler Abgleich des Datenbestands– Problem: Kommunikationsoverhead

Epicast– Informationsverbreitung ähnlich einer Infektion– Jeder Knoten reicht die Information, wie einen neuen Virus, weiter

• bis sie im Netz bekannt ist– Vorteil:

• schnell, robust, einfach– Nachteil:

• großer Nachrichtenoverhead




Epidemische Algorithmen

Synonym:– Gerücht, Virus, Nachricht, Epidemie

Epicast– Neue Information wird zum Gerücht– Solange das Gerücht neu ist, wird es weiterverbreitet– Ist das Gerücht alt, soll es schon allen bekannt sein

Epidemischer Algorithmus [Demers et al 87]– verbreitet Information wie einen Virus– robuste Alternative zu Broadcast

Kommunikationsform:– Random-Call-Modell

Für die Analyse betrachten wir nur ein Gerücht– Gelten die Eigenschaften mit hoher Wahrscheinlichkeit, dann gilt es auch für

polynomiell viele Gerüchte




Anruf-Model (Random Call)

Kommunikation wird synchronisiert modelliert in Runden

In jeder Runde kontaktiert jeder Teilnehmer einen uniform zufällig gewählten Teilnehmer

Man unterscheidet dei Kommunikationsmodelle

– Push: Der Anrufer gibt die Information dem Angerufenen

– Pull: Der Angerufene gibt die Information dem Anrufer

– Push&Pull: Kombination von Push und Pull

Push

Pull

Push&Pull




Epidemische Algorithmen in Peer-to-Peer-Netzwerken

Epidemische Algorithmen sind älter als Peer-to-Peer-Netzwerke

– 1987 versus 1999Epidemische Algorithmen brauchen zufällige Adressierung

– Viele Peer-to-Peer-Netzwerke unterstützen dies

– Gnutella

• Random Walk erreicht zufällige Adressierung

– CAN:

• Verwende Sprung zwischen den Realitäten

• Dadurch zufälliger Sprung in O(1) Hops

– CHORD, Koorde, Viceroy

• Zufälliger Sprung in log n Hops

– Pastry, Tapestry

• Zufälliger Sprung in log n Hops




Push-Modell




Push-Modell




Push-Modell




Push-Modell




Push-Modell




Push-Modell




Push-Modell




Push-Modell




Notation

Betrachte eine Nachricht

n: Anzahl Teilnehmer

I(t): Menge der informierten/infizierten KnotenS(t) = n-I(t) Menge der noch nicht Informierten

i(t) = |I(t)|/n Relativer Anteil der Informiertens(t) =1-i(t) Relativer Anteil der Nicht-Informierten




Struktur des Anruf-Modells

Betrachte feste Runde

Ausgrad: immer 1

Eingrad

– 0 mit Wahrscheinlichkeit

– 1 mit Wahrscheinlichkeit

– k mit Wahrscheinlichkeit

Für große n und kleineres k Poisson-Verteilung mit Erwartungswert 1




Push-Modell: Anfangsphase s(t) = o(1)

3 Möglichkeiten in Runde t:

– Ein infomierter Anrufer ruft einen bereits informierten Knoten an, W’keit i(t)

– Ein informierter Anrufer ruft den selben Knoten wie ein anderer Knoten an: W’keit i(t)

W’keit, dass ein Knoten ohne Erfolg anruft: 2i(t)

W’keit für Infektion eines neuen Knoten, falls i(t) s(t)/2: 1 – 2i(t)

E[i(t+1)] i(t) + i(t) (1-2 i(t)) = 2 i(t) – 2i(t)2 2 i(t)




Push-Modell: Startphase & Exponentielles Wachstum

W’keit für Infektion eines neuen Knoten, falls i(t) s(t)/2: 1 – 2i(t)

E[i(t+1)] 2 i(t) – 2i(t)2 2 i(t)

1. Startphase: I(t) 2 c (ln n)2

o Varianz von i(t+1) relativ groß

o daher Verdopplung von i(t) erst nach O(1) Runden mit hoher W’keit

§ Exponentielles Wachstum: I(t) [2 c (ln n)2, n/(log n)]

