1 Espacio afín - Departamento de Matemática Aplicada, …dma.aq.upm.es/profesor/rosado_e/ApuntesGA_09.pdf1 Espacio afín 1.1 De–nición de Espacio afín Un espacio afín real es

1 Espacio afín

1.1 De�nición de Espacio afín

Un espacio afín real es una terna (A; V; �) formada por un conjunto A, unespacio vectorial real V y una aplicación � : A� A �! V que cumple:

1. 8P 2 A y 8~u 2 V existe un único Q 2 A tal que

�(P;Q) = ~u:

2. �(P;Q) + �(Q;R) = �(P;R) para todo P;Q;R 2 A.

Notación. Escribiremos �(P;Q) =��!PQ. A los elementos del conjunto A

los llamamos puntos de A y diremos que V es el espacio vectorial asociado alespacio afín (A; V; �). De�nimos la dimensión del espacio afín (A; V; �) como

dimA = dimV:

Ejemplo 1 Todo espacio vectorial V es un espacio afín con espacio vectorialasociado V . En efecto, la terna (A; V; �) donde A =V y la aplicación � dadapor:

� : A� A �! V; �(~u;~v) = ~v � ~u;

veri�ca las condiciones de la de�nición de espacio afín.

Ejemplo 2 Por el ejemplo anterior tenemos que (R2;R2; �) es un espacioafín de dimensión 2, (R3;R3; �) es un espacio afín de dimensión 3. En general(Rn;Rn; �) es un espacio afín de dimensión n.

1.1.1 Propiedades de los espacios a�nes

Sea (A; V; �) un espacio afín real. Se veri�ca:

1. �(P;Q) = ~0 si y sólo si P = Q.

2. �(P;Q) = ��(Q;P ), 8P;Q 2 A.

3. �(P;Q) = �(R;S) si y sólo si �(P;R) = �(Q;S).

1.2 Referencia afín

Sea A un espacio afín de dimension n con espacio vectorial asociado V .

De�nición de referencia afín Un conjunto de n+1 puntos fP0;P1; : : : ; Pngde un espacio afín (A; V; �) es un sistema de referencia afín de A si el conjuntode vectores

n���!P0P1; : : : ;

���!P0Pn

oes una base del espacio vectorial V .

1

De�nición El punto P0 2 A tal quen���!P0P1; : : : ;

���!P0Pn

oes una base de V , se

denomina origen del sistema de referencia fP0;P1; : : : ; Png.

Proposición Dado un punto P0 2 A existe un sistema de referencia afín deA con origen el punto P0.

Demostración Por el teorema de la base sabemos que todo espacio vectorial�nitamente generado admite al menos una base. Sea B = f~u1; : : : ; ~ung una basede V . Sean Pi los puntos de A tales que

��!P0Pi = ~ui, i = 1; : : : ; n. El conjunto

de puntos fP0;P1; : : : ; Png de A es un sistema de referencia afín de A.

Corolario Dado un punto O 2 A y una base B de V , tenemos una referenciaafín de A, que también se denomina referencia cartesiana y se denota R =fO;Bg.

De�nición de coordenadas Se llaman coordenadas de un punto P 2 Arespecto a una referencia afín R = fO;Bg del espacio afín A a las coordenadasdel vector

��!OP respecto de la base B del espacio vectorial V ; esto es, a la n-upla

(�1; : : : ; �n) tal que ��!OP = �1~u1 + � � �+ �n~un

donde ~u1; : : : ; ~un son los vectores de la base B. Escribiremos: P (�1; : : : ; �n)R.

Ejemplo Sea R = fO;Bg un sistema de referencia afín de un espacio afín(A; V; �) de dimensión 3. Consideramos el sistema de referencia R0 = fO0;B0gcon O0(1; 2;�1)R y B0 = (~u1; ~u2; ~u3), donde

~u1 = (1; 0; 0)B ; ~u2 = (1; 1; 0)B ; ~u3 = (1; 1; 1)B

Los vectores ~u1; ~u2; ~u3 forman una base de V pues al ser������1 1 10 1 10 0 1

������ 6= 0el sistema de vectores f~u1; ~u2; ~u3g es linealmente independiente (y como sabemosun sistema linealmente independiente formado por 3 vectores en un espaciovectorial V de dimensión 3 es una base).Sea el punto P cuyas coordenadas respecto a la referencia R son (5; 5; 0),

esto es,P (5; 5; 0)R ()

��!OP = 5~u1 + 5~u2 + 0~u3:

Vamos a calcular las coordenadas de P respecto de R0:��!O0P = (5� 1; 5� 2; 0 + 1) = (4; 3; 1);��!O0P = x1~u1 + x2~u2 + x3~u3 = x1(1; 0; 0) + x2(1; 1; 0) + x3(1; 1; 1)

= (x1 + x2 + x3; x2 + x3; x3);

2

por tanto, 8<: 4 = x1 + x2 + x33 = x2 + x31 = x3

=)

8<: x1 = 1x2 = 2x3 = 1

y por tanto, (1; 2; 1) son las coordenadas de P respecto de R0: P (1; 2; 1)R0 .

1.2.1 Ecuaciones del cambio de referencia afín

Sea A un espacio afín de dimension n con espacio vectorial asociado V y seanR = fO;B = (~u1; : : : ; ~un)g, R0 = fO0;B0 = (~u01; : : : ; ~u

0n)g dos sistemas de

referencia a�nes de A.Se considera P 2 A tal que P (x1; : : : ; xn)R y P (y1; : : : ; yn)R0 ; esto es,

��!OP = x1~u1 + � � �+ xn~un

y��!O0P = y1~u

01 + � � �+ yn~u0n:

¿Qué relación hay entre (x1; : : : ; xn) y (y1; : : : ; yn)?Sabemos que

��!OP =

��!OO0 +

��!O0P :

Sean (a1; : : : ; an) las coordenadas de O0 respecto de R; esto es,��!OO0 = a1~u1 + � � �+ an~un;

y sean (a1i; : : : ; ani) las coordenadas del vector ~u0i respecto de la base B; estoes,

�u0i = a1i~u1 + � � �+ ani~un:

Sustituyendo lo anterior en��!OP =

��!OO0 +

��!O0P obtenemos:

��!OP =

��!OO0 +

��!O0P

= a1~u1 + � � �+ an~un + (y1~u01 + � � �+ yn~u0n)= a1~u1 + � � �+ an~un + y1 (a11~u1 + � � �+ an1~un)

+ � � �+ yn (a1n~u1 + � � �+ ann~un)= (a1 + y1a11 + � � �+ yna1n) ~u1

+ � � �+ (an + y1an1 + � � �+ ynann) ~un

y como��!OP = x1~u1 + � � �+ xn~un, igualando coe�cientes, obtenemos:8><>:

x1 = a1 + y1a11 + � � �+ yna1n...

xn = an + y1an1 + � � �+ ynann

3

Matricialmente, el sistema de ecuaciones anterior se escribe:[email protected]

1CCCA =

0BBB@1 0 � � � 0a1 a11 � � � a1n...

.... . .

...an an1 � � � ann

1CCCA0BBB@

1y1...yn

1CCCA :También se puede escibir como sigue:0B@ x1

...xn

1CA =

0B@ a1...an

1CA+MB0B

0B@ y1...yn

1CAdonde la matriz MB0B es la matriz del cambio de base de B0 a B:

MB0B =

0B@ a11 � � � a1n...

. . ....

an1 � � � ann

1CALa matriz

MR 0R =

�1 ~0t

~a MB0B

�=

0BBB@1 0 � � � 0a1 a11 � � � a1n...

.... . .

...an an1 � � � ann

1CCCAes la matriz de cambio de referencia de R0 a R.

Ejemplo En el espacio afín (A2; V2; �) se consideran las referencias R =fO;B = (~u1; ~u2)g, R0 = fO0;B0 = (~u01; ~u02)g siendo

��!OO0 = 3~u1 + 3~u2;

~u01 = 2~u1 � ~u2;~u02 = �~u1 + 2~u2:

Se pide:

1. Determinar la matriz del cambio de referencia de R0 a R.Tenemos

��!OP =

��!OO0 +

��!O0P = 3~u1 + 3~u2 + y1(2~u1 � ~u2) + y2(�~u1 + 2~u2)

= (3 + 2y1 � y2) ~u1 + (3� y1 + 2y2) ~u2

Luego �x1 = 3 + 2y1 � y2x2 = 3� y1 + 2y2

4

esto es,

MR 0R =

0@ 1 0 03 2 �13 �1 2

1A2. Determinar la matriz del cambio de referencia de R a R0.

MRR 0 =M�1R 0R =

0@ 1 0 03 2 �13 �1 2

1A�1

=

0@ 1 0 0�3 2

313

�3 13

23

1A3. Si (3; 5) son las coordenadas de un punto P en la referencia R, determinarlos coordenadas de P en R0.

MRR 0

0@ 135

1A =

0@ 1 0 0�3 2

313

�3 13

23

1A0@ 135

1A =

0@ 12343

1A4. Si (2; 3) son las cooordenadas de un punto Q en la referencia R0, determi-nar los coordenadas de Q en R.

MR 0R

0@ 123

1A =

0@ 1 0 03 2 �13 �1 2

1A0@ 123

1A =

0@ 147

1AMAPLE

>restart: >with(linalg):

>M[RpR]:=concat([1,3,3],[0,2,-1],[0,-1,2]);

>M[RRp]:=inverse(M[RpR]);

>evalm(M[RRp]&*[1,3,5]);

>evalm(M[RpR]&*[1,2,3]);

5

1.3 Subespacio afín

De�nición de subespacio afín Sea (A; V; �) un espacio afín real. Un sub-conjunto L � A es un subespacio afín de A si �jado un punto P 2 L el conjunto

W (L) = fPQ j Q 2 Lg

es un subespacio vectorial de V .Si L � A es un subespacio afín, el subespacio vectorial W (L) que cumple lo

anterior se denomina subespacio vectorial asociado a L y se denota ~L.

Proposición La de�nición anterior no depende del punto P �jado.

Proposición Sea (A; V; �) un espacio afín real y L un subespacio afín de A.La terna (L; ~L; �) es un espacio afín.

Proposición Sea (A; V; �) un espacio afín real y L un subespacio afín de A.Para cada punto P 2 A y cada subespacio vectorial W � V el conjunto

S(P;W ) = fX 2 A j ��!PX 2Wg

es un subespacio afín de A que denotaremos P +W .

De�nición de dimensión de un subespacio afín Sea (A; V; �) un espacioafín real y L un subespacio afín de A. Se de�ne la dimensión de L a la dimensiónde su subespacio vectorial asociado: dimL = dim ~L.

Notación Sea (A; V; �) un espacio afín real de dimensión n. Los subespaciosde dimensión 0 son los puntos de A. Los subespacios de dimensión 1; 2 y n� 1se llaman las rectas, planos e hiperplanos, respectivamente.

1.3.1 Intersección y suma de subespacios a�nes

Sea (A; V; �) un espacio afín real y L1; L2 dos subespacios a�nes de A.El conjunto intersección de L1 y L2:

L1 \ L2 = fP j P 2 L1 y P 2 L2g

es un subespacio afín de A. Si la intersección es no vacía; esto es, L1 \ L2 6= ;,entonces �����!

L1 \ L2 =�!L1 \

�!L2:

Se de�ne la suma de L1 y L2 como el menor subespacio afín que contiene aL1 y a L2 y se denota L1 + L2. Si L1 = P1 +

�!L1 y L2 = P2 +

�!L2 entonces

L1 + L2 = P1 +�!L1 +

�!L2 + L(

���!P1P2):

6

Observación Si L1 \ L2 6= ; entonces�����!L1 + L2 =

�!L1 +

�!L2;

y si L1 \ L2 = ; entonces�����!L1 + L2 =

�!L1 +

�!L2 + L(

���!P1P2); P1 2 L1; P2 2 L2:

Dos subespacios a�nes L1 = P1 +�!L1 y L2 = P2 +

�!L2 se cortan si y sólo si

���!P1P2 2

�!L1 +

�!L2:

1.3.2 Paralelismo

Decimos que dos subespacios a�nes L1 = P1+�!L1 y L2 = P2+

�!L2 de un espacio

afín (A; V; �) son paralelos si�!L1 �

�!L2 ó

�!L2 �

�!L1.

Se dice que dos subespacios a�nes L1 = P1 +�!L1 y L2 = P2 +

�!L2 se cruzan

si ni son paralelos ni se cortan.

