Материал для лекций по высшей математике для ГФ 1 курс, 2011 год. Лектор Лисеев И.А., кафедра высшей математики МИИГАиК. Высшая математика Для студентов геодезического факультета 1 курса. Осень 2011 год. Лектор Лисеев И.А. Приведены списки вопросов первого теоретического контроля Полный список (сразу после оглавления) и список вопросов нулевого уровня (в конце файла). Раздел 1. Функции , пределы , непрерывность Глава 1. Множества, числа, функции Это "описательная" глава. Здесь вводятся в рассмотрение разные математические понятия, даются определения. В этой главе у нас будет только два или три простых доказательства. Учебники. Уважаемые студенты, при подготовке к теоретическим контролям и к экзамену вы можете использовать учебники по математике. Рекомендую смотреть такие учебники … 1) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. 3) Шипачѐв В.С. Высшая математика . Конечно, вы можете искать ответы на возникающие у вас вопросы и в других учебниках, спра- вочниках, а также в интернете. Есть хорошие сайты … Задачники ... Хорошо использовать такие задачники, в которых приводятся сведения из теории, и в ко- торых даются решения типовых задач. Например, … 1) Данко П.Е. и др. … Высшая математика в упражнениях и задачах. Пока нужна часть 1. 2) Под редакцией Демидовича Б.П.. Для ВТУЗов . Задачи и упражнения по математиче- скому анализу. 3) Каплан И.А. и др. … Практикум по высшей математике. Для начала нужен том 1. 4) Вдовин А.Ю. и др. Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории. 2008г. 5) Журбенко Л.Н. и др. Математика в примерах и задачах. Для бакалавров. 2009 г. = = = = = = = = Распечатано 12 октября 20 11 года Последнее редактирование 12 октября 2011 года Студент-геодезист должен иметь инженерный калькулятор. Калькулятор студенту-геодезисту нужен так же, как и мо- бильный телефон.
64
Embed
1. Функции пределы непрерывностьliseev-ia.narod.ru/1_Lectures/NumberFunction.pdf20. Понятие сложной функции (определение
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Материал для лекций по высшей математике
для ГФ 1 курс, 2011 год.
Лектор Лисеев И.А., кафедра высшей математики МИИГАиК. (261-92-40 каф) (254-02-03 дом)
Высшая математика
Для студентов геодезического факультета 1 курса. Осень 2011 год. Лектор Лисеев И.А.
Приведены списки вопросов первого теоретического контроля Полный список (сразу после оглавления) и список вопросов нулевого уровня (в конце файла).
Раздел 1 . Функции, пределы, непрерывность
Глава 1 . Множества, числа, функции
Это "описательная" глава. Здесь вводятся в рассмотрение разные математические понятия,
даются определения. В этой главе у нас будет только два или три простых доказательства.
Учебники. Уважаемые студенты, при подготовке к теоретическим контролям и к экзамену вы можете
использовать учебники по математике. Рекомендую смотреть такие учебники …
1) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.
2) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.
3) Шипачѐв В.С. Высшая математика.
Конечно, вы можете искать ответы на возникающие у вас вопросы и в других учебниках, спра-
вочниках, а также в интернете. Есть хорошие сайты …
Задачники ...
Хорошо использовать такие задачники, в которых приводятся сведения из теории, и в ко-
торых даются решения типовых задач. Например, …
1) Данко П.Е. и др. … Высшая математика в упражнениях и задачах. Пока нужна часть 1.
2) Под редакцией Демидовича Б.П.. Для ВТУЗов. Задачи и упражнения по математиче-
скому анализу.
3) Каплан И.А. и др. … Практикум по высшей математике. Для начала нужен том 1.
4) Вдовин А.Ю. и др. Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории. 2008г.
5) Журбенко Л.Н. и др. Математика в примерах и задачах. Для бакалавров. 2009 г.
= = = = = = = =
Р а с п е ч а т а н о
1 2 о к т я б р я 2 0 1 1 г о д а
П о с л е д н е е р е д а к т и р о в а н и е
1 2 о к т я б р я 2 0 1 1 г о д а
Студент-геодезист должен иметь инженерный калькулятор.
Калькулятор студенту-геодезисту нужен так же, как и мо-
бильный телефон.
2
В первом семестре будет вот что … (18 недель. 2 часа лекций и 2 часа практических в неделю).
+ 2 часа в неделю, так называемых дополнительных занятий.
В конце семестра – официальный зачѐт, а в сессию – экзамен.
Последняя неделя семестра – "зачѐтная" неделя.
Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.
Глава 1. Множества, числа, функции.
Глава 2. Понятие предела.
Глава 3. Теоремы о пределах.
Глава 4. Непрерывность и разрывы функций.
Раздел 2.Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Глава 1. Дифференцируемые функции.
Глава 2. Формула Тейлора.
Глава 3. Исследование функций.
Раздел 3. Интегральное исчисление функций одной переменной.
1. При изучении математики мы с вами не будем преследовать цель последовательного введения
новых понятий и последовательного вывода (всех) теорем курса математики. Такое изложение надо смот-
реть в солидных (серьѐзных) учебниках по высшей математике.
Мы будем предполагать, что вы всѐ же учились в школе и что-то знаете из математики. Наше изло-
жение будет ближе к популярному, чем к строгому. А где-то изложение будет похоже на справочное. Но в
каких-то местах будет продемонстрирован и последовательный вывод результатов.
Далеко не все утверждения мы будем доказывать. И сами доказательства часто будут упрощѐнные.
Наша цель не построение математики, а лишь изложение еѐ результатов.
2. Характер и манера изложения, которые у меня получаются, заметно отличаются от общепри-
нятых в учебной литературе. Происходит это по следующей причине.
