E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2017‐2018 Grado Ingeniería Mecánica Asignatura: Cálculo I : Prueba 18 de octubre 1 Para representar la función () () 3 1 x sen x f x x + = + en el intervalo [‐2,2] se puede utilizar el siguiente código a) Ninguna de las anteriores b) f=inline('(x^3+sin(x))/(x+1)') x=‐2:0.2:2; plot(x,f(x)) c) x=0:0.1:4; x1=x‐2; plot(x1,(x1.^3+sin(x1))./(x1+1)) d) x=‐2:0.2:2; plot(x,(x^3+sin(x))/(x+1)) Solución: c) 2 Una fábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es de p euros/unidad. La relación entre p y q es 2 2 2 31 0 q q p p - - - = . Si el precio p del artículo es de 9 euros y se incrementa a una tasa de 0.20 euros por semana, se pide calcular la rapidez a la que cambia la cantidad de unidades q , vendidas por semana cuando el precio es de 9 euros. Seleccione una: a) 0.206 miles unidades/semana b) Ninguna de las anteriores c) 0.106 miles unidades/semana d) 0.1 unidades/semana Solución Derivando respecto de t 2 2 2 0 dq dq q dp dp q p p dt dt dt dt p - - - = (1) Cuando 9 p = , el valor de q es 2 6 36 448 6 112 0 14 2 q q q + + - - = = =
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E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2017‐2018 Grado Ingeniería Mecánica Asignatura: Cálculo I
:
Prueba 18 de octubre
1
Para representar la función ( )( )3
1
x sen xf x
x
+=
+ en el intervalo [‐2,2] se
puede utilizar el siguiente código
a) Ninguna de las anteriores
b) f=inline('(x^3+sin(x))/(x+1)')
x=‐2:0.2:2; plot(x,f(x))
c) x=0:0.1:4; x1=x‐2;
plot(x1,(x1.^3+sin(x1))./(x1+1))
d) x=‐2:0.2:2;
plot(x,(x^3+sin(x))/(x+1))
Solución: c)
2 Una fábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es de p
euros/unidad. La relación entre p y q es 2 22 31 0q q p p- - - = .
Si el precio p del artículo es de 9 euros y se incrementa a una tasa de 0.20 euros
por semana, se pide calcular la rapidez a la que cambia la cantidad de unidades
q , vendidas por semana cuando el precio es de 9 euros.
Seleccione una:
a) 0.206 miles unidades/semana
b) Ninguna de las anteriores
c) 0.106 miles unidades/semana
d) 0.1 unidades/semana
Solución
Derivando respecto de t
2 2 2 0dq dq q dp dpq p pdt dt dt dtp
- - - = (1)
Cuando 9p = , el valor de q es
2 6 36 4486 112 0 14
2q q q
+ +- - = = =
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Sutituyendo en (1) los valores 9p = , 14q = , 0.2dp euros
dt semana= se obtiene
0.206miles unidadesdq
dt semana
3 Calcula el valor que proporciona el polinomio de Taylor de grado 2 de la función
cosy x= en el punto 4
ap
= , como aproximación al valor de cos5
pæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø.
Introduce el valor con 4 cifras decimales.
Solución
El polinomio de Taylor de grado 2 en el punto 4
ap
= es
( )2
2
1cos cos4 4 4 2 4 4
T x sen x xp p p p pæ ö æ öæ ö æ öæ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= - - - -ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè ø è øè ø è øè ø
2
2
1cos cos
5 5 4 4 5 4 2 4 5 4f T sen
p p p p p p p p pæ ö æ ö æ ö æ öæ ö æ öæ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷» = - - - -ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è øè ø è øè ø
Código para obtener el valor: a=pi/4;x=pi/5 cos(a)-sin(a)*(x-a)-1/2*cos(a)*(x-a)^2 %El resultado pedido es 0.8095
Prueba 27 de octubre
En todos los ejercicios se deberá explicar y justificar la respuestas. Tiempo: 2 horas
1 a) Dos curvas se dicen que son ortogonales en un punto si sus rectas
tangentes son perpendiculares. Determinar si las siguientes curvas
son ortogonales en el punto ( )1,1
( )2 32y x x- =
( )1/32 2 1y xy x+ = +
b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de agua contenida en un depósito
cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de 300 litros por minuto?
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c) Un punto en el plano se mueve a lo largo de la curva de ecuación
( )2 1y sen x= + , de manera que la abscisa respecto al tiempo t es
( )log 2 1x t= - . Calcular la variación de la ordenada respecto del tiempo,
dy
dt, cuando 1t = .
