1 ELS NOMBRES NATURALS Per conservar els resultats dels recomptes, és a dir, per expressar els nombres, cada cultura ha inventat codis diferents que han anat simplificant-se i perfeccionant-se al llarg de la història. Com devia escriure un home primitiu el nombre 12? Sabent que el símbol xinès significa 8, podries dir quins són aquests nombres? En aquestes taules s’han escrit els nombres 28, 53 i 129 en el codi dels maies. Sabries quin hi ha a cadascuna? Explica la teva resposta. Per què creus que utilitzem el sistema de numeració decimal en comptes de qualsevol altre dels molts inventats en el passat? ELS ORDRES D’UNITATS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL 1 D = 10 U 1 C = 10 D = 100 U 1 UM = 10 C = 100 D = 1 000 U COM OPERAR AMB SUMES I RESTES A un dipòsit que contenia 3 507 litres de gasoil, s’hi ha afegit un bidó amb 256 litres. Després se n’han extret 2 936 l. Quant gasoil queda al dipòsit? Calcula: a) 1 585 + 648 – 937 b) 5 742 – 1570 – 625 REFLEXIONA ET CONVÉ RECORDAR 3507 + 256 3763 3 507 + 256 – 2 936 = 827 Solució: Hi queden 827 litres. 3763 –2936 0827 COM DESCOMPONDRE UN NOMBRE SEGONS ELS DIFERENTS ORDRES D’UNITATS 35 247 → 3 DM 5 UM 2 C 4 D 7 U Descompon els nombres següents en diferents ordres d’unitats: a) 8 020 b) 57 040 c) 5 111 COM ESCRIURE I LLEGIR QUANTITATS 208 005 → Dos-cents vuit mil cinc 3 054 600 → Tres milions cinquanta-quatre mil sis-cents a) Escriu amb lletres: b) Escriu amb nombres: 1 101 001 cinc milions cinquanta mil cinquanta 1 0 1 0 0 1 0 0 0 UM C D U a) Quantes desenes hi ha en una desena de miler? b)Quantes centenes hi ha en 30 desenes? COM MULTIPLICAR, DIVIDIR I RELACIONAR LES DUES OPERACIONS Calcula: a) 584 × 27 b) 15 768 : 27 c) 15 768 : 584 Un comerciant compra 35 televisors a 247 cadascun. Quant li costen en total? Un comerciant compra 35 televisors per 8 645 . A quant li surt cadascun? 8645 3 5 164 247 245 00 247 × 35 1235 741 8645 247 × 35 = 8 645 8 645 : 35 = 247 F G DM UM C D U A LA CAVERNA SISTEMA XINÈS SISTEMA MAIA SISTEMA ROMÀ SISTEMA DECIMAL A LA CAVERNA… MÉS ENDAVANT Treball en grup per a l’exposició de murals sobre EL LLEGAT CULTURAL DELS NOSTRES AVANTPASSATS 2 5 04
13
Embed
1 ELS NOMBRES NATURALS...1 QUÈ FEM AMB ELS NOMBRES? 2 Amb els nombres naturals fem diverses tasques: comptar, ordenar, expres-sar codis, calcular… Vegem, amb alguns exemples, aquestes
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1 ELS NOMBRES NATURALS
Per conservar els resultats dels recomptes, és a dir, per expressar els nombres, cada cultura ha inventat codis diferents que han anat simplificant-se i perfeccionant-se al llarg de la història.
Com devia escriure un home primitiu el nombre 12?
Sabent que el símbol xinès significa 8, podries dir quins són aquests nombres?
En aquestes taules s’han escrit els nombres 28, 53 i 129 en el codi dels maies. Sabries quin hi ha a cadascuna?Explica la teva resposta.
Per què creus que utilitzem el sistema de numeració decimal en comptes de qualsevol altredels molts inventats en el passat?
ELS ORDRES D’UNITATS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL
1 D = 10 U1 C = 10 D = 100 U1 UM = 10 C = 100 D = 1 000 U
COM OPERAR AMB SUMES I RESTES
A un dipòsit que contenia 3 507 litres de gasoil, s’hi ha afegit un bidó amb 256 litres.Després se n’han extret 2 936 l. Quant gasoil queda al dipòsit?
Calcula: a) 1 585 + 648 – 937 b) 5 742 – 1570 – 625
REFLEXIONA ET CONVÉ RECORDAR
3 5 0 7+ 2 5 63 7 6 3
3 507 + 256 – 2 936 = 827
Solució: Hi queden 827 litres.