Я стараюсь, чтобы этот материал смогли понять, чтобы смогли во всѐм разобраться, как можно
большее число студентов. Отсюда длинные объяснения и даже некоторые повторы (но повторение – мать
учения). Я стараюсь объяснить материал читателю.
В то же время во многих местах даются и достаточно краткие и чѐткие формулировки, которые
предназначены для запоминания-зазубривания.
Уважаемые студенты, вы различайте …
Допустим, в каком-то месте подробно, многословно что-то описывается – это для того, чтобы сту-
дент всѐ понял. И если дальше не приведена краткая, чѐткая фраза для запоминания, то студенту следует
самому еѐ для себя составить и заучить. 8. Конечно, есть путь организации изложения с сохранением принципа полноты и с (кажущимся) уменьшением занудности [см.
Мантуров, двухуровневое изложение] . Наверное, и мне надо не полениться и так всѐ сделать. Или использовать приѐм: "При первом чтении
этот пункт можете пропустить".
Уважаемые студенты, если вам будет трудно читать эту методичку (мало ли по каким причинам), то для на-
чала можете ограничиться разбором вопросов нулевого уровня. Список таких вопросов по материалам этой главы
(ТК-1, нулевой уровень) приведѐн в конце текста главы. А уж эти вопросы вы должны выучить-вызубрить, если
хотите получить зачѐт, сдать экзамен по математике и продолжить обучение в нашем геодезическом университете.
По мере своего математического развития позже вы сможете освоить и другие математические понятия, разобранные
в этой главе.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Весь коллектив кафедры высшей математики желает вам успехов в учѐбе.
= = = = = = = = = = = = = =
Сюда хотелось бы добавить § Понятие о частных производных..
+ § Линеаризация и приложения
3
Оглавление
Введение
§1. Элементарная и высшая математика ............................................................................................ 6 §2. "Чистая" и прикладная математика ........................................................................................... 6 §3. Некоторые особенности математики как науки ............................................................................ 7
1. Абстрактность математики. ........................................................................................................... 7 2. Логичность построения математики. ............................................................................................. 8 3. Математика даѐт абсолютно достоверные знания. ...................................................................... 8
§4. Математические модели ................................................................................................................... 9 1. Схема использования математики в жизни. ................................................................................ 9 2. Понятие и предназначение математической модели. ................................................................ 10 3. Примеры. ........................................................................................................................................ 11
§5. Почему, зачем надо изучать математику? ..................................................................................... 13 §6. Некоторые понятия логики ............................................................................................................. 15 §7. Некоторые обозначения .................................................................................................................. 15
Раздел 1. Функции. Пределы. Непрерывность
Глава 1. множества, Числа, функции
§1. Множества ........................................................................................................................................ 16
1. Понятие множества. ...................................................................................................................... 16 2. Равенство множеств. Понятие подмножества. .............................................................. 16 3. Операции с множествами. ........................................................................................................... 17
§2. Развитие понятия числа .................................................................................................................. 17 § 3 . Р а ц и о н а л ь н ы е и д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а . Ч и с л о в а я о с ь ............................... 20
1. Десятичная запись чисел. (сократить) ...................................................................................... 20 2. Рациональные и иррациональные числа. ................................................................................ 21 3. Действительные числа. ................................................................................................................ 22 4. Свойства сложения и умножения действительных чисел. ...................................................... 22 5. Упорядочение действительных чисел. ....................................................................................... 22 6. Неограниченность множества действительных чисел (архимедово свойство). ................... 23 6. Понятие числовой оси. ................................................................................................................ 23 7. Геометрическая интерпретация действительных чисел. Основное свойство числовой оси.
Свойство непрерывности действительных чисел. .......................................................................... 23 8. Почему теория математики строится на базе действительных чисел. .................................... 25
§ 4 . Понятие модуля числа. ................................................................................................................. 27 1. Определение модуля числа. ....................................................................................................... 27 2. Геометрический смысл модуля числа. .................................................................................... 27 3. Равенства и неравенства с модулями. .................................................................................. 27 4. "Раскрытие" равенств и неравенств с модулями. ........................................................ 28
§5. Виды промежутков на числовой оси ............................................................................................ 28 §6. Понятие окрестностей .................................................................................................................... 29
1. Изображение числовой оси в виде окружности. ............................................................... 29 2. Двусторонние - окрестности конечных точек-чисел из R. ......................................... 30 3. Односторонние - окрестности конечных точек-чисел из R. ...................................... 31 4. М-окрестности бесконечностей. ................................................................................................. 32
§7. Некоторые характеристики числовых множеств и множеств точек на числовой прямой ....... 34 1. Внутренние и граничные точки. Открытые и замкнутые множества ..................................... 34 2. Ограниченность и неограниченность числовых множеств. ..................................................... 36 3. Ограниченность-неограниченность сверху и снизу. Границы сверху и снизу для числовых
4
множеств. ............................................................................................................................................ 37 4. Второе определение ограниченности-неограниченности числовых множеств. .................... 39 5. Логические связи между просто ограниченностью-неограниченностью и
ограниченностью-неограниченностью сверху и снизу. ................................................................. 40 6. Наличие-отсутствие наибольшего и наименьшего элементов в числовом множестве. 41
§8. Переменные величины. Функции. ................................................................................................. 42 1. Понятие о переменной величине................................................................................................. 42 2. Дискретные и непрерывные переменные. .................................................................................. 43 3. Независимая переменная величина. ........................................................................................... 43 4. Соответствие между переменными. Зависимая и независимая переменные. .................. 43 4. Взаимно однозначное соответствие между переменными. ....................................................... 44 5. Определение понятия функции. ................................................................................................. 45 6. Приращение функции. .................................................................................................................. 47 7. График функции. ........................................................................................................................... 48 8. Простейшие способы задания функций. ..................................................................................... 48
§9. Явное, неявное, параметрическое задание функций ................................................................... 48 §10. Некоторые закономерности в поведении функций .................................................................. 49 §11. Понятие последовательности ...................................................................................................... 49 §12. Возрастание, убывание ................................................................................................................ 50
§13 Точки экстремума .......................................................................................................................... 54 1. Предварительное представление о непрерывности функций. .................................................. 54 2. Точки максимума функции. ........................................................................................................ 54 2. Точки минимума функции. .......................................................................................................... 55 4. Существование или отсутствие наибольшего и наименьшего значения функции на
промежутке. ........................................................................................................................................ 56 §14. Ограниченность и неограниченность .......................................................................................... 57 §15. Взаимно обратные функции ......................................................................................................... 57
1. Понятие взаимно обратных функций. ......................................................................................... 57 2. Признак существования обратной функции для функции y = f (x). ..................... 58 3. Графики взаимно обратных функций. ......................................................................................... 58
§16. Понятие сложной функции ......................................................................................................... 59 §17. Класс элементарных функций ..................................................................................................... 59
1. Основные (базовые) элементарные функции. ........................................................................... 59 2. Класс элементарных функций. .................................................................................................... 60 3. Классификация элементарных функций. ................................................................................... 61
↑ 1 – 9 сент 2011г. (три лекции по 2·45m
, и многое пропустил).