1.3.3 Fórmulas de la dimensión

Sean L1 = P1 +�!L1 y L2 = P2 +

�!L2 dos subespacios a�nes de un espacio afín

(A; V; �). Se cumple lo siguiente:

1. Si L1 \ L2 6= ;, entoncesdim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 � dim(L1 \ L2):

2. Si L1 \ L2 = ;, entonces

dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 � dim(�!L1 \

�!L2) + 1:

Demostración Claramente,

dim(L1 + L2) = dim(�����!L1 + L2) = dim(

�!L1 +

�!L2 + L(

���!P1P2)):

Si L1 \ L2 6= ; entonces�����!L1 + L2 =

�!L1 +

�!L2 y entonces

dim(L1 + L2) = dim(�!L1 +

�!L2)

= dim�!L1 + dim

�!L2 � dim(

�!L1 \

�!L2)

= dim�!L1 + dim

�!L2 � dim(

�����!L1 \ L2)

= dimL1 + dimL2 � dim(L1 \ L2):

Si L1\L2 = ; entonces���!P1P2 =2

�!L1+

�!L2 (por tanto, (

�!L1+

�!L2)\L(

���!P1P2) = f~0g)

dim(L1 + L2) = dim(�!L1 +

�!L2 + L(

���!P1P2))

= dim(�!L1 +

�!L2) + dim(L(

���!P1P2))� dim((

�!L1 +

�!L2) \ L(

���!P1P2))

= dim(�!L1 +

�!L2) + 1

= dim�!L1 + dim

�!L2 � dim(

�!L1 \

�!L2) + 1

= dimL1 + dimL2 � dim(�!L1 \

�!L2) + 1:

7

Ejemplo: Posiciones relativas de dos rectas a�nes. Sean L1 = P1 +�!L1

y L2 = P2 +�!L2 dos rectas a�nes en un espacio afín (A; V; �) de dimensión n.

Las posibles posiciones relativas de L1 y L2 son:Si L1 \L2 6= ; entonces o L1 \L2 es una recta y entonces dim(L1 \L2) = 1

ó L1 \ L2 es un punto y entonces dim(L1 \ L2) = 0. Se tiene:

dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 � dim(L1 \ L2)L1 y L2 son coincidentesL1 y L2 son secantes

=)�1 = 1 + 1� 12 = 1 + 1� 0

Si L1 \ L2 = ; entonces�!L1 \

�!L2 puede o ser una recta vectorial o ser el vector

nulo ~0. Se tiene:

dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 � dim(�!L1 \

�!L2) + 1

L1 y L2 son paralelasL1 y L2 se cruzan

=)�2 = 1 + 1� 1 + 13 = 1 + 1� 0 + 1

De�nición Sean L1 = P1 + L(~u1) y L2 = P2 + L(~u2) dos rectas a�nes en unespacio afín (A; V; �) de dimensión n. Se dice que:

1. Las rectas L1 y L2 se cruzan si no hay un plano que contenga a ambas; estoes, si el sistema de vectores f~u1; ~u2;

���!P1P2g es linealmente independiente.

2. Las rectas L1 y L2 son coplanarias si no se cruzan; esto es, si el sistemade vectores f~u1; ~u2;

���!P1P2g es linealmente dependiente.

3. Las rectas L1 y L2 se cortan si L1 \ L2 6= ;.

4. Las rectas L1 y L2 son paralelas si�!L1 =

�!L2; esto es, si ~u1 y ~u2 son propor-

cionales. Si además L1 \ L2 6= ; entonces las dos rectas son coincidentes.

1.3.4 Ecuaciones de un subespacio afín

Sea (A; V; �) un espacio afín con sistema de referencia afín R = fO;Bg, B =(~e1; : : : ; ~en). Y sea L � A un subespacio afín de A de dimensión k; esto es,L = P +

�!L con

�!L = L(f~u1; ~u2; : : : ; ~ukg) y P (a1; : : : ; an)R y8>>><>>>:

~u1 = (a11; : : : ; an1)~u2 = (a12; : : : ; an2)

...~uk = (a1k; : : : ; ank)

()

8>>><>>>:~u1 = a11~e1 + � � �+ an1~en~u2 = a12~e1 + � � �+ an2~en

...~uk = a1k~e1 + � � �+ ank~en

Ecuaciones paramétricas Un puntoX(x1; : : : ; xn)R 2 L si y sólo si el vector��!PX = (x1 � a1; : : : ; xn � an) 2 L(f~u1; : : : ; ~ukg):

8

Por tanto, X(x1; : : : ; xn)R 2 L si y sólo existen �1; : : : ; �k 2 R tales que��!PX = �1~u1 + � � �+ �k~uk;

esto es,

(x1 � a1; : : : ; xn � an) = �1(a11; : : : ; an1) + � � �+ �k(a1k; : : : ; ank)

o, equivalentemente 8><>:x1 = a1 + �1a11 + � � �+ �ka1k

...xn = an + �1an1 + � � �+ �kank

que son las ecuaciones paramétricas del subespacio L.

Ecuaciones cartesianas Como estamos suponiendo que los vectores ~u1; : : : ; ~ukson linealmente independientes (si no lo fueran, quitariamos los vectores que sepueden escribir como combinación lineal del resto) tenemos que

rg (~u1; : : : ; ~uk) = rg

0B@ a11 � � � a1k...

. . ....

an1 � � � ank

1CA = k:

Por tanto,��!PX = (x1 � a1; : : : ; xn � an) 2 L(f~u1; : : : ; ~ukg) si y sólo si

rg

0B@ x1 � a1 a11 � � � a1k...

.... . .

...xn � an an1 � � � ank

1CA = k:

Al imponer que dicho rango sea k obtenemos n� k menores de orden k+1 quedeben anularse. Esto es, obtenemos las n� k ecuaciones cartesianas de L.

Observación Sean

L �

8><>:a11x1 + � � �+ an1xn = b1

...a1rx1 + � � �+ anrxn = br

las ecuaciones cartesianas de un subespacio afín L de dimensión n� r. Nóteseque las ecuaciones cartesianas de un subespacio afín L de dimensión n�r es unsistema de r ecuaciones lineales no homogéneas. Si P;Q 2 L entonces el vector~u =

��!PQ satisface las ecuaciones del sistema lineal homogéneo asociado a L.

9

Demostración Sean P (p1; : : : ; pn)R, Q(q1; : : : ; qn)R 2 L veamos que en-tonces

~u =��!PQ = (q1 � p1; : : : ; qn � pn)

es solución del sistema homogéneo8><>:a11x1 + � � �+ an1xn = 0

...a1rx1 + � � �+ anrxn = 0

Para i = 1 : : : r cualquiera, se tiene

a1i(p1 � q1) + � � �+ ani(pn � qn) = (a1ip1 + � � �+ anipn)�(a1iq1 + � � �+ aniqn)=

P;Q2Lbi � bi = 0:

Por tanto, las ecuaciones del sistema vectorial asociado a L son:

~L �

8><>:a11x1 + � � �+ an1xn = 0

...a1rx1 + � � �+ anrxn = 0

Ecuaciones de una recta Una recta afín r � A es un subespacio afín dedimensión 1; esto es, r = P + L(~u) con

P (a1; : : : ; an)R y ~u = u1~e1 + � � �+ un~en:

Un punto X 2 r si y sólo ��!PX = �~u;

esto es, si (x1; : : : ; xn) son las coordenadas de X en la referencia R entonces,

(x1 � a1; : : : ; xn � an) = �(u1; : : : ; un)

o, equivalentemente 8><>:x1 = a1 + �1u1

...xn = an + �1un

que son las ecuaciones paramétricas de la recta r.Si suponemos u1 6= 0 (algún ui no se anula pues el vector ~u no es nulo), el

sistema anterior se escribe:

x1 � a1u1

= � � � = xn � anun

que son la ecuación en forma continua de la recta r.

10

Por último, X(x1; : : : ; xn)R 2 r si y sólo si ��!XP 2 L(~u) () ��!XP y ~u son

proporcionales. Por tanto,��!XP 2 L(~u) si y sólo si

rg

0B@ x1 � a1 u1...

...xn � an un

1CA = 1:

Al imponer que dicho rango sea 1 obtenemos n � 1 menores de orden 2 quedeben anularse. Esto es, obtenemos n� 1 ecuaciones cartesianas de r.

Ecuación cartesiana Un hiperplano afín H � A es un subespacio afín dedimensión n� 1; por tanto viene dado por una única ecuación cartesiana

a1x1 + � � �+ anxn = b:

Un subespacio afín L de dimensión k es la intersección de n � k hiperplanosindependientes cada hiperplano viene dado por una ecuación lineal y L vienedado por un sistema de n� k ecauciones lineales).

Posición relativa de subespacios El estudio de los sistemas de ecuacionesde dos subespacios permite estudiar de manera sencilla la posición relativa dedichos subespacios. Vamos a estudiar dos casos particularmente sencillos:

I. Posición relativa de dos hiperplanos Sean H1;H2 � A dos hiper-planos de ecuaciones cartesianas:

H1 � a1x1 + � � �+ anxn = b;H2 � a01x1 + � � �+ a0nxn = b0:

Las ecuaciones de sus respectivos espacios vectoriales asociados son

~H1 � a1x1 + � � �+ anxn = 0;~H2 � a01x1 + � � �+ a0nxn = 0:

Por tanto, si existe � tal que (a01; : : : ; a0n) = � (a1; : : : ; an) entonces ~H1 = ~H2 y

los hiperplanos H1, H2 son paralelos.Si además, b0 = �b entonces los hiperplanos H1, H2 son coincidentes.Si b0 6= �b entonces los hiperplanos H1, H2 no se cortan (H1 \H2 = ;).

II. Posición relativa de recta e hiperplano Sea r = P + L(~u) unarecta afín en A con P (a1; : : : ; an)R y ~u = (u1; : : : ; un). Y sea H un hiperplanoafín con ecuación cartesiana

a1x1 + � � �+ anxn = b:

La recta r y el hiperplano H son paralelos si el vector ~u 2 ~H; esto es, si(u1; : : : ; un) satisface la ecuación lineal homogénea del subespacio vectorial ~H;es decir, si

a1u1 + � � �+ anun = 0:

11

Ejemplo 1 Obtener ecuaciones paramétricas del subespacio afín L de A quetiene respecto de cierta referencia R = fO;Bg las siguientes ecuaciones carte-sianas:

L ��x1 + x2 + 2x3 = 12x2 � x3 = 1

Primer camino Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales no homogéneoque de�ne L. Tomando x3 = � pues

rg

�1 10 2

�= 2;

obtenemos: 8<: x1 =12 �

52�

x2 =12 +

12�

x3 = �

que son unas ecuaciones paramétricas de L.

Segundo camino Como dimL = 3 � rg(A) = 3 � 2 = 1, L es una recta.Para determinarla basta dar un punto P 2 L y un vector que genere el sube-spacio vectorial ~L. Un punto P 2 L debe satisfacer las ecuaciones del sistemaque de�ne L; por ejemplo, P (3; 0;�1)R.Un vector que genere el subespacio vectorial ~L es una solución no trivial del

sistema lineal homogéneo: �x1 + x2 + 2x3 = 02x2 � x3 = 0

Por ejemplo, el vector ~u = (�5; 1; 2)B .Luego, X(x1; x2; x3)R 2 L si y sólo si (x1; x2; x3) = (3; 0;�1) + �(�5; 1; 2);

esto es, si 8<: x1 = 3� 5�x2 = �x3 = �1 + 2�

que también son ecuaciones paramétricas de L.

Ejemplo 2 Sea (A; V; �) un espacio afín con sistema de referencia afín R =fO;Bg, B = (~e1; ~e2; ~e3). Obtener ecuaciones cartesianas del subespacio afínL = P + ~L, donde P (1; 2;�1)R y ~L = L(f~u1; ~u2g) con ~u1 = (1; 2;�1) y ~u2 =(2; 1; 1).

Solución Los vectores ~u1; ~u2 que generan ~L son linealmente independi-entes. Por tanto, dimL = 2.Un punto X(x1; x2; x3)R 2 L si y sólo si el vector

��!PX = (x1 � 1; x2 � 2; x3 + 1) 2 L(f~u1; ~u2g);

12

esto es, si y sólo si

rg

0@ x1 � 1 1 2x2 � 2 2 1x3 + 1 �1 1

1A = 2() 0 =

������x1 � 1 1 2x2 � 2 2 1x3 + 1 �1 1

������ = 3x1 � 3x2 � 3x3:Por tanto x1 � x2 � x3 = 0 es la ecuación cartesiana de L.MAPLE

>restart; >with(linalg);>X:=[x[1],x[2],x[3]];>P:=[1,2,-1]; u[1]:=[1,2,-1]; u[2]:=[2,1,1];>A:=concat(evalm(X-P),u[1],u[2]);>0=det(A);

Ejemplo 3 Se consideran las rectas r y s que tienen respecto de cierta refer-encia R = fO;Bg las siguientes ecuaciones cartesianas respectivamente:

r ��x = 2z + py = �z + 3 s �

�x = �z + 1y = 2z + q

Hallar la condición que deben cumplir los parámetros p y q para que las rectas ry s sean coplanarias. Determinar p y q para que dicho plano contenga al puntoP (1; 1; 1)R.