3 7 6 3– 2 9 3 6
0 8 2 7
COM DESCOMPONDRE UN NOMBRESEGONS ELS DIFERENTS ORDRES D’UNITATS
35 247 → 3 DM 5 UM 2 C 4 D 7 U
Descompon els nombres següents en diferentsordres d’unitats:
a) 8 020 b) 57 040 c) 5 111
COM ESCRIURE I LLEGIR QUANTITATS
208 005 → Dos-cents vuit mil cinc3 054 600 → Tres milions cinquanta-quatre mil sis-cents
a) Escriu amb lletres: b) Escriu amb nombres:
1 101 001 cinc milions cinquanta mil cinquanta
1 01 0 0
1 0 0 0
UM C D U a) Quantes desenes hi haen una desena de miler?
b)Quantes centenes hi ha en 30 desenes?
COM MULTIPL ICAR, DIVIDIR I RELACIONAR LES DUES OPERACIONS
Calcula: a) 584 × 27 b) 15 768 : 27 c) 15 768 : 584
Un comerciant compra 35 televisors a 247 €cadascun. Quant li costen en total?
Un comerciant compra 35 televisors per 8 645 €. A quant li surt cadascun?
8 6 4 5 3 51 6 4 2 4 7
2 4 50 0
2 4 7× 3 5
1 2 3 57 4 18 6 4 5
247 × 35 = 8 6458 645 : 35 = 247
F
G
DM UM C D U
A LA CAVERNA
SISTEMA XINÈS
SISTEMA MAIA
SISTEMA ROMÀ
SISTEMA DECIMAL
A LA CAVERNA… MÉS ENDAVANT
Treball en grup per a l’exposició de murals sobre
EL LLEGAT CULTURALDELS NOSTRES AVANTPASSATS
2 5 0 4
1
12
ORIGEN I EVOLUCIÓ DELS NOMBRES 1
Els nombres sorgeixen de la necessitat de comptar coses.
Podem imaginar l’home primitiu comptant les cabres del seu ramat i ano-tant-ho, mitjançant osques, en un os o en l’escorça d’un arbre. D’aquestamanera es poden controlar quantitats petites.
Quan la societat evoluciona (intercanvis, comerç…) es fa necessari expres-sar nombres més grans. I així es van inventar els símbols.
Per exemple, significa 5 i significa 20 (els 20 dits d’una persona).
Amb el pas del temps, els símbols evolucionen. S’arriba així als sistemes denumeració.
SISTEMES ADDITIUS
Els egipcis tenien els símbols següents:
U DEU CENT MIL
És un sistema additiu perquè la quantitat total s’aconsegueix afegint els valors dels signes que hi intervenen. Per tant, com pots veure, no hi cal elzero.
El sistema romà ja el coneixes. Utilitza aquests signes:
I V X L C D MU CINC DEU CINQUANTA CENT CINC-CENTS MIL
Els nombres s’escriuen de forma additiva, excepte 4, 9, 40, 90… (enaquests es resta el signe menor col·locat a l’esquerra).
Per exemple: M C C C L X X → 1 370
C M X L I X → 949
SISTEMA DE NUMERACIÓ DE TIPUS POSICIONAL
Nosaltres utilitzem el sistema de numeració decimal, que va néixer a l’Ín-dia el segle VII i va arribar a Europa a través dels àrabs.
Com saps, utilitza només deu símbols:
Cada símbol adquireix un valor diferent segons la posició que ocupa. Peraixò diem que és un sistema posicional.
Els diferents llocs que pot ocupar un símbol (xifra) són els diferents ordreso categories d’unitats.
9876543210
1.1 En un sistema de numeració additiu, els signes
són (u), (cinc), (vint).
Escriu els nombres 13, 40 i 46.
1.2 Escriu en el sistema egipci els nombres:
a) 639 b) 3 527
c) 2 002 d) 2 200
1.3 Escriu en el sistema romà els nombres:
a) 630 b) 638
c) 639 d) 640
e) 2 425 f ) 2 525
g) 3 001 h) 3 520
1.4 Intenta explicar per què el nostre sistema denumeració no és additiu.
ACTIVITATS
1.5 Observa, pensa i contesta:
a) Quantes unitats hi ha en cinc desenes de mi-ler?
b) Quants milers són 300 desenes?
c) Quantes desenes hi ha en un miler?
d) Quants milers hi ha en tres milions?
e) Quantes centenes de miler hi ha en dos mi-lions i mig?
1.6 Escriu tots els nombres de quatre xifres que tin-guin dos cincs i dos zeros.
1.7 Escriu un nombre capicua de cinc xifres en elqual:
• La suma de totes les xifres és 6.• La xifra de les desenes és una unitat major que
la de les unitats.• La xifra de les centenes és zero.
1.8 Escriu el nombre nou-cents noranta-nou en elsistema decimal i en el sistema egipci.
Explica algun dels avantatges que ofereix el sistemadecimal respecte a d’altres sistemes de numeració.