Ув. студенты! Прочитайте, законспектируйте, выучите материал этой главы.
Если вы не будете знать того, что здесь описано, то нет надежды, что вы ос-
воите следующие главы.
По материалу этой главы будет теоретический контроль. Списать там воз-
можности не будет.
5
В опр о сы конт р оля т ео р ет ическо го мат ериа л а
по г ла ве "Мн о ж ест в а , чи сла , ф ункции" . Для студентов ГФ. . Первый семестр. 2011год. Л е к т о р п р о ф . Л и с е е в И . А .
Введение.
1. Некоторые особенности математики, как науки.
2. Математические модели (понятие математической модели, примеры).
Глава 1. Множества, числа, функции.
1. Множества. Подмножество. Объединение и пересечение множеств (определения и рисунки).
между множествами этих числе. Характеристические свойства рациональных и иррациональ-
ных чисел (представление в виде простых дробей и особенности десятичной записи). Число-
вая ось. Геометрическая интерпретация действительных чисел. Основное свойство числовой
оси (о взаимно однозначном соответствии …). Свойство непрерывности действительных чи-
сел (упрощѐнная формулировка).
3. Понятие модуля числа. Геометрический смысл модуля числа. Раскрытие неравенств |x | < a ,
|x | ≤ a , |x | > a и |x | ≥ a (с рисунками).
4. Виды промежутков на числовой оси. Обозначения, рисунки, определения с помощью нера-
венств. В частности, определения интервала и отрезка.
5. Виды окрестностей точек на числовой оси (окрестностей для чисел из R): полные и проколо-
тые окрестности, двусторонние и односторонние окрестности, произвольные и
-окрестности. Окрестности для бесконечностей. Обозначения, рисунки, определения с по-
мощью неравенств для всех этих окрестностей.
6. Внутренние и граничные точки числовых множеств (промежутков на числовой прямой). От-
крытые и замкнутые множества. Примеры открытого и замкнутого множества на числовой оси.
7. Ограниченные числовые множества: ограниченные снизу, сверху, просто ограниченные (два
определения). Границы сверху и снизу для числовых множеств. Неограниченные множества:
неограниченные сверху, снизу, просто неограниченные.
8. Наличие и отсутствие наибольшего и наименьшего элемента в числовых множествах. Примеры. 9. Понятие переменной величины. Способы установления соответствия между переменными величинами.
10. Понятие функции y = f (x ) , x , y R . Область определения функции. Приращение функции в
точке (рисунок и формула). График функции. Простейшие способы задания функций (три способа).
11. Взаимно однозначное соответствие между переменными. Признак взаимно однозначного со-
ответствия, устанавливаемого функциональной зависимостью y = f (x).
12. Понятие последовательности. Графическое изображение последовательности.
13. Понятие характеристического свойства. Определения и характеристические свойства арифме-
тической и геометрической прогрессий.
14. Возрастающие и убывающие последовательности (невозрастающие и неубывающие последовательно-
сти). Монотонные и немонотонные последовательности. Строгая и нестрогая монотонность.
15. Возрастающие и убывающие функции на промежутке (невозрастающие и неубывающие
функции). Монотонные и немонотонные функции на промежутке. Строгая и нестрогая моно-
тонность. Характеристические свойства возрастающих и убывающих функций на промежутке.
16. Точки максимума и минимума функции y = f (x ) . Определения и характеристические свойства, рисунки.
17. Ограниченные и неограниченные последовательности. Функции, ограниченные на промежут-
ке. Ограниченные: сверху, снизу, просто ограниченные (два определения). Функции неогра-
ниченные на некотором промежутке: сверху, снизу, просто неограниченные.
18. Существование и отсутствие наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке. Примеры.
19. Взаимно обратные функции. Признак существования обратной функции для функции
y = f (x) . Графики взаимно обратных функций.
20. Понятие сложной функции (определение и примеры).
21. Основные (базовые) элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций.
В частности: графики (и определения) линейной, квадратичной и обратно пропорциональной
функций; графики степенных функций для х ≥ 0 при различных показателях степени (p >1 ,
p =1 , 0< p <1 , p <0 ); графики показательных и логарифмических функций при различных
основаниях степени и логарифма. The End..