Solución Unas ecuaciones paramétricas de las rectas r y s son

r �

8<: x = 2�+ py = ��+ 3z = �

s �

8<: x = ��+ 1y = 2�+ qz = �

luego un vector director de la recta r es ~u = (2;�1; 1)B y un punto de r esR(p; 3; 0)R y un vector director de la recta s es ~w = (�1; 2; 1)B y un punto de ses S(1; q; 0)R. Las rectas r y s son coplanarias si

n~u; ~w;

�!RS = (1� p; q � 3; 0)

oes linealmente dependiente; esto es, si

0 =

������2 �1 1� p�1 2 q � 31 1 0

������ = 3p� 3q + 6Por tanto, r y s son coplanarias si p� q + 2 = 0. El plano que las contiene es:� � R+L (f~u; ~wg). Luego un puntoX(x; y; z)R 2 � si y sólo si

��!RX 2 L (f~u; ~wg);

esto es, si

0 =

������x� p 2 �1y � 3 �1 2z 1 1

������ = 3p� 3x� 3y + 3z + 9:Imponemos ahora que P (1; 1; 1)R 2 �:

0 = 3p� 3 � 1� 3 � 1 + 3 � 1 + 9 = 3p+ 6;luego p = �2 y q = p+ 2 = 0.

13

Cuestiones teóricas Demostrar las siguientes cuestiones teóricas:

1. Sean L, S dos subespacios a�nes de un espacio afín A y tales que sonparalelos y P 2 S \ L. Demostrar:

(a) Si dimL < dimS, entonces L � S.(b) Si dimL = dimS, entonces L = S.

2. Sean L, S dos subespacios a�nes de un espacio afín (A; V;�) y tales que~L y ~S son subespacios vectoriales complementarios (esto es, ~L �~S = V )entonces L \ S consiste en un punto (esto es, dim(L \ S) = 0).

Solución.

1. Como L y S son paralelos y estamos suponiendo dimL � dimS entonces~L � ~S. Por tanto, L = P + ~L � P + ~S. Luego L � S. Si ademásdimL = dimS, entonces L = S.

2. Calculamos la dimensión de la intersección L \ S. Como ~L �~S = Ventonces

���!S + L = ~L+ ~S + L(��!PQ) = V + L(��!PQ) = V , con P 2 L y Q 2 S.

dim(L+ S) = dim����!L+ S

�= n

= dim ~L+ dim ~S � dim(~L \ ~S)= dimL+ dimS

por tanto, dim(L \ S) = dim(L+ S)� dimL� dimS = 0.

14

2 Aplicaciones a�nes

2.1 De�nición y primeras propiedades

De�nición Sean (A; V; �) y (A0; V 0; �0) dos espacios a�nes reales. Diremosque una aplicación

f : A �! A0

es una aplicación afín si existe una aplicación lineal �f : V �! V 0 tal que:

�f(��!PQ) =

������!f(P )f(Q); 8P;Q 2 A:

Lo anterior equivale a decir que para todo P 2 A y todo vector �u 2 V setiene

f(P + ~u) = f(P ) + �f(~u):

A la aplicación lineal �f que cumple lo anterior la llamamos aplicación linealasociada a f .

Proposición Sean (A; V; �) y (A0; V 0; �0) dos espacios a�nes y sea f : A �! A0una aplicación afín con aplicación lineal asociada �f : V �! V 0 se cumple losiguiente:

1. f es inyectiva si y sólo si �f es inyectiva.

2. f es sobreyectiva si y sólo si �f es sobreyectiva.

3. f es biyectiva si y sólo si �f es biyectiva.

Demostración

1. Supongamos que f es inyectiva. Veamos que �f es inyectiva (equivalente-mente ker �f = f~0g). Sea ~u = ��!AB 2 ker �f , entonces

~0 = �f(��!AB) =

������!f(A)f(B) luego f(A) = f(B)

y como estamos suponiendo que f es inyectiva A = B. Luego ~u = ~0 y �fes inyectiva.

Supongamos ahora que �f es inyectiva. Entonces,

f(A) = f(B) =) ~0 =������!f(A)f(B) = �f(

��!AB) =) ��!

AB 2 ker �f = f~0g =) A = B:

2. Supongamos que f es sobreyectiva. Sea ~u =��!CD 2 V 0. Como f es

sobreyectiva existen A;B 2 A tales que f(A) = C y f(B) = D. Entonces,~u =

��!CD =

������!f(A)f(B) = �f(

��!AB) luego �f es sobreyectiva pues existe el

vector��!AB 2 V con �f(

��!AB) = ~u.

15

Supongamos ahora que �f es sobreyectiva. Sea C 2 A0, consideremos unvector ~u =

����!f(A)C donde A es un punto arbitrario de A. Como �f es

sobreyectiva existe un vector ~v =��!AB 2 V con �f(

��!AB) = ~u entonces

������!f(A)f(B) = �f(

��!AB) = ~u =

����!f(A)C

luego f(B) = C. Por tanto, f es sobreyectiva.

Proposición Sean g : A �! A0 y f : A0 �! A00 dos aplicaciones a�nes lacomposición f � g : A �! A00 es también una aplicación afín y su aplicaciónlineal asociada es f � g = �f � �g.

Demostración Dados P;Q 2 A, se tiene���������������!(f � g)(P )(f � g)(Q) =

�����������!f(g(P ))f(g(Q)) =

�f es afín

�f�������!g(P )g(Q)

�=

�g es afín�f��g(��!PQ)

�=

��f � �g

�(��!PQ):

Proposición Sean f; g : A �! A0 dos aplicaciones a�nes que coinciden sobreun punto P , f(P ) = g(P ), y que tienen la misma aplicación lineal asociada�f = �g. Entonces f = g.

Demostración Para todo X 2 A, se cumple:�������!f(P )f(X) = �f(

��!PX) = �g(

��!PX) =

������!g(P )g(X) =

�������!f(P )g(X);

por tanto, f(X) = g(X).

2.2 Matriz asociada a una aplicación afín

Sean (A; V; �) y (A0; V 0; �0) dos espacios a�nes y sea f : A �! A0 una aplicaciónafín con aplicación lineal asociada �f : V �! V 0. Se consideran referencias a�nesR = fO;Bg, B = (~e1; : : : ; ~en) y R0 = fO0;B0g, B0 = (~e01; : : : ; ~e0m) de los espaciosA, A0 respectivamente. Se sabe:

�����!O0f(O) = b1~e

01 + � � �+ bm~e0m;8><>:

�f(~e1) = a11~e01 + � � �+ am1~e0m...

�f(~en) = a1n~e01 + � � �+ amn~e0m

16

Sea P (x1; : : : ; xn)R y sea f(P ) 2 A0 con f(P )(y1; : : : ; ym)R0 entonces se tiene:[email protected]

1CCCA =

0BBB@1 0 � � � 0b1 a11 � � � a1n...

.... . .

...bm am1 � � � amn

1CCCA0BBB@

1x1...xn

1CCCAEscribiremos

MRR0(f) =

�1 ~0t

~b MBB0( �f)

�=

0BBB@1 0 � � � 0b1 a11 � � � a1n...

.... . .

...bm am1 � � � amn

1CCCAdonde ~b son las coordenadas de f(O) en la referencia R0 yMBB0( �f) es la matrizasociada a la aplicación lineal �f tomando en V la base B y en V 0 la base B0.

Ejemplo 1 Sea (A; V; �) un espacio afín con sistema de referencia afín R =fO;B = (~e1; ~e2; ~e3)g, y sea (A0; V 0; �0) un espacio afín con sistema de referenciaafín R0 = fO0;B0 = (~e01; ~e

02)g. ¿Es la aplicación f : A �! A0, f(x; y; z) =

(x� 2y + 5; x� z + 1) una aplicación afín? Dar su aplicación lineal asociada yobtener la matriz asociada a f en las referencias R;R0.Solución.Para ver si f es una aplicación afín tenemos que ver si existe una apli-

cación lineal �f : V �! V 0 tal que������!f(P )f(Q) = �f(

��!PQ) para todo par de puntos

P;Q 2 A. Tomamos P (x1; y1; z1) y Q(x2; y2; z2) entonces��!PQ = Q � P =

(x2 � x1; y2 � y1; z2 � z1) y������!f(P )f(Q) = f(Q)� f(P ) = f(x2; y2; z2)� f(x1; y1; z1)

= (x2 � 2y2 + 5; x2 � z2 + 1)� (x1 � 2y1 + 5; x1 � z1 + 1)= ((x2 � x1)� 2 (y2 � y1) ; (x2 � x1)� (z2 � z1))= �f (x2 � x1; y2 � y1; z2 � z1) ;

por tanto, f sí es una aplicación afín y su aplicación lineal asociada es �f (x; y; z) =(x� 2y; x� z).Las coordenadas del origen O en la referencia R son las coordenadas del

vector��!OO = (0; 0; 0) en la base B y ~e1 = (1; 0; 0)B , ~e2 = (0; 1; 0)B y ~e3 =

(0; 0; 1)B se tiene:

f(O) = f(0; 0; 0) = (5; 1);�f(~e1) = �f(1; 0; 0) = (1; 1);�f(~e2) = �f(0; 1; 0) = (�2; 0);�f(~e3) = �f(0; 0; 1) = (0;�1):

17

Por tanto,

MRR0(f) =

0@ 1 0 0 05 1 �2 01 1 0 �1

1A :MAPLE

>restart: >with(linalg):>f:=(x,y,z)->[x-2*y+5,x-z+1];>f_lineal:=(x,y,z)->[x-2*y,x-z];>f(0,0,0);>f_lineal(1,0,0);>f_lineal(0,1,0);>f_lineal(0,0,1);>Mf[RRp]:=stackmatrix(<1,0,0,0>,

concat(f(0,0,0), f_lineal(1,0,0),f_lineal(0,1,0), f_lineal(0,0,1));

Ejemplo 2 Sea (A; V; �) un espacio afín con sistema de referencia afín R =fO;B = (~e1; ~e2)g, y sea (A0; V 0; �0) un espacio afín con sistema de referenciaafín R0 = fO0;B0 = (~e01; ~e02; ~e03)g. Determinar la aplicación afín f : A �! A0, talque

f(1; 2) = (1; 2; 3);�f(~e1) = ~e01 + 4~e

02;

�f(~e2) = ~e01 � ~e02 + ~e03:

Hallar la matriz asociada a f en las referencias R;R0.

Solución Como sabemos el valor de f sobre el punto P (1; 2) y conocemosla aplicación lineal asociada a f , tenemos determinada f . Sabemos que

�f(1; 0) = (1; 4; 0)B0 ;�f(0; 1) = (1;�1; 1)B0 ;

Para calcular la matriz asociada a f necesitamos saber f(O). Se tiene:

������!f(O)f(P ) =

f es afín�f(��!OP ) = �f(1~e1 + 2~e2) =

�f es lineal

�f(~e1) + 2 �f(~e2)

= (1; 4; 0) + 2(1;�1; 1) = (3; 2; 2)

luegof(O) = f(P )� �f(

��!OP ) = (1; 2; 3)� (3; 2; 2) = (�2; 0; 1) :

Por tanto,

MRR0(f) =

0BB@1 0 0�2 1 10 4 �11 0 1

1CCA :18

Como 0BB@1 0 0�2 1 10 4 �11 0 1

1CCA0@ 1x1x2

1A =

0BB@1

x1 + x2 � 24x1 � x2x2 + 1

1CCAse tiene:

f(x1; x2) = (x1 + x2 � 2; 4x1 � x2; x2 + 1) :

MAPLE

>restart: >with(linalg):>OP:=[1,2];>M_f_lineal:=concat([1,4,0],[1,-1,1]);>evalm(M_f_lineal&*[1,2]);>evalm([1,2,3]-[3, 2, 2]);>M_f:=stackmatrix(<1,0,0>, concat([-2, 0, 1],[1,4,0],[1,-1,1]));> evalm(M_f&*[1,x1,x2]);

Ejemplo 3 Sea (R2;R2; �) un espacio afín con sistema de referencia afín R =fO;Bg, B = (~e1; ~e2). Determinar la aplicación afín f : R2 �! R2 tal que

f(1; 1) = (7; 5); f(1; 2) = (11; 4); f(2; 1) = (8; 8):

Para dar una aplicación afín f : R2 �! R2 necesitamos tres puntos que seanreferencia afín y sus transformados.