ACTIVITATS
85
10 1011
272
UNIT
ATS
DESE
NES
CENTEN
ES
UNIT
ATS
DE
MIL
ER
DESE
NES
DE
MIL
ER
CENTEN
ESD
EM
ILER
UNIT
ATS
DE
MIL
IÓDESE
NES
DE
MIL
IÓ
En aquest sistema, deu unitats d’un ordre qualsevol fan una unitat de l’ordre immediat superior. Per això, una xifra no té sempre el mateix valor.
2 7 2 5 8
Val 20 000 unitats Val 200 unitats
DM
2
2
0
7
7
0
0
2
2
0
0
0
5
5
0
0
0
0
8
8
UM C D U
5
5
0
0
{∫∫∫∫∫∫“}↓
{∫∫∫∫∫“|}↓
{∫∫∫∫“|\}↓
{∫∫∫“|\∞}Observa que en escriure unnombre a la calculadora, cadavegada que hi introdueixes unaxifra, les que ja tens a la pantallaes desplacen un lloc a l’esquerra,és a dir, es multipliquen per 10.
CALCULADORA
7
6
5
HH
M
3
2
0
5
5
0
0
3
1
0
CM DM UM
0
0
0
C
0
0
0
D
0
U
13
1
QUÈ FEM AMB ELS NOMBRES?2
Amb els nombres naturals fem diverses tasques: comptar, ordenar, expres-sar codis, calcular… Vegem, amb alguns exemples, aquestes utilitats.
COMPTAR
Podem dir que els nombres naturals s’han inventat per poder comptar elselements d’un conjunt, els casos possibles d’una situació, el nombre devegades que ocorre un fet…
EXEMPLE
Quants cubs formen la construcció que veus a l’esquerra?
PRIMER PIS SEGON PIS TERCER PIS
Solució: En total hi ha 19 cubs.
ESTIMAR (COMPTAR APROXIMADAMENT)
A vegades, no podem o no ens interessa comptar amb precisió, però volemfer-nos una idea aproximada i ràpida d’una quantitat o de la solució d’unproblema. Aquesta tasca, l’anomenem estimar.
EXEMPLE
Quantes persones assisteixen a una manifestació en un carrer o unaplaça pública?
Solució: Estimem que assistixen a la manifestació unes 7 500 persones.
ESTIMACIÓ DEL NOMBRE DE PERSONES
• En 1 m2 → 3
• En 2 500 m2 → 2 500 · 3 = 7 500
DADES ESTIMADES
• En un metre quadrat hi hatres persones.
• La manifestació ocupa unasuperfície de 2 500 m2.
15131513
1513
1.9 Compta: Quants quadratsveus en aquesta figura?
(Atenció! N’hi ha més dels quesembla.)
1.10 Estima el nombre de batecs que t’ha fet el cordes del dia del teu naixement.
1.11 Estima el nombre de grans d’arròs que hi haen 20 quilos.
ACTIVITATS
ORDENAR
En associar un nombre natural a cadascun dels elements d’un conjunt,aquest queda ordenat. Aquests són els noms que reben els nombres quanexpressen ordre (ordinals):
I a més:
21 → vint-i-unè… 29 → vint-i-novè
30 → trentè… 40 → quarantè… 50 → cinquantè…
EXPRESSAR CODIS
A vegades, els nombres naturals s’utilitzen per identificar persones, objec-tes, llocs, entitats, arxius, comptes bancaris…, és a dir, com a símbols d’uncodi amb el qual catalogar i diferenciar els diferents elements d’un con-junt.
Per comprendre un codi, cal conèixer-ne les claus d’identificació.
A les taules de l’esquerra tens els codis assignats pel Servei de Correus i Telègrafs a algunes províncies i localitats.
Les dues primeres xifres d’un codi postal identifiquen la província.
1.32 Un camió d’una empresa de transports fa totsels dilluns, tots els dimecres i tots els divendres eltrajecte Lleida-Barcelona (anada i tornada).Quants quilòmetres recorre a la setmana si Barce-lona i Lleida es troben a 156 km de distància?
ACTIVITATS
PROPIETAT DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTE
A continuació, recordarem una propietat que pots utilitzar en multiplicarun nombre per una suma.
Comencem per resoldre el problema.
EXEMPLE
PROBLEMA: L’Alfred va a comprar quatre entrades per a un concert derock i l’Aurora va a comprar dues entrades.Quant paguen entre els dos si cada entrada costa 15 €?