"ТК-1"
Подчѐркнуты пунктиром совсем простые вопросы, за незнание которых студент сразу получает "неуд". Это вопросы – "нулевого уровня".
В ТК-1 много вопросов, которые студент должен знать ещѐ со школы.
Полный список вопросов.
ГФ Первый курс Осень 2011 Высшая математика Лисеев И.А.
6
В В Е Д Е Н И Е
§ 1 . Э Л Е М Е Н Т А Р Н А Я И В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А
Название предмета "Высшая математика" 1 связано с тем, что математику ино-
гда разделяют на элементарную и высшую. Конечно, это разделение довольно
условно.
На самом же деле есть одна наука: Математика .
Но если уж выделять элементарную математику, то к ней можно отнести:
тарные функции (графики этих функций и преобразование выражений, содер-
жащих эти функции), геометрию на плоскости и в пространстве.
Высшая математика начинается с таких понятий, как переменная вели-
чина , предел , бесконечность , на основе которых вводятся понятия про-
изводной и определѐнного интеграла . Если используется производная
или интеграл, то это уже – высшая математика. Высшая математика начинается и
тогда, когда с помощью системы координат соединяются алгебра и гео-
метрия, в результате чего получается аналитическая геометрия . В отли-
чие от элементарной математики, где рассматриваются только двумерные и трѐх-
мерные пространства, в высшей математике рассматриваются n - мерные и
даже бесконечномерные пространства . И так далее........;
Уже в школе вы познакомились с некоторыми понятиями высшей математики:
с производной, интегралом, векторами. Теперь же вам (нам) предстоит изучить
высшую математику поосновательней.
§ 2 . " Ч И С Т А Я " И П Р И К Л А Д Н А Я М А Т Е М А Т И К А
Математику иногда разделяют на чистую и прикладную. К прикладной ма-
тематике относят те разделы математики, которые применяются в практике. К
"чистой" математике относят те разделы математики, которые не имеют на рассмат-
риваемый момент практических применений и которые, как некоторым кажется,
нужны только самим математикам, да и то далеко не всем.
Иногда из высоких научных и финансовых кругов до людей доходят отголо-
ски дискуссии о том, надо ли финансировать исследования по "чистой" математике.
Дескать, чистая математика не предполагает мгновенной экономической отдачи и
она нужна только самим математикам. Поэтому, зачем на неѐ тратить деньги?
1 В последние годы в МИИГАиКе наш предмет стали называть просто математикой. Но если делить математику на
элементарную и высшую, то, что мы будем изучать, надо отнести к высшей математике.
Высшая математика (Ли…) . Введение.
7
Действительно, чистая математика не предполагает мгновенной экономической от-
дачи, но …. 1) Во-первых, чистая математика способствует развитию прикладной ма-
тематики2. 2) Во-вторых, разделы, которые сначала относят к чистой математике, через
какое-то время находят практическое применение, то есть переходят в прикладную мате-
матику. Например, комплексные числа. Сначала даже сами математики считали их чем-то нереальным.
А сейчас инженеры многих специальностей используют комплексные числа для описания и решения своих
задач. В частности, в теории геодезии и картографии используются комплексные числа.
Чистую математику изучают студенты специальных математических факуль-
тетов университетов (механико-математических факультетов). В остальных вузах
изучают только прикладную математику. То есть, изучают те разделы высшей ма-
тематики, которые используются в будущей специальности студентов.
То, что мы с вами будем изучать – это основные, простейшие,
можно сказать, базовые понятия математики. Наш курс – эта ба-
зовый курс высшей математики. Это то, что должен знать любой
инженер-геодезист.
Более сложные математические вещи вы будете затрагивать в специальных курсах на на-
шей кафедре и уже в геодезических курсах на других кафедрах по вашей специальности.
§ 3 . Н Е КОТОРЫЕ ОС ОБЕ Н Н ОС Т И М А ТЕ М А ТИ КИ КА К Н А УК И
1 . Абстрактност ь мат емат ики.
Математика – абстрактная наука .
Объектом исследования математики
являются абстрактные понятия:
геометрические фигуры (точка, прямая, плоскость), числа, переменные величины,
функциональные зависимости. Эти понятия хотя и отражают реальные объекты,
но в идеализированной форме.
2 Ну а в полезности для людей прикладной математики никто не сомневается. Возьмѐм пример из геодезии. Может
быть, вы слышал про систему GPS (Global Position System). Российский вариант этой системы называется
ГЛОНАСС (Глобальная Навигационная Спутниковая Система). Эти системы позволяют довольно точно определять
координаты и скорости объектов. И сейчас э т и с и с т е м ы п р е д с т а в л я ю т о с н о в н у ю с о в р е м е н н у ю
г е о д е з и ч е с к у ю т е х н о л о г и ю . А основной составляющей частью GPS и ГЛОНАСС являются спутники. А
кто сыграл основную роль в освоении космического пространства (в запуске спутников)? Наряду с инженерами-
конструкторами основную роль в этом деле сыграли математики. Без сложнейших и громаднейших (для того време-
ни) математических расчѐтов первые спутники не могли быть запущены. А без спутников не было бы и значительной
(большей) части современной геодезии. И ещѐ …
Потом на геодезических кафедрах вам расскажут, что основной (научной) задачей геодезии является опреде-
ление гравитационного поля Земли. Знание гравитационного поля необходимо и для расчѐта движения спутников, и
для других целей. Так вот, я хочу вам сказать, что в Теории определения гравитационного поля Земли задействова-
на такая математика, что вам она сейчас и присниться не может. То, что мы с вами сейчас будем изучать – такая
простота по сравнению с ней. Но с этой простоты надо начинать. Так что, уважаемые студенты, если вы хотите по-
нимать свою науку геодезию, то математику, которую мы с вами будем изучать, вы точно должны освоить.