Primer camino Llamo P0(1; 1), P1(1; 2) y P2(2; 1). Tenemos���!P0P1 =

(0; 1) y���!P0P2 = (1; 0), entonces sabemos que

�f(~e1) = �f(1; 0) = �f(���!P0P2) = f(P2)� f(P0) = (1; 3);

�f(~e2) = �f(0; 1) = �f(���!P0P1) = f(P1)� f(P0) = (4;�1):

Y como��!OP0 = (1; 1) = ~e1 + ~e2 tenemos:

�f(��!OP0) = �f(~e1 + ~e2) = �f(~e1) + �f(~e2) = (1; 3) + (4;�1) = (5; 2)

luegof(O) = f(P0)� �f(

��!OP0) = (7; 5)� (5; 2) = (2; 3):

Por tanto,

MRR(f) =

0@ 1 0 02 1 43 3 �1

1Ay f(x1; x2) = (2 + x1 + 4x2; 3 + 3x1 � x2).

19

Segundo camino El conjunto de puntosR0 = fP0(1; 1); P1(1; 2); P2(2; 1)ges una referencia afín pues

���!P0P1 = (0; 1) y

���!P0P2 = (1; 0) es una base de R2. Y

tenemos:

f(P0) = f(1; 1) = (7; 5);

�f(���!P0P1) =

��������!f(P0)f(P1) = f(P1)� f(P0) = (11; 4)� (7; 5) = (4;�1);

�f(���!P0P2) =

��������!f(P0)f(P2) = f(P2)� f(P0) = (8; 8)� (7; 5) = (1; 3):

Por tanto,

MR0R(f) =

0@ 1 0 07 4 15 �1 3

1AComo nosotros queremos calcular MRR(f), vamos a hacer un cambio de refer-encia de R0 a R:

MRR(f) = MR0R(f)MRR0 =MR0R(f)(MR0R)�1

=

0@ 1 0 07 4 15 �1 3

1A0@ 1 0 01 0 11 1 0

1A�1

=

0@ 1 0 02 1 43 3 �1

1APor tanto, f(x1; x2) = (2 + x1 + 4x2; 3 + 3x1 � x2).

MAPLE

>restart: >with(linalg):>P0:=[1,1]; P1:=[1,2]; P2:=[2,1];>Q0:=[7,5]; Q1:=[11,4]; Q2:=[8,8];>M[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0>, concat(P0,P1-P0,P2-P0));>det(M[RpR]);>M[RRp]:=inverse(M[RpR]);>Mf[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0>, concat(Q0,Q1-Q0,Q2-Q0));>Mf[RR]:=evalm(Mf[RpR]&*M[RRp]);>X:=matrix(3,1,[1,x,y]);>evalm(Mf[RR]&*X);Comprobar que el resultado obtenido es correcto (Pista: evaluar la expresión

de f obtenida en los puntos dados en el enunciado).

Ejemplo 4 Determinar la aplicación afín f : A3 �! A3 que tansforma lospuntos P0(0; 0; 0), P1(0; 1; 0), P2(1; 1; 1) y P3(1; 1; 4) en los puntos Q0(2; 0; 2),Q1(2;�1; 1), Q2(2; 1; 3) y Q3(5; 7; 6) respectivamente.

Solución Para dar una aplicación afín f : A3 �! A3 necesitamos cuatropuntos que sean referencia afín y sus transformados.

20

El conjunto de puntos R0 = fP0(0; 0; 0); P1(0; 1; 0); P2(1; 1; 1); P3(1; 1; 4)g esuna referencia afín pues

���!P0P1 = (0; 1; 0),

���!P0P2 = (1; 1; 1) y

���!P0P3 = (1; 1; 4) es

una base de R3 pues rg(���!P0P1;

���!P0P2;

���!P0P3) = 3. Tenemos:

f(P0) = Q0 = (2; 0; 2);

�f(���!P0P1) =

��������!f(P0)f(P1) = f(P1)� f(P0) = Q1 �Q0 = (0;�1;�1);

�f(���!P0P2) =

��������!f(P0)f(P2) = f(P2)� f(P0) = Q2 �Q0 = (0; 1; 1);

�f(���!P0P3) =

��������!f(P0)f(P3) = f(P3)� f(P0) = Q3 �Q0 = (3; 7; 4):

Por tanto,

MR0R(f) =

0BB@1 0 0 02 0 0 30 �1 1 72 �1 1 4

1CCAComo nosotros queremos calcular MRR(f), vamos a hacer un cambio de refer-encia de R0 a R:

MRR(f) = MR0R(f)MRR0 =MR0R(f)(MR0R)�1

=

0BB@1 0 0 02 0 0 30 �1 1 72 �1 1 4

1CCA0BB@1 0 0 00 0 1 10 1 1 10 0 1 4

1CCA�1

=

0BB@1 0 0 02 �1 0 10 0 �1 22 1 �1 1

1CCAPor tanto, f(x1; x2; x3) = (2� x1 + x3; � x2 + 2x3; 2 + x1 � x2 + x3).

MAPLE

> restart: with(linalg):> P0:=[0,0,0]; P1:=[0,1,0]; P2:=[1,1,1]; P3:=[1,1,4];> Q0:=[2,0,2]; Q1:=[2,-1,1]; Q2:=[2,1,3]; Q3:=[5,7,6];> M[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0,0>, concat(P0,P1-P0,P2-P0,P3-P0));> det(M[RpR]);> M[RRp]:=inverse(M[RpR]);> Mf[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0,0>, concat(Q0,Q1-Q0,Q2-Q0,Q3-Q0));> Mf[RR]:=evalm(Mf[RpR]&*M[RRp]);> evalm(Mf[RR]&*[1,x,y,z]);Comprobar que el resultado obtenido es correcto.

21

2.3 Subespacios a�nes invariantes

Proposición Sean (A; V; �) y (A0; V 0; �0) dos espacios a�nes y sea f : A �! A0una aplicación afín con aplicación lineal asociada �f : V �! V 0. Se cumple losiguiente:

1. Si L � A es un subespacio afín de A entoncesf(L) = fP 0 2 A0 j existe P 2 L tal que f(P ) = P 0g

es un subespacio afín de A0.

2. Si L0 � A0 es un subespacio afín de A0 entonces el conjuntoL = fP 2 A j f(P ) 2 L0g

es un subespacio afín de A.

De�nición Sea (A; V; �) un espacio afín y f una transformación afín de A.Diremos que un punto P 2 A es un punto �jo de f si f(P ) = P .

Proposición Sea (A; V; �) un espacio afín y f una transformación afín de A.El conjunto de puntos �jos de f ; esto es,

F = fX 2 A j f(X) = Xges un subespacio afín de A con subespacio vectorial asociado el subespacio deV de autovectores de �f asociados al autovalor � = 1.

Demostración. Sea �f la aplicación lineal asociada a f . Sabemos que el con-junto V (�) de autovectores de �f asociados a un autovalor � es un subespaciovectorial de V .Veamos que, �jado P 2 F , el conjunto

W(F ) = f��!PQ j Q 2 Fgcoincide con V (1); esto es,W(F ) = V (1), y, por tanto, es un subespacio vectorialde V .

1. Veamos que W(F ) � V (1): Tomamos ��!PQ 2 W(F ) y veamos que ��!PQ 2V (1). Se tiene:

�f(��!PQ) =

������!f(P )f(Q) =

P;Q 2 F

��!PQ:

Por tanto,��!PQ es autovector asociado al autovalor � = 1..

2. Veamos que V (1) � W(F ): Tomamos ~u 2 V (1) y veamos que ~u 2 W(F ).Dado ~u 2 V (1) y �jado P 2 F , sabemos que existe R 2 A tal que ~u = �!PR.Se tiene:

�!PR = ~u = �f(~u) = �f(

�!PR) =

������!f(P )f(R) =

����!Pf(R)

por tanto f(R) = R. Luego R es un punto �jo y ~u 2 W(F ).

22

Estrategia para buscar los puntos �jos Sea (A; V; �) un espacio afín,f una transformación afín de A y R = fO;Bg un sistema de referencia de A.Sea

MR(f) =

�1 ~0t

~b A

�la matriz asociada a f donde A es la matriz asociada a la aplicación lineal �f enla base B.Si P es un punto �jo se cumple:

�f(��!OP ) =

������!f(O)f(P ) =

����!f(O)P =

��!OP �

����!Of(O);

�f(��!OP ) = A � ��!OP;

luego,

��!OP =

����!Of(O) + �f(

��!OP ) = ~b+A � ��!OP;

donde ~b =����!Of(O),

o equivalentemente,

~0 = (A� I)��!OP +~b

que es la ecuación que deben satisfacer los puntos �jos de f .

Ejemplo Hallar los puntos �jos de la transformación afín

f(x; y) = (�2y + 1; x+ 3y � 1):

Solución Se tiene:

f(0; 0) = (1;�1);

�f(x; y) = (�2y; x+ 3y) =)�

�f(1; 0) = (0; 1)�f(0; 1) = (�2; 3)

La matriz asociada a f es

MRR(f) =

0@ 1 0 01 0 �2�1 1 3

1Ay la matriz asociada a la aplicación lineal �f es

A =

�0 �21 3

�:

El subespacio de puntos �jos de f es F = fX 2 A j f(X) = Xg y las ecuaciónque debe satisfacer un punto X que es punto �jo es:

(A� I)��!OX +~b = ~0; con ~b =����!Of(O) = (1;�1)

23

esto es, como�00

�=

��1 �21 2

��xy

�+

�1�1

�() x+ 2y � 1 = 0;

se tiene: F = f(x; y) 2 A j x+ 2y � 1 = 0g.

De�nición Sea (A; V; �) un espacio afín, f una transformación afín de A y Sun subespacio afín de A. Diremos que S es un subespacio afín invariante de fsi f(S) � S.

Observación Seaf una transformación afín de A con aplicación lineal asoci-ada �f : V �! V y S un subespacio afín de A que contiene al punto P y cuyoespacio vectorial asociado está generado por los vectores ~u1; : : : ; ~ur; esto es,S � P + L (f~u1; : : : ; ~urg). Entonces el subespacio afín f(S) contiene al puntof(P ) y está generado por los vectores �f(~u1); : : : ; �f(~ur); esto es,

f(S) = f(P ) + L���f(~u1); : : : ; �f(~ur)

�:

Entonces S es invariante por f si y sólo si

1. L���f(~u1); : : : ; �f(~ur)

�� L (f~u1; : : : ; ~urg)

2.����!Pf(P ) 2 L (f~u1; : : : ; ~urg)

Caso particular: Una recta r � P + L (~u) es invariante por f si y sólo si

1. L( �f(~u)) � L (~u) () �f(~u) = �~u; esto es, ~u es un autovector de la apli-cación lineal �f

2.����!Pf(P ) 2 L (~u)

Ejemplo Hallar los subespacios invariantes de la aplicación f del ejemploanterior.

Solución Para buscar los subespacios invariantes de f calculo primero losautovalores de �f . El polinomio característico de A es

det(A� �I) =���� �� �21 3� �

���� = �2 � 3�+ 2 = (�� 1) (�� 2)y, por tanto, los autovalores de A son � = 1; 2.

24

Los correspondientes subespacios de autovectores de �f son

V (1) =n~v j (A� I)~v = ~0

o=

�(x; y) tales que

��1 �21 2

��xy

�=

�00

��= f(x; y) tales que x+ 2y = 0g = L(f(2;�1)g)

V (2) =n~v j (A� 2I)~v = ~0

o=

�(x; y) tales que

��2 �21 1

��xy

�=

�00

��= f(x; y) tales que x+ y = 0g = L(f(1;�1)g)

Por otro lado

����!Pf(P ) = f(P )� P = (�2y + 1; x+ 3y � 1)� (x; y)

= (�x� 2y + 1; x+ 2y � 1) 2 V (2)

pues las componentes del vector����!Pf(P ) satisfacen la ecuación de V (2).

Por tanto, las rectas cuyo espacio vectorial asociado es V (2) = L(f(1;�1)g)son rectas invariantes de f pues

�f(1;�1) = 2(1;�1)����!Pf(P ) 2 V (2)

Si x+ 2y� 1 = 0 (es la recta de puntos �jos de f) entonces����!Pf(P ) = ~0 2 V (1).

La recta de puntos �jos, es en particular, una recta invariante de f .

Ejercicio Sea un espacio afín (A3; V; �) y R = fO;~e1; ~e2; ~e3g un sistema dereferencia en A3. Determinar la transformación afín f de A3 tal que el plano� � x+2y�z = 1 es un plano de puntos �jos de f y el vector ~e1 es un autovectorde �f asociado al autovalor 3.