Podem resoldre el problema de dues maneres:ALFRED AURORA
15 · (4 + 2) = 15 · 6 = 90 €o bé
15 · 4 + 15 · 2 = 60 + 30 = 90 €
ALFRED AURORA
Com veus, ambdues expressions són equivalents:
15 · (4 + 2) = 15 · 4 + 15 · 2
PRODUCTE PER 10, 100, 1 000…
Per multiplicar un nombre per la unitat seguida de zeros (10, 100,1 000…), s’afegeixen a la dreta del nombre tants zeros com acompanyenla unitat (un, dos, tres…).
EXEMPLES
38 · 10 = 380 38 · 1 000 = 38 000
38 · 100 = 3 800 38 · 10 000 = 380 000
Propietat distributiva: El producte d’un nombre per una suma (o res-ta), és igual a la suma (o resta) dels productes parcials del nombre percada sumand.
a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c
1.33 Comprova que cadascuna de les expressionsde l’esquerra és equivalent a la corresponent de ladreta:a) 6 · (3 + 5) ←→ 6 · 3 + 6 · 5b) 5 · 9 – 5 · 7 ←→ 5 · (9 – 7)c) 10 · 8 – 10 · 6 ←→ 10 · 2d) 8 · 5 ←→ 8 · 2 + 8 · 3
1.34 Calcula:a) 14 · 100 b) 82 · 1 000
c) 1 001 · 10 d) 52 · 10 000
e) 80 · 100 f ) 13 000 · 10
1.35 Calcula de dues maneres diferents:100 · 58 + 100 · 12
ACTIVITATS
2120
HH
II
Per multiplicar un nombre dedues xifres per 101, s’escriu elnombre repetit.
Comprova-ho:
38 · 101 = 38 · (100 + 1) == 3 800 + 38 = 3 838
CÀLCUL MENTAL
ORDRE EN EL QUAL S’HAN DE FER LES OPERACIONS
En les expressions amb operacions combinades has de tenir clar en quinordre actuar. En matemàtiques, cada expressió té un significat i una solu-ció únics.
Observa:
SÍ → 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 (Primer la multiplicació).
NO → 2 + 3 · 4 = 5 · 4 = 20 (Primer la suma).
SÍ → (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 (Si hi ha parèntesis, aquests van primer).
Introdueix 4 + 6 * 3 = a la calculadora i observa el resultat.
Encara que et sembli estrany, no totes les calculadores et donaran la mateixasolució. En unes apareixerà a la pantalla el nombre 22 i en unes altres, el 30.
Vegem a què és degut el comportament diferent:
{∫∫∫““} → La calculadora fa primer el producte: respecta l’ordre adequaten les operacions.
4 + 6 · 3 = 22
{∫∫∫«≠} → La calculadora fa les operacions en l’ordre en el qual hi vanentrant.
4 + 6 · 3 → (4 + 6) · 3 = 30
Esbrina de quin dels dos tipus de calculadora és la teva ja que ho has de te-nir en compte quan la utilitzis.
En les expressions amb operacions combinades hem d’atendre:
1.41 Què faries per obtenir amb la calculadora elresultat de cadascuna d’aquestes expressions?
a) 4 + 6 · 3
b) (4 + 6) · 3
Escriu, en cada cas, la seqüència de tecles empra-des.
ACTIVITATS
23
LA DIVISIÓ
Recorda: dividir és repartir a parts iguals o partir en parts d’una determi-nada grandària.
EXEMPLE
PROBLEMA: Un autobús amb 40 turistes té una avaria camí de l’aero-port. Com que no hi ha temps, ja que l’avió no espera, el responsable delgrup decideix acomodar els viatgers en taxis de 4 places. Quants taxiscompletaran?
El residu és zero.
Completaran 10 taxis → 40 = 4 · 10
Suposa ara que fossin 43 turistes. Quants taxis completarien?No hi ha cap nombre natural que doni el resultat exacte.
Es completarien 10 taxis i sobrarien 3 viatgers. El residu és 3.43 = 4 · 10 + 3
QUOCIENT PER DEFECTE I QUOCIENT PER EXCÉS
El quocient que hem vist en la divisió de l’exemple anterior (10 taxis) ésun quocient aproximat per defecte, ja que deixa un residu de tres unitats.
Tanmateix, si preguntem: quants taxis es necessiten?, veurem que la res-posta és 11, tot i que l’últim taxi queda amb un seient buit. Aquest quo-cient (11 taxis), l’anomenarem quocient aproximat per excés.
1.36 En una divisió, el divisor és 7, el quocient és13 i el residu és 5. Quin és el dividend?
1.37 Calcula el quocient enter i el residu:a) 258 : 23 b) 14 315 : 47
1.38 Es reparteixen 250 bombons en 10 bossesiguals. Quants bombons entren en cadascuna?
1.39 Quantes bosses de 12 magdalenes es podenomplir amb una safata que conté 250 unitats?
ACTIVITATS
22
40 40 10
43 403 10 3
Una divisió pot ser exacta o entera segons el residu.
