1 ESTATÍSTICA
1
ESTATÍSTICA
2
UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Ass 02: INTERVALOS de CONFIANÇA
( 2a Parte )
ESTATÍSTICA
3
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Determinar intervalo de 95% de confiança para a diferença entre 2 médias ( 1 - 2 ) ;
• Determinar intervalo de 95% de confiança para uma proporção;
• Determinar intervalos de 95% de confiança unilaterais ;
4
SUMÁRIO
1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 )
2- Proporções
3- Intervalos de Confiança Unilaterais
5
1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )
Comumente comparam-se duas médias
populacionais através de sua diferença:
Uma estimativa razoável para tal diferença é
a diferença correspondente entre as médias
amostrais: 21 XX
Nosso interesse é construir uma estimativa intervalar em torno daquele valor.
( 1- 2 )
6
a ) Variâncias Populacionais Conhecidas
1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )
EPz)XX()μ μ ( 025,02121
Pode-se demonstrarque: 21
21nn
)XX( var22
21 σσ
Portanto,21 nn
EP22
21 σσ
7
Intervalo de 95% de confiança para a diferença entre médias, em amostras independentes:
2
22
1
21
025,02121 n
σ
n
σz)XX() ( μμ
Quando se sabe que 1 e 2 têm um valor comum, conhecido, , o intervalo de 95% de confiança se reduz a:
21025,02121 nn
σ z)XX() (11
μμ
8
1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )
b ) Variâncias Populacionais Desconhecidas
Intervalo de 95% de confiança para amostras independentes, quando as variâncias populacionais são iguais e desconhecidas:
21p025,02121 nn
s t)XX() (11
μμ
sp é uma estimativa de . É a variância combinada ( “ pooled ” )
9
)1n()1n(
)XX()XX(s
21
222
2112
p
X1 ( ou X2 ) representa a observação típica na primeira ( ou segunda ) amostra.
Graus de liberdade para t:
g.l.= ( n1 - 1 ) + ( n2 - 1 )
10
Exemplo: De uma grande turma extraiu-se uma amostra de quatro notas: 64,66,89 e 77. Uma amostra independente de três notas de uma segunda turma foi: 56,71 e 53. Se é razoável admitir que as variâncias das duas turmas sejam aproximadamente iguais, calcule um intervalo de 95% de confiança para a diferença entre as médias das duas turmas.
Observação: A menos que haja evidência em contrário, é costume, com pequenas amostras, supor que as variâncias populacionais seja iguais.
11
Turma 1
Análise de 2 Amostras Independentes
Turma 2
X1 obs
64
66
89
77
0,74X
4
296X
1
1
)XX( 11
-10
-8
15
3
0
211 )XX(
100
64
225
9
398
X2 obs )XX( 22 222 )XX(
56
71
53
0,60X
3
180X
2
2
-4
11
-7
0 0
16
121
49
186
12
Assim temos:
35)μμ(7
2114)μμ(3
1
4
1117571,2)0,600,74()μμ(
,Logo .571,2t5.l.g
1175
584
23
186398s
21
21
21
025,0
2p
13
1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )
c ) Amostras Emparelhadas
Consideremos apenas uma turma de alunos examinada em duas épocas distintas, digamos, os períodos de outono e primavera. Vamos supor que queiramos utilizar os mesmos indivíduos em ambas as amostras.O primeiro passo natural é ver como a situação de cada estudante se modificou calculado a diferença D=X1-X2
X1- notas na primavera;X2- notas no outono
14
Trataremos de agora em diante as diferenças D como uma única amostra.
Em primeiro lugar, calcula-se a diferença média amostral . Em seguida, utiliza-se essa diferença amostral para construir um intervalo de confiança para a diferença média populacional .
D
Δ
Intervalo de 95%
de confiança para
amostras
emparelhadasn
stDΔ D
025,0
15
Análise de 2 Amostras Emparelhadas
Estu-dante
DiferençaX1
(prima-vera)
ABCD
X2
(outono)
64668977
54547062
Notas Observadas
D=X1-X2
10121915
)DD( 2)DD(
-4-251
164
251
0,14D
4
56D
03,15s
3
46s
2D
2D
- - -
16
Assim, temos:
20Δ8
614Δ4
3,15182,314Δ
,Logo .182,3t
31-41-ng.l. ;3,15s ;14D
0,025
D
17
1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 )
d ) Por que Amostras Emparelhadas?
- O erro amostral no caso de dados emparelhados é muito menor do que no caso de dados independentes . 21) vs.6( - Razão: o emparelhamento mantém constante muitas das variáveis estranhas. Utilizando os mesmos 4 estudantes, mantemos o sexo, o QI e muitos outros fatores exatamente os mesmos em ambas as amostras. Há, pois, um melhor nivelamento do problema.