Solución Para determinar f necesitamos la imagen por f de una referenciaafín de A. Como el plano � es un plano de puntos �jos, cualquier punto delplano es un punto �jo de f . Por ejemplo, el punto P (1; 0; 0) 2 � es un punto�jo de f ; esto es, f(P ) = P . También sabemos que los vectores del subespaciovectorial asociado a �, esto es, los vectores del plano ~� � x + 2y � z = 0, sonautovectores asociados al autovalor 1. Por ejemplo para�

~u = (1; 0; 1) 2 ~�~v = (0; 1; 2) 2 ~� =)

��f(~u) = ~u = (1; 0; 1) 2 ~��f(~v) = ~v = (0; 1; 2) 2 ~�

y, también sabemos que �f(~e1) = 3~e1; esto es, �f(1; 0; 0) = 3(1; 0; 0).

25

Como B0 = (~e1; ~u;~v) es una base de V , consideramos la referencia R =fP ;B0g. Se tiene:

MR0R(f) =

0BB@1 0 0 01 3 1 00 0 0 10 0 1 2

1CCA :Se tiene:

MRR(f) = MR0R(f)MRR0 =MR0R(f)(MR0R)�1

=

0BB@1 0 0 01 3 1 00 0 0 10 0 1 2

1CCA0BB@1 0 0 01 1 1 00 0 0 10 0 1 2

1CCA�1

=

0BB@1 0 0 0�2 3 4 �20 0 1 00 0 0 1

1CCA :Comprobación. Obviamente �f(~e1) = 3~e1 y también se cumple:

f(P ) = f(1; 0; 0) =

0BB@1 0 0 0�2 3 4 �20 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@1100

1CCA =

0BB@1100

1CCA = P

�f(~u) = �f(1; 0; 1) =

0@ 3 4 �20 1 00 0 1

1A0@ 101

1A =

0@ 101

1A = ~u

�f(~v) = �f(1; 0; 1) =

0@ 3 4 �20 1 00 0 1

1A0@ 012

1A =

0@ 012

1A = ~v:

2.4 Algunos ejemplos de transformaciones

Sea (A; V; �) un espacio afín y sea f una transformación afín de A con aplicaciónlineal asociada �f y seaMR(f) la matriz asociada a f respecto de cierta referenciaR.

2.4.1 Traslaciones

Dado un vector ~v 2 V , se de�ne la traslación de vector ~v como la transformaciónafín T~v de A tal que

����!Pf(P ) = ~v, para todo P 2 A.

Proposición Toda traslación T~v es una aplicación afín cuya aplicación linealasociada es la identidad.

Demostración Para cualesquiera P;Q 2 A se cumple lo siguiente:

~T~v

���!PQ�

=��������!T~v(P )T~v(Q) =

�����!T~v(P )P +

��!PQ+

�����!QT~v(Q)

= �~v +��!PQ+ ~v = ��!PQ:

26

Luego ~T~v = Id.

2.4.2 Proyecciones

Una transformación afín f de A se dice que es una proyección si f2 = f . Portanto, si f es una proyección MR(f) es idempotente (MR(f)

2 =MR(f)).La aplicación lineal asociada a una proyección es idempotente: �f2 = �f .

Observación El conjunto de puntos �jos de una proyección f es el subespacioafín Im f .

2.4.3 Homotecias

Una transformación afín f de A se dice que es una homotecia de razón r si�f = rIV .

Observación Una homotecia de razón r tiene un único punto �jo C llamadocentro de la homotecia. Se tiene:

�f(��!CP ) =

������!f(C)f(P ) =

����!Cf(P ) = r

��!CP

luegof(P ) = C + r

��!CP .

Cálculo del centro de una homotecia Sea C 2 A el centro de una homote-cia f . Se tiene:

��!PC =

����!Pf(P ) +

����!f(P )C =

����!Pf(P ) + r

��!PC =) (1� r)��!PC =

����!Pf(P ):

Por tanto, el punto �jo C cumple

C = P +1

1� r����!Pf(P ):

Ejemplo 1 Estudiar si la aplicación afín f(x; y; z) = (1+ 23x;�1+

23y; 2+

23z)

tiene algún punto �jo o algún subespacio invariante.

Solución La matriz asociada a f es

MR(f) =

0BB@1 0 0 01 2

3 0 0�1 0 2

3 02 0 0 2

3

1CCAy la matriz asociada a la aplicación lineal �f es

MB( �f) =2

3Id:

27

Por tanto, f es una homotecia de razón r = 23 . El centro de la homotecia es:

C = P +1

1� 23

����!Pf(P )

para cualquier P 2 A. Tomo P (0; 0; 0) entonces f(P ) = f(0; 0; 0) = (1;�1; 2) y����!Pf(P ) = f(P )� P = (1;�1; 2), por tanto

C =3

3� 2(1;�1; 2) = (3;�3; 6):

Los subespacios invariantes de f son:

- El centro C(3;�3; 6) pues es un punto �jo

- Las rectas que contienen al centro

- Los planos que contienen al centro

Ejemplo 2 Estudiar si la aplicación afín f(x; y; z) = (x+1; y+2; z+3) tienealgún punto �jo o algún subespacio invariante.

Solución La matriz asociada a f es

MR(f) =

0BB@1 0 0 01 1 0 02 0 1 03 0 0 1

1CCAy la matriz asociada a la aplicación lineal �f es la identidad. Por tanto, f es unatraslación de vector ~v =

����!Of(O) = (1; 2; 3)� (0; 0; 0) = (1; 2; 3). Las traslaciones

no tienen puntos �jos.Los subespacios invariantes de f son:

- Las rectas que tienen dirección la del vector de traslación; esto es, rectas dela forma r � P + L(f~vg).

- Los planos que tienen la dirección del vector de traslación; esto es, planos dela forma � � P + L(f~v; ~wg).

Ejemplo 3 Estudiar si la aplicación afín f(x; y; z) = (�2+2x�y;�4+2x�y; z)tiene algún punto �jo o algún subespacio invariante.

28

Solución La matriz asociada a f es

MR(f) =

0BB@1 0 0 0�2 2 �1 0�4 2 �1 00 0 0 1

1CCAy la matriz asociada a la aplicación lineal �f es

A =MB( �f) =

0@ 2 �1 02 �1 00 0 1

1A :Los autovalores de A son � = 0 y 1 pues:

det(A� �I) =

������2� � �1 02 �1� � 00 0 1� �

������ = �� (�� 1)2 :Quizás la matriz A sea idempotente pues sus autovalores son � = 0 y 1. Se com-prueba que A2 = A y por tanto, A es idempotente. Luego f es una proyección.El subespacio de puntos �jos de f es

F =nX 2 A j (A� I)��!OX +~b = ~0

o;

esto es, 0@ 000

1A =

0@ 1 �1 02 �2 00 0 0

1A0@ xyz

1A+0@ �2�40

1Aequivalentemente 8<: 0 = x� y � 2

0 = 2x� 2y � 40 = 0

Por tanto el plano � � x� y � 2 = 0 es un plano de puntos �jos (cuyo espaciovectorial asociado es el autovectores asociados al autovalor � = 1).Veamos cuál es el subespacio de autovectores asociado al autovalor � = 0:

V (0) =

8<:(x; y; z) tales que0@ 2 �1 02 �1 00 0 1

1A0@ xyz

1A =

0@ 000

1A9=;= f(x; y; z) tales que 2x� y = 0, z = 0g

Por otro lado

����!Pf(P ) = f(P )� P = (�2 + 2x� y;�4 + 2x� y; z)� (x; y; z)

= (�2� x� y;�4 + 2x� 2y; 0) 2 V (0)

29

pues las componentes del vector����!Pf(P ) cumplen la ecuación de V (0). Por

tanto, las rectas cuyo espacio vectorial asociado es V (0) = L(f(1; 2; 0)g) sonrectas invariantes de f .Los subespacios invariantes de f son:

- Las rectas con espacio vectorial asociado V (0) = L(f(1; 2; 0)g).

- Los planos que contienen a rectas invariantes.

- El plano de puntos �jos � � x� y � 2 = 0.

- Las rectas contenidas en el plano de puntos �jos pues son rectas de puntos�jos.

Ejercicio Obtener la expresión analítica de una aplicación afín f : A3 �! A3sabiendo que transforma el origen en el punto de coordenadas (3; 1; 1) y el plano� de ecuación cartesiana x1 + 2x2 � x3 + 1 = 0 es un plano de puntos �jos.

Solución Como el plano � es un plano de puntos �jos, el plano vectorialasociado a � es un plano de autovectores asociados al autovalor � = 1 de laaplicación lineal asociada �f . Como � � P + L (f~u1; ~u2g) con P (0; 0; 1), ~u1 =(1; 0; 1), ~u2 = (0; 1; 2) pues P 2 � (esto es, las coordenadas de P son soluciónde la ecuación de �) y los vectores ~u1,~u2 2 ~� (sus respectivas coordenadas sonsolución de la ecuación homogenénea asociada: x1 + 2x2 � x3 = 0).Por tanto, sabemos:

f(O) = f(0; 0; 0) = (3; 1; 1)

f(P ) = P =) f(0; 0; 1) = (0; 0; 1)�f(~u1) = ~u1 =) �f(1; 0; 1) = (1; 0; 1)�f(~u2) = ~u2 =) �f(0; 1; 2) = (0; 1; 2)

De las dos primeras condiciones obtenemos

�f(��!OP ) =

������!f(O)f(P ) = (0; 0; 1)� (3; 1; 1) = (�3;�1; 0);

��!OP = (0; 0; 1) = ~e3:

Por tanto,

�f (~e3) = (�3;�1; 0) = �3~e1 � ~e2;�f(~e1 + ~e3) = �f(~e1) + �f(~e3) = ~e1 + ~e3;�f(~e2 + 2~e3) = �f(~e2) + 2 �f(~e3) = ~e2 + 2~e3;

de donde obtenemos:

�f (~e3) = �3~e1 � ~e2;�f(~e1) = ~e1 + ~e3 � �f(~e3) = 4~e1 + ~e2 + ~e3;�f(~e2) = ~e2 + 2~e3 � 2 �f(~e3) = 6~e1 + 3~e2 + 2~e3;

30

luego,

MRR(f) =

0BB@1 0 0 03 4 6 �31 1 3 �11 1 2 0

1CCAOtro camino.Considerando la referencia R0 =

nP ;��!OP; ~u1; ~u2

o(nótese que

��!OP , ~u1, ~u2

son linealmente independientes), obtenemos:

MR0R(f) =

0BB@1 0 0 00 �3 1 00 �1 0 11 0 1 2

1CCA :Y como

MR0R =

0BB@1 0 0 00 0 1 00 0 0 11 1 1 2

1CCA ;obtenemos

MRR(f) = MR0R(f) �M�1R0R =

0BB@1 0 0 00 �3 1 00 �1 0 11 0 1 2

1CCA0BB@1 0 0 00 0 1 00 0 0 11 1 1 2

1CCA�1

=

0BB@1 0 0 03 4 6 �31 1 3 �11 1 2 0

1CCA :Luego la expresión analítica de f es:

f(x1; x2; x3) = (3 + 4x1 + 6x2 � 3x3; 1 + x1 + 3x2 � x3; 1 + x1 + 2x2):

31

3 Espacio afín euclídeo

De�nición Se dice que un espacio afín (A; V; �) es un espacio afín euclídeo siel espacio vectorial V es un espacio vectorial euclídeo.Recordamos que un espacio vectorial real V es un espacio vectorial euclídeo

si está dotado de un producto escalar; esto es, de una aplicación

h ; i : V � V �! R;

bilineal, simétrica y de�nida positiva. Usaremos la notación h~u;~vi, ~u � ~v indis-tintamente.

Notación Denotaremos E a los espacios vectoriales euclídeos y (E; E; �) a losespacios a�nes euclídeos.

De�nición Una distancia d en un espacio afín A es una aplicación

d : A� A �! R, (P;Q) 7�! d(P;Q)

que cumple:

1. d es de�nida positiva; esto es, d(P;Q) � 0 y d(P;Q) = 0 si y sólo si P = Q.

2. d es simétrica; esto es, d(P;Q) = d(Q;P ).

3. d cumple la desigualdad triangular; esto es,d(P;Q) � d(P;R) + d(R;Q).

Observación El producto escalar de�nido en un espacio vectorial V permitede�nir una distancia d en el espacio afín (A; V; �) de la siguiente manera:

d : A� A �! R, d(P;Q) =q��!PQ � ��!PQ:

3.1 Referencias ortogonales

Un sistema de referencia afín R = fO;~e1; : : : ; ~eng en un espacio afín euclídeo(E; E; �) se dice ortogonal (resp. ortonormal), si la base B = f~e1; : : : ; ~eng delespacio vectorial V es ortogonal (resp. ortonormal).