ГФ Первый курс Осень 2011 Высшая математика Лисеев И.А.
8
2 . Логичност ь построения математики .
Математическая теория
– это логическое построение.
При построении математической теории берутся некоторые утверждения, на-
зываемые аксиомами , из которых логически выводятся новые утверждения –
теоремы .
Приведѐм для примера несколько правил логического вывода: 1) переход от общего
утверждения к частному (дедукция), 2) "транзитивность следования" (двойное следова-
ние): если из утверждения А следует утверждение В , а из утверждения В следует ут-
верждение С , то можно говорить, что из утверждения А следует утверждение С ,
3) закон "исключѐнного третьего" (используется при доказательстве "от противного"); по
этому закону верно либо само какое-то утверждение, либо утверждение ему противопо-
ложное – третьего не дано. В принципе, можно изменить правила логического вывода. Тогда получится уже другая математика..
Аксиомы, принимаемые за исходные утверждения, обязаны быть лишь непротиворе-
чивыми друг другу. Тогда и все теоремы не будут противоречить друг другу.
3 . Мат емат ика даѐт абсолютно достоверные знания.
Следствием логического построения математики, а также следствием того, что объек-
тами математики являются чѐтко заданные аксиомами абстрактные объекты, является аб-
солютная достоверность математических знаний.
Верность математической теории означает, что нет логических противоречий
внутри этой теории (при этом, конечно, принимаются определѐнные договорѐнности о логиче-
ских правилах доказательств). То есть, матем а т и ч е с к о й т е о р и и н е т р е б у -
е т с я к а к а я - т о э к с п е р и м е н т а л ь н а я п р о в е р к а е ѐ в е р н о с т и . Необхо-
димо только, чтобы в еѐ построении не было логических ошибок. В этом смысле и го-
ворят, что
математика даѐт абсолютно
достоверные знания.
Никто же не сомневается в верности теоремы Пифагора о соотношении между кате-
тами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Также никто не подвергает сомнению
признак возрастания функции: если ' (x) > 0 на Х , то (x) возрастает на Х .
Даже в быту этот факт находит отражение. Говорят: верно, как "дважды два – че-
тыре".
В других науках возможны ситуации, когда одни учѐные говорят про теорию других
учѐных, что эта теория ошибочна. …. То есть в других науках вполне возможна ситуа-
ция, когда разные теории в одной науке противоречат друг другу. В математике все ут-
Высшая математика (Ли…) . Введение.
9
верждения логически согласованы и не противоречат друг другу. 3
Хотя математика даѐт верные знания, но эти знания касаются абстрактных идеализи-
рованных понятий. А в реальной жизни все объекты совершенно не идеальные. Поэтому
возникает вопрос,
как математика может быть применена
к реальной жизни?
В применении математики к жизни фундаментальную роль играет понятие
математической модели.
§ 4 . М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е М О Д Е Л И
1 . Схема использования математ ики в жизни.
Чтобы при решении реальной жизненной задачи использовать математику, эту
реальную жизненную задачу надо идеализировать. Дело вот в чѐм …
Реальная, встретившаяся в жизни, задача почти никогда не формулируется в
математических терминах и понятиях. Происходит это потому, что математические
понятия и объекты – как бы идеализированы и абстрактны , а в жизни мы
имеем дело с реальными объектами.
Для применения математики надо реальную задачу идеализировать, то есть
надо перейти от реальных объектов, фигурирующих в данной задаче, к абстрактным
математическим объектам. Этот переход означает создание математи-
ческой модели для данной реальной задачи.
Самая распространѐнная причина получения ошибочных или неточных ре-
зультатов при применении математики – это использование неточной или может
быть даже ошибочной математической модели. Так же ошибочные результаты по-
являются из-за неправильного перенесения свойств модели на реальную ситуацию.
Схема использования математики в реальной жизни такова ….
1. Пусть имеется некоторая жизненная ситуация, какой-то процесс.
2. Мы описываем эту ситуацию, этот процесс в математических терминах. То
есть, подбираем уже математическую задачу , являющуюся некоторой идеа-
лизацией нашей жизненной задачи. Принятую математическую задачу мы считаем
математической моделью нашей жизненной ситуации.
3. Решаем эту математическую задачу. Вот на этом этапе вся ответственность
лежит только на математике.
3 Из достоверности математических знаний происходит такая интересная особенность математики. На занятиях по
математике преподаватель и студенты находятся в некотором смысле "на равных". В математике Истина – одна и не
зависит от того, нравится она преподавателю или не нравится. Студент вполне может обнаружить в рассуждениях
или в записях преподавателя ошибку. И тогда ничего не поделаешь, ошибка есть ошибка. А в других областях жизни разные люди об одном и том же могут иметь совсем разные представления. И тогда уже, бывает, не с каждым преподавателем по-
споришь.
ГФ Первый курс Осень 2011 Высшая математика Лисеев И.А.
10
4. Оцениваем надѐжность полученного решения. Для этого надо осознавать
различие между математической задачей и жизненной ситуацией.
5. Пытаемся понять, как решение математической задачи можно интерпрети-
ровать в нашей жизненной ситуации. Для этого тоже надо осознавать различие меж-
ду математической задачей и жизненной ситуацией.
В следующем параграфе мы рассмотрим примеры … (Также смотри дальше рисунок-схему.)
Поскольку математическая задача определяется математической моделью4, то
из вышесказанного понятно, что при применении математики в жизни фундамен-
тальное значение имеет математическая модель .