1. (fast) Verdopplung mit hoher W’keit, d.h. 1-O(n-c)

2. Beweis durch Chernoff-Schranke:

3. Für unabhängige Zufallsvariablen Xi{0,1} und mit





Beweis durch Chernoff-Schranke:

Für unabhängige Zufallsvariablen Xi{0,1} und mit

Sei = 1/(ln n) und E[Xm] 2 c (ln n)3

Dann gilt 2 E[Xm] /2 c ln n

Damit ist





W’keit für Infektion eines neuen Knoten, falls i(t) s(t)/2: 1 – 2i(t) E[i(t+1)] 2 i(t) – 2i(t)2 2 i(t)

3. Zwischenphase I(t) [n/(log n), n/3]o Term 2i(t)2 2i(t)/(log n) kann nicht mehr vernachlässigt werdeno Trotzdem mit 2i(t) – 2i(t)2 4/3 i(t) noch exponentielles Wachstum,

aber Basis < 2§ Sättigung: I(t) n/3

3. W’keit, dass ein Gesunder von I(t) = c n Infizierten nicht kontaktiert wird:

• Damit konstante W’keit für Infektion: 1 – e–1/3 und 1 – e–1

4. Daher E[s(t+1)] e–i(t) s(t) e–1/3 s(t)3. Gilt mittels Chernoff-Schranke auch mit hoher W’keit4. Exponentielles Schrumpfen der Gesunden5. Basis konvergiert gegen 1/e




Gerüchteausbreitung: Push

Startphase: i(t)<1/2 Sättigung: s(t) < 1/2

Sicherung

Zeit

i(t)

s(t)

1

0

log2 n ln n c ln n




Anruf-Model (Random Call)

Infektionsmodelle:

– Push-Modell:

• Der Anrufer infiziert den Angerufenen

– Pull-Modell:

• Der Angerufene infiziert den Anrufer

– Push&Pull-Modell:

• Beides




Pull-Modell




Pull-Modell




Pull-Modell




Pull-Modell




Pull-Modell




Pull-Modell




Pull-Modell

Gegeben: Rel. Anteil s(t) gesunder Knoten und i(t) Infizierter

– W’keit, dass gesunder Knoten einen Infizierten kontaktiert: i(t)

E[s(t+1)] = s(t) – s(t) i(t) = s(t) (1 – i(t)) = s(t)2

E[i(t+1)] = 1-s(t)2 = 1 – (1 – i(t))2 = 2 i(t) – i(t)2 2 i(t)

– Approximation funktioniert nur, falls i(t) klein Problem:

– falls i(t) (log n)2 exponentielles Wachstum nicht sicher

– Bis exponentielles Wachstum sicher startet, dauert es O(log n) SchritteAber dann:

– Falls s(t) 1/2: Anteil Gesunder wird in jedem Schritt quadriert,

• d.h. E[s(t+ O(log log n))] = 0,

– Falls i(t) 1/2, dann sind nach O(log log n) Schritten sind alle infiziert




Gerüchteausbreitung: Pull

Startphase i(t)<1/2 Sättigung

s(t) < 1/2Sicherung

Zeiti(t)

s(t)

1

0

c ln n + log2n log log n c log log n




Push&Pull-Modell

o Kombiniert Wachstumsverhalten von Push und Pull1. Startphase: i(t) 2 c (ln n)2

• Push: Verdopplung von i(t) nach O(1) Runden mit hoher W’keit2. Exponentielles Wachstum: I(t) [2 c (ln n)2, n/(log n)]

• Push und Pull: (fast) Verdreifachung mit hoher W’keit in jeder Runde, d.h. i(t+1) 3 (1-1/(log n)) i(t)

3. Zwischenphase I(t) [n/(log n), n/3]• Push und Pull: Verlangsamtes exponentielles Wachstum

4. Quadratisches Schrumpfen I(t) n/3• durch Pull:

E[s(t+1)] s(t)2

1. Mit Chernoff-Schranke gilt mit hoher W’keits(t+1) 2 s(t)2

und damit nach zwei Runden für s(t) 1/21/2

s(t+2) s(t)2




Gerüchteausbreitung: Push & Pull

Startphase i(t)<1/2 Sättigung

s(t) < 1/2Sicherung

Zeiti(t)

s(t)