Cambio de sistema de referencia ortonormal Sea (E; E; �) un espacioafín euclídeo de dimensión n. Sean R = fO;Bg y R0 = fO0;B0g dos sistemasde referencia ortonormales de E.Si O0(a1; : : : ; an) y MB0B es la matriz de cambio de base entonces la matriz

del cambio de sistema de referencia de R0 a R es:

MR0R =

0BBB@1 0 � � � 0a1... MB0B

an

1CCCASe veri�ca que:

32

1. La matriz MB0B es una matriz ortogonal; esto es, M�1B0B =M

TB0B .

2. detMB0B = �1. Si detMB0B = 1 se dice que B0 y B tienen la mismaorientación y si detMB0B = �1 se dice que B0 y B tienen distinta ori-entación.

3.2 Subespacios a�nes ortogonales

Sea (E; E; �) un espacio afín euclídeo de dimensión n.Recordamos que, dado un subespacio vectorial W � E, el conjunto de�nido

como sigue:f~v 2 E j ~v � ~w = 0 para todo ~w 2Wg

es un subespacio vectorial de E que denotamos W? y llamamos subespacioortogonal a W y cumple

E =W �W?:

Por tanto,dimE = dimW + dimW?:

De�nición Dos subespacios a�nes L1 y L2 de E tales que dim�!L1+dim

�!L2 � n

se dicen que son ortogonales si sus respectivos subespacios vectoriales asociados�!L1 y

�!L2 son ortogonales; esto es, cualquier vector ~u 2

�!L1 es ortogonal a cualquier

vector ~v 2 �!L2.Si dim

�!L1 + dim

�!L2 > n, diremos que L1, L2 son ortogonales si

�!L1

? y�!L2

?

son ortogonales.Notación. Si L1 y L2 son ortogonales, usaremos la notación L1 ? L2.

De�nición Sea L un subespacio afín con subespacio vectorial asociado�!L .

Se dice que el subespacio afín L0 con subespacio vectorial asociado�!L0 es el

complemento ortogonal de L si L y L0 son ortogonales y además V =�!L �

�!L0.

Casos particulares

1. Dos rectas r = P + L(f~vg), r0 = P 0 + L(f~v0g) son ortogonales si y sólo si~v � ~v0 = 0.

2. En dimensión 3, una recta r = P + L(~v) es el subespacio ortogonal a unplano de subespacio vectorial asociado W si ~v es ortogonal a cualquiervector de W (en este caso, V =W � L(~v)).

3. Sea � = P + L(f~u1; ~u2g) un plano afín. La recta r = P + L(f~vg) esortogonal a � si el vector ~v es ortogonal a los vectores ~u1 y ~u2.

4. En dimensión 3, una recta r = P + L(f~vg) es ortogonal a un plano � =P + L(f~u1; ~u2g) si el vector ~v es paralelo al vector normal al plano; estoes, ~v y ~n son paralelos, donde ~n = ~u1^~u2 y ^ denota el producto vectorialen E3.

33

5. En dimensión 3, dos planos �1 y �2 son ortogonales si sus respectivosvectores normales son ortogonales.

3.2.1 Proyección ortogonal de un punto sobre un subespacio afín

Sea L un subespacio afín de un espacio afín euclídeo E y sea P un punto de Eque no pertenece a L (esto es, P 2 E�L). La proyección ortogonal de P sobre Les el punto P0 intersección de L con el complemento ortogonal a L que contieneal punto P ; esto es,

prL(P ) = L \ S donde S � P + ~L?

3.3 Distancia entre dos subespacios a�nes

Sea (E; E; �) un espacio afín euclídeo de dimensión n. Sean L1 y L2 dos sube-spacios a�nes de E. Se de�ne la distancia entre L1 y L2 como el mínimo de lasdistancias entre sus puntos; esto es,

d(L1; L2) = min fd(P1; P2) j P1 2 L1 y P2 2 L2g :

Nótese que si L1 \ L2 6= ; entonces d(L1; L2) = 0.

� Si L1 y L2 son subespacios paralelos, supongamos ~L1 � ~L2 entonces

d(L1; L2) = d(P;L2) = min fd(P; P2) j P2 2 L2g

siendo P un punto arbitrario de L1.

� Si L1 = P1+ ~L1 y L2 = P2+ ~L2 no son paralelos entonces construimos unsubespacio H que sea paralelo a uno de ellos y que contenga al otro. Porejemplo, podemos tomar H = P1 + ~L1 + ~L2. El subespacio H contiene aL1 y es paralelo a L2; por tanto,

d(L1; L2) = d(H;L2)

y estamos en el caso anterior.

Por tanto, el problema se reduce a calcular la distancia de un punto P a unsubespacio L.

3.3.1 Distancia de un punto P a un subespacio afín L

Sea (E; E; �) un espacio afín euclídeo de dimensión n. Sea P 2 E y sea L = Q+~Lun subespacio afín de E, con P =2 L. Entonces, si llamamos P0 a la proyecciónortogonal de P sobre L, se tiene:

d(P;L) = d(P; P0) = ��!PP0 :

A continuación estudiaremos varios casos particulares de distancia entre sube-spacios a�nes.

34

Distancia de un punto P a un hiperplano H Sea P un punto de coor-denadas (p1; : : : ; pn) y sea el hiperplano H de ecuación cartesiana a1x1 + � � �+anxn + b = 0.Si denotamos P0 a la proyección ortogonal de P sobre H, se tiene:

d(P;H) = d(P; P0):

Sea ~u el vector unitario normal al hiperplano; esto es,

~u =(a1; : : : ; an)pa21 + � � �+ a2n

Se cumple:

d(P; P0) = j��!PP0 � ~uj =�����(x1 � p1; : : : ; xn � pn) � (a1; : : : ; an)p

a21 + � � �+ a2n

�����=

ja1x1 + � � �+ anxn � (a1p1 + � � �+ anpn)jpa21 + � � �+ a2n

=ja1p1 + � � �+ anpn + bjp

a21 + � � �+ a2n

Distancia de un punto P a una recta r Sea P 2 E y sea r � Q+ L(f~ug)una recta en E. Denotamos P0 a la proyección ortogonal de P sobre r, se tiene:

d(P; r) = d(P; P0);

donde P0 es un punto de la recta r que cumple��!PP0 � ~u = 0.

Distancia entre dos rectas que se cruzan en E3 Sean r1 � P1 +L(f~u1g)y r2 � P2 +L(f~u2g) dos rectas en E3. Construimos un plano paralelo a una deellas y que contenga a la otra; por ejemplo, el plano � � P2 + L(f~u1; ~u2g) esparalelo a la recta r1 y contiene a la recta r2. Y consideramos el vector unitarionormal al plano �; esto es, el vector

~u =1

k~u1 ^ ~u2k~u1 ^ ~u2

donde ^ denota el producto vectorial en E3. Se tiene:

d(r1; r2) = d(r1; �)

Consideramos el paralelepípedo cuyas aristas son los vectores���!P2P1, ~u1 y ~u2. El

volumen de dicho paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de ~u1,~u2 y

���!P2P1; esto es,

V =���h~u1; ~u2;���!P2P1

i��� = ������!P2P1 � (~u1 ^ ~u2)��� = ���!P2P1

k~u1 ^ ~u2k jcos�j35

donde � es el ángulo que forman los vectores���!P2P1 y ~u1 ^ ~u2.

El área de la base del paralelepípedo es:

A = k~u1 ^ ~u2k

La distancia entre r1 y � es la altura de dicho paralelepípedo. Por tanto,

d(r1; r2) = d(r1; �) =

���h~u1; ~u2;���!P2P1

i���k~u1 ^ ~u2k

= ���!P2P1

jcos�j :3.4 Ángulos

El ángulo formado por dos vectores no nulos ~u y ~v de un espacio vectorialeuclídeo, es el número real que denotaremos (~u;~v) ó d~u; ~v tal que

cos(d~u; ~v) = ~u1 � ~u2k~u1k k~u2k

36

4 Isometrías

De�nición Sean (E; E; �) y (E0; E0; �0) dos espacios a�nes euclídeos. Diremosque una aplicación afín f : E �! E0 es una isometría si

d0 (f(P ); f(Q)) = d(P;Q); 8P;Q 2 E;

donde d es la distancia de�nida en E y d0 es la distancia de�nida en E0.

Observación Las isometrías son siempre inyectivas ya que si f(P ) = f(Q)entonces

0 = d0 (f(P ); f(Q)) = d(P;Q)

implica P = Q.

Proposición Una aplicación afín f : E �! E0 es una isometría si y sólo si suaplicación lineal asociada �f : E �! E0 conserva el producto escalar (esto es, �fes una isometría vectorial).

Demostración Veamos primero que si f es una isometría entonces �f conservael producto escalar. Sean ~u;~v 2 E y sea P 2 E, entonces se tiene por la de�niciónde espacio afín que existen A;B 2 E tales que ~u = �!PA y ~v = ��!PB. Entonces,

d0(f(A); f(B))2 =������!f(A)f(B) �

������!f(A)f(B)

=�������!f(A)f(P ) +

�������!f(P )f(B)

���������!f(A)f(P ) +

�������!f(P )f(B)

�=

������!f(A)f(P ) �

������!f(A)f(P ) + 2

������!f(A)f(P ) �

�������!f(P )f(B)

+�������!f(P )f(B) �

�������!f(P )f(B)

= d0(f(A); f(P ))2 + 2������!f(A)f(P ) �

�������!f(P )f(B) + d0(f(P ); f(B))2

=f es isometría

d(A;P )2 + 2 �f(�!AP ) � �f(��!PB) + d(P;B)2;

y, por otro lado,

d(A;B)2 =��!AB � ��!AB =

��!AP +

��!PB

����!AP +

��!PB

�=

�!AP � �!AP + 2�!AP � ��!PB +��!PB � ��!PB

= d(A;P )2 + 2�!AP � ��!PB + d(P;B)2:

Por tanto, como estamos suponiendo que f es una isometría tenemos

d(A;B) = d0(f(A); f(B));

y, por tanto,

d(A;P )2 + 2�!AP � ��!PB + d(P;B)2 = d(A;P )2 + 2 �f(�!AP ) � �f(��!PB) + d(P;B)2;

37

de donde,�!AP � ��!PB = �f(

�!AP ) � �f(��!PB); esto es,

�!u � �!v = �f(�!u ) � �f(�!v ):

Luego �f es una isometría vectorial.Recíprocamente, si �f es una isometría vectorial, entonces

d(A;B)2 =��!AB � ��!AB = �f(

��!AB) � �f(��!AB) =

������!f(A)f(B) �

������!f(A)f(B)

= d0(f(A); f(B))2:

Proposición La composición de isometrías es una isometría.

Observación Las isometrías a�nes conservan los ángulos entre subespaciosa�nes ya que

cos(\�!u ;�!v ) =�!u � �!vk�!u k k�!v k =

�f(�!u ) � �f(�!v ) �f(�!u ) �f(�!v ) = cos( \�f(�!u ); �f(�!v )):

De�nición Un desplazamiento ó movimiento es una isometría f de un espacioafín euclídeo E en sí mismo.

4.1 Clasi�cación de isometrías

La aplicación lineal asociada a un movimiento �f : E �! E, es ortogonal, portanto, en un sistema de referencia R = fO;Bg ortonormal, la matriz asociadaa f en esa referencia es de la forma:

MRR(f) =

1 ~0t

����!Of(O) A

!

donde A = MB( �f) es una matriz ortogonal; esto es, A�1 = At. Por tanto,detA = �1.Si detA = 1 se dice que la isometría es propia ó directa.Si detA = �1 se dice que la isometría es impropia ó indirecta.

4.1.1 Isometrías en el plano afín euclídeo

Sea f una isometría de un espacio afín euclídeo E de dimensión 2 en sí mismo. Ysea R = fO;B = (~e1; ~e2)g una referencia ortonormal en E. La matriz asociadaa f respecto de la referencia R es

MRR(f) =

�1 ~0t

~b A

�con A =

�a11 a12a21 a22

�y ~b =

�b1b2

�:

El polinomio característico de A es det(A� �I) = �2 � tr(A)�+ det(A).

38

Subespacio de puntos �jos La ecuación del subespacio de puntos �jos def es

(A� I)X +~b = ~0:

Por tanto, f tiene puntos �jos si la ecuación anterior tiene solución.Si rg(A � I) = 2 (por tanto también rg(A � Ij~b) = 2) entonces f tiene un

único punto �jo.Si rg(A� I) = rg(A� Ij~b) = 1 entonces f tiene una recta de puntos �jos.Si rg(A� I) = rg(A� Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad.

1. Si detA = 1, la isometría f es propia y A 2 SO(2) (matrices de orden 2ortogonales y con determinante 1). Existe un ángulo � tal que

A =

�cos � � sin �sin � cos �

�:

Nótese que, en este caso, det(A� �I) = �2� tr(A)�+1 y tr(A) = 2 cos �.