- - - -- - - -
Объекты, понятия, с которыми имеет дело математика – геометрические фигуры (точка,
прямая, плоскость), числа, переменные величины, функциональные зависимости – это всѐ абст-
рактные объекты и понятия. Эти понятия хотя и отражают реальные объекты, но в идеализиро-
ванной форме. И результаты математики (теоремы) – это всѐ утверждения, касающиеся абст-
рактных (не реальных) объектов.
Поэтому для применения математической теории на практике надо реальные объекты из
жизненной задачи заменить математическими объектами. И вместо реальной жизненной задачи
часто с расплывчатой или даже с неопределѐнной формулировкой получить чѐтко сформулиро-
ванную математическую задачу.
2 . Понят ие и предназначение мат емат ической модели.
Важнейшим моментом применения математики в различных областях
жизни является п е р е х о д о т р е а л ь н о й з а д а ч и
к м а т е м а т и ч е с к о й з а д а ч е .
Этот переход предполагает создание математической модели того или иного
явления, процесса.
Математическая модель – это описание реальной жизненной задачи в
математических терминах после некоторой идеализации этой задачи. Идеализация
состоит в переходе от реальных объектов к абстрактным математическим объектам.
Идеализация реальной задачи обычно сопровождается и упрощением этой задачи.
(Примеры идеализации: замена Земного шара математическим шаром, представление постепенного повышения температуры от
утра до середины дня линейной зависимостью)
Таким образом, математическая модель служит (предназначена) для перехода
от реальной (практической) задачи к математической задаче. При этом фактически
происходит упрощение задачи. Можно сказать, что получившаяся математическая
задача и является математической моделью исходной реальной жизненной задачи.
Эта математическая модель может в большей или меньшей степени соответст-
4 Можно даже сказать, что эта математическая задача и есть математическая модель нашей реальной жизненной зада-
чи.
Высшая математика (Ли…) . Введение.
11
вовать (быть адекватной) реальному процессу (ситуации). В соответствии с этим и
результат решения математической задачи будет в большей или меньшей степени
соответствовать реальной ситуации.
Зачем специалисту в какой-то области нужно знать математику? Одна из причин та-
кая …
Для того, чтобы хорошо сформулировать математическую задачу, то есть, чтобы
создать математическую модель реальной ситуации из некоторой области знаний, надо
одновременно: 1) быть специалистом в данной области знаний, и 2) достаточно хо-
рошо владеть математическим аппаратом. Ожидать, что математик знает вашу область
знаний, не приходится. Так что вы должны знать математику.
Этапы использования математики при решении практической задачи можно
представить в виде схемы.
Выбор математической модели, пожалуй, самый ответственный
этап в решении задачи. В выборе модели обычно участвуют прикладник (спе-
циалист в той области знаний, к которой относится задача) и математик, который
будет решать математическую задачу. Неточность (приближѐнность) результата
решения реальной задачи происходит, в основном, из-за неточности (приближѐнно-
сти) использованной математической модели.
Грамотность выбора модели зависит, в основном, от взаимопонимания между
прикладником и математиком. А для взаимопонимания хорошо, чтобы прикладник
имел некоторые знания математики, а математик разбирался бы в той области зна-
ний, к которой относится задача.
Поэтому подготовка специалистов в разных областях знаний
и предусматривает изучение математики. 5 (повтор)
3 . Примеры .
Пример 1. Реальная задача. Определить площадь территории Москвы
внутри окружной автомобильной дороги.
Наши возможности: мы можем измерить длину этой дороги. Еѐ длина около
110 км.
5 Математическая подготовка нужна инженеру (и инженеру-геодезисту) не только для решения каких-то серьѐзных
научных задач. Она нужна и в повседневной текущей работе.
Реальная задача Наши возможности
Математическая модель
Математическая задача
Решение матема-
тической задачи
Анализ ошибок
(в частности, анализ
неточности модели)
+
Интерпретация полу-
ченного решения для
реальной ситуации
ГФ Первый курс Осень 2011 Высшая математика Лисеев И.А.
12
Математическая модель. Считаем, что окружная автомобильная дорога имеет
форму окружности.
Математическая задача. Найти площадь круга с длиной окружности 110 км.
Решение математической задачи.
R
С
C = 2R, км5,1728,6
110R.
2
CR
S = R2, S 3 ,14 306 961 км
2.
При использовании результатов, полученных при решении математической
задачи надо обязательно задавать себе вопрос: верен ли этот результат, как резуль-
тат решения реальной задачи?
Анализ точности решения реальной задачи . Надо оценить величины
ошибок, возникающих на разных этапах решения задачи: 1) ошибки модели,
2) ошибки исходных данных, 3) ошибки вычислений. Исследованием ошибок ис-
ходных данных и ошибок вычислений занимается теория ошибок, которую вы буде-
те изучать на кафедре геодезии на втором курсе. Анализ ошибок модели (анализ
неточности модели) более тонкий вопрос.
Использование результатов решения математической задачи. Мы говорим,
что площадь территории Москвы внутри окружной автомобильной дороги пример-
но равна 1000 квадратным километрам, то есть 100 000 га .6
Пример 2. Реальная задача.
Допустим, известно, что в некотором месте в 6
часов утра температура была 5 , а в 12 часов была
15 . А надо определить температуру воздуха, которая
была в этом месте в 10 часов.
Математическая модель. Температура меняется
линейно, т.е. с течением времени температура повыша-
ется равномерно. На рисунке изображѐн график изме-
нения температуры в такой модели .