18
SUMÁRIO
1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 )
2- Proporções
3- Intervalos de Confiança Unilaterais
19
2 - Proporções
Ao lidar com uma variável categorizada em que cada indivíduo ou item da população pode ser classificado como possuidor ou não-possuidor de determinada característica, aos dois resultados possíveis poderiam ser atribuídas pontuações de 1 ou 0 para representar a presença ou a ausência da característica, respectivamente.
20
Exemplo: Nas eleições presidenciais nos EUA, a população de votantes pode ser encarada como uma urna de fichas marcadas 0 ou 1.
Quantos votos você dará ao candidato republicano?Tratando-se de uma eleição honesta, o eleitor só poderá responder 0 ou 1.
Chamaremos de a proporção populacional de republicanos.
21
Média e Variância Populacionais de uma Variável 0 -1
X p(X)
0
1
(1- )
X p(X)
0
( )
X-
-
1-
(X-)2
2
(1- )2
(X-)2p(X)
2 (1- )
(1- )2
(1- ) ( 2 )
1 - -
) π1 ( π σ πμ
22
2 - Proporções
a) Fórmula para Grandes Amostras
Uma proporção amostral P nada mais é do que uma média disfarçada de uma população 0 -1.
Por exemplo, se observarmos 7 republicanos em uma amostra de 10 eleitores, a proporção amostral de republicanos é:
10
7)1101101101(
10
1XP
23
Da mesma forma, a proporção populacional nada mais é que a média disfarçada de uma população 0 - 1.
Estimativa Intervalar de 95% de Confiança para uma Proporção
n
) π1 ( π 96,1Pπ
24
Intervalo de 95% de Confiança para a Proporção ( para n grande )
n
)P1(P96,1Pπ
Para se ter uma boa aproximação, o tamanho amostral n deve ser suficientemente grande de tal sorte que n e n(1- ) sejam, cada um deles, pelo menos iguais a 5.
25
b) Método Gráfico
(ÁBACO),
Grandes ou
Pequenas Amostras
P=0,8n=20
0,56<<0,96
26
c) Diferença entre Duas Proporções, Grandes Amostras
2 - Proporções
Intervalo de 95% de Confiança para a Diferença entre Populações, para n1 e n2, grandes e amostras independentes:
2
22
1
112121 n
)P1 (P
n
)P1 (P96,1)PP()π π (
27
Exemplo: Em uma amostra aleatória de pneus fabricados por certa companhia, 20% não satisfazem os padrões da mesma. Construa um IC95 para a proporção ( em toda a população de pneus ) dos que não satisfazem os padrões:
i) se o tamanho da amostra é n=10
ii) se n=25;
iii) se n=2500.
28
Ábaco
Solução:
i) n=10; nP=10 x 0,2 = 2; n(1-P)=10 x 0,8=8
P = 0,2; (1-P ) = 0,8
0,01 < < 0,57
ii) n=25; nP=25 x 0,2 = 5; n(1-P)=25 x 0,8=20
n
) P 1( P96 , 1 P π
Ábaco 0,06 < < 0,41
iii) n=2500; nP=2500 x 0,2 = 500; n(1-P)=2500 x 0,8=2000
=0,20 0,0157
29
SUMÁRIO
1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 )
2- Proporções
3- Intervalos de Confiança Unilaterais
30
3 - Intervalos de Confiança Unilaterais
a ) O caso Mais Simples
Há ocasiões em que, para estabelecer uma premissa, devemos fazer uma afirmação de que certo valor populacional é no mínimo tão grande quanto determinado valor. A técnica adequada é então um intervalo de confiança unilateral, com tolerância de erro de 5% toda localizada em uma cauda:
31
Intervalo de 95% de Confiança ( Unilateral )
nzX 05,0
32
Exemplo: Escolheram-se aleatoriamente 16 notas de uma turma muito grande com desvio padrão de 12. Se a média amostral é 58, construa um intervalo de confiança unilateral adequado para mostrar quão boa é a média de toda a turma.
53
55816
1264,158
)I Tab( 64,1z ;58X 12; ;16n 0,05
Solução
33
Pode-se, pois, concluir, com 95% de confiança, que a média da turma é no mínimo 53.
Observação: O intervalo de confiança abrange não só todos os valores acima da média amostral = 58, como também um conjunto de valores abaixo dela suficiente para garantir 95% de confiança na correção do resultado.
X
34
Embora o intervalo de confiança unilateral dê melhor cota inferior que o intervalo bilateral, devemos pagar um preço bastante elevado: o intervalo de confiança unilateral não tem absolutamente qualquer cota superior.
35
n
stX 05,0
b ) Outros Casos
Qualquer intervalo de confiança bilateral pode ser ajustado analogamente de modo a gerar um intervalo de confiança unilateral. Por exemplo, quando é desconhecido e deve ser substituído por s, temos:
36
Analogamente para duas amostras:
21p05,02121 nn
s t)XX() (11
μμ
37
Naturalmente, se desejamos testar se um valor populacional é inferior a uma certa cifra, o intervalo de confiança unilateral terá a forma:
n
stX 05,0
38
PRATIQUE COM OS
EXERCÍCIOS .
BOA SORTE!