(a) Si cos � = 12 tr(A) 6= 1, entonces � = 1 no es autovalor de la matriz A

y, por tanto, rg(A�I) = 2 y f tiene un único punto �jo que llamamosP . En este caso, f es un giro de ángulo � y centro el punto �jo P .En el sistema de referencia R0 = fP;B = (~e1; ~e2)g la matriz asociadaa f es

MR0R0(f) =

0@ 1 0 00 cos � � sin �0 sin � cos �

1A :Si cos � = 1

2 tr(A) = �1 entonces � = 180o y f es una simetría central

de centro el punto �jo P .

(b) Si cos � = 12 tr(A) = 1, entonces

A =

�1 00 1

�:

y f es una traslación de vector ~b.

i. rg(A�I) = rg(A�Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad.ii. rg(A� I) 6= rg(A� Ij~b) entonces f es la traslación de vector ~b.

2. Si det(A) = �1 la isometría f es impropia y A 2 O(2) (matrices deorden 2 ortogonales). Los autovalores de A son 1;�1. Si tomamos ~u1autovector asociado a 1 y ~u2 autovector asociado a �1, tenemos que en labase B0 = (~u1; ~u2) la matriz asociada a �f (y que con un abuso de notaciónseguimos llamando A) es

A =

�1 00 �1

�:

Se tiene rg(A� I) = 1.

39

(a) Si rg(A�Ij~b) = 1 entonces hay una recta de puntos �jos de f . Sea Pun punto de dicha recta (esto es, un punto �jo de f), en la referencia

ortonormal R0 =nP;�

1k~u1k~u1;

1k~u2k~u2

�ola matriz asociada a f es:

MR0R0(f) =

0@ 1 0 00 1 00 0 �1

1Ay f es una simetría axial. La recta de puntos �jos r � P + L(f~u1g)se llama eje de la simetría.

(b) Si rg(A� Ij~b) = 2 entonces f no tiene puntos �jos. En la referenciaortonormal R0 =

nO;�

1k~u1k~u1;

1k~u2k~u2

�ola matriz asociada a f es:

MR0R0(f) =

0@ 1 0 0c1 1 0c2 0 �1

1A :Estudiemos si en este caso hay alguna recta invariante. Sabemosque V (1) = L(f~u1g) y V (�1) = L(f~u2g). Calculamos

����!Xf(X). Sean

(x01; x02) las coordenadas en la referencia R0 de un punto X arbitrario,

se tiene:

����!Xf(X) = f(X)�X = (x01 + c1;�x02 + c2)� (x01; x02)

= (c1;�2x02 + c2):

Si �2x02 + c2 = 0 entonces����!Xf(X) 2 L(f~u1g). Entonces, la recta de

ecuación �2x02 + c2 = 0 es una recta invariante de f . Si tomamoscomo origen de la referencia un punto P en dicha recta (luego las co-ordenadas de P son de la forma (p; c22 )), tenemos que en la referencia

R0 =nP;�

1k~u1k~u1;

1k~u2k~u2

�ola matriz de f es:

MR0R0(f) =

0@ 1 0 0p 1 00 0 �1

1A :Se trata de la composición de una simetría axial de eje la recta invari-ante P + L(f~u1g) y una traslación paralela al eje (de vector (p; 0)).Observación. Toda simetría compuesta con traslación se puededescomponer de manera única como una simetría compuesta con unatraslación de vector el vector director del eje.

40

Cuadro de clasi�cación

detA = 1 (entonces cos� =1

2trA)

rg(A� I) rg(A� I j �b) Clasi�cación

cos� = 1 0 0 (�b = �0) Isometría identidad

cos� = 1 0 1 (�b 6= �0) Traslación

cos� 6= 1 2 2 Giro de centro el único punto �jo

detA = �1rg(A� I) rg(A� I j �b) Clasi�cación

1 1Simetría respecto la únicarecta de puntos �jos

1 2 Simetría deslizante

Ejemplo Clasi�car la isometría f(x1; x2) = (1� x2; 3� x1).SoluciónLa matriz asociada a esta isometría es

MRR(f) =

0@ 1 0 01 0 �13 �1 0

1A ; denoto A = � 0 �1�1 0

�y ~b =

�13

�:

Como det(A) = �1 la isometría es impropia, tiene autovalores � = �1; 1 y,en este caso, ~e1 =

�1p2; 1p

2

�es una autovector asociado al autovalor � = �1

y unitario y ~e2 =��1p2; 1p

2

�es una autovector asociado al autovalor � = 1 y

unitario. Veamos si f tiene puntos �jos. Como

rg(A� I) = 1 y rg(A� Ij~b) = 2

la isometría f no tiene puntos �jos. Se trata de una simetría compuesta conuna traslación. Veamos si tiene alguna recta invariante. Vamos a calcularla:

����!Xf(X) = f(X)�X = (1� x2; 3� x1)� (x1; x2)

= (1� x1 � x2; 3� x1 � x2) 2 V (�1) ó V (1)

Luego,����!Xf(X) 2 V (�1) si y sólo si

����!Xf(X) y ~e1 son proporcionales; esto es, si

1� x1 � x2 = t

3� x1 � x2 = t

41

Restando las dos ecuaciones obtenemos 2 = 0 que es imposible.Y����!Xf(X) 2 V (1) si y sólo si

����!Xf(X) y ~e2 son proporcionales; esto es, si

1� x1 � x2 = �t3� x1 � x2 = t

Restando las dos ecuaciones obtenemos t = 1 y por tanto,����!Xf(X) 2 V (1) si y

sólo six1 + x2 = 2

que es la ecuación de la recta invariante.Por tanto, f es una simetría deslizante; esto es, una simetría s de eje la recta

invariante compuesta con una traslación de vector proporcional al autovectorasociado al autovalor � = 1 (vector director de la recta invariante). La matrizde la simetría es

MRR(s) =

0@ 1 0 0a 0 �1b �1 0

1Adonde a; b son tales que s deja �jo cualquier punto de la recta x1 + x2 = 2. Porejemplo, imponemos que deja �jo el punto (1; 1):0@ 1 0 0

a 0 �1b �1 0

1A0@ 111

1A =

0@ 111

1A =)�a = 2b = 2

Calculemos cúal es el vector de traslación:

MRR(f) =

0@ 1 0 01 0 �13 �1 0

1A =

0@ 1 0 0v1 1 0v2 0 1

1A0@ 1 0 02 0 �12 �1 0

1A=

0@ 1 0 0v1 + 2 0 �1v2 + 2 �1 0

1Aluego v1 = �1 y v2 = 1.

Ejemplo Obtener la expresión analítica de la isometría del plano que es com-posición de la simetría de eje la recta de ecuación x1 + x2 = 1 con la traslaciónde vector ~v = (1; 2). Descomponer la isometría obtenida como composición deuna simetría y una traslación de vector paralelo al eje de simetría.SoluciónLa recta vectorial asociada al eje de simetría tiene ecuación cartesiana x1 +

x2 = 0.Considero el sistema de referencia R0 = fP; (~u1; ~u2)g donde P es un punto

del eje de simetría, por ejemplo, P (1; 0), el vector ~u1 es un vector unitario en

la recta x1 + x2 = 0; por ejemplo ~u1 =�1p2;� 1p

2

�y el vector ~u2 es un vector

42

unitario y ortogonal a ~u1; esto es, ~u2 =�1p2; 1p

2

�. En dicha referencia la matriz

asociada a la simetría S de eje x1 + x2 = 1 es

MR0R0(S) =

0@ 1 0 00 1 00 0 �1

1A :Por tanto,

MRR(S) = MR0RMR0R0(S)MRR0

= MR0RMR0R0(S)(MR0R)�1

=

0@ 1 0 01 � 1p

21p2

0 1p2

1p2

1A0@ 1 0 00 1 00 0 �1

1A0@ 1 0 01 � 1p

21p2

0 1p2

1p2

1A�1

=

0@ 1 0 01 0 �11 �1 0

1A :La traslación T de vector ~v = (1; 2) tiene matriz asociada:

MRR(T ) =

0@ 1 0 01 1 02 0 1

1A :Por tanto, la matriz asociada a la isometría pedida es

MRR(T � S) = MRR(T )MRR(S) =

0@ 1 0 01 1 02 0 1

1A0@ 1 0 01 0 �11 �1 0

1A=

0@ 1 0 02 0 �13 �1 0

1A :Y

(T � S)(x1; x2) = (2� x2; 3� x1):

Vamos a descomponer la isometría obtenida como composición de una simetríay una traslación t2 de vector paralelo al eje de simetría. Descomponemos el vec-tor ~v = (1; 2) como suma de un vector de dirección paralela al eje de simetría sy un vector ortogonal a dicho vector:

~v = (1; 2) = a(1;�1) + b(1; 1);

de donde a = � 12 y b =

32 . Por tanto, tomamos la traslación t2 de vector

43

~v2 = (� 12 ;

12 ). Hallamos la simetría s2:0@ 1 0 02 0 �13 �1 0

1A =

0@ 1 0 0� 12 1 012 0 1

1A0@ 1 0 0c 0 �1d �1 0

1A=

0@ 1 0 0c� 1

2 0 �1d+ 1

2 �1 0

1Ade donde, c = 5

2 y d =52 . Luego,

MRR(s2) =

0@ 1 0 052 0 �152 �1 0

1A :Vamos a calcular la recta de puntos �jos de la simetria s2. Se tiene:

�����!Xs2(X) =

�5

2� y; 5

2� x�� (x; y)

=

�5

2� x� y; 5

2� x� y

�=

�5

2� x� y

�(1; 1) :

Por tanto, la recta 5 = 2x + 2y es la recta de puntos �jos de la simetría s2 (esel eje de simetría).

4.1.2 Isometrías en el espacio afín euclídeo tridimensional

Sea f una isometría de un espacio afín euclídeo E de dimensión 3 en sí mismo.Y sea R = fO;B = (~e1; ~e2; ~e3)g una referencia ortonormal en E. La matrizasociada a f respecto de la referencia R es

MRR(f) =

�1 ~0t

~b A

�con A =

0@ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

1A y ~b =

0@ b1b2b3

1A :El polinomio característico de A es det(A � �I) = ��3 + tr(A)�2 � tr2(A)� +det(A), donde

tr2(A) =

���� a11 a12a21 a22

����+ ���� a11 a13a31 a33

����+ ���� a22 a23a32 a33

���� :Subespacio de puntos �jos La ecuación del subespacio de puntos �jos def es

(A� I)X +~b = ~0:

44

Por tanto, f tiene puntos �jos si la ecuación anterior tiene solución.Si rg(A � I) = 3 (por tanto también rg(A � Ij~b) = 3) entonces f tiene un

único punto �jo.Si rg(A� I) = rg(A� Ij~b) = 2 entonces f tiene una recta de puntos �jos.Si rg(A� I) = rg(A� Ij~b) = 1 entonces f tiene un plano de puntos �jos.Si rg(A� I) = rg(A� Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad.

1. Si detA = 1, la isometría f es propia y A 2 SO(3) (matrices de orden 3ortogonales y con determinante 1) y, en una base ortonormal convenienteB0 la matriz asociada a �f se escribe:

MB0B0( �f) =

0@ 1 0 00 cos � � sin �0 sin � cos �

1A :Nótese que, en este caso, tr(A) = 1 + 2 cos �.

(a) Si cos � = 1, entonces rg(A�I) = 0, entonces pueden pasar dos cosas:i. rg(A� Ij~b) = 0 y, en este caso,

MR0R0(f) =

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCAy f es la aplicación identidad.

ii. rg(A � Ij~b) = 1 y, en este caso, no hay puntos �jos y f es unatraslación de vector ~b. La matriz asociada a f en este caso es:

MR0R0(f) =

0BB@1 0 0 0b1 1 0 0b2 0 1 0b3 0 0 1

1CCA :(b) Si jcos �j 6= 1, entonces rg(A� I) = 2 y pueden pasar dos cosas:

i. rg(A�Ij~b) = 2 y, en este caso, hay toda una recta de puntos �josr � Q + L(f~u1g), donde ~u1 es autovalor asociado al autovalor� = 1. En la referencia R0 =

nQ;�

1k~u1k~u1; ~u2; ~u3

�ola matriz

asociada a f es

MR0R0(f) =

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 cos � � sin �0 0 sin � cos �

1CCA :Y f es un giro ó rotación de angulo � y eje la recta r de puntos�jos.En el caso particular de que cos � = �1, tendríamos una simetríaaxial de eje la recta r de puntos �jos.