Математическая задача. Линейная функция T = kt + b при t = 6 имеет
значение 5 , а при t = 12 имеет значение 15 . Определить значение этой функции
при t = 10. В математике такая задача называется задачей интерполяции.
Решение математической задачи. . . . .
Ответ: T(10) 12 .
Анализ точности решения реальной задачи . Надо оценить величины
ошибок, возникающих на разных этапах решения задачи: 1) ошибки модели, 2)
6 1 кв.км = 100 га , 1 га = 100 соток, 1 сотка = 100 кв.м.
6 8 10 12
Т
t
5
10
15
Высшая математика (Ли…) . Введение.
13
ошибки исходных данных, 3) ошибки вычислений (ошибки округления).
Использование результатов решения математической задачи. Мы говорим,
что в 10 часов температура была равной примерно 12 .
Замечание. Если вы не довольны результатами решения приведѐнных задач, то надо смот-
реть : 1) соответствует ли принятая математическая модель реальной ситуации, 2) нет ли оши-
бок в решении получившейся (на основе этой принятой модели) математической задачи, 3) пра-
вильно ли мы использовали результат решения математической задачи в реальной жизненной си-
туации.
-- - - - - -- - - - -- - - - -
З адан и е н а д ом (дл я ж ел аю щи х) . 1)
Пример 3. Реальная древняя задача. Определение размеров Земли.
Нам известно: в какой-то момент Солнце находится в зените над пунктом А, а
через 18 минут оно находится в зените над пунктом В . Расстояние между пунктами
А и В (по поверхности Земли) 500 км.
Математическая модель. Земля имеет форму шара и равномерно вращается
под Солнцем вокруг некоторой оси, с периодом 24 часа так, что, совершив полный
оборот, возвращается в то же самое положение относительно Солнца.
Математическая задача. Рис . . ..
Решение математической задачи. …..
Ответ: R 6 40 0 к м .
Анализ точности решения реальной задачи . Надо оценить величины
ошибок, возникающих на разных этапах решения задачи: 1) ошибки модели, 2)
ошибки исходных данных, 3) ошибки вычислений.
Использование результатов решения математической задачи. Мы говорим,
что радиус Земного шара равен примерно 6 400 км.
= == == = =
2) (Для тех, кому понравилось рассмотрение понятия математической модели) Придумайте реальную
задачу, выберите для неѐ математическую модель, решите математическую задачу и
сформулируйте ответ на реальную задачу.
§ 5 . П О Ч Е М У , З А Ч Е М Н А Д О И З У Ч А Т Ь М А Т Е М А Т И К У ?
1) Во-первых, образно говоря, на языке математики излагаются разные дру-
гие науки 7. В частности, геодезия. Более того,
математика – это "язык,
на котором написана книга природы" .
7 Хотя, например, литература, вроде бы, обходятся пока без математики.
ГФ Первый курс Осень 2011 Высшая математика Лисеев И.А.
14
Галилео Галилей говорил так: "Великая книга природы написана на языке ма-
тематики".
Даже так говорят: "В каждой науке столько науки сколько в ней математи-
ки". Так что каждый культурный человек кроме языка бытового и литературного
общения должен знать и математический язык.
Одной из целей нашего базового курса является подготовка студентов-геодезистов к чте-
нию разделов математики, не вошедших в наш базовый курс, но необходимых для понимания
специальных геодезических курсов, таких как теория математической обработки геодезических
измерений, космическая геодезия, теория фигуры и гравитационного поля Земли (физическая
геодезия).
Если вы откроете книги по геодезии, то увидите, что это математические кни-
ги. Вообще можно сказать, что геодезия состоит из двух частей. Одна часть – это
математическая часть: формулы, выводы, обработка результатов измерений. Дру-
гая часть: это геодезические инструменты и работа сними.
2) Во-вторых, если вы не простые техники, а инженеры-геодезисты, вам
математику надо знать, чтобы правильно еѐ применять.
Чтобы решать различные жизненные, в том числе и геодезические, задачи.
Чтобы грамотно перейти от реальной задачи к математической задаче.
Если студент разбирается в математике, то и геодезию он освоит. Правда, по-
мимо математической части в геодезии есть ещѐ "полевые" работы с инструмента-
ми. Так что студенты-геодезисты должны иметь интерес и к таким работам.
- - - - -
Объединяя первый и второй пункты, можно говорить. что математика – это
инструмент для изучения (познания) природы и общества. В этом процессе можно
выделить такие ступени: 1) наблюдения и измерения (качественные и количест-
венные оценки видимых явлений и систем), 2) анализ и обработка результатов на-
блюдений и измерений. На этом этапе выявляются законы природы и общества. И
тут свою роль играет математика . 3) Использование, учѐт выявленных законов. Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой,
если оно не прошло через математические доказательства .
Леонардо да Винчи
3) Ещѐ одной целью изучения математики, как вы знаете, является развитие
умственных (в частности, логических) способностей.
Известно древнее изречение
математика ум в порядок приводит.
Про человека, разбирающегося в математике, иногда даже говорят: вот, какой
он умный. Хотя вопрос о том, какого человека считать умным, это вопрос спорный …
Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит.
М. В. Ломоносов
Высшая математика (Ли…) . Введение.
15
4) Четвѐртой причиной изучения математики можно назвать еѐ эстетиче-
скую ценность.
Математика красива и прекрасна.
Но чтобы это почувствовать, надо хоть немного позаниматься математикой.
§ 6 . Н Е К О Т О Р Ы Е П О Н Я Т И Я Л О Г И К И
Здесь мы перечислим некоторые понятия и укажем, где они встречаются в данной мето-
дичке. Эти понятия студенты должны понимать. Необходимые и достаточные условия. (п 7.3.В.)