1

0

log3n log log n c log log n




Shenkers Min-Counter-Algorithmus

Einfache Terminierungsstrategie:

– Falls Gerücht älter als maxctr, dann stoppe Weitergabe

Vorteil:– Einfaches Verfahren

Nachteile:

– Wahl von maxctr entscheidend

• Falls maxctr zu niedrig, werden nicht alle Knoten informiert

• Falls maxctr zu hoch, entsteht Nachrichtenoverhead (n maxctr)

– Optimale Wahl bei

• Push-Kommunikation: maxctr = O(log n)

Nachrichtenmenge: O(n log n)

• Pull-Kommunikation: maxctr = O(log n)

Nachrichtenmenge: O(n log n)

• Push&Pull-Kommunikation: maxctr = log3n + O(log log n)

Nachrichtenmenge: O(n log log n)




Terminierung von GerüchtenMin-Counter-Algorithmus

Jeder für sich schätzt ein Gerücht für

– „neu“, „alt“, „sehr alt“, „sehr sehr alt“, „sehr sehr sehr alt“, ... ,

– „sehrmaxctr alt“ = „uralt“ ein.

Am Anfang ist jedes Gerücht „neu“.

Gerüchte werden nicht jünger.

Erfährt jemand ein Gerücht

– zum ersten Mal übernimmt er das Alter.

– zum zweiten Mal oder mehr als zweimal gleichzeitig, setzt er das Alter um eins höher.

Solange ein Gerücht nicht „uralt“ ist, erzählt man es weiter.

Falls ein Gerücht „uralt“ ist, wird es noch maxctr Runden lang in jeder Runde erzählt und dann vergessen.




Der Min-Counter-Algorithmus

Benutzt Kommunikation– Wird das Gerücht von allen Kontaktpartnern als älter erachtet,

wird der Alter-Zähler erhöhtShenkers Min-Counter-Algorithmus für maxctr = O( log log n)

– Jeder Spieler P führt Variable für Gerücht Variable

– A: Spieler P kennt Gerücht P nicht: ctrr(P) initialisiert mit 0

– B: Falls Teilnehmer P hört Gerücht R zum ersten Mal:

ctrR(P) 1

– B: Falls Teilnehmer Q1, Q2, …, Qm Kommunikationspartner von P in dieser Runde

Falls mini(ctrR(Qi) ctrR(P) dann ctrR(P) ctrR(P) + 1

– C: Falls ctrR(P) maxctr erzählte Gerücht für weitere maxctr Rundendanach D: stoppe Weiterübertragung des Gerüchts

Theorem

Der Min-Counter-Algorithmus informiert für Push&Pull-Kommunikation alle Teilnehmer in log3n + O(log log n) Runden mit W’keit 1nc, wobei maximal O(n log log n) Gerüchte übertragen werden.




Der Min-Counter-Algorithmus

Theorem

Shenkers Min-Counter-Algorithmus informiert für Push&Pull-Kommunikation alle Teilnehmer mit W’keit 1nc, wobei maximal O(n log log n) Nachrichten übertragen werden.




Push, Pull und Push&Pull

Verwendet man

...

OperationenPush Pull Push&Pull

dann muss man maxctr auf

...

setzen

O(log n) O(log log n) O(log log n)

und informiert in

...

Runden (Zeit) O(log n) O(log n)

log3n + O(log log n)

alle Knoten mit ... Nachrichten mit

Wahrscheinlich-keit 1—n —c O(n log n) O(n log log n) O(n log log n)

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Algorithmen und Komplexität

Vielen Dank

Ende der 10. VorlesungNächste Vorlesung: Fr. 02.07.2004 9-11 UhrNächste Übung: heute Mo. 21.06.2004 16 Uhr (C)

Fr. 25.06.2004 9 Uhr (A)Fr. 25.06.2004 10 Uhr (B)

1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester 2004 21.06.2004 10. Vorlesung.

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