45

ii. rg(A � Ij~b) = 3 y, en este caso, no hay puntos �jos. La matrizasociada a f se puede escribir como sigue:

MR0R0(f) =

�1 ~0t

~b A

�

=

0BB@1 0 0 0b1 1 0 0b2 0 1 0b3 0 0 1

1CCA0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 cos � � sin �0 0 sin � cos �

1CCAy f es un movimiento helicoidal, esto es, un giro de ángulo � y ejela recta invariante de f con subespacio vectorial asociado V (1),compuesto con una traslación paralela a dicha recta (de vector

~u =����!Xf(X), con X 2 r).

2. Si detA = �1, la isometría f es impropia ó indirecta y A 2 O(3) (ma-trices de orden 3 ortogonales) y, en una base ortonormal convenienteB0 = (~e01; ~e

02; ~e

03) (el vector ~e

01 es autovector asociado a � = �1 y unitario)

la matriz asociada a �f se escribe:

MB0B0( �f) =

0@ �1 0 00 cos � � sin �0 sin � cos �

1A :Nótese que, en este caso, tr(A) = �1 + 2 cos �.

(a) Si cos � = 1 entonces rg(A� I) = 1.

i. Si rg(A � Ij~b) = 1 entonces hay un plano de puntos �jos � �P +L(f~v1; ~v2g). En la referencia R0 =

nQ;�~e1;

1k~v1k~v1;

1k~v2k~v2

�ola matriz asociada a f se escribe

MR0R0(f) =

0BB@1 0 0 00 �1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCAy f es una simetría especular respecto del plano de puntos �jos.

ii. Si rg(A � Ij~b) = 2 entonces no hay puntos �jos. La matrizasociada a f se puede escribir como sigue:

MR0R0(f) =

�1 ~0t

~b A

�

=

0BB@1 0 0 0b1 1 0 0b2 0 1 0b3 0 0 1

1CCA0BB@1 0 0 00 �1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA46

y f es una simetría compuesta con una traslación de vectorparalelo al plano invariante (~v = (0; c2; c3)).

(b) Si cos � 6= 1 entonces �f no tiene el autovalor � = 1 y hay un únicopunto �jo Q. En la referencia ortonormal R0 = fQ; (~u1; ~u2; ~u3)g lamatriz asociada a f se escribe:

MR0R0(f) =

0BB@1 0 0 00 �1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 cos � � sin �0 0 sin � cos �

1CCAy f es una simetría (respecto del plano Q+L(f(~u2; ~u3)g)) compuestacon una rotación de ángulo � y eje Q+ L(f(~u1)g.En el caso particular en que cos � = �1, entonces f es una simetríacentral de centro el único punto �jo Q.

Cuadro de clasi�cación

detA = 1

cos (�) =12 ( trA� 1)

rg(A� I) rg(�b j A� I) Clasi�cación

0 0 (�b = �0) Identidad

0 1 (�b 6= �0) Traslación

2 2Giro de ángulo �y eje la única recta de puntos �jos

2 3Movimiento helicoidal(composición de giro y traslación).

detA = �1cos (�) =1

2 ( trA+ 1)

rg(A� I) rg(�b j A� I) Clasi�cación

1 1 Simetría respecto del único plano de puntos �jos

1 2Simetría deslizante (composición de simetría ytraslación de vector paralelo al plano de simetría)

3 3Composición de giro y simetría (el eje de giroy el plano de simetría son ortogonales). El únicopunto �jo es la intersección del eje y el plano.

47

Ejercicio 1 En el espacio afín euclídeo E3 �jamos una referencia ortonormalR y se considera una isometría afín h, cuyas ecuaciones respecto a la referenciadada son:

h �

8<: x01 = �4 + 49x1 +

89x2 �

19x3

x02 = 4� 49x1 +

19x2 �

89x3

x03 = �2� 79x1 +

49x2 +

49x3

Se pide:

1. Escribir su expresión matricial, clasi�carla y obtener los elementos nota-bles.

2. Sea f la simetría respecto del plano de ecuación � � 2x2 + x3 = 1.Determinar una transformación g, tal que h = f � g.

3. Clasi�car la isometría g.

Solución

1. La matriz asociada a la isometría h en la referencia R es:

MRR(h) =

0BB@1 0 0 0�4 4

989 � 1

94 � 4

919 � 8

9�2 � 7

949

49

1CCALlamamos:

~b =

0@ �44�2

1A ; A =0@ 4

989 � 1

9� 49

19 � 8

9� 79

49

49

1AComo detA = 1, h es una isometría directa. Los autovalores de A son� = 1, � = �i. Como

rg(A� I) = rg

0@ 49 � 1

89 � 1

9� 49

19 � 1 � 8

9� 79

49

49 � 1

1A = 2;

rg(A� Ij~b) = rg

0@ 49 � 1

89 � 1

9 �4� 49

19 � 1 � 8

9 4� 79

49

49 � 1 �2

1A = 2

el espacio de puntos �jos de h es una recta y h es un giro de ángulo �2

(pues cos � = 12 (trA� 1) = 0) y eje la recta de puntos �jos.

Se tiene:

F =nX j (A� I)X +~b = ~0

o=

8<:0@ 4

9 � 189 � 1

9� 49

19 � 1 � 8

9� 79

49

49 � 1

1A0@ x1x2x3

1A+0@ �4

4�2

1A =

0@ 000

1A9=;=

�x1 = �x3; x2 =

9

2� 12x3

�

48

2. Tomamos una referencia R0 = fP; (~w1; ~w2; ~w3)g donde P 2 �, ~w1; ~w2 2 ~�y ~w3 2 ~�? y ortogonales entre sí; por ejemplo,2x2 + x3 = 1

P = (0; 0; 1);

~w1 = (1; 0; 0) ;

~w2 =

�0;1p5;� 2p

5

�;

~w2 =

�0;2p5;1p5

�:

La referencia R0 es una referencia ortonormal de E3 y

MR0R0(f) =

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 �1

1CCA :Se tiene:

MRR(f) = MR0RMR0R0(f)M�1R0R

=

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1p

52p5

1 0 � 2p5

1p5

1CCAMR0R0(f)M�1R0R

=

0BB@1 0 0 00 1 0 045 0 � 3

5 � 45

25 0 � 4

535

1CCA :Una transformación g, tal que h = f � g es tal que:

MRR(g) = MRR(f)�1MRR(h)

=

0BB@1 0 0 00 1 0 045 0 � 3

5 � 45

25 0 � 4

535

1CCA�10BB@

1 0 0 0�4 4

989 � 1

94 � 4

919 � 8

9�2 � 7

949

49

1CCA

=

0BB@1 0 0 0�4 4

989 � 1

90 8

9 � 1945

845

�4 � 19

845

4445

1CCA :3. Hallamos con MAPLE los autovectores de A (>eigenvectors(A); ) siendo:

A =

0@ 49

89 � 1

989 � 19

45845

� 19

845

4445

1A49

obtenemos

V (1) = L(f(�1; 0; 5); (8; 5; 0)g);V (�1) = L(f((5;�8; 1)g):

Por tanto, detA = �1 y g es una isometría indirecta. Como

rg(A� I) = 1; (pues � = 1 es una autovalor doble)

rg(A� Ij~b) = rg

0@ 49 � 1

89 � 1

9 �489 � 19

45 � 1845 0

� 19

845

4445 � 1 �4

1A = 2;

entonces g no tiene puntos �jos y es una simetría respecto del plano in-variante compuesta con un giro de ángulo 180o. De hecho sabíamos queg = f�1 � h.

Ejercicio 2 En el espacio afín euclídeo tridimensional E3 �jamos una referen-cia ortonormal R. Se pide:

1. Obtener la expresión matricial del giro g de ángulo �4 ; y eje la recta r de

ecuaciones x3�x1 = 1 y x1+x2 = 2. Describir los subespacios invariantesde g.

2. Obtener la expresión matricial de la simetría s respecto al plano � �x1 � x2 + x3 = 2. Describir los subespacios invariantes de s.

3. Obtener la expresión matricial de la composición de g con s: f1 = s � g.Calcular el subespacio de puntos �jos de f1. Describir los subespaciosinvariantes de f1.

4. Obtener la expresión matricial de la homotecia h de centro C = (1; 1; 2) yrazón r = 57. Describir los subespacios invariantes de h.

5. Obtener la expresión matricial de la composición de g con s y con h:f2 = h � f1. ¿Es f2 una isometría? Razona tu respuesta. Describir lossubespacios invariantes de f2.

Solución.

1. Tomamos una referencia fP; (~u1; ~u2; ~u3)g donde P 2 r, ~u1 2 ~r y ~u2; ~u3 2~r? y ortogonales entre sí; por ejemplo,

P = (1; 1; 2);

~u1 = (1;�1; 1);~u2 = (1; 1; 0) ;

~u3 = (1;�1; 2) :

50

La referencia R0 =nP;�

~u1k~u1k ;

~u2k~u2k ;

~u3k~u3k

�oes una referencia ortonormal

de E3 y

MR0R0(g) =

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 cos �4 � sin �40 0 sin �4 cos �4

1CCA :Por tanto, haciendo un cambio de referencia obtenemos:

MRR(g) = MR0RMR0R0(g)MRR0

=

0BBB@1 0 0 01 1p

31p2

1p2

1 � 1p3

1p2

� 1p2

2 1p3

0 2p2

1CCCAMR0R0(g)M�1R0R

=

0BB@1 0 0 0

�p2 + 3

p22 + 1

p22 � 1 �1

2p2� 1

p22 � 1 �

p22 + 1 �

p2 + 1

�3p2 + 4 1

p2� 1

p2� 1

1CCA :Los subespacios invariantes de g son: la recta de puntos �jos (el eje delgiro) y los planos ortogonales a la recta de puntos �jos.

2. Tomamos una referencia fQ; (~w1; ~w2; ~w3)g donde Q 2 �, ~w2; ~w3 2 ~� y~w1 2 ~�? y ortogonales entre sí. Nótese que el plano � � x1 � x2 + x3 = 2es ortogonal a la recta r del apartado anterior. Por comodidad, vamos atomar entonces

Q = P = (1; 1; 2);

~w1 =~u1k~u1k

;

~w2 =~u2k~u2k

;

~w2 =~u3k~u3k

:

La referencia R0 = fQ; (~w1; ~w2; ~w3)g es una referencia ortonormal de E3 y

MR0R0(s) =

0BB@1 0 0 00 �1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA :

51

Por tanto, haciendo un cambio de referencia obtenemos:

MRR(s) = MR0RMR0R0(s)MRR0

=

0BBB@1 0 0 01 1p

31p2

1p2

1 � 1p3

1p2

� 1p2

2 1p3

0 2p2

1CCCAMR0R0(s)M�1RR0

=

0BB@1 0 0 0�4 �1 2 24 2 �1 �2�4 �2 2 3

1CCA :Los subespacios invariantes de s son: el plano de puntos �jos de s (es elplano de simetría) y las rectas ortogonales al plano �.

3. La expresión matricial de la composición de g con s: f1 = s � g es:

MRR(f1) = MRR(s)MRR(g)

=

0BB@1 0 0 0

�p2� 1

p22 � 1

p22 + 1 1

2p2 + 3

p22 + 1 �

p22 � 1 �

p2� 1

�3p2 �1

p2 + 1

p2 + 1

1CCA :El subespacio de puntos �jos de f1 es F = fPg.Los subespacios invariantes de f1 son: la recta r (eje del giro), el plano �(plano de simetría) y el punto P .

4. Para hallar la expresión matricial de la homotecia h de centro C = (1; 1; 2)y razón r = 57 calculamos h(O). Se veri�ca:

f(O) = C + r��!CO = (1; 1; 2)� 57(1; 1; 2)

= (�56;�56;�112) :

Por tanto,

MRR(h) =

0BB@1 0 0 0�56 �57 0 0�56 0 �57 0�112 0 0 �57

1CCA :Los subespacios invariantes de h son: El centro de la homotecia, las rectasque contienen al centro y planos que contienen al centro.

5. La expresión matricial de la composición de g con s y con h: f2 = h � f1

52

es:

MRR(f2)

= MRR(h)MRR(f1)

=

0BB@1 0 0 0

57p2 + 1 � 57

2

p2 + 57 � 57

2

p2� 57 �57

�114p2� 227 � 57

2

p2� 57 57

2

p2 + 57 57

p2 + 57

171p2� 112 57 �57

p2� 57 �57

p2� 57

1CCA :La transformación afín f2 no es una isometría pues h no es una isometría.

Como el centro de la homotecia en el punto �jo de la isometría f1 lossubespacios invariantes de f2 son: el centro de la homotecia, la recta r yel plano �.

5 Bibliografía

M. Castellet, I. Llerena, Álgebra lineal y Geometría, Ed. Reverté, 1994.J. de Burgos, Curso de Álgebra y Geometría, Ed. Alhambra, 1980.A. de la Villa, Problemas de Álgebra con esquemas teóricos, Ed. CLAGSA,1994.

53