Характеристическое свойство (это условие, которое одновременно является и необходимым и достаточным). Харак-
теристическое свойство некоторого объекта может быть использовано для определения этого объекта. (п.10.1)
Понятие признака (признак – это достаточное условие). (п.10.2) (п.11.2)
Понятие свойства (свойство – это необходимое условие). (п.10.1)
Пример. Если четырѐхугольник является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.
Построение отрицания. (п.7.2)
Прямое и обратное утверждения.
Правила логического вывода ( упомянуты в §3 во Введении ).
Высшая математика (Ли…) Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 1. Множества, числа, функции.
19
Но математикам оказалось недостаточно только рациональных чисел. Ещѐ в
школе Пифагора (в шестом веке до нашей эры) обнаружили наличие несоизмери-
мых отрезков. И математиков не устраивала ситуация, когда, строго говоря, "нельзя
измерить", например, диагональ квадрата со стороной 1 . Или (что то же самое) ко-
гда уравнение х2 – 2 = 0 не имеет решения. Дальше мы разберѐм этот пример. Эта неудов-
летворѐнность подтолкнула математиков к использованию так называемых ирра-
циональных чисел . Длина диагонали квадрата со стороной равной единице яв-
ляется иррациональным числом. Примерами иррациональных чисел являются чис-
ла: 2, , e ,
Обозначим множество иррациональных чисел через Ir . Заметим, что множе-
ство рациональных чисел и множество иррациональных чисел не пересекаются.
В обозначениях это записывается так: Q I r = .
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел назвали мно-
жеством действительных (вещественных) чисел и стали обозначать че-
рез R .
Можно написать: Q I r = R , Q R, I r R .
- - - - - - - - - - - -
Хотя обычные люди вполне обходятся только рациональными числами,
математическая теория строится на базе всех действительных чисел.
Позже мы рассмотрим пример, показывающий, почему лучше иметь дело сра-
зу со всеми действительными числами, а не ограничиваться рассмотрением только
рациональных чисел. (см. далее забавный пример)
Но расширением множества чисел до всех действительных чисел математики
не ограничились. У них возникли основания придать статус чисел величинам (объ-
ектам), являющимся корнями квадратными из отрицательных чисел. Стали считать,
что есть такое число, квадрат которого равен -1 . Отсюда автоматически последо-
вало, что можно извлечь корень квадратный из любого отрицательного числа. В ре-
зультате появились так называемые мнимые числа , которые в комбинации с
действительными числами образовали множество комплéксных чисел .9
Комплексные числа имеют структуру: a + bi , где а – действительная часть, а
bi – мнимая часть 10
этого комплексного числа. Символ-число i называют мнимой еди-
ближение к этим числам. Мы же не выписываем у этих чисел бесконечное число цифр. Мы берѐм у этих чисел только
конечное число десятичных знаков. А если в записи числа конечное число знаков (смотрите далее свойства рацио-
нальных чисел), то это – рациональное число. И даже при счѐте на компьютерах … 9 Ударение тут по-разному ставят. Когда я учился на мехмате, наш преподаватель по матанализу нам так говорил:
если обед, то – кóмплексный, а если числа, то – комплéксные. В те времена были популярны комплексные обеды.
Даже в профессорской столовой МГУ. 10
Здесь есть небольшой нюанс в терминологии, но мы об этом поговорим, когда будем заниматься комплексными
числами.
ГФ Первый курс Осень 2011 Высшая математика Лисеев И.А.
20
ницей: 𝑖 = −1 .
Множество комплексных чисел тоже обычно обозначают через Z : Zк о м п л .
Множество действительных чисел является частью (подмножеством) множества ком-
плексных чисел: R Zко м п л .
Если действительные числа – это множество точек числовой прямой, то ком-
плексные числа – это множество точек числовой плоскости. Такова геометрическая
интерпретация чисел.
Интересно, что для комплексных чисел понятия больше, меньше не определены (для комплексных
чисел не имеет места свойство упорядоченности). Для комплексных чисел нельзя сказать, что одно число
больше или меньше другого. В то время, как для любых двух (разных) чисел (целых, рациональных, ир-
рациональных, действительных) a и b имеет место одно из неравенств: a < b или a > b . При
этом даже говорят, что число находится м е ж д у числами а и b , если выполняется неравенство
a < < b .
В нашем курсе математики мы дойдѐм и до комплексных чисел, но сейчас
подробнее поговорим о рациональных и иррациональных числах.
§ 3 . Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е И Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н Ы Е Ч И С Л А .
Ч И С Л О В А Я О С Ь
Здесь мы подробнее поговорим о рациональных Q и иррациональных Ir чис-
лах. Вместе они составляют множество действительных чисел R : Q I r = R .
Но сначала поговорим о десятичной записи чисел.
1 . Десятичная запись чисел. ( с о к р а т и т ь )
Основной формой записи чисел является десятичная форма записи чисел.
Пример .
2 4 1 , 0 2 7 5 целая часть числа дробная часть числа
Целая часть числа может быть нулѐм. Дробная часть может отсутствовать. Десятич-
ная запись может быть либо конечна , если содержит в себе конечное число цифр, напри-
мер, 2041.15 , либо бесконечна , если число цифр в ней бесконечно. При бесконечном
количестве цифр в десятичной записи числа имеются две возможности:
1) начиная с какого-то места, какая-нибудь цифра или группа цифр повто-
ряется. Тогда, например, вместо 6,17242424….. , пишут: 6 ,17(24) ,
говорят: 6 , запятая, 17 и 24 в периоде. В этом случае будем говорить, что
десятичная запись числа бесконечная с периодом .
2) в бесконечной записи числа нет повторяющейся конечной группы цифр.