Apartado a)
Calculamos las pendientes de las rectas tangentes a ambas curvas derivando implícitamente:
Curva ( )2 3
12C y x xº - =
( ) 2 22 ' 2 3yy x y x- - = . En el punto (1, 1)
2 ' 1 3 ' 2y y- = =
Luego la pendiente de la recta tangente a la curva 1C en el punto (1,1) es
12m =
Curva ( )1/32 2
21C y xy xº + = +
( ) ( )2/312 ' ' 2
3yy xy y xy x
-+ + = . En el punto (1, 1)
( )1 7 1 52 ' 1 ' 2 ' 2 '
3 3 3 7y y y y+ + = = - =
Luego la pendiente de la recta tangente a la curva 2C en el punto (1,1) es
2
5
7m =
Como 1 1
1m m ¹ - , las curvas no son ortogonales.
Apartado b)
Se cumple que 2V r hp= siendo r el radio del cilindro, que es constante, y h su altura. Al
vaciarse el volumen y la altura varían con el tiempo,
2 2
2
300300
minuto
dV dh dh dh dmr r
dt dt dt dt rp p
p-
= - = =
Nota: 31 1litro dm=
Apartado c)
Aplicando la regla de la cadena
( ) 1/221 21 2 cos
2 2 1
dy dy dxsen x senx x
dt dx dt t
-æ ö÷ç ÷= = +ç ÷ç ÷ç -è ø
Cuando 1t = , ( )log 1 0x = = luego sustituyendo en la expresión anterior se tendrá:
0 2 0dy
dt= ⋅ =
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Nota: Este ejercicio es idéntico al propuesto número 8a, relaizado en clase el día 5 de octubre.
p
2
a) Deducir la derivada de la función ( )y arcsen x= .
b) Dada la función ( ) 2f x
x= , calcular utilizando la definición de derivada
el valor de ( )'f a siendo 0a > . Calcula el área del triángulo
determinado por los ejes coordenados y la recta tangente a la función
en el punto a .
c) Determinar cuáles de las siguientes curvas son las gráficas de una
función y dependiente de x en las proximidades del punto A
señalado en la figura. Justifica la respuesta
Justificar las respuestas.
Puntuación: 2+3+2
Apartado b) Realizado en clase el 2 de octubre. Apartado a) Propuesto el día 28 de septiembre y realizado en clase el día 2 de octubre.
Solución apartado c)
Las dos primeras figuras representan curvas en las que en un entorno del punto A se define
una función y dependiente de x .
3
a) Se considera la función ( ) logf x x x= . Utilizando un polinomio de
Taylor de grado 2 calcula el valor aproximado de ( )1.1f dando una
cota del error y determinando si la aproximación que daría dicho
polinomio es por exceso o por defecto.
b) De una función ( )f x se conoce que su derivada enésima es
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( ) ( ) ( ) ( )1( 1 1 ! 2n nnf x n x+ -
= - - - . Se pide calcular el número de términos
necesarios para aproximar ( )1f mediante un polinomio de Taylor en el
punto 0a = con un error menor que 210- .
Puntuación: 3+3
Apartado a) Como el valor pedido es ( )1.1f se considera 1a = . Teniendo en cuenta que
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
log 1 0
' log 1 ' 1 1
1'' '' 1 1
f x x x f
f x x f
f x fx
= =
= + =
= =
El polinomio de Taylor es
( ) ( ) ( )22
11 1
2T x x x= - + -
El valor aproximado pedido es
( ) ( ) ( ) ( )22
11.1 1.1 1.1 1 1.1 1 0.105
2f T» = - + - =
El error de la aproximación es
( ) ( ) ( )3 32 2
''' 11.1 1.1 1 0.1 1 1.1
3 ! 6
f tR t
t
-= - = < <
Al ser negativo, la aproximación dada de 0.105 es por exceso. Una cota del error es
( )2 3
11.1
6 10R £
⋅
Apartado b)
Teniendo en cuenta que
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
1
1
1
1 ! 2 11 1 2 0 1
1 ! 1 2
n n
n
n n
n tR t
n n t
- -
+
+
- - -= - = < <
+ + -
( )( )( ) 1
1 11 0 1
11 2n nR t
nn t+
= < < <++ -
Para asegurar que el resto sea menor que 210- basta elegir n cumpliendo
2110
1n-<
+
Es decir, n=100.
En el ejercicio resuelto número 15 de la guía del tema 1 se resuelve este ejercicio (página 33).
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Pág. 6
4
a) Demostrar que si en un límite se sustituye un factor o un divisor que es
un infinitésimo por otro equivalente, el valor del límite no se ve
alterado.
b) Determinar un infinitésimo equivalente para 0x = de la función
( ) ( ) ( )( )cos 1 log 1f x x x x= - + - .
Puntuación: 2+2
Apartado a) Hecho en clase.
Apartado b) Basta tener en cuenta el primer término no nulo del polinomio de Taylor en el
punto 0a = para afirmar que
( )
2
2
cos 12
log 12
xx
xx x
- » -
+ - » -
Por lo tanto ( )4
4
xf x »
Ver práctica realizada el 25 de octubre donde se realizaron ejercicios similares y el ejercicio resuelto número 16 de la guía del tema 1.