Divisió exacta (el residu és zero).
D : d = qD = d · q El dividend és igual al divisor pel quocient.
Divisió entera (el residu és diferent de zero).
D : d no és exactaD = d · q + r El dividend és igual al divisor pel
quocient més el residu.
D d0 q
D dr q
43 403 11–1
10 taxis i sobren 3 turistes
Quocient per defecte: 1043 = 10 · 4 + 3
Quocient per excés: 1143 = 11 · 4 – 1
43 403 103
11 taxis i falta 1 turista
F F
1
2524
POTÈNCIES5Una potència és una forma abreujada d’expressar un producte de factorsiguals:
a · a · a · a · a = a5
El factor repetit es diu base, i el nombre de vegades que es repeteix, expo-nent.
L El quadrat d’un nombre és la potència d’exponent dos:
a2 → quadrat de a
Geomètricament, la potència a2 expressa el nombre de quadrats uni-taris que caben en un quadrat de costat a. És a dir, n’expressa la su-perfície:
costat → asuperfície → a2
L El cub d’un nombre és la potència d’exponent tres:
a3 → cub de a
Geomètricament, la potència a3 expressa el nombre de cubs unitarisque caben en un cub d’aresta a. És a dir, n’expressa el volum:
aresta → avolum → a3
Nombre de finestres:
4 · 4 · 4 · 4 = 256
44 = 256
a5
EXPONENT
BASE
F
F a elevat a cinc.Es llegeix o bé
a elevat a la cinquena.
a2 → Es llegeix: a elevat al quadrat, o bé, «a quadrat».
a3 → Es llegeix: a elevat al cub, o bé, «a cub».
5
5
52= 25 cubets
aresta 5
volum 53= 125
costat 5superfície 52= 25
1.42 Expressa en forma de producte i calcula:
a) 53 b) 26 c) 44 d) 103
e) 42 f ) 34 g) 72 h) 16
i) 104
1.43 Calcula:a) El quadrat de 100. b) El cub de 10.c) El quadrat de 20. d) El cub de 6.
1.44 Calcula el nom-bre de cubets d’ares-ta unitat que cabenen un cub d’aresta10 unitats.
1.45 Calcula x en cada cas:
a) 3x = 27 b) 5x = 25 c) 2x = 16 d) 7x = 343
ACTIVITATS
POTÈNCIES DE BASE 10
El càlcul de les potències de base 10 és molt senzill, i has de ser capaç de fer-lo mentalment.
102 = 10 · 10 = 100 105 = 100 000
103 = 10 · 10 · 10 = 1 000 106 = 1 000 000
104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 …
Observa que el nombre de zeros del resultat coincideix amb l’exponent dela potència.
EXPRESSIÓ ABREUJADA DE NOMBRES GRANS
EXEMPLE
• Un any llum equival a 9 460 800 000 000 quilòmetres.
Aquest nombre és llarg d’escriure i molest de llegir. Observa les trans-formacions que proposem per fer-lo més manejable:
Arrodoniment a les centenes de miler de milió.
Descomposició en producte per la unitat seguida de zeros.
Transformació del segon factor en potència de base deu.
Direm que un any llum equival a 95 · 1011 quilòmetres. Com veus, es tracta d’una expressió més fàcil d’escriure, de llegir i de recordar.
Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros comindica l’exponent.
106 = 1 000 000
1.46 Expressa amb totes les xifres:
a) 107 b) 1010 c) 1015 d)101
1.47 Escriu com a potències de 10:
a) Un miler. b)Un milió. c) Un bilió.
1.48 Calcula x en cada cas:
a) x · 108 = 2 800 000 000
b) 19 · 10x = 19 000 000
c) x · 1011 = 54 000 000 000 000
1.49 Expressa amb totes les xifres:
a) 8 · 105 b)54 · 104 c)16 · 109
1.50 Expressa, de forma abreujada:
a) El nombre de glòbuls rojos que un ésser humàté a la sang és: 25 000 000 000
b) El nombre de molècules elementals que hi haen un litre d’aigua és:
334 326 000 000 000 000 000 000
ACTIVITATS
La nebulosa Trífida, a la constel·lació deSagitari, dista de la Terra al voltant de 49 196 160 000 milions de quilòmetres,que equivalen a 5 200 anys llum.
9 460 800 000 000
9 500 000 000 000
9 5 · 100 000 000 000
95 · 1011
\\\\
\\
1
2726
OPERACIONS AMB POTÈNCIES6Totes les propietats que estudiaràs a continuació es tradueixen en reglesd’ús pràctic per operar amb potències. Per tant, et convé memoritzar-les iassajar-ne l’aplicació en diferents situacions.
POTÈNCIA D’UN PRODUCTE
En elevar un producte a una potència, s’obté el mateix resultat final queelevant cada factor a la potència i multiplicant els resultats parcials obtin-guts.
EXEMPLE
POTÈNCIA D’UN QUOCIENT
En elevar un quocient a una potència, s’obté el mateix resultat final queelevant el dividend i el divisor a la potència i calculant el quocient dels re-sultats parcials obtinguts.
EXEMPLE
EXERCICI RESOLT
Calcular, pel camí més senzill, 123 : 43 i 56 · 26
L No obstant això, per a la majoria dels nombres, l’arrel no coincideixamb una quantitat exacta d’unitats enteres.
Busquem, per exemple, el valor de Ï30w:
52 = 25 < 30 62 = 36 > 30
El nombre natural que més s’aproxima, sense passar-se, a l’arrel, l’anomenarem arrel entera.
Ïaw = b
ARREL
RADICAND
Es llegeix: l’arrel quadrada de aés igual a b.
a=?
a=?
5 < Ï30w< 6L’arrel quadrada de 30 és un valorcomprès entre 5 i 6.
L’arrel entera de 30 és 5.
F
F
L’ARREL QUADRADA7
Alguns quadrats perfectes:
12 = 1 92 = 81
22 = 4 102 = 100
32 = 9 112 = 121
42 = 16 122 = 144
52 = 25 132 = 169
62 = 36 142 = 196
72 = 49 152 = 225
82 = 64 …
RECORDA
1.57 Calcula, per tempteig, les arrels exactes o en-teres següents:
a) Ï36w b) Ï81w c) Ï85wd) Ï139w e) Ï500w f ) Ï900wExemple: Ï275w = ?
L’arrel entera de 275 és 16.
1.58 Quins d’aquests nombres són quadrats perfec-tes? Justifica les teves respostes.
a) 25 b) 81
c) 90 d) 144
e) 300 f ) 400
1.59 La superfície d’un quadrat fa 121 cm2. Quantfa el costat?
16 < Ï275w < 17162 = 256 < 275172 = 289 > 275
ACTIVITATS
CÀLCUL DE L’ARREL QUADRADA
Per calcular l’arrel quadrada d’un nombre, pots utilitzar diferents tècni-ques: per tempteig, amb la calculadora o manualment, pas a pas. Vegem-ne un exemple.
EXEMPLE
Calculem Ï2 835w utilitzant les tres tècniques esmentades més amunt.Per tempteig
Amb la calculadoraIntrodueix el nombre i després prem la tecla $ (en algunes calculadoreshauràs de prémer primer la tecla $):
{∫∫∫“°«∞} $ →→ {∫∫∞«…“¢¢|‘°}Com veus, Ï2 835w és un nombre una mica més gran que 53. Per tant,l’arrel quadrada entera de 2 835 és 53.
Manualment, pas a pas
Comencem separant de dos en dos, des de la dreta, les xifres del nombrei calculant l’arrel del paquet de l’esquerra.
Com veus, 2835 és major que 532 i menor que 542:532 < 2 835 < 542
Per tant, l’arrel quadrada de 2 835 és un nombrecomprès entre 53 i 54:
53 < Ï2 835w < 54 → Ï2 835w = 53…L’ arrel entera de 2 835 és 53.
502 = 2 500 < 2 835..............................
532 = 2 809 < 2 835
542 = 2 916 > 2 835
A: Ï28w és 5 i en queden 3 de residu.B: Escrivim el doble de A.
Puja C dalt.
Solució: Ï2 835w = 53
RESIDU → 26
Busquem la major xifra de forma que elproducte 10 × sigui el més pròxim a335 i menor o igual que aquest.
CC
C
28 35 25 3
5 ← A 10 ← B
√ 5 · 5 → –
1
2835 25 335 309 026
53 103 × 3
√ 3
–
–
28 35 25 3 35
5 10 ×
√ –
2 {
C C
1.60 Calcula, de les tres maneres que hem vist, l’a-rrel exacta o entera dels nombres següents:
a) 529 b) 950c) 1 275 d) 2 025
Quins són quadrats perfectes?
1.61 En un magatzem de planta quadrada hi ca-ben, col·locades a terra i sense apilar, 2 209 caixesde base quadrada. Quantes files de caixes hi ca-ben? Quantes caixes hi ha en cada fila?Si el costat de la base de cada caixa fa 1 m, quinessón les dimensions del magatzem?
ACTIVITATS
3130
3
1.75 Reflexiona i contesta:
a) Quantes centenes de miler hi ha en una desenade milió?
b) Quants milers té un miliard?
c) Quantes centenes de milió hi ha en un bilió?