Seguimiento
1
Se considera la función ( ) ( ) 1 22
11
1a log 1
n n
nn
xxf x
a n a
-¥
-=
æ ö -÷ç ÷ç= + =÷ç ÷÷çè øå donde a es el
último dígito de tu DNI (si es 0 ó 1, considera 2).
Se pide:
a) Determinar el campo de convergencia de la serie.
b) Calcular el valor de ( )1.2f con la suma de los 15 primeros términos de la
serie.
c) Dar una cota del error que se obtendría al aproximar el valor de ( )1.2f
por los 20 primeros términos de la serie.
Nota: En los apartados b), c) se deberá escribir el código Octave y la solución
numérica que devuelve el programa cuando proceda.
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Solución a)
Teniendo en cuenta que es el desarrollo de la función logaritmo el campo de convergencia es
el conjunto de valores x reales que verifican:
221 1 0
xx a a x a
a< £ £ £ - £ £
Solución b) a=2; x=1.2; a*log(1+x^2/a) ter=15; n=1:ter; an=(-1).^(n-1).*(x.^(2*n))./(n.*a.^(n-1)); sum(an)
Solución c)
Como la serie es alternada, el valor absoluto del error que se comete al aproximar el valor de
la función por los primeros 20 términos, es menor que el valor absoluto del término 21
22
20
1.1
21error
a<
⋅
Ejercicios similares se han realizado en la práctica 5 realizada el 8 de noviembre.
Prueba 24 de noviembre
1
Dada la función ( )2
3 log 13
xf x
æ ö÷ç ÷ç= + ÷ç ÷÷çè ø , se pide:
(a) Calcular el desarrollo en serie de potencias de x de la función ( )f x
indicando su campo de convergencia.
(b) Calcular el valor de la siguiente integral 1 2
0
3 log 13
xdx
æ ö÷ç ÷ç + ÷ç ÷÷çè øò con un error
menor que 210- .
Solución a)
Utilizando el desarrollo en serie de la función logaritmo
( ) ( ) 12 3
1
1log 1 ... 1 1
2 3
n n
n
xx xx x x
n
+¥
=
-+ = - + - = - < £å
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Como es una serie alternada, el error al considerar como aproximación de la integral los primeros n sumandos es menor que el valor absoluto del primer término no considerado.
Para que el error sea menor que 210- , basta elegir n cumpliendo
( ) ( )21
101 3 2 3nn n
-<+ ⋅ +
es decir, n=2. Por lo tanto, 1 2
0 10
1 13 log 1 0.3
3 1 3 3 2 3 5
xdx
æ ö÷ç ÷ç + = - =÷ç ÷÷ç ⋅ ⋅ ⋅ ⋅è øò
El apartado a) es el ejercicio de seguimiento realizado el 15 de noviembre.
Ejercicios similares al apartado b) se han realizado en la práctica 5 realizada el 8 de noviembre.
2
(a) Demostrar que la serie 2
1
1
n n
¥
=å es convergente.
(b) Determinar el carácter de las siguientes series enunciado el criterio que
se utilice:
1.11
1
n
senn
¥
=
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè øå
1
3 2
2 3n
n
n
¥
=
+-å
( )2
1
cos
1n
n
n
p¥
= +å
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Solución a)
Basta aplicar la siguiente igualdad que acota la suma parcial enésima de la serie
2 21 1
1 1 11 1 1
nn
nk
S dxnk x=
æ ö÷ç ÷= £ + = + - +ç ÷ç ÷çè øå ò
Entonces,
12 lim 2
n nnS S
n ¥£ - £
y, por lo tanto, la suma parcial enésima de la serie 2
1
1
n n
¥
=å es convergente ya que una serie de
términos positivos o es convergente o divergente.
Solución b)
La serie 1.1
1
1
n
senn
¥
=
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè øå es convergente por comparación con la serie
1.11
1
n n
¥
=å .
La serie 1
3 2
2 3n
n
n
¥
=
+-å no es convergente porque no cumple la condición necesaria ce
convergencia,
3 2 3lim 02 3 2n
n
n¥
+= ¹
-
La serie ( ) ( )2 2
1 1
cos 1
1 1
n
n n
n
n n
p¥ ¥
= =
-=
+ +å å es convergente por Leibnitz,
2
10
1n na
n ¥=
+
2
1
1na
n=
+ es monótona decreciente,
( )( )22
1 2 2
1 11 1 1
11 1n na a n n
nn+ < < + < + +
++ +
El apartado a) se ha explicado en clase el día 30 de noviembre.
Ver ejercicios similares propuestos el día 2 de noviembre.
3 Calcular el desarrollo en serie de potencias en el origen de la siguiente función
indicando su campo de convergencia:
( )( )5 3
2 1 3
x
x x
+
+ - +
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