1.76 Expressa, de forma aproximada, en mi-lions, aquestes quantitats:
a) 3 521 273 b) 8 009 999
c) 9 999 999 d) 59 845 000
Operacions
1.77 EXERCICI RESOLTEstima mentalment el resultat de 412 · 78 i despréscomprova'l operant.
Resolució
Aproximem 412 a 400
i 78 a 80
Estimació: 400 · 80 = 32 000
Operació: 412 · 78 = 32 136
1.78 Estima mentalment una aproximació alresultat d’aquestes operacions i després comprova-la amb càlcul exacte:
a) 26 270 + 10 975 + 7 842
b) 72 746 – 52 958 – 4 706
c) 315 · 188 d) 4 921 : 48
1.79 Calcula el quocient i el residu en cada cas:
a) 7 896 : 12 b) 26 978 : 41 c) 32 941 : 50
1.80 Afegeix dos termes en cada sèrie:
a) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4…
b) 1, 2, 4, 7, 11, 16…
c) 3, 6, 12, 24, 48…
d) 1, 3, 7, 15, 31…
1.81 Calcula:
a) 2 · 5 + 3 · 4 – 2 · 8 b) 3 + 5 · 2 + 1
c) 4 · 3 – 2 + 5 · 2 d) 6 – 2 · 3 + 4 · 3
1.82 Calcula:
a) 5 b) 5c) 5 d) 5
1.83 EXERCICI RESOLTCalcula el resultat d’aquesta operació:
1.87 En una divisió, el residu per excés és 5 i elresidu per defecte és –2. Quin és el divisor?
Càlcul de potències
1.88 Calcula amb llapis i paper:
a) 54 b) 152 c) 17
d) 63 e) 35 f ) 28
1.89 Calcula mentalment:a) 102 b) 103 c) 104
d) 105 e) 106 f ) 107
1.90 Expressa amb totes les xifres:
a) 6 · 104 b) 13 · 107
c) 34 · 109 d) 62 · 1011
3 · 7 – 2}}3 · (7 – 2)
2 · 9 – 5}}2 · (9 – 5)
7 · 3 + 4}}7 · (3 + 4)
5 + 4 · 3}}(5 + 4) · 3
1
Sistemes de numeració
1.62 Amb els símbols = 1, = 5 i = 20
escriu els nombres 8, 23, 65 i 118.
Creus que és un sistema adequat per escriure nom-bres grans? Es tracta d’un sistema additiu o és posi-cional?
1.63 Quins nombres representaven aquestesinscripcions a l’antic Egipte?
1.64 Tradueix al sistema decimal:
LXXXIV CCCXXXIII MDLX
1.65 Escriu el valor de la xifra 9 en cadascund’aquests nombres:
a) 193 b) 5 639 c) 6 937 000
1.66 Observa la taula i respon:
a) Quantes unitats fas amb 72 desenes?
b) Quantes centenes completes hi ha en 3 528 uni-tats?
c) Quantes desenes de miler hi ha en quatre mi-lions i mig?
Recomptes, est imacions, codis
1.67 Quants cubs hi ha en cada construcció?
4 5 030
750
220
080
EXERCICIS DE LA UNITAT
1.68 Observa aquesta sèrie i calcula:
…
a) El tretzè terme.
b) El vint-i-dosè terme.
c) El terme que ocupa el lloc trentè.
1.69 Quants cotxes hi ha entre els dos que por-ten aquestes matrícules?
1.70 El codi numèric 16-01-91 expressa la da-ta de naixement de la Clara. Quin dia és el seu ani-versari? Quina edat té actualment?
1.71 Quin és el codi postal del teu domicili?
A la vista d’aquest codi, quins són els nombres queidentifiquen la província on vius?
Nombres grans. Aproximacions
1.72 Estima el nombre d’inspiracions que hasrealitzat fins al moment actual.
(Dada experimental: Mesura’t el nombre d’inspiracionsper minut.)
1.73 Aproxima als milers, mitjançant truncament imitjançant arrodoniment, aquestes quantitats:
a) 2 721 b) 6 412
c) 16 235 d) 37 940
1.74 Quina de les aproximacions es troba mésa prop del valor real?
13119753
M CM DM UM C D U
Val16 500 €.
Val16 600 €.
VALOR EXACTE
16 578 €
9998-BBC
0005-BBD
3332
1.109 Un parc d’atraccions rep una mitjana de8 600 persones al dia a la primavera, 15 400 al’estiu, 6 200 a la tardor i 1 560 a l’hivern. Quantsvisitants té en un any?
1.110 Un restaurant va pagar el mes passat alseu proveïdor 1 144 € per una factura de 143 kgde carn. Quants quilos ha gastat aquest mes sisabem que la factura ascendeix a 1 448 €?
1.111 Un botiguer compra 15 caixes de lletamb 10 ampolles de litre cadascuna. Cada caixa lisurt a 5 €. En el transport cau una caixa i estrenquen 5 ampolles. Després ven la mercaderia aldetall, a 1 € l’ampolla.
Quant és el benefici que obté?
1.112 Un magatzemista compra 200 caixes detaronges, de 20 kg cadascuna, per 1 000 €.
El transport val 160 €.Les selecciona i les envasa en bosses de 5 kg. En laselecció en rebutja, per defectuoses, uns 100 kg.A quant ha de vendre la bossa si desitja guanyar-hi400 €?
1.113 L’Úrsula i la Marina viuen a la mateixa casa ivan a la mateixa escola. L’Úrsula, quan hi va sola,tarda 20 minuts de casa a l’escola. La Marina, alseu pas, tarda 30 minuts a fer el mateix recorregut.
Quant tardarà l’Úrsula a agafar la Marina, si aques-ta ha sortit avui amb 5 minuts d’avantatge?
1.114 De les 15 persones que treballen en una ofici-na, n’hi ha 9 a les quals els agrada el cafè i 7 a lesquals els agrada el te.
També sabem que hi ha 3 persones a les quals elsagraden els dos productes.
A quantes persones d’aquesta oficina no els agradani el cafè ni el te?
1.115 Una enquesta realitzada entre els 30 alumnesd’una classe té com a resultat les dades següents:
• 16 practiquen futbol, 14 bàsquet i 13 tennis.
• 6 practiquen futbol i bàsquet, 6 practiquen fut-bol i tennis i 5 practiquen bàsquet i tennis.
• 3 practiquen els tres esports.
Quants d’aquests 30 nois i noies no practiquen nifutbol, ni bàsquet, ni tennis?
1.116 La Rosa té una granja d’ànecs i oques. Avui ha ve-nut al mercat 21 dels seus animals per 350 euros.
Entre els animals venuts hi havia el doble d’ànecsque d’oques, i una oca val el triple que un ànec.Quin preu té un ànec? I una oca?
PROBLEMES D’ESTRATÈGIA
3
T
BF
Organitza les dades en un esquema de forma que etpermeti veure-les globalment i establir relacions.
?
PERSONES A L'OFICINA ELS AGRADA EL TE
ELS AGRADA EL CAFÈ
3 64
APLICA AQUESTA ESTRATÈGIA
Operacions amb potències
1.91 EXERCICI RESOLTCalcula pel camí més curt: (45 · 35) : 6 5
Escriu el teu codi d’identificació personal segons laclau següent:
• Raquel Arranz• Josep Barroso• Aurora Zapata
Sabries dir de quies tracta?
NOI (0)NOIA (1)
DIA I MES DEL’ANIVERSARI
N. DE LLISTAPER ORDREALFABÈTIC
Darrere de la màscara s’amaga una d’aquestespersones de la classe:
OPERACIONS
El nostre s is tema de numeració és decimal i posicional E ls nombres naturals ser veixen per comptar, ordenar, aproximar…
ELS NOMBRES NATURALS
RECORDEM EL QUE ÉS ESSENCIAL
1 Quantes centenes té un milió?
2 Aproxima als milers per truncament i per arrodoniment:
a) 5 804 b) 56 238
3 En una divisió, el dividend és 1567, el quocient 27 i elresidu 1. Quin és el divisor?
4 Calcula:
a) 2 + 5 · 3 b) (6 + 8) : 2 c) 3 · (16 – 7 · 2) – 6
5 Calcula: a) 24 b) 56 : 54 c) (35 · 33) : 36
6 Calcula:
7 Per comprar un cotxe es paga una entrada de 1 600 €i 36 mensualitats de 400 €. Quin és el cost total?
8 Tres germans ajunten els seus estalvis per comprar unacol·lecció de discos que costen 150 €.En Miquel en té 27, la Marta el doble que en Miquel ila Mercè, 18 € menys que la Marta. Quants euros elsfalten?
√1 225
AUTOAVALUACIÓ
• SUMA. Propie ta ts :
Commutativa → a + b = b + a
Associativa → a + (b + c) = (a + b) + c
• MULTIPL ICACIÓ. Propie ta ts :
Commutativa → a · b = b · a
Associativa → a · (b · c) = (a · b) · c
Distributives 5 a · (b + c) = a · b + a · c}}}a · (b 2 c) = a · b 2 a · c
OPERACIONS COMBINADES
• Aquestes expressions tenen resultat diferent: • Primer, s’operen els parèntesis.